比赛握手问题互赠礼物之一元二次方程

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苏版初三数学课时练习：实际问题与一元二次方程相互问题(循环、握手、互赠礼品等)

苏版初三数学课时练习：21相互问题（循环、握手、互赠礼品等）一、列一元二次方程解应用题的一样步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一样步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）设：设未知数，有直截了当和间接两种设法，因题而异；（2）找：找出等量关系；（3）列：列出一元二次方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：作答。

二、典型题型1n(n-1)，双循环问题n(n-1) 循环问题：又可分为单循环问题2例题1、参加足球联赛的每两队之间都要进行两场竞赛，共要竞赛132场，共有多少个球队参加竞赛？【分析】设共有x个队参加竞赛，依照每两队之间都进行两场竞赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设共有x个队参加竞赛，依照题意得：2×x（x﹣1）=132，整理得：x2﹣x﹣132=0，解得：x=12或x=﹣11（舍去）．故共有12个队参加竞赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，依照每两队之间都进行两场竞赛结合共比了132场列出关于x的一元一次方程是解题的关键．例题2、我们都明白连接多边形任意不相邻的两点的线段成为多边形的对角线，也都明白四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条（1）六边形的对角线有条，七边形的对角线有条；（2）多边形的对角线能够共有20条吗？假如能够，求出多边形的边数，假如不能够，请说明理由．【分析】（1）依照n边形的对角线有条，将n=6和n=7分别代入运算即可；（2）依照多边形的对角线有20条列出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）六边形的对角线有=9条，七边形的对角线有=14条．故答案为9，14；（2）设此多边形的边数为n，由题意得=20，整理，得n2﹣3n﹣40=0．解得n1=8，n2=﹣5（不合题意舍去）．答：八边形的对角线能够共有20条．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．把握n边形的对角线有条是解题的关键．三、综合练习一．选择题（共15小题）1．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，假如一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人2．某中学组织初三学生篮球竞赛，以班为单位，每两班之间都竞赛一场，打算安排15场竞赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．73．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片．假如全班各有x名同学，依照题意，列出方程为（）A．x（x﹣1）=2070 B．x（x﹣1）=2070×2 C．x（x+1）=2070D．2x（x+1）=20704．在一次小型会议上，参加会议的代表每人握手一次，共握手36次，则参加这次会议的人数是（）A．12人B．18人C．9人D．10人5．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7 B．8 C．9 D．106．要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要竞赛一场．打算安排28场竞赛，应邀请多少个队参赛（）A．6 B．7 C．8 D．97．参加一次聚会的每两个都握了一次手，所有人共握手6次，则参加聚会的人数是（）A．3人B．4人C．5人D．6人8．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（）A．9人B．10人C．11人D．12人9．从n边形的一个顶点动身，能够作（n﹣3）条对角线，若一个多边形共有35条对角线，则该多边形的边数是（）A．13 B．10 C．8 D．710．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开创一条航线，一共开创了10条航线，则那个航空公司共有飞机场（）A．4个B．5个C．6个D．7个11．毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，则全班送贺卡共1190张，九年级（1）班人数为（）A．34 B．35 C．36 D．3712．某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同36份，参加交易会的商家有（）A．3 B．6 C．9 D．1213．参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场竞赛，共要竞赛11 0场，共有（）个队参加竞赛？A．8 B．9 C．10 D．1114．“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（）A．7 B．8 C．9 D．1015．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了1 5场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（）A．x（x+1）=15 B．C．x（x﹣1）=15D．三．解答题（共3小题）16．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要竞赛一场．依照场地和时刻等条件，赛程打算安排7天，每天安排4场竞赛，竞赛组织者应邀请多少个队参赛？17．2021年12月6日，我县举行了2021年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，共有多少家公司参加了这次会议？18．构建模型：生活中的实际问题，往往需要构建相应的数学模型来解决，这确实是模型的思想．譬如：某校要举办足球赛，若有5个球队参加竞赛，每个队都要和其他各队竞赛一场，则该校一共要安排多少场竞赛？为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，在平面内画出5个点（任意3个点都不共线），其中每个点各代表一个足球队，两个队之间竞赛一场就用一条线段把他们连接起来，其中连接线段的条数确实是安排竞赛的场数．由于每个队都要与其他各队竞赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，如此总共可连成线段是5×4条，假如不考虑线段端点的顺序，那么连成线段只有条，因此该校一共要安排=10场竞赛．（2）依照图②回答：若学校有6个足球队参加竞赛，则该校一共要安排场竞赛；（3）依照以上规律，若学校有n个足球队参加竞赛，则该校一共要安排场竞赛；问题解决：（4）小凡今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手），小凡发觉所有人握手次数总和为36次，求合唱队有多少人？（写出求解过程）参考答案一．选择题（共15小题）1．C．2．C．3．A．4．C．5．C．6．C．7．B．8．B．9．B．10．B．11．B．12．C．13．D．14．B．15．D．二．解答题（共3小题）16．解：∵赛程打算安排7天，每天安排4场竞赛，∴共7×4=28场竞赛．设竞赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：=28．解得：x1=8，x2=﹣7（舍去），答：竞赛组织者应邀请8队参赛．17．解：设共有x家公司参加了这次会议，依照题意，得整理，得x2﹣x﹣56=0解得x1=8，x2=﹣7（不合题意，舍去）答：共有8家公司参加了这次会议．18．解：（2）有6个班级的足球队参加竞赛，学校一共要安排竞赛的场数是：=15，故答案为：15；（3）n个班级的足球队参加竞赛，学校一共要安排场竞赛，故答案为：；（4）设合唱队有x人，则=36，整理得，x2﹣x﹣72=0，解得，x1=9，x2=﹣8（舍去）答：合唱队有9人．。

