高中数学学案：直线与平面垂直

高中数学学案：直线与平面垂直

1. 掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理.

2. 能够熟练运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理解决有关的问题

1. 阅读：必修2第35～40页.

2. 解悟：①圆锥SO的形成；②圆锥SO所在直线和底面内每一条半径的关系；③将圆锥中的相关关系用数学语言描述；④重解第39页例3,体会解题的方法和规范.

3. 践习：在教材空白处,完成第38页练习第2、3、5、6题.

基础诊断

1. 过一点有一条直线与已知平面垂直；过一点有一个平面与已知直线垂直.

2. 若a,b,c表示直线,α表示平面,则下列条件中能使a⊥α的是④.(填序号)

①a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α；

②a⊥b,b∥α；

③a∩b＝A,b⊂α,a⊥b；

④a∥b,b⊥α.

解析：①若直线b,c相交,则a⊥α.若直线b∥c,则a与α可能平行,可能垂直,可能相交,也可能a⊂α；②a可能在平面α内,也可能与平面α平行；③a有可能在平面α内；④若b⊥α,则在平面α内存在两条相交直线m,n,使得b⊥m,b⊥n.因为a∥b,所以a⊥m,a⊥n,所以a⊥α.故填④.

3. 已知l与m是两条不同的直线,直线l⊥平面α,给出下列命题：

①若直线m⊥l,则m∥α；

②若m⊥α,则m∥l；

③若m⊂α,则m⊥l；

④若m∥l,则m⊥α.

其中正确的是②③④.(填序号)

解析：①当直线m⊥l时,也有可能m⊂α,故①错误；②根据直线与平面垂直的性质定理可知②正确；③由线面垂直的定义知,若直线l⊥平面α,m⊂α,则m⊥l,故③正确；④因为m∥l,直线l⊥平面α,所以m⊥α,故④正确.故填②③④.

4. 设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”

是“a⊥b”的充分不必要条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

解析：因为α∩β＝m,b⊥m,b⊂β,所以若α⊥β,则b⊥α.又因为a⊂α,所以b⊥a,故充分性成立；若a⊥b,当a∥m时,α与β不一定垂直,故必要性不成立,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.

范例导航

考向❶直线与平面垂直的定义、判定及应用

例1如图,已知AB为圆O的直径,D为线段AB上一点,且AD＝1

3DB,C为圆O上一点,且BC

3AC,PD⊥平面ABC,PD＝DB.求证：PA⊥CD.

解析：因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB.

在Rt△ABC中,由3AC＝BC得∠ABC＝30°.

设AD＝1,由3AD＝DB得DB＝3,BC＝23,

由余弦定理,得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos30°＝3,

所以CD2＋DB2＝BC2,即CD⊥AO.

因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,

所以PD⊥CD.

因为PD∩AO＝D,AO,PD⊂平面PAD,

所以CD⊥平面PAB.

又PA⊂平面PAB,所以PA⊥CD.

【注】证明线面垂直或线线垂直,常常要经过“线线垂直⇔线面垂直”的多次相互转化.

如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点.求证：

(1) CD⊥AE；

(2) PD⊥平面ABE.

解析：(1) 因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,

所以PA⊥CD.

因为AC⊥CD,PA∩AC＝A,PA,AC⊂平面PAC,

所以CD⊥平面PAC.

因为AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.

(2) 因为PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,

所以AC＝PA.

因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD＝C,PC,CD⊂平面PCD,

所以AE⊥平面PCD.

因为PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.

因为PA⊥底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,AB⊥AD,

所以AB⊥PD.

又AB∩AE＝A,AB,AE⊂平面ABE,

所以PD⊥平面ABE.

考向❷直线与平面垂直的判定和性质的综合运用

例2如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC,E是PC的中点,作EF⊥PB,垂足为F.求证：

(1) PA∥平面EDB；

(2) PB⊥平面EFD.

解析：(1) 连结AC交BD于点O,连结EO.

因为底面ABCD是矩形,

所以O是AC的中点.

因为E是PC的中点,

所以EO为△PAC的中位线,

所以PA∥EO.

又EO⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,

所以PA∥平面EDB.

(2) 因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.

因为底面ABCD是矩形,所以DC⊥BC.

因为PD∩DC＝D,PD,DC⊂平面PDC,

所以BC⊥平面PDC.

又DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.

因为PD＝DC,E是PC的中点,

所以DE⊥PC.

又PC,BC⊂平面PBC,且PC∩BC＝C,

所以DE⊥平面PBC.

因为PB⊂平面PBC,

所以DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E,DE,EF⊂平面EFD,所以PB⊥平面EFD.

如图,已知几何体ABCDA1B1C1D1是正方体.

(1) 求A1B与平面AA1D1D所成的角；

(2) 求A1B与平面BB1D1D所成的角.

解析：(1) 因为AB⊥平面AA1D1D,

所以∠AA1B即为A1B与平面AA1D1D所成的角.