广西北流市民乐镇第一初级中学九年级数学上册 21.3 二次根式的加减(第3课时)教学案 新人教版
九年级数学上册 第21章 二次根式21.3 二次根式的加减上课课件 华东师大级上册数学课件
内容(nèiróng)总结
No 21.3 二次根式的加减。2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法(fāngfǎ).。（3）x+2x+3y
（4）
3a2-2a2+a3。试 一 试。这样的几个二次根式，称为同类二次根式.。二次根式的加减，关键是将同类二次根式合
并.。1.判断下列计算哪些正确，哪些不正确。C.①和④
第十七页，共二十一页。
课堂小结
1. 同类(tónglèi)二次根式
如2 a与4 a，3 3与2 3.
2. 二次根式(gēnshì)的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将
同类二次根式合并.
第十八页，共二十一页。
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成(wán chéng)练习册本课时的习题.
_5__2__2__3_______ .
二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再 将同类(tónglèi)二次根式合并.
第八页，共二十一页。
例2 计算： (1 )271245 ； (2) 253218
2 解 (1) 27 12 45
3 32 33 5 33 5
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(2) 25 32 18 2
( 2)2 12
( 2)2221+12
21 1
32 2
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随堂演练
1. 下列计算(jìsuàn)是否正确？为什么？
(1) 8 (2) 4
2 2 3 3 8 3；
9 4 9； 5
不正确
(zhèngquè)
不正确
(3)3 2 2 2 2.
正确
第十四页，共二十一页。
84 24 2 22 ， 1 8 _ _ 9 _ _ _ 2_ _ _ _ 9 _ _ _ _ 2 _ _ _ 3 _ _ _ 2 _ _ ， 1 2 _ _ 4 _ _ 3 _ _ _ _ _ 4 _ _ _ _ 3 _ _ _ 2 _ _ _ 3_ _ .
九年级数学上册第21章二次根式21.3二次根式的加减课件新版华东师大版
ppt课件
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21.3 二次根式的加减
解：(1) 5＋ 20－ 45＝ 5＋2 5－3 5＝0.
(2)3 8＋2 18－ 50＝6 2＋6 2－5 2＝7 2.
(3)原式＝21 42×2－2 52×3＋ 12－3
32×1 3＝2 2－10 3＋21 2
－13 3＝(2＋12) 2＋(－10－31) 3＝52 2－331 3.
3．通过回顾整式的混合运算，理解二次根式混合运算中加、
减、乘、除、乘方、开方等运算的运算顺序，能正确进行二次根
式的混合运算．
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3
21.3 二次根式的加减
目标突破
目标一 会识别同类二次根式
例 1 教材补充例题下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是
( B)
A. 24 B. 12 C.
3 2
D. 0.3
第21章 二次根式
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第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
知识目标
目标突破 总结反思
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21.3 二次根式的加减
知识目标பைடு நூலகம்
1．通过回忆同类项的概念，类比理解同类二次根式的概念，
并能准确识别出同类二次根式．
2．通过自学阅读，类比整式加减运算的方法，讨论归纳出二
次根式加减的法则，并用该法则进行二次根式的加减运算．
12
21.3 二次根式的加减
总结反思
知识点一 同类二次根式的概念
几个二次根式化为最简二次根式后，如___被__开_方__数__相_同_____， 那么这几个根式叫做同类二次根式．
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21.3 二次根式的加减
新人教版九年级上21-3二次根式的加减教案
21.3.1 二次根式的加减教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）22+32（2）28-38+58（4）33-23+2（3）7+27+397老师点评：（1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？22+32=（2+3）2=52（2）把8当成y； 28-38+58=（2-3+5）8=48=82（3）把7当成z；7+27+97=27+27+37=（1+2+3）7=67（4）3看为x，2看为y．33-23+2 =（3-2）3+2=3+2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）32+8=32+22=5233+27=33+33=63所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．（注意：1、二次根式的加减分两个步骤：①化为最简二次根式；②合并被开方数相同的二次根式；2、被开方数不相同的二次根式不能合并，如2＋3就不能合并。
）例1．计算（1）8+18（2）16x +64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52（2）16x +64x =4x +8x=（4+8）x =12x例2．计算（1）348-913+312（2）（48+20）+（12-5）解：（1）348-913+312=123-33+63=（12-3+6）3=153（2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5 =43+25+23-5=63+5三、巩固练习教材P19练习1、2．四、应用拓展例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293x x+y 23xy）-（x 21x-5xyx）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=12，y=3原式=293x x+y 23xy-x 21x+5xyx=2x x +xy -x x +5xy =x x +6xy当x=12，y=3时，原式=12×12+632=24+36五、归纳小结警示误区：要注意3的系数为1，而不是0。
九年级数学上册 21.3《二次根式的加减》(第3课时)教案 新人教版
练习：填空 =_______； =________； =_______．
答案:
一、1．A 2．D
二、1．1- 2．4 -24 3．2 4．4
三、1．原式＝
= =
=-（ - ）= -
2．原式＝
= = = 2（2x+1）
∵x= = +1原式＝2（2 +3）=4 +6.
