安培环路定理
2安培环路定理
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
安培环路定理
无限长圆柱面电流，圆柱外磁场分布与电流集中在轴线上的 直线电流产生的磁场相同；圆柱内处处磁场为0。 B分布曲线为：
I
B
0 I 2R
R
1
r
B0
0 I 1 B 2r r
2
r
L
o
R
r
例 15.7 一环形载流螺绕环，匝数为
N ，螺绕环轴线半径为R ，通有电 流 I ，求管内磁感应强度。
分析对称性,作积分回路如图 计算环流
Bdl I
0 l
i
B
空间所有电流共同产生 在场中任取的一闭合线 L绕行方向上的任一线元 环路所包围的电流 与L套连的电流
L dl
I3
I1
Ii
L
I 2 dl
电流分布
比较
静电场
?
l
磁 场
E dl 0
l
Bdl I
0 i
i
电场有保守性，它是 保守场，或有势场.
环管内截面上宽为dr、高为h的一窄条面积通过的磁通量为：
0 NIh d Bhdr dr 2r
0 NIh R 1 0 NIh R2 dr ln 全部截面的磁通量为： d R 2 r 2 R1
2 1
本次课结束
课后作业
15.7 15.15
谢谢！
15.15 在长直导线近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平 行和垂直于长直导线。线圈长度为l，宽为b，近边距长直导线距 离为a，长直导线中通有电流I。当矩形线圈中通有电流I1时，它受 到的磁力的大小和方向如何？它又受到多大的磁力矩？
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场.
1 E d S qi 0 S
11-4 安培环路定理
是否回路 L 内无电流穿过？
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
讨论
安培环路定理只是说明了B矢量的环流与闭合路径 所围绕电流有关，并非说其中的磁感应强度只与所围 绕电流有关。磁场中任一点的磁感应强度是由激发这 磁场的全部电流所决定的，不管这些电流是否被所取 闭合回路所围绕。只不过回路外的产生的磁场对该沿 回路的B的环路积分无贡献罢了。
L B dl 0
L B dl BL
4、定出
Ii ；
5、应用定理
B dl
l
0
I。
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
例1 ： 求长直密绕螺线管内磁场
AB
解 1、对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿
轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 。
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
讨论
两无限大平行载流平面，电流密度为 j ，求
两平面之间和之外空间的磁感强度：
B内
1 2
0
j
1 2
0
j
0
j
B外
1 2
0
j
1 2
0
j
0
如果电流同向，结果如何？
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
若两无限大平行平面上都有均匀分布的面电流，面电
流密度分别为i1和i2，若i1和i2之间夹角为θ，试求：
oR
l
d
B
dl
Ir
l
若回路绕向为逆时针时，则
B dl
l
l
0 I
2πR
dl
0I
（2）对任意形状的回路
B dl Bdl cos 0I rd
大学物理10.4安培环路定理及其应用Xiao
实验设备与材料
01
02
磁场测量仪
用于测量磁场强度和方向。
导线
用于产生电流，形成磁场。
03
电源
为导线提供电流。
04
磁力计
用于测量磁力大小。
实验步骤与操作
步骤2
连接电源，使导线通电，产生 电流。
步骤4
使用磁力计测量导线受到的磁 力大小。
步骤1
将导线绕制成一定形状，如圆 形或矩形，并固定在实验台上。
步骤3
02
安培环路定理的数学表达式为： ∮B·dl = μ₀I，其中B表示磁场强度， dl表示微小线段，I表示穿过曲线的 电流，μ₀表示真空中的磁导率。
安培环路定理的推导过程
安培环路定理的推导基于电磁场的基 本理论，通过应用高斯定理和斯托克 斯定理，结合电流连续性和电荷守恒 定律，逐步推导出安培环路定理。
大学物理10.4安培环路定理及其 应用
目 录
• 安培环路定理的概述 • 安培环路定理的应用场景 • 安培环路定理在实践中的应用 • 安培环路定理的实验验证 • 安培环路定理的扩展与思考
01 安培环路定理的概述
安培环路定理的定义
01
安培环路定理是描述磁场与电流 之间关系的物理定理，它指出磁 场对电流的作用力与电流分布及 路径有关。
03
电磁场仿真
安培环路定理是电磁场仿真的基础之一，通过仿真软件实现安培环路定
理的算法，可以模拟电机的电磁场行为，预测电机的性能，并为实际电
机设计提供理论依据。
电磁场仿真软件的安培环路定理实现
有限元法（FEM）
有限元法是一种常用的电磁场仿真方法，通过将连续的电磁场离散化为有限个小的单元，并应用安培环路定理进行求 解。这种方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，得到高精度的仿真结果。
安培环路
B d l B d cos l Brd 0I 0 I d B dl rd 2π 2πr
d
l
I
dl
B
r
I r1
r2
l
B d l B d l 0 1 1 2 2 结论： d l 0 B
l
(3) 多电流情况
I1
B 0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场为零.
