导函数图像与原函数图像关系
2016届原创§37 原函数与导函数的关联
先猜后证二导法 变换主元放缩法
3.放缩法
4.变换主元法
导数的应用--导数不等式
抽象函数不等式
抽象函数具体化 数形结合性质法 辅助函数是关键 增大减小是根本
导数的应用--导数不等式
数列不等式
1.导数法：
近几年高考题的主要特征是：
(1).①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数 ②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形 ③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f (1)) 处的切线的 斜率为_________ 法1：令 f (x) x2 ,则 f / (x) x ,即 k f / (1) 1
(2).“半成品”辅助函数
大多数是 1 1 ln x x 1 的衍变 x
2.定积分法：
导数的应用--导数不等式
极值点偏移
1.含义：已知 f( x1 ) = f( x2 ) ( x1＜x2 ) 求 x1, x2 的和差商积的上下确界
2.方法： 法1：对称法构造辅助函数：
F( x ) = f( x0 ＋ x ) －f( x0 －x ) 法2：换元法构造辅助函数：
①不含参型 单参型 ②含参型 双参型
多参型
3.按知识分类： 数列不等式……
二、辅助函数的构造：
三、常见的技巧：
常见题型解证最 含参不等四成立 引申双参及多参 数列不等积放缩
含参不等式——四成立：
形法 (1)
数法
原函数和导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中 数学组 王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的根底上展开教学的。
由于这局部容课本上没有，但数学部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上顶峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进展一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，慎重地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经历观察发现，猜测得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比拟容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜测、区分真伪的过程。
高中数学导数知识点归纳总结
范围是（ ）
A．
3 2e
,1
B．
3 2e
,
3 4
【解析】方法一：分离函数---数形结合法
C．
3 2e
,
3 4
D．
3 2e
,1
-7-
巧辨“任意性问题”与“存在性问题” 一．方法综述
注意：当 x=x0 时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数
原函数
f '(x) 的符号
f (x) 单调性
f '(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号
（2）分离参数：将含参不等式转化为转化为 f (x) a; f (x) a ，进而研究直线 y a与y f (x) 图像位
置关系，寻找临界状态，求参数的范围。
（3）分离函数：通过变形将不等式转化为形如（ f (x) 或 g(x); f (x) 或 g(x) 的形式，参数通常
在直线形式的函数里），进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围。 （4）特殊点法：根据图形从特殊点的值入手求参数范围。 【典例分析】
(3)下结论
① f '(x) 0 f (x) 该区间内为增函数； ② f '(x) 0 f (x) 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数 y f (x) 单调区间的步骤为： （1）分析 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y f (x) （3）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间
函数与原函数的关系
函数与原函数的关系
一个函数与它的原函数之间存在一种特殊的关系。
如果一个函数 f(x) 在某个区间内连续，且在该区间内存在一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)，那么 F(x) 称为 f(x) 的原函数，同时也可以表示为F(x) = ∫f(x)dx。
原函数与函数之间具有以下性质：
1. 不同常数的原函数是原函数的一般形式，因为原函数的导数具有多项式的可加性质，即 (f+g)' = f'+g'。
2. 函数 f(x) 和它的原函数 F(x) 的图像关于直线 y=x 对称。
3. 函数 f(x) 在某个区间内连续，则它在该区间内存在无穷多个原函数，它们互相区别只是一个常数。
4. 如果函数 f(x) 在某个区间内连续，且有一个原函数 F(x)，那么它在该区间内的任何一个不同的原函数都能写成 F(x) + C 的形式，其中 C 是任意常数。
原函数与导函数的奇偶关系证明
原函数与导函数的奇偶关系证明原函数与导函数的奇偶关系是微积分中一个重要的概念。
在研究函数的性质时，我们常常需要分析函数及其导函数的奇偶性。
通过研究函数的奇偶性，我们可以得到函数在坐标系中的对称关系，从而更好地理解函数的行为。
我们来回顾一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数在原点对称。
例如，函数f(x)=x^3就是一个奇函数。
因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
另一方面，一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数在y轴对称。
例如，函数f(x)=x^2就是一个偶函数。
因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
现在，让我们来研究原函数和导函数之间的奇偶关系。
假设f(x)是一个函数，F(x)是它的原函数，即F'(x)=f(x)。
我们可以推导出以下结论：1. 如果f(x)是奇函数，那么F(x)是偶函数。
这是因为由于f(x)是奇函数，我们有f(-x)=-f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=-f(-x)=-(-f(x))=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在y 轴对称，即F(x)是偶函数。
2. 如果f(x)是偶函数，那么F(x)是奇函数。
这是因为由于f(x)是偶函数，我们有f(-x)=f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=f(-x)=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在原点对称，即F(x)是奇函数。
通过这样的推导，我们可以看到原函数和导函数的奇偶关系。
