概率统计3.1 离散型
概率论与数理统计之离散型随机变量
电子科技大学
离散型随机变量
14.12.13
lim P{ X n k }
n
lk
k!
e , k 1,2,
l
证明略. 思考：你能从条件 lim npn l 0,
n
中分析出什么结论吗？ 注
n
lim npn l
即数列{ pn } 与 { 1 n } 是同阶的无穷小.故
即 10k 10 P{ X a } e 0.95 k 0 k!
a
电子科技大学
离散型随机变量
14
14.12.13
查表可得
10k 10 e 0.9166 0.95 k 0 k!
10k 10 e 0.9513 0.95 k 0 k!
15
这家商店在月底保证存货不少于15件就 能以95%的概率保证下个月该种商品不会 脱销.
p (1 p)
电子科技大学
离散型随机变量
k n
14.12.13
从n次试验中选出k 次试验有C 种不同的 方式.
且各种方式的事件互不相容，由概率的有 限可加性可得
Pn ( k )
结论成立.
k Cn
p (1 p)
k
n k
,
称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ～ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ～B(1, p).
14.12.13
故
F ( x ) P{ X x }
P[ { X xi }] P{ X xi }
xi x
xi x
二、贝努里试验和二项分布 E1：抛一枚硬币出现正反面; E2：检查一件产品是否合格; E3：射击，观察是否命中; 贝努里 试验
概率论与数理统计3.1.2 二维离散型随机变量及其联合分布律
2.表格形式下二维离散型随机变量的分布律的表示:
3.联合分布律的性质
二、典型例题
例1袋中有2只白球，3只黑球，现摸球两次，定义
，
求(1)有放回取球下(X,Y)的分布律。
(2)不放回取球下(X,Y)的分布律。
(3)不放回下
解：(1)
(2)
(3)
注：
补充说明
二维一定要在一维的基础上展开，讲解二维离散型随机变量分布律的定义与求法时，一定要与一维对比讲解。这样就有很好的过渡过程，不仅可以加深学生对概念的理解，还有助于复习前面的知识。
例1应细致讲解，通过例题可让学生回忆概率求解的方法，更能让学生掌握求二维随机变量联合分布律的方法。
授课对象
机械设计制造及自动化、材料科学与工程专业等
教学目标
掌握二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法，并能熟练运用到实际问题中。
教学方式
启发式
教学内容
二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法。
教学重点
二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法
教学难点
实际问题中求解联合分布律
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，对比一ห้องสมุดไป่ตู้离散型随机变量分布律的求法深入讲解二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法，举例说明其用法；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
教学重点二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法教学难点实际问题中求解联合分布律教学方法和策略采用多媒体课件辅助对比一维离散型随机变量分布律的求法深入讲解二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法举例说明其用法
讲稿
课程名称
《概率论与数理统计》
离散型随机变量3 sigma原则
离散型随机变量3 sigma原则
三σ原则是概率统计中的一种理论，通常应用于离散型随机变量的分布分析。
三σ原则的含义是，对于任何一个正态分布数据，如果数据落在平均数±3σ（σ指
标准差）范围内，那么这些数据的概率将达到99.7%。
这个原则常用于品质管理等领域，对于控制和改善过程性能具有一定的指导和参考价值。
那么，三sigma原则在离散型随机变量中如何应用呢？先来理解一下离散型随
机变量。
离散型随机变量，就是所有可能取到的值或者可以列举出来的随机变量。
也就是说，这些随机变量的值是有限的或者是可数的无限事件。
在实际应用中，我们将离散型随机变量的数值结果以频率分布图（如柱状图）形式进行展示。
通过这样的方式，我们可以清晰地发现数据的集中区间以及出现异常数据的可能性。
然后，在这个基础上应用三σ原则，我们可以计算出该离散型随机变量的期望值和标准差。
并以此为基准，画出±3σ的范围线。
这样，落在这个范围内的数据被认为是正常的，超出这个范围的数据被认为是异常的。
如此，利用三σ原则，我们可以对离散型随机变量的取值情况进行快速分析和判断。
从而对数据进行有效的管理和控制，提高决策的准确率和效率。
要注意的是，虽然三σ原则在大多数情况下都能有效地进行统计分析和异常检测，但是这并不意味着它在所有情况下都适用。
因此在使用三σ原则时，需要结合具体的统计分布特性和实际应用场景，才能更准确有效地对数据进行分析。
概率论与数理统计第3章随机向量
解 （1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的 联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
概率论与数理统计3.1.2 二维离散型随机变量及其联合分布律
pk
xi
pi1 pi2 ... pij ...
分布律的性质 (1)非负性：pk 0 , k 1, 2, ;
(2)规范性： pk 1. k 1
3.联合分布律的性质
(1) 非负性: pij 0，i, j 1, 2, ;
(2) 规范性: pij 1 i1 j1
二维离散型随机变量(X,Y)
如果二维随机变量（X,Y） 全部可能取值是有限对或 可列个无限对，则称（X,Y） 为二维离散型随机变量。
随机变量(X,Y)的联合分布率
设二维离散型随机变量( X ,Y ) 所有可能取值为( xi , y j ),则称 P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2, ...,) 为( X ,Y )的联合分布律.
解：(2) (X ,Y ) {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
P{X 0,Y 0} 3 2 0.3
54
Y X
0
1
P{X 0} P{Y 0 | X 0} 3 2 0.3 0
P{X 0,Y 1} 3 2 0.3 5 4
Y
1 0
第二次摸到白球 第二次摸到黑球
(3)不放回下P{X Y}. P{X Y}、 P{X Y}.
解：(3) (X ,Y ) {(0,0),(1,0),(1,1)}
P{X Y} p{(X 0,Y 0) (X 1,Y 0) (X 1,Y 1)}
§3.1.2 二维离散型随机变量及其联合分布律
一、二维离散型随机变量的定义及联合分布律 二、典型例题
一、二维离散型随机变量的定义及联合分布律
经济数学——概率论与数理统计 3.1 二维随机变量及其分布
其中和式是对一切满足xi≤x , yj≤y求和。
例 若(X,Y)的分布律如下表，求(X,Y)的分布函数。 Y 0 1 X 0 1/2 0 y 1 解 0 1/2
1
1 x
四、 二维连续型随机变量
1.定义：设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在一非负 函数f(x,y),使得对于任意的实分布
二维随机变量及其分布 第二节 边缘分布 第三节 随机变量的独立性 第四节 二维随机变量函数的分布
第一节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量的定义
1．定义： 随机试验E的样本空间Ω={e}，设X1(e), X2(e)为定 义Ω上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1,X2)叫做 二维随机变量或二维随机向量。 对于二维随机变量, 需要考虑 ①二维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布； ②还要研究每个分量的概率分布或称边缘分布； ③并且还要考察各分量之间的联系，比如是否独立等。
利用极坐标计算可得
从而有 Aπ=1,即可得A=1/π。
(2)依题意需求概率
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在 G内任一小区域 B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
0≤F(x,y)≤1。
因为{X≤x1,Y≤y}{X≤x2,Y≤y}. (2). 对于任意固定的y, F(-∞,y)=0；
对于任意固定的x, F(x,-∞)=0；
概率统计中的离散型随机变量与连续型随机变量
概率统计中的离散型随机变量与连续型随机变量概率统计是数学的一个分支，用于研究随机现象的规律性和不确定性。
在概率统计中，随机变量是一个非常重要的概念。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。
本文将介绍这两种类型的随机变量以及它们的特点和应用。
一、离散型随机变量离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
它的特点是在定义域内的每个值都有一定的概率与之对应。
离散型随机变量的概率可以通过概率分布函数来描述。
概率分布函数是一个将随机变量的取值映射到概率的函数。
离散型随机变量常见的例子有抛硬币的结果、掷骰子的点数、抽奖的中奖号码等。
这些随机变量的取值都是有限个或可列个，每个取值的概率可以通过实验或统计数据得到。
离散型随机变量的期望值和方差是衡量其分布特征的重要指标。
期望值表示随机变量的平均取值，方差表示随机变量取值的离散程度。
