一元二次方程的实际应用(1)握手和比赛

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一元二次方程的实际应用(1)握手和比赛

员各赠送一件，全组共互赠了182件，求生物兴趣小组有多少个

人? 解:设生物兴趣小组有x人,列式得:
与比赛问题一样吗？
互赠标本数 =182
互赠标本数=人数乘以人数减1
xx 1 182
x2 x 182 0
解得: x1 14 , x2 13 (舍去) 答:应邀请10个球队参加比赛.
1.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
追求人生的美好!
我们的共同目标!
变式1：要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场（双循环）,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得:
xx 1 90
x2 x 90 0
解得: x1 10 , x2 9 (舍去) 答:应邀请10个球队参加比赛.
双循环比赛场数 =90 双循环比赛的场数=队数乘以队数减1
1、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场, 计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得:
xx 1 15
2
x2 x 30 0
解得: x1 6 , x2 5 (舍去) 答:应邀请6个球队参加比赛.
单循环比赛场数 =15 单循环比赛的场数=队数乘以队数减1再除以2
变式2：参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,
有多少人参加聚会?
与比赛问
解:设有x人参加聚会,列式得:
题一样吗？
握手次数 =10
握手次数=人数乘以人数减1再除以2
xx 1 10
2
x2 x 20 0
解得: x1 5 , x2 4 (舍去) 答:应邀请5个球队参加比赛.

握手问题与一元二次方程

握手问题与一元二次方程
咱来唠唠握手问题和一元二次方程，这俩看起来好像八竿子打不着，其实关系还挺有趣的呢。

就说这握手问题吧，假设有一群人在一个屋子里，每个人都要和其他人握一次手。

比如说有5个人，第一个人得和剩下的4个人握手，第二个人呢，他已经和第一个人握过了，所以只要和剩下的3个人握手就行，第三个人就和剩下的2个人握手，第四个人和最后1个人握手。

那总共握手的次数就是4 + 3+ 2 + 1 = 10次。

要是人多了，这么一个一个算可就麻烦了。

这时候一元二次方程就闪亮登场啦。

咱们设总共有n个人，那第一个人要和(n - 1)个人握手，第二个人要和(n - 2)个人握手（因为和第一个人握过了），以此类推，最后第二个人和1个人握手。

总的握手次数就是从1加到(n - 1)。

这里有个小窍门，根据等差数列求和公式，这个握手次数的总和S就等于n×(n - 1)÷2。

这其实就是一个一元二次方程的变形啊。

比如说，咱们知道总共握手66次，那就可以列方程n×(n - 1)÷2 = 66。

整理一下就得到n² - n - 132 = 0，这就是一个一元二次方程啦。

然后咱们可以用求根公式或者因式分解来解这个方程，得到n的值。

如果解得n = 12或者n = - 11，人个数不能是负数啊，所以就是12个人。

你看，握手问题这么一转化，就和一元二次方程联系起来了，是不是还挺神奇的？。

一元二次方程比赛和握手公式(一)

一元二次方程比赛和握手公式(一)一元二次方程比赛和握手公式一元二次方程的定义•一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a不等于0。

一元二次方程的解法1.使用求根公式：–若Δ=b^2-4ac大于0，方程有两个不相等的实根；–若Δ等于0，方程有两个相等的实根；–若Δ小于0，方程没有实根。

2.使用因式分解法：–对方程进行因式分解，得到两个一次方程，求解这两个一次方程。

一元二次方程比赛举例考虑以下一元二次方程比赛题目：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求方程的解。

解法： 1. 使用求根公式： - 计算Δ的值为：Δ = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1。

- 由Δ大于0可以知道，方程有两个不相等的实根。

- 利用求根公式，可以得到方程的解为：x_1 = (5 +sqrt(1))/2 = 3，x_2 = (5 - sqrt(1))/2 = 2。

- 因此，方程的解为x = 2或x = 3。

2.使用因式分解法：–对方程进行因式分解，得到(x-2)(x-3) = 0。

–通过观察可以得知，当x-2=0时，方程成立；当x-3=0时，方程也成立。

–因此，方程的解为x = 2或x = 3。

综上所述，对于一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，方程的解为x = 2或x = 3。

握手公式的定义•握手公式是指用于计算n个人之间握手次数的数学公式。

•假设有n个人，每个人都与其他所有人握过手一次，那么握手次数可以通过握手公式计算而得。

握手公式的计算方法•握手公式可以通过组合数学的知识进行推导：–假设第一个人与其他所有n-1个人握手，此时握手次数为n-1；–第二个人与除了与第一个人握过手的n-2个人握手，此时握手次数为n-2；–以此类推，第i个人与除了与前i-1个人握过手的n-i个人握手，此时握手次数为n-i。

