高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)第2节对数函数(2)教案新人教A版必修1
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(2)教案新人教A版必修1
湖南省衡阳市高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（2）教案新人教A版必修1一. 教学目标：l.知识与技能(1)进一步掌握对数函数的图象和性质；(2)会利用对数函数的图象和性质解决有关问题；(3)了解底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。
2. 过程与方法(1) 理解对数函数的图象和性质；(2) 能够利用对数函数的图象与性质解决问题；(3) 培养学生数学应用意识．3. 情感.态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；(2)用联系的观点看问题；(3)了解对数在生产、生活实际中的应用．二. 教学重难点1、教学重点：对数函数的图象性质的理解.2、教学难点：对数函数的图象与性质的应用.三.教学准备1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学过程【引入课题】20世纪80年代末，教会用高科技手段澄清了一个历史大悬案，这就是关于耶稣裹尸布真伪的鉴定，鉴定证明了那块使人崇敬了多年的裹尸布是假的，它的原料纤维是十三世纪才种出来的，而此时耶稣已被钉在十字架上1200多年了。
这个轰动世界的年代鉴定是由研究碳14含量做出的。
【课堂探究】（2）对数函数的图象和性质二、图象和性质的应用1、对数函数的图象2、利用对数函数的单调性比较大小点评：两个对数比较大小1.同底数比较大小时(1)当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断;(2)当底数不确定时，应对底数进行分类讨论;2.同真数的比较大小,常借助函数图象或对数的运算性质变形后进行比较；3.若底数、真数都不相同, 则常借助1、0等中间量进行比较。
3.探究：对数函数与指数函数之间的关系4、对数函数在生活中的应用例3.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.【课时小结】1.掌握利用对数函数的性质比较数的大小的方法；2.对数函数单调性的灵活应用；3.对数函数与指数函数互为反函数．【课后作业】P74 习题2.2 A组第9题P75 习题2.2 B组第1题五、板书设计六、课后反思。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)第2节对数函数(4)教案新人教A版必修1
第二节对数函数第四课时整体设计教学分析有了指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成．对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数y ＝log 2x 和y ＝log 12x 的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质．有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a ，作出函数y ＝log a x 的图象，通过改变a 的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质．研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出做一些准备．三维目标1．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实践中的简单应用，培养学生的数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．2．能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用的意识．3．掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．重点难点重点：对数函数的定义、图象和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 难点：底数a 对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．课时安排3课时教学过程第1课时作者：郝云静导入新课思路1.如课本2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t ＝log 5 73012P 估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系t ＝log 5 73012P 都有唯一确定的年代t 与它对应，所以t 是P 的函数．同理，对于每一个对数式y ＝log a x 中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以y 是关于x 的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数及其性质(1)．思路2.我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y ＝2x 表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x 就是细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x ＝log 2y .如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是y ＝log 2x .这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数及其性质(1)． 推进新课新知探究提出问题(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢x 表示的漂洗次数y 的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的164，则至少要漂洗几次？ (2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？(3)为什么对数函数的概念中明确规定a >0，a ≠1?(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤． 活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的34，则每次剩余污垢的14，漂洗1次存留污垢x ＝14，漂洗2次存留污垢x ＝(14)2，…，漂洗y 次后存留污垢x ＝(14)y ，因此y 用x 表示的关系式是对上式两边取对数得y ＝log 14x ，当x ＝164时，y ＝3，因此至少要漂洗3次． (2)对于式子y ＝log 14x ，如果用字母a 替代14，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：函数y ＝log a x (a >0且a ≠1，x >0)叫做对数函数，对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．(3)根据对数式与指数式的关系，知y ＝log a x 可化为a y ＝x ，由指数的概念，要使a y ＝x有意义，必须规定a ＞0且a ≠1.(4)因为y ＝log a x 可化为x ＝a y ，不管y 取什么值，由指数函数的性质a y ＞0，所以x ∈(0，＋∞)，对数函数的值域为(－∞，＋∞)．(5)只有形如y ＝log a x (a >0且a ≠1，x >0)的函数才叫做对数函数，即对数符号前面的系数为1，底数是不为1的正常数，真数是x 的形式，否则就不是对数函数．像y ＝log a (x ＋1)，y ＝2log a x ，y ＝log a x ＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．提出问题(1)前面我们学习指数函数的时候，根据什么思路研究指数函数的性质，对数函数呢？(2)前面我们学习指数函数的时候，如何作指数函数的图象？说明它的步骤．(3)利用上面的步骤，做下列函数的图象：y ＝log 2x ，y ＝log 12x . (4)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？(5)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？(6)把y ＝log 2x 和y ＝log 12x 的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？(7)你能证明上述结论吗？(8)能否利用y ＝log 2x 的图象画出y ＝log 12x 的图象？请说明画法的理由． 活动：教师引导学生回顾需要研究的函数有哪些性质，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画的好的部分学生的图象，同时投影展示课本表23，及图2.21,2.22及2.23，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究对数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体认识．讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．