通过计算期望值和方差，可以更好地理解和描述离散型随机变量的分布特征。
离散型随机变量在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在市场调研中，我们可以将消费者的购买行为看作是一个离散型随机变量，通过统计分析不同购买决策的概率分布，可以了解不同消费者的购买偏好和市场需求。
二、连续型随机变量连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意实数值的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值是连续的，无法一一列举出来。
连续型随机变量的概率可以通过概率密度函数来描述。
概率密度函数是一个描述随机变量概率分布的函数，它可以表示在某个取值范围内随机变量出现的概率密度。
与离散型随机变量的概率分布函数不同，连续型随机变量的概率密度函数在定义域内的每个点上的函数值并不表示该点的概率，而是表示该点附近的概率密度。
连续型随机变量常见的例子有身高、体重、温度等物理量。
这些随机变量的取值可以是任意的实数，通过概率密度函数可以描述它们的概率分布情况。
与离散型随机变量类似，连续型随机变量也有期望值和方差这两个重要指标。
概率统计中的离散型随机变量和概率分布
概率统计中的离散型随机变量和概率分布概率统计是一门研究随机现象的概率规律和统计方法的学科，离散型随机变量和概率分布是其中的重要内容。
离散型随机变量是指取有限个或无限个可列值的变量，而概率分布则是描述这些可列值的变量在不同取值下发生的概率的规律。
本文将介绍离散型随机变量的基本概念和概率分布的常见类型。
首先，我们来了解离散型随机变量的定义和特点。
离散型随机变量是一个在随机试验中可能取不同离散值的变量。
它的取值是可数的，即可以通过一个集合表示出来。
比如，随机试验抛掷一个六面骰子，那么点数就是一个典型的离散型随机变量，其可能的取值为1、2、3、4、5、6。
离散型随机变量的特点是在每一个可能的取值上都有一个概率与之对应。
接下来，我们将介绍离散型随机变量的概率分布。
概率分布是描述离散型随机变量在不同取值下的概率规律。
常见的概率分布包括离散型均匀分布、伯努利分布、二项分布和泊松分布等。
离散型均匀分布是最简单的概率分布之一。
它的特点是取值概率相等且固定。
比如，一个骰子的点数就符合离散型均匀分布，因为每一个点数的概率都是1/6。
伯努利分布是描述只有两个可能结果的随机试验的概率分布，比如成功或失败、正面或反面。
伯努利分布的参数是成功的概率p和失败的概率q=1-p。
伯努利分布的概率函数可以用来计算在n次独立重复试验中成功恰好出现k次的概率。
二项分布是伯努利试验的推广，它描述了在n次重复独立试验中成功事件发生k次的概率分布。
二项分布的参数是重复试验的次数n和成功概率p。
二项分布在众多实际问题中具有广泛的应用，比如估计选民中对某候选人的支持率等。
泊松分布是描述在一定时间或空间内事件发生次数的概率分布。
泊松分布的参数是单位时间或单位空间内事件的平均发生率λ。
泊松分布适用于事件发生的次数相对较稀少的情况，比如一个地区某种疾病的发病率。
除了以上几种常见的离散型概率分布外，还有一些其他的概率分布，比如几何分布、负二项分布和超几何分布等，它们在不同的应用场景中发挥着重要作用。
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
概率论与数理统计：离散型随机变量的分布函数
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了k 次.
A A A A A A ,
k次
n k 次
A A A A A A A A
k 1 次
n k 1 次
n 得 A 在 n 次试验中发生k 次的方式共有 种, k 且两两互不相容.
P{ X 0} 0.012 P{ X 1} 0.058
P{ X 4} 0.218 P{ X 5} 0.175 P{ X 6} 0.109 P{ X 8} 0.022 P{ X 9} 0.007
P{ X 10} 0.002
P{ X 2} 0.137
1 0.9999
1000
1000 0.0001 0.9999999 1
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取 的值为 0, 1, 2,, 而取各个 值的概率为 k! 其中 0 是常数.则称 X 服从参数为 的泊松分 布, 记为 X ~ π( ).