握手公式举例考虑以下握手公式题目：有10个人参加会议，每个人必须与其他所有人握手一次，请计算握手的总次数。

一元二次方程应用(握手、比赛问题)

一元二次方程应用(握手、比赛问题)
目录
• 握手问题 • 比赛问题 • 一元二次方程的应用 • 总结与思考
01 握手问题
握手问题的数学模型
01
握手问题的数学模型通常可以表示为：一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知的常数， x 是未知数。
02
这个方程描述了握手次数与人数之间的关系，其中 a、b、c 的具体含义根据问题的不同而有所变化。
场次等方面。
例如，在计算 n 个人两两握手的总次数时，可以通过一元二次
方程来解决。
同样，在计算比赛场次时，也可以利用一元二次方程来求解。
02 比赛问题
比赛问题的数学模型
定义
比赛问题通常涉及到参赛者、比赛项目和得分，通过建立数学模型可以表示比赛中的各种情况。
变量
在数学模型中，通常使用字母表示参赛者、比赛项目和得分，例如设参赛者为a、b、c，比赛项目为x、 y、z，得分用数字表示。
握手问题的解法
解一元二次方程的方法有很多种，包括因式分解法、配方法、公式法等。
因式分解法是将方程左边化为两个因式的乘积，从而求解出 x 的值。公式法则是直接利用一元二次方程的求根公式求解。
在解决握手问题时，通常采用因式分解法或公式法来求解。
握手问题的实际应用
握手问题在实际生活中有很多应用，比如在计算握手次数、比赛
根的积
一元二次方程的根的积等于方程常数项与二次项系数之比。
根与系数的关系
一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，可以通过根的性质来求解未知数。
一元二次方程的应用实例
握手问题
在一场聚会中，每两个人握手一次，总共握手$x$次，可以通过一

九上数学一元二次方程实际应用的基本类型

九上数学| 一元二次方程实际应用的基本类型【知识回顾】列方程解实际应用题的步骤：①审题仔细审题，找出题目中的等量关系。

②设未知数根据问题与等量关系直接或间接设未知数。

③列方程根据等量关系与未知数列出一元二次方程。

④解方程按照解方程的步骤解一元二次方程。

⑤答检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。

一元二次方程实际应用的基本类型：①【传播问题】计算公式原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。

②【握手（比赛）问题】计算公式单循环：n（n+1）/2＝总数；双循环：n（n+1）＝总数。

（n表示参与数量）③【数字问题】一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。

以此类推。

④【平均增长率（下降率）问题】计算公式原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数；原数×（1－下降率）下降轮数＝总数；⑤【商品销售问题】基本等量关系：总利润＝单利润×数量；现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）；现数量＝原数量－涨价部分/涨价基数×变化基数（原数量+降价部分/降价基数×变化基数）；⑥【图形面积问题】利用勾股定理建立一元二次方程。

利用面积公式建立二元一次方程。

【预习专练】【一】受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（A）A．6.2（1+x）2＝8.9B．8.9（1+x）2＝6.2C．6.2（1+x2）＝8.9D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9.【二】某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（A）A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50 C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50 【分析】若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，则二月份的口罩产量是30（1+x）万个，三月份的口罩产量是30（1+x）2万个，根据三月份的口罩产量是50万个，列出方程即可．解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，由题意得，30（1+x）2＝50．【三】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（A）A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．依题意得：3（x﹣1）x＝6210．【四】如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是（11﹣2x）cm，宽为（7﹣2x）cm，然后根据长方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21.【五】某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为20%．【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．解：设平均每月的增长率为x，由题意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）所以平均每月的增长率为20%．【六】某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝30%（用百分数表示）．【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），依题意得：100（1+x）2＝169，解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．0.3＝30%，∴新注册用户数的年平均增长率为30%．。

实际问题与一元二次方程----握手问题和互赠礼物问题

实际问题与一元二次方程——握手问题和互赠礼物问题教学设计教学任务分析一、教学目标（一）知识技能1、以一元二次方程解实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法；2、能根据实际问题正确列出一元二次方程解实际问题；3、能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解实际问题，并正确地用语言表述问题及解决问题。

