一元二次方程握手面积问题
22.3.2一元二次方程的应用——面积问题
2 2
b 4ac (10) 4 1 30 20 0
∴此方程无解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
例3：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽
20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部
分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位
学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方
1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型
并运用它解决实际问题．
2、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积
公式来引入新课，解决新课中的问题．
教学重点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方
程的数学模型并运用它解决实际问题． 教学难点 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方
程的数学模型．
例1 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝, 在它的四角各切去一个正方形,然后将四 周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒, 如果要制作的方盒的底面积为3600平方
32 2 20 2 2 =100 (米2) 草坪面积= 32 20 100 = 540（米2）
2
取x=2时，道路总面积为：
答：所求道路的宽为2米。
解法二： 我们利用“图形经过移动， 它的面积大小不会改变”的道理， 把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些（目的是求出路面的 宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路）
与一元二次方程有关的面积 问题(含答案)
1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路 (两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大 小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多 宽？ 解：设道路为x米宽，
由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=570， 整理得：x2﹣36x+35=0，
= 所以时，面积有最大值 但墙长15米,所观m能取的最大值为15米 当m=15时，鸡场面积最大为1515=225（平方面） （3）不能
理由：设围成的鸡场长为y米，则宽为 由题意得： 整理得： 解得均大于15米，不合题意 所以，围成的鸡场的面积不能达到250 m （本题也可以将鸡场面积表示出来，用配方法求出最大值是小于250 的，从而判断不能围成鸡场面积是250 m） （4）能， 理由：由（3）得 整理得 解得： 因为墙长为15米 所以y=5 当长为5米时，可围成的鸡场的面积能达到100 m 4、已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90，BC=7cm, AC= 5 cm,.点P从 点A开始沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动. （1）如果Q、P,分别从C、A,同时出发，那么几秒后，△PCQ的面积等 于4 m？ （2）如果Q、P,分别从C、A,同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 5cm？ （3）在（1）中，△PCQ的面积能否等于7 m?说明理由 解：（1）设x秒后，△PCQ的面积等于4 m，由题意得： ，解得
Q B A C P
所以1秒后，△PCQ的面积等于4 m （2）设，y秒后 PQ的长度等于5cm 解得 所以，2秒后， PQ的长度等于5cm （3）在（1）中，若△PCQ的面积能否等于7 m，则 整理得： 原方程无解
实际问题与一元二次方程(简析版)
实际问题与一元二次方程一、“握手问题”1、节日聚会中，每人都和其他人握手一次，现在有若干人共握手45次，问共有多少人参加聚会？分析：设共有x 人参加聚会，可列方程：45)1(21=-x x 2、某校足球联赛，采用单循环的赛制，一共比赛10场，问一共有多少支球队参加比赛？ 分析：设共有x 支球队参加比赛，可列方程：10)1(21=-x x 3、参加商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45分合同，问共有多少家公司参加商品交易会？分析：共有x 家公司参加商品交易会，可列方程：45)1(21=-x x 4、新年到来，几位朋友相互赠送贺卡，共送出贺卡72张，问这群朋友共有几人？ 分析：设这群朋友共有x 人，可列方程：72)1(=-x x二、“平均增长率”问题。
1、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设平均增长率为x ，可列方程：950)1(200)1(2002002=++++x x2、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 分析：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是x 可列方程： 31.3)1()1(12=++++x x3、一只感染病毒的白鼠经过两天传染后发现共有256只小白鼠患病，问在每天的传染中平均一只小白鼠传染多少只白鼠？分析：设平均一只小白鼠传染x 只白鼠，可列方程：256)1(2=+x4、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设种存款方式的年利率为x ，利息=本金×利率×存期到期后的本息和=本金+利息=（第一年剩余的1000元+第一年的利息）+第二年的利息 可列方程：1320)20001000(20001000=+++x x x5、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品的年平均下降额较大？哪种药品的年平均下降率较大？ 