第十二讲 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题(二)
第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
第二章 第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课下练兵场一、选择题1.(2019·广东高考)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( ) A.(－∞，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2，＋∞) 解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2. 答案：D2.已知函数f(x)的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 ( ) A.－1 B.0 C.1 D.±1 解析：可以求出f (x )＝x 4－2x 2＋c ，其中c 为常数.由于f (x )过(0，－5)，所以c ＝－5，又由f′(x )＝0，得极值点为x ＝0和x ＝±1.又x ＝0时，f (x)＝－5，故x 的值为0. 答案：B3.若函数f (x )＝ax 3－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A.a ＜1 B.a ≤1 C.0＜a ＜1 D.0＜a ≤1 解析：∵f ′(x )＝3ax 2－3，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立.若a ≤0，显然有f ′(x )＜0；若a ＞0，由f ′(x )≤0x 1，∴0＜a ≤1，综上知a ≤1.答案：B4.若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是先增后减的函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )解析：依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是先增后减的函数，则在f (x )的图象上，各点的切线的斜率先随x 的增大而增大，然后随x 的增大而减小，观察四个选项中的图象，只有选项C 满足要求. 答案：C5.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为 ( )A [211,22e π] B(211,22e π) C[ 21,e π] D(21,e π)解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是[0，π2]上的增函数，∴f (x )的最大值为f (π2)＝212e πf (x )的最小值为f (0)＝12，∴f (x )在[0，π2]上的值域为[211,22e π]答案：A6.已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则 ( )A.f (1)<f (2)<f (3)B.f (2)<f (3)<f (1)C.f (3)<f (2)<f (1)D.f (3)<f (1)<f (2) 解析：由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈(－π2，π2)时，f ′(x )＝1＋cos x >0恒成立， 所以f (x )在(－π2，π2)上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2). 答案：D二、填空题7.f(x)＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为 . 解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x)＝3x 2－8x ＋4， 令f′(x )＞0⇒x ＜23或x ＞2，f ′(x )＜0⇒23＜x ＜2，故函数在⎝⎛⎭⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在e a 223⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴x ＝2是极小值点.故c ＝2不合题意，c ＝6. 答案：6 8.若函数f (x )＝2x x a+ (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为 . 解析：f′(x )＝22222222,()()x a x a x x a x a +--=++当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意. ∴f (x )ma x ＝f (1)＝11a +＝33，a ＝3－1. 答案：3－19.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数.以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是 .(把你认为正确的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1； ④f (x )＝x e x .解析：对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，x ∈(0，π2)时，f ″(x)<0恒成立； 对于②，f″(x )＝－21x ，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立；对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立；对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x 在x ∈(0，π2)时f ″(x )>0恒成立，所以f (x )＝xe x 不是凸函数. 答案：④ 三、解答题10.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围. 解：(1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a ). 由已知a >1，∴2a >2，∴令f ′(x )>0，解得x >2a 或x <2，∴当x ∈(－∞，2)∪(2a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(2,2a )时，f (x )单调递减.综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)是增函数，在区间(2,2a )是减函数. (2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值. f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ＝－43a (a －6)(a ＋3)，f (0)＝24a .解得1<a<6.故a 的取范围是(1,6). 11.已知函数f (x )＝ln x －ax. (1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值.解：(1)由题得f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2.