变上限积分,N_L公式
第二单元 N-L公式
经济数学基础 第6章 定积分第二单元 N-L 公式一、学习目标通过本节课的学习，理解并能熟练运用N-L 公式．二、内容讲解1.N-L 公式：若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则babax F a F b F x x f )()()(d )(简记为-=⎰对于N-L 公式作几点说明：①定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取， 即:若)(x F ,)(x G 均为)(x f 的原函数，则bab a bax G x F x x f )()(d )(==⎰②在公式)()(d )(a F b F x x f ba -=⎰中如果把b 换成x ，就得到)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰由此结果看出，定积分和变上限x 之间有确定的对应关系，这就是一个函数，即定积分可以看作积分上限的函数．在上式左端，积分上限x 与积分变量x 的含义是不同的．再由等式右端可知⎰xaxx f d )(是被积函数)(x f 的一个原函数．③⎰b axx f d )(与⎰b att f d )(完全一样，因为⎰⎰===baba ba batt f t F x F x x f d )()()(d )(经济数学基础 第6章 定积分说明定积分与积分变量选取的字母无关． ④由N ——L 公式可得⎰⎰-=abbatt f x x f d )(d )(d )(=⎰aax x f三、例题讲解例1计算⎰12d xx ．解：因为2)(x x f =，它的一个原函数为331)(xx F =，得3131d 103102==⎰x x x 若将原函数换为231)(3+=x x F ，同样得31)231(d 10312=+=⎰x x x 例2 计算⎰-21d e xx ．解：因为x x f e )(=，它的一个原函数为xx F e )(=，得122121e e e d e ----==⎰xx x例3 计算⎰--112d e xx ．解：c x x x +-=---⎰2112e 21d e112112e 21d e-----=⎰xxx )e (e 2122--=-例4 计算⎰+232d 1xx x ．经济数学基础 第6章 定积分解：cx x x x ++=+⎰23332)1(92d 1202332032)1(92d 1+=+⎰x x x x 952=例5计算⎰21d e xx x ．解：cx x x xx+-=⎰e )1(d e2121e )1(d e xx x x x -=⎰2e =例6 计算⎰e 1d ln xx ．解：cx x x x +-=⎰)1(ln d lne1e1)1(ln d ln -=⎰x x x x 1=四、课堂练习与作业1．设⎰=xtt x F 02d sin )(，求)4(πF '. 2．利用N-L 公式计算下列定积分：（1）⎰12d xx ；（2）⎰212d xx ；（3）⎰1d e 2xx x ；（4）⎰20d cos πxx x .。
高等数学同济第七版上册知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设lim f (x) 0,lim g(x) 0 且lim f (x)l g(x)(1)l=0 ，称f(x) 是比g(x) 高阶的无穷小，记以f(x)=0[ g(x)] ，称g(x) 是比f(x) 低阶的无穷小。
(2)l≠ 0，称f(x) 与g(x) 是同阶无穷小。
(3)l=1 ，称f(x) 与g(x) 是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsin x ~x，arccos x ~x，x1?cosx~ x^2/ 2 ，e x?1~x，ln(1 x)~x，(1 x) 1~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则2. (夹逼定理)设g(x)≤f(x)≤h(x)若lim g(x) A,lim h(x) A ，则lim f(x) A2．两个重要公式sinx公式1lim 1x 0x公式2lim (1 x)1/x ex03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次5．洛必达法则定理 1 设函数 f (x)、 F (x)满足下列条件：(1)lim f (x) 0，lim F(x) 0；x x0 x x0(2) f (x)与F(x)在x0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0；称为洛必达( L H ospital )法则 .型未定式 用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1)洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“ ”型的未定式，其它的未定式须先化简 0 变形成“ 0”或“ ”型才能运用该法则；(2) 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；(3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定 原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式 limf (x0 x) f(x 0)x07. 利用定积分定义求极限1f(x)dx (如果存在) 0三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类： (1)第一类间断点设 x 0是函数 y=f( x) 的间断点。
3-2变上限积分NL公式-文档资料
证 x f ( x ) x F x C F ( x ) f ( x )
令 x a 得 C F a
x
f ( t ) dt F ( x ) F ( a ), a
故 f t dt F b F a Newton—Leibniz公式
a
b
F( x)a f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) a
b
b
b
注意 当 a b f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 时 ， 仍 成 立 . a 例3
一、问题的提出
在变速直线运动中, 已知位移函数 s ( t ) 与速度函数 v ( t ) 之间有关系:
s ( t ) v ( t )
物体在时间间隔 [T 内经过的路程为 1, T 2]
v ( t ) d t s ( T ) s ( T ) 2 1 T
1
T 2
这里 s ( t)称为 v ( t) 的原函数 .
