二次函数课件ppt
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《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
22.1.1 二次函数 课件(共15张PPT)
新课导入
你 观 察 过 公 园 的 拱 桥 吗？
篮球入框，公 园里的喷泉， 雨后的彩虹都 会形成一条曲 线.这些曲线 能否用函数关 系式表示？
知识讲解
1.二次函数的定义
探究归纳
1 1
1
3
此式表示了种植面积y与边长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一 确定的一个对应值，即y是x的函数.
知识讲解
第 二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数
温故知新
1. 函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确 定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2. 一次函数与正比例函数
3.一元二次方程的一般形式
30(1+x)2
30(1+x)2
30(1+x)
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y 都有唯一确定的一个对应值，即y是x的函数.
知识讲解
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同特征呢？
知识讲解
归纳总结
二次函数的定义：
注意
知识讲解
2.二次函数的应用 例1
不一定是，缺少 a≠0的条件
中y=0时得到的。
与前面我们学过的一元二 有什么联系和区别？
且a≠0； 可以看成是函数
区别:前者是函数，后者是方程；等式另一边前者是y，后 者是0。
随堂训练
B C
随堂训练
4.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2). （1）求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）求当x=3时矩形的面积.
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
二次函数图ppt课件
02 二次函数的图像性质
CHAPTER
开口方向
总结词：由二次项系数决定 a>0时，向上开口；a<0时，向下开口。
顶点坐标
01
总结词：由公式 y=ax^2+bx+c(a≠0)直接读
02
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐 标为y=4ac-b^2/4a。
对称轴
总结词：对称轴是直线x=-b/2a
二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与y轴平行。
二次函数的表达式由三部分组成，分 别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。这些系数可以根据实际 情况进行选择和调整。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个开口方向由系数$a$决定的抛物线。当$a > 0$时，抛物 线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。同时，抛物线的对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$ 。
二次函数图PPT课件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像性质 • 二次函数的应用 • 二次函数与其他知识点的联系 • 练习题与答案
01 二次函数的基本概念
CHAPTER
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其 中$a, b, c$为常数，且$a neq 0$。
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
全效优等生
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全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
二次函数的图像和性质PPT课件
顶点形式
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
《二次函数》PPT优秀课件
说一说以上二次函数解析式的各项系数.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
人教版数学九年级上册第二十二章二次函数课件22.1.1二次函数(共32张ppt)
∴点P(2
020a,2
020-a)的坐标为
2
1 020
,2
020,∴点P关于y轴的对称点是 -
2
1 020
,2
020
.
故选B.
3.(2019湖北荆门沙洋期中)如图,用一段长为40 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园ABCD,墙长为18 m,设AD的长为x m,菜园ABCD的面积为y m2,则y关于自变量x
资源拓展
1.(2020广东阳江江城期中,4,★★☆)对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的
是( )
A.y=mx2+3x-1
B.y=(m-1)x2
C.y=(m-1)2x2
D.y=(-m2-1)x2
答案 D 选项A,当m=0时,不是二次函数;选项B,当m=1时,m-1=0,不是二次函数; 选项C,当m=1时,(m-1)2=0,不是二次函数;选项D,当m取任意实数时,-m2-1≠0,是二次 函数.故选D.
2.函数y=(a-1) xa21+x-3是二次函数时,点P(2 020a,2 020-a)关于y轴的对称点是 ( )
A.
2
1 020
,2
020
C.
2
1 020
,-2
020
B.
-
2
1 020
,2
020
D.(2 019,2 020)
答案 B ∵y=(a-1)xa21 +x-3是二次函数,∴a2+1=2且a-1≠0,解得a=-1,
人均可支配收入为y万元,平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为
x,则y与x之间的函数表达式是
.