泊松资料
将 E 独立地重复地进行n 次, 则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就
是 n重伯努利试验. (3) 二项概率公式
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
xk x
xk x
P( X x
k
)
xk x
p
k
pk P( X xk ) F ( xk ) F ( xk 1 )
概率离散型随机变量及其分布律
P( X k) 1
k
即
a≥0 ,
a k! ae
k 0
k
1
e
k 0
k
k!
从中解得
ae
概率论
二、离散型随机变量表示方法
（1）公式法
P{ X xk } pk , k 1, 2,
（2）列表法 X
x1 p1
x2 xk p2 pk
把观察一个灯泡的使用 P{X 1} =P{时数看作一次试验 X=0}+P{X=1} , “使用到1000小时已坏” )3+3(0.8)(0.2) 2 视为事件 A .每次试验 , =(0.2 A 出现的概率为0.8
P( X k )C (0.8) (0.2) , k 0,1,2,3
k 3 k
3k
设随机变量序列 {Xn }, Xn ~ b(n, pn ),则 k e k k n k limP{ X n k } limC n pn (1 pn ) , n n k! 其中 npn 0, k为任一固定的非负整数 .
泊松定理的意义：
1. 在定理的条件下, 二项分布的极限分布是泊松分布.
pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0, （ 2）
k k
p 1
k=1,2, …
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
概率论
例1 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a
试确定常数a .
k
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据分布律的性质
P(X =k)≥0,
PX k p 1 p
概率分布中的离散型与连续型
概率分布中的离散型与连续型在我们探索世界的过程中，概率分布是一个非常重要的概念。
它帮助我们理解和预测各种随机现象的发生规律。
概率分布主要分为离散型和连续型两大类，它们各自有着独特的特点和应用场景。
首先，让我们来聊聊离散型概率分布。
离散型概率分布描述的是那些只能取有限个或者可列无限个值的随机变量。
比如说掷骰子，结果只能是 1、2、3、4、5 或者 6，这就是一个典型的离散型随机变量。
再比如，某地区一天内发生交通事故的次数，可能是 0 次、1 次、2 次等等，这也是离散的。
离散型概率分布有很多常见的例子，比如二项分布和泊松分布。
二项分布常常用于描述在n 次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。
比如说抛硬币 10 次，正面朝上的次数就可能符合二项分布。
泊松分布则常用于描述在一定时间或空间内，稀有事件发生的次数。
比如某公路上一天内发生重大交通事故的次数。
离散型概率分布有一个很重要的特点，就是它的概率质量函数（PMF）。
这个函数能够告诉我们每个可能取值的概率是多少。
比如说，掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是 1/6，这就是通过概率质量函数来描述的。
接下来，我们再看看连续型概率分布。
与离散型不同，连续型随机变量可以在某个区间内取任意值。
比如说，一个人的身高、体重，或者一段公路上车辆行驶的速度，这些都是连续型随机变量。
连续型概率分布中最常见的就是正态分布，也叫高斯分布。
它的形状就像一个钟形曲线，在很多自然和社会现象中都能观察到。
比如学生的考试成绩、人群的身高分布等，往往都近似于正态分布。
对于连续型随机变量，我们不能像离散型那样直接谈论某个具体值的概率，因为单个具体值的概率几乎为 0。
而是通过概率密度函数（PDF）来描述概率的分布情况。
概率密度函数反映的是随机变量在某个区间内取值的相对可能性大小。
举个例子，假设我们有一个服从正态分布的随机变量 X，其均值为μ，标准差为σ。
那么，在区间μ σ, μ ＋σ 内取值的概率大约是 68%，在区间μ 2σ, μ ＋2σ 内取值的概率大约是 95%，在区间μ 3σ, μ ＋3σ内取值的概率大约是 997%。
