2020年中考数学复习 第五单元 四边形 方法技巧训练(五)与中点有关的基本模型练习
中考数学系统复习第五单元四边形方法技巧训练二几何中与中点有关的计算与证明练习
方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。
四边形解题技巧专题中点问题作业ppt
特殊四边形面积的求解
总结词
掌握特殊四边形的面积计算方 法
具体步骤
对于平行四边形，面积等于底乘 以高；对于正方形，面积等于边 长的平方；对于矩形，面积等于 长乘以宽
适用情况
适合解决面积问题、周长问题等
04
中点问题解题技巧
利用中点进行倍长线段
倍长中线
利用中点的性质，可以倍长四边形中的线段，构造出新的三 角形或四边形，从而利用已知条件解决问题。
解析。
针对经典例题的多种解法进行 比较分析，帮助学生了解不同 解法的优劣，开拓解题思路。
学生易错题解析
总结词：难点突破，扫清误区
分析学生在解决四边形专题中点问题时容易出现的典型错误和易混淆知识点
通过正误对比、辨析，帮助学生认识自身解题中的常见错误，防止在考试中出现 类似错误。
同类型题目实战演练
总结词：强化训练，举一反三
构造平行四边形
通过倍长中线，可以构造出平行四边形，从而可以利用平行 四边形的性质解决问题。
中点与直角三角形的性质
利用中点构造直角三角形
在四边形中，如果有一个内角是直角，那么可以利用中点的性质，构造出两 个直角三角形，从而可以利用直角三角形的性质解决问题。
斜边上的中线
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可以利用这个性质，构造 出等腰三角形或平行四边形，从而解决问题。
性质2
四边形中点与四个顶点连线的交点为四个外接圆的圆心
四边形内切圆的性质
1 2
性质1
四边形内切圆的圆心到四边形各边的距离相等
性质2
四边形内切圆的直径等于四边形两相邻边长之 和
3
应用
利用内切圆性质可以判断四边形是否为正方形 或长方形，以及计算面积等
四边形解题技巧专题中点问题作业ppt
中点在平行四边形中的应用
总结词
矩形中点性质
详细描述
矩形的对角线相等且互相平分，中点到矩形四个顶点的距离相等，利用这一性质可以解决关于矩形中点的问题。
中点在矩形中的应用
菱形中点性质
总结词
菱形的对角线互相垂直且平分，中点到菱形四个顶点的距离相等，利用这一性质可以解决关于菱形中点的问题。
详细描述
中点在菱形中的应用
中点问题经典例题解析
03
VS
平行四边形中点应用例题是解决中点问题的重要题型之一，通过证明两个三角形全等，得到对应边相等，从而得出中点结论。
详细描述
平行四边形中点应用例题通常涉及两个三角形，其中一个是平行四边形，另一个是三角形或平行四边形。通过证明这两个三角形全等，可以得出对应边相等，从而得出中点结论。在证明全等时，通常需要利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法。
总结词
平行四边形中点应用例题
总结词
矩形中点应用例题通常涉及矩形的对角线，通过对角线平分矩形得到两个全等的三角形，从而得出中点结论。
详细描述
矩形中点应用例题通常涉及两个全等的三角形，通过证明这两个三角形全等，可以得出对应边相等，从而得出中点结论。在证明全等时，通常需要利用矩形的性质和对角线平分矩形的性质。
菱形中点应用练习题
中点问题易错点及注意事项
05
1
中点应用常见的错误及解决办法
2
3
四边形中点与中位线概念不同，中点是四边形两边中点的连线，而中位线是四边形两对角线中点的连线。
混淆中点与中位线的概念
中点四边形是指以四边形的各边中点为顶点的四边形，其具有平行四边形的性质，但并不总是平行四边形。
未掌握中点四边形的性质
四边形中点连线归纳总结
四边形中点连线归纳总结四边形是几何学中常见的一个形状，它具有四个边和四个角。
在四边形中，我们可以找到一些特殊的点，如中点。
本文将对四边形中点连线进行归纳总结。
四边形是一个含有四个边的几何图形。
根据四边形的性质和特点，我们可以得出如下结论：1. 对角线中点连线：四边形的对角线连接了四个顶点，而对角线的中点连线连接了四边形的两个对角线中点。
这条中点连线一般会将四边形分成两个三角形，并且对角线中点连线的长度等于对角线的长度的一半。
2. 边中点连线：四边形的边中点分别为相邻边的中点和对角线的中点。
连接相邻边的中点会得到四个边中点连线，它们分别连接了四边形的相邻边的中点。
这些中点连线长度相等，且互相平行。
3. 中点连线长度关系：在四边形中，边中点连线、对角线中点连线和对角线的长度之间存在一些特殊的关系。
我们可以发现，对角线的中点连线长度等于相邻两边中点连线长度之和的一半。
四边形中点连线的归纳总结，可以通过以下示意图更加清晰地展示出来：（插入适合的示意图）根据上述总结，我们可以利用四边形中点连线的性质和特点解决一些几何问题，例如：1. 判断四边形类型：通过观察四边形的中点连线，我们可以判断四边形是否为平行四边形。
如果四边形的对角线中点连线长度等于相邻两边中点连线长度之和的一半，则该四边形是平行四边形。
2. 求解四边形面积：利用四边形中点连线的长度关系，我们可以求解四边形的面积。
根据公式，四边形的面积等于对角线长度的一半乘以对角线中点连线的长度。
3. 推导四边形性质：通过观察四边形的中点连线，我们可以推导出一些四边形的性质。
例如，如果四边形的对角线中点连线长度等于对角线的长度的一半，则该四边形是矩形。
总结：四边形中点连线可以帮助我们研究和解决与四边形相关的几何问题。
通过对中点连线的归纳总结，我们可以发现一些性质和关系，并应用于解决实际问题。
因此，在学习和应用几何学时，我们应该重视四边形中点连线的作用，并深入理解其中的原理和应用。
四边形解题技巧专题中点问题作业ppt
四边形的边长和角度关系
对角线分成的两个三角形相似
在四边形中，对角线将四边形分成两个三角形，这两个三角形是相似的。
对角线平分
在凸四边形中，对角线平分四个内角；在凹四边形中，对角线平分四个外角。
四边形的对称性和面积计算
对称性
四边形可以具有轴对称性或中心对称性。轴对称四边形是关 于一条直线对称的，中心对称四边形是关于一个点对称的。