(2)一般是列表、描点、连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象．图1 图2(4)通过观察图1，可知y ＝log 2x 的图象分布在y 轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象经过点(1,0)，当x >1时y >0，当0<x <1时y <0，图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察图2，可知y ＝log 12x 的图象分布在y 轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象经过点(1,0)，当x >1时y <0，当0<x <1时y >0，图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．可以再画下列函数的图象：y ＝log 6x ，y ＝log 16x ，以作比较，重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．定义域：过点(1,0)时，y ＝0x ∈(0,1)时，y <0；∈(1，＋∞)时，y >0x ∈(0,1)时，y >0；∈(1，＋∞)时，y <0(0，＋∞)上是增函数(0，＋∞)上是减函数(6)在同一坐标系中作出y ＝log 2x 和y ＝log 2x 两个函数的图象如图3. 经过仔细研究观察发现，它们的图象关于x 轴对称．图3(7)证明：设点P (x 1，y 1)是y ＝log 2x 上的任意一点，它关于x 轴的对称点是P 1(x 1，－y 1)，它满足方程y ＝log 12x ＝－log 2x ，即点P 1(x 1，－y 1)在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然，所以y ＝log 2x 和y ＝log 12x 两个函数的图象关于x 轴对称． (8)因为y ＝log 2x 和y ＝log 12x 两个函数的图象关于x 轴对称，所以，可以根据y ＝log 2x 的图象，利用轴对称的性质画出y ＝log 12x 的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．下面我们看它们的应用．应用示例例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝log a x 2；(2)y ＝log a (4－x )．活动：学生回忆，教师提示，师生共同完成解题过程．此题主要利用对数函数y ＝log a x 的定义域为(0，＋∞)求解．①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0而不等于1.解：(1)由x 2>0得x ≠0，所以函数y ＝log a x 2的定义域是{x |x ≠0}；(2)由4－x >0得x <4，所以函数y ＝log a (4－x )的定义域是{x |x <4}．点评：该题主要考查对数函数y ＝log a x 的定义域为(0，＋∞)这一限制条件，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.溶液酸碱度是通过pH 刻画的．pH 的计算公式为pH ＝－lg[H ＋]，其中[H ＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．(1)根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H ＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.活动：学生审题，教师巡视，学生展示思维过程．此题主要利用对数及对数函数的性质求解．首先利用对数的运算性质把pH ＝－lg [H ＋]化为pH ＝lg 1[H ＋]，再利用对数函数的性质来说明．解：(1)根据对数的运算性质，有pH ＝－lg[H ＋]＝lg[H ＋]－1＝lg 1[H ＋].在(0，＋∞)上，随着[H ＋]的增大，1[H ＋]减小，相应地，lg 1[H ＋]也减小，即pH 减小．所以，随着[H ＋]的增大，pH 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越大．(2)当[H ＋]＝10－7时，pH ＝－lg10－7，所以纯净水的pH 是7.点评：注意数学在实际问题中的应用．知能训练课本本节练习1.【补充练习】求下列函数的定义域：(1)f (x 2－2)＝lg x 2x 2－5；(2)y ＝－x 234x 2－x. 解：(1)设x 2－2＝t ，则x 2＝2＋t ，所以x 2x 2－5＝t ＋2t －3. 所以f (t )＝lg t ＋2t －3，即f (x )＝lg x ＋2x －3. 因为x 2≥0，所以t ＝x 2－2≥－2，又t ＋2t －3>0，所以t ＞3. 所以所求函数定义域为{x |x ＞3}．(2)要使函数有意义需⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，x 2－x >0，x 2－x ≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4≥x 2，x 2>x ，x 2－x ≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤2，x >1或x <0，x ≠1±52.所以所求函数定义域为{x |－2≤x ＜1－52或1－52＜x ＜0或1＜x ＜1＋52或1＋52＜x ≤2}．拓展提升在同一坐标系中，画出函数y ＝log 3x ，y ＝log 13x ，y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系．活动：教师引导学生回顾作函数图象的方法与步骤，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识．计算机画出如下图象(如图4)．图4可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是(1,0)； 当a >1时，图象向下与y 轴的负半轴无限靠拢，在点(1,0)的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小；在点(1,0)的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大．当0<a <1时，图象向上与y 轴的正半轴无限靠拢，在点(1,0)的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大；在点(1,0)的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小．以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个对数函数的底数的大小关系．怎样定量分析同一坐标系中，底数不同的对数函数的底数的大小呢？我们知道，对于对数函数y ＝log a x ，当y ＝1时，x ＝a ，而a 恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y ＝1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小．同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log 23<log 1.53，log 20.5<log 30.5，log 0.52>log 0.62等．除了上述两种情况外，对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去比较大小．如log 1.50.5与log 0.50.3，因为log 1.50.5<0，log 0.50.3>0，所以log 1.50.5<log 0.50.3；又如log 21.5与log 0.50.4，因为log 21<log 21.5<log 22，所以0<log 21.5<1.又因为log 0.50.4>log 0.50.5＝1，所以log 0.50.4>log 21.5.课堂小结1．对数函数的概念．2．对数函数的图象与性质．3．函数定义域的求法及函数奇偶性的判定方法．4．数形结合与转化的数学思想．作业课本习题2.2A组7、8、9、10.设计感想本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，因此课堂容量大，要提高学生互动的积极性，特别是归纳出对数函数的图象和性质后，要与指数函数的图象和性质进行比较，加深对数函数的概念、图象和性质的理解，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数及其性质教案新人教A版必修1
（1）y=log2（4-x）
(须大于零；(2)对数函数的底数必须大于零且不等于1.
问题四：类比指数函数，对数函数y=log2x（a＞0且a≠1）的图象有哪几种类型呢？，你能在同一坐标系上画出下列函数的图像
(1)y=log2x
（2）y=log12x
对数函数及其性质
教学设计方案
一、教学内容分析
函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、推进新课
问题三：你能说出指数函数的概念、图象、性质吗？
教师板书对数函数的概念图
像和性质
应用示例
（1）y=log2（4-x）
(2)y=logx(4-x)
总结:(1)对数的真数必须大于零；
(2)对数函数的底数必须大于零且不等于1.
问题四：类比指数函数，对数函数y=log2x（a＞0且a≠1）的图象有哪几种类型呢？，你能在同一坐标系上画出下列函数的图像
二、教学目标
知识与技能：
通过学习对数函数的概念、图象和性质,学生体会知识之间的有机联系,激发学生的学习兴趣.
