比赛握手问题互赠礼物一元二次方程
一元二次方程的应用题综合(整理)
题型一：送卡片、握手、比赛问题1.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为 。
2.国庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛， 这次有 队参加比赛．题型二：传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？题型三：平均增长（下降）率问题雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？题型四：利润问题1.种新商品每件进价为120元，商场在试销阶段发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件。
当每件商品售价高于130元时，每涨价2元，日销售量就减少4件，据此规律，商场要想达到每日赚取1600元利润的目标，应涨价多少元？2.某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数b kx y +=，且70=x 时，50=y ；80=x 时，40=y ；（1）写出销售单价x 的取值范围；（2）求出一次函数b kx y +=的解析式；（3）销售单价定为多少时，商场可获得利润500元？3.销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元∕件时，销售数量N （件）与商品单价M （元∕件）的函数关系的图象如图所示中的线段AB ． （1）求y 关于x 的函数关系式； （2）若商品的成本为20元，要想获利1200元时，那么该商品的单价应该定多少元？题型五：面积问题1.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）例2：如图，利用一面墙（墙EF 最长可利用25米），围成一个矩形花园ABCD ，与围墙平行的一边BC 上要预留3米宽的入口（如图中MN 所示，不用砌墙），用砌46米长的墙的材料，当矩形的长BC 为多少米时，矩形花园的面积为299平方米．例3：在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半． （1）如果如图①所示设计，并使花园四周小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？ （2）如果如图①所示设计，并使小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？题型六:根的判别式对比练习:例1:已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0.求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.例2:已知一元二次方程2-40x x k +=有两个不相等的实数根。
握手问题与一元二次方程
握手问题与一元二次方程
咱来唠唠握手问题和一元二次方程，这俩看起来好像八竿子打不着，其实关系还挺有趣的呢。
就说这握手问题吧，假设有一群人在一个屋子里，每个人都要和其他人握一次手。
比如说有5个人，第一个人得和剩下的4个人握手，第二个人呢，他已经和第一个人握过了，所以只要和剩下的3个人握手就行，第三个人就和剩下的2个人握手，第四个人和最后1个人握手。
那总共握手的次数就是4 + 3+ 2 + 1 = 10次。
要是人多了，这么一个一个算可就麻烦了。
这时候一元二次方程就闪亮登场啦。
咱们设总共有n个人，那第一个人要和(n - 1)个人握手，第二个人要和(n - 2)个人握手（因为和第一个人握过了），以此类推，最后第二个人和1个人握手。
总的握手次数就是从1加到(n - 1)。
这里有个小窍门，根据等差数列求和公式，这个握手次数的总和S就等于n×(n - 1)÷2。
这其实就是一个一元二次方程的变形啊。
比如说，咱们知道总共握手66次，那就可以列方程n×(n - 1)÷2 = 66。
整理一下就得到n² - n - 132 = 0，这就是一个一元二次方程啦。
然后咱们可以用求根公式或者因式分解来解这个方程，得到n的值。
如果解得n = 12或者n = - 11，人个数不能是负数啊，所以就是12个人。
你看，握手问题这么一转化，就和一元二次方程联系起来了，是不是还挺神奇的？。
一元二次方程中握手问题的公式
一元二次方程中握手问题的公式
在数学中，握手问题是一种经典问题，通常涉及到人们在一个房间里互相握手
的情形。
在一元二次方程中，我们可以利用特定的公式来解决这类握手问题。
假设有n个人在一个房间里，他们需要两两握手一次。
我们可以假设每个人都
握手一次，那么第一个人将和剩下的n-1个人握手。
接下来，第二个人将和剩下的
n-2个人握手，以此类推，直到最后一个人剩下0个人需要握手。
现在，我们需要找到一个关于n的方程来表示此问题的解。
假设我们将这个问
题的解表示为S，那么可以得到以下等式：
S = (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 2 + 1
这个等式右边的部分是一个等差数列，我们可以利用等差数列求和公式来简化它。