（二）数学思考通过用方程表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识。

（三）问题解决1、初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；2、在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论；3、能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。

（四）情感态度1、使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活；2、在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值；3、敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

二、学情分析1、学生已经有一定的列一元二次方程解实际问题的基础，适合用自主探究、合作交流的学习方式；2、握手问题和互赠礼物问题中的数量关系、规律的发现是本节课的难点，所以把问题分解让学生逐个突破。

由于九年级学生具有一定的解题归纳能力，所以采用从特殊到一般的探究方式。

三、教学重难点（一）重点列一元二次方程解实际问题，并检验方程的解是否符合实际问题。

（二）难点发现问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题。

四、教学内容分析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位，其中一元二次方程解实际问题更是初中数学应用题的重点内容，同时也是难点内容。

它是一元一次方程解实际问题的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。

握手问题一元二次方程

握手问题常常可以用一元二次方程来解决。

以下是一个常见的握手问题的例子：
在一个聚会上，每个人与其他每个人只握手一次，如果总共发生了56次握手，那么聚会中有多少人？
解题步骤：
设聚会中有x个人。

每个人都会与其他(x-1)个人握手（因为自己不会与自己握手）。

因此，总的握手次数可以表示为x个人每人与(x-1)个人握手的总和，但这样每个握手都被计算了两次（一次从握手的发起者角度，一次从握手的接收者角度），所以需要除以2。

所以，我们可以建立以下一元二次方程：
握手次数 = (x * (x-1)) / 2
根据题目，我们知道握手次数为56，所以我们可以将这个数值代入方程：
56 = (x * (x-1)) / 2
接下来，我们解这个一元二次方程：
112 = x * (x-1)
展开：
112 = x^2 - x
移项，得到一元二次方程的标准形式：
x^2 - x - 112 = 0
这是一个一元二次方程，可以使用求根公式或者因式分解等方式来解。

在这个例子中，我们可以尝试因式分解：
x^2 - x - 112 = (x-16)(x+7) = 0
所以，x = 16 或 x = -7。

由于人数不能为负数，所以聚会中有16人。

实际问题与一元二次方程(握手、面积问题)

01
02
03
建立数学模型
通过实际问题抽象出一元二次方程，将实际问题转化为数学问题。
解方程
根据一元二次方程的解法，求解方程得到最优解。
解释结果
将求解结果代入实际问题中，解释其意义和影响。
实际问题中一元二次方程的应用案例分析
投资收益问题
假设某投资者有一定资金，需要选择不同的投资方式，通过一元二次方程可以计算出最优投资方案。
02
面积问题
面积问题的背景
面积问题在日常生活和生产实践中广泛存在，如土地测量、建筑规划、经济活动等。
面积问题涉及到空间形态的定量描述，需要运用数学工具进行计算和表达。
面积问题具有多种表现形式，如平面图形、立体图形等，需要根据具体情况选择合适的数学模型进行解决。
面积问题的数学模型
平面图形的面积计算
计算利润最大化问题
一元二次方程可以用来解决利润最大化问题，例如通过设定成本、售价和销量之间的关系来求解最大利润。
求解最优化问题
一元二次方程可以用来解决最优化问题，例如在一定资源限制下，通过调整资源配置来达到最优效果。
计算几何图形问题
一元二次方程可以用来解决几何图形问题，例如计算面积、周长等。
一元二次方程的解法与实际问题解决步骤的对应关系
一元二次方程在日常生活中的应用
建筑和设计
在建筑和设计领域，一元二次方程可以用于计算物体的面积、体积和周长等参数，例如计算矩形、圆形、三角形等基本几何形状的面积和周长。
日常生活问题
一元二次方程还可以用于解决一些日常生活中的问题，如路程、时间、速度问题，以及工资、税收、保险等问题。
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握手问题的数学模型

人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》

人教版九年级数学上册教案本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》一. 教材分析本节课的主题是“一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题”，是人民教育出版社九年级数学上册的一元二次方程单元中的应用部分。

通过前面的学习，学生已经掌握了求解一元二次方程的公式法、因式分解法等方法，本节课旨在让学生将所学的知识应用于实际问题的解决中，提高解决实际问题的能力。

教材中给出了三个典型的实际问题：握手问题、贺卡问题、比赛问题，这些问题都涉及到一元二次方程的建立和求解。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的解法和求解过程有一定的了解。