过程与方法：
通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。学生掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算教学设计 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算整体设计教学内容分析本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时，也就是对数函数的入门．对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难．而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用．通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数做好准备．同时，通过对对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义．学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感．通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼．因此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法．设计思想学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识对数模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．教学目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．2．通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化．3．通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．4．培养学生的类比、分析、归纳能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生的探究意识．重点难点重点：(1)对数的概念；(2)对数式与指数式的相互转化．难点：(1)对数概念的理解；(2)对数性质的理解．教学过程幂底数←a→对数底数．对数的基本性质负数和零没有对数；log a1＝0；教学反思本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握．第2课时整体设计教学目标1．知识与技能(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．(2)运用对数的运算性质解决有关问题．(3)培养学生分析、解决问题的能力．培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法(1)让学生经历并推导出对数的运算性质．(2)让学生归纳整理本节所学的知识．3．情感态度与价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用．难点：正确使用对数的运算性质．教学过程导入新课思路1．上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．a b＝N⇔log a N＝b.3．重要性质：(1)负数与零没有对数；(2)log a1＝0，log a a＝1；(3)对数恒等式log Naa＝N.下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：对数与对数运算(2)〕．思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：a m·a n＝a m＋n；a m÷a n＝a m－n；(a m)n＝a mn；ma n＝nma.(a＞0且a≠1)从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算(2)．推进新课新知探究 提出问题(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？(2)如我们知道a m＝M ，a n＝N ，a m·a n＝am ＋n，那m ＋n 如何表示，能用对数式运算吗？(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？ (4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述. (5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ (6)上述结论能否推广呢？(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ 讨论结果：(1)通过问题(2)来说明． (2)若a m·a n＝am ＋n，M ＝a m ，N ＝a n ，于是MN ＝am ＋n，由对数的定义得到M ＝a m⇔m ＝log a M ，N ＝a n ⇔n ＝log a N ，MN ＝a m ＋n ⇔m ＋n ＝log a MN ，log a MN ＝log a M ＋log a N .因此m ＋n 可以用对数式表示． (3)令M ＝a m，N ＝a n，则M N＝a m ÷a n ＝am －n，所以m －n ＝log a M N.又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N .所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN ，即log a M N＝log a M －log a N . 设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义，所以log a M ＝m ，log a M n＝mn .所以log a M n＝mn ＝n log a M ，即log a M n＝n log a M . 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN )＝log a M ＋log a N ；① log a M N＝log a M －log a N ；② log a M n＝n log a M (n ∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0. (6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a ≠1，M 1，M 2，M 3，…，M n 均大于0)．(7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，方便了对数式的化简和求值．应用示例例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a x 2y 3z.活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正． 利用对数的运算性质，把整体分解成部分． 对(1)log axyz，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．对(2)log ax 2y3z，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．解：(1)log a xy z＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log ax 2y3z＝log a (x2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．例2 求值：(1)；(2)log 327.解：(1)解法一：设x =，则(3)x ＝33＝(3)3，所以x ＝3.解法二：33==.(2)解法一：令x ＝log 3127，则3x ＝127，即3x ＝3－3，所以x ＝－3.解法二：log 3127＝log 33－3＝－3.例3 计算：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 243lg 9；(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2.解：(1)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.(2)lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52.(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝1133222lg(3)lg23lg(10)32lg10+-⨯＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数的运算性质．对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．例4 设x ＝log 23，求23x－2－3x2x －2－x 的值．活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数的定义求2x，再求23x，从而可求，或先化简再代入求值．解法一：由x ＝log 23，得2x ＝3,2－x ＝13，所以23x －2－3x2x －2－x ＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫1333－13＝32＋3×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝919. 解法二：由x ＝log 23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x －2－x ＝(2x －2－x )(22x ＋1＋2－2x)2x －2－x＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝919.知能训练课本本节练习第1,2,3题． 【补充练习】1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y )，log a (x －y )表示下列各式：(1)log a 3x y 2z ；(2)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2；(3)2132log ()a xy z -；(4)log a xy x 2－y 2； (5)log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ；(6)log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x (x －y )3.解：(1)log a3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z )＝13log a x －2log a y －log a z ； (2)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·4z 3y 2＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2)＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z ；(3)2132log ()a xy z-＝log a x ＋12log a y ＋23log a z-＝log a x ＋12log a y －23log a z ；(4)log axyx 2－y2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )(x －y )＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )－log a (x －y )； (5)log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y ·y ＝log a x ＋y x －y ＋log a y ＝log a (x ＋y )－log a (x －y )＋log ay ；(6)log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x (x －y )3＝3[log a y －log a x －log a (x －y )]＝3log a y －3log a x －3log a(x －y )．2．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( ) A ．43 B ．8 C ．18 D ．12解析：因为f (x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得316222x ==，所以f (8)＝122log 2＝12.另解：因为f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f (x )＝16log 2x .所以f (8)＝16log 28＝16log 223＝12.答案：D拓展提升已知x ，y ，z ＞0，且lg x ＋lg y ＋lg z ＝0，求111111lg lg lg lg lg lg y zz xx yxyz+++⋅⋅的值．活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t .解：令111111lg lg lg lg lg lg y zz xx yxyzt +++⋅⋅=，则lg t ＝⎝⎛⎭⎪⎫1lg y ＋1lg z lg x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1lg z ＋1lg x lg y ＋⎝⎛⎭⎪⎫1lg x ＋1lg y lg z ＝lg x lg y ＋lg x lg z ＋lg y lg z ＋lg y lg x ＋lg z lg x ＋lg z lg y ＝lg x ＋lg z lg y ＋lg x ＋lg ylg z ＋lg y ＋lg z lg x ＝－lg y lg y ＋－lg z lg z ＋－lg x lg x ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求．课堂小结1．对数的运算性质．2．对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用．3．对数与指数形式比较：作业课本习题2.2A组3,4,5.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．第3课时作者：刘菲整体设计教学目标1．知识与技能推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识．3．情感态度与价值观通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用．重点难点重点：对数的运算性质、换底公式及其应用．难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．教学过程导入新课思路1．问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，log a b ＝log c blog c a .教师直接点出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．思路2．前两节课我们学习了以下内容：1．对数的定义及性质；2．对数恒等式；3．对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．思路3．从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用．