4.1.2 利用二分法求方程的近似解(北师大版)
北师大版高中数学必修一课件4.1.2利用二分法求方程的近似解(导学式)
二分法定义：
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
探究点2
二分法定义及操作步骤
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 1.确定区间[a,b]，验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε； 2.求区间(a,b)的中点x1， 3.计算f(x1) 若f(x1)=0，则x1就是函数的零点； 若f(a)· f(x1)<0，则此时零点x0∈(a,x1)
规律总结： 判断零点存在区间的关键是f(a)· f(b)<0
课堂练习
1．对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是()
A.ε越大，零点的精确度越高
B.ε越大，零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
[解析] 由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低.
答案：B．
课堂练习
2．下列函数不能用二分法求零点的是()
典例精讲：题型一：对二分法概念的理解
【例1】观察下列函数的图象，能用二分法求其零点的是()
[解析] 由图象可得A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故 可用二分法求零点.
答案：A
题后反思
【注意要点 】
运用二分法求函数零点需具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断 . 在该零点左右函数值异号. (2)
典例精讲：题型二：利用二分法求方程的近似解
【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点在(2,3)上的近似值(精确度：0.1) [解析] 初始区间（2，3），且，列表：
北师大版数学必修一教案教学设计：4.1.2利用二分法求方程的近似解
利用二分法求方程的近似解一、教材的地位与作用本小节是高中新课程的新增内容，它是求方程近似解的常用方法，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。
在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫。
二、教学目标1.知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解。
2.过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．3.情感态度与价值观：体会由特殊到一般的认识规律,体会概括结论和规律的过程,培养学生认识事物的正确方法.体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．三、教学重难点：教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解四、教法与学法：本节课我采用情境教学法和自主探究法，并充分利用多媒体辅助教学.通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和学习。
本节课的内容是需要学生实际操作，因此，在学法上采用教师引导，学生自主探究，在实践中发现问题、理解问题和解决问题。
教具：多媒体五、教学过程导入新课有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？二分法定义::每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.例1.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解，精确到0.01.考察函数f(x)=2x3+3x-3经试算f(0)=-3<0, f(2)=19>0,所以函数f(x)在[0, 2]内存在零点，方程2x3+3x-3=0在[0, 2]内有解.取中[0, 2]的中点1，经计算，f(1)=2>0,又f(0)<0,所以方程2x3+3x-3=0在[0, 1]内有解.如此下去，得到方程2x3+3x-3=0的实数解所在区间的表如下：至此，可以看出，区间[0.7421875, 0.744140625]内的所有值,若精确到0.01，都是0.74. 所以0. 74是方程精确到0.01的实数解.设计意图：然后引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法以及用二分法求函数零点近似解的步骤。
北师版高中数学必修一4.1.2《用二分法求方程的近似解》ppt课件
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
（2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25
0.029 0.01 0.001
精确度|ab|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
0.015625
0.007813
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
新课——把例1改写：
例1(补) 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点
(即求方程lnx+2x-6=0的实数根,精确到0.01)
3.1.2 用二分法求方程的近似解
二分法
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
方法一： 用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表
方法二： 用几何画板作出函数y=f(x)的图象
用《几何画板》软件，演示 方法三： 画出y=lnx及y=-2x+6的图象
用《EXCLE》软件，演示
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
北师大版必修一数学4.1.2利用二分法求方程的近似解
安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 第11周集体备课一、课题： 4.1.2利用二分法求方程的近似解二、学习目标1.解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；2．让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；3．培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
三、落实目标【自主预习】问题1：函数)(x f y =的零点的概念。
问题2：求下列函数的零点（1）2132)(2+-=x x x f （2）x x x f 9)(3-=问题3：判断下列函数或方程在给定的区间是否存在零点（1）函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）上；（2）方程在区间09342=-+x x [0，2]上。
问题4：有一条2km 长的电话线路（大约41根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何尽快查出故障所在？问题5：求函数62ln )(-+=x x x f 在区间(2，3)内零点的近似值（精确到0.01）？ 附：有关函数62ln )(-+=x x x f 的一些自变量与对应函数值表区间 端点的符号 中点的值 中点函数值的符号（2，3）f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 (2.5,3) f(2.5)<0, f(3)>0 2.75f(2.75)>0(2.5,2.75)f(2.5)<0, f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0 (2.5,2.625)f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)>0 (2.5,2.5625)f(2.5)<0, f( 2.5625)>0 2.53125 f(2.53125)<0 (2.53125, 2.5625)f(2.53125)<0, f( 2.5625)>0 2.546875 f(2.546875)>0 (2.53125,2.546875)f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 2.5390625f(2.5390625)>0 (2.53125,2.5390625) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>02.53515625 f(2.53515625)>0 函数62ln )(-+=x x x f 的零点大约是：问题6：什么是二分法，它的步骤是什么？【合作探究】例1、求方程0332)(3=-+=x x x f 的一个近似解（精确到0.01）。
北师大版数学必修1课件：4.1.2利用二分法求方程的近似解
能否求解以下几个方程 (1)2x=4-x (2)x2-2x-1=0 (3)x3+3x-1=0 用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解， 但此法不能运用于解另外两个方程.