等差数列求和公式可以表示为：
Sn = (n/2)(a + an)
其中，Sn表示等差数列的和，a表示首项，an表示末项，n表示项数。
我们知道，对于这个握手问题，首项a是1，项数n是n-1。
将这些值代入上述公式，我们可以得到简化后的等式：
S = (n-1)(1 + (n-2))/2
现在，我们可以用这个公式来计算握手问题的解。
只需要将n的值代入公式中，即可得到握手的次数S。
总结而言，一元二次方程中握手问题的公式为：S = (n-1)(1 + (n-2))/2。
通过计
算这个式子，我们可以得出握手的次数。
这个公式可以帮助我们更快地解决握手问题，无论涉及多少人。
注意：本文章仅为数学问题的讨论，不涉及任何形式的政治观点。
人教版九年级数学课时练习：21.3 实际问题与一元二次方程 相互问题(循环、握手、互赠礼品等)-文档资料
21.3实际问题与一元二次方程相互问题（循环、握手、互赠礼品等）一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（2）找：找出等量关系；（3）列：列出一元二次方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：作答。
二、典型题型132场，共有多少个球队参加比赛？【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设共有x个队参加比赛，根据题意得：2×x（x﹣1）=132，整理得：x2﹣x﹣132=0，解得：x=12或x=﹣11（舍去）．故共有12个队参加比赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了132场列出关于x的一元一次方程是解题的关键．例题2、我们都知道连接多边形任意不相邻的两点的线段成为多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条（1）六边形的对角线有条，七边形的对角线有条；（2）多边形的对角线可以共有20条吗？如果可以，求出多边形的边数，如果不可以，请说明理由．【分析】（1）根据n边形的对角线有条，将n=6和n=7分别代入计算即可；（2）根据多边形的对角线有20条列出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）六边形的对角线有=9条，七边形的对角线有=14条．故答案为9，14；（2）设此多边形的边数为n，由题意得=20，整理，得n2﹣3n﹣40=0．解得n1=8，n2=﹣5（不合题意舍去）．答：八边形的对角线可以共有20条．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．掌握n边形的对角线有条是解题的关键．三、综合练习一．选择题（共15小题）1．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人 C．11人 D．12人2．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．73．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片．如果全班各有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x﹣1）=2070 B．x（x﹣1）=2070×2 C．x（x+1）=2070 D．2x（x+1）=20704．在一次小型会议上，参加会议的代表每人握手一次，共握手36次，则参加这次会议的人数是（）A．12人 B．18人 C．9人D．10人5．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7 B．8 C．9 D．106．要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．计划安排28场比赛，应邀请多少个队参赛（）A．6 B．7 C．8 D．97．参加一次聚会的每两个都握了一次手，所有人共握手6次，则参加聚会的人数是（）A．3人B．4人C．5人D．6人8．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（）A．9人B．10人 C．11人 D．12人9．从n边形的一个顶点出发，可以作（n﹣3）条对角线，若一个多边形共有35条对角线，则该多边形的边数是（）A．13 B．10 C．8 D．710．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场（）A．4个B．5个C．6个D．7个11．毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，则全班送贺卡共1190张，九年级（1）班人数为（）A．34 B．35 C．36 D．3712．某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同36份，参加交易会的商家有（）A．3 B．6 C．9 D．1213．参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，共有（）个队参加比赛？