推进新课新知探究 提出问题(1)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log 23的值；(2)根据(1)，如a ＞0，a ≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？ (3)更一般地，我们有log a b ＝log c blog c a ，如何证明？(4)证明log a b ＝log c blog c a 的依据是什么？(5)你能用自己的话概括出换底公式吗？ (6)换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对(1)目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对(2)参考(1)的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对(3)借助(1)(2)的思路，利用对数的定义来证明；对(4)根据证明的过程来说明；对(5)抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对(6)换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：(1)因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.不妨设log 23＝x ，则2x＝3，所以(100.301 0)x＝100.477 1,100.301 0×x＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2.因此log 23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0≈1.585 0.(2)根据(1)我们看到，最后的结果是log 23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x＝log a 3，x log a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2，也就是log 23＝log a 3log a 2.这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商． (3)证明log a b ＝log c blog c a.证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ⇒x log c a ＝log c b ； 所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c blog c a.一般地，log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)称为对数的换底公式．(4)由(3)的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N .(5)一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．(6)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg 3lg 2，即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”． 再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813，所以x ＝log 1.011813＝lg1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg1.01≈1.255 3－1.0390.004 3＝32.883 7≈33(年)．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．应用示例例1 求log 89·log 2732的值．活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．解法一：log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109.解法二：log 89·log 2732＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109.解法三：log 89·log 2732＝log 39log 38·log 332log 327＝23log 32·5log 323＝109.点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键． 例2 计算：(1)log 52·log 4981log 2513·log 734；(2)log 43·log 92－12log .活动：学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价．先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值；对(1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再化简求值．解：(1)原式＝lg 2lg 5·lg 34lg 72lg 3－1lg 52·lg 22lg 73＝12·lg 2lg 5·4lg 32lg 7－lg 32lg 5·2lg 23lg 7＝－3. (2)log 43·log 92－12log ＝log 23log 24·log 22log 29－1422log (32)1log 2＝12log 23·12log 32＋54log 22 ＝14＋54＝32. 点评：在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10为底的对数进行换底．例3 (1)证明log a x log ab x＝1＋log a b ；(2)已知11log a b ＝22log a b ＝…＝log a n n b ＝λ，求证：1212log ()a a a n nb b b λ=L L.活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a 为底的对数可直接得解，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，则x ＝a p ，x ＝(ab )q ＝a q b q ，b ＝a r. 所以a p＝(ab )q＝aq (1＋r )，从而p ＝q (1＋r )．因为q ≠0，所以p q＝1＋r ，即log a xlog ab x＝1＋log a b . 证法二：显然x ＞0且x ≠1，x 可作为底数，左边＝log a x log ab x ＝log x ablog x a ＝log a ab ＝1＋log a b＝右边．(2)证明：因为log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，所以由换底公式得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n ＝λ.由等比定理，所以lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ＝λ.所以lg(b 1b 2…b n )lg(a 1a 2…a n )＝λ. 所以1212log ()a a a n nb b b L L＝lg(b 1b 2…b n )lg(a 1a 2…a n )＝λ.点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例4 20世纪30年代，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)?活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义．解：(1)M ＝lg 20－lg 0.001＝lg 200.001＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震．(2)由M ＝lg A －lg A 0可得M ＝lg A A 0，即A A 0＝10M ，所以A ＝A 0·10M. 当M ＝7.6时，地震的最大振幅为A 1＝A 0·107.6； 当M ＝5时，地震的最大振幅为A 2＝A 0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是A 1A 2＝A 0×107.6A 0×105＝107.6－5＝102.6≈398. 答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍． 点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．知能训练课本本节练习4. 【补充练习】(1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( )A ．2a ＋b 1＋a ＋bB ．a ＋2b 1＋a ＋bC ．2a ＋b 1－a ＋bD ．a ＋2b 1－a ＋b (2)已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4或－1 (3)若3a＝2，则log 38－2log 36＝__________. (4)lg 12.5－lg 58＋lg 0.5＝__________.答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x＝log c N ，所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c Nlog c a. 证法二：由对数恒等式，得log Na N a，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N ＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c Nlog c a.证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m，N ＝a n，所以N ＝(c m )n＝c mn.两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c Nlog c a .对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c Nlog c a (c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d Mlog d N .解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M .课堂小结1．对数换底公式；2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a (a ＞0且a ≠1)为底的对数式的形式．作业课本习题2.2A 组 6,11,12. 【补充作业】 1．已知1271log 7a =，131log 5b =，求log 81175的值． 解：因为1271log 7＝log 277＝13log 37＝a ，所以log 37＝3a .又因为131log 5＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 3(25×7)＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b4.2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋2log 3n n )log 9n32＝52.证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n)log 9n32 ＝(2222log 3+log 3+log 3++log 3nL1444442444443)·1n log 932＝n log 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边．设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算性质是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用十分广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料【备选例题】【例1】化简：log a M log b N ·log b M log c N ·log c M log d N ·log d Mlog a N.解：原式＝log a M log a N ·log b M log b N ·log c M log c N ·log d M log d N ＝log N M ·log N M ·log N M ·log N M ＝(log N M )4.【例2】求证：log a b ＝1log b a (a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)．证法一：log a b ＝log b b log b a ＝1log b a .证法二：1log b a ＝log b blog b a＝log a b .【例3】试证：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x ＝1log n ！x .证明：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x＝log x (2×3×4×…×n ) ＝log x (1×2×3×4×…×n )＝log x n ！＝1log n ！x .【知识拓展】对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(J.Napier ，1550—1617)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、… 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质课件新人教A版必修1
理论
2．对数函数的图象
由于对数函数 y log a x与指数函数y a x 互为反函数，所以 y log a x 的图象与 y a x
的图象关于直线 y x 对称. 看一般图象：
5
4
3
y=ax (a>1) 2
1
44
33
y=ax 22
∴函数 y loga x2的定义域是 x | x 0
（2）由 4 x 0 得 x 4
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4
（3） 由 9 x2 0 得 3 x 3
∴函数 y loga(9 x2) 的定义域是 x | 3 x 3
举例
例2 求下列函数的反函数
在R上是减函数
引例
引例: y 2 x 有无反函数?若有,则求出.
分析:视察图象知,有反函数
由 y 2x 得 x log 2 y 所以,反函数为:
4
fx3 = 2x
2
1
-4
-2
2
y log 2 x x (0,)
理论
1．对数函数的定义：
函数 y log a x (a 0且a 1) 叫做对数函数（logarithmic function）， 其中x是自变量，函数的定义域为 (0,) , 值域为 (,) .
1 y 1 x 1;
2
2 y (1) x2 3 (x 0).
2
解 （: 1）
y
1
x
1
1 x
y
1
2
2
（2）
x log1 ( y 1)
2
f 1( x) log1 ( x 1)
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质课件1新人教A必修1
[答案] A [解析] ∵函数y＝logax的图象一直上升， ∴函数y＝logax为单调增函数，∴a＞1，故选A.