练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1- 与x+1+ 就是互为有理化因式； 与 也是互为有理化因式．
化简 + ，并求值．
分析：由于（ + ）（ - 母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：原式= +
= +
=（x+1）+x-2 +x+2
=4x+2
∵ =2-
∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab +b2
∴（a+b）x=（a+b）2
∵a+b≠0
∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
五、归纳小结
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
六、布置作 业
1．教材P21习题21．3 1、8、9．
2．选用课时作业设计．
九年级上数学《21.3 二次根式的加减》课件
一化
二找
三合并
例题
解答
如图所示的 Rt△ABC中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动。同时， 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。问：几秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ？PQ 的 距离是多少厘米？（结果用最简二次根式）
2 2 3 2 （化成最简二次根式） 2 3） 2 （分配律） （ 5 2 5 2 7.5
8 18
∴ 木板够长，可以截出这两个正方形木板。
同类二次根式
7 7
几个二次根式化成最简二次根式后，如 果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同 类二次根式。
2 2 3 2
2 7
2 3
一化
二找
（3）合并同类二次根式。
三合并
3. 有理化因式：
（1）单独一项
a 的有理化因式就是它本身 a 。
（2）出现和、差形式的：如 a b 的有理化因式为
a b。
随堂练习
1. 计算。
（1） （ 2） （3） （ 4） 2
3
80 53 a
40
5 52
6 10
b 5
c 9 5 20 5
二次根式 的加减法，该 如何运算？
教学目标
【知识与能力】
了解最简二次根式的概念并灵活运用它们
对二次根式进行加减。
【过程与方法】
通过分析前面的计算和化简结果，抓住它 们的共同特点，给出最简二次根式的概念。 利用最简二次根式的概念，来对相同的二 次根式进行合并，达到对二次根式进行计算 和化简的目的。
实际问题
人教版数学九年级上册21.3.2《二次根式的加减》教学设计2
人教版数学九年级上册21.3.2《二次根式的加减》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级上册第21章第3节《二次根式的加减》是学生在掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行学习的。
本节内容主要介绍二次根式的加减运算方法，通过实例引导学生掌握二次根式加减的运算技巧，提高学生解决实际问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，使学生能够巩固所学知识，提高解题技能。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式的性质和运算法则有了初步的了解。
但学生在解决实际问题时，往往对二次根式的加减运算方法掌握不牢固，对运算法则运用不熟练。
因此，在教学本节内容时，要注重引导学生理解二次根式加减的运算规律，通过实例使学生能够熟练运用运算法则，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解二次根式的加减运算方法，掌握二次根式加减的运算技巧。
2.能够运用二次根式的加减运算方法解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的解题技能。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算方法。
2.二次根式加减运算在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲练结合的教学方法，通过实例引导学生理解二次根式加减的运算方法，运用小组合作、讨论交流等方式，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手实践能力和合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的加减运算方法及实例。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入二次根式的加减运算，引导学生思考如何解决实际问题。
2.呈现（10分钟）通过课件展示二次根式的加减运算方法，让学生了解二次根式加减的运算规律。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，教师巡回指导，及时纠正学生在运算过程中出现的问题。
4.巩固（10分钟）挑选几道典型的练习题，让学生独立完成，检验学生对二次根式加减运算方法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生运用二次根式加减运算方法解决实际问题，提高学生的运用能力。
人教版数学九年级上册21.3.1《二次根式的加减》教学设计1
人教版数学九年级上册21.3.1《二次根式的加减》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级上册21.3.1《二次根式的加减》是本册教材中关于二次根式的重要内容。
在此之前，学生已经学习了二次根式的定义、性质和运算规则。
本节课的内容是在此基础上，进一步引导学生学习二次根式的加减运算。
教材通过例题和练习，使学生掌握二次根式加减的运算方法，并能灵活运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式的概念和性质有一定的了解。
但在实际操作中，部分学生可能对二次根式的加减运算还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服困难，提高运算能力。
三. 教学目标1.理解二次根式加减的运算规则。
2.能够正确地进行二次根式的加减运算。
3.能够将二次根式的加减运算应用于实际问题中。
四. 教学重难点1.教学重点：二次根式加减的运算规则。
2.教学难点：二次根式加减在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式加减的运算规则。
2.运用实例分析法，使学生能够将理论知识与实际问题相结合。
3.采用小组合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的学习习惯。