t f (t )dt F (x ) 0
x
x
0 , )内为严格单调递增函数 . 在(
x
0
x
f (t ) d t
只要证 F ( x ) 0
) tf( t) d t xf(x ) f( t) d tf(x 0 0 证: F (x ) x 2 f (t)dt
0
f( x ) t ) d t (xt) f(
a
x
f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导数是
(a x b)
x x
( x x ) ( x ) 证
高数重要知识点汇总
高数重要知识点汇总第一章 函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0,称f (x )是比g (x )高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0,称f (x )与g (x )是同阶无穷小。
（3）l = 1,称f (x )与g (x )是等价无穷小,记以f (x ) ~ g (x )2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x , x e −1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二 求极限的方法1．两个准则准则1高数重要知识点汇总准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．高数重要知识点汇总4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→例1计算极限0e 1lim x x x→-. 解 该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 0e 1lim x x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x ax bx→． 解 该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''二、∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则,对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)n x x x n e→+∞>． 解 所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有 lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
变限积分求导公式总结
变限积分求导公式总结1. 引言变限积分是微积分中的一个重要概念，求导是微积分中的基本操作之一。
本文将总结变限积分求导的公式以及其推导过程，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
2. 变限积分的定义在进行变限积分求导之前，我们首先来回顾一下变限积分的定义。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么称下述极限为函数f(x)在区间[a, b]上的变限积分：∫[a, x] f(t)dt其中，x为可变的上限。
在本文中，我们将以x作为变量，而不仅仅是上限的符号。
3. 变限积分的求导公式对于变限积分的求导，我们有以下公式可以使用：3.1. Newton-Leibniz公式如果函数f(x)在区间[a, b]上可导，那么变限积分的求导公式为：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x)这个公式也被称为Newton-Leibniz公式，它表明在条件允许的情况下，求变限积分的导数可以直接将积分的被积函数求导，并将x代入。
3.2. Leibniz公式如果函数f(x)在区间[a, b]上可导，那么变限积分的求导公式为：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x) - f(a)这个公式也被称为Leibniz公式，它与Newton-Leibniz公式类似，但多了一个常数项f(a)。
4. 推导过程为了更好地理解和应用变限积分的求导公式，我们来简要推导一下这些公式。
4.1. Newton-Leibniz公式的推导根据变限积分的定义，我们有：∫[a, x] f(t)dt = ∫[a, b] f(t)dt - ∫[x, b] f(t)dt对上式两边关于x求导，应用定积分的求导法则，得到：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = d/dx ∫[a, b] f(t)dt - d/dx ∫[x, b] f(t)dt根据牛顿-莱布尼兹公式的定义，积分的导数等于被积函数，即：d/dx ∫[a, b] f(t)dt = f(x)同时，右边的第二项d/dx ∫[x, b] f(t)dt可以通过换元法转化为：d/dx ∫[a, b] f(t)dt - d/dx ∫[a, x] f(t)dt代入上式中得到：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x) - d/dx ∫[a, b] f(t)dt + d/dx ∫[a, x] f(t) dt整理得到：2d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x)最终化简得到：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x)/2这就是Newton-Leibniz公式。
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)
变上限函数6-3牛顿莱布尼兹公式
牛顿
莱布尼兹公式
01x2dx
x3 3
1
例
0
计算：8 1dx 2 x
解：
8 2
1 dx x
解：
x2dxx33
ห้องสมุดไป่ตู้
C
0
cos2
xdx 2
2 x 120(1coxs)dx
例计算 cos dx. 01c2osxdx
12(0dx0coxsd)x
0 2 1xsinx
20 0
解：
例计算 1 x4 dx.
