【2014高考一轮数学复习资料精编】第7章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系.

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2014届高考数学一轮复习课件：第七章第3课时空间点、直线、平面的位置关系(新人教A版)

跟踪训练
1.如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：
EF，GH，BD交于一点．
证明：如图，连接GE，FH. 因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC. 又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
所以FH∥AC.
解析：如图，取 BC 的中点 O，连接 MO，NO， 1 1 则 OM＝ AC，ON＝ BD. 2 2 在△MON 中，MN<OM＋ON 1 ＝ (AC＋BD)，∴④正确． 2
答案：④
考点探究讲练互动
考点突破
考点1 平面的基本性质
例1 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD
的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面；
【题后感悟】
(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证
明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的
三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可． (2)要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.
a∩b＝A 1
a∩α＝A 1
α∩β＝l 无数个
直线与直线
图形语言独有符号关系语言交点个数 a、b是异面直线 0
直线与平面
平面与平面
a⊂α 无数个
3．异面直线所成的角设 a，是两条异面直线， b 经过空间中任一点 O 作直线 a′
锐角(或直角) ∥a， b′∥b， a′与 b′所成的______________叫作异把 0，π 2 面直线 a 与 b 所成的角，其范围为________. 思考探究如果两条直线没有任何公共点，则两条直线为异面直线，此说法正确吗？

高考数学大一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系理

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4．公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
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公理中“有且只有”一个平面的含义是什么？提示：平面存在且唯一，“有且只有”有时说成“确定”．
3 连接 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO＝DADO＝22＝34.
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求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
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(2014·大纲全国卷)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的
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3．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
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(1)不相交的两条直线是异面直线吗？ (2)不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：(1)不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面． (2)不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行．
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(2)∵EF 綊12CD1，
∴直线 D1F 和 CE 必相交．设 D1F∩CE＝P.延长 D1F、CE 交于点 P. ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D，∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD，∴P∈平面 ABCD，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点，而平面 ABCD∩ 平面 AA1D1D＝AD，∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点．
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(2)已知空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 BC，CD 的中点．

高考数学大一轮复习第7章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系理

a⊂α 无数个 a∥α 没有 a∩α＝A a⊥α 一个
3．空间中两个平面的位置关系
位置关系符号表示
公共点
两平面平行 ________ ________公共点
两平面相交
斜交 ________
垂直
________
有一条公共 ________
α∥β 没有 α∩β＝l α⊥β 直线
[基础训练]
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( ) (2)正方体各面所在平面将空间分成9部分．( ) (3)设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则点M一定不在直线l上．( ) (4)四边形一定是平面图形．( )
答案：1或4 解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．
5 ．如图所示，在正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， E ， F 分别是 AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．
[证明] 如图，连接CD1，EF，A1B，
因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.
又因为A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，即EF与CD1确定一个平面α. 且E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．
[互动探究] 本调研条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？
[互动探究证明] 由调研解析可知EF∥CD1，且EF＝12CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交．设交点为P，如图，则P∈CE且P∈D1F. 又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝ AD，所以P∈AD，所以CE，D1F, DA交于一点．