2、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体半 径为R，面上均匀分布的总电流为I。 I
解：沿圆周L的B环流为
(L )
R
I d l B 2 r 0 内 B
dB
P
dB d B
当 r R 时 , I I B 2 r I 内 0 0I B 2 r I 2 当 r R 时 , I r 内 2 R r2 I 0 B2 r I B r 0 2 2 R 2 R
d l I 0 B
l
R
l
I
B
若电流反向时，则：
I 0 l B dl 2πRl dl 0I
对任意形状的回路 B 0 I 2 r
I
l 2 I 0 B d l d 结论： B d l I 0 l 0 l 2 0I 0 I (2) 闭合曲线不包围长直电流： B2 B1 B2 2 π r2 2 π r1 B1 μ μ 0I 0I B d l1 d φ B dφ l2 d φ 1 2 d dl 2 π 2 π 2 dl1
dB1
解 1)对称性分析 2）选取回路 设：面电流密度为j
d dB
P
安培环路定理
安培环路定理
安培环路定理，又称为安培定理或安培第二定理，是电磁学中的一条重要定理，描述了由电流所产生的磁场的性质。
它是由法国物理学家安德烈-玛丽·安培在19世纪初提出的。
安培环路定理是基于麦克斯韦方程组中的一个方程，可以用来计算磁场的强度。
根据该定理，通过电流所形成的磁场的磁感应强度H，沿着任意封闭曲线所围成的面积S的总磁通量Φ，与该封闭曲线所围成的电流之间的关系为：
∮H·dl = ∫∫S B·dS = Φ
其中，H是磁场的强度，dl是沿着闭合曲线的微元路径元素，B是磁感应强度，dS是平面面元素，Φ是通过该曲线所围成的面积的磁通量。
安培环路定理本质上是一个积分方程，可以通过对曲线的路径和曲面的选择来灵活地应用。
根据闭合曲线的选择不同，可以得到更方便的计算磁场的方法。
通常情况下，选择封闭曲线为简单的几何形状，例如圆形、矩形或直线，可以大大简化计算的过程。
安培环路定理的应用广泛，可以用于解决与电流所产生的磁场相关的问题。
例如，在电磁铁中，可以利用安培环路定理计算铁芯的磁场分布；在电感器中，可以通过该定理计算电感量。
此外，还可以利用安培环路定理推导出其他电磁学中的重要定理，如磁场的叠加定理和比奥-萨伐尔定律等。
综上所述，安培环路定理是电磁学中的一条基本定理，描述了电流所产生的磁场的性质。
通过应用安培环路定理，可以方便地计算出磁场的强度和分布，解决各种与电流和磁场相关的问题，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
安培环路定理课件
电磁感应的概念
电磁感应是指因磁通量变化而引起感应电动势的现象，它是 能量转换的一种形式。
电磁感应在安培环路定理中扮演着重要的角色，它可以解释 磁场和电流之间的相互作用和变化规律。
03
CATALOGUE
安培环路定理的证明
证明方法一：利用积分
总结词
通过在闭合曲线上的积分，我们可以证明安培环路定理。
实验二：电磁力测量
总结词
电磁力测量是研究安培环路定理的重要实验，通过测量通电导线在磁场中所受的力，可 以验证安培环路定理的推论。
详细描述
该实验采用电磁力测量仪和不同大小的电流源，通过测量通电导线在磁场中所受的力， 可以验证安培环路定理的推论。在实验过程中，需要注意保持电流的稳定和避免空气阻
力的影响。
安培环路定理的应用场景
要点一
总结词
安培环路定理的应用场景广泛，包括电力工程、电子设备 、磁力设备和科学研究等。
要点二
详细描述
在电力工程中，安培环路定理可以用于计算电流产生的磁 场，从而设计合适的磁路和电磁铁。在电子设备中，安培 环路定理可以用于分析电磁干扰和射频干扰等问题。在磁 力设备中，安培环路定理可以用于设计磁力控制器和磁力 泵等装置。此外，安培环路定理也是科学研究的重要工具 ，可以用于研究电磁场和电磁波等物理现象。
有节点电流的求和。
基尔霍夫定律的应用
03
基尔霍夫定律在电路理论、电子工程、电力工程等领域都有广
泛的应用。
06
CATALOGUE
安培环路定理实验及解析
实验一：磁场分布测量
总结词
磁场分布测量是研究安培环路定理的基础实 验，通过测量不同电流下磁场的分布情况， 可以验证安培环路定理的正确性。
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
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在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。
这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。
安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。
它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。
目录
2编辑本段安培环路定理的证明（不完全证明）
以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。
安培环路定理应用
在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。
3 取对称环路包围电流
在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l，
则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为
其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为
式中积分是环路的周长。
于是上式可写成为
从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。
4 取任意环路包围电流
在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为
