秦皇岛市数学八年级下册：第1讲 二次根式
数学八年级下第一章第一节《二次根式》ppt课件
解：
2x2 1 3
由题意
得:
2x2 1 9
两边同时 x 2 4
平方得: x 2
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19
一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西
轮船
北方向航行t小时。船的航速是每时25千米。
1)、用关于t的代数式表示船离开出发地的距离。
2)、求当t=3时，船离开出发地多少千米。
（精确到0.01）
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3xx0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
x0
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13
求下例二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a2
解得:,由题 3意a 2 0 a2 3
(2) 1 1 2a
解:由题意得,
1 0 1 2a 1 2 a 0
1 2a 0
a 1 最新版整理ppt
14
2
(3) (a3)2
解:由题意得,
(a 3)2 0 a 可取全体实数
(4) a a 1
解:由题意得,
a 0 a 1 a 1 0
a a
0 1
0
或
a 0
a
1
0
a 1 或 最新版整理ppt a 0
求 a2b22b1的值。
解: 2a 0, b2 0
?
而2a b20
2a0, b20
a2, b2
原 式 a 2 b 1 2a 2 b 1 22 1 3
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24
1.若 (a5)2(2b3)2 =0，则 ab 2 =_____。
人教版初二下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识性质(有答案)
人教版初二下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识性质（有答案)第一局部 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如〔〕的式子叫做二次根式。
必需留意：由于正数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式〔〕的非负性〔〕表示a 的算术平方根， 即0〔〕。
非负性：算术平方根，和相对值、偶次方。
非负性质的解题运用： 〔1〕、如假定，那么a=0,b=0； 〔2〕、假定，那么a=0,b=0； 〔3〕、假定，那么a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二局部 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、以下各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2、以下各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？〔121 〔219-〔321x +〔439 〔56a - 〔6221x x ---例3)()()230,2,12,20,3,1,2xx y y x xx x y +=--++中，二次根式有〔 〕A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个例4、以下各式中，属于二次根式的有〔 〕例5、假定21x +的平方根是5±_____=．1、以下各式中，一定是二次根式的是〔 〕A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、以下各式一定是二次根式的是〔 〕A B C D4、以下式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0〕1x y +、〔x≥0，y ≥0〕 ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及运用 例1有意义，那么x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、事先_____x ，式子有意义． 例4、在以下各式中，m 的取值范围不是全体实数的是〔 〕 A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、假定y=5-x +x -5+2021，那么x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是〔 〕 A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是 3、假设代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P 〔m ，n 〕的位置在〔 〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，那么x 、y 应满足的条件是〔 〕 A ．0≥x 且0≥y B ．0>y xC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕A ．－1B ．1C ．2D ．37、假定x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
八年级下册数学第一章二次根式
第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式 1.2 定义二次根式第二节：二次根式的运算2.1 开方2.2 含有根号的算术式的加减乘除2.3 对一元二次方程进行求根第三节：二次根式的化简3.1 提取因数3.2 合并同类项3.3 求解含有二次根式的方程第四节：一元二次方程的复根4.1 i的引入4.2 复数解的运算第五节：二次根式在几何中的应用5.1 定理的引入5.2 二次根式的计算第六节：二次根式的实际应用6.1 实际问题6.2 解题方法6.3 实际应用案例第七节：总结7.1 本章知识点总结7.2 学习方法和技巧的总结第八节：拓展8.1 相关知识的拓展8.2 学科交叉知识的拓展第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式数学是一门关于数量、结构、空间和变化等概念的研究。
而二次根式作为数学课程中的一个重要内容，是数学在现实生活中的一种具体应用。
八年级下册的数学教材中，第一章就是关于二次根式的学习。
在这一章节中，我们将会学习到如何对含有二次根式的算式进行运算、如何对二次根式进行化简、以及二次根式在几何和实际生活中的应用等知识。
1.2 定义二次根式在数学中，二次根式指的是形如a√b的数学表达式，其中a和b都是实数，b为大于等于0的数，且a不等于0。
其中√b表示对b开平方的结果。
2√3和-5√8都是二次根式。
在这一章节中，我们将深入学习二次根式的运算规则，化简方法以及实际应用，全面掌握二次根式的相关知识。
第二节：二次根式的运算2.1 开方在学习二次根式的运算过程中，我们首先需要了解开方的概念。
开方是指找出一个数的平方根。
对于一个非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a。
在实际应用中，开方是一种常见的运算方法，我们将学习如何对含有根号的算式进行加减乘除等运算。
2.2 含有根号的算术式的加减乘除含有根号的算术式在运算过程中与普通的算术式有些许不同。
第01讲二次根式的性质