根据这个 (定 x)理 axf(t)， d为 t 函 连数 续
f(x)在闭区[a间 ,b]上的一个原函数。
6-3牛顿—莱布尼兹公式
牛顿：英国数学家
莱布尼兹：
德国数学家
根据牛顿
莱布尼兹公式
牛顿（1642. 12. 25—1727. 3. 20）生平简介
牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。
牛顿的幼年是不幸的，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有3 磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小的可怜的头
脑里孕育着非凡的才智，他的思想影响了人类数百年。 牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基础，被益为“有史以来最伟大的科 学家”。在60 多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著12本，其中科学著作6本 ，年代学2本，宗教著作4本。作为数学家，牛顿从二项式定理到微积分，从 代数和数论到古典几何和解析几何，有限差分、曲线分类、计算方法和逼近 论，甚至在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说：“在 从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。”
6-2、变上限函数
记为
称它为变上限定积 分所确定的函数, (变上限定积分)
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数的极限、导数、积分等概念和方法。
以下是微积分中常见的公式：1. 极限公式：- 函数f(x)当x趋近于a时的极限：lim[x→a]f(x)- 无穷小量的定义：lim[x→0]f(x)=02. 导数公式：- 导数的定义：f'(x)=lim[h→0](f(x+h)-f(x))/h- 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)- 三角函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=sec^2x- 指数函数和对数函数的导数：(e^x)'=e^x，(lnx)'=1/x3. 积分公式：- 不定积分的定义：∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为常数- 基本积分法则：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx- 幂函数的不定积分：∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C，其中n不等于-1- 三角函数的不定积分：∫sinx dx=-cosx+C，∫cosx dx=sinx+C - 指数函数和对数函数的不定积分：∫e^x dx=e^x+C，∫1/xdx=ln|x|+C4. 微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)，通解为y=e^(-∫p(x)dx)∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx- 欧拉-拉格朗日方程：d/dx(∂L/∂(dy/dx))-∂L/∂y=0，其中L为拉格朗日量5. 泰勒展开公式：- 函数f(x)在x=a处的n阶泰勒展开：f(x)=f(a)+(f'(a)(x-a))/1!+(f''(a)(x-a)^2)/2!+...+(f^n(a)(x-a)^n)/n!，其中f^n(a)为f(x)的n阶导数在x=a处的值这些公式只是微积分中的一部分，它们在解决函数的性质、曲线的切线与极值、曲线下面积等问题中发挥着重要的作用。
变上限积分的求导公式
变上限积分的求导公式积分是微积分中一个重要的概念，它描述了曲线下方的面积，同时也可以被看作是反函数的导数。
在微积分中，经常会需要计算一个函数的变上限积分，并求其导数。
这里我们将介绍变上限积分的求导公式，并给出其详细的推导过程。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续可导，若积分的上限是一个与x有关的变量t，则函数F(x,t)定义如下：F(x,t) = ∫[a,t] f(x)dx要计算变上限积分F(x,t)关于x的导数，我们可以使用莱布尼茨积分法则，即：dF(x,t)/dx = d/dx(∫[a,t] f(x)dx)根据莱布尼茨积分法则，我们可以将求导操作应用到积分的上限中，这样我们可以得到：dF(x,t)/dx = f(x,t) + ∫[a,t] (∂f(x,u)/∂x)du其中，f(x,t)表示函数f(x)关于x的导数，而(∂f(x,u)/∂x)表示函数f(x,u)关于x的偏导数。
为了更清晰地理解这个公式，接下来我们将对其进行推导。
首先，我们将变上限积分F(x,t)展开成定积分的形式：F(x,t) = ∫[a,t] f(x)dx = 前值[t=b] f(x) - 前值[t=a] f(x)然后，利用微积分中的求导定义来计算前值[t=b]f(x)和前值[t=a]f(x)的导数：(d/dx)(前值[t=b] f(x)) = (d/dt)(f(x,t)) * (dt/dx) (1)(d/dx)(前值[t=a] f(x)) = f(x,a) * (da/dx) (2)其中，由于t是x的函数，所以要根据链式法则对t进行求导。