但是，将理论知识应用于实际问题的解决中，对于部分学生来说可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，培养学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解并掌握握手问题、贺卡问题、比赛问题的模型建立和求解方法。

2.过程与方法目标：学生能够通过解决实际问题，提高将数学知识应用于实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够感受数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：学生能够掌握握手问题、贺卡问题、比赛问题的模型建立和求解方法。

2.难点：学生能够将一元二次方程的知识应用于实际问题的解决中。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索并解决实际问题。

同时，运用启发式教学法，教师在关键环节给予提示和引导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关的教学道具和素材。

2.学生准备：学生需要预习相关知识，了解一元二次方程的解法和求解过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生提出一个问题：“在一场比赛中，共有多少种可能的得分情况？”引导学生思考并引入本节课的主题。

实际问题与一元二次方程(2)循环比赛(握手)问题

我们再试一次吧!●心理学家做过这样一个试验：将一只饥饿的鳄鱼和一些小鱼放在水族箱的两端，中间用透明的玻璃板隔开。

刚开始鳄鱼毫不犹豫地向小鱼发动进攻，它失败了，但它不气馁；接着，它又向小鱼发动进攻，它又失败了，并且受了重伤；它还要攻击，第三次、第四次……多次攻击无望后，它不再进攻。

这时候，心理学家将挡板拿开，鳄鱼仍然一动不动，它只是无望地看着那些小鱼在它的眼皮底下悠闲地游来游去，放弃了所有的努力，最终活活饿死。

也许，我们会在心中嘲笑鳄鱼的愚蠢与懦弱。

可遗憾的是，许多时候，当挫折接踵而至时，当失败如影相随时，我们不也曾像鳄鱼一般，放弃所有的努力静静听任命运的安排吗?冷静地对待挫折，不应把挫折看作是一种打击，而要把它看成是对自己的一次次考验，一个个磨砺坚强品格的机会。

同时，还应看到在挫折后面，正是自己苦苦追求的目标。

要在失败中看到其中孕育着胜利的可能，从而像胜利者那样信心十足，充满干劲儿，事情一定会发生变化。

有一句谚语说：“如果你拒绝了失败，实际上你就拒绝了成功。

”谁能冷静地对待挫折，顺利地经受挫折的考验，谁就能得到成功。

●也许，就在你那一试之下，你的梦想就变成了现实。

●无论如何，我们再试一次吧!实际问题与一元二次方程（2）循环比赛（握手）问题陈集一中卢磊学习目标●理解●能归纳它们之间的公式我来试一下●永城市体育馆要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．●解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打场比赛，比赛总场数用代数式表示为．根据题意，可列出方程．●整理，得．●解这个方程，得．●合乎实际意义的解为．●答：应邀请支球队参赛．换种赛制考考你●若赛制为双循环形式（每两队之间都赛二场），计划安排56场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．●解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打场比赛，比赛总场数用代数式表示为．根据题意，可列出方程．●整理，得．●解这个方程，得．●合乎实际意义的解为．● 答：应邀请支球队参赛．试着来归纳 ● 单循环的公式双循环的公式()n x x =-1学以致用● 1、练习册第22页第二题● 某公司小组有若干员工，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺年卡72张，求这个小组共有多少名学生？熟练一下● 2、练习册第26页第13题● 某小组有若干人，新年互打电话问候，已知全组共打电话66次（两人之间互打一次），求这个小组的人数。

专题04一元二次方程握手问题、传染问题、平均增长率、图形问题(解析版)

专题04握手问题、传染问题、平均增长率、图形问题【1】握手问题解题技巧：有2种类型（1）重叠类型：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。

∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分∴m=12n（n−1）（2）不重叠类型：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。

∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠∴m=n（n−1）【2】传染问题解题技巧：有2种类型（1）个体传播一轮后，依旧传染。

设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。

发现规律：传播人数：b=a（1+p）n，与增长率问题公式一致。

见例1.【3】平均增长率问题解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。

2a（1±p）a（1±p）p a（1±p）±a（1±p）p=a（1±p）23a（1±p）2a（1±p）2p a（1+p）2±a（1±p）2x=a（1±p）3发现规律：①增长时：b=a（1+p）n；②减少时：b=a（1−p）n注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2；②通常设增长（下降）率为x；③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。