∵a>0，∴f′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x )＝2x ax ， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去).②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数，∴f (x )min ＝f (e)＝1－e a ＝32，∴a ＝－e2(舍去).③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a . 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数，∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32⇒a ＝－e .综上可知：a ＝－ e.12.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a (3≤a ≤5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x (9≤x ≤11)元时，一年的销售量为(12－x )2万件.(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a ). 解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为： L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]. (2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x ).令L ′(x )＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去).∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′的值由正值变负值.所以，当8≤6＋23a ≤9，即3≤a ≤92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )； 当9＜6＋23a ≤283，即92＜a ≤5时，L max ＝L (6＋23a )＝(6＋23a －3－a )[12－(6＋23a )]2＝4(3－13a )3，399(6)3,2()194(3)532a a Q a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤即当3≤a ≤92时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )万元；当92＜a ≤5时，当每件售价为(6＋32a )元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4(3 －13a )3万元.。
浅谈导数在实际生活中的一些应用
浅谈导数在实际生活中的一些应用
导数是分析学的重要概念，它可以帮助我们深入研究函数的性质及其变化情况。
其中最重要的是：它可以帮助我们求函数的增减趋势，而增减趋势和曲线形状联系紧密，可以为求最值提供有力的支持。
因此，导数（例如求最值问题）在实际生活中有许多重要的应用。
（1）导数在经济学中有着广泛的应用，从投资策略到税制设计都离不开它。
例如：利润最大化问题，可以使用导数（求利润函数的导数为零）；关于税制设计，可以根据函数的导数的特点来制定出最优的策略等。
（2）在多元函数极值优化中，可以使用多元导数来定位函数极值。
例如：设计种植结构时，可以使用多元导数求一个准确的极值点。
（3）导数在物理学中也有广泛的应用，例如：求力矩与角度的关系，由导数可以轻松求出最大力矩角度；求流体压力场、温度场等，均可以利用导数研究局部变化情况，从而有效地分析问题。
浅谈导数在实际生活中的应用
浅谈导数在实际生活中的应用什么是导数在数学中，导数是用来描述函数变化率的工具。
它可以帮助我们理解函数的斜率、曲率和变化速度等特性。
在导数的定义中，我们可以把它看做是一个具体的数值，表示某一时刻下函数的变化速率。
在实际应用中，导数可以帮助我们实现很多有用的功能，如优化算法、物理学、经济学、工程学等等领域。
以下是一些常见的导数应用。
导数在经济学中的应用经济学是应用导数最广泛的领域之一。
它可以帮助我们理解市场趋势、价格变化和供需关系等问题。
例如，在制定经济政策时，经济学家可以使用导数来帮助预测货币价值的变化趋势。
另外，在企业中，经济学家还可以利用导数帮助企业预测市场变化，优化生产流程，减少成本。
例如，在销售预测中，我们可以利用导数来找到每个产品的最优销售点，然后制定相关策略来提高销售额。
导数在物理学中的应用物理学家也经常使用导数来描述物体的变化。
例如，在运动学中，我们可以使用导数来求出物体的速度和加速度。
这些信息可以帮助我们理解物体的运动轨迹、能量消耗、碰撞等问题。
在量子力学中，导数也经常被用来表示波函数的变化。
波函数是用来描述量子系统的概率分布的函数。
它可以帮助我们理解粒子的位置、速度和能量等属性。
导数在工程学中的应用工程学包括很多不同的领域，如机械工程、电气工程和化学工程等。
在这些领域中，导数可以帮助我们优化设计和提高性能。
例如，在机械工程中，我们可以使用导数来设计出更优秀的机器人和汽车等设备。
在电气工程中，我们可以使用导数来分析电路中的电流和电势等问题。
这些信息可以帮助我们理解电器设备的性能和安全性。
导数在日常生活中的应用导数也可以用来解决日常生活中的问题。
例如，在交通规划中，导数可以帮助我们理解交通流量和车速的关系。
在物流管理中，导数可以帮助我们找到最短路径和最优路线来降低成本。
在健身领域中，导数可以用来设计更合理的锻炼计划，帮助我们快速达成身体健康的目标。
总结综上所述，导数在实际生活中的应用非常广泛。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例_OK
(1)若f(x)在(0,+∞)内为单调函数，求p的取值范围； （2）当p≠0时，过点（1，0）作曲线y=f(x)的切线能作三条， 求p的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=px2-2x+p,x∈(0,+∞). ①p=0时,f′(x)=-2x<0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递减.∴p=0.
②p>0时,f′(x)的对称轴为x= ∈(0,+∞),
(1)求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式；
（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求
此时运输成本的最小值. 【解析】（1）Q=P·400
v
=
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=
=
(2)Q′= v-25v, 16
令Q′=0,则v=0（舍去）或v=80,
当0＜v＜80时，Q′＜0.
当80＜v≤100时，Q′＞0,
当a<0时，函数在(-∞,- ］上1 递减，
3a
在(- ,1)上递1增，在（ ,+∞）上1 递减，故当x取
3a 3a
3a
别取得1 极大值1和极小值，故选D.
3a
3a
,- 时分
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二、填空题（每小题3分，共9分）
6.函数y=2x3-2x2在区间［-1,2］上的最大值是____.