(浙江专版)2014届高考数学一轮复习7.3《空间点、直线、平面之间的位置关系》限时集训理

限时集训(四十一) 空间点、直线、平面之间的位置关系(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2013·福州检测)给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．42．若直线a∥b，b∩c＝A，则直线a与c的位置关系是( )A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4C．5 D．64．(2011·浙江高考)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交5．(2013·重庆模拟)若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是( ) A．平行 B．异面C．相交 D．平行、异面或相交6．(2012·福州模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.457．(2013·聊城模拟)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )A．平行 B．相交C．垂直 D．互为异面直线8．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是( )A．(0，2) B．(0，3)C．(1，2) D．(1，3)二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．给出如下四个命题：①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个平面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A、B、C∈平面α，且点A、B、C∈平面β，则平面α与平面β重合．其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号都填上)10．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．12．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．13．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F 与平面ABCD的交线．16．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．17．(2012·上海高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．答案[限时集训(四十一)]1．B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A9．解析：如图(1)，平面α内∠ABC 为直角，P ∉α，过P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ⊥BC ，垂足为E ，则四边形PDBE 有三个直角，故①假；在图(2)的平面α内，四边形ABCD 中任意三点不共线，则③假；图(3)中，平面α∩平面β＝l ，A 、B 、C 都在l 上，则④假，只有②真．答案：②10．解析：①中两相交直线确定一个平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行，③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④11.解析：将展开图还原为正方体，如图所示，则AB ⊥EF ，故①正确；AB ∥CM ，故②错误；EF 与MN 显然异面，故③正确；MN 与CD 异面，故④错误．答案：①③12.解析：如图，连接DF ，因为DF 与AE 平行，所以∠DFD 1即为异面直线AE 与D 1F 所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD 1＝FD ＝5，由余弦定理得cos ∠DFD 1＝52＋52－2252＝35. 答案：3513．解析：①是假命题，因为过点P 不存在一条直线与l ，m 都平行；②是真命题，因为过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P 也可能没有一条直线与l ，m 都相交；④是假命题，因为过点P 可以作出无数条直线与l ，m 都异面．答案：①③④14．解析：如图：延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，连接A 1D ，BD ，则四形边形ADA 1C 1为平行四边形，∴∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角，又三角形A 1DB 为等边三角形， ∴∠DA 1B ＝60°.答案：60°15．解：如图所示．PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．16．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α，∵A ∈α，B ∈α，E ∈α，∴平面α即为平面ABE ，∴P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角，∵∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2；cos ∠AEF ＝ 2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14. 17．解：(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋22＝23，CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3. (2)取PB 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2、AF ＝2、AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4. 因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.。

2014届高考数学一轮必备 8.3《空间点、直线、平面之间的位置关系》考情分析学案

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系考情分析1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力． 2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意事项1异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2. (1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．题型一平面的基本性质【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D【变式1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③题型二异面直线【例2】4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：若c与a、b都不相交，则c与a、b都平行．根据公理4，则a∥b.与a、b异面矛盾．答案：C【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案(2)(4)题型三异面直线所成的角【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【变式3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC 共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.题型四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点， ∴EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E 、C 、D 1、F 四点共面． (2)∵EF ∥CD 1，EF ＜CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．【变式4】如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．证明 ∵E 、H 分别为边AB 、AD 的中点， ∴EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG BD ＝23，且FG ∥BD . ∴四边形EFGH 为梯形，从而两腰EF 、GH 必相交于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC . 同理，P ∈平面ADC .∴P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线交于一点．【例5】l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )．A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案 B巩固提高1．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不．正确的是( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案：C2．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( ) A．a∥b且c∥dB．a、b、c、d中任意两条可能都不平行C．a∥b或c∥dD．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c ⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.答案：C3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C；又只有当a⊥b时，D才可能成立．答案：B4．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB． AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案：D5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出三个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)解析：由基本性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故③不正确．答案：①答案：90°。

【创新方案】2014届高考数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之前的位置关系讲解与练习理新人教

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据．3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 1.直线、平面位置关系是历年高考考查的重点内容之一，既有客观题，又有主观题．其中客观题主要是空间线、面位置关系的判定．如2012年某某T9，某某T5等．主观题中往往作为其中一问来考查，如2012年某某T18，某某T18(1)等．2.公理和定理一般不单独考查，而是作为解题过程中的推理依据.[归纳·知识整合]1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：判断空间两条直线平行的依据．[探究] 1.平面几何中成立的有关结论在空间立体几何中是否一定成立？提示：不一定．例如，“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直”在平面几何中成立，但在立体几何中就不成立．而公理4的传递性在平面几何和立体几何中均成立．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②X 围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [探究] 2.不相交的两条直线是异面直线吗？提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面． 3．不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A1个平行 a ∥α 0个在平面内a ⊂α 无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个1．(教材习题改编)下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C 对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．2．(教材习题改编)分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )A．异面 B．平行C．相交 D．以上都有可能解析：选D 由直线、平面的位置关系分析可知两条直线相交、平行或异面都有可能．3．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝A D．l∩α＝B解析：选A ∵a⊂α，l∩a＝A，∴A∈α，A∈l，同理B∈α，B∈l，∴l⊂α.4．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________个部分．解析：三个平面α，β，γ两两相交，交线分别是a，b，c，且a∥b∥c，则α，β，γ把空间分成7部分．答案：75．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．解析：连接B1D1，易证B1D1∥EF，从而∠D1B1C即为异面直线B1C与EF所成的角，连接D1C，则△B1D1C为正三角形，故∠D1B1C＝60°.答案：60°平面的基本性质及应用[例1] 以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C ．2D ．3[自主解答] ①正确，可以用反证法证明；②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线．则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内．[答案] B ———————————————————由所给元素确定平面的方法判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面．1．下列如图所示是正方体和正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析：①中可证四边形PQRS 为梯形；②中，如图所示取A 1A 与BC 的中点为M 、N ，可证明PMQNRS 为平面图形，且PMQNRS 为正六边形．③中可证四边形PQRS 为平行四边形；④中，可证Q 点所在棱与面PRS 平行，因此，P 、Q 、R 、S 四点不共面．答案：①②③[例2] 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ [自主解答] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又∵BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)∵BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ， ∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四共点面．本例条件不变，如何证明“FE 、AB 、DC 共点”？证明：如图，取AD 中点为M ，连接GM ，EG ，CM . 由条件知，EG 綊AB ，CM 綊AB ，所以EG 綊CM ，所以四边形EGMC 为平行四边形，所以EC ∥GM . 又GM 綊12FD ，∴EC 綊12FD ，故E 、C 、D 、F 四点共面.延长FE 、DC ，设相交于点N ，因为EF ⊂平面ABEF ，所以N ∈平面ABEF ，同理可证，N ∈平面ABCD ，又因为平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，所以N ∈AB . 即FE 、AB 、DC 三线共点. ———————————————————证明共面问题的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．2．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明：(1)连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点， ∴EF ∥BA 1. 又A 1B ∥D 1C ，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.空间两条直线的位置关系[例3] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行[自主解答] 由于MN与平面DCC1D1相交于N点，D1C1⊂平面DCC1D1，且C1D1与MN没有公共点，所以MN与C1D1是异面直线．又因为C1D1∥A1B1，且A1B1与MN没有公共点，所以A1B1与MN是异面直线，故选项D错误．[答案] D———————————————————异面直线的判定方法(1)定义法：依据定义判断(较为困难)；(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)．(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．3．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD 是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG、FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交.异面直线所成的角[例4] (2013·某某模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[自主解答] (1)如图，连接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四边形，所以AC∥A1C1.即AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．因为EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.又因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角为90°.———————————————————求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的一般步骤为：4．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD 的中点，求直线AB和MN所成的角．解：如图，设E为AC的中点，连接EM、EN.∵EM 綊12AB ，∴∠EMN 即为异面直线AB 与MN 所成的角(或补角)．在△MEN 中，ME 綊12AB ，EN 綊12CD .∴∠MEN 为异面直线AB 与CD 所成的角(或补角)，且△MEN 为等腰三角形．当∠MEN ＝60°时，∠EMN ＝60°，即异面直线AB 和MN 所成的角为60°. 当∠MEN ＝120°时，∠EMN ＝30°，即异面直线AB 和MN 所成的角为30°. ∴直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.1个疑难点——对异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线． (3)异面直线的公垂线有且仅有一条． 2种方法——求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角．3个“共”问题——“共面”、“共线”和“共点”问题 (1)证明共面问题一般有两种途径：①首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； ②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合． (2)证明共线问题一般有两种途径：①先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； ②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.易误警示——求解线线角中忽视隐含条件而致错[典例] (2013·某某模拟)过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 如图，连接体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB 、AD ，AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC 、BA 、BB 1所成的角都相等，∵BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB 、AD 、AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C 、DB 1也与棱AB 、AD 、AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1、A 1C 、DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．[答案] D [易误辨析]1．易忽视异面直线所成的角，且没有充分认识正方体中的平行关系而错选A. 2．求解空间直线所成的角时，还常犯以下错误： (1)缺乏空间想象力，感觉无从下手； (2)忽视异面直线所成角的X 围． [变式训练]如图所示，点A 是平面BCD 外一点，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝2，则异面直线AD 和BC 所成的角为________．解析：如图，设G 是AC 的中点，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ＝1.即∠EGF 为所求，又EF ＝2，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.答案：90°一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 对于①，没有公共点的两条直线平行或异面，故①错；对于②，异面直线垂直但不相交，故②错；③④正确．2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选C 由条件，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合的条件的棱共有5条．3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B 如图，设l∩α＝A，α内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面．4．(2013·某某模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15 B.25C.35 D.45解析：选D 连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.5．(2013·聊城模拟)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )A．平行 B．相交C．垂直 D．互为异面直线解析：选C 不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m，使得m⊥l.6．(2012·某某高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值X围是( )A．(0, 2) B．(0, 3)C．(1, 2) D．(1, 3)解析：选A 如图所示，AB＝2，CD＝a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED＝AD2－AE2＝22，同理EC＝22.由构成三角形的条件知0<a<ED＋EC＝2，所以0<a< 2.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：将展开图还原为正方体，如图所示，则AB⊥EF，故①正确；AB∥CM，故②错误；EF与MN显然异面，故③正确；MN与CD异面，故④错误．答案：①③8．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DF ，因为DF 与AE 平行，所以∠DFD 1即为异面直线AE 与D 1F 所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD 1＝FD ＝5，由余弦定理得cos ∠DFD 1＝52＋52－222×52＝35. 答案：359．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于________．解析：如图：延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，连接A 1D ，BD ，则四形边形ADA 1C 1为平行四边形，∴∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角，又三角形A 1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B ＝60°.答案：60°三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解：如图所示．PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．11．如图所示，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α，∵A ∈α，B ∈α，E ∈α，∴平面α即为平面ABE ，∴P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角，∵∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2；cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14. 12．(2012·某某高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA＝2.求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．解：(1)因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋222＝23，CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3. (2)取PB 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2、AF ＝2、AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝π4. 因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.1．平面α、β的公共点多于两个，则①α、β垂直②α、β至少有三个公共点③α、β至少有一条公共直线④α、β至多有一条公共直线以上四个判断中不成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由条件知，平面α与β重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故④错误；相交时不一定垂直，故①错误．2．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°解析：选C 依题意得MN ∥PQ ，MN ∥平面ABC ，又MN ⊂平面ACD ，且平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，因此有MN ∥AC ，AC ∥平面MNPQ .同理，BD ∥PN .又截面MNPQ 是正方形，因此有AC ⊥BD ，直线PM 与BD 所成的角是45°.3．对于四面体ABCD ，下列命题①相对棱AB 与CD 所在直线异面；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．其中正确的是________(填序号)．解析：对于①，由四面体的概念可知，AB 与CD 所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A 作四面体的高，当四面体ABCD 的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD 的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA ＝DB ，CA ＝CB 时，这两条高线共面，故③错误；对于④，设AB 、BC 、CD 、DA 的中点依次为E 、F 、M 、N ，易证四边形EFMN 为平行四边形，所以EM 与FN 相交于一点，易证另一组对棱也过它们的交点，故④正确．答案：①④4．已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，BC ＝3，AA ′＝5，求异面直线D ′B 和AC 所成角的余弦值．解：法一：(平移法)：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接BD 交AC 于点E ，取DD ′的中点F ，连接EF ，AF ，则EF 綊12D ′B ， ∴∠FEA 是D ′B 和AC 所成的角，∵AE ＝42＋322＝52， EF ＝25＋252＝522， AF ＝ 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝612， ∴在△FEA 中，cos ∠FEA ＝EF 2＋AE 2－AF 22EF ·AE ＝7250.法二：(补形法)：如图，在长方体的一旁补一个全等的长方体，则BE 綊AC ∴∠D ′BE (或其补角)是D ′B 和AC 所成的角， ∵D ′B ＝52，BE ＝5，D ′E ＝89，∴在△D ′BE 中，cos ∠D ′BE ＝－7250， ∴D ′B 与AC 所成角的余弦值为7250.。