不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解? 画出y=x2-2x-1的图像(如图) 由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个解x1在区间(2,3)内， -1 0 1 2 3
y
y=x2-2x-1
x
方程的解在(2, 2.5)中
取(2,2.5)的中点2.25, ......
-1 0 1 2 3
二分法求方程的近似解
二分法: 前提
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数
y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应 方程的根)近似解的方法叫作二分法．
x f x
1 13
2 15.02
3 -2
4 9.6
5 -40
则该函数 f x 的零点个数为 A． 2 B．3 C． 4
（
D ）
D．至少 3 个
2.已知图像连续不断的函数 y f ( x ) 在区间（0,0.1）上有唯一零 点，如果用二分法求这个零点（精度为 0.01）的近似值，则应 将区间（0,0.01）等分的次数至少为 次.
他用“二分法”又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的正负， 并得出判断：方程的近似解可为 1.8．那么他所取的 x 的 4 个 值中最后一个值是
1.8ห้องสมุดไป่ตู้25 .
1. 二分法． 2.用二分法求方程的近似解，程序化的思想即算法思想． 3.数学思想：等价转化、函数与方程、数形结 合、分类讨论以及无限逼近的思想.
《4.1.2利用二分法求方程的近似解》课件1-优质公开课-北师大必修1精品
方
堂
案 设
2．函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；
双 基
计
达
课
3．f(a)·f(b)<0.
标
前
自 主
则用二分法一定能够求出函数 y＝f(x)的零点．
课 时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
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教
学
思
教
想
法
方
分
下列函数中能用二分法求零点的是( )
析
法 技
0.1125
课 时
导
学
第5次
0.493 75
－0.016 669 324
0.55
0.057 342 561
0.056 25
作 业
课 堂 互 动 探 究
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教
ห้องสมุดไป่ตู้
学
思
教
想
法 分
至此，区间[0.493 75,0.55]的区间长度为 0.056 25，它小
方 法
析
技
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思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
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北师大版高中数学必修一4.1.2利用二分法求方程的近似解课件
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1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHI练
UITANGYANLIAN
2.用二分法求方程的近似解的过程 过程如图.
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1.2 利用二分法求方程的近似解
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Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
次数 左端点 第 1 次1 第 2 次 1.25 第 3 次 1.25 第 4 次 1.312 5
左端点函数值 -1 -0.296 875 -0.296 875 -0.051 514
右端点 1.5 1.5 1.375 1.375
右端点函数值 0.875 0.875 0.224 609 0.224 609
1.2 利用二分法求方程的近似解
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1.2 利用二分法求方程的近似解
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解二分法的定义,掌握二分法求方程近似解的过程. 2.会用二分法求方程的近似解,体会二分法思想在数学中的应用.
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S随堂演练
UITANGYANLIAN
在图中: “初始区间”是一个两端函数值反号的区间; “M”的含义:取新区间,一个端点是原区间的中点,另一端是原区 间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号; “N”的含义:方程解满足要求的精度; “P”的含义:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解. 在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分 析函数的性质和试验估计.初始区间可以选得不同,不影响最终计 算结果.