A．8 B．9 C．10 D．1114．“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（）A．7 B．8 C．9 D．1015．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（）A．x（x+1）=15 B． C．x（x﹣1）=15 D．三．解答题（共3小题）16．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？17．2019年12月6日，我县举行了2019年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，共有多少家公司参加了这次会议？18．构建模型：生活中的实际问题，往往需要构建相应的数学模型来解决，这就是模型的思想．譬如：某校要举办足球赛，若有5个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，则该校一共要安排多少场比赛？为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，在平面内画出5个点（任意3个点都不共线），其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数．由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样总共可连成线段是5×4条，如果不考虑线段端点的顺序，那么连成线段只有条，所以该校一共要安排=10场比赛．（2）根据图②回答：若学校有6个足球队参加比赛，则该校一共要安排场比赛；（3）根据以上规律，若学校有n个足球队参加比赛，则该校一共要安排场比赛；问题解决：（4）小凡今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手），小凡发现所有人握手次数总和为36次，求合唱队有多少人？（写出求解过程）参考答案一．选择题（共15小题）1．C．2．C．3．A．4．C．5．C．6．C．7．B．8．B．9．B．10．B．11．B．12．C．13．D．14．B．15．D．二．解答题（共3小题）16．解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4=28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：=28．解得：x1=8，x2=﹣7（舍去），答：比赛组织者应邀请8队参赛．17．解：设共有x家公司参加了这次会议，根据题意，得整理，得x2﹣x﹣56=0解得x1=8，x2=﹣7（不合题意，舍去）答：共有8家公司参加了这次会议．18．解：（2）有6个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排比赛的场数是：=15，故答案为：15；（3）n个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛，故答案为：；（4）设合唱队有x人，则=36，整理得，x2﹣x﹣72=0，解得，x1=9，x2=﹣8（舍去）答：合唱队有9人．。
21.3实际问题与一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程单循环和双循环问题1.（1）2人互赠礼物，每人要送 1 份礼物，共赠出 2 份礼物（2）3人互赠礼物，每人要送 2 份礼物，共赠出 6 份礼物（3）4人互赠礼物，每人要送 3 份礼物，共赠出 12 份礼物（4）x 人互赠礼物，每人要送 （x-1） 份礼物，共赠出 x （x-1） 份礼物 2.（1）2人握手，每人和他人握手 1 次，共握手 1 次。
（2）3人握手，每人和他人握手 2 次， 共握手 3 次。
（3）4人握手，每人和他人握手 3 次， 共握手 6 次。
（4）x 人握手，每人和他人握手 （x-1） 次，共握手 12x （x-1） 次。
总结：（1）互赠问题∶若每两人之间进行2次活动，则x 人共进行了x （x-1）次活动；（2）握手问题∶若每两人之间进行1次活动，则x 人共进行了12x （x-1）次活动；（3）x 人握手总次数=x 人互赠总次数×12题型1：单循环和双循环问题1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x 人，可得方程（ ） A ．x （x ﹣1）＝190B ．x （x ﹣1）＝380C ．x （x ﹣1）＝95D ．（x ﹣1）2＝380【答案】A【解析】【解答】解：设共有x 人参加联欢会，可得方程：x （x ﹣1）÷2＝95，x （x ﹣1）＝190．故答案为：A ．【分析】根据“ 共握手95次 ”即可列出方程。