高三数学一轮复习第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系课件理新人教A版

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【解析(jiě xī)】由图可知AM与CC1是异面直线，AM 与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为 60°.
【答案】 ③④
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(2012·上海高考改编题)如图 7－3－6，在三棱锥 P—ABC 中，PA⊥底面 ABC，
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2．空间点、直线(zhíxiàn)、平面之间的位置关系
直线与直线直线与平面平面与平面
平行关系
相交关系
独有关系
图形语言
符号语言
图形语言
符号语言
图形语言
符号语言
a∥b
a∩b＝A
a，b是异面直线
a∥α a∩α＝A
aα
α∥β α∩β＝l
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3.异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的_锐__角__(r_u_ì_ji_ǎ_o_)或_叫直做角异面直线 a 与 b 所成的角．
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【尝试解答】 (1)S△ABC＝12×2×2 3＝2 3，三棱锥 P－ABC 的体积为 V＝13S△ABC·PA＝13×2 3×2＝43 3.
(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED∥BC，所以∠ADE(或其补角) 是异面直线 BC 与 AD 所成的角．
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如图 7－3－2 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形，BC 綊12AD，
BE 綊12FA，G、H 分别为 FA、FD 的
中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四

高三数学一轮复习第七章第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系课件

如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
解析： (1)不是异面直线．理由：连接 MN、A1C1、AC， ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点， ∴MN∥A1C1.
求证：P、A、C 三点共线．
证明： (1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. 在△BCD 中，BGGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD.∴EF∥GH.
∴E、F、G、H 四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点．又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，
⊥平面 A1B1M.12 分
【阅后报告】该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，而第(2)问关键在于证明 BM⊥平面 A1B1M，这些方法是解决立体问题常用思路．
(本小题满分 12 分)(2010·湖南卷) 如图所示，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1 ＝2，M 是棱 CC1 的中点． (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值；
(2)证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M.
【规范解答】 (1)因为 C1D1∥B1A1，所以∠ MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角.2 分因为 A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°. 而 A1B1＝1，B1M＝ B1C21＋MC21＝ 2，4 分故 tan∠MA1B1＝AB11BM1＝ 2，即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为

2014高考数学一轮复习课件：7.3空间点、直线、平面之间(精)

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2．下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 • A．0 B．1 • C．2 D．3
• 解析：只有当三点不共线时才能确定一个平面，故①不正确；由公理2知②正确；③正确；④中只有当三点不共线时两平面才重合，故不正确．因此正确命题的个数为2个． • 答案：C
直线与平面
平面与平面
a⊂α
• 2．空间中垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系？ • 提示：可能平行、相交或异面． • 3．如果两条直线没有公共点，则这两条直线为异面直线，这种说法对吗？ • 提示：不对．这样的两条直线也可能平行．
• 三、平行公理和等角定理平行 • 1．平行公理：平行于同一条直线的两条直线．相等或互补 • 2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．
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【考向探寻】 1．点共线、线共点问题． 2．点共面、线共面问题． 3．几何体的截面问题．
• 【典例剖析】 • (1)给出以下四个命题 • ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； • ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； • ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、 c共面； • ④依次首尾相接的四条线段必共面．
• 4．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，则这四点能确定________个平面． • 解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面． • 答案：1或4
5．下列命题中不正确的是__________．． ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面； ③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．