第01讲二次根式的性质第1讲二次根式的性质知识导航1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2．二次根式的双重非负性；3．开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()；；－；；；(x＞1)；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()A．只有 B．只有 C．和 D．和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．【解答】士．【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．针对练习11．x取何值时，下列各式有意义(1)；(2)；－；(4)．【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．2．代数式＋＋的最小值是()A．0 B．1＋ C．1 D．不存在【解答】B．3．方程＋＝0的解是．【解答】，或4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．【解答】－15．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，＝－，≥0，－0，，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．题型五＝的运用【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．原式＝－＝－＝＋－（－）＝2．【解答】2．【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．【解答】1x≤4．题型六()2＝a(a0)的运用【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．【解答】2，．【例5】观察下列各式：＝2；＝3；＝4；，请你猜想⑴＝，＝；(2)计算(请写出推导过程)：；(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．【解答】＝5，＝6；(2)＝＝＝14；＝(n＋1)（n1）．题型八求值【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab ＝n，这样()2＋()2＝m，(＝，那么便有＝＝(a＞b)．例如：化简．首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，＝＝＝2＋．由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．【解答】(1)＝＝；(2)＝＝＝－；(3)＝＝(＝(－1)＝－．＝＝＝＝1＋．解决问题：(1)在括号内填上适当的数：＝＝＝＝________；(2)根据上述思路，试将予以化简．【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．【解答】(1)＝＝＝＝3＋；(2)＝＝＝＝5－．针对训练21．a，b，＋＋－a－．a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b －|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．2．＝·，－2＋．＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－14．当1＜x＜5时，化简：－．【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．∴原式＝－＝＝．6．已知a为偶数，且＝，求－的值．【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．8．化简：(1)；(2)．【解答】(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．10．利用“≥0”解答下列问题：(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c ＝9；(2a－2＋b－4＋c－6＝0，[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．11．＋＝a－2017＝__．a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．。
八年级数学下册第1章二次根式知识点总结范文(页)
八年级数学下册第1章二次根式知识点总结范文（页）#飞驰教育个性化辅导讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如.的式子叫二次根式，其中&叫被开方数，只有当二是一个非负数时，才有意义.【例2】若式子有意义，则某的取值范围是J某3举一反三：1、使代数式：某—2某—〔有意义的某的取值范围是2、如果代数式Jm—有意义，那么，直角坐标系中点p(mn)的位置在(imnA、第一象限B、第二象限C第三象限D、第四象限【例3】若【例3】若y=.某5+5某+2022,则某+y=解题思路：式子、a(a>0)某50某5，y=2022,则某+y=20225某0’举一反三:1、若.举一反三:1、若.某11某2(某y)，■则某-y的值为(3、当a取什么值时，代数式、、2a11取值最小，并求出这个最小值。
__11的值.已知a是亦整数部分，b是亦的小数部分，求a的值。
若<17的整数部分为某，小数部分为y，求某的值.b2y知识点二：二次根式的性质【知识要点】非负性：是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.(.a)2a(a0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a0)a(a0)注意a(a0)a(a0)注意：(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.—2a(a0)—2a(a0)a的范围是非负(1)a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2)(a)2a的范围是非负数.(3)a2和(..a)2的运算结果都是非负的.【典型例题】【例4】若2c420,则a举一反三:已知直角三角形两边某、【例4】若2c420,则a举一反三:已知直角三角形两边某、y的长满足|+..-./y25y6=°,则第三边长为.2、若ab1与.a2b4互为相反数，则2005b如一:.—疏-(公式c.a)2a(a0)的运用)［例5】化简:\a1(—)2的结果为(A4—2aB、0C、2a—4D、4举一反三：3举一反三：3已知直角三角形的两直角边分别为、、2和5，则斜边长为a(a0)的应用)a(a0)［例6】已知某2,则化简.'某［例6】已知某2,则化简.'某24某4的结果是举一反三:2、化简■.4某24某12某32得((A)2(B)4某4(C)—2(D)4某43、已知a0，化简求值：卜4(a—Ha举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简IA2bB.2bC2aD.2a【例8】化简某28某16的结果是2某-5，则【例8】化简(A)某为任意实数(B)1<某<4(C)某>1(D)某<1举一反三：若代数式（2a）2.(a4)2的值是常数2，则a的取值范围是（d.a2或a4a.a>4b.a<2d.a2或a4或a=1D.a<1【例9】如果aa22a11，那么a或a=1D.a<11、如果a..孑~6a~93成立，那么实数a的取值范围是（）A.a0B.a3;C.a3;D.a32、若(某3)2某30，则某的取值范围是()(A)某3(B)某3(C)某3(D)某3【例10】化简二次根式aa22的结果是3a2(B).a2(O2(D)a21、把根号外的因式移到根号内：当b>0时，bi{=某知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
八年级下册数学精品课件1 二次根式
2019/5/13
9
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
， ⑵ 16
（3） a 2 2a 2 ，（4） x x 0
（5） m 32
a9
2019/5/13
10
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能将上面的的这些代数式作为 被开方数构造二次根式吗？
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。 2019/5/13
4
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________. 2019/5/13
5
如图所示的值表示正方形的面积， 则 正方形的边长是 b 3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
2019/5/13
11
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2019/5/13
12
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
3. 形式上含有二次根号 .