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1.2 利用二分法求方程的近似解
2020-2021学年北师大版必修1 4.1.2 利用二分法求方程的近似解 学案
1.2利用二分法求方程的近似解|学习目标|1．了解二分法原理，熟练掌握二分法的解题步骤．2．能将本节知识与方程、不等式结合起来，解决一些实际问题．3．培养利用计算机或计算器解决问题的能力.1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．练一练：用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间为()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]解析：∵f(－2)＝－3，f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝6，f(2)＝13，∴初始区间可选为[－2,1]．答案：A2．设x^是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－x^|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．1．求函数零点的近似值时，结果能否不同？答：求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不同．2．用二分法求函数零点的近似值应注意哪些问题？答：用二分法求函数零点的近似值，要选好计算的初始区间，一般选定在两个整数间，这个区间既要符合条件又要使其长度尽可能小．下列函数中，不能用二分法求零点的是()【答案】 B【方法总结】用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则：(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．下列函数中，能用二分法求零点的是() A．f(x)＝log2x B．f(x)＝－x2C．f(x)＝x2D．f(x)＝|x|解析：函数f(x)＝log2x的零点是1，当x>1时，f(x)>0，当0<x<1时，f(x)<0，因此可用二分法求零点，而对B、C、D来讲三个函数的零点都是0，且在0的两边，函数值同号，不能用二分法求零点．答案：A试判断方程x3＋3x－5＝0在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出该解的近似值(精确到0.01)．【解】设函数f(x)＝x3＋3x－5，由于f(0)＝－5<0，f(3)＝31>0，因此f(0)·f(3)<0，所以f(x)在(0,3)内至少存在一个零点，即原方程在(0,3)内必有实数解．以下用二分法求方程在(0,3)内的近似解．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝9>0，所以方程的解又必在区间(1,2)内，故可取区间(1,2)为计算的初始区间．用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：计算次数左端点右端点11 221 1.531 1.254 1.125 1.255 1.125 1.187 56 1.125 1.156 257 1.140 625 1.156 258 1.148 437 5 1.156 259 1.152 343 75 1.156 2510 1.152 343 75 1.154 296 875由上表可知，区间[1.152 343 75,1.154 296 875]中的每一个数都精确到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精确到0.01的近似解．【方法总结】用二分法求方程的近似解时先根据图像或函数性质得到初始区间，然后取区间中点，求中点函数的值，再取其中一个子区间，如此循环，直到区间两端的近似值相等为止．当然，如果在求中点函数值时结果恰为0，则运算立即终止，中点值就是方程的近似解．计算过程中要注意对依次得到的区间进行精确度的判断．求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)．解：令f(x)＝lg x＋x－3，在同一坐标系中，作出y＝lg x和y＝3－x的图像如图所示，观察图像可以发现lg x＝3－x有唯一解x0，x0∈[2,3]，且f(2)<0，f(3)>0，利用二分法可列下表：计算次数左端点右端点12 32 2.5 33 2.5 2.754 2.5 2.6255 2.562 5 2.625由于区间(2.562 2.6，所以原方程的近似解为2.6.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【解】如图．他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50～100 m之间，即一两根电线杆附近．【方法总结】现实生活中的线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等故障我们也可以采用二分法进行排查，即采用中点查找法．竞猜物体问题或将人员分配到不同的岗位来共同完成任务，需要把有限的资金分配到不同生产企业，如何使时间最短、利润最高，这都需要用二分法来解决．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)．现在只有一台天平，要想找出这枚假币，最多要称几次？解：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．若函数的零点存在，则用二分法求函数的零点时，所求的零点() A．一定是近似值B．一定不是近似值C ．一定不是准确值D ．可以是准确值【错解】 A【错因分析】 二分法求函数的零点，得到的可能是近似值，也可能是准确值．【正解】 D1．下列函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B 中，不满足f (a )·f (b )<0，不能用二分法求零点，由于A 、C 、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．答案：B2．已知函数f (x )的图像是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f (x )－4－2147A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(4,5)答案：C3．在用“二分法”求函数ƒ(x )零点的近似值时，第一次所取的区间为[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[2,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1解析：由“二分法”知，第一次取的区间为[－2,4]，则第二次取的区间可能是[－2,1]或[1,4]，则第三次取的区间可能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12或⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52或⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4，结合选项知，应选D ． 答案：D4．用二分法求函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1＝________.解析：∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)f (0.5)<0，∴f (x )的零点属于区间(0,0.5)，取中点x 1＝0＋0.52＝0.25.答案：0.255．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解(精确到0.01)，验证f (2)·f (4)<0，取区间(a ，b )的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．答案：(2,3)。
