机器人鲁棒自适应分散控制

机器人鲁棒自适应分散控制Ξ代　颖 郑南宁 李春来(西安交通大学人工智能与机器人研究所　710049)摘　要　本文提出一种新颖的鲁棒自适应分散控制策略,用于不确定性机器人的轨迹跟踪.该控制器结构非常简单,由一个线性PD 反馈+补偿不确定动力学的非线性自适应反馈构成,能够有效的克服通常难于建模的摩擦力和外部扰动影响,而唯一需要了解的只是各关节输出的位置及速度状态,最后保证全局的渐近稳定.二自由度机器人的仿真证明了该法的有效性.关键词　鲁棒控制,自适应控制,机器人,分散控制,渐近稳定1　引言从1986年,C raig [5]]第一个提出全局收敛的自适应算法至今,已有大量的全局稳定的自适应控制算法在文献中涌现,文献[2]是近年来关于这方面工作的综述.纵观这些控制律,大部分均是集总的控制策略,即必须综合考虑机器人各关节的相互耦合,并基于机器人参数线性分离而得到的回归矩阵(regresso r ),而回归矩阵是关于机器人各关节状态的非线性函数矩阵,其计算是十分复杂和费时的,特别对于高于两个自由度以上的机器人而言,更是如此,因此该法实用性不强.虽然近年来,有所谓基于性能的自适应控制方法[3]],以及采用多项式结构[4]的控制方法提出,但它们一般只能达到全局或局部的一致最后有界,并且其控制结构较为复杂.为了简化控制结构、降低计算复杂度,并对机器人进行解耦,Seraji [7]和Fu [1]分别提出了只针对单个关节的分散控制策略,采用同样的思想,本文提出一种更简单的鲁棒自适应分散控制策略,由一个线性PD 反馈+补偿不确定动力学的非线性自适应反馈构成,能够有效的补偿通常难于建模的摩擦力和外部扰动影响,而唯一需要了解的只是系统输出的位置及速度状态,最后保证全局的渐近稳定.2　机器人的动力学模型及其结构特性考虑由下述二阶非线性微分方程描述的n 自由度旋转关节机器人动力学模型:M (q )q β+H (q ,q α)=Σ∋(q ,q α)=C (q ,q α)q α+G (q )+F d q α+F s (q α)+Σd (q ,q α,t )(1)其中,q 是n ×1关节角向量,M (q )是n ×n 对称正定惯性矩阵,C (q ,q α)q α是n ×1哥氏力和离心力向量,G (q )是n ×1重力向量,F d 和F s 分别是动态摩擦力矩阵和静态摩擦力,Σd (q ,q α,t )是外部扰动.为了导出本文的控制策略,首先需作如下假定.假定1　本文对外部扰动的限制加以放宽,采用文献[1]中的假定,即Σd i (q ,q α,t ) Φd 0i +d 1i q i +d 2i q αi(2)其中d j i ,(j =0,1,2)是未知的正常数,该假定包括执行器内部的未建模动力学;第20卷第3期1998年5月机器人　ROBO T V o l .20,N o .3　M ay,1998Ξ1997-07-07收稿假定2　按照文献[6]中的观察,对旋转关节机器人而言,如果关节长度是有限的,则关节的位置误差是有界的;假定3　给定的机器人期望轨迹q d ,q αd ,q βd 是一致有界的.另外,在本文的理论证明中,将用到以下的几个机器人动力学结构特性.特性1　对特殊选定的哥氏力及离心力矩阵C (・)有[2]x T [M α(q )-2C (q ,q α]x =0 Πx ∈R n(3) 特性2　对(1)式描述的机器人动力学方程可化为形式 M (q )sα+C (q ,q α)s =Σ-△A △A =M (q ,q α)q βr +C (q ,q α)q αr +G (q )+F d q α+F s (q α)+Σd (q ,q α,t )(4)其中,q αr =q αd -Αe ,e =q -q d ,s =e α+Αe ,Α是任选的正对角矩阵,△A 代表集中的系统非线性和不确定性,可以证明有-s T △A Φ2n i =1 s i [Ν0i +Ν1i s i +Ν2i q αi ]Φ2n i =1 s i Νi Θi (5)Νi =m ax (Ν0i ,Ν1i ,Ν2i ),Θi =1+ s i + q αi (6)其中,Ν0i ,Ν1i ,Ν2i 分别代表某个未知的正数,具体的证明如下.证明-s T △A Φ2n i =1 s i [2n j =1( M ij q βrj + C ij q αrj )+ G i + F d i q αi + F si + Σd i ](7)利用旋转关节机器人的惯量矩阵、哥氏力矩阵、重力矩阵及摩擦力项的有界性,代入(2)式,得 -s T △A Φ2n i =1 s i [2n j =1(a i 0 q βrj +a i 1 q αrj 2n k =1q k )+a i 2+a i 3 q i +a i 4 q αi ] =2n i =1 s i [a i 0‖q βr ‖+a i 1‖q αr ‖‖q α‖+a i 2+a i 3 q i +a i 4 q αi ](8)这儿的范数‖・‖指L 1向量范数,显然有‖q α‖Φsup ‖q αd ‖+‖s ‖+Α‖e ‖‖q βr ‖Φsup ‖q βd ‖+Α‖s ‖+Α2‖e ‖‖q αr ‖Φsup ‖q αd ‖+Α‖e ‖(9)利用假定2和假定3,可得-s T △A Φ2ni =1 s i [b i 0+b i 1 q αi +b i 3‖s ‖]≤2n i =1 s i [Ν0i s i +Ν1i q αi +Ν2i ]Φ2n i =1 s i Νi Θi (10) 本文的控制目标是:对于给定的连续有界的期望轨迹q d ,q αd ,q βd ,为参数及结构不确定的机器人,设计一个分散的鲁棒自适应跟踪控制策略,保证系统的输出误差渐近稳定和参数估计一致有界.3　