10-(4)安培环路定理

L
0 NI B 2π R
令 L 2 πR
d
R
B 0 NI L
当 2 R d 时，螺绕环内可视为均匀场。
例3 无限长载流圆柱体的磁场 解 1 对称性分析 2 选取回路
I
rR
B d l 0 I
L
L
R R
r
2 π rB μ0 I
0r R
B
0 I
I1
安培环路定理 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭 合路径积分的值，等于μ0乘以该闭合路径所包围的 各电流的代数和。
n B dl 0 I i L i 1 n H dl I i L i 1
-- 真空
第11章
-- 磁介质
电流I正负的规定：闭合曲线与I成右手螺旋关系时为正； 反之为负。
L L L
P1 '
B'dl '
L'
B' dl' c o s
L'
0 I
3、闭合曲线不包围电流
I A
L
O
L
L1
I
φ
L2
S
B 可见： 当闭合曲线不包 围电流时，B矢量沿 该闭合曲线的线积分 为零。
B dl L B dl1 L B dl2
Bout
Bout≈0
3、磁场分布
n, I
Bin 均匀分布
外部磁场
Bout 0
内部磁场： Bin 0nI 0 j
通电稀疏螺线管空间的磁场
通电密绕螺线管空间的磁场
例2 求密绕载流螺线绕环内的磁场 解：1 对称性分析；环内 B 线为同心圆，环外 B 为零。 2 选环路。 B d l 2 π RB 0 NI
1 2
μ0 I μ0 Ir dΦm1 B1 dS B1dS rRdr dr 2 2πR 2πR
R/2
dΦm 2
μ0 I B2 dS B2 dS Rdr 2r
R
Φm1 dΦm1 R
2
μ0 Ir 3 μ0 IR dr 2πR 16π
o R
r
例4 无限长载流圆柱面的磁场
L1
r
R
I
L2
解 0 r R,
0 I B 2π R
r
Bd l 0
L
L
o R
B0
r
r R, B d l μ0 I
B
0 I
2πr
例5 无限大的载流平面的磁场（单位宽度的电流为i）。
c
i
P
dB d dB
作业：练习三
10-4 安培环路定理及其应用
在静电场中
E dl 0
l
-- 静电场是保守力场。
在稳恒电流的磁场中
B dl
L
？
一 安培环路定理
以无限长直线电流的附近的某个回路为例。
I
无限长直线电流的磁感应线
1、闭合曲线所在平面与电流垂直 I
俯视图
L
O R
L
B
B
I
O
d
例1 求通电无限长直密绕细螺线管内磁场。
n, I
1、内部磁场
M
Bin Bin
Bin 平行于轴线
N
1、内部磁场
Bin 平行于轴线
L
均匀分布
B d l 0
L
Bin均匀分布
安培环路定理 Bin均匀分布
2、外部磁场
Bout
M
Bout
Bout≈0
Bin 平行于轴线
Bin
Bout
N
Φm1 dΦm1 R
2
R
μ0 Ir 3 μ0 IR dr 2R 16π
1
2
R/2
Φm 2 dΦm 2
3R 2 R
μ0 I μ0 IR 3 Rd r ln 2r 2 2
Φm Φm 1 Φm 2
3 μ0 IR μ0 IR 3 ln 16π 2π 2
1
I
2
I
3
1 B1 2 0 i 0 i 2
B2 0
B3 0 i
B1 B3 0
1
I
2
I
3
B2 0 i
作业：练习三
例6 已知无限长圆桶上均匀分布电荷，面密度σ，角初 速度ω0 , 角加速度β，求t时刻内部的磁感应强度 解：相当于密绕螺线管

B 0nI
nI 为单位长度的电流，
L
0 I1 0 I 2 ... 0 I N
N B dl 0 I i L i 1
★注意：I的方向性
思考：
若 B dl 0
L
I1
I1
L
I2 I 3
(1) 若其中一电流为有限长， 安培环路定理是否适用？ (2) 回路中穿过电流为0？ (3) 回路上各点的磁感应强度B为0？
静电场
稳恒磁场
E dl 0
L
B dl μ0 I i
L
电场有保守性，是 保守力场，或有势场
磁场没有保守性，非 保守力场，或无势场