分析：甲种药品的平均下降额为：1000230005000=-元乙种药品的平均下降额为：1200236006000=-元设甲种药品的平均下降率为x ，乙种药品的平均下降率为y可列方程：3000)1(50002=-x ；3600)1(60002=-y6．一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，则列出的方程是________ 分析:原有纯药液：63升，容器容积63升第一次操作：倒出纯药液x 升，容器内还有纯药液)63(x -升，溶液浓度%1006363⨯-x第二次操作：倒出纯药液6363xx -⋅升， 容器内还有纯药液63)63(63)63()63(2x x x x -=---升，由此可列方程：2863)63(2=-x三、商品营销问题1、某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的幅度大？（每每问题）分析：设甲种贺年卡每张降价x 元，乙种贺年卡每张降价y 元 每天的盈利=单张贺卡的利润×每天的销量 可列方程：120)1001.0500)(3.0(=⨯+-x x ，120)3425.0200)(75.0(=⨯+-y y2、两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t 乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?3、新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 分析：设甲种冰箱每台定价x 元，则：每台冰箱可盈利)2500(-x 元；比原售价降低)2900(x -元； 实际每天销量比原来增加：4502900⨯-x从而列方程：5000)45029008)(2500(=⨯-+-xx 同理可求出乙种冰箱的定价。
一元二次方程应用题精选含答案
一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?三、平均变化率问题增长率（1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?六、相互问题（传播、循环）11、（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?(3) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了3080张照片．如果该班有x 名同学，根据题意可列出方程为?12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？第21题图13、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
一元二次方程的应用比赛、握手问题
一元二次方程的应用比赛、握手问题(总2页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除师生共用讲学稿(5-13班)年级：九年级学科：数学执笔：丁翠英审核：九年级备课组内容：一元二次方程的应用（比赛综合）课型：新授时间：2012年9月22日学习目标：1．继续探索实际问题中的数量关系，列一元二次方程解应用题的步骤.2．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
学习重点：学会用列方程的方法解决有比赛、握手、及其它问题学习难点：结合比赛、握手问题的规律灵活运用解一元二次方程的应用题..课前准备你们小组有＿＿＿名学生，若组长要和其他每人握一次手，那么他要和＿＿＿＿人握手，若小组内每一个人都要和其他人握一次手，那么所有人一共握了＿＿＿次手。
一．探究活动：（一）独立思考·解决问题例1.参加一次联欢会的每两人都握了一次手，所有人共握了10次，有多少人参加联欢会？分析：设一共有＿＿＿＿＿人参加联欢会。
每一个人都要和另外＿＿＿＿＿＿＿＿＿人握手。
列方程得______________________________________解方程得：23答：___________________________。
练习． １、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？变式1：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？(二)师生探究·合作交流＊1.用一条长40㎝的绳子怎样围成一个面积为75㎝2的长方形？能围成一个面积为101㎝2的长方形吗？如能，说明围法；如不能，说明确理由。
一元二次方程方程的应用面积问题
一元二次方程方程的应用面积问题一元二次方程是数学中的重要概念，它在现实生活中有着丰富的应用。
其中之一就是在解决面积问题时发挥作用。
从简到繁，本文将深入探讨一元二次方程在面积问题中的应用，以便读者能够更深入地理解这一概念。
一、一元二次方程的基本概念在深入讨论一元二次方程在面积问题中的应用之前，我们先来复习一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是一元二次方程的系数，而 \(x\) 则是未知数。
通过求解一元二次方程，我们可以得到该方程的根，从而找到方程所代表的数学意义。
二、一元二次方程在面积问题中的应用1. 求矩形的面积假设矩形的长为 \(x+3\)，宽为 \(x-1\)，我们希望求解这个矩形的面积。
根据矩形面积的计算公式 \[面积 = 长 \times 宽\]我们可以建立一个关于矩形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个矩形的面积。
2. 求三角形的面积假设有一个底边长为 \(x+2\)，高为 \(2x-1\) 的三角形，我们可以利用一元二次方程来求解这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式\[面积 = \frac{底边 \times 高}{2}\]我们可以建立一个关于三角形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个三角形的面积。
3. 求圆的面积对于圆的面积问题，我们需要利用一元二次方程的相关知识进行转化。
假设一个圆的半径为 \(x+1\)，我们希望求解这个圆的面积。
根据圆的面积公式 \[面积 = \pi \times 半径^2\]我们可以建立一个关于圆面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个圆的面积。
三、总结与回顾通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在面积问题中的广泛应用。