3．下列函数中是对数函数的是 ( A．y＝log1 x
4 4
)
B．y＝log1 (x＋1) D．y＝log1 x＋1
4
C．y＝2· log1 x
4
[答案] A
[解析] 形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，
[规律总结] 对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1. (2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x， 底数a必须是大于0且不等于1的常数．
跟踪练习
指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5 x；④y＝log3 x；⑤y
预习自测
1.下列函数是对数函数的是 ( A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0，且 a≠1) C．y＝logax2(a＞0，且 a≠1) D．y＝lnx )
[答案] D
[解析] 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是
否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
2． 函数 y＝logax 的图象如图所示， 则实数 a 的可能取值为 ( ) A．5 1 B.5 1 C.e 1 D．2
2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表 所示：
a＞1
0＜a＜1
图象
a＞ 1
0＜a＜1
，＋∞) 定义域：(0 ______ R 值域：______
性质
(1,0) ，即当 x＝1 时，y＝0 图象过定点______ 增函数 在(0，＋∞)上是______ 减函数 在(0，＋∞)上是______
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 第2课时 对数的运算教案 新人教A版必修1
2.2.1 第2课时对数的运算
1.知识与技能
(1)掌握对数的运算性质;
(2)会用换底公式对对数式进行化简.
2.过程与方法
(1)通过师生互动使学生掌握对数的运算性质;
(2)培养学生的数学应用意识.
3.情感、态度与价值观
(1)用联系的观点分析、解决问题;
(2)认识事物之间的相互转化.
重点:对数运算的基本性质.
难点:换底公式的简单应用.
重难点的突破:在教学过程中,应尽量多列举错例,让学生自己找错误,从而加深对运算性质的理解.也可通过具体实例,借助计算机或计算器等工具,探索对数的运算性质,并与指数的运算性质进行类比.结合指数式的性质,注意对数的两个运算性质成立的条件.
已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.
解:∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=4-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,
即lg(c2-b2)=lg a2,
∴c2=a2+b2,
∴△ABC为直角三角形.。
高中数学第二章基本初等函数§2.1.1指数(第1—2课时)教案新人教A版必修1
第二课时
提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
an a a a a, a0 1 (a 0) ,0 0无意义
an
1 an
(a 0)
a m a n a m n ; (a m )n a mn
(an )m a mn, (ab) n a nb n
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数 . 2．观察以下式子，并总结出规律：
三．学法与教具 1 ．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若
x2 a ，则 x 叫做 a 的平方根 . 同理，若 x3 a ，则 x 叫做 a
的立方根 .
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念， 目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模
型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展
.
4. 教材对幂函数的内容做了削减， 仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数， 并且安排的顺序向后调
整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担
.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象
思考： a n n ( n a ) n 是否成立，举例说明 .
课堂练习： 1. 求出下列各式的值
(1) 7 ( 2)7
(2) 3 (3a 3)3 ( a 1)
4
(3) (3a
3)4
2．若 a2 2a 1 a 1,求 a的取值范围 .
3．计算 3 ( 8)3 4 (3 2)4 3 (2 3)3
三．归纳小结：
即： a n
1
m
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算(2)课后训练2 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算课后训练1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子中正确的个数是( )．①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．32．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27等于( )．A ．a ＋bB ．a －bC ．ab D.a b3．化简12log 612－2log ( )．A ．B ．．log D.12 4．(学科内综合题)若lg a ＋lg b ＝0(其中a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝b x 的图象关于( )．A ．直线y ＝x 对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称5．某种食品因存放不当受到细菌的侵害．据观察，此食品中细菌的个数y 与经过的时间t (分钟)满足关系y ＝2t ，若细菌繁殖到3个，6个，18个所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3分钟，则有( )．A ．t 1·t 2＝t 3B ．t 1＋t 2＞t 3C ．t 1＋t 2＝t 3D ．t 1＋t 2＜t 36．若lg x ＝lg m －2lg n ，则x ＝______.7．已知m ＞0，且10x ＝lg(10m )＋lg1m ，则x ＝______. 8．如果方程lg 2x ＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7·lg 5＝0的两个根是α，β，则αβ的值是________．9．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：111x y z+=. 10．(能力拔高题)甲、乙两人在解关于x 的方程log 2x ＋b ＋c ·log x 2＝0时，甲写错了常数b 得两根为14，18，乙写错了常数c 得两根为12，64.求这个方程的真正根．参考答案1. 答案：A2. 答案：C log 27＝log 23·log 37＝ab .3. 答案：C 原式＝loglog 62＝log62＝log4. 答案：C ∵lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝0，∴ab ＝1，b ＝1a . ∴g (x )＝1x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称． 5. 答案：C 由题意，得2t 1＝3,2t 2＝6,2t 3＝18，则t 1＝log 23，t 2＝log 26，t 3＝log 218，所以t 1＋t 2＝log 23＋log 26＝log 218＝t 3.6. 答案：2m n ∵lg m －2lg n ＝lg m －lg n 2＝lg 2m n ， ∴x ＝2m n. 7. 答案：0 lg(10m )＋lg1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m ＝1， ∴10x ＝1＝100.∴x ＝0. 8. 答案：135由题意，可知关于lg x 的二次方程的两根为lg α，lg β， ∴lg(αβ)＝lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝lg 135. ∴αβ＝135. 9. 答案：证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k . ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3. ∴111x y z +=. 10. 答案：分析：将方程化为关于log 2x 的一元二次方程的形式．利用一元二次方程的根与系数的关系求出b 和c ，再求出真正根．解：原方程可化为log 2x ＋b ＋c ·21log x ＝0， 即(log 2x )2＋b log 2x ＋c ＝0.因为甲写错了常数b 得两根为11,48，所以c＝log214·log218＝6.因为乙写错了常数c得两根为12，64，所以b＝－(log212＋log264)＝－5.故原方程为log2x－5＋6log x2＝0，可化为(log2x)2－5log2x＋6＝0. 解得log2x＝2或log2x＝3.所以x＝4，或x＝8，即方程的真正根为4,8.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数的概念教案 新人教A版必修1
对数的概念教学目标（1） 知识目标：①理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系，及常用对数和自然对数。
②掌握对数式和指数式的互化。
（2） 能力目标：①培养学生分析转化的意识②培养学生的逆向思维能力（3） 情感目标：通过与指数的类比以及对数概念的学习，树立事物发展的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生严谨的治学态度。
教学重点与难点重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。
难点 ：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。
教学法方法（1）启发引导学生实验、观察、联想、思考、分析、归纳；（2）采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法。
教学过程（1）引入猜猜看，括号里分别是什么数？①()=22 ()=62②()82= ()642= ()10242= ③()93= ()813= ()203= （2）引出对数定义（板书）一般地如果a 的b 次幂等于N,即N a b= ,那么b 就叫做以a 为底N 的对数。
记作：loga N = b（其中a 为底数，N 为真数，b 为对数）注意：1对数的书写格式．N a log2.底数的限制:a>0且a ≠1。
例如上面的猜一猜题目，就可以引导学生来转化，如823=则8log 32=（3） 对数式和指数式的对应（)0,1,0>≠>N a a学生观察和分析，并总结出负数和零没有对数。
