三元一次方程组及其解法(课堂PPT)
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三元一次方程组解法ppt
线性代数工具的应用
计算机的出现为求解三元一次方程组提供了新的途径，可以通过编程实现高效率的求解算法。
计算机的出现
三元一次方程组解法的基本理论
02
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，每个数值被称为矩阵的一个元素。矩阵的尺寸由行数和列数表示，例如 m × n 的矩阵，其中 m 表示行数，n 表示列数。
矩阵定义
对于一个 m × n 的矩阵 A，可以定义一个行列式，记作 det(A)，它是所有 m! 个排列中，正负号不同的所有可能排列的积。
行列式定义
行列式具有以下性质，包括交换律、结合律、对角线法则等。
性质
行列式的计算方法包括直接计算法、递推法、归纳法等。
பைடு நூலகம்
计算方法
三元一次方程组的求解方法
03
矩阵求解步骤
注意问题
利用矩阵方法求解
三元一次方程组解法的实际应用
04
VS
通过三元一次方程组，可以描述物体的运动规律，如位移、速度和加速度等。
热力学定律
三元一次方程组可以表示热力学中的状态变量，如温度、压力和体积等之间的关系。
牛顿运动定律
在物理学中的应用
供需平衡
三元一次方程组可以描述市场中的供求关系，以及价格、数量和成本之间的平衡关系。
研究更高效的解法与算法优化
工程应用
在工程领域中，三元一次方程组可以用于解决大量的实际问题，例如力学、流体动力学、经济学等领域。
科学计算
在科学计算领域，三元一次方程组也具有广泛的应用，例如物理、化学、生物等学科中的模型方程。
研究三元一次方程组的应用扩展
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05
唯一性
对于给定的三元一次方程组，解是唯一的，且每个解都是唯一的。
七年级下册数学：三元一次方程组的解法 (共17张PPT)
在三元化二元时，对于具体方法的选取应该 注意选择最恰当、最简便的方法。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
解： ①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④
x-z=4 ③
∴
x+z= 1 ④
③+④,得 2x=5
x 5
把 x=
5
2 代入③，得
2
z
3 2
问题探究
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ② x-z=4. ③
分析：
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程 （如例1中的③），则可以先通过对另外两个方程 组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一 次方程（如例1中的③）中缺少的那个元。缺某个 未知数，就消某个未知数。
三元一次方程组的解法
教学目标：
1、掌握简单的三元一次方程组的 解法； 2、进一步体会消元转化思想．
什么叫做三元一次方程组?
方程组中含有三个未知数,且含未知数 的项的次数是一次，并且有三个方程， 这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组有哪几种方法 ？它 们的基本思想是什么？ 代入法、加减消元法、消元
x y z 6
总结归纳
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总
三元一次方程组求法步骤：
《三元一次方程组的解法》完整版PPT1
若购甲2件、乙1件、丙2件共需235元，则甲、乙、丙三种货物的单价分别是( )
b 2 ③-①×25，得 30b-24c=60，即5b-4c=10.
他未知数吗？
9．已知x＋y＝1，y＋z＝6，z＋x＝ 七年级（下）
人教版 · 数学· 七年级（下） 当 x=-1 时，y=0. 13．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
则当a＝2，b＝3，c＝5时， 有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和是8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位
a＝2 xy＋z＝2 数大99，求原来的三位数. 已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
天能生产出最多的产品，应如何安排各工序的人数？ ④与⑤组成二元一次方程组
当 x=2 时，y=3； 等量关系：种植水稻的面积+种植棉花的面积+种植蔬菜的面积=51(公顷)； 若购甲2件、乙1件、丙2件共需235元，则甲、乙、丙三种货物的单价分别是( ) 当 x=-1 时，y=0. ④与⑤组成二元一次方程组 能解较复杂的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。 解：(2)由(1)知 a=-1，b=2，c=3， ④与⑤组成二元一次方程组 ④与⑤组成二元一次方程组 解：解方程组，求出未知数的值； 解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
将求得的三个未知数的值用“{”写在一起
因此 b 2， 新知 三元一次方程组的应用
A＝2×2－3＝1，B＝2×3＝6，C＝3＋5＝8.