一元二次方程比赛和握手公式(一)

一元二次方程比赛和握手公式(一)一元二次方程比赛和握手公式一元二次方程的定义•一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a不等于0。

一元二次方程的解法1.使用求根公式：–若Δ=b^2-4ac大于0，方程有两个不相等的实根；–若Δ等于0，方程有两个相等的实根；–若Δ小于0，方程没有实根。

2.使用因式分解法：–对方程进行因式分解，得到两个一次方程，求解这两个一次方程。

一元二次方程比赛举例考虑以下一元二次方程比赛题目：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求方程的解。

解法： 1. 使用求根公式： - 计算Δ的值为：Δ = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1。

- 由Δ大于0可以知道，方程有两个不相等的实根。

- 利用求根公式，可以得到方程的解为：x_1 = (5 +sqrt(1))/2 = 3，x_2 = (5 - sqrt(1))/2 = 2。

- 因此，方程的解为x = 2或x = 3。

2.使用因式分解法：–对方程进行因式分解，得到(x-2)(x-3) = 0。

–通过观察可以得知，当x-2=0时，方程成立；当x-3=0时，方程也成立。

–因此，方程的解为x = 2或x = 3。

综上所述，对于一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，方程的解为x = 2或x = 3。

握手公式的定义•握手公式是指用于计算n个人之间握手次数的数学公式。

•假设有n个人，每个人都与其他所有人握过手一次，那么握手次数可以通过握手公式计算而得。

握手公式的计算方法•握手公式可以通过组合数学的知识进行推导：–假设第一个人与其他所有n-1个人握手，此时握手次数为n-1；–第二个人与除了与第一个人握过手的n-2个人握手，此时握手次数为n-2；–以此类推，第i个人与除了与前i-1个人握过手的n-i个人握手，此时握手次数为n-i。

握手公式举例考虑以下握手公式题目：有10个人参加会议，每个人必须与其他所有人握手一次，请计算握手的总次数。

一元二次方程应用(握手、比赛问题)