4.1.2利用二分法求方程的近似解
4.1.2教学分析求方程的解是常见的数学问题， 这之前我们学过解一元一次、 一元二次方程，但有些方 程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解， 这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用. 用二分法求方程近似解的特点是： 运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算. 在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1 •让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2•了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步 了解算法思想. 3•回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣. 重点难点用二分法求方程的近似解. 课时安排 1课时教学过程导入新课师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？ 生1 ：先初步估算一个价格，如果高了再每隔 10元降低报价.生2 :这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔 100元降低报价•如果低了， 每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3:先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的 一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报 出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法. 譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障（相距大约3 500米）•电工是怎样检测的呢？是按照生 1那样每隔10米或者 按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生 3那样来检测呢？生：（齐答）按照生3那样来检测.师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下 新知探究 提出问题① 解方程 ② 解方程 ③ 解方程 ④ 解方程 ⑤ 我们知道，函数f 如何找出这个零点的近似值？⑥ “取中点”后，怎样判断所在零点的区间？ ⑦ 什么叫二分法？⑧ 试求函数f X = In x + 2x — 6在区间 2 , 3 ⑨ 总结用二分法求函数零点近似值的步骤 . ⑩ 思考用二分法求函数零点近似值的特点 . 讨论结果： ① x = 8.② x =— 1, X = 2.③ x =— 1, X = 1, x = 2.④ x=-^f 2, x = ^2, x = 1, x = 2.⑤ 如果能够将零点所在的范围尽量缩小， 那么在一定精确度的要求下， 我们可以得到零 点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 〔“取中点”，利用二分法求方程的近似解（展示多媒体课件，区间逼近法）• 2x — 16= 0. x 2— x — 2= 0. x 3— 2x 2— x + 2= 0.X 2-2 x 2— 3x +2 = 0. x = In x + 2x — 6 在区间2, 3内有零点.进一步的问题是, 内零点的近似值.4° a + b一般地，我们把x =—盯称为区间(a , b )的中点〕⑥ 比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5) < 0,因为f (2.5) - f (3) < 0,所 以零点在区间(2.5,3)内.⑦ 对于在区间［a , b ］上连续不断且f (a ) • f (b ) < 0的函数y = f (x )，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值.像这样每次取区间的中点， 将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的 方法称为二分法.⑧ 因为函数f (x ) = ln x + 2x — 6,用计算器或计算机作出函数 f (x ) = ln x + 2x — 6的对 应值表.由表可知，f (2) < 0, f (3) > 0,则f (2) • f (3) < 0，这说明f (x )在区间(2,3)内有零点 X 0，取区间(2,3)的中点X 1= 2.5，用计算器算得f (2.5) — 0.084，因为f (2.5) - f (3) < 0, 所以 X o € (2.5,3). 同理，可得表(下表)与图像(如图1).由于(2約(2.礼:劝(2. 5, 2.⑸,所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小 (见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在 有限次重复相同步骤后， 将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值. 特别 地，可以将区间端点作为函数零点的近似值. 例如，当精确度为0.01时，由于12.539 062 5 —2.531 25| = 0.007 812 5 <0.01 ,所以，我们可以将 x = 2.531 25 作为函数 f (x ) = In x + 2x — 6零点的近似值.⑨给定精度£，用二分法求函数f (x )的零点近似值的步骤如下：确定区间［a, b ］，验证f (a ) • f (b ) <0，给定精度£ . 求区间(a , b )的中点c . 计算f (c ): 若f (c ) = 0,则c 就是函数的零点； 若 f (a ) • f (c ) < 0,则令 b = c 〔此时零点 X 0€ (a , c )〕； 若 f (c ) • f (b ) < 0,则令 a = c 〔此时零点 X 0€ ( c , b )〕. 判断是否达到精度 £，即若|a — b | < £ ,则得到零点值a (或b );否则重复步骤2°1°2°3°4°.⑩由函数的零点与相应方程的关系， 我们可用二分法来求方程的近似解. 由于计算量较 大，而且是重复相同的步骤，因此， 我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算 机完成计算.应用示例例1求方程2x 3+ 3x — 3= 0的一个实数解，精确到 0.01.3解：考察函数f (x ) = 2x + 3x — 3，从一个两端函数值反号的区间开始， 应用二分法逐步 缩小方程实数解所在区间.经试算，f (0) =— 3< 0, f (2) = 19> 0，所以函数 f (x ) = 2x 3+ 3x — 3 在［0,2］内存在零 点，即方程2x 3+ 3x — 3= 0在［0,2］内有解.取［0,2］的中点1 ,经计算，f (1) = 2> 0,又f (0) < 0,所以方程2x 3+ 3x — 3 = 0在［0,1］ 内有解.3如此下去，得到方程 2x + 3x — 3 = 0的实数解所在区间的表如下.左端点右端点 第1次 0 2 第2次 0 1 第3次 0.5 1 第4次 0.5 0.75 第5次 0.625 0.75 第6次 0.687 5 0.75 第7次 0.718 75 0.75 第8次 0.734 375 0.75 第9次 0.742 187 5 0.75 第10次 0.742 187 5 0.746 093 75 第11次0.742 187 50.744 140 625至此，可以看出，区间 ［0.742 187 5,0.744 140 625］ 是0.74.所以0.74是方程2x 3+ 3x — 3 = 0精确到0.01点评：利用二分法求方程近似解的步骤：① 确定函数f (x )的零点所在区间(a , b )，通常令 ② 利用二分法求近似解. 变式训练利用计算器，求方程 x 2— 2x — 1 = 0的一个近似解. 活动：教师帮助学生分析：2 , .画出函数f (x ) = x — 2x — 1的图像，如图2所示.从图像上可以发现， 方程x 2— 2x — 1 = 0的一个根X 1在区间(2,3)内，另一个根X 2在区间 (—1,0)内.根据图像，我们发现f (2) =— 1< 0, f (3) = 2 > 0，这表明此函数图像在区间 (2,3)上穿过x 轴一次，即方程+ 3、1计算得f I —厂4> 0,发现X 1€ (2,2.5)( 解：设f (x ) = x 2— 2x — 1,先画出函数图像的简图，如图 2.内的所有值，若精确到 0.01，都 的实数解.b —a =1; (精确到0.1) 如图2)，这样可以进一步缩小 x i 所在的区间.因为f(2) =— 1< 0, f (3) = 2> 0,所以在区间(2,3)内，方程x2— 2x— 1 = 0有一解，记为X1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5) = 0.25 > 0,所以2< X i< 2.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25) =— 0.437 5 < 0, 所以 2.25 < X i < 2.5.如此继续下去，得 f (2) < 0, f (3) > 0= X i € (2,3),f(2) < 0, f(2.5) > 0= x i€ (2,2.5),f(2.25) < 0, f(2.5) >0=x i€ (2.25,2.5),f (2.375) < 0, f(2.5) > 0=x i€ (2.375,2.5),f (2.375) < 0 , f (2.437 5) > 0= X i € (2.375,2.437 5).因为2.375与2.437 5精确到0.i的近似值都为2.4 ,所以此方程的一个近似解为 2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.例2利用计算器，求方程Ig X = 3—X的近似解.(精确到0.i) 活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.分别画出y = Ig X和y = 3—x的图像，如图3所示.在两个函数图像的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程Ig x= 3—X的解.由函数y = Ig x与y = 3 —x的图像可以发现，方程Ig X = 3 —X有唯一解，记为X i,并且这个解在区间(2,3)内.解：设f(X)= Ig x+ x — 3，设x i为函数的零点即方程Ig x = 3 —x的解. 用计算器计算，得f(2) < 0, f(3) > 0= x i € (2,3),f(2.5) < 0, f (3) >0=X i€ (2.5,3),f(2.5) < 0, f (2.75) >0=X i€ (2.5,2.75),f(2.5) < 0, f (2.625) >0=x i€ (2.5,2.625),f (2.562 5) < 0, f (2.625) > 0= X i € (2.562 5,2.625).因为2.562 5与2.625精确到0.i的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为 2.6.例3 求方程In x — 2x+ 3 = 0在区间［i,2］内的根.(精确到0.i)解：设f(x) = In x— 2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.设x i为函数的零点即方程In x — 2x+ 3 = 0的解.因为f(i) = i, f (2) = — 0.306 852 8i9 ,所以f (i) f(2) < 0，即函数f (x)在［i,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以F表格：（步长为0.25）0.062 5）由上述表格可以得到下表与图像（图4）:因为 f (1.75) = 0.059 615 787 >0, f (1.812 5) 所以区间[1.75,1.812 5] 内的所有值若精确到 所以1.8是方程In X — 2x + 3= 0精确到0.1的实数解.点评：①先设出方程对应的函数， 画出函数的图像，初步确定解所在的区间，再用二分法求方程近似解.② 二分法，即逐渐逼近的方法.③ 计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易. 知能训练根据下表中的数据，可以断定方程e X— X — 2= 0的一个根所在的区间为( ).X—1 0 1 2 3 X e0.37 1 2.72 7.39 20.0 X + 21 23 45A. ( —1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)分析：设 f (x ) = e x—x — 2, f (1) < 0, f (2) > 0，即 f (1) f (2) < 0,A X € (1,2).答案：C 课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价. 引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.① 掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.=—0.030 292 892 < 0,0.1，都是 1.8.②思想方法：函数方程思想、数形结合思想. 课后作业：P119习题4— 1 A组1,3.。