详细描述
1. 构造直角三角形： 利用矩形的性质，通 过连接对角线或构造 直角三角形来寻找中 点之间的关系。
2. 利用中位线定理： 直角三角形的斜边中 线等于斜边的一半。 即如果一个三角形是 直角三角形
3. 解题时要注意：在 解决矩形中点问题时 ，要关注图形中的隐 含条件，如角度、线 K YOU.
2. 利用中位线定理：平 行四边形的中位线等于 它的一半，即如果一个 四边形是平行四边形， 那么它的中位线等于它 的两条对角线的一半。
3. 解题时要注意：在解 决平行四边形中点问题 时，要关注图形中的隐 含条件，如角度、线段 长度等。
矩形中点问题例题
总结词：矩形中点问 题主要涉及矩形的性 质和直角三角形的中 位线定理，通过构造 直角三角形或利用中 位线定理进行求解。
2023
四边形解题技巧专题-中点 问题作业
目录
• 四边形基本知识回顾 • 中点问题解题技巧 • 中点问题经典例题解析 • 中点问题解题策略总结
01
四边形基本知识回顾
四边形的定义和性质
定义
四边形是由四条直线段连接的封闭图形。
性质
四边形具有凸性和凹性，其中凸四边形具有最小内角和最大外角，凹四边形 具有最大内角和最小外角。
矩形中点问题
总结词
矩形中点问题主要涉及矩形的性质和直角三角形中的 中位线定理，通过中点连接可以证明两对相等的线段 ，从而得到矩形。
2020年中考数学复习 第五单元 四边形 方法技巧训练(五)与中点有关的基本模型练习
方法技巧训练（五）与中点有关的基本模型题组11.如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝（C）A.60°B.75°C.90°D.105°第1题图第2题图2.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是（B）A.3B.4C.5D.63.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF 的长为（B）A.3B.4C.5D.7第3题图第4题图4.如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，A C的垂直平分线分别交BC于点D，E.若BD2＋CE2＝DE2，则∠A的度数为135°Ｗ.5.（2018·青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH2.题组26.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE∶S△DCE＝（B）A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶3第6题图第7题图7.（2018·陕西）如图，在菱形ABCD中.点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE.若EH＝2EF，则下列结论正确的是（D）A.AB＝2EFB.AB＝2EFC.AB＝3EFD.AB＝5EF8.（2018·苏州）如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E 作EF∥CD （点F 位于点E 右侧），且EF ＝2CD ，连接DF.若AB ＝8，则DF 的长为（B ）A .3B .4C .2 3D .3 29.如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8Ｗ.第9题图 第10题图10.（2018·武汉）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，AC ＝1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点.若DE 平分△ABC的周长，则DE 2. 11.（1）如图1，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ，则∠BME＝∠CNE，求证：AB ＝CD.（提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）（2）如图2，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5，∠OEC＝60°，求OE 的长度.图1 图2 解：（1）证明：连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，FH. ∵E，F 分别是BC ，AD 的中点，∴EH∥AB，EH ＝12AB ，FH∥CD，FH ＝12CD ，∴∠BME＝∠HEF，∠CNF＝∠HFE.∵∠BME＝∠CNE， ∴∠HEF＝∠HFE. ∴HE＝HF. ∴AB＝CD.（2）连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，OH. ∵AB＝CD ，∴HO＝HE. ∴∠HEO＝∠HOE＝∠OEC. ∵∠OEC＝60°，∴∠HEO＝∠HOE＝60°. ∴△OEH 是等边三角形. ∵AB＝DC ＝5， ∴OE＝52.【以下方法指导排版时是在边栏】 方法指导1 有关中点的常见考法 （1）直角三角形斜边上的中线如图，在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，则BD ＝12AB ，AD ＝CD ＝DB.反过来，在△ABC 中，点D 在AB 边上，若A D ＝BD ＝CD ＝12AB ，则有∠ACB＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线.（1）图 （2）图 （3）图 （2）等腰三角形“三线合一”如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，通常取底边BC 的中点D ，则AD⊥BC，且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上，在△ABC 中：①AB＝AC ；②AD 平分∠BAC；③BD＝CD ；④AD⊥BC.