深圳平湖爱文学校初中部数学全等三角形单元测试与练习(word解析版)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半轴上，作DA⊥x轴，垂足为A，已知OA比OB的值大2，四边形AOBD的面积为12．

（1）求m和n的值．

（2）如图2，C为AO的中点，DC与AB相交于点E，AF⊥BD，垂足为F，求证：AF＝DE．

（3）如图3，点G在射线AD上，且GA＝GB，H为GB延长线上一点，作∠HAN交y轴于点N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．

【答案】（1）

4

2

m

n

=-

⎧

⎨

=

⎩

（2）详见解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【解析】

【分析】

（1）由点D，点B的坐标和四边形AOBD的面积为12，可列方程组，解方程组即可；（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝25，利用SAS可证

△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面积公式即可求证；

（3）取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，证明

△ABH≌△CAN，即可得到结论.

【详解】

解：（1）由题意()()

2

1

812

2

m n

n m m

--=

⎧

⎪

⎨

++-=

⎪⎩

解得

4

2

m

n

=-

⎧

⎨

=

⎩

；

（2）如图2中，

由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），

∴AD

＝OA ＝4，OB ＝2，

∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝25，

∵AC ＝OC ＝2，

∴AC ＝OB ，

∵∠DAC ＝∠AOB ＝90°，AD ＝OA ，

∴△DAC ≌△AOB （SAS ），

∴∠ADC ＝∠BAO ，

∵∠ADC +∠ACD ＝90°，

∴∠EAC +∠ACE ＝90°，

∴∠AEC ＝90°，

∵AF ⊥BD ，DE ⊥AB ，

∴S △ADB ＝12•AB •AE ＝12

•BD •AF ， ∵AB ＝BD ，

∴DE ＝AF ．

（3）解：如图，取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，

∵AG ＝BG ，

∴∠GAB ＝∠GBA ，

∵G 为射线AD 上的一点，

∴AG ∥y 轴，

∴∠GAB ＝∠ABC ，

∴∠ACB ＝∠EBA ，

∴180°﹣∠GBA ＝180°﹣∠ACB ，

即∠ABG ＝∠ACN ，

∵∠GAN ＝∠GBO ，

∴∠AGB ＝∠ANC ，

在△ABG 与△ACN 中，

ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△ABH ≌△ACN （AAS ），

∴BF ＝CN ，

∴NB ﹣HB ＝NB ﹣CN ＝BC ＝2OB ，

∵OB＝2

∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），

即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【点睛】

本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

2．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．

小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，

他的结论是（直接写结论，不需证明）；

(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．

【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.

【解析】

【分析】

（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，

∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.

(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，

∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.

（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到

EF=FG，最后求三角形的周长即可.

【详解】

解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC