高中数学学案：直线与平面垂直

高中数学学案：直线与平面垂直
1. 掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理.
2. 能够熟练运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理解决有关的问题
1. 阅读：必修2第35～40页.
2. 解悟：①圆锥SO的形成；②圆锥SO所在直线和底面内每一条半径的关系；③将圆锥中的相关关系用数学语言描述；④重解第39页例3,体会解题的方法和规范.
3. 践习：在教材空白处,完成第38页练习第2、3、5、6题.
基础诊断
1. 过一点有一条直线与已知平面垂直；过一点有一个平面与已知直线垂直.
2. 若a,b,c表示直线,α表示平面,则下列条件中能使a⊥α的是④.(填序号)
①a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α；
②a⊥b,b∥α；
③a∩b＝A,b⊂α,a⊥b；
④a∥b,b⊥α.
解析：①若直线b,c相交,则a⊥α.若直线b∥c,则a与α可能平行,可能垂直,可能相交,也可能a⊂α；②a可能在平面α内,也可能与平面α平行；③a有可能在平面α内；④若b⊥α,则在平面α内存在两条相交直线m,n,使得b⊥m,b⊥n.因为a∥b,所以a⊥m,a⊥n,所以a⊥α.故填④.
3. 已知l与m是两条不同的直线,直线l⊥平面α,给出下列命题：
①若直线m⊥l,则m∥α；
②若m⊥α,则m∥l；
③若m⊂α,则m⊥l；
④若m∥l,则m⊥α.
其中正确的是②③④.(填序号)
解析：①当直线m⊥l时,也有可能m⊂α,故①错误；②根据直线与平面垂直的性质定理可知②正确；③由线面垂直的定义知,若直线l⊥平面α,m⊂α,则m⊥l,故③正确；④因为m∥l,直线l⊥平面α,所以m⊥α,故④正确.故填②③④.
4. 设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”
是“a⊥b”的充分不必要条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
解析：因为α∩β＝m,b⊥m,b⊂β,所以若α⊥β,则b⊥α.又因为a⊂α,所以b⊥a,故充分性成立；若a⊥b,当a∥m时,α与β不一定垂直,故必要性不成立,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.
范例导航
考向❶直线与平面垂直的定义、判定及应用
例1如图,已知AB为圆O的直径,D为线段AB上一点,且AD＝1
3DB,C为圆O上一点,且BC
3AC,PD⊥平面ABC,PD＝DB.求证：PA⊥CD.
解析：因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB.
在Rt△ABC中,由3AC＝BC得∠ABC＝30°.
设AD＝1,由3AD＝DB得DB＝3,BC＝23,
由余弦定理,得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos30°＝3,
所以CD2＋DB2＝BC2,即CD⊥AO.
因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,
所以PD⊥CD.
因为PD∩AO＝D,AO,PD⊂平面PAD,
所以CD⊥平面PAB.
又PA⊂平面PAB,所以PA⊥CD.
【注】证明线面垂直或线线垂直,常常要经过“线线垂直⇔线面垂直”的多次相互转化.
如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点.求证：
(1) CD⊥AE；
(2) PD⊥平面ABE.
解析：(1) 因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD.
因为AC⊥CD,PA∩AC＝A,PA,AC⊂平面PAC,
所以CD⊥平面PAC.
因为AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.
(2) 因为PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,
所以AC＝PA.
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD＝C,PC,CD⊂平面PCD,
所以AE⊥平面PCD.
因为PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,AB⊥AD,
所以AB⊥PD.
又AB∩AE＝A,AB,AE⊂平面ABE,
所以PD⊥平面ABE.
考向❷直线与平面垂直的判定和性质的综合运用
例2如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC,E是PC的中点,作EF⊥PB,垂足为F.求证：
(1) PA∥平面EDB；
(2) PB⊥平面EFD.
解析：(1) 连结AC交BD于点O,连结EO.
因为底面ABCD是矩形,
所以O是AC的中点.
因为E是PC的中点,
所以EO为△PAC的中位线,
所以PA∥EO.
又EO⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,
所以PA∥平面EDB.
(2) 因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.
因为底面ABCD是矩形,所以DC⊥BC.
因为PD∩DC＝D,PD,DC⊂平面PDC,
所以BC⊥平面PDC.
又DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.
因为PD＝DC,E是PC的中点,
所以DE⊥PC.
又PC,BC⊂平面PBC,且PC∩BC＝C,
所以DE⊥平面PBC.
因为PB⊂平面PBC,
所以DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E,DE,EF⊂平面EFD,所以PB⊥平面EFD.
如图,已知几何体ABCDA1B1C1D1是正方体.
(1) 求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2) 求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解析：(1) 因为AB⊥平面AA1D1D,
所以∠AA1B即为A1B与平面AA1D1D所成的角.
在Rt△AA1B中,∠BAA1＝90°,AB＝AA1,
所以∠AA1B＝45°,
所以A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2) 连结A1C1交B1D1于点O,连结BO.
在正方体ABCDA1B1C1D1中,
易知A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,B1D1∩BB1＝B1,B1D1,BB1⊂平面BB1D1D,所以A1O⊥平面BB1D1D,
所以∠A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1,则A1B＝2,A1O＝
2 2.
因为∠A1OB＝90°,
所以sin∠A1BO＝A1O
A1B＝
1
2,即∠A1BO＝30°,
所以A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
自测反馈
1. 已知直线l,m,n,平面α,m⊂α,n⊂α,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
解析：当l⊥α时,则直线l垂直于平面内的任意直线.因为m⊂α,n⊂α,所以l⊥m且l⊥n,故充分性成立；当l⊥m且l⊥n时,因为m与n不一定相交,故l⊥α不一定成立,故必要性不成立,所以“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件.
2. 在三棱锥PABC中,点P在平面ABC的射影为点O.
(1) 若PA＝PB＝PC,则O是△ABC的外心；
(2) 若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是△ABC的垂心.
解析：(1) 如图1,连结OA,OB,OC,OP.在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA＝PC＝PB,所以OA＝OB＝OC,所以O为△ABC的外心.
(2) 如图2,因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB＝P,所以PC⊥平面PAB.因为AB⊂平面PAB,所以PC⊥AB.又AB⊥PO,PO∩PC＝P,所以AB⊥平面POC.因为OC⊂平面POC,所以AB⊥CO,即CO 所在的直线是△ABC边AB上的高,即AB⊥CG.同理可证AH⊥BC,BD⊥AC,所以O为△ABC 的垂心.
图1图2
3. 如图,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE,SF及EF将这个正方形折成一个几何体,使得G1,G2,G3三点重合于点G,给出下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③FG⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF.其中正确的是①④.(填序号)
解析：因为在折叠过程中,始终有SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,即SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF＝G,GE,GF⊂平面GEF,所以SG⊥平面GEF,故①正确；因为SD与SG不平行,所以SD与平面EFG 不垂直,故②错误；因为SG⊥GF,所以SF与GF不垂直,所以③错误.因为△SEF是等腰三角形,D 是EF的中点,所以SD⊥EF.因为GD⊥EF,GD∩SD＝D,GD,SD⊂平面GSD,所以EF⊥平面GSD,
故④正确；设正方形的棱长为2a,则DG＝
2
2a,SD＝
32
2 a.因为SG
2≠DG2＋SD2,所以SD与DG
不垂直,所以④错误.故填①④.
4. 若a,b表示直线,α表示平面,则下列命题：
①若a⊥α,b∥α,则a⊥b；
②若a⊥α,a⊥b,则b∥α；
③若a∥α,a⊥b,则b⊥α；
④若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
其中正确的是①④.(填序号)
解析：a⊥α,b∥α,由线面垂直的性质得出a⊥b,故①正确；由a⊥α,a⊥b可得出b∥α或b⊂α,故②错误；由a∥α,a⊥b可得出b⊂α或b∥α或b与平面α相交,故③错误；由线面垂直的性质定理可知④正确.
1. 运用线面垂直的判定定理时,要注意关键条件“两条、相交”.本课涉及的几个题目中,在什么地方必须要强调“相交”？
2. 运用线面垂直的判定和性质定理时,除利用“线线与线面垂直”的相互转化外,有时要通过“算”来证出“垂直”,即：算证结合,如,例1.
3. 你还有哪些体悟,请写下来：。