无论是矩形、三角形还是圆，我们都可以利用一元二次方程来求解其面积，这为我们在实际生活中的计算提供了便利。
实际问题与一元二次方程(握手、面积问题)
01
02
03
建立数学模型
通过实际问题抽象出一元 二次方程，将实际问题转 化为数学问题。
解方程
根据一元二次方程的解法， 求解方程得到最优解。
解释结果
将求解结果代入实际问题 中，解释其意义和影响。
实际问题中一元二次方程的应用案例分析
投资收益问题
假设某投资者有一定资金， 需要选择不同的投资方式， 通过一元二次方程可以计 算出最优投资方案。
02
面积问题
面积问题的背景
面积问题在日常生活和生产实 践中广泛存在，如土地测量、 建筑规划、经济活动等。
面积问题涉及到空间形态的定 量描述，需要运用数学工具进 行计算和表达。
面积问题具有多种表现形式， 如平面图形、立体图形等，需 要根据具体情况选择合适的数 学模型进行解决。
面积问题的数学模型
平面图形的面积计算
计算利润最大化问题
一元二次方程可以用来解决利润最大化问题，例如通过设定成本、 售价和销量之间的关系来求解最大利润。
求解最优化问题
一元二次方程可以用来解决最优化问题，例如在一定资源限制下， 通过调整资源配置来达到最优效果。
计算几何图形问题
一元二次方程可以用来解决几何图形问题，例如计算面积、周长等。
一元二次方程的解法与实际问题解决步骤的对应关系
一元二次方程在日常生活中的应用
建筑和设计
在建筑和设计领域，一元二次方程可 以用于计算物体的面积、体积和周长 等参数，例如计算矩形、圆形、三角 形等基本几何形状的面积和周长。
日常生活问题
一元二次方程还可以用于解决一些日 常生活中的问题，如路程、时间、速 度问题，以及工资、税收、保险等问 题。
谢谢观看
握手问题的数学模型
面积问题一元二次方程公式
面积问题一元二次方程公式
一元二次方程公式可以用来解决关于面积的问题。
通常，解决面积问题时，可以将面积表示为长度与宽度的乘积，
即面积=长度x宽度。
假设长度为x，宽度为y，则面积S可以表示为S = xy。
当问题中给出某些条件，例如面积固定或者其中一个变量是固定
的时，可以利用一元二次方程公式来求解另一个变量。
例如，如果问题中给定长度为x，要求找出合适的宽度y使得面积为S，可以列出一元二次方程S = xy，然后将已知的长度x和面积S
带入方程，得到二次方程S = x * y。
通过解这个方程，可以得到宽度
y的值。
拓展一下，如果问题中给出面积为S，要求找出合适的长度和宽度，那么可以列出一元二次方程S = xy，并且通过已知的面积S解出另一
个未知数。
总之，一元二次方程公式可以在解决面积问题中发挥重要作用，而且还可以根据具体的问题情境进行拓展和应用。
一元二次方程的应用--面积问题》教学设计
一元二次方程的应用--面积问题》教学设计本节课的学生已经学过一元二次方程的基本知识，但对于如何将方程应用于实际问题解决中还存在一定的困惑。
因此，本节课需要通过生活化的面积问题引导学生思考，提高他们的运算能力和思维能力，并让他们体验到建模思想的魅力。
同时，通过合作研究和探索交流，培养学生的主动探究、深度思考的研究品质，使他们学会智慧生活。
二、教学重难点教学重点：通过面积问题引导学生理解一元二次方程解的实际意义，掌握列一元二次方程解决实际问题的方法，加强对XXX的合理性的理解。
教学难点：寻找等量关系，对方程的解在实际情境中的合理理解。
为了突破这些难点，我们将采用共同分析问题、灵感碰撞、辨析比较、数学类比、转化、建模思想的运用、归纳提炼等方法，帮助学生生成方法，提高他们的综合能力，达成教学目标。
三、教学过程1.引入问题老师：同学们，你们去过花园吗？在花园里，我们经常能看到各种各样的小路，那么设计这些小路的时候，有没有考虑过它们的面积呢？今天，我们就来探讨一下如何用数学方法解决这个问题。
2.讲解面积问题的解法老师：同学们，我们可以将小路看成长方形，这样，小路的面积就是长和宽的乘积。
但是，有些小路的形状并不规则，如何求出它们的面积呢？我们可以将它们分成若干个规则的图形，然后再求出每个图形的面积，最后将它们加起来。
这个方法叫做分割法，你们可以试一试。
3.解决实际问题老师：现在，我们假设有一个长方形的花坛，它的周长是20米，面积是56平方米，那么这个花坛的长和宽各是多少呢？请你们用一元二次方程解决这个问题。
4.检验解的合理性老师：同学们，我们已经求出了这个花坛的长和宽，但是，我们还需要检验一下这个解是否合理。
请你们思考一下，如果这个花坛的长和宽与我们求出的解不同，会出现什么情况呢？5.总结归纳老师：同学们，今天我们研究了如何用一元二次方程解决面积问题，并通过一个实际问题体验了建模思想的魅力。
你们觉得这个方法有用吗？有哪些需要注意的地方呢？请你们思考一下，并做一下总结。
专题04一元二次方程握手问题、传染问题、平均增长率、图形问题(解析版)
专题04握手问题、传染问题、平均增长率、图形问题【1】握手问题解题技巧：有2种类型（1）重叠类型：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分∴m=12n（n−1）（2）不重叠类型：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠∴m=n（n−1）【2】传染问题解题技巧：有2种类型（1）个体传播一轮后，依旧传染。
设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
发现规律：传播人数：b=a（1+p）n，与增长率问题公式一致。
见例1.【3】平均增长率问题解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。
2a（1±p）a（1±p）p a（1±p）±a（1±p）p=a（1±p）23a（1±p）2a（1±p）2p a（1+p）2±a（1±p）2x=a（1±p）3发现规律：①增长时：b=a（1+p）n；②减少时：b=a（1−p）n注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2；②通常设增长（下降）率为x；③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。
【4】图形问题解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。
一元二次方程的应用
(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个 增长率；
解：设增长率为 x.根据题意，得 2(1＋x)2＝2.42. 解得 x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%. 答：增长率为 10%.