（4）两种特殊对数常用对数N 10log ，记为N lg 自然对数N e log ，记为N ln （)71828.2 =e 活动：抢答题(1) =1log 2 =1lg =1log 21 =1ln(2)=2log 2 =10lg =31log 31=e ln 归纳总结：01log =a 1log =a a ()1.0≠>a a（5）指数式与对数式互化练习（课本第63页例1、例2）例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式（1）62554= （2）64126=- （3）73.531=⎪⎭⎫ ⎝⎛m（4）416log 21-= （5）201.0lg -= （6）303.210ln =例2：求下列各式中的x 的值（1）32log 64-=x （2）68log =x （3）x =100lg （4）x e =-2ln 例3：若()[]0log log log 532=x ，求x 的值（6）课堂训练（限时训练）课本练习（7）布置作业① 必做题：课本第74页第1、2题② 思考题：当0>a 且0≠a ，0>N 时证明：（1）N aN a =log （2）N a N a =log （8）.课时小结对数的概念 指数与对数之间的关系 负数和零没有对数log a 1=0 log a a=1常用对数，自然对数板书设计对数与对数运算对数的定义教学后记希望通过这节课的学习，学生能够对对数式和指数式之间的关系有深刻的认识，并以此为基础，能够灵活的运用指数式和对数式之间的相互转换解决生活中的实际问题，并推导出一些常用的与对数的有关性质。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)第2节 对数函数(2)教案 新人教A版必修1
第二节对数函数第二课时整体设计教学目标1．知识与技能(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．(2)运用对数运算性质解决有关问题．(3)培养学生分析、解决问题的能力．培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法(1)让学生经历并推导出对数的运算性质．(2)让学生归纳整理本节所学的知识．3．情感态度与价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用．难点：正确使用对数的运算性质．教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．a b＝N⇔log a N＝b.3．重要性质：(1)负数与零没有对数；(2)log a1＝0，log a a＝1；(3)对数恒等式a log a N＝N.下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：对数与对数运算(2)〕．思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：a m·a n＝a m＋n；a m÷a n＝a m－n；(a m)n＝a mn；ma n＝anm.(a>0且a≠1)从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算(2)．推进新课新知探究提出问题(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？(2)如我们知道a m＝M，a n＝N，a m·a n＝a m＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述．(5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？(6)上述结论能否推广呢？(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)如a m·a n＝a m＋n，设M＝a m，N＝a n，于是MN＝a m＋n，由对数的定义得到M＝a m⇔m＝log a M，N＝a n⇔n＝log a N，MN＝a m＋n⇔m＋n＝log a MN，log a MN＝log a M＋log a N.因此m＋n可以用对数式表示．(3)令M ＝a m ，N ＝a n，则M N＝a m ÷a n ＝am －n，所以m －n ＝log a M N.又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N .所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N ，即log a M N＝log a M －log a N .设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义，所以log a M ＝m ，log a M n ＝mn .所以log a M n ＝mn ＝n log a M ，即log a M n＝n log a M . 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，则有 log a (MN )＝log a M ＋log a N ；①log a M N ＝log a M －log a N ；②log a M n＝n log a M (n ∈R )．③(4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a >0，a ≠1，M >0，N >0. (6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a >0，a ≠1，M 1、M 2、M 3、…、M n 均大于0)．(7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．应用示例例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a x 2y3z.活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正． 利用对数的运算性质，把整体分解成部分． 对(1)log axyz ，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．对(2)log ax 2y3z ，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．解：(1)log a xy z＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ； (2)log ax 2y3z＝log a (x2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．变式训练1．若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子正确的个数为( ) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a x y＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A2．若a >0，a ≠1，x >y >0，n ∈N *，下列式子正确的个数为( )①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n；③log a x ＝－log a 1x；④log a x log a y ＝log a x y ；⑤n log a x ＝1n log a x ；⑥1nlog a x ＝log a nx ； ⑦log a x n＝n log a x ；⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y.A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B 例2 求值：(1)log333；(2)log 3127.解：(1)解法一：设log 333＝x ，则(3)x＝33＝(3)3，所以x ＝3.解法二：log 333＝log 3(3)3＝3.(2)解法一：令x ＝log 3127，则3x ＝127，即3x ＝3－3，所以x ＝－3.解法二：log 3127＝log 33－3＝－3.例3 计算：(1)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(2)lg243lg9；(3)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2.解：(1)解法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7732×18＝lg1＝0.(2)lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52.(3)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2＝lg 3312＋lg23－3lg 1012lg3×2210＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数运算性质．特别是对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．例4 设x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x 的值．活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数定义求2x ，再求23x，从而可求，或先化简再代入求值．解法一：由x ＝log 23，得2x ＝3,2－x ＝13，所以23x －2－3x2x －2－x ＝33－1333－13＝32＋3×13＋(13)2＝919. 解法二：23x －2－3x 2x －2－x ＝2x －2－x 22x ＋1＋2－2x 2x －2－x＝22x ＋1＋2－2x ＝32＋1＋(13)2＝919. 知能训练课本本节练习第1、2、3题． 【补充练习】1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y)，log a (x －y)表示下列各式：(1)log a 3x y 2z ；(2)log a (x ·4z 3y 2)；(3)log a (xy 12z －23)；(4)log a xyx 2－y 2； (5)log a (x ＋y x －y ·y )；(6)log a [y x x －y]3.解：(1)log a3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z ) ＝13log a x －2log a y －log a z ； (2)log a (x ·4z 3y 2)＝log a x ＋log a4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2)＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z ；(3)log a (xy 12z －23)＝log a x ＋log a y 12＋log a z －23＝log a x ＋12log a y －23log a z ；(4)log axyx 2－y2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )(x －y )＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )－log a (x －y )；(5)log a (x ＋y x －y ·y )＝log a x ＋yx －y＋log a y ＝log a (x ＋y )－log a (x －y )＋log a y ；(6)log a [y x x －y ]3＝3[log a y －log a x －log a (x －y )]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y )．2．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( )A.43 B ．8 C ．18 D.12解析：因为f (x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得x ＝236＝212，所以f (8)＝log 2212＝12.另解：因为f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f (x )＝16log 2x .所以f (8)＝16log 28＝16log 223＝12.答案：D 拓展提升已知x 、y 、z >0，且lg x ＋lg y ＋lg z ＝0，求x 1lg y ＋1lg z ·y 1lg z ＋1lg x ·z 1lg x ＋1lg y的值．活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t .解：令x 1lg y ＋1lg z ·y 1lg z ＋1lg x ·z 1lg x ＋1lg y ＝t ，则lg t ＝(1lg y ＋1lg z )lg x ＋(1lg z＋1lg x )lg y ＋(1lg x ＋1lg y )lg z ＝lg x lg y ＋lg x lg z ＋lg y lg z ＋lg y lg x ＋lg z lg x ＋lg z lg y ＝lg x ＋lg z lg y ＋lg x ＋lg y lg z ＋lg y ＋lg z lg x ＝－lg y lg y ＋－lg z lg z ＋－lg x lg x ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求． 课堂小结1．对数的运算性质．2．对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用．课本习题2.2A 组 3、4、5.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)第2节 对数函数(7)教案 新人教A版必修1