一元二次方程应用(握手、比赛问题)
目录
• 握手问题 • 比赛问题 • 一元二次方程的应用 • 总结与思考
01 握手问题
握手问题的数学模型
01
握手问题的数学模型通常可以表示为：一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知的常数， x 是未知数。
02
这个方程描述了握手次数与人数之间的关系，其中 a、b、c 的具体含义根据问题的不同而有所变化。
场次等方面。
例如，在计算 n 个人两两握手的总次数时，可以通过一元二次
方程来解决。
同样，在计算比赛场次时，也可以利用一元二次方程来求解。
02 比赛问题
比赛问题的数学模型
定义
比赛问题通常涉及到参赛者、比赛项目和得分，通过建立数学模型可以表示比赛中的各种情况。
变量
在数学模型中，通常使用字母表示参赛者、比赛项目和得分，例如设参赛者为a、b、c，比赛项目为x、 y、z，得分用数字表示。
握手问题的解法
解一元二次方程的方法有很多种，包括因式分解法、配方法、公式法等。
因式分解法是将方程左边化为两个因式的乘积，从而求解出 x 的值。公式法则是直接利用一元二次方程的求根公式求解。
在解决握手问题时，通常采用因式分解法或公式法来求解。
握手问题的实际应用
握手问题在实际生活中有很多应用，比如在计算握手次数、比赛
根的积
一元二次方程的根的积等于方程常数项与二次项系数之比。
根与系数的关系
一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，可以通过根的性质来求解未知数。
一元二次方程的应用实例
握手问题
在一场聚会中，每两个人握手一次，总共握手$x$次，可以通过一

一元二次方程握手公式

一元二次方程握手公式一元二次方程，这可是初中数学里的“大明星”！而其中的握手公式，更是解决问题的一把“利器”。

咱们先来说说啥是一元二次方程。

就像你去买糖果，老板说一颗糖x 元，你买了 5 颗，给了老板 20 元，老板得找你多少钱？这时候就可以列出一个方程：x×5 + y = 20 。

可这不是一元二次方程，一元二次方程长这样：ax² + bx + c = 0 （a≠0）。

那握手公式又是啥呢？其实它就是求根公式啦，x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。

这公式看起来有点复杂，就像一个神秘的密码，但只要你掌握了，那解题可就轻松多啦。

我记得之前有个学生，叫小李，他刚开始学一元二次方程的时候，那叫一个头疼。

每次看到求根公式就像看到了外星文字一样，完全不知所措。

有一次做作业，遇到一道题：x² + 2x - 3 = 0 ，让用求根公式求解。

小李坐在那里抓耳挠腮半天，愣是没写出来。

我走到他身边，问他：“怎么啦，被这道题难住啦？”他苦着脸说：“老师，这求根公式我记不住啊，就算记住了也不会用。

”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来看看。

这道题里，a = 1，b = 2，c = -3 ，先把这些数找对，然后代入求根公式里。

”我带着他一步一步地算，先算 b² - 4ac ，也就是 2² - 4×1×（-3）= 16 。

然后再代入公式，x = [-2 ± √16] / （2×1）。

最后算出 x₁ = 1 ，x₂ = -3 。

小李眼睛一下子亮了起来，说：“老师，好像也没有那么难嘛！”从那以后，小李每次遇到一元二次方程的题，都会先试着用求根公式去解，慢慢地，他也越来越熟练了。

其实啊，握手公式就像是一把万能钥匙，不管方程长成啥样，只要它是一元二次方程，咱们都能用这把钥匙去打开解题的大门。

比如说，遇到方程 2x² - 5x + 1 = 0 ，咱们还是先找到 a = 2 ，b = -5 ，c = 1 ，然后算 b² - 4ac = （-5）² - 4×2×1 = 17 。

人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题说课稿

人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程——握手问题和互赠礼物问题”，是在学生学习了方程与方程组、一元二次方程的基础上进行的教学。

本节课通过生活中的握手问题和互赠礼物问题，引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的方程解法能力和问题解决能力，但对于如何将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程进行求解，仍然存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要帮助学生建立实际问题与一元二次方程之间的联系，提高他们的数学应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，学会将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程进行求解。

2.过程与方法目标：通过解决握手问题和互赠礼物问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：握手问题和互赠礼物问题的数学模型建立与求解。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为一元二次方程，并运用方程求解。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动参与课堂，提高他们的实践能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，生动形象地展示问题解决过程。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个简单的握手问题，激发学生的兴趣，引出本节课的主题。

2.知识讲解：讲解握手问题和互赠礼物问题的数学模型建立方法，引导学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用。

3.案例分析：分析具体的握手问题和互赠礼物问题，引导学生运用一元二次方程进行求解。

4.小组讨论：让学生分组讨论其他实际问题，尝试将问题转化为一元二次方程，并求解。

5.总结提升：对本节课的知识进行总结，引导学生学会将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程进行求解。