对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”.（3）线段垂直平分线如图，直线l 是线段BC 的垂直平分线，则可以在直线l 上任意取一点A ，得到AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形.解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形. （4）倍长中线在△ABC 中，M 为BC 的中点.①如图1，连接AM 并延长至点E ，使得AM ＝ME ，连接CE ，则△ABM≌△ECM.②如图2，点D 在AB 边上，连接DM 并延长至点E ，使得ME ＝DM ，连接CE ，则△DMB≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点，常常倍长中线，利用“8”字形全等将题中条件集中，以达到解题的目的.图1 图2（4）图图1 图2（5）图（5）拓展图 （6）图（5）构造三角形的中位线 在△ABC 中，D 为AB 边的中点.①如图1，取AC 边上的中点E ，连接DE ，则DE∥BC，且DE ＝12BC.②如图2，延长BC 至点F ，使得CF ＝BC ，连接CD ，AF ，则DC∥AF，且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来，通常需要再找一个中点来构造中位线，或倍长某段线段构造中位线.拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中，则需先添加辅助线构造中点，然后构造三角形的中位线解题.如在四边形ABCD 中，点E ，H 分别为AB ，CD 边的中点，则先连接AC ，然后取AC 边的中点F ，连接EF ，FH ，则EF 为△ABC 的中位线，FH 为△ACD 的中位线.（6）中点四边形如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是四边形的边AB ，BC ，CD ，AD 的中点. 结论：①连接EF ，FG ，GH ，EH ，则中点四边形EFGH 是平行四边形. ②若对角线AC 和BD 相等，则中点四边形EFGH 是菱形. ③若对角线AC 与BD 互相垂直，则中点四边形EFGH 是矩形.④若对角线AC 与BD 互相垂直且相等，则中点四边形EFGH 是正方形. 方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容 ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半.。
【方法技巧】与中点有关的辅助线作法例析
【方法技巧】与中点有关的辅助线作法例析线段的中点是几何图形中的一个特殊点．在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，则是处理中点问题的关键．但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。
下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法．一、遇到中点找中点这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线，并利用其性质．因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线．例1：如图1，，E、F分别为BC、AD的中点，射线BA、EF交于点G，射线CD、EF交于点H．求证：．分析：连接AC，并取其中点P，构造△PEF，证明，再利用中位线的性质即可得证．证明：连接AC，取AC的中点P，连接PE、PF．∵E为BC的中点，∴PE∥AB，，同理PF∥CD，．∵，∴，，由PE∥AB ，得，由PF∥CD，得．说明：已知三角形一边的中点或梯形一腰的中点，常过中点作中位线．二、遇到中点作中线这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质．因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线．例2：如图2，△ABC中，，AD为高，E为BC的中点，求证：．分析：在△ABC中，出现了Rt△ADC和Rt△ADB这两个直角三角形；又因为E为BC的中点，即题目中有中点与直角三角形的条件．按照“遇到中点找中点”的方法，可取Rt△ADC斜边AC的中点F（或AB的中点），连接EF，即得△ABC的中位线；再依据“遇到中点作中线”的方法，连接DF，即得到Rt△ADC斜边AC上的中线，然后只要证明即可．证明：取AC的中点F，连接EF、DF．∵E、F分别为BC、AC的中点，∴EF∥AB，．∵AD是高，∴△ADC是直角三角形．又∵F为斜边AC的中点，∴，．由EF∥AB，得．又∵，∴．∴．说明：若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三角形底边的中点，则应常想到作中线．三、遇到中点倍长线段这种方法是指：若图中出现由中点引出的线段，则应常想到成倍延长这一线段，可为解题提供更为广阔的思路．例3：如图3，在△ABC中，已知D为BC边中点，FD⊥ED于点D，交AB、AC于点F、E．求证：．分析：待证的线段BF、CE、EF之间没有明显关系。
2020-2021【名校提分专用】中考数学系统复习 第五单元 四边形 方法技巧训练(二)几何中与中点有关的计算与