【变式1-1】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x 个队参加比赛，则x 满足的关系式为（ ） A ．12x （x +1）＝90B ．12x （x ﹣1）＝90C ．x （x +1）＝90D ．x （x ﹣1）＝90【答案】D【解析】【解答】解：设有x 个队参赛，则x （x ﹣1）＝90．故答案为：D ．【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛每两队之间都进行两场比赛，可得共比赛x （x ﹣1）场，根据共比赛90场建立方程即可.【变式1-2】某旅游团旅游结束时，其中一名旅客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两个参加旅游的人互握一次手，共握了66次，问这次旅游的旅客人数是多少？【答案】解：这次旅游的游客人数为 x .依题意，得 12x ( x -1 ) =66 ，解得 x 1 =12 ， x 2 =-11 (不合题意，舍去) 答：这次旅游的游客人数为12.【解析】【分析】 设这次旅游的游客人数为 x ，根据题意列出方程，解方程求出x 的值，再进行检验，即可得出答案.传播问题（2轮）：解决传播问题的关键点需要找清楚两个量：１）每一轮传播的传播源的数量a ，２）每一个传播源每轮传播的数量x 。
一元二次方程应用(握手、比赛问题)
目录
• 握手问题 • 比赛问题 • 一元二次方程的应用 • 总结与思考
01 握手问题
握手问题的数学模型
01
握手问题的数学模型通常可以表示 为：一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知的常数， x 是未知数。
02
这个方程描述了握手次数与人数 之间的关系，其中 a、b、c 的具 体含义根据问题的不同而有所变 化。
场次等方面。
例如，在计算 n 个人两两握手 的总次数时，可以通过一元二次
方程来解决。
同样，在计算比赛场次时，也可 以利用一元二次方程来求解。
02 比赛问题
比赛问题的数学模型
定义
比赛问题通常涉及到参赛者、比 赛项目和得分，通过建立数学模 型可以表示比赛中的各种情况。
变量
在数学模型中，通常使用字母表示 参赛者、比赛项目和得分，例如设 参赛者为a、b、c，比赛项目为x、 y、z，得分用数字表示。
握手问题的解法
解一元二次方程的方法有很多种，包 括因式分解法、配方法、公式法等。
因式分解法是将方程左边化为两个因 式的乘积，从而求解出 x 的值。公式 法则是直接利用一元二次方程的求根 公式求解。
在解决握手问题时，通常采用因式分 解法或公式法来求解。
握手问题的实际应用
握手问题在实际生活中有很多应 用，比如在计算握手次数、比赛
根的积
一元二次方程的根的积等 于方程常数项与二次项系 数之比。
根与系数的关系
一元二次方程的根与系数 之间存在一定的关系，可 以通过根的性质来求解未 知数。
一元二次方程的应用实例
握手问题
在一场聚会中，每两个人握手一 次，总共握手$x$次，可以通过一
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题说课稿
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程——握手问题和互赠礼物问题”，是在学生学习了方程与方程组、一元二次方程的基础上进行的教学。
本节课通过生活中的握手问题和互赠礼物问题，引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的方程解法能力和问题解决能力，但对于如何将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程进行求解，仍然存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要帮助学生建立实际问题与一元二次方程之间的联系，提高他们的数学应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，学会将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程进行求解。
2.过程与方法目标：通过解决握手问题和互赠礼物问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：握手问题和互赠礼物问题的数学模型建立与求解。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为一元二次方程，并运用方程求解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动参与课堂，提高他们的实践能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，生动形象地展示问题解决过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个简单的握手问题，激发学生的兴趣，引出本节课的主题。
2.知识讲解：讲解握手问题和互赠礼物问题的数学模型建立方法，引导学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用。
3.案例分析：分析具体的握手问题和互赠礼物问题，引导学生运用一元二次方程进行求解。
4.小组讨论：让学生分组讨论其他实际问题，尝试将问题转化为一元二次方程，并求解。
5.总结提升：对本节课的知识进行总结，引导学生学会将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程进行求解。