鲁棒自适应分散控制器设计本文设计的控制器采用与文献[1]、[4]相似的控制框架,即所谓的“PD +非线性反馈”控制结构Σi =2k v i e αi -k p i e i -k i (t )s i ,其中s i =e αi +Αi e i ,k i =Αi k v i(11a )k i (t )=(Ν∧i Θi )2∧i Θi s i +Εi 2(t ),其中Ε i =-Χi Εi ,Εi (0)>0(11b )881 机　器　人1998年5月Ν∧ i =Γi Θi s i (11c ) 其中,Ν∧i 是关于机器人各关节集中不确定性上界的限制参数估计,Θi 是机器人各关节集中不确定性上界的包络函数,k v i 和k p i 是线性PD 反馈参数,Χi 和Γi 是自适应增益,均为正的常数.显然,该控制器对每个关节来说,只是单个关节变量的函数,即它是以一种独立的结构对各关节进行控制的,这就是所谓的分散控制.对(11)式的控制结构,有如下的理论.理论　对(1)式描述的机器人系统,采用(11a )～(11c )式的控制律,则整个机器人控制系统是全局渐近稳定的.证明　选用如下的L yap unov 函数V =0.5s T M (q )s +e T k p e +0.5Ν～T Γ-1Ν～+015ΕT Χ-1Ε,其中Ν～=Ν-Ν∧(12)将V 沿系统的跟踪误差模型(4)对时间求导,利用特性1,并经过简单的数学推导可得V Φ-e αT k c e α-e T Αk p e -s T k (t )s -s T △A -Ν～T Γ-1Ν∧-ΕT Ε(13)代入控制律(11a )～(11c ),并利用特性2,经过简单的推导,可得V Φ-e αT k v e αT -e T Αk p e -2n i =1(-s i 2k i + s i Ν∧i Θi -Ε2i )Φ-e αT k v e α-e T Αk p e <0(14)显然e ,e α∈L 2∩L ∞,Ν∧i ∈L ∞,i =1,…,n ,则有Σ∈L ∞,则e β∈L ∞,由B arbalet 引理,可得:li m t →∞e ,e α=0.注1　控制律中,Ν∧i 是关于机器人各关节集中不确定性上界的限制参数估计.可以看出,采用它虽使得控制较为保守,但却简化了控制结构,并大大节省了计算量!注2　如果完全知道机器人的动力学参数,即我们可以知道精确的Νi 参数,则不需自适应律(11c ),我们即可将真实的参数Νi 代入控制律中,则可以得到严格全局指数收敛的结果.但Νi 是关于机器人各关节集中不确定性和非线性的保守估计参数,这样就使得控制量过于保守,容易导致执行器饱和,而采用自适应在线辨识,则可得出相对满意的结果.注3　控制律(11b )中的参数Χi 如果为零,则可得出全局一致最后有界(GU U B )的结果,其证明类似于理论的推导,这里为了简便起见,从略.注4　现存的大多数的自适应控制器[2,3,5],由于无法补偿外界Σd (q ,q α,t )扰动和摩擦力建模的影响,而无法达到全局稳定,而鲁棒控制器[4,8]一般只能达到全局或局部的一致最后有界.本文设计的鲁棒自适应分散控制器,能够补偿外界的不确定性影响,并保证全局渐近稳定.注5　本文设计的控制器最吸引人的地方在于,它对机器人系统仅需了解的是各关节输出的位置及速度状态,而不管机器人本身是否存在大量的不确定性因素,它不需在线的计算回归矩阵,唯独复杂一点的是在线辨识一个关于机器人各关节不确定性上界的标量参数,对于高于两个自由度以上的机器人,其控制结构是十分简单的,因此比现存的其他控制器[2]有着极大的优越性!4　仿真结果为了验证本文设计的控制算法,下面给出一个二自由度旋转机器人的仿真.其动力学模型和参数取自文献[8],为了简便起见,这里省略其具体算式.设摩擦力和外部扰动分别为981第20卷第3期代　颖等:　机器人鲁棒自适应分散控制F d =diag (5,5)　,　F s (q α)=3sgn (q α)　,　Σd (q ,q α,t )=[q α1sin t q α2co s t ]T 期望轨迹为q d 1=sin t +0.1sin3t -0.2sin4t q d 2=011sin2t -0.2sin3t +0.1sin4t初始状态为q 1(0)=q 2(0)=0.5 q α1(0)=q α2(0)=0 Ν∧1(0)=Ν∧2(0)=0控制参数分别为Ε1(0)=Ε2(0)=5, k v 1=k v 2=300, Α1=Α2=10Χ1=Χ2=0.01,　Γ1=Γ2=100 应用四阶R unge 2ku tta 法,取采样时间为1m s ,对该二自由度机器人仿真的结果图1～图4所示.图1　关节位置跟踪误差(rad ) 图2　关节速度跟踪误差(rad sec)图3　参数Ν自适应曲线 图4　关节1与关节2输出力矩曲线图中虚线表示关节1的状态,实线代表关节2的状态.从图中可以看出,本文设计的控制器能够补偿系统所有的不确定性影响,并且在较大的初始误差情况下,保证快速而有效的跟踪.从图4中可见,系统因较大的初始误差,有较大的初始力矩作用.其实,在另外的仿真还可以看到,如果取初始误差为零,就可避免最初时刻的过大控制作用,此处为了简便起见,省略具体的图例.况且,取初始误差为零,对实际的机器人而言,并不是一个很限制性的假定[4].注6　在仿真程序的调试过程中,我们发现,如果控制参数选择不适,系统虽能保证渐近的跟踪,但控制律可能会发生震颤,这从控制律(11b )可以解释,因为时间趋于无穷大时,控制律可能是不连续的,再加计算精度等原因,因此我们必须综合考虑控制参数的选取.5　结论本文提出一种新颖的鲁棒自适应分散控制策略,用于不确定性机器人的轨迹跟踪.