6. 安培环路定理及其应用
静电场的安培环路定理
静电场的安培环路定理静电场的安培环路定理是电磁学中非常重要的一条定理，它描述了静电场中电流所沿路径的总和。
在这篇文章中，我们将会介绍什么是安培环路定理、它的应用以及如何使用它来解决问题。
什么是安培环路定理？安培环路定理是由法国物理学家安培提出的，它表明在任何一个闭合的回路中，电流的总和等于穿过该回路的磁通量的变化率。
这个定理的意义在于，它提供了一种计算电流的方法，尤其是在复杂的电路中。
安培环路定理可以简化电路分析的过程，因为它允许我们通过观察磁场的变化来推断电流的大小和方向。
应用安培环路定理在电路分析中有着广泛的应用。
在解决电路问题时，我们可以选择一个合适的回路并应用安培环路定理来计算电流。
这个回路可以是任何形状，只要它能够完全包括电流所通过的路径即可。
除了电路分析，安培环路定理还有其他应用。
例如，在磁感应强度不均匀的磁场中，我们可以通过应用安培环路定理来计算磁场的强度。
此外，它还可以用于分析电感器、变压器和电机等电磁设备。
如何使用安培环路定理？在使用安培环路定理时，首先需要选择一个合适的闭合回路。
然后，需要注意该回路中的电流方向。
如果电流方向与所选择的回路方向相同，则电流对于回路的贡献为正；如果电流方向与所选择的回路方向相反，则电流对于回路的贡献为负。
接下来，需要计算穿过回路的磁通量的变化率。
这个磁通量的变化率可以通过测量磁场强度和磁通量来计算。
如果磁场强度和磁通量之间的关系已知，则可以直接计算出磁通量的变化率。
否则，可以使用麦克斯韦方程组来计算。
将电流的总和与穿过回路的磁通量的变化率相等，即可得到安培环路定理的表达式。
总结安培环路定理是电磁学中非常重要的一条定理，它可以用于计算闭合回路中电流的总和。
它在电路分析、磁场计算以及电磁设备分析等方面有着广泛的应用。
在使用安培环路定理时，需要选择一个合适的回路并注意电流方向，计算穿过回路的磁通量的变化率，最后将电流的总和与磁通量的变化率相等。
安培环路定理
.
在场中任取的一闭合路径
空间所有电流共同产生的磁感应强度
毕奥—萨伐尔－拉普拉斯定律
在场中任取的一闭合路径
I I 3 当
时，螺绕环内可视为均匀场 .
解 1 ) 对称性分析螺旋管内为2 均匀场 , 方向沿轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即
.
I 二1）是利稳用恒安电1培流环磁路场定的理性求质磁方场程分。布
B d l (I I) 2）
说明磁场为非保守场（涡旋场）
当
时，螺绕环内可视为均匀场 .
l
02 3
例3 无限长载流圆柱体的磁场 空间所有电流共同产生的磁感应强度
l
规定 ： 与 成右螺旋时， 为正；
在恒定电流产生的真空的稳恒磁场中，磁感应强度 沿任一闭合路径的积分的值，等于 乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和.
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r
解 0rR, Bdl 0 l r R, lBdl0I
B0
B 0I
2π r
安培环路定理
稳恒磁场
例3 无限长载流圆柱体的磁场
I
解 1）对称性分析 2）选取回路
rR
lBdl0I
L
2πrB0I
B 0I
2π r
R R
r B
0rR lB dl0π πR r2 2I
2）Bdl 0说明磁场为非保守场（涡旋场）
L
安培环路定理
稳恒磁场
二 利用安培环路定理求磁场分布
n
Bdl 0 Iint
i1
求出 B
解题步骤：
1）对称性分析 2）选取合适回路 3）求出磁场分布
安培环路定理
例1 无限长载流直导线
安培环路定理与电流分析
安培环路定理与电流分析引言：电流是电学中的基本概念之一，而安培环路定理则是电磁学中的重要定理之一。
本文将介绍安培环路定理的基本原理和应用，以及如何通过电流分析来解决实际问题。
一、安培环路定理的基本原理安培环路定理是由法国物理学家安培在19世纪初提出的，它描述了电流在闭合回路中的行为。
该定理的基本原理可以用以下公式表示：∮B·dl = μ0·I其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，μ0为真空中的磁导率，I为通过闭合回路的电流。