接下来，我们将(1)和(2)代回到dF(x,t)/dx中得到：dF(x,t)/dx = (d/dt)(f(x,t)) * (dt/dx) + f(x,a) * (da/dx)最后，我们要注意到根据积分的定义，我们有：dt/dx = 0 (t=a时)所以最终的公式为：dF(x,t)/dx = (d/dt)(f(x,t)) * (dt/dx) + f(x,a) * (da/dx)这就是变上限积分的求导公式。
高等数学公式大全
高等数学公式大全高等数学是一个非常广泛的学科，包含了数学中的许多基本概念和方法。
这里我们将为大家介绍高等数学中的各种公式。
1.微积分微积分是高等数学中最重要的概念之一。
它是研究函数的变化的一种方法，包括微分和积分。
以下是微积分中的一些重要公式：（1）导数：如果$f(x)$是一个可导函数，则$f(x)$在$x=a$处的导数为$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
（2）高阶导数：如果$f(x)$是一个可导函数，则$f(x)$的$n$阶导数为$f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}}$。
（3）链式法则：如果$y=f(u)$和$u=g(x)$都是可导函数，则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。
（4）积分基本定理：如果$f(x)$是一个可积函数，则$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。
（5）分部积分法：如果$u(x)$和$v(x)$都是可积函数，则$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx$。
2.矩阵和行列式矩阵和行列式是高等数学中的另一个重要概念。
它们在线性代数中扮演着重要的角色。
以下是矩阵和行列式中的一些重要公式：（1）矩阵加法和减法：如果$A$和$B$是两个相同阶数的矩阵，则$A+B$和$A-B$也是这个阶数的矩阵，定义为$(A+B)_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}$和$(A-B)_{i,j}=A_{i,j}-B_{i,j}$。
（2）矩阵乘法：如果$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times p$矩阵，$C$是$m\times p$矩阵，则$C_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}B_{k,j}$。
含变上限积分的极限问题
含变上限积分的极限问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：含变上限积分的极限问题是微积分中一个非常重要且复杂的概念。
在微积分学中，极限是指一个函数在某一点无限逼近某一固定值的过程。
而含变上限积分则是指积分上限是一个变量，而不是一个固定值的积分。
涉及到含变上限积分的极限问题通常会更加复杂和抽象。
在这篇文章中，我们将深入探讨含变上限积分的极限问题，并举例说明其应用。
让我们来回顾一下基本的积分和极限的概念。
在微积分中，定积分的概念表示函数在一个区间上的积分值，可以用来计算曲线下方的面积。
而极限则是指一个函数在某一点无限接近某一固定值的过程。
当我们将积分和极限结合在一起，就会产生含变上限积分的极限问题。
考虑一个含变上限积分的函数f(x)，其极限形式可以表示为：\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b(x)}f(x)dxa为积分的下限，b(x)为积分的上限，并且b(x)是一个关于x的函数。
当我们计算这个极限时，我们需要考虑当n趋近无穷大时，积分上限b(x)的变化对积分结果的影响。
为了更好地理解含变上限积分的极限问题，我们可以以一个具体的例子来说明。
考虑函数f(x) = x^2，我们要计算极限\lim_{n \to\infty} \int_{0}^{x}x^2dx。
在这个例子中，积分的上限是x，这意味着积分上限会随着x的变化而变化。
我们首先对积分进行计算：\int_{0}^{x}x^2dx = \frac{1}{3}x^3 \Big|_{0}^{x} =\frac{1}{3}x^3然后，我们计算极限\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3}x^3。
我们可以看到，当x趋于无穷大时，积分结果也会趋于无穷大。
这个例子展示了含变上限积分的极限问题的一个简单应用。
含变上限积分的极限问题在实际应用中也经常出现。
在微积分中，我们经常需要求解各种曲线的长度、面积或体积等问题。
这些问题通常会涉及到含变上限积分的极限计算，而计算这些极限值往往需要复杂的数学推导和技巧。
高数 定积分与NL公式
f ( )x
( x )
由积分中值定理得
f ( )x
f ( ), x
[ x , x x ],
o
a
x x x b x
lim lim f ( ) x 0 x x 0
( x ) f ( x ).