若购甲2件、乙1件、丙2件共需235元，则甲、乙、丙三种货物的单价分别是( c 5． 当 x=-1 时，y=0.
b 2 ③-①×25，得 30b-24c=60，即5b-4c=10.
他未知数吗？
9．已知x＋y＝1，y＋z＝6，z＋x＝ 七年级（下）
人教版 · 数学· 七年级（下） 当 x=-1 时，y=0. 13．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
则当a＝2，b＝3，c＝5时， 有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和是8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位
a＝2 xy＋z＝2 数大99，求原来的三位数. 已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
天能生产出最多的产品，应如何安排各工序的人数？ ④与⑤组成二元一次方程组
当 x=2 时，y=3； 等量关系：种植水稻的面积+种植棉花的面积+种植蔬菜的面积=51(公顷)； 若购甲2件、乙1件、丙2件共需235元，则甲、乙、丙三种货物的单价分别是( ) 当 x=-1 时，y=0. ④与⑤组成二元一次方程组 能解较复杂的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。 解：(2)由(1)知 a=-1，b=2，c=3， ④与⑤组成二元一次方程组 ④与⑤组成二元一次方程组 解：解方程组，求出未知数的值； 解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
将求得的三个未知数的值用“{”写在一起
因此 b 2， 新知 三元一次方程组的应用
A＝2×2－3＝1，B＝2×3＝6，C＝3＋5＝8.
若购甲2件、乙1件、丙2件共需235元，则甲、乙、丙三种货物的单价分别是( c 5． 当 x=-1 时，y=0.
(华师大版)七年级数学下册：7.3《三元一次方程组及其解法》ppt课件
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发
3.6 三元一次方程组及其解法(课件)沪科版(2024)数学七年级上册
x＝1， 故这个三元一次方程组的解为y＝2，
z＝3.
x∶ y=1∶ 2， ①
(3) ൞y∶ z=2∶ 3， ② 解x：+由y+①z=和36②；，③得 x∶y∶z＝1∶2∶3， 所以设 x＝k，y＝2k，z＝3k(k≠0)． 将 x＝k，y＝2k，z＝3k 代入③， 得 k＋2k＋3k＝36，解得 k＝6. 所以 x＝6，y＝12，z＝18.
3y=6
xy－z=－3
x－z=1
y－x=－1，
ቐ x+z=3， 2y－z=0
感悟新知
知识点 2 解三元一次方程组
知2－讲
1. 解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加
减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元
一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一
次方程 .
2. 求解方法 加减消元法和代入消元法 .
是三元一次方程，三元一次方程组中的方程，可 以是一元一次方程，或二元一次方程，或三元一 次方程，只需方程组中共有三个未知数即可.
2. 三元一次方程组
知1－讲
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫
作三元一次方程组 .
必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3)
有三个方程；(4)都是一次方程 .
B.
1 x
，1y，1z不是整式，故
B
不是；
C. 方程组含有四个未知数，故 C 不是；
D. 符合三元一次方程组的定义 . 答案：D
知1－练
1-1.下列方程组中，不是三元一次方程组的是( B )