【4】图形问题解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。

人教版九年级数学上册教学设计本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》

人教版九年级数学上册教学设计本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》一. 教材分析人教版九年级数学上册的“一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题”这一节，主要让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用。

通过握手、贺卡、比赛等问题，引导学生将现实生活中的问题抽象为一元二次方程，并运用数学知识解决实际问题。

教材通过这些问题的设计，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对解一元二次方程有一定的掌握。

但在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。

此外，学生的逻辑思维能力和解决问题的能力也各有差异，需要在教学过程中给予不同的关注和引导。

三. 教学目标1.了解一元二次方程在实际问题中的应用。

2.培养学生将现实生活中的问题抽象为一元二次方程，并运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。

2.难点：将现实生活中的问题抽象为一元二次方程，并运用数学知识解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、操作等环节，自主探索一元二次方程在实际问题中的应用。

同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件2.相关实际问题素材七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的握手问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣。

2.呈现（15分钟）呈现一系列的实际问题，如贺卡问题、比赛问题等，让学生观察和思考这些问题如何用一元二次方程来表示。

3.操练（20分钟）学生分组讨论，尝试将呈现的实际问题抽象为一元二次方程，并求解。

教师在这个过程中给予适当的引导和帮助。

4.巩固（15分钟）学生独立完成一些类似的实际问题，检验自己对一元二次方程在实际问题中的应用的掌握程度。

教师在这个过程中及时给予反馈和指导。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际问题中的应用范围，讨论还有哪些实际问题可以利用一元二次方程来解决。

一元二次方程应用题典型题型归纳

一元二次方程应用题典型题型归纳This manuscript was revised by the office on December 22, 2012一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。

5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？8.9.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元每天要售出这种商品多少件2.3.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

一元二次方程方程专项训练------握手、打比赛问题答案

一元二次方程方程专项训练------握手、打比赛问题答案W1．参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手21次，共有多少人参加聚会？【解答】解：设有x 人参加聚会，根据题意得：x （x ﹣1）＝2×21，解得：x 1＝7，x 2＝﹣6（舍去）．答：有7人参加聚会．W2．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 6 场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？【解答】解：（1）12×4×3＝6（场）．故答案为：6．（2）设有x 支球队参加比赛，依题意，得：12x （x ﹣1）＝36，解得：x 1＝9，x 2＝﹣8（不合题意，舍去）．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．W3．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，依题意，得：1+x +x （1+x ）＝256，解得：x 1＝15，x 2＝﹣17（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．（2）256×（1+15）＝4096（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病． W4．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？【解答】解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x 个人，依题意，得：1+x +x （1+x ）＝81，解得：x 1＝8，x 2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．W5．一个QQ 群里共有x 个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生756条消息，有多少个好友？【解答】解：（1）由题意可得：x （x ﹣1）＝756；整理得：x 2﹣x ﹣756＝0，x 1＝28，x 2＝﹣27（舍去） W6．（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手66次，有多少人参加聚会？【解答】解：（1）设有x 人参加聚会，根据题意得：x(x−1)2=66；（2）要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？【解答】设共有x 个队参赛，由题意得：12x （x ﹣1）＝28；（3）初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，有多少人？【解答】设共有学生x 人．则x （x ﹣1）＝90．W7．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（1）应该邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加3场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？【解答】解：（1）设应该邀请x 支球队参加比赛，依题意，得：12x （x ﹣1）＝15，解得：x 1＝6，x 2＝﹣5（不合题意，舍去）．答：应该邀请6支球队参加（2）3+12×5×4＝13（场）．答：实际共比赛13场．W8．某校薛老师所带班级的全体学生每两人都握一次手，共握手1540次，求薛老师所带班级的学生人数．【解答】解：设薛老师所带班级有x 人，依题意，得：12x （x ﹣1）＝1540，整理，得：x 2﹣x ﹣3080＝0，解得：x 1＝56，x 2＝﹣55（不合题意，舍去）．答：薛老师所带班级有56人．W9．元旦来临，全班每一个同学都将自己制作的贺年卡向其他同学各送一张以表示纪念，如果全班有x名学生，则送了多少张贺年卡？（用含x 的代数式表示）【解答】解：∵全班有x 名同学，∴每名同学要送出（x ﹣1）张；又∵全班每一个同学都将自己制作的贺年卡向其他同学各送一张，∴总共送的张数应该是x （x ﹣1）．。