二、安培环路定理的应用1. 计算磁场强度通过安培环路定理，我们可以计算出磁场强度。
只需选择一个闭合回路，测量沿着该回路的环路积分，然后根据公式计算磁场强度。
这个应用在实际中非常重要，例如在磁场传感器和电磁铁的设计中。
2. 分析电流分布安培环路定理还可以用来分析电流在复杂回路中的分布情况。
通过选择不同的闭合回路，我们可以计算出不同部分的电流。
这对于电路设计和故障排除非常有帮助。
三、电流分析的方法1. 基本法则电流分析的基本法则是基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。
基尔霍夫电流定律指出，一个节点处的电流总和等于从该节点流出的电流总和。
基尔霍夫电压定律则指出，一个回路中的电压总和等于零。
通过这两个定律，我们可以分析复杂电路中的电流分布和电压变化。
2. 网络分析电流分析的另一种方法是网络分析。
网络分析是一种将电路抽象为节点和支路的方法。
通过建立节点和支路之间的关系，我们可以用矩阵方程组来求解电路中的电流分布。
这种方法在大型电路和电力系统中得到广泛应用。
结论：安培环路定理是电磁学中的重要定理，它描述了电流在闭合回路中的行为。
通过安培环路定理，我们可以计算磁场强度和分析电流分布。
电流分析的方法包括基尔霍夫定律和网络分析。
电流分析在电路设计和故障排除中起着重要作用，对于提高电路的性能和可靠性至关重要。
安培环路定理和磁通量
安培环路定理和磁通量安培环路定理是电磁学中的一项重要理论，描述了电流所产生的磁场与其所包围的闭合路径之间的关系。
同时，磁通量也是电磁学中的一个重要概念，用来描述通过某一闭合曲面的磁场总量。
本文将详细介绍安培环路定理和磁通量的概念、原理以及应用。
一、安培环路定理的概念与原理安培环路定理是在静电场中对于电场环路定理的推广，描述了在定常磁场中沿闭合路径的环路线积分等于该路径所包围的电流的总和倍数。
该定理规定了电流对于磁场产生的影响，从而使我们能够通过测量磁场的大小和电流的大小来获得其他物理量的信息。
安培环路定理的数学表达形式为：∮ B·dl = μ0·I，其中，∮ B·dl表示磁场强度B沿闭合路径的环路线积分，μ0为磁导率，I表示路径所包围的电流。
二、磁通量的概念与计算磁通量是描述磁场穿过一个给定曲面的总磁力线量，用Φ表示。
磁通量的计算可以通过对磁场强度在曲面上的面积分来实现。
假设有一个平行于磁场的面A，磁场的垂直分量为B，面积为A，则磁通量Φ的计算公式为：Φ = B·A·cosθ，其中，θ为磁场B与面A的夹角。
三、安培环路定理与磁通量的关系根据斯托克斯定理，可以将安培环路定理与磁通量联系起来。
斯托克斯定理表明，磁场强度B沿闭合曲线的环路线积分等于曲面S上的磁感应强度B在该曲面上的面积分。
即：∮B·dl = ∬（∇×B）·dA，其中，∮B·dl表示闭合曲线上磁场B的环路线积分，∬（∇×B）·dA表示曲面S上磁感应强度B的面积分。
根据斯托克斯定理，可以得到安培环路定理与磁通量之间的关系：∮B·dl = ∬（∇×B）·dA = ∬J·dA = I，其中，∮B·dl表示磁场强度B沿闭合路径的环路线积分，∬J·dA表示电流密度J在曲面上的面积分，I为经过闭合路径包围的电流。
安培环路定理及应用,磁场对载流导线和载流线圈的作用
df Idl B
0 I1 B1 2 a
df2 B1 I 2dl2
B2 I1dl1 df1 C I1 D I2 df2
a
0 I 2 B2 2 a
df1 B2 I1dl1
I2dl2
B1
0 I1 I 2 0 I1 I 2 dl1 df2 dl2 df1 2 a 2 a
二、 安培环路定理的应用
求磁感应强度
1. 分析磁场分布的对称性。
2. 选择一个合适的积分回路 3. 计算闭合回路中包围的电流
4. 再由
B dl 0 I i
l
求得B
1.无限长圆柱载流导体的磁场分布 圆柱体半径R ，电流为 I 分析对称性 电流分布——轴对称
I
r
ds1 0 ds1
大小: 方向:
df Idl B sin(dl , B)
df // Idl B
Idl
df
df
B
积分形式
B
Idl