答案 y=0.75(1+x)2
二次函数PPT课件
典题精讲
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中 发现：这种商品的销售量m（件）与每件商品的销 售价x（元）满足一次函数关系m=162-3x，试写出 商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商 品的销售价x（元）之间的函数关系式，y是x的二 次函数吗？
解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元。 则依题意可得： y=（162-3x ）（x-30），即y=-3x²+252x-4860 由此可知y是x的二次函数
典题精讲
4.如图，用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形地面， 请视察下列图形并解答有关问题：
n=1
n=2
n=3
（1）在第n个图形中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖
列共有（n+2）块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中 的n的函数关系式 y=（n+3）（n+2），即y=n²+5n+6 .
y是x的函数吗？
举例讲授
问题2
n个球队参加比赛，每两对之间进行一场比赛。
比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个
队要与其他 n个-1球队各比赛一场，整个比赛场次
为
，这里m是n的函数吗？
举例讲授
问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年
增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那 么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而 确定，y与x之间的关系应怎样表示？
22.1.1 二次函数
学习目标
1.结合具体情境体会二次函数的意义，理 解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
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数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
例3、圆的半径是1cm，假设半径增加 xcm时，圆的面积增加ycm²。
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm，2cm时， 圆的面积增加多少？
1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的为( C )
A.y=ax2+bx+c
年y 后 的20产1量为x2
y即 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d
1 2
n2
3 n②
2
y 20 x2 40x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c
是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
常数项: 4
(5)y= _1_ -x x²
不是二次函数.
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
二次项系数: -2
一次项系数: 0
S=4πr2
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
m 1 nn 1
2
即
m 1 n2 1 n 22
想一想
函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数)， 当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
人教版数学九年级上 22.1.1二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为 y=6x2①
问题:
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别 指出二次项系数,一次项系数,常数项.
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作 (n-3)条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多边形的对角线总数
d 1 nn 3
2
d
即12 n2
3 2
n②
②式表示了多边形的
对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有一个对应值, 即d是n的函数.
①∵ 2m+n=2②∵ 2m+n=1
2m+n=2
③∵
2m+n=2 2m+n=0
④∵
⑤∵
m-n=1 m-n=2
m-n=2 m-n=0 m-n=2
∴ m=1
m=1
∴
n=0
n=-1
m=4/3
∴
n=-2/3
m=2/3
∴
m=2/3
∴
n=2/3 n=-4/3
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数
y=kx(k≠0),
k x
反比例函数y=
(k≠0)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
可以发现,这些函数的名称都反映了函数 表达式与自变量的关系.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
(5)y= _x1_²-x
(6) v=10π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函
数，求m、n的值。
B.y2=x2-4x+1
C.y=x2
D.y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是 (C )
A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0
C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产 量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两
一次项系数: 0 常数项: 3
常数项: 0
例2、y=（m+3）xm2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=±2 2 时是正比
例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函
例3、圆的半径是1cm，假设半径增加 xcm时，圆的面积增加ycm²。
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm，2cm时， 圆的面积增加多少？
1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的为( C )
A.y=ax2+bx+c
年y 后 的20产1量为x2
y即 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d
1 2
n2
3 n②
2
y 20 x2 40x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c
是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
常数项: 4
(5)y= _1_ -x x²
不是二次函数.
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
二次项系数: -2
一次项系数: 0
S=4πr2
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
m 1 nn 1
2
即
m 1 n2 1 n 22
想一想
函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数)， 当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
人教版数学九年级上 22.1.1二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为 y=6x2①
问题:
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别 指出二次项系数,一次项系数,常数项.
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作 (n-3)条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多边形的对角线总数
d 1 nn 3
2
d
即12 n2
3 2
n②
②式表示了多边形的
对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有一个对应值, 即d是n的函数.
①∵ 2m+n=2②∵ 2m+n=1
2m+n=2
③∵
2m+n=2 2m+n=0
④∵
⑤∵
m-n=1 m-n=2
m-n=2 m-n=0 m-n=2
∴ m=1
m=1
∴
n=0
n=-1
m=4/3
∴
n=-2/3
m=2/3
∴
m=2/3
∴
n=2/3 n=-4/3
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数
y=kx(k≠0),
k x
反比例函数y=
(k≠0)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
可以发现,这些函数的名称都反映了函数 表达式与自变量的关系.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
(5)y= _x1_²-x
(6) v=10π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函
数，求m、n的值。
B.y2=x2-4x+1
C.y=x2
D.y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是 (C )
A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0
C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产 量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两
一次项系数: 0 常数项: 3
常数项: 0
例2、y=（m+3）xm2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=±2 2 时是正比
例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函