该控制器由一个简单的线性PD 反馈+补偿不确定动力学的时变增益非线性反馈构成,能够有效的克服通常难于建模的摩擦力和外部扰动影响,而唯一需要了解的只是各关节输出的位置及速度状态,因此这是一种行之有效的控制算法,而且特别易于编程实现,具有一定的实用性.我们091 机　器　人1998年5月建立的理论和在二自由度旋转机器人上的仿真均证明,本文设计的控制器能够保证全局的渐近跟踪.参　考　文　献1　Fu L i 2Chen .Robust A dap tive D ecentralized Contro l of Robo t M ani pulato rs .IEEE T ransacti ons on A utom atic Contro l ,1992,37(1):106～1102　O rega R ,Spong M W .A dap tive M o ti on Contro l of R igid Robo ts :a T uto rial A utom atica ,19893　Co lbaugh R ,Glass K ,Seraji H .Perfo rm ance 2based A dap tive T rack ing Contro l of Robo t M ani pulato rs .Journal ofRobo tic System s ,1995,12(8):517～5304　D aw son D M ,Q u Z .O n the Global U nifo rm U lti m ate Boundedness of a DCAL 2like Robo t Contro ller .IEEE T ransac 2ti ons on Robo tics and A utom ati on ,1992,8(3):409～4135　C raig J J .A dap tive Contro l of M echanical M ani pulato rs .N ew Yo rk :A ddison 2w esley :19886　L azano R ,B rogliato B .A dap tive H ybrid Fo rce Po siti on Contro l fo r R edundant M ani pulato rs .IEEE T ransacti ons on A u 2tom atic Contro l ,1992,37(10):1501～15057　Seraji H .A dap tive Independent Jo int Contro l of M ani pulato rs :T heo ry and Experi m ent .P roc IEEE Int Conf Robo ticsA utom ati on ,Ph iladelph ia ,1988,PA :854～8618　Spong M W .O n the Robust Contro l of Robo t M ani pulato rs .IEEE T ransacti ons on A utom atic Contro l ,1992,37:1782～1786D ECENTRAL IZED ROBUST ADAPT IVE TRACK ING CONTROLOF ROB OT M AN IPULAT ORSDA I Y ing ZH EN G N ann ing L I Chun lai(Institu te of A I &R obotics ,X i ′an J iaoting U niversity 710049)　Abstract T h is paper p ropo ses a novel decen tralized robu st adap tive con tro l strategy fo r trajecto ry track ingof robo t m an i pu lato rs w ith uncertain ties .T he con tro ller is very si m p le ,and the on ly info rm ati on requ ired insetting up the strategy is the ou tpu t states of each j o in t ,w h ile detailed descri p ti on of the model is no t need 2ed .It is show n by theo ries and si m u lati on s that uncertain effects such as fricti on s and ex ternal distu rbance can be overcom e and global asymp to tic stab ility can be w arran ted .　Key words Robu st con tro l ,adap tive con tro l ,robo t m an i pu lato r ,decen tralized con tro l ,asymp to tic stab il 2ity作者简介　代　颖:26岁,博士研究生.研究领域:机器人自适应控制、鲁棒控制、非线性控制.　郑南宁:46岁,教授,博士导师.研究领域:智能控制、模式识别、图像处理及机器人控制等.　李春来:32岁,讲师,硕士.研究领域:机器人控制、非线性控制、图像处理等.191第20卷第3期代　颖等:　机器人鲁棒自适应分散控制。