概率分布中的离散型与连续型
概率分布中的离散型与连续型在我们探索概率这个奇妙的世界时，经常会遇到两种重要的概率分布类型：离散型概率分布和连续型概率分布。
这两种类型在许多领域，如统计学、物理学、经济学等中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下它们。
离散型概率分布是指随机变量的取值是有限个或者可列无限个。
这就好比我们在数一堆苹果，可能有 0 个、1 个、2 个……但不会出现半个苹果这样的情况。
比如说掷骰子，结果只能是 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点或者 6 点，这就是一个典型的离散型随机变量。
离散型概率分布有很多种，其中最常见的包括二项分布、泊松分布和几何分布。
二项分布是一种非常实用的离散型概率分布。
想象一下，我们进行一个独立重复的实验，比如抛硬币，每次抛硬币正面朝上的概率是固定的，假设为 p ，反面朝上的概率就是 1 p 。
我们重复抛 n 次，那么恰好出现 k 次正面朝上的概率就符合二项分布。
例如，在 10 次抛硬币中，恰好有4 次正面朝上的概率就可以通过二项分布的公式计算出来。
泊松分布则常常用于描述在一定时间或空间内，某个事件发生的次数。
比如，在一天内某家医院接到的紧急呼叫次数，或者在一段公路上发生的交通事故数量。
如果这些事件发生的平均频率是已知的，那么就可以用泊松分布来计算特定次数发生的概率。
几何分布则关注的是在一系列独立重复的试验中，首次成功所需的试验次数。
比如说，你不断地投篮，直到投进第一个球，那么投篮的次数就可能符合几何分布。
与离散型概率分布不同，连续型概率分布中的随机变量可以在某个区间内取任意值。
这就好像测量一段绳子的长度，它可以是101 厘米、1011 厘米，甚至 101111 厘米等等。
连续型概率分布中最常见的就是正态分布，也称为高斯分布。
正态分布的曲线呈现出钟形，具有对称性。
很多自然现象和社会现象都近似地服从正态分布。
比如人的身高、体重，学生的考试成绩等。
在正态分布中，大部分数据集中在平均值附近，离平均值越远，数据出现的概率就越小。
河南对口高考数学知识点归纳总结
河南对口高考数学知识点归纳总结随着高等教育的普及和竞争的加剧，高考对每个学生来说都是一个重要的转折点。
在高考中，数学是一个关键科目，对于考生而言，掌握数学知识点是提高成绩的关键。
而针对河南省的对口高考，数学知识点的归纳和总结显得尤为重要。
本文将从代数、几何、概率统计和数学思维等方面进行总结，为河南对口高考考生提供数学学习的指导和复习的方向。
一、代数知识点1. 多项式和分式1.1 多项式的乘积和因式分解1.2 分式的四则运算和化简2. 方程和不等式2.1 一元一次方程和一元一次不等式2.2 一元二次方程和一元二次不等式3. 实数与复数3.1 实数的性质和运算3.2 复数的概念和运算4. 函数4.1 一次函数和二次函数4.2 指数函数和对数函数4.3 三角函数和反三角函数二、几何知识点1. 平面和空间几何1.1 点、直线和平面的性质 1.2 线段、角和三角形的性质1.3 圆和球的性质2. 相似与全等2.1 三角形的相似性质2.2 三角形的全等性质3. 解析几何3.1 坐标系和直线方程3.2 圆的方程和参数方程4. 空间几何与立体几何4.1 空间曲线和曲面4.2 空间向量和立体的体积三、概率统计知识点1. 随机事件与概率1.1 随机事件的概念及性质1.2 概率的定义和性质2. 统计与抽样2.1 数据的收集和处理2.2 参数估计和假设检验3. 概率分布与统计分布3.1 离散型随机变量及其分布3.2 连续型随机变量及其分布4. 相关与回归4.1 相关分析和回归分析的基本概念4.2 相关与回归的计算与应用四、数学思维知识点1. 数学运算思维1.1 运算与估算1.2 推理与证明2. 数学应用思维2.1 数学模型与实际问题2.2 数据分析与数学建模3. 视觉思维3.1 几何图形的变换与推理3.2 数据的图表表示与分析4. 探究与求解思维4.1 数学问题的探究与解决4.2 数学结论的总结和推广通过对以上数学知识点的归纳和总结，希望能够为河南对口高考考生提供一份清晰的复习指南。
经济类概率统计 离散型随机变量及其分布律
1， 4 3，
1 x 2, 2 x 3,
4
1， x 3
F(x)的图形如下
F(x) 1
-1
O1
2
3X
P
X
1
2
F
1 2
1 4
,
P
3 2
X
5
2
F
5 2
F
3 2
3 4
1 4
1 2
.