S
1 E ds
0
q
i
B ds 0
S
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
磁力线闭合、 无单独磁荷。 磁场是无源场
L
2、闭合曲线所在平面不在与电流垂直的平面内
I
L
P2 P 1
dl dl B dl // r
P
0 I B' B 2πr
且：B’和B方向相同。
L'
P2 '
S
O
r’
B' dl '
P’
B dl B dl B dl//
r
θ dl
P
P’
B
S
证： 任取曲线上一点P：
B 矢量沿闭合曲线L的线积分为：
0 I B 2πr
rd dl cos
B dl Bdl cos
L L

2
0
0 I rd 0 I 2 r
I R
俯视图
L
L
I×
B
B
B'
O S
O
r
B
P θ’ dl
三 安培环路定理的应用举例
运用安培环路定律的步骤： (1) 分析磁场的对称性，判断B的方向； (2) 选择合适的闭合回路，含方向； (3) 求出 B dl ? 和 0 I ?
L

L内
(4) 利用 B dl 0 I ，求出B的值。
L L内
环路L的选择： (1) L上的B大小相等，方向相同或B与dl 平行或垂直。 (2) 环路的长度( Bdl cos )便于计算。

b
B
a
解：1、分析：无限大的导体平面可以看作无限多个平行排 列的长直电流组成，因为平板是无限大的，所以具有对称性， 经分析可知的方向平行于平板，与电流方向成右手螺旋，平 板两侧电流方向相反，大小相等。
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2、取如图所示矩形安培环路abcda
B dl B dl B dl B dl B dl
*关于安培环路定理： -- 提供了另一种计算磁感应强度的方法。 (1) 若电流方向与环路的积分方向满足右手螺旋关系，则：
I 0 反之： I 0
(2) μ0 I i 中 I i 为环路内包含的总电流，环路外不计。 (3) 磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但是，环路上 一点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。 (4) 安培环路定理只适用闭合的稳恒电流产生的磁场，而对于 一段稳恒电流的磁场，安培环路定理不适用。 (5) 安培环路定理揭示了磁场的基本性质，磁场是有旋场，是 非保守力场，故不能引入势能的概念。
P’ θ
B矢量沿曲线L的线积分为：
规定： (1)当电流方向与闭合曲线符合 右手螺旋关系，电流I为正； (2)当电流方向与闭合曲线不符合 右手螺旋关系，电流I为负；
B dl Bdl cos
L L
B' dl cos( ' )
L
B' dl cos ' 0 I
2πr
B
dB
πr2 LB d l 0 π R2 I
2
I
俯视
.
0 r 2 π rB 2 I R
0 Ir B 2 π R2
dI
B
B 的方向与 I 成右螺旋关系
0 r R,
B
0 Ir
2 π R2
r R,
B
0 I
2πr
I
0 I
2π R
R
B

nI 2 R 1 (0 t ) / 2 R(0 t )
B 0R(0 t )
t
作业：练习三
例7 半径为R的长直导线中，均匀通过电流强度为I的电流，求 图中所示面积（半径为R的正方形）abcda的磁通量。
解： r R
rR
0 I B1 r 2 2R 0 I B2 2r
L
___
ab
____
___
bc
___
cd
___
da
B ab B cd 2 B ab
____
____
c
0 I i 0 ab i
2B ab 0 ab i
B
____ ____
____
P
dB d dB

b
a
0i
2
方向：上右，下左
L
1 2


0
0 I 0 I rd 0 rd 2r 2r
0
4、闭合曲线内包围多根载流导线电流 I2
I1 IN
B dl ( B1 B2 ... Bn ) dl
L L
L
S
B1 dl B2 dl L L ... Bn dl