安培环路定理

L
bc
da
2Bl 0 jl B 0 j
Ba
2
b 两侧是均匀磁场, 大小相等，
方向相反
ld
c
B
例6.半径为R的无限长直导体，内部有一与导体轴平行、
半径为a的圆柱形孔洞，两轴相距为b。设导体横截面上均
匀通有电流I，求(1)P点处的磁感应强度。(2)圆柱形孔洞 内的磁场.
解 ： (1)P 点 : 设 导 体 中 电 流 密
零.
B 0
例4、求载流螺绕环内的磁场
设环很细，环的平均半径为R ，总匝 数为N，通有电流强度为 I
设螺绕环的半径为R1，R2, 以平均半径R
作圆为安培回路 L,可得：
B dl L
B2R
oN
I
B onI R1 R R2
n N / 2R
n 为单位长度上的匝数。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。
2、证明
(1)包围载流直导线的圆回路,回路平面垂直于导线
B 0I 2r
B dl Brd
l
B
dl
l
Bdl
l
0I 2r
rd
0I
L d
B
I
dl
若回路方向与电流方向不服
从右手螺旋法则:
B dl Bdl 0I
l
l
I l
电流为负
(2) 围B绕B载drld流导B线d的l0cI任ods一 回路.回路L平面垂I 直于dl导B线 d
安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系 列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速 发展。1827年他首先推导出了电动力学的基 本公式，建立了电动力学的基本理论，成为 电动力学的创始人。
一、安培环路定理
1、内B 容
在真空中的稳恒电流磁场中，
磁感应强度沿任何闭合回路L
的线积分，等于穿过这回路的
所有电流强度代数和的μ0倍.
令 B1 , B2 Bnk分别
为单根导线产生的磁场
I1
L Ink
Ii
L Bi dl 0Ii
in
L Bi dl 0
in
LB dl
L ( Bi ) dl i
L Bi dl i
o Ii L内
思考:若电流被L回路包围了n次.则B的环流是多少?
B dl 0nI
L
注意:1.若环路内穿过的电流代数和为零,不能由
I
B
rL
dB
dB'
dB''
2.r<R 时：穿过积分回路L的
电流为
I
I I r2 R2
B 2r 0I
0Ir 2
R2
B 0Ir 2R2
B
0R r
例3、求载流无限长直螺线管内任一点的磁场.单位长度匝数为n.
解:由于是密绕，每匝为视
为圆线圈。分析知管内磁
场方向平行于轴线.
I
B Bzzˆ
2
LB
dl
L
oI 2
d
oI
(3)回路不包围载流导 线，回路平面垂直于导线
B1 dl1 B2 dl2
0I (d d) 0 2
B dl 0
L
L B2
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dl2
B1 dl1
d
(4)回路包围多根载流导线
I n1
设有n个电流Ii穿过回路L(1≤i≤n),
k个电流Ii不穿过回路L ，n<i≤n+k
I
dB
dl '' dB'
dB''
dl '
B
r
例2:试求一均匀载流的无限长圆柱导体 内外的磁场分布。设圆柱导体的半径为 R，通以电流I
解：此电流体系磁场具有轴对称,取以轴
线为中心、半径为r的圆作为积分回路L
LB dl LBdl 2rB
1. r>R 时：
I I, B 2 r 0I
B 0I 2r
§3. 安培环路定理(Ampere
circuital theorem)
安培 (Ampere, 1775-1836)法国物理学家，
电动力学的创始人。1805年担任法兰西学院 的物理教授，1814年参加了法国科学会， 1818年担任巴黎大学总督学，1827年被选为 英国皇家学会会员。他还是柏林科学院和斯 德哥尔摩科学院院士。
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
同理可求得 B 0 R R1
螺绕环管外磁场为零。
L P
Or
例5.一无限大导体薄平板通有均匀的面电流密度(即通过与 电流方向垂直的单位长度的电流)，大小为j。求平面外磁 场的分布
j
B dl1
dl2
dB1
B
P
dB dB2
解：作矩形闭合回路abcda
B dl B dl B dl
I
此判断环路上的B为零；
2.若环路上的B处处为零,只能说明环路内电 流
代数和为零；不能由此得出环路内无电流.
L
二、安培环路定理的应用
1.分析磁场的对称LB性.若dl具有对o称L性内 ,I可i 用环路定理求解；
2.过场点选取合适的闭合回路 3.计算B的环流及闭合回路内包围的电流代数和 4.最后由安培环路定理求出磁感应强度。
度方向垂直于纸面向外,电流
密度大小为
j
I
(R2 a2)
补偿法：设想在空洞里同时存在
密度为 j和 j 的电流
R aP
O
b
a.对半径为R的无限长载流导体
B1
0 2 R2
R2
j(a
b)
0(a b) j
2
b.对半径为a的无限长载流圆柱体
B2
0 2a
a 2
j
0a
2
j
方向如图
BP
B1 B2
0a b
2
j
0a
2
j
0b
2
j
0bI 2 (R2 a2 )
B1
R aP
方向竖直向上
O
b
B2
(2)对空腔内的点:
B
0 Ir 2 R2
0 jr
2
,r
R
B
0
J
r
B1
ROr·b1o··1r2
LB dl
o Ii L内
I2 I1
L
I3
LB dl o (I1 I3)
符号规定：穿过回路L的电流方向与L的环绕方向 服从右手关系时 I为正，否则为负。
说明:
•安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。 •B的环流与仅与闭合路径内电流代数和有关,而与电流在其中的 分布位置无关，但路径上磁感应强度B是闭合路径内外的电流共 同产生。 •安培环路定理的物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。
例1、求无限长圆柱面电流的磁场
分布(半径为 R )
解:分析场结构：有轴对称性
以轴上一点为圆心，取垂直于轴
的平面内半径为 r 的圆为安培环路
LB dl 2rB oI
r R : I 0, B 0
r R : I I , B oI 2r
无限长圆柱面电流外面的磁场与电流 都集中在轴上的直线电流的磁场相同