方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图，在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，则BD ＝12AB ，AD ＝CD ＝DB.反过来，在△ABC 中，点D 在AB 边上，若AD ＝BD ＝CD ＝12AB ，则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，通常取底边BC 的中点D ，则AD ⊥BC ，且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上，在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”．(3)线段垂直平分线 如图，直线l 是线段BC 的垂直平分线，则可以在直线l 上任意取一点A ，得到AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中，M 为BC 的中点．①如图1，连接AM 并延长至点E ，使得AM ＝ME ，连接CE ，则△ABM ≌△ECM.②如图2，点D 在AB 边上，连接DM 并延长至点E ，使得ME ＝DM ，连接CE ，则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点，常常倍长中线，利用“8”字形全等将题中条件集中，以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中，D 为AB 边的中点．①如图1，取AC 边上的中点E ，连接DE ，则DE ∥BC ，且DE ＝12BC.②如图2，延长BC 至点F ，使得CF ＝BC ，连接CD ，AF ，则DC ∥AF ，且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来，通常需要再找一个中点来构造中位线，或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中，则需先添加辅助线构造中点，然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中，点E ，H 分别为AB ，CD 边的中点，则先连接AC ，然后取AC 边的中点F ，连接EF ，FH ，则EF 为△ABC 的中位线，FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是四边形的边AB ，BC ，CD ，AD 的中点． 结论：①连接EF ，FG ，GH ，EH ，则中点四边形EFGH 是平行四边形． ②若对角线AC 和BD 相等，则中点四边形EFGH 是菱形． ③若对角线AC 与BD 互相垂直，则中点四边形EFGH 是矩形．④若对角线AC 与BD 互相垂直且相等，则中点四边形EFGH 是正方形． 方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容 ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半； ②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； ④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半． 题组11．如图，在△ABC 中，E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，AB ＝2，AC ＝1，DE ＝32，则∠CDE ＋∠ACD ＝(C) A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°2．如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB ＝AD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，EF ＝2，则AC 的长是(B)A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠DCB ＝90°，E ，F 分别是BD ，AC 的中点，AC ＝6，BD ＝10，则EF 的长为(B)A ．3B ．4C ．5 D.74．如图，在钝角△ABC 中，已知∠A 为钝角，边AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E.若BD 2＋CE 2＝DE 2，则∠A 的度数为135°．5．(2018·青岛)如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 2题组26．如图，在△ABC 中，两条中线BE ，CD 相交于点O ，则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(2018·陕西)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD 和DA 的中点，连接EF ，FG ，GH 和HE.若EH ＝2EF ，则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(2018·苏州)如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧)，且EF ＝2CD ，连接DF.若AB ＝8，则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(2018·武汉)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，AC ＝1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC的周长，则DE 211．