六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括二次根式的加减运算规则、实例分析等。
2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何运用二次根式进行解答。
例如，计算下列二次根式的和：√2+√3。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现二次根式加减的运算规则，引导学生主动探究并总结规律。
3.操练（10分钟）学生独立完成一些二次根式加减的练习题，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，分享各自在练习过程中遇到的问题和解决方法。
教师总结要点，强调注意事项。
5.拓展（10分钟）教师提出一些具有挑战性的问题，引导学生运用所学知识进行解答。
九年级数学上册21.3二次根式的加减法教学全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
＝( 3)2＋2 6＋( 2)2＋( 2)2－2 6＋( 3)2
＝3＋2 6＋2＋2－2 6＋3
＝10.
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21.3 二次根式加减法
[归纳总结] (1)二次根式混合运算次序与实数、整式、分式 混合运算运算次序一样，先乘方(开方)，再乘Leabharlann ，然后加减， 有括号先算括号里面．
(2)实数运算中运算律，在二次根式运算中依然成立． (3)运算结果可能依然是二次根式，也可能是有理数，假如 结果是二次根式，要化为最简二次根式．
[解析] 先把它们化成最简二次根式，再进行判断． 因为 24＝2 6， 12＝2 3， 32＝ 26， 18＝3 2， 所以 12与 3是同类二次根式．选B.
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21.3 二次根式加减法
[归纳总结] 判断同类二次根式方法： (1)首先将不是最简二次根式化为最简二次根式，再看被开 方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式只与被开方数及根指 数相关，而与根号外因式无关．
数学
新课标（HS） 九年级上册
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21.3 二次根式加减法
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21.3 二次根式加减法
新知梳理
► 知识点一 同类二次根式概念 概念：几个二次根式化为 最简二次根式后 ，假如
被开方数相同 ，那么这几个根式叫同类二次根式．
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21.3 二次根式加减法
► 知识点二 二次根式加减法法则 法则：同类二次根式合并，只要把根号外式子相加减，不是 同类二次根式不能合并．
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21.3 二次根式加减法
► 知识点三 二次根式混合运算 二次根式混合运算是指二次根式加、减、乘、除、乘方、开 方混合运算，实质上就是实数混合运算和代数式混合运算．
广西北流市民乐镇第一初级中学九年级数学上册 21.2 二次根式的乘除(第3课时)教学案 新人教版
21.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1）35，（2）3227，（3）82a老师点评：35=155，3227=63，82a =2a a 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，•那么它们的传播半径的比是_________．它们的比是1222Rh Rh ．二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．1222Rh Rh =121122222h h Rh h Rh h h ==. 例1．(1) 5312; (2) 2442x y x y +; (3) 238x y 例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．B A C解：因为AB2=AC2+BC2所以132====6.5（cm）因此AB的长为6.5cm．三、巩固练习教材P14练习2、3四、应用拓展例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．解：原式=……+1）=））=2002-1=2001五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、布置作业1．教材P15习题21．2 3、7、10．2．选用课时作业设计．第三课时作业设计一、选择题1．如果x y （y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A ．x y （y>0） B ．xy （y>0） C ．xy y （y>0） D ．以上都不对 2．把（a-1）11a --中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A ．1a - B ．1a - C ．-1a - D ．-1a - 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A ．53=315 B ．12=±122C ．4a b =a 2 bD ． 32x x -=x 1x -4．化简3227-的结果是（ ） A ．-23 B ．-3 C ．-63 D ．-2 二、填空题1．化简422x x y +=_________．（x ≥0）2．a 21a a +-化简二次根式号后的结果是_________． 三、综合提高题1．已知a 为实数，化简：3a --a 1a -，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：3a -1a -a -·1a a -=（a-1a -2．若x 、y 为实数，且y=224412x x x --+x y x y +-g 答案:一、1．C 2．D 3.C 4.C二、1．22x y +．1a --三、1．不正确，正确解答： 因为3010a a ⎧->⎪⎨->⎪⎩，所以a<0，原式＝2a a -g -a ·2a a -=a -·2a -a ·2a a -=-a a -+a -=(1-a) a - 2．∵224040x x ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩ ∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=14∴ 221634164x y x y x y +-=-=-=.。