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 握手问题和互赠礼物问题 教案
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程——握手问题和互赠礼物问题”主要通过具体的生活情境，让学生学会运用一元二次方程解决实际问题。
本节内容紧密联系学生的生活，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已具备一定的数学基础，对一元二次方程有一定的了解。
但在解决实际问题时，部分学生可能会对将实际问题转化为数学问题感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们运用一元二次方程解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.过程与方法：通过解决握手问题和互赠礼物问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，求解一元二次方程。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法，引导学生主动探究、合作交流，从而提高学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，设计教学活动和板书。
2.学生准备：预习相关知识，了解一元二次方程的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生介绍握手问题的背景，引发学生的兴趣。
例如：“在一场聚会中，所有人都与其他人握手一次，请问总共发生了多少次握手？”2.呈现（10分钟）教师引导学生分析握手问题，将其转化为数学问题。
设共有n人参加聚会，每个人都要与其他人握手一次，求总共发生的握手次数。
3.操练（10分钟）教师引导学生运用一元二次方程解决握手问题。
设共有x人参加聚会，则握手次数为x(x-1)/2。
学生分组讨论，求解x的值。
握手问题一元二次方程
握手问题常常可以用一元二次方程来解决。
以下是一个常见的握手问题的例子：
在一个聚会上，每个人与其他每个人只握手一次，如果总共发生了56次握手，那么聚会中有多少人？
解题步骤：
设聚会中有x个人。
每个人都会与其他(x-1)个人握手（因为自己不会与自己握手）。
因此，总的握手次数可以表示为x个人每人与(x-1)个人握手的总和，但这样每个握手都被计算了两次（一次从握手的发起者角度，一次从握手的接收者角度），所以需要除以2。
所以，我们可以建立以下一元二次方程：
握手次数 = (x * (x-1)) / 2
根据题目，我们知道握手次数为56，所以我们可以将这个数值代入方程：
56 = (x * (x-1)) / 2
接下来，我们解这个一元二次方程：
112 = x * (x-1)
展开：
112 = x^2 - x
移项，得到一元二次方程的标准形式：
x^2 - x - 112 = 0
这是一个一元二次方程，可以使用求根公式或者因式分解等方式来解。
在这个例子中，我们可以尝试因式分解：
x^2 - x - 112 = (x-16)(x+7) = 0
所以，x = 16 或 x = -7。
由于人数不能为负数，所以聚会中有16人。
实际问题与一元二次方程(握手、面积问题)
01
02
03
建立数学模型
通过实际问题抽象出一元 二次方程，将实际问题转 化为数学问题。
解方程
根据一元二次方程的解法， 求解方程得到最优解。
解释结果
将求解结果代入实际问题 中，解释其意义和影响。
实际问题中一元二次方程的应用案例分析
投资收益问题
假设某投资者有一定资金， 需要选择不同的投资方式， 通过一元二次方程可以计 算出最优投资方案。
02
面积问题
面积问题的背景
面积问题在日常生活和生产实 践中广泛存在，如土地测量、 建筑规划、经济活动等。
面积问题涉及到空间形态的定 量描述，需要运用数学工具进 行计算和表达。
面积问题具有多种表现形式， 如平面图形、立体图形等，需 要根据具体情况选择合适的数 学模型进行解决。
面积问题的数学模型
平面图形的面积计算
计算利润最大化问题
一元二次方程可以用来解决利润最大化问题，例如通过设定成本、 售价和销量之间的关系来求解最大利润。
求解最优化问题
一元二次方程可以用来解决最优化问题，例如在一定资源限制下， 通过调整资源配置来达到最优效果。
计算几何图形问题
一元二次方程可以用来解决几何图形问题，例如计算面积、周长等。
一元二次方程的解法与实际问题解决步骤的对应关系
一元二次方程在日常生活中的应用
建筑和设计
在建筑和设计领域，一元二次方程可 以用于计算物体的面积、体积和周长 等参数，例如计算矩形、圆形、三角 形等基本几何形状的面积和周长。
日常生活问题
一元二次方程还可以用于解决一些日 常生活中的问题，如路程、时间、速 度问题，以及工资、税收、保险等问 题。
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握手问题的数学模型
一元二次方程互赠握手问题
一元二次方程互赠握手问题一、握手问题1. 题目示例- 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？2. 解析- 设参加聚会的有x人。