【解析】令y=f(x)=2x3-2x2, 则由f′(x)=6x2-4x=0.得x=0或x= . 2
∴当x=0时,f(x)max=m.∴m=3, 从而f(-2)=-37，f(2)=-5.∴最小值为-37.
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4.已知函数f(x)=ax3+bx2+c，其导函数
导数及其应用生活中的优化问题举例
模型参数设置
为预测模型设置合适的参数，以便进行模型训练和预测。
模型训练和优化
使用历史数据训练预测模型，并不断优化模型参数，以提高预测准 确性。
时间序列预测模型的检验与应用
模型检验
使用独立的验证数据集评估预测模型的性能，比较实际值与预测值的差异。
导数及其应用生活中的优化 问题举例
2023-11-08
contents
目录
• 导数的定义与计算 • 导数在生活中的应用 • 导数在优化问题中的应用举例 • 导数在最优问题中的应用 • 导数在时间序列预测中的应用 • 导数在其他领域的应用举例
01
导数的定义与计算
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数描述了函数在该点的变化率。
通过运用导数，企业可以找到运营成本的最优解，以 降低企业的运营成本。
在最小成本问题中，企业需要通过对运营成本的分析 ，寻找降低成本的途径。导数方法可以通过对成本函 数进行求导，找到成本最低的运营方案。例如，在物 流行业中，通过优化运输路线和装载方式可以降低运 输成本。
04
导数在最优问题中的应用
最优路径问题
模型应用
将经过验证的预测模型应用于实际时间序列数据的预测，为决策提供支持。
06
导数在其他领域的应用举 例
工程领域：结构优化设计、强度分析等
结构优化设计
在航空航天、建筑等领域，结构优化设计是至关重要的。导数可以帮助我们更好地理解结构的形状、尺寸和材料 等参数对结构强度、刚度和稳定性的影响，从而优化设计。例如，通过有限元分析方法，利用导数求解结构中的 应力、应变分布，进一步优化结构设计。
高考数学总复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件 新人教A版
2．极值点一定是最值点这句话对吗？ 提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局 部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的
情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值
不一定是最值，最值点也不一定是极值点．
四、生活中的优化问题
由f′(x)＞0，得x＞2或x＜0， 故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 由f′(x)＜0，得0＜x＜2， 故f(x)的单调递减区间是(0,2)．
(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x
求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)由已知f′(x)＝3x2－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． 又∵3x2≥0，∴只需a≤0. 又∵当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0， 即f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， 得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． ∵－1＜x＜1，∴3x2＜3，∴只需证a≥3. 当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)， 在x∈(－1,1)上，f′(x)＜0，即f(x)在(－1,1)上为减函数， ∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
2．可导函数极值存在的条件
(1)可导函数的极值点 x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0 时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极 值点． (2) 可导函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0) ＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
导数在实际生活中的最优化应用
导数在实际生活中的最优化应用在我们的实际生活中，数学知识的应用无处不在，许多领域都与数学密切相关，如经济领域、医学领域、工业领域、天文领域、工程领域等。
数学中的导数知识是在实际生活中应用比较广泛的。
本文就对实际生活中导数最优化应用的相关问题进行分析和探讨。
标签：导数；实际生活；最优化应用一、引言将数学知识与实际生活进行结合，可以更好地让人们理解一些较难掌握的知识点、公式以及定理等，是提高人们应用数学知识能力的关键。
导数作为数学知识的重要内容之一，其本身具有强大的实际应用价值，在一些生产和生活领域中，导数的应用可以高效地解决对最大值、最小值以及最优化等问题。
本文对导数知识加以理解和应用，真正将其深入到实际生活中，就具体最优化问题进行科学的解决的相关问题。
二、导数知识概念的有关分析导数是指一个函数的因变量对于自变量的变化率，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。
在高等数学微积分中，导数一直是其中一个关键且重要的概念，本身具有较强的基础性特点。
早在十七世纪，导数是作为一个新概念由著名的数学家费马所研究并提出的。
在当时，导数本身主要应用于对函数极值的求解上（最大值与最小值），其相关概念还不够完善和系统。
在十七世纪后期，生产力水平的提高也极大地推动了科学技术的发展，很多著名的数学家对微积分进行了系统性的研究，并且对导数的概念也重新进行了定义。
对于社会生产和科学技术的发展来说，导数本身是一个重要的数学知识。
对于实际生活中的很多问题和很多事物之间的数量关系，很难利用一个数值来进行精确表示，这对于相关研究工作来说具有很大的影响。
通过导数的应用，可以将导数其中的变化率，从而解决了很多问题，因此导数在诸多领域中都得到了全面利用。
例如，在物理领域瞬时速度研究、经济领域中变化率问题、统计领域人口增长率等多方面内容的研究上，导数的应用都获得了很大的成效。
对于一个函数来说，如果其本身存在导数，那么这个函数本身就是可微分的，也就是可导的，这是解决一些实际生活中最优化问题的前提。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