高中数学 第四章 函数应用 4.1.2 利用二分法求方程的近似解学案 北师大版必修1
4.1.2 利用二分法求方程的近似解1. 根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点)2. 学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点)[基础·初探]教材整理利用二分法求方程的近似解阅读教材P117～P119整节课的内容，完成下列问题．1. 二分法的概念对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．2. 用二分法求方程的近似解的过程图411在图411中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．( )(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．( )(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b－a≤ε(精确度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精确度ε的近似解．( )【答案】(1)×(2)×(3)√2. 在用二分法求函数f(x)的一个零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，0.64＋0.72＝0.68，f(0.68)＜0，若精确度为0.1，则函数f(x)的零点近似值可为( ) 2A．0.64 B．0.65C．0.70 D．0.73【解析】因为0.72－0.68＝0.04＜0.1，故函数f(x)的零点在区间(0.68,0.72)，故函数的零点可以是0.70.【答案】 C[小组合作型]( )A B C D【精彩点拨】零点附近连续→零点左右函数值异号【尝试解答】按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.【答案】 A1. 准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2. “二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．[再练一题]1. (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )A B C D(2)用二分法求函数f (x )在区间[a ，b ]内的零点时，需要的条件是( )①f (x )在区间[a ，b ]是连续不断的；②f (a )·f (b )＜0；③f (a )·f (b )＞0；④f (a )·f (b )≥0.A ．①②B ．①③C ．①④D ．①②③【解析】 (1)函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有B 选项符合．(2)由二分法的意义，知选A.【答案】 (1)B (2)A借助计算器或计算机，用二分法求方程3x＋xx ＋1＝0的近似解(精确度为0.1)．【精彩点拨】 借助函数图像的交点确定初始区间后用二分法求根的近似解．【尝试解答】 原方程可化为3x－1x ＋1＋1＝0，即3x＝1x ＋1－1， 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x与h (x )＝1x ＋1－1的简图，如图所示： 因为g (x )与h (x )的图像交点的横坐标位于区间(－1,0)且只有一个交点， 所以原方程只有一解，设为x ＝x 0. 令f (x )＝3x＋xx ＋1＝3x－1x ＋1＋1， 因为f (0)＝1－1＋1＝1＞0，f (－0.5)＝13－2＋1＝1－33＜0， 所以x 0∈(－0.5,0)． 用二分法求解，列表如下：＝0.062 5＜0.1，所以原方程的近似解可取为－0.375.用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求达到给定的精确度，以决定是停止计算还是继续计算.[再练一题]2. 利用计算器，求方程lg x ＝2－x 的近似解．(精确到0.1)【解】作出y＝lg x，y＝2－x的图像，可以发现，方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间[1,2]内．设f(x)＝lg x＋x－2，用计算器计算得f(1)＜0，f(2)＞2⇒x∈[1,2]；f(1.5)＜0，f(2)＞0⇒x∈[1.5,2]；f(1.75)＜0，f(2)＞0⇒x∈[1.75,2]；f(1.75)＜0，f(1.875)＞0⇒x∈[1.75,1.875]；f(1.75)＜0，f(1.812 5)＞0⇒x∈[1.75,1.812 5]．在区间[1.75,1.812 5]中的值精确到0.1均为1.8.∴近似解为1.8.[探究共研型]图412假设在区间[－1,5]上，f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(－1)·f(5)＜0，如何按照二分法的思想求方程f(x)＝0的一个解？【提示】取[－1,5]的中点2，因为f(5)＜0，f(2)＞0，即f(2)·f(5)＜0.所以在区间[2,5]内有方程的解．于是再取[2,5]的中点3.5…这样继续下去，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中的点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．探究 2 在上述问题中，如果不给精确，用二分法能一定求出零点吗？【提示】不能．探究 3 假设方程有一个近似解在区间[a，b]内，那么当区间的长度b－a的值满足什么条件时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解？为什么？【提示】当b－a≤ε，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．因为任意选取两数x 1，x 2∈(a ，b )，都有|x 1－x 2|＜ε.由于x ^∈(a ，b )，所以任意选取x ′∈(a ，b )都有|x ′－x ^|＜ε.用二分法求函数y ＝x 3－3的一个正零点(精确到0.01).【导学号：04100075】【精彩点拨】选定区间[1，2]→用二分法逐次计算→【尝试解答】 由于f (1)＝－2＜0，f (2)＝5＞0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下：，所以1.44就是所求函数一个精确到0.01的正零点的近似值．二分法求解步骤：(1)确定区间[a ，b ]：验证f (a )·f (b )＜0，初始区间的选择不宜过大，否则易增加运算的次数．(2)求区间[a ，b ]的中点c . (3)计算f (c )：①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点．②若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈[a ，c ])； ③若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈[c ，b ])．