4. a≥0, a ≥0. ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
2019/5/13
8
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
八年级下册数学第一单元讲解
八年级下册数学第一单元讲解八年级下册数学第一单元通常涵盖二次根式的内容。
二次根式是数学中的一个重要概念，它涉及到平方根、立方根以及更高次方的根。
下面是对这一单元的主要内容和关键概念的讲解：1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a（其中a≥0）的数学表达式。
它表示a的非负平方根。
例如，√4 = 2，而√(-4) 在实数范围内是没有意义的。
2. 二次根式的性质•非负性：对于任何非负实数a，√a 都是非负的。
•平方性：如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数就是a的平方根。
•运算性质：√(ab)= √a × √b（当a≥0, b≥0时），但需要注意，这个性质不能推广到分数指数幂。
3. 最简二次根式最简二次根式是指被开方数中不含分母，并且不含能开得尽方的因数或因式。
例如，√8 可以化简为2√2，而2√2就是最简二次根式。
4. 二次根式的加减当对二次根式进行加减运算时，需要先将它们化为最简形式，然后合并同类项。
例如，√8 + √18 可以先化简为2√2 + 3√2，然后再合并为5√2。
5. 二次根式的乘除二次根式的乘除运算相对简单。
乘法可以直接根据根式的乘法性质进行，而除法则需要将被除数转化为与除数相同的根式形式，然后进行乘法运算。
6. 二次根式的应用二次根式在实际生活中有很多应用，例如在几何中计算面积和体积，以及在物理中计算力、速度等。
7. 二次根式的估算对于较大的数，我们可以使用估算的方法来近似计算其平方根。
例如，对于数17，我们可以估算其平方根在4和5之间，因为4^2 = 16 < 17 < 25 = 5^2。
总结八年级下册数学第一单元的二次根式是一个非常重要的概念，它不仅是后续数学学习的基础，而且在实际生活中也有广泛的应用。
通过理解和掌握二次根式的定义、性质、运算方法以及应用，可以为学生打下坚实的数学基础。
八下数学二次根式过程
八下数学二次根式过程二次根式是指具有形如√x的形式的根式，其中x为一个非负实数。
在八年级数学中，我们会学习如何进行二次根式的化简、四则运算以及解二次根式的一些基本方法。
接下来，我将详细讲解这些内容，以供学习参考。
一、二次根式的化简1.二次根式的含义与性质二次根式√x表示一个非负实数y，使得y的平方等于x。
其中，x为被开方数，y为二次根式的值。
性质1：当被开方数x为非负实数时，二次根式√x存在实数值。
性质2：当被开方数x为负数时，二次根式√x不存在实数值，但可以引入虚数单位i，定义i=√(-1)，进而得到虚数√x=i√(-x)。
2.化简二次根式的基本方法化简二次根式的意思是找出它的平方根是一个有理数或二次根式的形式。
下面列举了几个常见的化简方法：（1）简化因式法对于二次根式√ab，如果a和b都是一个非负实数，那么可以将√ab 化简为√a·√b。
示例：化简√12解：12=2×2×3，即√12=√(2×2×3)=2√3（2）分解因式法对于二次根式√(a²b)和√(a·b²)，其中a为非负实数，b为正实数，可以利用分解因式的方法，将其化简为a√b。
示例：化简√(16c⁴)解：16c⁴=4²c⁴=(4c²)²=4c²√c²=4c²c=c√c（3）合并同类项法对于二次根式的加、减运算，可以利用合并同类项的方法进行化简。
示例：化简√7+2√7解：√7+2√7=(1+2)√7=3√7（4）有理化分母法对于二次根式的分母有理化的问题，一般采用有理化分母法进行化简。
示例：化简1/√3解：有理化分母得1/√3=√3/33.二次根式的运算二次根式与整数、二次根式的加减运算，以及整数与二次根式的乘除运算的结果，仍然是二次根式。
（1）二次根式与整数的加减运算对于√a±√b，其中a、b都是非负实数，可以根据合并同类项的原则进行化简。
八年级数学下册课件： 二次根式(第1课时) 公开课精品课件 (2)
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
为S的正方形的边长为
S
二、创设情境，引入 新知
.