安徽省高考数学一轮复习 7.3 空间点、直线、平面之间

7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课后自测理(见学生用书第315页)A组基础训练一、选择题1．(2014·安徽示范高中联考)以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．【答案】 B2．(2011·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解析】如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．【答案】 B图7－3－73．(2014·佛山模拟)如图7－3－7所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )A.55 B.255C.12D ．2【解析】如图，取AC 中点G ，连FG 、EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE ＝25＝255.【答案】 B图7－3－84．如图7－3－8所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面【解析】连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ， ∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．【答案】 A5．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC【解析】由公理1知，命题A正确．对于B，假设AD与BC共面，由A正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确．对于C，如图，当AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小变化时，AD与BC不一定相等，故不正确．对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则由题设得BC⊥AE，BC⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.故D正确．【答案】 C二、填空题图7－3－96．(2013·北京海淀模拟)如图7－3－9，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．【解析】由A′O⊥平面BCD，可得平面A′BC⊥平面BCD，又由DC⊥BC及DC⊥A′O可得DC⊥平面A′BC，故DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【答案】90°图7－3－107．如图7－3－10是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.【答案】②③④图7－3－118．如图7－3－11所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．【解析】由图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.【答案】③④三、解答题图7－3－129．如图7－3－12所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形EBFD 1是菱形．【证明】如图所示，取B 1B 的中点G ，连接GC 1，EG ， ∵GB ∥C 1F ，且GB ＝C 1F ， ∴四边形C 1FBG 是平行四边形，∴FB ∥C 1G ，且FB ＝C 1G ， ∵D 1C 1∥EG ，且D 1C 1＝EG ， ∴四边形D 1C 1GE 为平行四边形． ∴GC 1∥D 1E ，且GC 1＝D 1E ， ∴FB ∥D 1E ，且FB ＝D 1E ， ∴四边形EBFD 1为平行四边形．又∵FB ＝FD 1，∴四边形EBFD 1是菱形．图7－3－1310．(2012·上海高考改编)如图7－3－13，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．【解】 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥PABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.B 组能力提升1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )【解析】在A 图中分别连接PS ，QR ，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 共面；在C 图中分别连接PQ ，RS ，易证PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 共面；如图所示，在B 图中过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，故四点共面； D 图中PS 与QR 为异面直线，∴四点不共面，故选D. 【答案】 D图7－3－142．如图7－3－14所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．【解析】取A1C1的中点D1，连接B1D1，因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝2a，所以AB1＝3a，B1D1＝32a，AD1＝14a2＋2a2＝32a.所以cos∠AB1D1＝3a2＋34a2－94a22×3a×32a＝12，所以∠AB1D1＝60°.【答案】60°3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．【证明】(1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P、Q、R三点共线．。