(4)判断a ，b 的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解；否则重复(2)～(4)步．特别注意要运算彻底．[再练一题]3. 用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.125)【解析】 由f (0)·f (0.5)＜0，故其中一个零点x 0∈(0,0.5)，第二次计算时取区间(0,0.5)的中点0.25，故第二次计算f (0.25)．【答案】 A1. 用二分法求函数f (x )＝3x－7的零点时，初始区间可选为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)【解析】 f (－1)＝3－1－7＝13－7＝－203＜0，f (0)＝30－7＝1－7＝1－7＝－6＜0， f (1)＝31－7＝－4<0， f (2)＝32－7＝9－7＝2＞0，故函数f (x )的零点在区间(1,2)上，故初始区间可选为(1,2)． 【答案】 C2. 若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【解析】 由参考数据可知，函数f (x )的零点在区间(1.25,1.375)，(1.375,1.406 25)，(1.406 25,1.437 5)内，由于 1.375－1.25＝0.15＞0.1，1.406 25－1.375＝0.031 25＜0.1,1.437 5－1.406 25＝0.031 25＜0.1.故函数的零点可以在区间(1.406 25,1.437 5)中取．故选项C 符合． 【答案】 C3. 已知图像连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________. 【导学号：04100076】【解析】 设等分的最少次数为n ，则由0.12n <0.01，得2n>10，所以n 的最小值为4.【答案】 44. 确定函数f (x )＝21log x ＋x －4的零点所在的区间．【解】 (答案不唯一)设y 1＝21log x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图像，如图．由图知，y 1与y 2在区间(0,1)内有一个交点， 当x ＝4时，y 1＝－2，y 2＝0，f (4)＜0， 当x ＝8时，y 1＝－3，y 2＝－4，f (8)＝1＞0， ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f (x )的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．。
高中数学第四章函数应用4.1.2利用二分法求方程的近似解课件北师大版必修1
答案： (1)B (2)D
用二分法求函数零点的近似值 用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1，1.5]内的一个零点．(精 确度 0.01) [思路探究] 1．在用二分法求函数的零点时，将选取的初始区间等分的次数由哪个因素决 定？ 2．给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)的零点的初始区间是唯一的吗？
3．如果不断重复2的过程，会有什么结果？ [提示] 区间的端点越来越接近函数的零点．
1．会用二分法求方程的近似解．(重点) 2．明确精确度 ε 与近似值的区别．(易混点) 3．会判断函数零点所在的区间．(难点)
二分法 对于在区间[a，b]上_f(_a_)_·f_(_b_)<__0且__连__续__不__断___的函数 y＝f(x)，通过不断地把 函数 f(x)的零点所在的区间_一__分__为__二___，使区间的两个端点逐步逼近_零__点___，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1．2 利用二分法求方程的近似解
自主学习·新知突破
1．26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)， 现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
[提示] 第一次各 13 枚称重，选出较轻一端的 13 枚，继续称；第二次两端各 6 枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的 6 枚继续称；
给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤 第一步：确定闭区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε. 第二步：求区间(a，b)的中点 c. 第三步：计算 f(c)． (1)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； (2)若 f(a)·f(c)<0， 则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))；
高中数学第四章函数应用4.1.2利用二分法求方程的近似解学案含解析北师大版必
学习资料1.2 利用二分法求方程的近似解内容标准学科素养1。
能用二分法求出方程的近似解．2。
知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想。
体会逐步逼近加强数形结合函数与方程思想授课提示：对应学生用书第69页［基础认识］知识点一二分法的定义错误!用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示：前提条件:（1)f（x)在区间[a，b]上的图像连续不断．（2）在区间［a,b]端点的函数值f（a）·f(b)＜0.知识梳理二分法的定义对于在区间［a,b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f（x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．知识点二用二分法求方程近似解的步骤错误!用二分法研究函数f（x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）＜0，f（0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．提示:(0，0.5）f(0.25)知识梳理二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求f（x）零点近似值的步骤如下:（1）确定区间［a，b］，验证f（a）·f（b）＜0,给定精确度ε。