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为 65 130 m2,则它的宽为 m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时 间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单 位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t, h 那么t为_________. 5
2 x
•
1 x （3）x
x） 1 （4
x2
x
3
• （5）
（6）
总结: • 求二次根式中字母的取值范围的基 本依据： • ①被开方数不小于0； • ②分母中有字母时，要保证分母不 为0.
五、归纳总结
(1)本节课你学习了哪些知识？ (2)利用本节课知识，你能解决什么问题？
本节课主要学习了二次根式的定义及被开 方数的取值范围.
(3)全体实数 .
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1、2题. • 2.教材第5页习题16.1第1 题.
语文
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八下年级第一章二次根式教案
八下年级第一章二次根式教案
课计划在一年中的某月某日上课。
1.1二级自由基式1。
体验次根公式2概念的发生过程。
理解次根公式3的概念。
理解次偏旁公式何时有意义和无意义，并在一个简单的例子中找出偏旁公式中所有字母的取值范围。
找出次根公式的价值教学重点:次根公式概念教学的难点:例1，问题2 (2)(3)学生不容易理解教与学计划及策略简介。
知识回顾:1。
平方根是什么？一般来说，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根2.什么是算术平方根？正数的平方根和零的平方根统称为算术平根。
用什么？a。
0？为什么a≥0？第二，新课堂教学2b？32sa？做一件事:填空。
你认为你所得到的代数表达式的共同特征是什么？算术平方根由22s表示，根包含字母b？3a？4的代数表达式叫做二次根。
为了方便起见，我们也称数的算术平方根为二次根。
例如312，在下面的二次根公式中找到字母A的取值范围:1？a。
1；？2？11岁？2a；？3？(a？3)。
2解:(1)从a+1≥0获得，a ≥ 1 ∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数(2 ),从11？2a > 0，1-2a > 0A0，x。
数学八年级下册二次根式(1)(1)PPT公开课
因在为实x数² 范≥0围，内所，以负x可数以没为有任平意方实根数。。 （因2为）x²这≥些0，式所子以有x什可么以共为同任特意征实？数。 当有a意=义0时？， 表呢示？0的算术平方根，因此 =0。
（1）形如 （的2值）的一范个围长是方什形么围？栏，长是宽的2 倍，面积为130
的式子叫二次根 算术平方根（填
2.当x是怎样的实数时， x - 2 在实数范
围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义。
思 考 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内
有意义？ x 3 呢？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数。
要使x³≥0，必须x ≥0 。
的值的范围是什么？ 3、二次根式与算术平方根有什么关系？
课后作业 1.从教材习题中选取，
而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：
分析： 判断二次根式应关注两点：（1）有 根据你的理解，猜想一下二次根式的定义．
例2 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
二次根号“ 这就是说，当a≥0时， ≥0
思 考 当x 是怎样的实数时， 在实数范围内 2、二次根式有意义的条件是什么？二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
八年级下册
情境导入
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间
存在近似关系r= 2Rh，其中地球半径R≈6 400 km．
如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们
（2）负数 思例2考 当当x为x 是何怎值样时的，实下数列时各，式在实在数实范数围范内围有内意义.