21.3.1 实际问题与一元二次方程(一)传播、比赛、握手问题(分层练习)(解析版)

21.3.1 实际问题与一元二次方程（一）传播、比赛、握手问题一、单选题：1．某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设共有x 个班级参赛，根据题意得：()1152x x -=，解得：16x =，25x =-（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛，故答案为：A.【分析】先判断出本题是一元二次方程实际问题的“单循环”问题，直接套用公式12x x -（）=总次数，列出一元二次方程求解即可。

2．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加活动的同学有 x 人，由题意得： (1)42x x -= ，解得 7x = 或 6x =- （不符题意，舍去），即参加活动的同学有7人，故答案为：B.【分析】设参加活动的同学有 x 人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为 (1)x - 张，再根据“共送贺卡 42 张”建立方程，然后解方程即可得.3．某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为（） A ．7人B ．8人C ．9人D ．10人【答案】C【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设这个小组的人数为x 人，则每人需发送（x ﹣1）条微信，依题意得：x （x ﹣1）＝72，整理得：x 2﹣x ﹣72＝0，解得：x 1＝﹣8（不合题意，舍去），x 2＝9.故答案为：C.【分析】根据相等关系“人数×每一个人发送微信的数量= 全组共发微信的条数72”可列方程求解.4．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A ．12x （x+1）＝110B ．12x （x ﹣1）＝110 C ．x （x+1）＝110D ．x （x ﹣1）＝110【答案】D【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设有x 个队参赛，则x （x ﹣1）＝110.故答案为：D.【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程.5．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（）A ．()128x x +=B ．()11282x x -=C ．()128x x -=D ．()11282x x +=【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，∴方程为12x(x-1)=28.故答案为：B.【分析】首先计算出比赛的总场数，然后根据球队总数×每支球队比赛的场数÷2就可列出方程.6．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）=182B．x（x-1）=182C．2x（x+1）=182D．x（x-1）=182×2【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件，那么x名同学共赠：x（x-1）件，所以，x（x-1）=182．故选B．【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．二、填空题：7．某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为 .【答案】1+a+a2【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：1+a+a2.故答案为：1+a+a2【分析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则小分支为2a，所以可得总数=主干+支干+小分支。

《实际问题与一元二次方程》球赛问题_

22.3实际问题与一元二次方程
四、球赛问题： (握手、签合同、打电话、送礼)

复习回顾
学校要建一个面积为150平方米
的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边
利用总长为35米的铁围栏围成，求自
行车棚的长和宽.
复习回顾
如图所示,某小区规划在一个长为 40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的道路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使草坪的面积为864平方米,求道路的宽度?
要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队只赛一场）。计划安排 15 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
变式：
参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手36次，有多少人参加聚会？
参加足球联赛的没两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，共有多少个队参加比赛？
球赛问题：(握手、签合同、打电话、送礼)
x( x 1) 比赛场数= 单循环：______________ 2
双循环：______________
比赛场数=x( x 1)
课堂作业：课本P22 第 5、8 、 9 题
26
40
能力提升：要设计一本书的封面, 封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
27
探究新知
四、球赛问题： (握手、签合同、打电话、送礼)
探索与思考

人教版九年级数学上册说课稿本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》

人教版九年级数学上册说课稿本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》一. 教材分析《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》是人教版九年级数学上册的教学内容。

这部分内容主要让学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

教材通过设置握手、贺卡和比赛问题，让学生在解决实际问题的过程中，理解和掌握一元二次方程的解法和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对解一元二次方程的方法有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不能将理论知识与实际问题有效结合，对一元二次方程的应用能力较弱。

此外，学生的数学思维能力和解决问题的能力也存在差异，需要在教学中加以关注和引导。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过解决握手、贺卡和比赛问题，培养学生将数学知识应用于实际问题的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程解决。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过设置一个简单的握手问题，引导学生思考如何用数学知识解决实际问题。

2.知识讲解：讲解一元二次方程的解法，让学生了解并掌握解一元二次方程的方法。

3.案例分析：分析贺卡问题和比赛问题，引导学生将一元二次方程应用于实际问题。

4.实践操作：让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，用一元二次方程解决。

5.总结提升：引导学生总结一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。

6.课后作业：布置相关的实际问题，让学生运用所学知识进行解决。

一元二次方程的实际应用(1)握手和比赛