广西北流市民乐镇第一低级中学九年级数学上册 21.3 二次根式的加减（第3课时）教学案
21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．温习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学进程一、温习引入学生活动：请同窗们完成以下各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2教师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它要紧有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探讨新知若是把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是不是仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分普遍，能够代表所有一切，•固然也能够代表二次根式，因此，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22分析：适才已经分析，二次根式仍然知足整式的运算规律，•因此直接可用整式的运算规律．解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3=18+24=32+26解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22=23-32例2．计算（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）分析：适才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1）（5+6）（3-5）=35-（5）2+18-65=13-35（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2=10-7=3三、巩固练习讲义P 20练习一、2．四、应用拓展例3．已知x b a -=2-x a b -，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0， 11x x x x +-++11x x x x+++- 分析1x +x （1x +x =1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程取得x 的值，代入化简得结果即可．解：原式2(1)(1)(1)x x x x x x +-+++-2(1)(1)(1)x x x x x x +++-++=2(1)(1)x x x x +-+-+2(1)(1)x x x x +++-=（x+1）+x-2(1)x x ++x+2(1)x x +=4x+2 ∵x ba -=2-x ab - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结本节课应把握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 一、八、9．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．（24-315+2223）×2的值是（ ）．A ．2033-330 B ．330-233 C ．30233 D ．203330 2x 1x -x 1x - ）．A ．2B ．3C ．4D ．1二、填空题1．（-12+32）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．假设x=2-1，那么x 2+2x+1=________． 4．已知a=3+22，b=3-22，那么a 2b-ab 2=_________．三、综合提高题1．化简5710141521++++ 2．当x=121-时，求2211x x x x x x ++++-++2211x x x x x x+-++++的值．（结果用最简二次根式表示） 课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，确实是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：以下各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A ．2x 与2yB ．3489a b 与5892a b C ．mn 与n D ．m n +与m n +2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积能够运用平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如22x x +22x x +确实是互为有理化因式；x 与x也是互为有理化因式． 练习23________；y _________．1x +1x -_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把以下各式的分母有理化（1（2； （3 （4．4．其它材料：若是n==________=_______． 答案:一、1．A 2．D二、1． 2． 3．2 4．三、1=-222=222(1)()21x x x x +++⨯+=2(1)(1)1x x x x ++++= 2（2x+1）∵+1 原式＝2（+3）+6.。
广西北流市民乐镇第一初级中学九年级数学上册 21.1 二
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）如图，要做一个两条直角边的长
分别是7cm和4cm的三角尺，斜边的长
7cm
应为 65 cm;
s （2）面积为S的正方形的边长为
；
4cm
（3）要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池,它的半径为
____2__ m(π取3.14);
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式
子叫做二次根式，“ ”称为二次根式.
例题解析 例1 当x是怎样的实数时， 数范围内有意义？
解： x 2 0，得
x2
x 2 在实
当x 2时，x 2在实数范围内有意义。
当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？x3 ?
x为任意实数 x为大于等于零的实数
(4)一个物体从高处自由下落,落到地面所用的时间为t，
（单位：s）与开始下落的高度h（单位：米）满足关系 h=5t2。如果用含有h的式子表示t, 则t=____h _5_.
想一想
➢在上面的问题中，结果分别是 65, S , 2, h
它们都是表示一些正数算术平方根.
5
➢我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根为0； ห้องสมุดไป่ตู้实数范围内，负数没有平方根.因此，开平方时， 被开数只能是正数和0.