第二节对数函数第七课时整体设计教学分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书——数学必修1》(人教A版)第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第1课时)，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用．对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识，还是从思想方法的角度，对数函数与指数函数都有许多类似之处．与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活、能力要求也更高．学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础．学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折的阶段，但更注重形象思维．由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，以上双重问题增加了对数函数教学的难度．教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程．设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式．教学目标1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题．教学重点与难点重点：掌握对数函数的图象和性质；难点：底数对对数函数值变化的影响．教学过程教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结．熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：材料1(幻灯)：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸．大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存了两千多年，而且关节可以活动．人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关．(如图1，在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了)图1那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2 200年？前面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量P ，利用t ＝log 5 73012P 估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关系，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数；如图2，材料2(幻灯)：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个……不难发现：分裂次数y 就是要得到的细胞个数x 的函数，即y ＝log 2x .图22．引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y ＝2log 2x ，y ＝log 5x 5都不是对数函数．②对数函数对底数的限制：a >0，且a ≠1. 3．根据对数函数定义填空：例1 (1)函数y ＝log a x 2的定义域是__________(其中a >0，a ≠1)；(2)函数y ＝log a (4－x )的定义域是__________(其中a >0，a ≠1)．说明：本例主要考查对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念．设计意图新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”．因此，新课引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型．这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点．尝试画图、形成感知1．确定探究问题教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？学生1：对数函数的图象和性质．教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？ 学生2：先画图象，再根据图象得出性质．教师：画对数函数的图象是否像指数函数那样也需要分类？学生3：按a >1和0<a <1分类讨论．教师：观察图象主要看哪几个特征？学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图．教师：在明确了探究方向后，下面按以下步骤共同探究对数函数的图象：步骤一：(1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象：y ＝log 2x ，y ＝log 12x . (2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象：y ＝log 3x ，y ＝log 13x . 步骤二：观察对数函数y ＝log 2x 、y ＝log 3x 与y ＝log 12x 、y ＝log 13x 的图象特征，看看它们有哪些异同点．步骤三：利用计算器或计算机，选取底数a (a >0，且a ≠1)的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象．观察图象，它们有哪些共同特征？步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象．步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较．2．学生探究成果(1)如图3、4，用描点法画出下列对数函数y ＝log 2x 、y ＝log 12x 、y ＝log 3x 、y ＝log 13x 的图象．图3 图4(2)如图5，学生选取底数a ＝14、15、16、110、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示“几何画板”，得到相应对数函数的图象．由于学生自己动手，加上“几何画板”的强大作图功能，学生可非常清楚地看到底数a 是如何影响函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)图象的变化．图5(3)有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y ＝log a x (a >1)、y ＝log a x (0<a <1)的图象代表对数函数的两种情形(图6)．y ＝log a x (a >1) y ＝log a x (0<a <1)图6(4)学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y 轴右侧，向y 轴正负方向无限延伸；②都过(1,0)点；③当a >1时，图象沿x 轴正向逐步上升；当0<a <1时，图象沿x 轴正向逐步下降；④图象关于原点和y 轴不对称，并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别；如图7.图73．拓展探究：(1)对数函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 、y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象有怎样的对称关系？(2)对数函数y＝log a x(a>1)，当a值增大时，图象的上升“程度”怎样？说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充，学生对对数函数图象感性认识就比较全面了．设计意图旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，这样处理学生虽然会接受这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想．因此，本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识．同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性．这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受．理性认识、发现性质1．确定探究问题教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识．同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质．教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质．2．学生探究成果R＋R＋R R，＋∞)上是增函数，＋∞)上是减函数(1,0)即x＝1时，(1,0)即x＝1时，发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好地揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟．为了扭转这种方式，可先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质．教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成．理性认识、发现性质【问题一】(幻灯)(教材例8)比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．独立思考：1.构造怎样的对数函数模型？2．运用怎样的函数性质？小组交流：(1)y＝log2x是增函数；(2)y＝log0.3x是减函数；溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.独立思考：解决这个问题需选择怎样的模型？运用什么函数性质？小组交流：pH＝－lg [H＋]＝lg [H＋]－1＝lg1[H＋]，随着[H＋]的增大，pH减小，即溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大．设计思路1．这个环节不作为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层面上提升学生对性质的理解和应用．问题一是比较大小，始终要紧扣对数函数模型，渗透函数的观点(数形结合)解决问题的思想方法；2．旧教材在图象与性质之后，通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还是强调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予领会．当然要预计到，实际教学中学生理解这道应用题题意会遇到一些困难，教师要注意引导．归纳小结、巩固新知1．议一议：(1)怎样的函数称为对数函数？(2)对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？(3)对数函数有怎样的性质？1．必做题：教材习题2.2A组第7、8、9、12题．2．选做题：教材习题2.2A组第2题．教学反思从教二十多年，每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨，同时也有遇旧如新的喜悦．函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始终是高中数学的难点．高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图形计算器未能普及、课时紧容量大，都影响函数的正常教学，这些都希望能引起大家的广泛关注并深入探讨！。