x 0, x
b
二、积分上限函数及其导数
x 设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续，并且设
为[a , b]上的一点， 考察定积分
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
如果上限x 在区间[a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b]上定义了一个函数，
§1.6 定积分
•教学要求
• 掌握定积分的概念,性质及定积分与 不定积分的关系，会用N-L公式计算 定积分; • 较熟练地运用换元法与分部积分公式 计算定积分.
小学数学中的定积分的思想
§1.6.1
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本定理）
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数，则 a f ( x )dx F (b) F (a ) .
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
i 1
n
f ( i )xi i xi xi2 xi ,
2 i 1
i 1
n
n
1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
28个▽算子常用公式大全
28个▽算子常用公式大全以下是28个常用的▽算子公式，它们被广泛应用于数学、物理和工程等领域中。
一、导数公式1. 可导函数的定义：可导函数 f(x) 在点 x0 处可导，当且仅当 f'(x0) 存在。
2. 常数函数导数：(cf)' = c'f'=03. 幂函数导数：(x^n)'=nx^(n-1)4. 指数函数导数：(e^x)'=e^x5. 对数函数导数：(logx)'=1/x6. 反三角函数导数：(arcsin x)'=1/√(1-x^2)7. 链式法则：(f∘g)'=(f'(g(x)))*(g'(x))二、积分公式8. 不定积分：∫f(x)dx=F(x)+CC为常数项。
9. 定积分：∫①②f(x)dx=[F(x)]①②10. 计算面积公式：S= ∫abf(x)dx11. 梯形法则：S≈h/2[f(a)+f(b)]12. 正弦曲线下的面积：S=2∫π/2(0)sinxdx=2三、极限公式13. 极限定义：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε。
14. 常量极限：lim n->∞ c=c15. 变量极限：lim x->a f(x)=L16. 夹逼定理：若a(x)≤b(x)≤c(x)，且lim x->+∞ a(x)=lim x->+∞ c(x)=L，则lim x->+∞b(x)=L。
四、级数公式17. 等比级数求和公式：∑a_n=a_1(1-q^n)/(1-q)其中q≠1。
18. 调和级数：∑1/n=∞19. 收敛级数的性质：若∑a_n和∑b_n均收敛，则(1)∑(a_n+b_n) 收敛(2)∑(ca_n) 收敛（c为常数）(3)∑(a_n b_n) 收敛。
20. 绝对收敛与条件收敛：若∑|a_n|收敛，则∑a_n称为绝对收敛；若∑a_n收敛，而∑|a_n|发散，则∑a_n称为条件收敛。
变上限积分函数可以用牛顿莱布尼茨公式吗
变上限积分函数可以用牛顿莱布尼茨公式吗是的，变上限积分函数可以使用牛顿 - 莱布尼茨公式。
牛顿 - 莱布尼茨公式描述了定积分和原函数之间的关系，即如果一个连续函数在区间 [a,b] 上定积分等于它的任意一个原函数在区间 [a,b] 上的增量，则称这个公式为牛顿 - 莱布尼茨公式。
对于变上限积分函数，我们可以将其表示为函数在某一区间内的增量，即∫[a,b]f(x)dx = f(b) - f(a)。
使用牛顿 - 莱布尼茨公式，我们可以将这个增量表示为函数在某一区间内的原函数增量和常数的乘积，即∫[a,b]f(x)dx = f(b) - f(a) = ∫[a,b]f(x)dx = f(b) - f(a) = ∫[a,b]f(x)dx = f(b) - f(a) = ∫[a,b]f(x)dx = f(b) - f(a) + C。
其中，C 是常数。
因此，如果我们能够找到一个原函数 F(x),使得 F(x) 在区间[a,b] 上的增量等于函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的增量，则可以使用牛顿 - 莱布尼茨公式计算出变上限积分函数的值。
具体地，我们有:∫[a,b]f(x)dx = f(b) - f(a) + C其中，C 是常数。
如果我们能够找到一个原函数 F(x),使得 F(x) 在区间 [a,b] 上的增量等于 f(x) 在区间 [a,b] 上的增量，则我们可以将上式改写为:∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]F(x)dx - ∫[a,b]F(x)dx + C化简后，我们可以得到:∫[a,b]f(x)dx = 2∫[a,b]F(x)dx + C因此，如果我们能够找到一个原函数 F(x),使得 F(x) 在区间[a,b] 上的增量等于函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的增量，则可以使用牛顿 - 莱布尼茨公式计算出变上限积分函数的值。
需要注意的是，要找到一个原函数 F(x) 满足上述条件并不容易，但我们可以使用牛顿 - 莱布尼茨公式来进行近似计算。