f Idl B
L
载流直导线在均匀磁场中所受的安培力 取电流元
df Idl B
Id l
受力方向
力大小 积分
对称性分析： 管内为均匀场,方向与螺线 管轴线平行. 管的外面，磁场强度忽略 不计. B的大小的计算: •作矩形环路a b c d,如图
a b
B
d
c
L
B d l B内 ab B外 ab ＝0 nI ab
B外 0
B内 0 nI
3.载流环形螺线管内的磁场分布
取电流元 Idl
受力大小 df BIdl
安培环路定理及其应用
r≤R r≥R
B
µ0I 2R π
B
I
B
0
R
r
讨 论
长直载流圆柱面 已知：I、R 已知： 、
d π ∫ B•dl = ∫ B l = 2 rB
0 = µ I 0
0 B= µ0I 2 r π
I R
r<R r >R
r<R r >R
µ0I B 2R π
0
R
r
练 习
由 环 路 内 电 流 决 定
I1 I 2 I4
I3
l
说 明 由 环 路 内 外 电 流 产 生 环 路 上 的 磁 感 应 强 度
∫ B•dl = µ0∑Ii = µ0(I2 − I3)
环 路 所 包 围 的 电 流
由 环 路 内 电 流 决 定
I1 I 2 I4
I3
l
说 明 由 环 路 内 外 电 流 产 生 环 路 上 的 磁 感 应 强 度
0
dl + ∫c B cos0 + ∫d B l co d s
adπຫໍສະໝຸດ 0= B⋅ ab+ B⋅ cd = 2B⋅ ab ⋅ 利用安培环路定理求 B ∫ B•dl = µ0n⋅ ab⋅ I
2
b
a
.........
c
d
B= µ0 n 2 I
板上下两侧为均匀磁场
讨 如图， 如图，两块无限大载流导体薄板平行放置 通有相反方向的电流。 通有相反方向的电流。 已知： 已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数 、单位长度导线匝数n
I1 I 2 I4
I3
l
说 明 由 环 路 内 外 电 流 产 生 环 路 上 的 磁 感 应 强 度
磁场的安培环路定理 及其应用
磁场的安培环路定理及其应用
， ，
，
，
例题讲解 8
设无限长载流直螺线管的缠绕密度（即单位长度上的线圈匝数）为 n，通有电流 I，求该螺线管内的
磁场。
穿过矩形回路 ABCDA 的线圈匝数为 n AB ，通过每匝线圈的电流为 I，所以穿过回路的电流总和为
nI AB ，于是由安培环路定理得 B AB 0nI AB 所以 B 0nI 可以看出：磁感应线 B 的大小与环形回路 AB 边在管内的位置无关，表明无限长载流直螺线管的磁
由于在圆柱体内电流密度是均匀的，即电流密度为
j
I R2
，
通过截面积 r2
的电流为
L内
Ii
jr 2
Ir 2 R2
于是有
B dl
L
2rB
0
L内
Ii
0
Ir 2 R2
可得 B
0 Ir
2R2
(r
R)
作出 B 的值随 r 的变化曲线，如图所示。
磁场的安培环路定理及其应用 1.2 安培环路定理的应用
2．长直载流螺线管的磁场
长直螺线管是常用的电气器件，一般都是密绕的。当通有电流时，螺线管内产生匀强磁场，而 在螺线管外部远离两端的磁场很弱，可以认为磁感应强度B的大小为零。
下面通过例题来说明长直载流螺线管内的磁场。
磁场的安培环路定理及其应用
， ，
，
，
例题讲解 8
设无限长载流直螺线管的缠绕密度（即单位长度上的线圈匝数）为 n，通有电流 I，求该螺线管内的
磁场。
过管内任意场点作如图所示矩形回路 ABCDA，在回路的 CD 段上以及 BC 和 DA 段的管外部分，均
有 B 0 ，在 BC 和 DA 段的管内部分，B 与 dl 相互垂直，即 B dl 0 ，回路的 AB 段上各点 B 的大小
安培环路定律与应用
安培环路定律与应用安培环路定律，又称为安培定理、安培环路法则，是电磁学中一个十分重要的定律，用来描述电流在闭合回路中的分布和变化规律。
它是由法国物理学家安培于1827年发现并总结出来的。
安培环路定律的表达方式有两种形式，即积分形式和微分形式。
积分形式的安培环路定律是这样表述的：一条闭合回路中，沿着回路所围成的面积求取磁场强度的积分，等于通过该回路的电流的总和乘以真空中的磁导率。