(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人 次？
解：2.42×(1＋0.1)＝2.662(万人)． 答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次．
(2)P，Q 两点从出发开始到几秒时，点 P 和点 Q 的距离是 10 cm. 解：设 P，Q 两点从出发经过 t 秒时，点 P，Q 间的距离是 10 cm， 过点 Q 作 QE⊥AB，垂足为 E， 则 QE＝AD＝6 cm，PQ＝10 cm. ∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t， ∴PE＝AB－AP－BE＝|16－5t|. 由勾股定理，得(16－5t)2＋62＝102，
(1)P，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2； 解：设 P，Q 两点从出发开始到 x 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2， 则 PB＝(16－3x)cm，QC＝2x cm. 根据梯形的面积公式得12(16－3x＋2x)×6＝33，解得 x＝5. 答： P，Q 两点从出发开始到 5 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2.
答：BC 的长为 4 米．
(2)如图②，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成 的花圃面积为 50 平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求 BC 的长；如果不能，请说明理由．
解：不能围成．理由如下： 设 BC 的长为 y 米，则 AB 的长为243－y米． 根据题意，得 y·243－y＝50. 整理，得 y2－24y＋150＝0.
第二十一章 一元二次方程
九年级数学实际问题与一元二次方程(一)(基础)(含答案)
实际问题与一元二次方程（一）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，列出的方程是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：有x人参加这次聚会，每个人都与除了自己以外的(x-1)人握一次手，则所有人握手的次数为x(x-1)，握手是在两人之间进行的，所以共互相握手次，由此列方程：试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——循环制2.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，已知全班共送了2070张相片，如果设全班有x名学生，根据题意可列方程为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，共有学生x人，每人要赠送张照片，∴．注意：赠送照片是互相不重复的，与两两握手不同．试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——循环制3.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：有x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，由此列方程：试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——循环制4.某品牌服装原售价为173元，经过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x%，则下面所列方程中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：商品第一次降价后，售价为；第二次降价后，售价为，∴．试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——增长率型5.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：解：依题意得，八、九月份的产量分别为，∴．试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——增长率型6.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )A.4B.5C.6D.7答案：C解题思路：解：设这种植物每个支干长出x个小分支根据题意得，解得，x1=6，x2=-7（舍去）试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——增长率型7.如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为( )A.10×6-4×6x=32B.C. D.10×6-4x2=32答案：B解题思路：解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为(10-2x)cm，宽为(6-2x)cm，根据题意得，试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——面积型8.如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：解：∵道路的宽为xm∴根据题意得，试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——面积型9.如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：解：设路宽为xm，根据题意得，，即．试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——面积型10.如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长为( )（可利用的围墙长度超过6m）．A.1mB.2mC.1m或2mD.m答案：A解题思路：解：设AB的长为xm，则BC的长为(6-2x)m，根据题意得，x(6-2x)=4．整理得，．解得，x1=1，x2=2．当x=1时，6-2x=4；当x=2时，6-2x=2（此时AB=BC，不符合题意，舍去）．∴AB的长为1 m．试题难度：三颗星知识点：实际问题与一元二次方程——面积型。
一元二次方程应用题典型题型归纳 (1)
一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为元，求2、3月份价格的平均增长率。
4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率5. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率.（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元每天要售出这种商品多少件2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x 的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
一元二次方程应用题汇总(传染、增长率、面积、利润、球赛、数字等问题)
1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，求，，每轮感染中平均一台电脑能感染几台？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?3、甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？二、增长率问题：平均增长（降低）率公式注意：（1）1与x 的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x ,列方程为_________________2. 某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为_____________3、雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒121元降到每盒100元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？5、我国土地沙漠化日益严重，西部某市2003年有沙化土地100平方公里， 到2005年已增至144平方公里。