x+y=1，
x2－4=0，
x=2，
A. ቐ2y+z=－2，B. ቐ y+1=x， C. ቐ2y=－3， D.
《三元一次方程组的解法》ppt经典课件
基本方法：代入法和加减法；实质：消元． 二元一次方程组 消元 一元一次方程
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
提出问题
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5 元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是 2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币 各多少张？
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代 入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一 次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
布置作业
教科书第20页练习 第1题第(1)小题． 习题15.4 第1题、第2题第(1)小题．
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
课堂小结
（1）三元一次方程组的概念是什么？ （2）如何解一个三元一次方程组？
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
解决问题
如何用加减消元法解这个方程组？
x y z 12，
①
x
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
提出问题
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5 元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是 2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币 各多少张？
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代 入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一 次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
布置作业
教科书第20页练习 第1题第(1)小题． 习题15.4 第1题、第2题第(1)小题．
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
课堂小结
（1）三元一次方程组的概念是什么？ （2）如何解一个三元一次方程组？
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
《 三 元 一 次 方程组 的解法 》实用 实用课 件（PP T优秀课 件）
解决问题
如何用加减消元法解这个方程组？
x y z 12，
①
x
2.5《三元一次方程组及其解法》课件(共19张ppt)
浙江教育出版社 七年级 | 下册
第二单元·二元一次方程组
三元一次方程组及其解法
学习目标
浙江教育出版社 七年级 | 下册
1 课堂讲解 2 课时流程
三元一次方程(组)的有关概念 三元一次方程组的解法 三元一次方程组的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时引入
浙江教育出版社 七年级 | 下册
一副扑克牌；若把丙拿到的牌分一半给乙，则 乙的牌数就比甲多2张。老师分给甲、乙、丙各几张牌？
浙江教育出版社 七年级 | 下册
感悟新知
知识点一 三元一次方程(组)的有关概念
思考 我们来讨论节前语中的问题：
(1)这个问题中要求的未知数有几个？你能列出关于 这些未知数的几个方程？请试一试。
(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？请 试一试。
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感悟新知
知识点一 三元一次方程(组)的有关概念
解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果 从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变 成了下坡路段。
课后小结
浙江教育出版社 七年级 | 下册
本节课学到了什么？请同学们叙述本节的概念和结论。
思考 和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含
有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次 方程，由三个一次方程组成 , 并且含有三个未知数 的方程组叫做三元一次方程组。
归纳
浙江教育出版社 七年级 | 下册
三元一次方程: 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次 数都是1，这样的方程叫做三元一次方程。 必备条件：
数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
第二单元·二元一次方程组
三元一次方程组及其解法
学习目标
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1 课堂讲解 2 课时流程
三元一次方程(组)的有关概念 三元一次方程组的解法 三元一次方程组的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时引入
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一副扑克牌；若把丙拿到的牌分一半给乙，则 乙的牌数就比甲多2张。老师分给甲、乙、丙各几张牌？
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感悟新知
知识点一 三元一次方程(组)的有关概念
思考 我们来讨论节前语中的问题：
(1)这个问题中要求的未知数有几个？你能列出关于 这些未知数的几个方程？请试一试。
(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？请 试一试。
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感悟新知
知识点一 三元一次方程(组)的有关概念
解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果 从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变 成了下坡路段。
课后小结
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本节课学到了什么？请同学们叙述本节的概念和结论。
思考 和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含
有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次 方程，由三个一次方程组成 , 并且含有三个未知数 的方程组叫做三元一次方程组。
归纳
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三元一次方程: 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次 数都是1，这样的方程叫做三元一次方程。 必备条件：
数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
三元一次方程组及其解法-课件
分析：三个方程中未知数的系数都 不是1或-1，用代入消元法比较麻 烦，可考虑用加减消元法求解。
3x 4 y 3z 3.................① 2x 3y 2z 2.................②
5x 3y 4z 22.............③
解： ③ - ②，得
x-z=4.
③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
解：
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
①＋②，得 2x+2z=2 , 化简，得 x+z=1 ④
③+④,得2x=5
x 5
5Leabharlann 225z4
2
z3
2
x
5 2
,
z
3 2
5 y ( 3) 0
①
X=4y
②
X+2y+5z=22 ③
X=8 y=2
z=2
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总
三元一次方程组求法步骤：
结
1.化“三元”为“二元”（也就是消去一个未知数） 2.化“二元”为“一元”
交流探究 问题1 解方程组
x+y+z= 2 ①
x-y+z= 0 ②
3x+6z=-24 即 x+2z=-8 ④ ① ×3+ ② ×4，得
17x-17z=17 即 x-z=1 ⑤ 联立④，⑤，得
x 2z 8 x z 1
解得
x
z
2 3
将x=-2，z=-3代入方程②，得y=0.
3x 4 y 3z 3.................① 2x 3y 2z 2.................②
5x 3y 4z 22.............③
解： ③ - ②，得
x-z=4.