高二数学课件：第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
最大年利润的年产量为_________. (2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成
梯形的周长 两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值是
2
梯形的面积
_________.
【解析】(1)y′=-x2+81,令y′=0得
x=9或x=-9(舍去)，当x＜9时y′＞0；
当x＞9时y′＜0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值；
a>0,增区间是 (-∞,+∞) ___________ a<0,减区间是 (-∞,+∞) ___________
无
无
一个零点 x=w
无
F(x) 性质 性质 内容 分类 F′(x) 零点情况
F(x)
单调区间 a>0,减区间是 (u,v) 增区间是 ______,
极值 当x=u时，F(x)取
极大值,当x=v时，
2 2 1 2 x x
(2)①f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b，
f 1 a 1 c, 由已知可得 解得a=b=3. g 1 1 b c, 2a 3 b，
2 a ②令F(x)=f(x)+g(x)= x ax x 1， 4 2 F′(x)= 3x 2 2ax a ，令F′(x)=0，得 x1 a ， 2 4 a x2 , 6 3 2
4.三次函数F(x)的单调区间和极值 设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则F′(x)=3ax2+2bx+c.
F(x) 性质 性质 内容 分类 F′(x) 零点情况 F(x)
单调区间
a>0,增区间是 (-∞,+∞) ___________
第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
第二章 第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课下练兵场一、选择题1.(2009·广东高考)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( ) A.(－∞，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2，＋∞) 解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2. 答案：D2.已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 ( ) A.－1 B.0 C.1 D.±1 解析：可以求出f (x )＝x 4－2x 2＋c ，其中c 为常数.由于f (x )过(0，－5)，所以c ＝－5，又由f′(x )＝0，得极值点为x ＝0和x ＝±1.又x ＝0时，f (x )＝－5，故x的值为0. 答案：B3.若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A.a ＜1 B.a ≤1 C.0＜a ＜1 D.0＜a ≤1 解析：∵f ′(x )＝3ax 2－3，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立.若a ≤0，显然有f ′(x )＜0；若a ＞0，由f ′(x )≤0x ≥1，∴0＜a ≤1，综上知a ≤1.答案：B4.若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是先增后减的函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )解析：依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是先增后减的函数，则在f (x )的图象上，各点的切线的斜率先随x 的增大而增大，然后随x 的增大而减小，观察四个选项中的图象，只有选项C 满足要求. 答案：C5.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为 ( )A [211,e 22π] B(211,e 22π)C[ 21,e π] D(21,e π)解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是[0，π2]上的增函数，∴f (x )的最大值为f ( π2 )＝21e 2πf (x )的最小值为f (0)＝12，∴f (x )在[0，π2]上的值域为[211,e 22π]答案：A6.已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则 ( )A.f (1)<f (2)<f (3)B.f (2)<f (3)<f (1)C.f (3)<f (2)<f (1)D.f (3)<f (1)<f (2) 解析：由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈(－π2，π2)时，f ′(x )＝1＋cos x >0恒成立， 所以f (x )在(－π2，π2)上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2). 答案：D二、填空题7.f(x)＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为 . 解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x)＝3x 2－8x ＋4， 令f′(x )＞0⇒x ＜23或x ＞2，f ′(x )＜0⇒23＜x ＜2，故函数在⎝⎛⎭⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在223⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴x ＝2是极小值点.故c ＝2不合题意，c ＝6. 答案：6 8.若函数f (x )＝2x x a+ (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为 .解析：f′(x )＝22222222,()()x a x a x x a x a +--=++当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意. ∴f (x )ma x ＝f (1)＝11a +＝33，a ＝3－1. 答案：3－19.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数.以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是 .(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sin x ＋cos x ； ②f(x)＝ln x －2x ； ③f(x)＝－x 3＋2x －1； ④f(x)＝xe x .解析：对于①，f ″(x )＝－(sin x ＋cos x )，x ∈(0，π2)时，f ″(x)<0恒成立； 对于②，f″(x )＝－21x，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立； 对于③，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)时，f ″(x )<0恒成立；对于④，f ″(x )＝(2＋x )·e x 在x ∈(0，π2)时f ″(x )>0恒成立，所以f (x )＝x e x 不是凸函数. 答案：④ 三、解答题10.(2009·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围. 解：(1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a ). 由已知a >1，∴2a >2，∴令f ′(x )>0，解得x >2a 或x <2，∴当x ∈(－∞，2)∪(2a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(2,2a )时，f (x )单调递减.综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)是增函数，在区间(2,2a )是减函数. (2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值. f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ＝－43a (a －6)(a ＋3)，f (0)＝24a .解得1<a<6.故a 的取范围是(1,6). 11.已知函数f (x )＝ln x －ax. (1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值.解：(1)由题得f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2.∵a>0，∴f′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x )＝2x ax ， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去).②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－e a ＝32，∴a ＝－e2(舍去).