P2 X 3 F 3 F 2 PX 2
1 3 1 3. 42 4
3. 常见离散型分布
问题：固定n和p，当k取何值时，b(k;n,p)取最大值？
由于对0<p<1,
因此
b(k; n, p) (n k 1) p 1 (n 1) p k
b(k 1; n, p)
kq
kq
当k<(n+1)p时，b(k;n,p)>b(k-1;n,p)
当k>(n+1)p时，b(k;n,p)<b(k-1;n,p)
iii) 二项分布
考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。 以X表示n重伯 努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布 律。X所有可能取的值为o，1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的， 故在n次试验中，事件A发生k次的概率为
n k
pk (1
p)nk， 记q
1
p， 即 有
X
x1 x2 … xn …
pk
p1 p2 … pn …
称为随机变量X的分布列。
分布律性质：
1 非负性：pi 0
2 完备性： pi 1 i1
例2：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1 ／2的概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的)，求X的分布律。
概率与统计3。3-0
2、利用随机变量的独立性命题 判断独立性
命题3.2 若（X , Y )为连续型随机变量，其概率密度 为f ( x, y )，则X与Y相互独立的充要条件为： 存在连续函数h( x), g ( y ), 使 h( x) g ( y ) a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d f ( x, y ) = （3.5） 0 其它 其中a, b, c, d均为与x, y无关的常数（可为∞）。
+∞ 解 : (1) f X ( x) = ∫−∞ f ( x, y ) dy
y
y=1/x
x ln x 1 1 x ∫1 2 dy = 2 ln y 1 = 2 = 2x y 2x x x x 0 +∞ f Y ( y ) = ∫−∞ f ( x, y )dx 1 +∞ 1 ∫1 2 x 2 y dx = 2 y 1 +∞ 1 = ∫y dx = 2 2 2y 2x y 0
x >1 x ≤1
1 0 1 x
0 < y <1 1 ≤ y < +∞ y≤0
1 2 x 2 ln x 1 (2) f X ( x) ⋅ f Y ( y ) = 2 2 ln x 2x y 0 故此X与Y不相互独立。
x > 1,0 < y < 1 x > 1, y ≥ 1 ≠ f ( x, y ) 其它
3、二维离散型随机变量 分量不相互独立的判别 ： 若X和Y相互独立，则对于所有 的i, j，均该满足 pij = pi. p. j 也即意味着，只要存在 一对(i, j )，满足pij ≠ pi. p. j 则X与Y必不相互独立。
命题 3.1 若二维离散型随机变量 ( X , Y )的联合概率 分布表中存在某个 p i0 j0 = 0, 则X与Y必不相互独立。
经管类概率论与数理统计第三章多维随机变量及概率分布
3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。
例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。
又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。
定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。
定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。
记作（X，Y）～F（x,y）。
（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。
因为X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分别表示必然事件，所以有X～F x（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～F Y（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。
3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（x i，y j），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。
设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…），称P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。
（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）p ij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若数集{P ij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。
几种常见的概率分布率-(1)分解
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
统计学中离散型概率分布的基础知识
数学期望：随机变量的数学期望或均值是对随机变量中心位置的一种度量，E（x） =Σxf(x) 方差：方差描述随机变量的变异性货分散程度。Var（x）=Σ（x-μ）²f(x)
二元分布、ห้องสมุดไป่ตู้方差和金融资产组合
