高中数学 章末小结与测评 (2)

章末小结与测评全面回顾，重点关注，章末盘点，达标验收！
比较大小问题
体现,是学生必备的一项基本数学技能,也是高考考查内容之一．其基本方法是：将两个需要比较大小的实
数看成某类函数的函数值,然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．
[例1] 设a ＝0.60.6
,b ＝0.61.5
,c ＝1.50.6
,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<c
D ．b<c<a
[解析] 因为函数y ＝0.6x
是减函数,0<0.6<1.5,所以1>0.60.6
>0.61.5
,即b<a<1.因为函数y ＝x 0.6
在(0,＋∞)上是增函数,1<1.5,所以1.50.6
>10.6
＝1,即c>1.综上,b<a<c.
[答案] C
函数的定义域、值域问题
定义域、值域是函数的两个重要要素,也是高考的一个热点,求函数的定义域时,要找出使解析式有意义的式子,常见的有：分母不为零；偶次根式中,被开方的式子非负；零的零次幂和负数次幂无意义等．对于值域的求法,极其灵活,常用的方法有：直接观察法、分离系数法、换元法、不等式法、函数单调法、数形结合法等．
[例2] 函数f(x)＝
|x －2|－1
log 2x －1
的定义域为______．
[解析] 要使f(x)有意义,须满足⎩⎪⎨⎪
⎧
|x －2|－1≥0x －1>0
x －1≠1⇒x≥3.
[答案] [3,＋∞)
[例3] 已知函数f(x)＝a x
＋b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[－1,0],则a ＋b ＝________.
[解析] 当a>1时,函数f(x)＝a x
＋b 在[]－1，0上为增函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a －1
＋b ＝－1，
a 0
＋b ＝0
无解．
当0<a<1时,函数f(x)＝a x
＋b 在[－1,0]上为减函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a －1
＋b ＝0，a 0
＋b ＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
，
b ＝－2，
所以a ＋b ＝－3
2
.
[答案] －3
2
[例4] 若函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x ＋6x≤2，
3＋log a x x ＞2(a ＞0,且a≠1)的值域是[4,＋∞),则实数a 的取值范围
是________．
[解析] 当x≤2时,y ＝－x ＋6≥4. ∵f(x)的值域为[4,＋∞),
∴当a ＞1时,3＋log a x ＞3＋log a 2≥4,∴log a 2≥1, ∴1＜a≤2；
当0＜a ＜1时,3＋log a x ＜3＋log a 2,不合题意． 故a ∈(1,2]． [答案] (1,2]
函数的零点与方程根的关系应用
函数与方程的思想密切相关,相互转化,渗透到中学数学的各个领域,在解题中存在着广泛的应用,函数的零点实质上就是对应的方程的根,方程的根的问题可以借助于相应函数的性质来解决,而函数的零点也可以由对应方程的根进行研究．
1．函数零点的个数问题：
[例5] 已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
－1x≤1，
1＋log 2x x>1，则函数f(x)的零点为( )
A.1
2,0 B ．－2,0 C.12
D ．0
[解析] 当x≤1时,令2x
－1＝0,得x ＝0. 当x>1时,令1＋log 2x ＝0,得x ＝1
2,此时无解．
综上所述,函数零点为0. [答案] D 2．根的分布问题：
[例6] 已知关于x 的方程x 2
＋2mx ＋2m ＋1＝0. 若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的取值范围． [解] 令f(x)＝x 2
＋2mx ＋2m ＋1,
若抛物线与x 轴的交点落在区间(0,1)内,如图所示．则
⎩⎪⎨⎪⎧
f 0＞0，
f 1＞0，Δ≥0，0＜－m ＜1，
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＞－12
，
m ＞－12，
m≥1＋2或m≤1－2，
－1＜m ＜0.
所以－1
2
＜m≤1－ 2.