人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题教案

人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程——握手问题和互赠礼物问题”主要通过具体的生活情境，让学生学会运用一元二次方程解决实际问题。

本节内容紧密联系学生的生活，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已具备一定的数学基础，对一元二次方程有一定的了解。

但在解决实际问题时，部分学生可能会对将实际问题转化为数学问题感到困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们运用一元二次方程解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过解决握手问题和互赠礼物问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。

2.难点：将实际问题转化为数学问题，求解一元二次方程。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法，引导学生主动探究、合作交流，从而提高学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，设计教学活动和板书。

2.学生准备：预习相关知识，了解一元二次方程的基本概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生介绍握手问题的背景，引发学生的兴趣。

例如：“在一场聚会中，所有人都与其他人握手一次，请问总共发生了多少次握手？”2.呈现（10分钟）教师引导学生分析握手问题，将其转化为数学问题。

设共有n人参加聚会，每个人都要与其他人握手一次，求总共发生的握手次数。

3.操练（10分钟）教师引导学生运用一元二次方程解决握手问题。

设共有x人参加聚会，则握手次数为x(x-1)/2。

学生分组讨论，求解x的值。

握手问题一元二次方程

握手问题常常可以用一元二次方程来解决。

以下是一个常见的握手问题的例子：
在一个聚会上，每个人与其他每个人只握手一次，如果总共发生了56次握手，那么聚会中有多少人？
解题步骤：
设聚会中有x个人。

每个人都会与其他(x-1)个人握手（因为自己不会与自己握手）。

因此，总的握手次数可以表示为x个人每人与(x-1)个人握手的总和，但这样每个握手都被计算了两次（一次从握手的发起者角度，一次从握手的接收者角度），所以需要除以2。

所以，我们可以建立以下一元二次方程：
握手次数 = (x * (x-1)) / 2
根据题目，我们知道握手次数为56，所以我们可以将这个数值代入方程：
56 = (x * (x-1)) / 2
接下来，我们解这个一元二次方程：
112 = x * (x-1)
展开：
112 = x^2 - x
移项，得到一元二次方程的标准形式：
x^2 - x - 112 = 0
这是一个一元二次方程，可以使用求根公式或者因式分解等方式来解。

在这个例子中，我们可以尝试因式分解：
x^2 - x - 112 = (x-16)(x+7) = 0
所以，x = 16 或 x = -7。

由于人数不能为负数，所以聚会中有16人。

人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》

人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》一. 教材分析本节课的主题是“一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题”，是人民教育出版社九年级数学上册的一元二次方程单元中的应用部分。

通过前面的学习，学生已经掌握了求解一元二次方程的公式法、因式分解法等方法，本节课旨在让学生将所学的知识应用于实际问题的解决中，提高解决实际问题的能力。

教材中给出了三个典型的实际问题：握手问题、贺卡问题、比赛问题，这些问题都涉及到一元二次方程的建立和求解。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的解法和求解过程有一定的了解。

但是，将理论知识应用于实际问题的解决中，对于部分学生来说可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，培养学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解并掌握握手问题、贺卡问题、比赛问题的模型建立和求解方法。

2.过程与方法目标：学生能够通过解决实际问题，提高将数学知识应用于实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够感受数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：学生能够掌握握手问题、贺卡问题、比赛问题的模型建立和求解方法。

2.难点：学生能够将一元二次方程的知识应用于实际问题的解决中。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索并解决实际问题。

同时，运用启发式教学法，教师在关键环节给予提示和引导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关的教学道具和素材。

2.学生准备：学生需要预习相关知识，了解一元二次方程的解法和求解过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生提出一个问题：“在一场比赛中，共有多少种可能的得分情况？”引导学生思考并引入本节课的主题。