③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a . 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数，∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32⇒a ＝－e .综上可知：a ＝－ e.12.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a (3≤a ≤5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x (9≤x ≤11)元时，一年的销售量为(12－x )2万件.(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a ). 解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为： L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]. (2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x )＝(12－x )(18＋2a －3x ).令L ′(x )＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去).∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′的值由正值变负值.所以，当8≤6＋23a ≤9，即3≤a ≤92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )； 当9＜6＋23a ≤283，即92＜a ≤5时，L max ＝L (6＋23a )＝(6＋23a －3－a )[12－(6＋23a )]2＝4(3－13a )3，∴399(6) 3,2()194(3) 532a a Q a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤即当3≤a ≤92时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )万元；当92＜a ≤5时，当每件售价为(6＋32a )元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4(3 －13a )3万元.。
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第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例1.(2009·广东高调递增区间是说明( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 解析：f (x )＝(x －3)·e x ，f ′(x )＝e x (x －2)＞0， ∴x ＞2.∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：D2.若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 ( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 解析：因为h ′(x )＝2＋k x 2，所以h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)． 答案：A3．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调减区间为________． 解析：根据题意a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx ， 令y ′＜0，可得x ＞0或x ＜－2b3a ，故所求减区间为(－∞，－2b3a )和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2b3a)和(0，＋∞)4．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)．若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求： (1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间． 解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax －9 ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23.即当x ＝－a 3时，f ′(x )取得最小值－9－a 23.因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9.解得a ＝±3，由题设a <0，所以a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1， f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－1)上为增函数； 当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－1,3)上为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．5.(文)函数f (x )＝x 3a ＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意有f ′(－3)＝0，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，由此解得a ＝5. 答案：D(理)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1e D ．a ＜－1e解析：由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )＞0⇒－a ＞1⇒a ＜－1. 答案：A6.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0.解之得－2＜a ＜2. 答案：A7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈[－π2，π2]的最大值是________，最小值是________．解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f (－π6)＝－32＋π6，f (π6)＝32－π6，端点f (－π2)＝π2，f (π2)＝－π2，所以y 的最大值是π2，最小值是－π2.答案：π2 －π28．(文)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值， (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0. ① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0. ② 由①②解得a ＝2，b ＝－4. 设切线l 的方程为y ＝3x ＋m . 由原点到切线l 的距离为1010，则|m |32＋1＝1010， 解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1. 由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5； (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23.f (x )和f ′(x )的变化情况如下表：Z]Z在x ＝23处取得极小值f (23)＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.(理)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx －2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y ＝5x －10. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝f (x )＋13mx ，若g (x )的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g (x )取得极值时对应的自变量x 的值．解：(1)由已知，切点为(2,0)，故有f (2)＝0，即4b ＋c ＋3＝0. ① f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由已知，f ′(2)＝12＋8b ＋c ＝5.得8b ＋c ＋7＝0. ② 联立①、②，解得c ＝1，b ＝－1， 于是函数解析式为f (x )＝x 3－2x 2＋x －2. (2)g (x )＝x 3－2x 2＋x －2＋13mx ，g ′(x )＝3x 2－4x ＋1＋m3，令g ′(x )＝0.当函数有极值时，Δ≥0，方程3x 2－4x ＋1＋m3＝0有实根，由Δ＝4(1－m )≥0，得m ≤1.①当m ＝1时，g ′(x )＝0有实根x ＝23，在x ＝23左右两侧均有g ′(x )＞0，故函数g (x )无极值．②当m ＜1时，g ′(x )＝0有两个实根， x 1＝13(2－1－m )，x 2＝13(2＋1－m )，当x 变化时，g ′(x )、g (x )的变化情况如下表：Z ] Z当x ＝13(2－1－m )时g (x )有极大值；当x ＝13(2＋1－m )时g (x )有极小值．