变限积分求导公式
变限积分求导公式
第一篇：变限积分求导公式
在微积分中，变限积分（也称为求导积分）是一种将积分和导数结合起来的运算方式。
它可以使用一系列公式来进行计算，以下是一些常见的变限积分求导公式：
1. 牛顿-莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式是变限积分求导的基本公式之一，它描述了积分和导数之间的关系。
对于可导的函数f(x)，如果有F(x)是其原函数，则有以下公式：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)
2. 利用牛顿-莱布尼兹公式进行链式法则
对于复合函数y = f(u(x))，其中u(x)为中间变量函数，f(u)为函数f的复合函数。
利用链式法则，我们可以推导出以下公式：
d/du(∫[a,b]f(u(x))dx) = f(u(b))u'(b) - f(u(a))u'(a)
3. 利用牛顿-莱布尼兹公式进行变限积分的区间扩展
对于一个可导的函数f(x)，如果对积分区间进行扩展，有以下公式：
∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx
4. 利用牛顿-莱布尼兹公式进行边界条件变换
对于变限积分的边界条件进行变换，有以下公式：
∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx
5. 利用牛顿-莱布尼兹公式进行变限积分的线性组合
对于变限积分进行线性组合，有以下公式：
∫[a,b](c*f(x) + d*g(x))dx = c*∫[a,b]f(x)dx + d*∫[a,b]g(x)dx
以上是一些常见的变限积分求导公式，可以帮助我们更方便地进行变限积分的求导运算。
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记 ( x ) f ( t )dt .
a
x
变上限积分
定理1 (微积分第一基本定理)
如 果 f ( x ) 在 [a , b ] 上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数， 且它的导数是 d x ( x ) a f ( t )dt f ( x ) (a x b) dx x x x f ( t )dt f ( t )dt 证 ( x x ) ( x ) a a x x y f ( t )dt f ( )x
dx (11) 2 csc 2 xdx cot x C ; sin x
(12) (13)
sec x tan xdx
sec x C ;
csc x cot xdx csc x C;
(14) (15)
shxdx chx C; chxdx shx C;
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx
kf ( x )dx k f ( x )dx
2、 基本积分表
(1)
kdx kx C
( k是常数);
x 2 xdx x dx
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
（2）若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，
则 F ( x ) G( x ) C
x
x
[ x , x x ],
lim lim f ( ) f ( x ). x 0 x x 0
( x 0, x )
( x )
o
a
x x x b x
推论
如果 f (t ) 连续，a ( x ) 、b( x ) 可导，
则F ( x)
3 x 2 dx x 3 C
cos xdx sin x C
1、基本性质
d dx
f ( x )dx f ( x ),
d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
F ( x )dx F ( x ) C ,
dF ( x ) F ( x ) C .
2
0 ( 2 cos x sin x 1)dx
2
3 . 2
例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减 速停车, 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度
361000 m s 3600
刹车, 问从开始刹
( ) 10 ( m s )
第二节
微积分学基本定理
作业 习题3.2(A) 2, 3, 4(odd), 5, 7, 9, 11, 14 (B) 2,3,5,6
一、问题的提出
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数
s( t ) v ( t )
物体在时间间隔 内经过的路程为
T2
1
T
猜测
v ( t ) d t s(T2 ) s(T1 )
（C 为任意常数）
定理3 (微积分第二基本定理)
如果F（x)是 f ( x ) 在 I 中的一个原函数 则F（x）+C是f ( x )在I中的一切原函数
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 4（微积分基本公式）
[ 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上
的一个原函数，则a f ( x )dx F ( b ) F ( a ) .