一元二次方程中握手问题的公式

一元二次方程中握手问题的公式一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。

而“握手问题”则是一种常见的数学问题，它与一元二次方程密切相关。

本文将针对一元二次方程中握手问题的公式进行详细的探讨和解析。

一、握手问题的背景介绍在一个场合中，当所有人两两握手一次后，共有多少次握手呢？这就是常见的握手问题。

假设在该场合中共有n个人，那么每个人都需要与其他n-1个人握手一次，所以每个人的握手次数为n-1次。

然而，由于每次握手都同时给两个人增加了一次握手次数，因此整个场合中的握手次数将是每个人握手次数的总和的一半。

二、握手问题的数学建模为了更方便地解决握手问题，我们可以采用一元二次方程来进行数学建模。

假设握手问题中共有n个人，每个人都与其他人握手一次。

那么整个场合中的握手次数可以表示为：S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) (式1)其中，S表示握手总次数，等号右边的表达式为每个人握手的次数逐个相加的结果。

三、一元二次方程的求解为了解决式1中的求和问题，我们可以利用一元二次方程的求解公式。

将式1中的求和表达式进行变形，得到：S = (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 (式2)假设式1和式2中的S值相等，我们将它们相加，得到：2S = n + n + n + ... + n (式3)式3中的n出现了n-1次，所以2S可以简化为：2S = n(n-1) (式4)将式4两边同时除以2，可得：S = n(n-1)/2 (式5)四、握手问题的公式解释通过推导，我们发现握手问题的总次数S可以用一元二次方程的形式表示为n(n-1)/2。

其中，n代表场合中的人数。

这个公式可以直接计算出握手问题的答案，省去了逐个相加的麻烦过程。

五、握手问题的实际应用握手问题的公式在实际生活中有着广泛的应用。

例如，有一间教室里有20个人，他们相互之间握手一次，那么握手次数可以通过公式计算得到：S = 20(20-1)/2 = 190故该教室中共有190次握手。

人教版九年级数学上册教学设计本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》

人教版九年级数学上册教学设计本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》一. 教材分析人教版九年级数学上册的“一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题”这一节，主要让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用。

通过握手、贺卡、比赛等问题，引导学生将现实生活中的问题抽象为一元二次方程，并运用数学知识解决实际问题。

教材通过这些问题的设计，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对解一元二次方程有一定的掌握。

但在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。

此外，学生的逻辑思维能力和解决问题的能力也各有差异，需要在教学过程中给予不同的关注和引导。

三. 教学目标1.了解一元二次方程在实际问题中的应用。

2.培养学生将现实生活中的问题抽象为一元二次方程，并运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。

2.难点：将现实生活中的问题抽象为一元二次方程，并运用数学知识解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、操作等环节，自主探索一元二次方程在实际问题中的应用。

同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件2.相关实际问题素材七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的握手问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣。

2.呈现（15分钟）呈现一系列的实际问题，如贺卡问题、比赛问题等，让学生观察和思考这些问题如何用一元二次方程来表示。

3.操练（20分钟）学生分组讨论，尝试将呈现的实际问题抽象为一元二次方程，并求解。

教师在这个过程中给予适当的引导和帮助。

4.巩固（15分钟）学生独立完成一些类似的实际问题，检验自己对一元二次方程在实际问题中的应用的掌握程度。

教师在这个过程中及时给予反馈和指导。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际问题中的应用范围，讨论还有哪些实际问题可以利用一元二次方程来解决。

实际问题与一元二次方程----握手问题和互赠礼物问题

2
x2 x 20 0
解之得:
x1 5 , x2 4 （不合题意，舍去）
答:参加聚会的同学5人。
探究2 互赠礼物问题
你跟同学互赠过礼物吗？
1、继续做游戏，探索规律：国庆节快到了，请各小组组员之间互赠一
张祝福卡片，在赠送过程中，观察
、思考：当有2人时，共需 2 张卡片，当有3人时，共需 6 张卡片，当有4人时，共需 12 张卡片……，猜想，当有n人时，共需 n(n-1) 张卡片。
二、学习目标
1.能独立分析实际问题中的两个等量关系。 2.探究如何用一元二次方程解决实际问题。 3.感受把实际问题转化为数学问题的建模思想，培养自己“数学建模”的核心素养。
三、探究活动
探究1 握手问题
1、做游戏，探索规律：请四位同学出来表现握手活动，每两个人都握一次手，其他同
四、巩固提高（挑战自我）
1（课本p25第7题）.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场,计划安排 15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得:
xx 1 15
2
x2 x 30 0
与握手问题一样吗？
解之得: x1 6 , x2 5 (舍去)学观来自、思考：当有2人时，共握了 1 次
手，当有3人时，共握了 3 次手，当有4
人时，共握了 6 次手……，猜想，当有n
人时，共要握
n(n 1) 2
次手。
2、学以致用
例1.参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手。求参加聚会的同学有多少个？
解:设参加聚会的同学x人,列式得:
xx 1 10
同学们，你们知道吗？握手和互赠礼物也蕴含很多数学问题的，今节课老师就和大家一起学习实际问题与一元二次方程中的握手问题和互赠礼物问题。