H与dl的夹角为，则H对dl的线积分为
直导线中心向线元的张角为，则有，所以有
可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。
那么B对整个环路的环流值为
上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。
5 取任意环路不包围电流
在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任
安培环路定理应用
意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为的射线，在环路上截取两个线元和。
和距直导线圆心的距离分别为和，直导线在两个线元处的磁感强度分别为和。
从上图可以看出，而。
利用安培环路定理的证明之二的结论可知
6 结论
所以有
从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。
安培环路定理反映了磁场的基本规律。
和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B 的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。
7编辑本段安培环路定理的应用
利用安培环路定理求磁场的前提条件：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，
安培环路定理应用
可以找到一条闭合环路l，该环路上的磁感强度B大小处处相等，B的方向和环路的绕行方向也处处同向，这样利用安培环路定理求磁感强度B的问题，就转化为求环路长度，以及求环路所包围的电流代数和的问题，即利用安培环路定理求磁场的适用范围：在磁场中能否找到上述的环路，取决于该磁场分布的对称性，而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。
因此，只有下述几种电流的磁场，才能够利用安培环路定理求解。
1.电流的分布具有无限长轴对称性
2.电流的分布具有无限大面对称性
3.各种圆环形均匀密绕螺绕环
8编辑本段利用安培环路定理求磁场的基本步骤
1.首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析；
2.根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路；
3.利用公式（1）求磁感强度。
9编辑本段长直载流螺线管内的磁场
10 简介
用磁场叠加原理作对称性分析：可将长直密绕载流螺线管看作由无穷多个共轴
安培环路定理应用
的载流圆环构成，其周围磁场是各匝圆电流所激发磁场的叠加结果。
在长直载流螺线管的中部任选一点P，在P点两侧对称性地选择两匝圆电流，由圆电流的磁场分布可知，二者磁场叠加的结果，磁感强度B的方向与螺线管的轴线方向平行。
由于长直螺线管可以看成无限长，因此在P点两侧可以找到无穷多匝对称的圆电流，它们在P点的磁场迭加结果与上图相似。
由于P点是任选的，因此可以推知长直载流螺线管内各点磁场的方向均沿轴线方向。
磁场分布如下图所示。
从上图可以看出，在管内的中央部分，磁场是均匀的，其方向与轴线平行，并可按右手螺旋法则判定其指向；而在管的中央部分外侧，磁场很微弱，可忽略不计，即H=0．
利用安培环路定理可以解得螺线管内的磁感强度为
11 具体解的过程
根据长直载流螺线管中段的磁场分布特征，可以选择如下图所示的矩形环路及绕行方向。
则环路ab段的dl方向与磁场B的方向一致，即；环路bc段和da段的dl方向与磁场B的方向垂直，即B·dl =0；环路cd段上的。
于是，沿此闭合路径l，磁感强度B的环流为:
因为ab段的磁场是均匀的，可以从积分号中提出，则上式成为:
设螺线管上每单位长度有n匝线圈，通过每匝的电流是I，则闭合路径所围绕的总电流为nI，根据右手螺旋法则，其方向是正的。
按安培环路定理，有:
注意对于绕得不紧的载流螺线管，其磁场的分布就不是如此。
对于绕得不紧的均匀载流螺线管，由下图可以看到，在靠近导线处的磁场和一条长直载流导线附近的磁场很相似，磁感线近似为围绕导线的一些同心圆。
管内、外的磁场是不均匀的，仅在螺线管的轴线附近，磁感强度B的方向近乎与轴线平行。
12编辑本段均匀密绕螺绕环的磁场
13 简介
对于如图所示的均匀密绕螺绕环，由于整个电流的分布具有中心轴对称性，因而磁场的分布也应具有轴对称性，因此，利用安培环路定理可以解得均匀密绕螺绕环内部的磁场分布为
14 具体解的过程
将通有电流I 的矩形螺绕环沿直径切开，其剖面图如下所示。
在环内作一个半径为r 的环路，绕行方向如图所示。
环路上各点的磁感强度大小相等，方向由右手螺旋法可知：与环路绕行方向一致。
磁感强度B沿此环路的环流为
环路内包围电流的代数和为。
根据安培环路定理，有:
对均匀密绕螺绕环，环上的线圈绕得很密，则磁场几乎全部集中于管内，在环的外部空间，磁感强度处处为零，即B =0。
如果将长直载流螺线管对接起来，就形成了圆形截面的均匀密绕细螺绕环，由安培环路定理同样可以解得其内部的磁场和长直载流螺线管内部的磁场相同，仍为。
15编辑本段无限大均匀载流平面的磁场
16 简介
电流的分布具有无限大面对称性的载流导体，包括无限大均匀载流平面和无限长的大均匀载流平板。
对无限大的载流平面产生的磁场，同样可以进行对称性分析，
如上右图所示，可以将无限大载流平面的磁场看成是由无穷多个平行的长直载流导线的磁场叠加而成。
每一对对称的直导线在P点的磁场叠加的结果是：垂直于磁场的分量都相互抵消，只剩下平行于磁场的分量，故载流平面产生的磁场，其方向与平面平行，与平面电流成右手螺旋方向。
利用安培环路定理解得磁场的分布。
如果无限大载流平面上的电流密度是j，那么它在周围空间产生的磁场是一个均匀磁场，
其表达式是
17 具体解的过程
根据无限大载流平面磁场的分布，可以选择如图所示的矩形环路及绕行方向。
环路上ab 段和cd 段上的方向与磁场B 的方向一致，即；
环路bc段和da 段的方向与磁场B的方向垂直，即。
于是，沿此闭合路径l，磁感强度B 的环流为：。