2010年苍南县姜立夫杯数学竞赛

2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛
高二试卷
考生注意事项：
本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.
答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效. 本卷解答一律不准使用计算器.
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1．已知：b a ,为实数，则“a ＞b ”是“
a 1＜b
1
”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
2．)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意R x ∈总有)()27(x f x f -=+，则)2
7(-f 的值为
（ ）
A ．0
B ．7
C ．
27 D ．-2
7 3．0
2
2
120cos 41cos 79cos 241cos 79cos ⋅⋅⋅-+的值为 （ ） A ．
41 B ．31 C ．21 D ．4
3
4．经过点P （-1，1）引直线l 交两坐标轴于A 、B ，且∆AOB 的面积为3（O 为原点），若这样的直线l 共有n 条，则n= （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯
视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和b 的线段，则b a +的最大值为 （ ）
A ．52
B ．4
C ．32
D ．22 6．函数x x y 3247-+-=
的值域为 （ ）
A ．[1，2]
B ．[0，2]
C ．[1，3]
D ． (]
3,0
7．把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则能构成三角形的概率为 （ ） A ．
41 B ．21 C ．43 D ．5
4 8．已知：集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数N M f →:，若点A （1，)1(f ），B （2，)2(f ），C （3，
)3(f ），∆ABC 的外接圆圆心D ，且DA+DC=λDB （R ∈λ），则满足条件的函数)(x f 有
→ → →
（ ）
A ．6个
B ．10个
C ．12个
D ．14个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分，请将正确的答案填在横线上）
9．已知：∆ABC 三个顶点的坐标为A （-2，1），B （6，1），C （-2，16），则∆ABC 的内切圆方程为 . 10．已知：6
9
222++m
是一个平方数，则正整数m = . 11、设45)co s 1)(sin 1(=
++θθ，k n
m
-=
--)cos 1)(sin 1(θθ，其中n m k ,,都是正整数，n m ,互质，则n m k ++= .
12．在直角坐标系中，如果两点A （b a ,），B （b a --,）在函数)(x f y =的图象上，那么[A ，B]为函数)(x f 的一组
关于原点的中心对称点，（[A ，B]与[B ，A]看作一组），函数⎪⎩⎪⎨⎧+=),
1(log ,
2
cos )(2010x x x g π
关于原点的中心对称点的组数为 .
13．如果集合A 、B 、C （其中可以有相同）的并集C B A U U ={1，2，3，4}，那么有序的三元集合组（A ，B ，C ）的个数为 . 14．设正项数列{n a }满足
11
112
121=++⋅++++n n n n n n a a a a a a （*N n ∈）
，631=+a a ，321,,a a a 单调递增且成等比数列，n S 为{n a }的前n 项和，记[x ]为不超过x 的最大整数，则[2008S ]= .
2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛
高二答题卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分，请将正确的答案填在横线上） 9． 10． 11． 12． 13． 14．
三、解答题（本大题共3小题，第15题、16题各10分，17题12分，满分32分，要求写出必要的解答过程） 15．已知：3)3
(cos 32)3
cos()3
sin(2)(2--
+-
-
=π
π
π
x x x x f
（1）求)(x f 的最大值及取得最大值时相应的x 的值. （2）若函数a x f y -=)2(在区间[0，4
π
]上恰有两个零点1x ，2x ，求)tan(21x x +的值.
x ≤0 x ＞0
16．在数列{n a }中，已知1a =2，n n n a a a 2)1(1=++ （1）求数列{n a }的通项公式.
（2）记*))(1(N n a a b n n n ∈-⋅=，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证n T ＜3.
17．已知：集合A={811610|),(22+--+y x y x y x ＜0}，B={y y x |),(≥8||+-t x } （1）若A ∩B ≠φ，求实数t 的取值范围.
（2）设点P （8,t ）∈A ，集合A 、B 所表示的两个平面区域的边界相交于点M ，N ，求PN
PM 11+的最小值.
2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二卷答案
一、选择题：DADD BAAC 二、填空题：
9．9)4()1(22=-+-y x 10．10 11．27
12．1004 13．2401 14．5352 三、解答题：
15解：（1）)3
2sin(2)(π
-
=x x f
当2
23
2π
ππ
+
=-
k x ， 12
5π
π+
=k x )(Z k ∈时 )(x f 的最大值为2…………………………………………………………5分
（2）a x a x f y --
=-=)3
4sin(2)2(π
结合图像可知：ππ
π
=-
+-
3
43
421x x
π12
5
21=
+x x 32)tan(21+=+∴x x …………………………10分 16解：（1）由已知可得：n a ＞0 )11
(21111-=-+n
n a a
1
1)21()11(11-⋅-=-n n a a 122-=∴n n n a …………………………6分
（2）2
2
121
)
12(2)1(2
-+=-=-=n n n
n
n n n a a b ＜221-n ≤
1
12
1
221--=-n n n （n ≥2） ++=∴21b b S n …n b +＜+++221212…121-+n 12
1
3--=n ＜3…………12分
17、解（1）集合A={22)8()5(|),(-+-y x y x ＜8}
当射线8+-=t x y （x ≥t ）与圆8)8()5(22=-+-y x 相切时 可得1=t 或9，9=t （舍去）；
当射线8+-=x t y （x ≤t ）与圆8)8()5(22=-+-y x 相切时 可得1=t 或9，1=t （舍去）；
t ∴的范围为1＜t ＜9……………………………………………………6分
（2）如图：设集合A 所表示的圆与x 轴平行的直径为CD ，MP 的延长线与圆的另一个交点为N /
则PN PM 11+≥PD PC PN
PM PN PM ⋅=⋅=⋅222/
≥
2
2
44==+CD PD PC
当5=t 时等号成立 PN PM 11+∴的最小值为22………………12分。