则称F ( x )为f ( x )在I中的 一个原函数
定理2（原函数存在定理） 如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函
数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
x
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
a( x )
0
b( x )
f ( t )dt 0
f ( t )dt ,
F ( x ) f b( x )b( x ) f a( x )a( x )
例1
e cos x 求 lim
x 0
1
t 2 2
dt
x
.
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 cos x e dt dx 1 e dt , dx
例6
( ae) C (1) a e dx ( ae) dx ln(ae)
x x
x
x
1 ( 2) (tan x )dx 2 1 x
2
1 (sec x 1 )dx 2 1 x tan x x arctan x C
2
( 3) (1 x )3dx
0
2
f ( x)d x b , 则
四、不定积分
函数 f ( x )的一切原函数F（x)+C的表达式， 称为 f ( x )的不定积分，记为 积 被 分 积 号 函 数 例如
f ( x )dx f ( x )dx F ( x ) C
被 积 表 达 式 任 积 意 分 常 变 数 量 1 x dx ln x C
(1 3 x 3 x
2
x )dx
3
3 2 1 4 3 x x x x C 2 4
例7
已知一曲线 y f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的切线
sec 2 x sin x ， 且 此 曲 线 与 y 轴 的 交 点 为 斜率为 ( 0,5 ) ，求此曲线的方程.
2
e
cos2 x
1
(cos x ) sin x e
dt
cos2 x
,
cos x e lim
x 0
t 2 2
x
sin x e lim x 0 2x
cos2 x
1 . 2e
例2.
证明
只要证 F ( x ) 0
x
在 证:
内为单调递增函数 .
x 0
x f ( x ) f ( t ) d f ( x ) t f ( t ) d t t
2
解
1 x (1 x 2 ) 1 dx dx 原积分 2 2 x(1 x ) x 1 x
1 1 dx dx arctan x ln x C . 2 1 x x
例3 求积分 解
1 2x2 dx . 2 2 x (1 x )
解
dy sec 2 x sin x , dx y sec 2 x sin x dx
7 x 2 2 C x C . 5 7 1 2 1 1 x 2 dx x C
5 2
5 1 2
1 1 x C ( 2) x dx 1
( 1)
1 ( 3) dx ln x C x
1 ( 4) dx arctan x C ; 2 1 x
b
证 x f ( x ) F ( x ) f ( x )
故
x F x C
令x a得C F a
a
x
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
牛顿—莱布尼茨公式
a f t dt F b F a
0 f ( t ) d t 2
x
0
f ( x ) ( x t ) f ( t ) d t
x
0 f ( t ) d t
0 x
f ( x ) ( x ) f ( ) x
2
0 f ( t ) d t
x
0
2
(0 x )
定义2.1 (原函数) 如果在区间 I 上有F ( x ) f ( x )
b
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x ) a
b
b
注意 当a b 时， f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立. a 例3
b
2 sin x cos x x 0 1 1 例4 求 dx . 2 x 1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 dx ln | x |1 ln1 ln 2 ln 2. 2 x 2
a f ( x )dx ? F (b) F (a ).
b
二、变上限积分及其导数
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续， 并且设 为[a , b]上的一点， 考察定积分
x
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
如果上限 x 在区间[a , b]上任意变动，则对 于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值， 所以它在[a , b]上定义了一个函数，
2
1 2x 1 x x x 2 (1 x 2 )dx x 2 (1 x 2 ) dx
2 2
1 1 1 2 dx dx arctan x C . 2 x 1 x x 1 dx . 例4 求积分 1 cos 2 x 1 1 解 1 cos 2 x dx 1 2 cos 2 x 1 dx 1 1 dx 1 tan x C . 2 cos 2 x 2