（2）求区间(a，b)的中点c.(3）计算f（c）．①若f(c)＝0，则c就是函数的零点;②若f(a）·f（c)＜0，则令b＝c（此时零点x0∈(a，c));③若f（c)·f（b）＜0,则令a＝c（此时零点x0∈(c，b））．（4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b｜＜ε,则得到零点近似值a（或b）；否则重复(2)～（4)．思考：1.能否用二分法求任何函数(图像是连续的）的近似零点？提示：不能．看一个函数能否用二分法求其零点关键要看是否具备应用二分法的条件(即函数图像在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号，从图像上看即图像穿过x 轴）．2．在用二分法求函数f（x）零点近似值时精确度ε有什么作用？提示:（1）精确度ε是指在计算过程中得到某个区间(a,b）后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到｜a－b|＜ε为止．(2）由(1）可知，如果求函数零点的近似值时，所给的“ε”不同，得到的结果也不相同．[自我检测］1．已知函数f(x)的图像如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为(）A．4,4 B．3，4 C．5，4 D．4，3解析：由图像知函数f(x)与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点两侧不满足f（a）·f(b）＜0，因此不能用二分法求零点,而其余3个均可使用二分法求零点．答案：D2．用二分法求函数f（x)＝ln x＋2x－6的零点可以选取的初始区间是（）A．（1，2）B．（2,3) C．（3，4） D．（4,5)解析:f(1)＝－4＜0,f（2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f（2）·f（3)＜0.答案：B3．求方程x3－2x－5＝0在区间（2,3)内的实根,取区间中点x0＝2。
高中数学北师大版必修一4.1.2【教学课件】《利用二分法求方程的近似解》
1
3
−2+1=
1− 3 3
<0
所以 ������0 ∈ (−0.5,0)
。用二分法求解，列表如下：
北京师范大学出版社 | 必修一
中点值
中点(端点)函数值
������ −0.5 < 0 ������ 0 > 0
取值区间
(－0.5,0)
−0.5 − 0.25 ������2 = 2 = −0.375
������3 = −0.5 − 0.375 2 = −0.4375
������ 1 ������ =3 − +1 所以原方程只有一解，设为 ������ = ������0 ； 令 ������ ������ = 3 + ������ + 1 ������ + 1
�ห้องสมุดไป่ตู้����
因为 ������ 0 = 1 − 1 + 1 = 1 >
������ −0.5 = 0，
图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A
北京师范大学出版社 | 必修一
思考1：所有的函数求零点问题都可以用二分法吗？
解：不是。“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只
有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号
才能应用“二分法”求函数零点。即二分法仅对函数的变号
零点适用，对函数的不变号零点不适用。
③若 ������ ������ ∙ ������ ������ < 0 ，则令 ������ = ������ (此时零点 ������0 ∈ [������ , ������])。 (4)判断 ������, ������ 的两端的近似值是否相等，若相等得零点的近似解； 否则重复(2)～(4)步。特别注意要运算彻底。
高中数学 第四章 函数应用 4.1 函数与方程 4.1.2 利用二分法求方程近似解教案3 北师大版必修1
4.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学程序与环节设计：
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
初步应用二分法解
1．二分法为什么可以逼近零点的再分析；
2．追寻阿贝尔和伽罗瓦．。
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实例体验
如果取到某个区间的中点x0,恰好使 f(x0)=0,则x0就是所求的一个解；如果区 间中点的函数总不为0，那么，不断重复 上述操作，就得到一系列闭区间，方程 y 的一个解在这些区间中， 区间长度越来越小， f(x) 端点逐步逼近方程 - O 1 2 3 4 5 的解，可以得到一 1 个近似解.
第5次 0.6875 -0.287597656 第6次 0.71875 -0.101135254 第7次 0.73437 -0.004768372
5 0.75 0.75 0.75 0.7421 875
第8次 0.73437 -0.004768372
5
复习小结
利用二分法求方程实数解的过程
1.初始区间是一个两端 函数值符号相反的区间. 2.“M”的意思是取新 区间，其中一个端点 是原区间端点，另一 个端点是原区间的中 点. 3.“N”的意思是方程 的解满足要求的精确 度. 选定初始区间 取区间的中点 中点函数值为0 是
实例体验
例：在区间[-1,5]上，
f(x)的图像是一条连续的 曲线，且f(1)>0,f(5)<0，即 f(-1)f(5)<0,我们依如下方 法可以求得方程f(x)=0的 一个解.
f(x)
y
-1 O 1 2 3 4 5 x
取[-1,5]的中点2，因为f(2)>0, f(5)<0, 即f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的 解，于是再取[2,5]的中点3.5，……
x
动手实践
求方程2x3+3x-3=0的一个实数 解，精确到0.01. 解：考查函数f（x）=2x3+3x-3，从一 个两端函数值反号的区间开始，应用 二分法缩小方程实数解所在的区间。 经试算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0,所 以2x3+3x-3=0在[0,1]内有解。
次数 左端点 第1次 第2次 第3次
算一算：要把故障可能发生的 范围缩小到50～100m左右，即一两 根电线杆附近，要检查多少次？
7次
引入新知
定义：每次取中点，将区间一分为 二，再经比较，按需要留下其中一个 小区间的方法叫二分法，也叫对分法. 二分法常用于查找线路电线、水 管、气管等管道线路故障实验设计、 资料查询，是方程求根的常用方法！
M
N
是 结束
否
课后作业
课后作业： 课本119习题4—1
左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
0
0.5 0.5
-3
-1.09375
0.09375
0.09375 0.09375 0.09375 0.044219017
1
0.5 0.25
0.125
0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125
第4次 0.625 -0.63671875 0.75
4.1.2 利用二分法 求方程的近似解
复习回顾
判断零点存在的方法
若函数f(x)在闭区间[a,b]上的 图像是连续曲线，并且在闭区间 [a,b]端点的函数值符号相反，即 f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上至少有 一个零点，即方程f(x)=0在(a,b) 上至少有一个实数解.
问题情境
在一个风雨交加的夜里，从某 水库闸房到防洪指挥部的电话线路 发生了故障，这是一条10km长的线 路，如何迅速查出故障所在？