八年级下册 第一章 二次根式 基础
（2） + － －
（3） － +
分析：第1小题可直接合并同类二次根式；第2、3小题首先要将它们化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
【基础训练】
1．化简：（1） ____；（2） _____；（3） ____；
（4） ____；（5） 。
2.(08，安徽)化简 =_________。
11.下列各式一定是二次根式的是（）
A. B. C. D.
12.若 ，则 （）
A. B. C. D.
课后记
本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□_____________________________
学生的接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□____________________________
11．（08，嘉兴）使 有意义的 的取值范围是．
12.(08，常州)若式子 在实数范围内有意义,则x的取值范围是
A.x>-5B.x<-5C.x≠-5D.x≥-5
13. (08，黑龙江)函数 中，自变量 的取值范围是．
14.下列二次根式中， 的取值范围是 ≥2的是
A、 B、 C、 D、
15.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是
A． B． C． D．
课后作业
1.使式子 有意义的条件是。
2.当 时， 有意义。
3.若 有意义，则 的取值范围是。
4.当 时， 是二次根式。
5.在实数范围内分解因式： 。
6.若 ，则 的取值范围是。
7.已知 ，则 的取值范围是。
8.化简： 的结果是。
9.当 时， 。
10.把 的根号外的因式移到根号内等于。
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秦皇岛市数学八年级下册：第 1 讲 二次根式
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)
1. （2 分） (2020 八下·广州期中) 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.
B.
C. D. 2. （2 分） 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C.
D.
3. （2 分） (2019 八下·随县期末) 要使式子
有意义，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. （2 分） (2018 九上·安溪期中) 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. （2 分） (2018 八上·金堂期中) 若式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A . x＜2
B . x＞2
C . x≤2
第1页共7页
D . x≥2 6. （2 分） 若关于 x 的一元二次方程（k-1）x2+ x+2=0 有实数根，则 k 应满足（ ）
A . k≤
B . k≤ 且 k≠1
C . k≤ 且 k≥0
D . 0≤k≤ 且 k≠1 7. （2 分） 下列五个等式中一定成立的有（ ）
①
；②
；③
；④a0=1；⑤
．
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
8. （2 分） 已知 a = ， 则 a- =（ ）
A.
B.-
C.
D.
9. （2 分） 下列根式中，与 是同类二次根式的是
A.
B.
C.
D.
10. （2 分） 若 A.0 B.1 C . -1
，则
的值为： （ ）
第2页共7页
D.2
二、 填空题 (共 10 题；共 30 分)
11. （3 分） 已知 x1= + ，x2= ﹣ ，则 x12+x22=________．
12. （3 分） 若最简二次根式
与
是同类二次根式，则 a 的值为________.
13. （3 分） (2020·苏州) 使
在实数范围内有意义的 x 的取值范围是________.
14. （3 分） (2019 八下·双鸭山期末)
＝________．
15. （3 分） 化简：
的结果是________。
16. （3 分） (2016 七下·邻水期末) 已知 a，b 是正整数，若 + 的有序数对（a，b）为________．
是不大于 2 的整数，则满足条件
17. （3 分） (2017·湖州模拟) 若二次根式
有意义，则 x 的取值范围是________．
18. （3 分） 如果|a|+a=0，则
=________ ．
19. （3 分） (2020 七下·硚口期中) 如图，已知
，
，第四象限的点
到 轴的距离
为 ，若 ， 满足 标为________.
，则 点坐标为________； 与 轴的交点坐
20. （3 分） 已知
为有理数，
分别表示
的整数部分和小数部分，且
，则
________.
三、 计算题 (共 1 题；共 10 分)
21. （10 分） (2017 八下·南通期中) 计算：
（1）
；
（2）
．
四、 解答题 (共 4 题；共 20 分)
第3页共7页
22. （5 分） 已知，y=
+
， 且 x、y 均为整数，求 x+y 的值．
23. （5 分） 下列各式是否为二次根式？
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
24. （5 分） 先化简，再求值： ( + )÷a，其中 a=
．
25. （5 分） 若 1＜a＜2，求
+
五、 综合题 (共 2 题；共 20 分)
的值．
26. （10 分） 已知
和
（1） x2﹣y2
（2） x2+2xy+y2 ．
，求下列各式的值：
27. （10 分） 我们知道，若两个有理数的积是 1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数
与
的积是 1 时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1） 判断
与
是否互为倒数，并说明理由；
（2） 若实数
是
的倒数，求 x 和 y 之间的关系．
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一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、
二、 填空题 (共 10 题；共 30 分)
11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、 16-1、 17-1、 18-1、
19-1、 20-1、
三、 计算题 (共 1 题；共 10 分)
参考答案
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21-1、
21-2、
四、 解答题 (共 4 题；共 20 分)
22-1、 23-1、 23-2、
23-3、
23-4
、
23-5
、
24-1、
第6页共7页
25-1、
五、 综合题 (共 2 题；共 20 分)
26-1、 26-2、 27-1、 27-2、
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。