即∮B·dl = μ₀·I，其中∮代表环路的积分运算，B是磁场强度，dl是环路上的微元线段，μ₀是真空中的磁导率，I是通过回路的电流。
微分形式的安培环路定律是这样表述的：一个回路上任意一点的磁场强度的旋度，等于通过该回路的电流的总和乘以真空中的磁导率。
即∇×B = μ₀·J，其中∇×代表旋度运算，B是磁场强度，μ₀是真空中的磁导率，J是通过回路的电流密度。
安培环路定律的应用十分广泛，下面将从几个方面介绍一些常见的应用。
一、计算磁场强度根据安培环路定律，可以通过沿着闭合回路所围成的面积求取磁场强度的积分来计算磁场强度。
这对于研究电磁场的分布和变化规律非常有帮助，例如计算磁铁周围的磁场强度、电感线圈中的磁场强度等。
二、设计电磁铁电磁铁是一种可以产生强磁场的设备，广泛应用于电动机、发电机、磁悬浮列车等领域。
设计电磁铁时，可以利用安培环路定律来确定电磁铁的线圈匝数、材料特性和电流强度等参数，以便使得磁场强度满足要求。
三、磁场感应根据安培环路定律，一个变化的磁场可以诱导出沿着闭合回路的电动势，即磁场感应。
利用这个原理，可以制造感应电流、感应电压等现象，例如电磁感应现象、变压器的工作原理等。
四、计算电流密度根据安培环路定律的微分形式，可以通过计算一个回路上任意一点的磁场强度的旋度来求取通过回路的电流密度。
这对于研究电流分布和变化规律非常有帮助，例如计算电流在导线中的分布情况、研究电流在电子器件中的流动规律等。
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rh
L
L
由安培环路定理
L2R
r R B 2r 0I
B 0I 2 r
rR
B 2r
0
I
R 2
r 2
B
0 Ir 2 R2
特例：R→0，成为无限长直导线
prob：如图求通过矩形部分的磁通量
3) B 是由谁产生的？
安培环路定理及其应用
4) “代数和”指电流有正负，当I 的流向与回路绕 向成右螺旋时I > 0；当成左螺旋时I < 0 。
例1：1) B dl =？ L
I1
I2
B dl L
0 (I1 I2
I3)
2) A点的磁感应强度由
A
谁产生？
I4 I3
二、安培环路定理的应用
dI1
dB
由安培环路定理
r R B 2r 0I
I
⊙
B
0 0 I
dB2
r
2 r
dB1
r R B 2r 0
B 0 dI2
B 的方向与 I 成右螺旋
安培环路定理及其应用
例3. 无限长均匀载流圆柱体产生的场
解：作安培环路L如图，绕向为逆时针
R
由对称性分析可得
I
B dl Bdl B2 r
安培环路定理及其应用
安培环路定理及其应用
安培环路定理及其应用
l E dl 0 l B dl ?
一、安培环路定理 (建立过程)
1.以无限长载流直导线为例
环路包围直导线
1) 简单情形——同心圆l B dll B源自l0I dl2πR
I
B
o R dl
l
0I
Prob：若I 反向或环路反向？
B dl
n
B dl 0 Ii
条件：I 具有较高对称性分布
L
i1 关键：回路的选取
安培环路定理及其应用
例2. 无限长均匀载流圆柱面产生的场
解：作安培环路L如图，绕向为逆时针
R
由对称性分析可得
I
1) L上各点场强的方向与L同向相切 2) L上各点场强的大小相等
r
L
B dl Bdl B2 r
L
L
l
0I
安培环路定理及其应用
2) 复杂点情形——任意形状的回路
B dl Bdl cos Brd
L
20I02I d
20 20
0I
I
d
B
r
dl
Prob：若I 反向或环路反向？
B dl
l
0 I
环路不包围直导线
b
B dl B dl B dl
L
L1
L2
d
I
1
L2
1 0I d 1 0I d 0
0 2
0 2
a
L1
安培环路定理及其应用
2. 一般情况 (任意条、任意形状导线、任意闭合回路)
n
B dl 0 I内i ——安培环路定理
L
i 1
在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何 闭合路径L 的线积分（ B的环流）等于路径 L所
包围的电流强度的代数和的 0 倍。
说明
1) 安培环路定理说明磁场是非保守场(有旋场) 2) “包围”指穿过以L为边界的任意曲面的电流