最新高中高考数学第一轮复习精编同步讲义第7篇第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系[最新考纲]1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 ⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．辨析感悟1．对平面基本性质的认识(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)(3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×) 2．对空间直线关系的认识(5)已知a，b是异面直线、直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(√)(6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)[感悟·提升]1．一点提醒做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分．2．两个防范一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如(4)．3．一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6).考点一平面的基本性质及其应用【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( )．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是( )．A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形解析(1)①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．(2)如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接MR交BB于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形．1同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案(1)B (2)D学生用书第112页规律方法 (1)判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．【训练1】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．解析可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．答案①②③考点二空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．答案②④考点三异面直线所成的角【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．审题路线(1)找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积．(2)取AB的中点F⇒作△PAB的中位线⇒找到异面直线DE与PA所成的角⇒计算其余弦值．解(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PO⊥面ABCD，∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，∵BO ＝AB ·sin 30°＝1，∵PO ⊥OB ，∴PO ＝BO ·tan 60°＝3， ∵底面菱形的面积S ＝2×34×22＝2 3. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13×23×3＝2.(2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF ， ∵E 为PB 中点，∴EF ∥PA ，∴∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成角(或其补角)．在Rt △AOB 中，AO ＝AB ·cos 30°＝3＝OP ，∴在Rt △POA 中，PA ＝6， ∴EF ＝62. 在正△ABD 和正△PDB 中，DF ＝DE ＝3，在△DEF 中，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－322×3×62＝6432＝24. 即异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为24. 规律方法 (1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【训练3】 (2014·成都模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，则A 1B 与EF 所成角的大小为________．解析如图，连接B 1D 1，D 1C ，B 1C .由题意知EF 是△A 1B 1D 1的中位线，所以EF ∥B 1D 1. 又A 1B ∥D 1C ，所以A 1B 与EF 所成的角等于B 1D 1与D 1C 所成的角．因为△D 1B 1C 为正三角形，所以∠B 1D 1C ＝π3. 故A 1B 与EF 所成角的大小为π3.答案π31．证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合． 3．异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．学生用书第113页思想方法7——构造模型判断空间线面的位置关系【典例】(2012·上海卷)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n 异面，则( )．A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能[解析] 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．[答案] D[反思感悟] 这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳．【自主体验】1．(2013·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析本题可借助特殊图形求解，画一个正方体作为模型(如图)．设底面ABCD 为α，侧面A1ADD1为β.①当A1B1＝m，B1C1＝n时，显然A不正确；②当B1C1＝m时，显然D不正确；③当B1C1＝m时，显然B不正确．故选C.答案 C2．对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析本题可借助特殊图形求解．画一个正方体作为模型(如图)设底面ABCD为α.①当A1B1＝m，B1C1＝n，显然符合①的条件，但结论不成立；②当A1A＝m，AC＝n，显然符合②的条件，但结论不成立；③与底面ABCD相邻两个面可以两两垂直，但任何两个都不平行；④由面面垂直的判定定理可知，④是正确的．只有④正确，故选A.答案 A对应学生用书P311基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )．A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案 D2．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )．A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案 A3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )．①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P ∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①② B．②③ C．①④ D．③④解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案 D4．(2013·山西重点中学联考)已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若m ⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是( )．A．p∧q B．p∨qC．p∨(綈q) D．(綈p)∧q解析命题p中，m，n可能平行、还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题．所以綈p和綈q都为真命题，故p∨(綈q)为真命题．选C.答案 C5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析有2条：A1B和A1C1.答案 B二、填空题6．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．答案247.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，因此直线AM 与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．答案③④8．(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．解析取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.答案 4 三、解答题 9.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綉12AD ，BE綉12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綉12AD .又BC 綉12AD ，∴GH 綉BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綉12AF ，G 为FA 中点知，BE 綉FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綉CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC ，BD 交于点M ，求证：点C 1，O ，M 共线．证明如图所示，∵A 1A ∥C 1C ， ∴A 1A ，C 1C 确定平面A 1C . ∵A 1C ⊂平面A 1C ，O ∈A 1C ，∴O ∈平面A 1C ，而O ＝平面BDC 1∩线A 1C ，∴O ∈平面BDC 1，∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C，∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )．A．AB∥CD B．AB与CD相交 C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°解析如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．∴正确选项为D.图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°.答案 D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线( )．A．不存在 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有无数条解析法一图1在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面(如图1)，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．故选D.法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α(如图2)，因CD与平面α不平行，图2所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案 D二、填空题3.(2013·安徽卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜12时，S为四边形；②当CQ＝12时，S为等腰梯形；③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13；④当34＜CQ＜1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为6 2.图1解析如图1，当CQ ＝12时，平面APQ 与平面ADD 1A 1的交线AD 1必平行于PQ ，且D 1Q ＝AP ＝52， ∴S 为等腰梯形，∴②正确；同理，当0＜CQ ＜12时，S 为四边形，∴①正确；图2如图2，当CQ ＝34时，将正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1补成底面不变，高为1.5的长方体ABCD －A 2B 2C 2D 2.Q 为CC 2的中点，连接AD 2交A 1D 1于点E ，易知PQ ∥AD 2，作ER ∥AP ，交C 1D 1于R ，连接RQ ，则五边形APQRE 为截面S .延长RQ ，交DC 的延长线于F ，同时与AP 的延长线也交于F ，由P 为BC 的中点，PC ∥AD ，知CF ＝12DF ＝1，由题意知△RC 1Q ∽△FCQ ，∴RC 1CF ＝C 1Q CQ， ∴C 1R ＝13，∴③正确；由图2知当34＜CQ ＜1时，S 为五边形，∴④错误；当CQ＝1时，点Q 与点C 1重合，截面S 为边长为52的菱形，对角线AQ ＝3，另一条对角线为2，∴S ＝62，⑤正确．答案 ①②③⑤ 三、解答题4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解(1)如图，连接AC，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接BD，由(1)知AC∥A1C1.∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角为90°.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.学生用书第113页。