(1)如图1，在四边形ABCD 中，F ，E 分别是BC ，AD 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ，已知∠BME ＝∠CNE ，求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线)(2)如图2，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5，∠OEC ＝60°，求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，FH. ∵F ，E 分别是BC ，AD 的中点， ∴EH ∥AB ，EH ＝12AB ，FH ∥CD ，FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF ，∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE ， ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，OH. ∵O ，E 分别是BC ，AD 的中点，∴EH 平行且等于12AB ，OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD ，∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°，∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5，∴OE ＝52.。
中点四边形与判定定理
中点四边形与判定定理中点四边形是指一个四边形的对角线的交点是四条边的中点。
中点四边形有一些特殊的性质和定理。
本文将介绍中点四边形的性质，并讲解与之相关的判定定理。
一、中点四边形的性质1. 中点连线性质：在中点四边形中，连接两个相邻顶点的线段恰好是另一条对边的中点连线。
例如，对于四边形ABCD，若AC的中点为E，BD的中点为F，则AE与BF相交于中点四边形的对角线交点G。
2. 对角线平分性质：在中点四边形中，对角线互相平分。
即对于四边形ABCD，AC和BD作为对角线，则AC平分BD，BD也平分AC。
这是因为中点四边形的定义决定了对角线的交点G是AC和BD的中点，所以AC平分BD，BD也平分AC。
3. 斜边性质：在中点四边形中，连接中点的斜边恰好等于两个对角线的一半。
以四边形ABCD为例，若AC的中点为E，BD的中点为F，则EF = AG = BG = CG = DG = 1/2(AC + BD)。
二、中点四边形判定定理根据中点四边形的性质，我们可以得出两个判定定理：1. 判定定理一：如果一个四边形的对角线交点是该四边形两对相对边中点，那么这个四边形一定是中点四边形。
证明：设四边形ABCD的对角线交点为E，且E是AC和BD的中点。
根据中点连线性质，连接AE和BE，连接CE和DE。
则AE和BE分别平分CD，CE和DE分别平分AB。
根据对角线平分性质，AC 和BD互相平分。
因此，四边形ABCD满足中点四边形的定义，即为中点四边形。
2. 判定定理二：如果一个四边形的两对相对边互相平分，并且对角线交于一点，那么这个四边形一定是中点四边形。
证明：设四边形ABCD的对角线为AC和BD，且AC平分BD，BD平分AC，交于点E。
根据中点连线性质，连接AE和BE，连接CE和DE。
由于AC平分BD，根据转角平分定理，角EAB等于角EDB，角EBA等于角EAD。
同理，角ECD等于角EBC，角EDC等于角ECA。
因此，四边形ABCD满足中点四边形的定义，即为中点四边形。
中点四边形的判定
中点四边形的判定
中点四边形是指由四个顶点和四条边组成的四边形，其中一条对角线的中点是该四边形的中心点。
中点四边形的性质有以下几点：
1. 中点四边形的对角线相等，且互相平分。
2. 中点四边形的对边平行。
3. 中点四边形的对边长度相等。
4. 中点四边形的对角线相交于中心点，且互相垂直。
下面以一个例子来说明如何判断一个四边形是否是中点四边形。
假设有一个四边形ABCD，其中AC为对角线，E是AC的中点。
我们需要判断该四边形是否是中点四边形。
首先，我们需要判断AC是否为对角线。
如果AC不是对角线，那么该四边形肯定不是中点四边形。
其次，我们需要判断AE和EC是否相等。
如果AE和EC的长度不相
等，那么该四边形也不是中点四边形。
最后，我们需要判断BD是否与AC相交，并且交点为O（四边形的中心点）。
如果BD与AC不相交，或者相交但交点不在O上，那么该四边形仍不是中点四边形。
综上所述，只有当一个四边形满足AC为对角线，AE和EC相等，且BD与AC相交于O点时，才可以判定它为中点四边形。
中点四边形在数学、物理、工程等领域都有重要应用。
例如在三角形的内心和外心问题中，中点四边形可以用来推导内心和外心与三角形三个顶点的连线关系。
此外，中点四边形也可以用来设计具有对称性的建筑和艺术品等。
总之，中点四边形是一个有趣且实用的几何概念，掌握其基本性质和判定方法对于提高数学素养和解决实际问题都具有重要意义。
四边形拓展—中点应用
A D CB M 四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AE BD 交BC 于点E ．求证：2BE CE．例2．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AM BD 于M ，交BC 于点E ．求CDES．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ，M 为AB 中点．若 6.5CM，17BC CD DA ，求梯形ABCD 的面积．E D CAB MEDCBAB C AD M NE 例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC中，7AC ，4BC ，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB ，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．F CA DBE EDACBA B C DEFA BC PD E45°A D BC E四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ，垂足为F ．求证：FG DG．例8．