- 对于每个人来说，他要和除自己之外的(x - 1)个人握手。
- 但是每次握手会被重复计算两次（比如甲和乙握手，计算甲的时候算一次，计算乙的时候又算一次），所以总的握手次数应该是(x(x - 1))/(2)。
- 根据题意，(x(x - 1))/(2)=10。
- 整理方程得x^2-x - 20 = 0。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-1，c = - 20），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-1)^2-4×1×<=ft(-20)=1 + 80 = 81。
- 则x=(1±√(81))/(2)=(1±9)/(2)。
- 解得x_1=5，x_2=-4（人数不能为负数，舍去）。
- 所以有5人参加聚会。
二、互赠礼物问题1. 题目示例- 全班同学互赠贺卡，共赠贺卡1560张，这个班有多少名同学？2. 解析- 设这个班有x名同学。
- 每名同学要给除自己之外的(x - 1)名同学赠送贺卡。
- 那么总共赠送的贺卡数就是x(x - 1)张。
- 根据题意x(x - 1)=1560。
- 整理得x^2-x - 1560 = 0。
- 对于方程x^2-x - 1560 = 0，这里a = 1，b=-1，c=-1560。
- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-1)^2-4×1×<=ft(-1560)=1 + 6240 = 6241。
- 由求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，可得x=(1±√(6241))/(2)=(1±79)/(2)。
一元二次方程应用送礼问题公式
一元二次方程应用送礼问题公式一元二次方程应用送礼问题公式1. 引言送礼是在社交交往中常见的行为，而在送礼过程中常常遇到一些数学问题。
如何用数学方法来解决送礼问题呢？这就需要用到一元二次方程的应用。
本文将深入探讨一元二次方程在送礼问题中的应用，解释相关的公式和原理，帮助我们更好地理解这一数学问题。
2. 什么是一元二次方程让我们回顾一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程指的是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a不等于0。
一元二次方程的解法包括因式分解、配方法、求根公式等。
在送礼问题中，我们将会用到一元二次方程的求根公式。
3. 送礼问题公式推导现在，让我们来考虑一个送礼问题：小明买了一些礼物送给朋友，总共花了200元。
如果他买了3个价值10元的礼物和4个价值15元的礼物，问他买了多少个10元的礼物和多少个15元的礼物。
我们可以用一元二次方程来解决这个问题。
设x表示价值为10元的礼物的个数，y表示价值为15元的礼物的个数。
根据题目中的条件，我们可以列出以下方程组：10x + 15y = 200x + y = 7这里的两个方程分别表示了小明花了200元和买了7个礼物的条件。
我们将第二个方程改写为y = 7 - x，然后将其代入第一个方程中，得到：10x + 15(7 - x) = 20010x + 105 - 15x = 200-5x = 200 - 105-5x = 95x = -95/(-5) = 19带入y = 7 - x，得到y = 7 - 19 = -12从物理意义上看，x和y都应该是正数，但是我们通过上面的计算得到了x=19和y=-12，这显然是不符合实际情况的。
这是因为我们在列方程时没有考虑到送礼的实际情况。
具体来说，送礼的数量不能为负数，除了列方程外，还需要加上对应的约束条件。
4. 约束条件的添加要修正这个错误，我们需要添加约束条件，使得方程组的解满足实际的送礼情况。
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 握手问题和互赠礼物问题 教学设计
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节实际问题与一元二次方程，主要通过握手问题和互赠礼物问题，让学生学会运用一元二次方程解决实际生活中的问题。
本节内容紧密联系生活，激发学生学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力。
教材以问题为导向，引导学生自主探究，合作交流，从而提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已具备一定的数学基础，对一元二次方程有一定的了解。
但解决实际问题的能力有待提高，特别是将实际问题转化为数学模型，运用一元二次方程求解。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导他们主动探究，培养他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解握手问题和互赠礼物问题的实际背景，掌握解决这类问题的方法。
2.会运用一元二次方程解决实际生活中的问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握握手问题和互赠礼物问题的解决方法，能运用一元二次方程解决实际问题。