9.已知对任意实数x ，x >0时， f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时 ( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析：由题意知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数．当x ＞0时，f (x )，g (x )都单调递增，则当x ＜0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )＞0，g ′(x )＜0. 答案：B10．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x ＞400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 解析：由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ， 所以总利润函数为 P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x ＞400)，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x ＞400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大． 答案：D11．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( ) 解析：对于图A 来说，抛物线为函数f (x )，直线为f ′(x )；对于图B 来说，上凸的曲线为函数f (x )，下凹的曲线为f ′(x )；对于图C 来说，下面的曲线为函数f (x )，上面的曲线f ′(x )．只有图D 不符合题设条件． 答案：D12．(2019·南通模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值，(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 解：(1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′(－23)＝129－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，函数f (x )的单调区间如下表：Z]Z所以函数f (x )的递增区间是(－∞，－23)与(1，＋∞)，递减区间(－23，1)；(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f (－23)＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )＜c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2＞f (2)＝2＋c ，得c ＜－1，或c ＞2.。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。
下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。
首先，导数可以用来求函数的最值。
在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。
例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。
在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。
其次，导数可以用来求函数的图像特征。
函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。
我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。
例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。
进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。
此外，导数还可以用来进行近似计算。
在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。
然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。
也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。
这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。
最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。
函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。
通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。
例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。
总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。
通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
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第十二讲 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题（二）
课前自测：
1、设函数32()(0)0f x x ax bx c f =+++=且为函数的极值，则有（ ）
A.0c ≠
B. b =0
C.当a >0时，f (0)为极大值
D. 当a < 0时，f (0)为极小值
2、若函数23()32
x ax f x x =-+在[1,)+∞上为递增函数，则实数a 的取值范围__________.
3、已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）
（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+ 考点方向：
1、应用导数研究函数单调性；
2、应用导数研究函数的极值；
3、应用导数研究函数的最值； 注意：逆向问题、含参数问题的解决方法
典型例题：
例1、已知函数3
()1f x x ax =--
（1）若函数()f x 在实数集上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，使()f x 在（—1,1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围； 若不存在，说明理由.
（3）证明：3()1f x x ax =--的图像不可能总在直线y =a 的上方.
例2、设函数22()21,(,0)f x tx t x t x R t =+++-∈>
（1）求函数()f x 的最小值；
（2）若()2h t t m <-+对(0,2)t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
例3、已知函数21()(1)ln ,12
f x x ax a x a =-+-> （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有
1212
()()1f x f x x x ->--。
例4、（2010山东理数）已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+
-()a R ∈.当12
a ≤时，讨论()f x 的单调性；
例5、（2010全国卷2理数）设函数()1x
f x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥
+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x f x ax ≤
+，求a 的取值范围．
作业：
1、（2010天津文数）设函数f(x)=x-
1x ,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________
2、已知：a R ∈，2()(4)()f x x x a =--.
（1）若'(1)0f -=，求函数()f x 在[-2，4]上的最大值和最小值；
（2）若函数()f x 在(,2],[2,)-∞-+∞上都是递增的，求a 的取值范围.
3. 已知()c x bx ax x f +-+=223在2-=x 时有极大值6，在1=x 时有极小值，
求c b a ,,的值；并求()x f 在区间[－3，3]上的单调区间和最大值和最小值.
4、（2010全国卷2文数） 已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间；
（Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。
5、（2010江西理数）设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。
（1）当a=1时，求()f x 的单调区间。
（2）若()f x 在(]01，上的最大值为
12
，求a 的值。