实际问题与一元二次方程----握手问题和互赠礼物问题

实际问题与一元二次方程——握手问题和互赠礼物问题教学设计教学任务分析一、教学目标（一）知识技能1、以一元二次方程解实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法；2、能根据实际问题正确列出一元二次方程解实际问题；3、能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解实际问题，并正确地用语言表述问题及解决问题。

（二）数学思考通过用方程表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识。

（三）问题解决1、初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；2、在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论；3、能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。

（四）情感态度1、使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活；2、在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值；3、敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

二、学情分析1、学生已经有一定的列一元二次方程解实际问题的基础，适合用自主探究、合作交流的学习方式；2、握手问题和互赠礼物问题中的数量关系、规律的发现是本节课的难点，所以把问题分解让学生逐个突破。

由于九年级学生具有一定的解题归纳能力，所以采用从特殊到一般的探究方式。

三、教学重难点（一）重点列一元二次方程解实际问题，并检验方程的解是否符合实际问题。

（二）难点发现问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题。

四、教学内容分析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位，其中一元二次方程解实际问题更是初中数学应用题的重点内容，同时也是难点内容。

它是一元一次方程解实际问题的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。

一元二次方程互赠握手问题

一元二次方程互赠握手问题一、握手问题1. 题目示例- 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？2. 解析- 设参加聚会的有x人。

- 对于每个人来说，他要和除自己之外的(x - 1)个人握手。

- 但是每次握手会被重复计算两次（比如甲和乙握手，计算甲的时候算一次，计算乙的时候又算一次），所以总的握手次数应该是(x(x - 1))/(2)。

- 根据题意，(x(x - 1))/(2)=10。

- 整理方程得x^2-x - 20 = 0。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-1，c = - 20），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-1)^2-4×1×<=ft(-20)=1 + 80 = 81。

- 则x=(1±√(81))/(2)=(1±9)/(2)。

- 解得x_1=5，x_2=-4（人数不能为负数，舍去）。

- 所以有5人参加聚会。

二、互赠礼物问题1. 题目示例- 全班同学互赠贺卡，共赠贺卡1560张，这个班有多少名同学？2. 解析- 设这个班有x名同学。

- 每名同学要给除自己之外的(x - 1)名同学赠送贺卡。

- 那么总共赠送的贺卡数就是x(x - 1)张。

- 根据题意x(x - 1)=1560。

- 整理得x^2-x - 1560 = 0。

- 对于方程x^2-x - 1560 = 0，这里a = 1，b=-1，c=-1560。

- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-1)^2-4×1×<=ft(-1560)=1 + 6240 = 6241。

- 由求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，可得x=(1±√(6241))/(2)=(1±79)/(2)。

21.3实际问题与一元二次方程

21.3实际问题与一元二次方程单循环和双循环问题1.（1）2人互赠礼物，每人要送 1 份礼物，共赠出 2 份礼物（2）3人互赠礼物，每人要送 2 份礼物，共赠出 6 份礼物（3）4人互赠礼物，每人要送 3 份礼物，共赠出 12 份礼物（4）x 人互赠礼物，每人要送（x-1）份礼物，共赠出 x （x-1）份礼物 2.（1）2人握手，每人和他人握手 1 次，共握手 1 次。