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第七章第3讲
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课前自主导学核心要点研究课课精彩无限经典演练提能限时规范特训
证明：(1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. 在△BCD 中，GBGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
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1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2.了解可以作为推理依据的公理和定理． 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
第七章第3讲
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第七章第3讲
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1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． 2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
第七章第3讲
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[变式探究] 如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB 、 AD 的中点， G 、 H 分别在 BC 、 CD 上，且 BG∶GC ＝ DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)设EG与FH交于点P. 求证：P、A、C三点共线．
第七章第3讲
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(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ________． (4)异面直线所成的角(或夹角) ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的________叫做异面直线a与b 所成的角． ②范围：________.
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(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P、A、C三点共线.
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(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
第七章第3讲
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[审题视点] (1)根据中位线定理可证明EF∥CD1，即可证得结论；
(2)先确定其中两条直线的交点，说明该交点也在第三条直线上.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 ________过该点的公共直线.
若P∈α且 P∈β，则α∩β ＝a，且P∈a.
第七章第3讲
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有以下命题： ①若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线有且只有一个平面；④两两相交的三条直线确定一个平面；⑤空间中不同的三点确定一个平面；⑥梯形一定是平面图形其中真命题的是________
第七章第3讲
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[解] (1)不是异面直线，证明如下：连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，
∴MN∥A1C1.又∵A1A 綊 C1C，
∴四边形 A1ACC1 为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到 MN∥AC. ∴A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线．
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第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系
第七章第3讲
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不同寻常的一本书，不可不读哟！
第七章第3讲
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第七章第3讲
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(2)是异面直线．证明如下：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α， CC1⊂平面α， ∴D1、B、C、C1∈α，这与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
第七章第3讲
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3个必知作用 1. 公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③ 由直线在平面内判断直线上的点在平面内． 2. 公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法． 3. 公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线.
符号语言
A∈l B∈l A∈α⇒l⊂α B∈α
第七章第3讲
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公理 2
公理 3
图形
文字语言
符号语言
过不在 ___________，有且只有一个平面.
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使 A∈α，B∈α， C∈α.
第七章第3讲
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[证明] (1)如图，连接 CD1，EF，A1B， ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝12A1B.
又∵A1D1 綊 BC，
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
3．空间直线、平面的位置关系图形语言符号语言公共点
相交
直
线
与平
平行
面
在平面内
a∩α＝A ____个
a∥α
____个
a⊂α
____个
第七章第3讲
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平平面行与平相面交
图形语言
符号语言公共点
第七章第3讲
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1．证明四点共面的基本思路有：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可． 2．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．
第七章第3讲
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∴CE与D1F必相交．设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，
且P∈D1F⊂平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1. 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．
1点必须注意 “不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不相交，也不平行． 2种必会方法异面直线的判定方法： (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
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பைடு நூலகம்
例2 [2013·安庆模拟]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1 中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
α∥β
____个
α∩β＝l ____个
第七章第3讲
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判断下列七个命题是否正确 ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．( ) ②两条直线不异面，则这两条直线相交．( ) ③分别在两个平面内的直线是异面直线．( ) ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．( ) ⑤不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．( ) ⑥互相垂直的两条直线是相交直线．( ) ⑦没有公共点的两条直线平行．( )
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是 AB ， AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为 ________．
第七章第3讲
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【2014高考一轮数学复习资料精编】第7章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系.