函数模型的应用
把握函数模型的应用实例类型的分类,熟练掌握不同类型应用题的解题步骤,比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给定的函数模型解决实例问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．
[例7] 某商场经营一批进价30元每件的商品,在市场销售中发现此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系：
销售单价x/元 30 40 45 50 日销售量y/件
60
30
15
(1)根据表中提供的数据在坐标系中描出实数对(x,y)对应的点,并确定x 与y 的一个函数关系式y ＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P 元,根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式,并指出销售单价x 为多少时,才能获得最大日销售利润．
[解] (1)实数对(x,y)对应的点如图所示,由图可知y 是x 的一次函数． 设f(x)＝kx ＋b(k≠0),
则⎩⎪⎨
⎪⎧ 60＝30k ＋b ，30＝40k ＋b ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝－3，b ＝150.
∴f(x)＝－3x ＋150,30≤x≤50. (2)P ＝(x －30)(－3x ＋150) ＝－3x 2
＋240x －4 500,30≤x≤50, ∴P 为开口向下的二次函数,
对称轴x ＝－240
2×－3＝40,且40∈[30,50]．
∴当销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润．
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中,与函数y ＝
1x
有相同定义域的是( )
A ．f(x)＝lnx
B ．f(x)＝1
x
C ．f(x)＝|x|
D ．f(x)＝e x
解析：选A 由y ＝
1
x
可得定义域是x>0.f(x)＝lnx 的定义域x>0；f(x)＝1
x 的定义域是x≠0；f(x)
＝|x|的定义域是x ∈R ；f(x)＝e x
定义域是x ∈R.
2．若幂函数f(x)＝x m －1
在(0,＋∞)上是减函数,则( )
A ．m>1
B ．m<1
C ．m ＝1
D ．无法确定
解析：选B 由α<0时,幂函数在(0,＋∞)内单调递减可得m －1<0,解得m<1.
3．已知集合A ＝{y|y ＝log 2x,x>1},B ＝yy ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
,x>2,则A∩B 等于( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|0<y<14
B.{}y|0<y<1
C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
y|14<y<1 D ．∅
解析：选A 当x>1时,log 2x>log 21＝0,
当x>2时0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭
⎪⎫122,
∴A ＝(0,＋∞),B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14,∴A∩B＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14. 4．函数y ＝log 22－x
2＋x 的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
解析：选A 本题考查对数函数及对称知识,由于定义域为(－2,2)关于原点对称,又f(－x)＝－f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称．
5．某城市为保护环境,维护水资源,鼓励职工节约用水,作出了如下规定：每月用水不超过8吨,按每吨2元收取水费；每月超过8吨,超过部分加倍收费,某职工某月缴费20元,则该职工这个月实际用水( )
A ．10吨
B ．13吨
C ．11吨
D ．9吨
解析：选D 设该职工该月实际用水为x 吨,易知x ＞8. 则水费y ＝16＋2×2(x－8)＝4x －16＝20,∴x ＝9.
6．设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋log 22－x
，x<1，
2x －1
，x≥1，则f(－2)＋f(log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
解析：选C ∵－2<1,
∴f(－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.
∵log 212>1,∴f(log 212)＝2log 212－1＝12
2＝6.
∴f(－2)＋f(log 212)＝3＋6＝9.
7．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x<0时,f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
,若f(x 0)＝－9,则x 0的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－1
D ．1
解析：选B ∵当x<0时,f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
>0,
而f(x 0)＝－9<0,
∴x 0>0,则－x 0<0,∴f(－x 0)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－x 0, 又f(x)为奇函数,∴f(－x 0)＝－f(x 0)．
∴f(x 0)＝－f(－x 0)＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－x 0 ＝－9⇒3x 0＝32
⇒x 0＝2.
8．设a ＝log 132,b ＝log 23,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3
,则( )
A ．a<b<c
B ．a<c<b
C ．b<c<a
D ．b<a<c
解析：选B 由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a<0,0<c<1,而b ＝log 23>1.
9．已知函数f(x)＝a x
,g(x)＝x a
,h(x)＝log a x,其中a>0且a≠1,在同一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象,则正确的是( )
解析：选B 本题综合考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象,分a>1和0<a<1两种情况,分别画出幂函数、指数函数、对数函数的图象(图略),对比可得选项B 正确．
10．已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)＝ln x,则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为( )
A.1ln 2
B ．－1
ln 2
C ．－ln 2
D ．ln 2
解析：选C 设x<0,则－x>0,于是有f(－x)＝ln(－x)．因为f(x)是奇函数,所以f(－x)＝－f(x)＝
ln(－x),所以f(x)＝－ln(－x),x<0.所以f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
ln x ，x>0，
－ln －x ，x<0，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f(－2)＝－ln
2.
