2007苍南县“姜立夫”杯数学竞赛

2007苍南县“姜立夫”杯数学竞赛高二试卷

2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二试卷

考生注意事项：

1．本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.

2．答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号． 3．本卷所有试题都必须用兰色或黑色签字笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效． 4．本卷解答一律不允许用计算器．

一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）

1．已知数列{}n

a 的前n 项和28n

S

n n

=-, 若4＜k

a ＜7,

则k = ( ) A.9 B.8 C.7

D.6

2．设集合S={x |x 2

-5|x |+6=0}, T={x |(a -2)x =2}, 则满足T ⊂ ≠S 的a 的值共有 ( ) A.5 B.4 C.3

D.2 3．已知

,,a b c

为三条不同的直线, 且

,,a M b N M

N c ⊂⊂=平面平面

(1)若a 与b 是异面直线, 则c 至少与a , b 中的一条相交；(2)若a //b , 则必有a //c ；

(3)若a 不垂直于c , 则a 与b 一定不垂直； (4)若a ⊥b , a ⊥c , 则必有M N ⊥. 其中正确的命题的个数是

( ) A.3 B.2 C.1

D.0

4．为使关于实数x 的不等式()

2

121x x a

a a R -+-≤-+∈的

解集是空集, 则实数a 的 取值范围是

( )

A. a ＞1

B. -1＜a ＜0

C.0＜a ＜1

D. 1＜a ＜2

5．在△ABC 中, 如果2

2

2

8a b c +=, 则(B

A tan 1

tan 1+

) tan C 的值等于 ( )

A.72

B.71

C.92

D.9

1 6．若点A(1,3)关于直线y kx =的对称点落在x 轴

上, 则k = ( )

A.33

B.22

C.33或-3

D.

2

2或-2

7．已知x , y 满足

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥+≥+-3006x y x y x , 若z ax y =+的最大值为

39

a +, 最小值为33a -, 则a 的取值范围是

( )

A.a ≤-1或a ≥1

B.0≤a ≤1

C.-1≤a ≤0

D.-1≤a ≤1

8．若()()()sin 232f x x x θθ=++为奇函数, 且在[0,4

π]为增函数, 则

θ

的一个值为

( )

A.32π

B. -

3

π

C.65π

D. -6

π

二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)

9．设向量OA 绕点O 逆时针旋转2

π, 得向量OB , 且2OA +OB =(8, 9), 则向量OB =_____.

10.从3名男生和n 名女生中, 任选3人参加比

赛, 已知3人中至少有1名女生的概率为3534, 则n =______.

11.若sin 2(x +125π)-sin 2(x -12

5π

)= -4

3

, 且x ∈

(43π

,π), 则tan x =_______.

12.设n

a 是(3 +x )n

的展开式中x 项的系数(n =2, 3,

4,… ), 则当n ＞100时, 2

2

3a +3

33a +…+n

n a 3的整数

部分的值为 .

13.若集合A 中的每个元素都可表为1, 2, 3,…,

8中两个不同的数之积, 则集合A 中元素个数的最大值为______

14.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数

3log y x

=的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间

[]

,a b 长度的最大值与最小值的差等于

________.

2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛

高二答题卷

一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)

9. 10.

11. 12.

13. 14.

三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)

15.设a为实数, 且函数()2

=-+-的最

2111

f x a x x x

小值为()

g a.

(1)设11

=+-, 求t的取值范围, 并把()

t x x

f x

表示为t的函数()

m t.

(2)求1()

g的值.

8