③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
解：
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
①＋②，得 2x+2z=2 , 化简，得 x+z=1 ④
③+④,得2x=5
x 5
5Leabharlann 225z4
2
z3
2
x
5 2
,
z
3 2
5 y ( 3) 0
①
X=4y
②
X+2y+5z=22 ③
X=8 y=2
z=2
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总
三元一次方程组求法步骤：
结
1.化“三元”为“二元”（也就是消去一个未知数） 2.化“二元”为“一元”
交流探究 问题1 解方程组
x+y+z= 2 ①
x-y+z= 0 ②
3x+6z=-24 即 x+2z=-8 ④ ① ×3+ ② ×4，得
17x-17z=17 即 x-z=1 ⑤ 联立④，⑤，得
x 2z 8 x z 1
解得
x
z
2 3
将x=-2，z=-3代入方程②，得y=0.
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4
例题讲解
x y1
①
例题2 解方程组： x 3 y 2 z 23 ②
2 x 3 y 2 z 25 ③
（1）方程组有什么特征？
“未知数x用含有另一个未知数y的式子表示”
用_代__入__消元法，把_①__分__别__代__入__②__和__③__,
两次消元都消去同一个未知数__x___,
x y z 0 ①
y
z
x
4
②
z x y 2 ③
13
6
例题讲解
3x 2y 5z 2 ① 例题3 解方程组： x 2 y z 6 ②
4 x 2 y 5 z 26 ③
（1）方程组有什么特征？
“未知数y的系数的绝对值相等”
用_加__减__消元法，把_①__+_②__，__②__+_③__，____,
两次消元都消去同一个未知数___y__, 从而得到关于未知数_x___和_z____的二元
x y1 ① 例题5 解方程组： y z 2 ②
x z 5 ③
当“三个未知数的系数的绝对值都是1，且三个未 知数的个数都为2”可把三个式子相加，再用整体 思想求解
11
例题讲解
x y1 ① 练习 解方程组： y z 1 ②
x z 4 ③
12
补充
练习 用你认为最简便的方法解此方程组：
一次方程组
8
课堂练习
练习 解方程组：
9x 5 y z 6 (1) 9 x y 4z 3
9 x 3 y 5z 0
3x 2 y z 16
(2)
x
4
y
3z
3
5 x 2 y 2z 24
9
课堂练习
如果用加减消元法解下列方程组，消去哪个未知 数比较简单？
x 3y 2z 2
两次消元都消去同一个未知数__x___,
从而得到关于未知数_y___和_z____的二元
一次方程组
3
例题讲解
x y1
①
例题2 解方程组： x 3 y 2 z 23 ②
2 x 3 y 2 z 25 ③
解：由解②三-③元，一得次方程x 组时4 z， 13 ④
两才次 能消 转元 化即的成目二标元x x应一该次y4是方z1程同组一1个3 未①④知数，
一次方程组
7
例题讲解
2x 3y z 7 ① 例题4 解方程组： x y 3z 1 ②
3 x 2 y 3z 6 ③
（1）方程组有什么特征？
“未知数z的系数的绝对值相等或有倍数关系”
用_加__减__消元法，把_②__+_③__，__①__×__3_+_③__，_,
两次消元都消去同一个未知数___z__, 从而得到关于未知数_x___和_y____的二元
(1)
3
x
2
y
4
z
3
2 x y 7
4x y 2z 9 （3）3x y 4z 19
2x y 2z -5
3x 4y z 4 (2) 6 x y 3z 5
5 y 2z 11
x - 2y 2z 1 （4）2x 2y 3z 3
3x y 4z 6
10
例题讲解
从而得到关于未知数_y___和_z____的二元
一次方程组
5
课堂练习
练习 用两种方法把此方程组转化为二元一次方程组：
x 2z 1
①
x
y 3z 3
②
2 x y 3 z 1 2 ③
解：由②-③，得 x 2 y 9 ④
即
x 2z 1 ①
x
2y 9 ④口诀：
缺哪个元，消哪个元
6.10 三元一次方程组及其解法（2）
1
复习引入
解三元一次方程组的基本思想：
三元一次方程组
代入、加减消元
二元一次方程组
代入、加减消元
一元一次方程
2
例题讲解
x 6
①
例题1 解方程组： x y z 5 ②
2 x 2 y z 1 6 ③
（1）方程组有什么特征？
“已知未知数x的值”
用_代__入__消元法，把_①__分__别__代__入__②__和__③__,