（2）3人握手，每人和他人握手 2 次，共握手 3 次。

（3）4人握手，每人和他人握手 3 次，共握手 6 次。

（4）x 人握手，每人和他人握手（x-1）次，共握手 12x （x-1）次。

总结：（1）互赠问题∶若每两人之间进行2次活动，则x 人共进行了x （x-1）次活动；（2）握手问题∶若每两人之间进行1次活动，则x 人共进行了12x （x-1）次活动；（3）x 人握手总次数=x 人互赠总次数×12题型1：单循环和双循环问题1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x 人，可得方程（） A ．x （x ﹣1）＝190B ．x （x ﹣1）＝380C ．x （x ﹣1）＝95D ．（x ﹣1）2＝380【答案】A【解析】【解答】解：设共有x 人参加联欢会，可得方程：x （x ﹣1）÷2＝95，x （x ﹣1）＝190．故答案为：A ．【分析】根据“ 共握手95次 ”即可列出方程。

【变式1-1】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x 个队参加比赛，则x 满足的关系式为（） A ．12x （x +1）＝90B ．12x （x ﹣1）＝90C ．x （x +1）＝90D ．x （x ﹣1）＝90【答案】D【解析】【解答】解：设有x 个队参赛，则x （x ﹣1）＝90．故答案为：D ．【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛每两队之间都进行两场比赛，可得共比赛x （x ﹣1）场，根据共比赛90场建立方程即可.【变式1-2】某旅游团旅游结束时，其中一名旅客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两个参加旅游的人互握一次手，共握了66次，问这次旅游的旅客人数是多少？【答案】解：这次旅游的游客人数为 x .依题意，得 12x ( x -1 ) =66 ，解得 x 1 =12 ， x 2 =-11 (不合题意，舍去) 答：这次旅游的游客人数为12.【解析】【分析】设这次旅游的游客人数为 x ，根据题意列出方程，解方程求出x 的值，再进行检验，即可得出答案.传播问题（2轮）：解决传播问题的关键点需要找清楚两个量：１）每一轮传播的传播源的数量a ，２）每一个传播源每轮传播的数量x 。

一元二次方程应用送礼问题公式

一元二次方程应用送礼问题公式一元二次方程应用送礼问题公式1. 引言送礼是在社交交往中常见的行为，而在送礼过程中常常遇到一些数学问题。

如何用数学方法来解决送礼问题呢？这就需要用到一元二次方程的应用。

本文将深入探讨一元二次方程在送礼问题中的应用，解释相关的公式和原理，帮助我们更好地理解这一数学问题。

2. 什么是一元二次方程让我们回顾一下一元二次方程的基本概念。

一元二次方程指的是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a不等于0。

一元二次方程的解法包括因式分解、配方法、求根公式等。

在送礼问题中，我们将会用到一元二次方程的求根公式。

3. 送礼问题公式推导现在，让我们来考虑一个送礼问题：小明买了一些礼物送给朋友，总共花了200元。

如果他买了3个价值10元的礼物和4个价值15元的礼物，问他买了多少个10元的礼物和多少个15元的礼物。

我们可以用一元二次方程来解决这个问题。

设x表示价值为10元的礼物的个数，y表示价值为15元的礼物的个数。

根据题目中的条件，我们可以列出以下方程组：10x + 15y = 200x + y = 7这里的两个方程分别表示了小明花了200元和买了7个礼物的条件。

我们将第二个方程改写为y = 7 - x，然后将其代入第一个方程中，得到：10x + 15(7 - x) = 20010x + 105 - 15x = 200-5x = 200 - 105-5x = 95x = -95/(-5) = 19带入y = 7 - x，得到y = 7 - 19 = -12从物理意义上看，x和y都应该是正数，但是我们通过上面的计算得到了x=19和y=-12，这显然是不符合实际情况的。

这是因为我们在列方程时没有考虑到送礼的实际情况。

具体来说，送礼的数量不能为负数，除了列方程外，还需要加上对应的约束条件。

4. 约束条件的添加要修正这个错误，我们需要添加约束条件，使得方程组的解满足实际的送礼情况。

一元二次方程中握手问题的公式

一元二次方程中握手问题的公式
在数学中，握手问题是一种经典问题，通常涉及到人们在一个房间里互相握手
的情形。

在一元二次方程中，我们可以利用特定的公式来解决这类握手问题。

假设有n个人在一个房间里，他们需要两两握手一次。

我们可以假设每个人都
握手一次，那么第一个人将和剩下的n-1个人握手。

接下来，第二个人将和剩下的
n-2个人握手，以此类推，直到最后一个人剩下0个人需要握手。

现在，我们需要找到一个关于n的方程来表示此问题的解。

假设我们将这个问
题的解表示为S，那么可以得到以下等式：
S = (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 2 + 1
这个等式右边的部分是一个等差数列，我们可以利用等差数列求和公式来简化它。