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第二节对数函数第二课时整体设计教学目标1．知识与技能(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．(2)运用对数运算性质解决有关问题．(3)培养学生分析、解决问题的能力．培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法(1)让学生经历并推导出对数的运算性质．(2)让学生归纳整理本节所学的知识．3．情感态度与价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用．难点：正确使用对数的运算性质．教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容：1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．a b＝N⇔log a N＝b.3．重要性质：(1)负数与零没有对数；(2)log a1＝0，log a a＝1；(3)对数恒等式a log a N＝N.下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：对数与对数运算(2)〕．思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：a m·a n＝a m＋n；a m÷a n＝a m－n；(a m)n＝a mn；ma n＝anm.(a>0且a≠1)从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算(2)．推进新课新知探究提出问题(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？(2)如我们知道a m＝M，a n＝N，a m·a n＝a m＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述．(5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？(6)上述结论能否推广呢？(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)如a m·a n＝a m＋n，设M＝a m，N＝a n，于是MN＝a m＋n，由对数的定义得到M＝a m⇔m＝log a M，N＝a n⇔n＝log a N，MN＝a m＋n⇔m＋n＝log a MN，log a MN＝log a M＋log a N.因此m＋n可以用对数式表示．(3)令M ＝a m ，N ＝a n，则M N＝a m ÷a n ＝am －n，所以m －n ＝log a M N.又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N .所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N ，即log a M N＝log a M －log a N .设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义，所以log a M ＝m ，log a M n ＝mn .所以log a M n ＝mn ＝n log a M ，即log a M n＝n log a M . 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，则有 log a (MN )＝log a M ＋log a N ；①log a M N ＝log a M －log a N ；②log a M n＝n log a M (n ∈R )．③(4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a >0，a ≠1，M >0，N >0. (6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a >0，a ≠1，M 1、M 2、M 3、…、M n 均大于0)．(7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．应用示例例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a x 2y3z.活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正． 利用对数的运算性质，把整体分解成部分． 对(1)log axyz ，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．对(2)log ax 2y3z ，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．解：(1)log a xy z＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ； (2)log ax 2y3z＝log a (x2y )－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z .点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘例2 求值：(1)log333；(2)log 327.解：(1)解法一：设log 333＝x ，则(3)x＝33＝(3)3，所以x ＝3.解法二：log 333＝log 3(3)3＝3.(2)解法一：令x ＝log 3127，则3x ＝127，即3x ＝3－3，所以x ＝－3.解法二：log 3127＝log 33－3＝－3.例3 计算：(1)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(2)lg243lg9；(3)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2.解：(1)解法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7732×18＝lg1＝0.(2)lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52.(3)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2＝312＋lg23－12lg3×2210＝32＋2lg2－lg3＋2lg2－1＝32.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数运算性质．特别是对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．例4 设x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x 的值．活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数定义求2x ，再求23x，从而可求，或先化简再代入求值．解法一：由x ＝log 23，得2x ＝3,2－x ＝13，所以23x －2－3x2x －2－x ＝33－1333－13＝32＋3×13＋(13)2＝919. 解法二：23x －2－3x 2x －2－x ＝x －2－x 2x ＋1＋2－2x 2x －2－x＝22x ＋1＋2－2x ＝32＋1＋(13)2＝919. 知能训练课本本节练习第1、2、3题． 【补充练习】1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y)，log a (x －y)表示下列各式：(1)log a 3x y 2z ；(2)log a (x ·4z 3y 2)；(3)log a (xy 12z －23)；(4)log a xyx 2－y 2； (5)log a (x ＋y x －y ·y )；(6)log a [y x x －y]3.解：(1)log a3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z ) ＝13log a x －2log a y －log a z ； (2)log a (x ·4z 3y 2)＝log a x ＋log a4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2)＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z ；(3)log a (xy 12z －23)＝log a x ＋log a y 12＋log a z －23＝log a x ＋12log a y －23log a z ；(4)log axyx 2－y2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )(x －y )＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y )－log a (x －y )；(5)log a (x ＋y x －y ·y )＝log a x ＋yx －y＋log a y ＝log a (x ＋y )－log a (x －y )＋log a y ；(6)log a [y x x －y ]3＝3[log a y －log a x －log a (x －y )]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y )．2．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)等于( )A.43 B ．8 C ．18 D.12解析：因为f (x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得x ＝236＝212，所以f (8)＝log 2212＝12.另解：因为f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f (x )＝16log 2x .所以f (8)＝16log 28＝16log 223＝12.答案：D 拓展提升已知x 、y 、z >0，且lg x ＋lg y ＋lg z ＝0，求x 1lg y ＋1lg z ·y 1lg z ＋1lg x ·z 1lg x ＋1lg y的值．活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t .解：令x 1lg y ＋1lg z ·y 1lg z ＋1lg x ·z 1lg x ＋1lg y ＝t ，则lg t ＝(1lg y ＋1lg z )lg x ＋(1lg z＋1lg x )lg y ＋(1lg x ＋1lg y )lg z ＝lg x lg y ＋lg x lg z ＋lg y lg z ＋lg y lg x ＋lg z lg x ＋lg z lg y ＝lg x ＋lg z lg y ＋lg x ＋lg y lg z ＋lg y ＋lg z lg x ＝－lg y lg y ＋－lg z lg z ＋－lg x lg x ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求． 课堂小结1．对数的运算性质．2．对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用．课本习题2.2A 组 3、4、5.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．。