如图，在ABC内取一点P ，使PBA PCA ，作PD AB 于点D ，PE AC 于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ，AD 上有一点E 使得BE EC ，且45CED ．求证：AB CD BC ．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCPADQMQNP SSS四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形 例11．如图，在任意五边形ABCDE中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF ，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A DB E ．求证：CDE AFE．QP NM AD B CK L Q PM NA BCD EE 1D 1B 1A 1EA BCD FABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD于点P ，求NPC的度数．2．如图，在ABC中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ，OQ AB ，P Q 、为垂足．求证：DP DQ．3．如图，在ABC 中，2A B ACB ，8BC ，D 为AB 的中点，且1972CD ，求AC 的长．PQDOABCE F PNMA B C DD BCAFE MABCDEM4．如图，在ABC 中，2B C ，AD BC 于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB5．如图，在ABC中，2ABC C ，AD 平分BAC ，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD ．6．如图，已知五边形ABCDE中，90,ABC AED BAC EAD。
中点四边形问题总结
中点四边形规律总结规律总结：中点四边形：如图，四边形 ABCD的各边的中点，所构成的四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD的中点四边形。
DHAGEB F C任意四边形的中点四边形是“平行四边形”；任意平行四边形的中点四边形是“平行四边形”任意矩形的中的四边形是菱形；任意菱形的中点四边形是矩形；任意正方形的中点四边形是正方形；相关知识点：三角形的中位线定理，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，正方形的对角线相等且互相垂直。
例 1：无论四边形 ABCD的形状怎么变化，中点四边形 EFGH的形状向来为_________。
请写出猜想，并证明。
DHAGEB F C已知，如图，四边形ABCD中， E、H、C、G分别为 AB 、BC、CD、 DA中点。
求证 : 四边形 EFGH是_____________.证明：连接 AC,利用三角形的中位线定理和平行四边形的定义即可证明例 2 研究特别四边形的中点四边形的形状。
使四边形 ABCD 分别为平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形 EFGH 形状。
AHDAHDEGEGBFCBFCAHDAHDAHDEGEGEGBFCBFCBFC发现 ： 中点四边形的形状有 _______________________________.①按次连接矩形各边中点所获取的四边形是什么四边形提出猜想，并说明你的猜想可否正确②按次连接菱形各边中点所获取的四边形是什么四边形提出猜想，并说明你的猜想可否正确。
例 3、反之若中点四边形 EFGH 分别为矩形、菱形和正方形 ，则四边形 ABCD 可否必然分别为菱形、矩形（等腰梯形） 、正方形观察下面图形。
DDDHGHGHGACACEBFACEFEFBB问题：决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是四边形 ABCD 的边角对角线概括规律： 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是 _______________。
(1)________________________, 则四边形EFGH 为菱形；(2)_________________________, 则四边形EFGH 为矩形；(3)__________________________, 则四边形EFGH 为正方形例 4. 如图（ 1）（ 2）（3），最外面的矩形、菱形、正方形的面积为1，则最里面的中点四边形的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方法技巧训练（五）与中点有关的基本模型题组1
1.如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝
3
2
，则∠CDE＋∠ACD＝（C）
A.60°
B.75°
C.90°
D.105°
第1题图第2题图
2.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是（B）
A.3
B.4
C.5
D.6
3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为（B）
A.3
B.4
C.5
D.7
第3题图第4题图
4.如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，A C的垂直平分线分别交BC于点D，E.若BD2＋CE2＝DE2，则∠A 的度数为135°Ｗ.
5.（2018·青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，
点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为34
2
Ｗ.