2.难点：将实际问题转化为数学模型，求解一元二次方程。
五. 教学方法1.启发式教学：引导学生主动探究，发现规律，培养学生解决问题的能力。
2.案例教学：通过具体案例，让学生理解并掌握解决实际问题的方法。
3.合作交流：鼓励学生相互讨论，分享解题心得，提高沟通与合作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例资料，如握手问题和互赠礼物问题的实际背景。
2.准备课件，展示解题过程，引导学生思考。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示握手问题和互赠礼物问题的实际背景，引导学生关注生活中的数学问题。
2.呈现（10分钟）呈现握手问题和互赠礼物问题，让学生尝试解答。
引导学生发现这些问题都可以转化为求解一元二次方程。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生尝试解决握手问题和互赠礼物问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）总结解题方法，引导学生归纳出一元二次方程解决实际问题的步骤。
人教版九年级数学上册教学设计本《一元二次方程 实际问题-握手 贺卡 比赛问题》
人教版九年级数学上册教学设计本《一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题》一. 教材分析人教版九年级数学上册的“一元二次方程实际问题-握手贺卡比赛问题”这一节，主要让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用。
通过握手、贺卡、比赛等问题，引导学生将现实生活中的问题抽象为一元二次方程，并运用数学知识解决实际问题。
教材通过这些问题的设计，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对解一元二次方程有一定的掌握。
但在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。
此外，学生的逻辑思维能力和解决问题的能力也各有差异，需要在教学过程中给予不同的关注和引导。
三. 教学目标1.了解一元二次方程在实际问题中的应用。
2.培养学生将现实生活中的问题抽象为一元二次方程，并运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。
2.难点：将现实生活中的问题抽象为一元二次方程，并运用数学知识解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、操作等环节，自主探索一元二次方程在实际问题中的应用。
同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.相关实际问题素材七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的握手问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣。
2.呈现（15分钟）呈现一系列的实际问题，如贺卡问题、比赛问题等，让学生观察和思考这些问题如何用一元二次方程来表示。
3.操练（20分钟）学生分组讨论，尝试将呈现的实际问题抽象为一元二次方程，并求解。
教师在这个过程中给予适当的引导和帮助。
4.巩固（15分钟）学生独立完成一些类似的实际问题，检验自己对一元二次方程在实际问题中的应用的掌握程度。
教师在这个过程中及时给予反馈和指导。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际问题中的应用范围，讨论还有哪些实际问题可以利用一元二次方程来解决。
一元二次方程中握手问题的公式
一元二次方程中的握手问题及其解法1. 引言在数学中，一元二次方程是一个重要的概念。
它是指由一个未知数的二次多项式所表示的方程。
在实际生活中，一元二次方程经常用于描述各种问题，其中包括其中一个被称为“握手问题”的问题。
本文将介绍一元二次方程中的握手问题，并提供了解决该问题的公式。
2. 握手问题的背景假设有n个人在一个房间里，而每个人都与其他所有人握过手。
现在我们想知道在这个房间里有多少次握手发生。
我们可以简单地通过数数来解决这个问题。
例如，当有3个人时，我们可以将每个人的握手次数相加，结果是3次。
但当人数增加时，数数变得很麻烦。
这时候，我们可以使用一元二次方程来解决握手问题。
3. 握手问题的建模假设房间里有n个人，我们定义x为握手的总次数。
我们可以观察到以下几个规律：•第一个人会与其他n-1个人握手，从而贡献了n-1次握手。
•第二个人会与其他n-2个人握手，从而贡献了n-2次握手。
•…•第n-1个人会与最后一个人握手，从而贡献了1次握手。
因此，我们可以得到以下方程：x = (n-1) + (n-2) + ... + 1利用等差数列的求和公式，可以将上述方程简化为：x = (n-1) * n / 2这就是一元二次方程中握手问题的公式。
4. 握手问题的解法现在我们已经得到了握手问题的公式，下面将介绍如何使用该公式来解决实际问题。