等差数列求和公式可以表示为：
Sn = (n/2)(a + an)
其中，Sn表示等差数列的和，a表示首项，an表示末项，n表示项数。

我们知道，对于这个握手问题，首项a是1，项数n是n-1。

将这些值代入上述公式，我们可以得到简化后的等式：
S = (n-1)(1 + (n-2))/2
现在，我们可以用这个公式来计算握手问题的解。

只需要将n的值代入公式中，即可得到握手的次数S。

总结而言，一元二次方程中握手问题的公式为：S = (n-1)(1 + (n-2))/2。

通过计
算这个式子，我们可以得出握手的次数。

这个公式可以帮助我们更快地解决握手问题，无论涉及多少人。

注意：本文章仅为数学问题的讨论，不涉及任何形式的政治观点。

握手问题一元二次方程

握手问题一元二次方程握手问题涉及到人与人之间的握手次数，常见的一个问题是：在一个房间里有n个人，每个人都要与其他人握手一次，问总共会有多少次握手发生。

这个问题可以用一元二次方程来解决。

假设有n个人，编号为1，2，3，...，n。

我们可以将每个人分为两部分，一部分是已握过手的人，另一部分是未握过手的人。

假设已握过手的人有x个，未握过手的人有(n-x)个。

对于已握过手的人，每个人都握过其他人的手，所以他们之间的握手次数为(x-1)+(x-2)+...+1 = (x-1)x/2。

对于未握过手的人，他们每个都要与已握过手的人握手，所以他们之间的握手次数为(n-x)。

所以总共的握手次数可以表示为：(x-1)x/2 + (n-x)。

将这个表达式化简，得到一元二次方程：x^2 - x - 2(n-x) = 0。

为了求解这个方程，可以将它写成标准的一元二次方程形式：x^2 + x(2-2n) - 2n = 0。

使用二次方程的求根公式：x = (-b±√(b^2 - 4ac))/2a，可以计算出方程的两个解为：x = (-2(2-2n)±√((2-2n)^2 - 4*(-2n)))/2。

为了简化计算，我们将这个方程进一步化简：x = (2(2n-1)±√((2-2n)^2 + 8n))/2，x = (2n-1±√(4n^2 - 4n + 1 + 8n))/2，x = (2n-1±√(4n^2 + 4n + 1))/2，x = (2n-1±2n+1)/2.分别计算两个解，得到：x = n和x = -1。

取正数解，即x = n。

所以，总共的握手次数为：(x-1)x/2 + (n-x) = (n-1)n/2 + (n-n) = n(n-1)/2。

至此，我们得到了一个一元二次方程，解决了握手问题。

总共的握手次数与人数n的关系为n(n-1)/2。

举例来说，如果房间里有5个人，总共的握手次数为5(5-1)/2 = 10。

比赛握手问题互赠礼物之一元二次方程

苏版初三数学课时练习：实际问题与一元二次方程相互问题(循环、握手、互赠礼品等)

一元二次方程比赛和握手公式(一)

一元二次方程应用(握手、比赛问题)

一元二次方程握手公式

人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题说课稿

人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 握手问题和互赠礼物问题 教案

握手问题一元二次方程

人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程 实际问题-握手 贺卡 比赛问题》

一元二次方程中握手问题的公式

人教版九年级数学上册教学设计本《一元二次方程 实际问题-握手 贺卡 比赛问题》

实际问题与一元二次方程----握手问题和互赠礼物问题

实际问题与一元二次方程----握手问题和互赠礼物问题

一元二次方程互赠握手问题

21.3实际问题与一元二次方程

一元二次方程应用送礼问题公式

一元二次方程中握手问题的公式

握手问题一元二次方程

人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题教案

人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》

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