11．已知f(x)＝log 12(x 2
－ax ＋3a)在区间[2,＋∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是( )
A ．(－4,4)
B ．[－4,4)
C ．(－4,4]
D ．[－4,4]
解析：选C ∵g(x)＝x 2－ax ＋3a 在[a 2,＋∞)上单调递增,故a 2≤2⇒a≤4.又g(2)＝22
－2a ＋3a>0⇒a>
－4.
12．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x ＋ln(2－x),则( ) A ．f(x)在(0,2)单调递增 B ．f(x)在(0,2)单调递减
C ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称
D ．y ＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析：选C 由题易知,f(x)＝ln x ＋ln(2－x)的定义域为(0,2),f(x)＝ln[x (2－x)]＝ln[－(x －1)
2
＋1],由复合函数的单调性知,函数f(x)＝ln x ＋ln(2－x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,所以排除A 、B ；
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34,
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－32＝ln 34, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝ln 34,所以排除D.故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若xlog 23＝1,则f(x)＝3x
＋9x
的值为________． 解析：由xlog 23＝1得x ＝1
log 23
＝log 32,
∴f(x)＝3log 32＋9log 32＝2＋(3log 32)2
＝2＋4＝6. 答案：6
14．若函数f(x)＝lg(x 2
＋a －x)为奇函数,则实数a 的值为________． 解析：∵f(x)为奇函数,
∴f(－x)＋f(x)＝0,即lg(x 2
＋a ＋x)＋lg(x 2
＋a －x)＝0, ∴lg[(x 2
＋a)－x 2
]＝0⇒lga ＝0⇒a ＝1. 答案：1
15．已知集合A ＝{x|log 2x≤2},B ＝(－∞,a)若A ⊆B,则实数a 的取值范围是(c,＋∞),其中c ＝______. 解析：可知A ＝(0,4],若A ⊆B 即(0,4]⊆(－∞,a), 则a>4,而a 的取值范围为(c,＋∞),∴c ＝4.
答案：4
16．已知函数f(x)是(－∞,＋∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x ＋2)＝f(x),且当x ∈[0,2)时,f(x)＝log 2(x ＋1),则f(－2 018)＋f(2 019)的值为________．
解析：f(－2 018)＝f(2 018)＝f(0＋2×1 009)＝f(0), f(2 019)＝f(1＋2×1 009)＝f(1),
∴f(－2 018)＋f(2 019)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案：1
三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求值：
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·|－0.06413－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2141
2； (2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 331
2
)2
＋ln e －lg 1. 解：(1)原式＝1＋14×25－32＝－25.
(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3·⎝ ⎛⎭⎪
⎫lg32lg2＋lg33lg2＋14＋12
－0
＝
3lg22lg3·5lg36lg2＋34＝54＋3
4
＝2. 18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax 2
＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2. (1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域． 解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2, 所以函数图象过点(－3,0),(2,0), 所以有9a －3(b －8)－a －ab ＝0,① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0,② ①－②得b ＝a ＋8.③
③代入②得4a ＋2a －a －a(a ＋8)＝0,即a 2
＋3a ＝0. 因为a≠0,a ＝－3,所以b ＝a ＋8＝5. 所以f(x)＝－3x 2
－3x ＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x 2
－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754,图象的对称轴方程是x ＝－12,又0≤x≤1,
所以函数f(x)在[0,1]上为单调递增函数, 所以f min (x)＝f(1)＝12,f max (x)＝f(0)＝18, 所以函数f(x)的值域是[12,18]．
19．(本小题满分12分)设a>0,f(x)＝e x
a ＋a
e x 是R 上的偶函数．
(1)求a 的值；
(2)证明f(x)在(0,＋∞)上是增函数．
解：(1)因为f(x)＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数,所以f(x)＝f(－x),即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ,故⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －a (e x －e －x
)
＝0,又e x －e －x
不可能恒为0,所以当1a
－a ＝0时,f(x)＝f(－x)恒成立,故a ＝1.