二元分布 关于两个变量的概率分布称为二元分布 二元经验离散概率分布
协方差=[Var(x+y)-Var(x)-Var(y)]/2 相关系数=协方差/(x标准差*y标准差) 金融中的应用 随机变量x和y的线性组合的数学期望：E（ax+by）=aE(x)+bE(y) 两个随机变量的线性组合方差：Var(ax+by)=a²Var(x)+b²Var(y)+2ab*协方差
统计学中离散型概率分布的基础知 识
离散型概率分布
随机变量 随机变量是对试验结果的数值描述 离散型随机变量 可以取有限个值或无限可数多个值的随机变量 连续型随机变量 可以取某一区间或多个区间内任意值的随机变量
离散型概率分布 随机变量的概率分布是描述随机变量取不同值的概率 随机概率分布表 当各种试验结果对应的随机变量值是等概率的，适合采用古典法为随机变量 的值分配概率 采用主观法根据自己的最优判断为试验结果分配概率 数据量大时，采用相对频率法为随机变量的值分配概率 离散型概率分布的基本条件 概率大于0 每个实验结果的概率之和等于1 离散型均匀概率函数为1/n
超几何概率分布 超几何概率的特点 个词试验不是独立的 个词试验中成功的概率不等
概率分布
二项概率分布 二项试验 试验组成 试验由一系列相同的n个试验组成 每次试验有两种可能得结果 每次试验成功的概率都相等 试验是相互独立的 二项分布的数学期望与方差 E（x）=np Var(x)=np(1-p)
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联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为 则称
( xi , y j ),
i, j 1,2,
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布 也简称 概率分布 或联合分布律或分布列 显然， pij 0, i, j 1,2,
F ( x 0 , y 0) = F ( x 0 , y 0 + 0 )
Ch3-10
④ 对于任意 a < b , c < d F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0
事实上 F (b,d) – F (b,c)
d c a b
– F (a,d) + F (a,c)
Ch3-4
例1 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机 指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分 别为候选人中来自文、理科的人数. 求(X, Y) 的联合分布律. 解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2. 由乘法公式
第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 二维离散型随机变量 二维离散型随机变量及其概率特性 定义 若二维随机变量(X ,Y )所有可能的取
值为有限多个或无穷可列多个, 则称(X ,Y ) 为二维离散型随机变量
要描述二维离散型随机变量的概率特性及 及其与每个随机变量之间的关系常用其 联合概率分布和边缘概率分布
F ( x, y) P X x,Y y
Ch3-8
联合分布函数的性质 ① 0 F ( x, y) 1
F ( , ) 1
F ( , ) 0
F ( x , ) 0 F ( , y) 0
Ch3-9
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
P( X 0,Y 0) P( X 0)P(Y 0 X 0) 2 2 C5 C3 2 2 3 / 15, C6 C5
Ch3-5
或由古典概型
P( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
相仿有
P( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15, 2 P( X 0, Y 2) C / C 6 1/ 15; 2 P( X 1, Y 0) C C / C 6 3 / 15,
P a X b, c Y d 0
Ch3-11
二维离散随机变量的联合分布函数
F ( x, y ) pij , x , y .
xi x y j y
已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之, 由分布函数也可求出其联合分布律
P( X xi , Y y j ) F ( xi , y j ) F ( xi , y j 0)
定义 设( X , Y ) 为二维随机变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对任何 一对实数( x , y ), 事件
( X x) (Y y) (记为 X x,Y y )
的概率
P X x,Y y 定义了一个二元
实函数 F ( x , y )，称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布函数，即
1 1 2 3 2 2 1 1 1 3
1 1
2 6
P( X 1, Y 1) C C / C 2 / 15, P( X 1, Y 2) 0 .
1 2 2 6
Ch3-6
故联合分布律为
X
0 1 Y
0
1
2
1/15 0
3/15 6/15 3/15 2/15
Ch3-7
二维随机变量的联合分布函数
F (xi 0, y j ) F (xi 0, y j 0)
作业 P57 2, 3
i , j 1, 2 ,
Ch3-12
pij
i 1 j 1
1
Ch3-2
( X ,Y ) 的联合分布律
X
Y
x1
p11
xi
pi1
y1
yj
p1 j
pij
Ch3-3
pij P( X xi , Y y j ) 的求法
⑴ 利用古典概型直接求； ⑵ 利用乘法公式
pij P( X xi )P(Y y j X xi ) .