题组2
6.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE∶S△DCE＝（B）
A.1∶4
B.1∶3
C.1∶2
D.2∶3
第6题图第7题图
7.（2018·陕西）如图，在菱形ABCD中.点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE.若EH＝2EF，则下列结论正确的是（D）
A.AB＝2EF
B.AB＝2EF
C.AB＝3EF
D.AB＝5EF
8.（2018·苏州）如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝1
2BC ，过AC 中点E 作EF∥CD（点F 位于点E 右侧），
且EF ＝2CD ，连接DF.若AB ＝8，则DF 的长为（B ）
A .3
B .4
C .2 3
D .3 2
9.如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8Ｗ.
第9题图 第10题图
10.（2018·武汉）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，AC ＝1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点.若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长是
3
2
Ｗ. 11.（1）如图1，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ，则∠BME＝∠CNE，求证：AB ＝CD.（提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）
（2）如图2，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5，∠OEC＝60°，求OE 的长度.
图1 图2 解：（1）证明：连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，FH. ∵E，F 分别是BC ，AD 的中点，
∴EH∥AB，EH ＝12AB ，FH∥CD，FH ＝1
2
CD ，
∴∠BME＝∠HEF，∠CNF＝∠HFE.
∵∠BME＝∠CNE， ∴∠HEF＝∠HFE. ∴HE＝HF. ∴AB＝CD.
（2）连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH ，OH. ∵AB＝CD ，∴HO＝HE. ∴∠HEO＝∠HOE＝∠OEC. ∵∠OEC＝60°，
∴∠HEO＝∠HOE＝60°. ∴△OEH 是等边三角形. ∵AB＝DC ＝5， ∴OE＝52.
【以下方法指导排版时是在边栏】 方法指导1 有关中点的常见考法 （1）直角三角形斜边上的中线
如图，在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，则BD ＝1
2AB ，AD ＝CD ＝DB.反过来，在△ABC 中，点D 在AB 边上，
若A D ＝BD ＝CD ＝1
2
AB ，则有∠ACB＝90°.
解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线.
（1）图 （2）图 （3）图 （2）等腰三角形“三线合一”
如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，通常取底边BC 的中点D ，则AD⊥BC，且AD 平分∠BAC.
解题通法：事实上，在△ABC 中：①AB＝AC ；②AD 平分∠BAC；③BD＝CD ；④AD⊥BC.对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”.
（3）线段垂直平分线 如图，直线l 是线段BC 的垂直平分线，则可以在直线l 上任意取一点A ，得到AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形. 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形. （4）倍长中线
在△ABC 中，M 为BC 的中点.
①如图1，连接AM 并延长至点E ，使得AM ＝ME ，连接CE ，则△ABM≌△ECM.
②如图2，点D 在AB 边上，连接DM 并延长至点E ，使得ME ＝DM ，连接CE ，则△DMB≌△EMC.
解题通法：遇到三角形一边上的中点，常常倍长中线，利用“8”字形全等将题中条件集中，以达到解题的目的.
图1 图2
（4）图
图1 图2
（5）图
（5）拓展图 （6）图
（5）构造三角形的中位线 在△ABC 中，D 为AB 边的中点.
①如图1，取AC 边上的中点E ，连接DE ，则DE∥BC，且DE ＝1
2
BC.
②如图2，延长BC 至点F ，使得CF ＝BC ，连接CD ，AF ，则DC∥AF，且DC ＝1
2
AF.
解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来，通常需要再找一个中点来构造中位线，或倍长某段线段构造中位线.
拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中，则需先添加辅助线构造中点，然后构造三角形的中位线解题.如在四边形ABCD 中，点E ，H 分别为AB ，CD 边的中点，则先连接AC ，然后取AC 边的中点F ，连接EF ，FH ，则EF 为△ABC 的中位线，FH 为△ACD 的中位线.
（6）中点四边形
如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是四边形的边AB ，BC ，CD ，AD 的中点. 结论：
①连接EF ，FG ，GH ，EH ，则中点四边形EFGH 是平行四边形. ②若对角线AC 和BD 相等，则中点四边形EFGH 是菱形. ③若对角线AC 与BD 互相垂直，则中点四边形EFGH 是矩形.
④若对角线AC 与BD 互相垂直且相等，则中点四边形EFGH 是正方形. 方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半.。