请问：2003至2005年沙化土地的平均增长率为多少？ 2(1)a x b±=1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
第06课 一元二次方程的应用(平均变化率、握手、面积问题)(学生版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
第06课一元二次方程的应用（平均变化率、握手、面积问题）课程标准课标解读1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.通过分析实际问题，建立准确的数学模型，从而解决实际问题。
知识精讲知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点02一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.常见模型问题常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式：(1)增长率问题：a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.“共”或“累计问题”(2)降低率问题：(3)传染问题(4)握手问题(5)送礼问题(6)枝干问题（1）平均增长率：设原价为a ，连续增长两次，价格变为b ，每次增长的百分率为x ，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即最终价格2(1)a x b +=，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可）“累计问题”：设第一个月为a ，连续增长两个月，累计总数为b ，设平均增长率为x ，则：第一个月为a ，第二个月为，第三个月为，所以三个月累计（2）平均降低率：设原价为a ，连续降价两次，价格变为b ，每次降价的百分率为x ，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即最终价格，得出等量关系；（3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a ，一个病人一轮传染x 个病人，两轮传染之后一共有b 个人挈带病毒，则：传染轮数挈带病毒人数传染人数第一轮第二轮两轮结束后一共挈带病毒数（4）握手问题：这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例：首先A 站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；然后B 站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；以此类推，每个人都站起来和其余人握手，一共握手：6(61)´-次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以12去重复；也就是一共握手16(61)2创-次。
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一元二次方程握手面积问题
一．选择题（共14小题）
1．（2015•江岸区校级模拟）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）
A．7B．8C．9D．10
2．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（）
A．2% B．5% C．10% D．20%
3．（2015•开江县二模）“低碳生活，绿色出行”，电动汽车将逐渐代替燃油汽车，成为人们出行的主要交通工具，某城市一汽车销售4S店，今年2月份销售电动汽车共计64辆，4月份销售电动汽车共计100辆．若每月汽车销售增长率相同，则该汽车销售4S店5月份能销售电动汽车（）辆．
A．111 B．118 C．125 D．132
4．（2015•潮阳区一模）“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（）A．7B．8C．9D．10
5．（2014秋•东胜区校级期中）流感传染性很强，在一天内一人可传染x人，若先有2人同时患上流感，两天后共有128人患上流感，则x值为（）
A．10 B．9C．8D．7
6．（2014秋•营山县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（）A．62 B．44 C．53 D．35
7．（2014春•西湖区校级月考）一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）
A．9B．10 C．11 D．12
8．（2013春•杭州期末）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．则AB长度为（）
A．10 B．15 C．10或15 D．12.5
9．（2013秋•藁城市校级月考）若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若3人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有（）
A．1331人B．363人C．33人D．30人
10．（2012秋•涪陵区校级期中）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上，修筑平行于矩形两边的同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540平方米，道路的宽应是（）
A．1米B．2米C．3米D．4米
11．（2012秋•习水县校级期中）某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米．设人行道的宽为x米，则x=（）
A．1B．2C．2或36 D．1或2
12．（2012秋•习水县校级月考）九年级（5）班美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，美术兴趣小组共送出56个月饼，九年级（5）班美术兴趣小组人数个数是（）
A．7B．8C．9D．6
13．（2009秋•江津区期中）某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为（）A．200+200（1+x）2=1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2=1400
C．200（1+x）2=1400 D．200（1+x）+200（1+x）2=1400
14．裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，下列各式中，正确表示这个商店第一季度的总利润的是（）
A．50[m2+3m+3]万元B．50+50（1+m）2万元
C．50+50（1+2m）万元D．50+50（1+m）+50（1+m）2万元
二．解答题（共1小题）
15．（2012春•雨湖区校级月考）某种电脑病毒传布非常快，如果一台电脑被传染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．求每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑．
一元二次方程握手面积问题
参考答案
一．选择题（共14小题）
1．C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．B 13．B 14．D
二．解答题（共1小题）
15．。