(2)证明：在(0,＋∞)上任取x 1<x 2, 则f(x 1)－f(x 2)＝e x 1 ＋1e x 1 －e x 2 －1
e x 2
＝(e x 1 －e x 2 )＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x 1 －1e x 2 ＝(e x 1 －e x 2 )＋(e x 2 －e x 1 )·
1
e x 1 e
x 2 ＝
e x 1 －e x 2
e x 1 e x 2 －1e x 1 e
x 2 ,
又e>1,x 1>0,x 2>0,所以1<e x 1 <e x 2 , 所以e x 1 －e x 2 <0,e x 1 e x 2 －1>0, 故f(x 1)－f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2), 所以f(x)在(0,＋∞)上是增函数．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3
x 的反函数经过点(18,a ＋2),设g(x)＝3ax
－4x
的定义域为区间[－1,1],
(1)求g(x) 的解析式；
(2)若方程g(x)＝m 有解,求m 的取值范围． 解：(1)∵f(x)的反函数过点(18,a ＋2)． ∴f(x)的图象过点(a ＋2,18)． ∴f(a ＋2)＝3
a ＋2
＝18,∴3a
＝2,
∴g(x)＝2x
－4x
,x ∈[－1,1]．
(2)g(x)＝－(2x )2＋2x
＝－⎝
⎛⎭⎪⎫2x －122＋14,
∵－1≤x≤1∴12
≤2x
≤2,
设2x
＝t,可知－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14在t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递减,
∴当t ＝12时,g(x)取最大值为1
4,
t ＝2 时, g(x)取最小值为－2. 要使方程g(x)＝m 有解, 只要使m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14,
故m 的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.
21．(本小题满分12分)某网店经营的某消费品的进价为每件12元,周销售量p(件)与销售价格x(元)的关系,如图中折线所示,每周各项开支合计为20元．
(1)写出周销售量p(件)与销售价格x(元)的函数关系式； (2)写出利润周利润y(元)与销售价格x(元)的函数关系式；
(3)当该消费品销售价格为多少元时,周利润最大？并求出最大周利润． 解： (1)由题设知,当12≤x≤20时,设p ＝ax ＋b,
则⎩⎪⎨⎪⎧
12a ＋b ＝26，
20a ＋b ＝10，
∴a ＝－2,b ＝50.
∴p ＝－2x ＋50,
同理得,当20＜x≤28时,p ＝－x ＋30,
所以p ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－2x ＋50，12≤x≤20，－x ＋30，20＜x≤28.
(2)当12≤x≤20时,
y ＝(x －12)(－2x ＋50)－20＝－2x 2
＋74x －620；
当20＜x≤28时,y ＝(x －12)(－x ＋30)－20＝－x 2
＋42x －380.
∴y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x 2
＋74x －620，12≤x≤20，－x 2
＋42x －380，20＜x≤28.
(3)当12≤x≤20时,y ＝－2x 2
＋74x －620, ∴x ＝372时,y 取得最大值1292.
当20＜x≤28时,y ＝－x 2
＋42x －380, ∴x ＝21时,y 取得最大值61.
∵1292＞61,∴该消费品销售价格为372时,周利润最大,最大周利润为1292
. 22．(本小题满分12分)函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x 的最大整数,如[1.6]＝1,[2.2]＝2,已知0≤x<4.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)记函数g(x)＝x －f(x),在平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象；
(3)若方程g(x)－log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12＝0(a>0,且a≠1)有且仅有一个实根,求a 的取值范围． 解：(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0≤x＜1，1，1≤x＜2，2，2≤x＜3，3，3≤x＜4.
(2)g(x)＝x －f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0≤x＜1，x －1，1≤x＜2，x －2，2≤x＜3，x －3，3≤x＜4，图象如图所示．
(3)方程g(x)－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝0有且仅有一个实根等价于g(x)与h(x)＝log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12的图象有且仅有一个交点,作出函数图象如图所示．
由图象可知当0＜a ＜1时,h(1)＝log a 12
≥1＝log a a, 解得12≤a＜1；当a ＞1时,h(2)＝log a 32
＞1＝log a a 或 ⎩⎪⎨⎪⎧ h
3＝log a 52＜1，h
4＝log a 72≥1，解得1＜a ＜32或52＜a≤72
.
综上,a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤52，72.。