解：由图示知
y
6 5
C(2,5)
AC=5－3=2 AB=5－2=3 根据勾股定理
4
3 2
A(2,3)
B(5,3)
1
123 456 x
BC AB2 AC2 32 22 13
答：BC长为 13 .
3. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数 范围内有意义？
九年级数学上册 第21章 二次根式21.3二次根式的加减法备选课件
2 1+12
12/11/2021
第二十一页，共二十七页。
（3）（3 2 5）2
解：原式 9 12 5 20
12 5 29
12/11/2021
第二十二页，共二十七页。
练一练
（1） (2 2 3 3)(3 3 2 2)
（2） (2 2)(3 2 2)
（解1：）原式
2
2
2 2 3 3 8 27 19
观察(guānchá)下面两个题目的计算过程
整式中的运算律也适用(shìyòng)于二次根式
12/11/2021
第二十页，共二十七页。
计算(jìsuàn)
(1（) 2 1）( 2 1) 解：(1（) 2 1）( 2 1)
2
2 -12
2-1
1
2
(2) 2-1
2
(2) 2-1
2
2 2
32 2
例2 计算(jì
: suàn)
(1) 271245； 2 253218
2
解 ： (1) 271245
332 335
33 5
2 25 32 18
2
= 5 2 + 4 2 -3 2 2
=
5 2
+
4 -3
2
12/11/2021
=7 2
第十四页，共二十七页。
2
下列计算(jìsuàn)哪些正确，哪些不正确？
2二次根式的加减法 3二次根式的混合运算顺序及运算律
的应用
12/11/2021
第二十六页，共二十七页。
内容 总结 (nèiróng)
21.3 二次根式的加减。下列根式中，哪些是最简二次根式。（a≥0，b≥0）。（a≥0，
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21.3 二次根式的加减(3)
第三课时
教学内容
含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．
教学目标
含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
重难点关键
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
二、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1．计算:
（1）683（2）（62）÷2
分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．
解：（1）6836383
182426
解：（62）÷26÷22÷2
3-3 2
例2．计算
（1）5）（5（2）107）107）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1）5）（5
=35-（5）2+18-65 =13-35 （2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2
=10-7=3
三、巩固练习
课本P 20练习1、2．
四、应用拓展
例3．已知x b a
-=2-x a b -，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0， 化简11x x x x +-+++11x x x x
+++-，并求值． 分析：由于（1x ++x ）（1x +-x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．
解：原式=2(1)(1)(1)x x x x x x +-+++-+2
(1)(1)(1)
x x x x x x +++-++ =2(1)(1)x x x x +-+-+2
(1)(1)x x x x
+++- =（x+1）+x-2(1)x x ++x+2(1)x x +
=4x+2
∵x b a
-=2-x a b - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）
∴bx-b 2=2ab-ax+a
2 ∴（a+b ）x=a 2+2ab+b
2 ∴（a+b ）x=（a+b ）
2 ∵a+b ≠0
∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b ）+2
五、归纳小结
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．
2．选用课时作业设计．
作业设计
一、选择题
1．（24-315+2223）×2的值是（ ）． A ．2033-330 B ．330-233 C ．230-2
33 D ．20
33-30
2．计算（x +1x -）（x -1x -）的值是（ ）．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．1
二、填空题
1．（-12+32
）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=2-1，则x 2
+2x+1=________． 4．已知a=3+22，b=3-22，则a 2b-ab 2
=_________． 三、综合提高题
1．化简5710141521
++++ 2．当x=21-时，求2211x x x x x x ++++-++2211x x x x x x
+-++++的值．（结果用最简二次根式表示）
课外知识
1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．
练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A ．2x 与2y
B ．3489a b 与5892
a b C ．mn 与n D ．m n +与m n +
2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-
22x x +与22x x +x x
也是互为有理化因式．
练习的有理化因式是________；
_________．
_______．
3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
练习：把下列各式的分母有理化
（1
（2； （3 （4．
4．其它材料：如果n
=
=________=_______．
答案:
一、1．A 2．D
二、1．．．2 4．
三、1
=-）
222
=222(1)()21x x x x +++⨯+=2(1)(1
)
1x x x x ++++= 2（2x+1）
∵
+1 原式＝2（+3）+6.。