首先，我们需要知道房间里的人数n。
根据题目给出的信息，我们可以得知n的取值范围。
然后，我们可以将n的值代入到公式中，计算x的值。
这将给出握手的总次数。
最后，我们将握手的总次数作为答案进行输出，完成对握手问题的求解。
5. 示例假设房间里有10个人，我们使用上述方法来计算握手的总次数。
根据公式，我们有：x = (10-1) * 10 / 2 = 9 * 10 / 2 = 45因此，在这个房间里，总共发生了45次握手。
6. 结论一元二次方程中的握手问题是一个典型的运用数学方程来解决实际问题的例子。
实际问题与一元二次方程----握手问题和互赠礼物问题
x2 x 20 0
解之得:
x1 5 , x2 4 （不合题意，舍去）
答:参加聚会的同学5人。
探究2 互赠礼物问题
你跟 同学 互赠 过礼 物吗 ？
1、继续做游戏，探索规律：国庆节 快到了，请各小组组员之间互赠一
张祝福卡片，在赠送过程中，观察
、思考：当有2人时，共需 2 张卡 片，当有3人时，共需 6 张卡片， 当有4人时，共需 12 张卡片……， 猜想，当有n人时，共需 n(n-1) 张 卡片。
二、学习目标
1.能独立分析实际问题中的两个等量关系。 2.探究如何用一元二次方程解决实际问题。 3.感受把实际问题转化为数学问题的建模 思想，培养自己“数学建模”的核心素养。
三、探究活动
探究1 握手问题
1、做游戏，探索规律：请四位同学出来表现 握手活动，每两个人都握一次手，其他同
四、巩固提高（挑战自我）
1（课本p25第7题）.要组织一场篮球联赛,赛制 为单循环形式,即每两队之间比赛一场,计划安排 15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得:
xx 1 15
2
x2 x 30 0
与握手问题一 样吗？
解之得: x1 6 , x2 5 (舍去)学观来自、思考：当有2人时，共握了 1 次
手，当有3人时，共握了 3 次手，当有4
人时，共握了 6 次手……，猜想，当有n
人时，共要握
n(n 1) 2
次手。
2、学以致用
例1.参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握 了10次手。求参加聚会的同学有多少个？
解:设参加聚会的同学x人,列式得:
xx 1 10
同学们，你们知道吗？握手和互赠 礼物也蕴含很多数学问题的，今节课老 师就和大家一起学习实际问题与一元二 次方程中的握手问题和互赠礼物问题。
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xx 1 90
x2 x 90 0
解得: x1 10 , x2 9 (舍去)
答:应邀请10个球队参加比赛.
生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组 其他成员各赠送一件， 全组共互赠了182件， 求 生物兴趣小组有多少个人?
-----比赛握手互赠礼物问题
（一）、创设情景，导入新课
你若和班级所 有同学都握手，你 需握手多少次？
咱班共有x个学生,一个学生去和其余同学 握手. 这个同学要握手 ( x - 1 ) 次.
如果每个学生都去和其余同学握手. 我 们共握手 x( x - 1 ) 次.
每两个学生握手一次.现有x个学生,一共
3、要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之 间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场,比赛组织者应邀 请多少个队参赛?
1、参加一次同学聚会，每两人都握了 一次手,所有人共握手56次,有多少人参 加聚会?
2、参加一次商品交易会的每两家公司 之间都签订了一份合同，所有公司共 签订了45份合同，共有多少家公司参 加商品交易会？
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得: 单循环比赛场数 =15
单循环比赛的场数=队数乘以队数减1再除以2
xx 1 15
2
x2 x 30 0
解得: x1 6 , x2 5 (舍去)
要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场 （双循环）,计划安排90场比赛,应邀请多少 个球队参加比赛?
要握手多少次.
xx 1
2
在老师所教的班级中，每两个学生都握手一
次，全班学生一共握手780次，那么谁能计
算出老师所教的班级共有多少名学生？（设
老师所教班级有x个人）
思考：
1、则每个人与
人握手。
2、全班共握手
次（用含有x的
式子表示）
3、依题意，可列方程为
与握手问题一 样吗？
要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队 之间比赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球 队参加比赛?
解:设生物兴趣小组有x人,列式得:
xx 1 182
x2 x 182 0
解得: x1 14 , x2 13 (舍去)1、某小组的同学们每两人都交换一份礼物， 共交换礼物90份，问该小组有多少个人?
2、一小组若干人，新年互送贺卡，若全组 共送贺卡72张，问这个小组共有多少人？