·全国新课标卷文科数学

2014·新课标全国卷Ⅱ(文科数学)

1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( )

A．?B．{2}

C．{0}D．{－2}

1．B [解析]因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．

2．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 1＋3i

1－i

＝( )

A．1＋2iB．－1＋2i C．1－2iD．－1－2i

2．B [解析]1＋3i

1－i

＝

（1＋3i）（1＋i）

（1－i）（1＋i）

＝

1＋4i＋3i2

2

＝－1＋2i.

3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

3．C [解析]函数在x＝x0处有导数且导数为0，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0，所以p是q的必要不充分条件．

4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|

＝6，则a·b＝( )

A．1B．2

C．3D．5

4．A [解析]由已知得|a＋b|＝10，|a－b|2＝b，两式相减，得a·b ＝1.

5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝( )

A．n(n＋1) B．n(n－1)

5．A [解析]由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即(a2＋4)2

＝a2(a2＋12)，解得a2＝4，即a1＝2，所以S n＝2n＋n（n－1）

2

×2＝n(n＋

1)．

6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

图1-1

6．C [解析]该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积V ＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm 3)，原毛坯的体积V

毛坯

＝π×32×6＝54π

(cm 3

)，被切部分的体积V 切＝V 毛坯－V ＝54π－34π＝20π(cm 3

)，所以V 切

V 毛坯

＝

20π54π＝10

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. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为( )

A ．C ．

7．C [解析]因为D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ，故AD ⊥平面BCC 1B 1，且AD ＝3，所以V 三棱锥A -B 1DC 1＝13S △B 1DC 1×AD ＝13×12B 1C 1×BB 1×AD ＝

13×1

2

×2×3×3＝1. 8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 执行如图1-2所示的程序框图，如果输

入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

图1-2

8．D [解析]当x ＝2，t ＝2时，依次可得：M ＝1，S ＝3，k ＝1≤2；

M ＝2，S ＝5，k ＝2≤2；M ＝2，S ＝7，k ＝3>2，输出S ＝7.

9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则

z ＝x ＋2y 的最大值为( )

A ．8

B ．7

C ．2

D ．1

9．B [解析]作出约束条件表示的可行域(略)，可知该可行域为一三角形区域，当目标函数通过可行域的一个顶点(3，2)时，目标函数取得最大值，z max ＝3＋2×2＝7.

10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )

B ．6

C ．12

D ．73

10．C [解析]抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

34，0，直线AB 的斜率k ＝tan30°

＝33，所以直线AB 的方程为y ＝33x －34.由⎩⎨⎧y ＝33x －34，y 2

＝3x

得13x 2

－7

2x ＋316＝0，故x 1＋x 2＝212，x 1x 2＝916

.所以|AB |＝1＋k 2

·|x 1－x 2|＝1＋13

·

⎝ ⎛⎭

⎪⎫2122－4×9

16＝12.

11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，－2]

B ．(－∞，－1]

C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞)

11．D [解析]f ′(x )＝k －1x ＝kx －1

x

，且x >0，由题可知f ′(x )≥0，

即得kx －1≥0，得x ≥1

k

(k <0时不满足)，因为函数f (x )在区间(1，＋∞)

上单调递增，所以1

k

≤1，解得k ≥1.

12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )

A.[－1，1] C.[－2，2]

12．A [解析]点M (x 0，1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2