这个关系告诉我们，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，我们可以推断出它的原函数是什么奇偶性。
这对于研究函数的性质和行为非常有用。
举例来说，我们考虑函数f(x)=sin(x)。
我们知道sin(x)是一个奇函数，因为sin(-x)=-sin(x)。
导函数与原函数对称性的联系
导函数与原函数对称性的联系反函数与原函数的关系：反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域；函数的反函数，本身也是一个函数；偶函数必无反函数；奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
什么是原函数未知函数f(x)就是一个定义在某区间的函数，如果存有可微函数f(x)，使在该区间内的任一点都存有df(x)=f(x)dx，则在该区间内就表示函数f(x)为函数f(x)的原函数。
例如：sinx是cosx的原函数。
什么就是反函数一般来说，设函数y=f(x)(x∈a)的值域是c，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数，记作y=f^-1(x)。
反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
最具有代表性的'反函数就是对数函数与指数函数。
通常地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应当，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f^-1（x）。
存有反函数(预设为单值函数）的条件就是原函数必须就是一一对应的（不一定就是整个数域内的）。
特别注意：上标"?1"所指的就是函数幂，但不是指数幂。
①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。
②反函数的定义域与值域分别就是原来函数的值域与定义域。
③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点：⑤单调函数必存有反函数。
⑥奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：1、函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x等距，这个结论就是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出结论的；2、（a,b）在y=f(x)的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的图象上；3、若y＝f(x)存有反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x等距的充份必要条件为f(x)＝f-1(x)，即为原、反函数的解析式相同。
原函数与导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中 数学组 王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。
由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。
原函数和导函数的奇偶性关系
原函数和导函数的奇偶性关系奇偶性在微积分中涉及到的概念，其中最重要的两个点是原函数的奇偶性和导函数的奇偶性。
本文将在介绍原函数和导函数的奇偶性的基础上，简要地讨论一下原函数和导函数之间的奇偶性关系。
关于原函数的奇偶性，我们需要知道一个重要的定义：一个函数$f(x)$在$x=a$处是奇函数，当且仅当$f(-a)= -f(a)$成立。
由这个定义可以发现，原函数的奇偶性取决于$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系。
同样，对于导函数的奇偶性，我们也需要知道一个重要的定义：一个函数$f(x)$在$x=a$处是奇函数，当且仅当$f(-a)= -f(a)$成立。
这里的$f(x)$是$f(x)$的导函数。
同样，导函数的奇偶性取决于$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系。
既然我们已经了解了原函数和导函数的奇偶性的定义，我们可以来讨论一下原函数和导函数之间的奇偶性关系。
先，我们要知道，如果$f(x)$是一个偶函数，那么$f(x)$也是一个偶函数。
这是由于导数的连续性特性决定的，因为如果$f(x)$在$x = a$处是一个偶函数，则$f(x)$在$x$附近也会是一个偶函数，从而$f(x)$也是一个偶函数。
其次，如果$f(x)$是一个奇函数，那么$f(x)$是一个奇函数也是一个偶函数。
这是由于偏导数的运算特性决定的，由于$f(x)$是奇函数，$f(x)$是它对$x$的导数，从而$f(x)$可以同时是奇函数也是偶函数。
综上所述，可以得出原函数和导函数之间的奇偶性关系：（1）如果原函数是偶函数，那么它的导函数也是偶函数。
（2）如果原函数是奇函数，那么它的导函数可能是奇函数也可能是偶函数。
在本文的最后，我们来总结一下原函数和导函数的奇偶性关系：原函数的奇偶性与$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系有关，而导函数的奇偶性则与$f(-a)$和$f(a)$之间的大小关系有关；原函数是偶函数时，它的导函数也是偶函数；原函数是奇函数时，它的导函数可能是奇函数也可能是偶函数。
原函数定义域与导函数定义域的关系
原函数定义域与导函数定义域的关系
原函数的定义域是指函数在实数范围内的取值范围，而导函数
的定义域是指导数在实数范围内的取值范围。
这两者之间的关系可
以从几个方面来分析。
首先，原函数的定义域是指函数能够取到的实数范围，而导函
数的定义域是指导数存在的实数范围。
通常情况下，如果原函数在
某个实数范围内是可导的，那么导函数在该实数范围内也是存在的。
因此，导函数的定义域通常是原函数的定义域的子集。
其次，原函数的定义域受到函数本身的性质和定义的限制，而
导函数的定义域则受到导数存在的条件限制。
一般来说，如果原函
数在某个实数范围内是连续的并且可导的，那么导函数的定义域将
包括该实数范围。
然而，需要注意的是，有些函数在某些点上是不
可导的，这将导致导函数在这些点上不存在，从而导致导函数的定
义域与原函数的定义域不完全一致。
此外，导函数的定义域还受到原函数在定义域内的特殊点（如
间断点、奇点等）的影响。
在这些特殊点上，导函数可能不存在或
者取特定的值，这将导致导函数的定义域与原函数的定义域出现差
异。
综上所述，原函数的定义域与导函数的定义域之间通常存在着一定的关系，但并不完全一致。
导函数的定义域通常是原函数的定义域的子集，但受到函数可导性和特殊点的影响，两者之间可能会出现差异。
在分析函数的性质和导数的定义域时，需要综合考虑函数本身的特点以及导数存在的条件。
函数与图像的关系与变化规律
函数表示方法：函数的 表示方法主要有解析法 、表格法和图象法三种 。
解析法：用含有数学表 达式的等式来表示两个 变量之间的函数关系的 方法叫做解析法。
表格法：用列表的方法 来表示两个变量之间函 数关系的方法叫做列表 法。
图象法：把一个函数的 自变量$x$与对应的因变 量$y$的值分别作为点的 横坐标与纵坐标，在直 角坐标系内描出它的对 应点，所有这些点所组 成的图形叫做该函数的 图象。
在平面上画出隐函数中等于某一常 数的点的轨迹，即等值线。通过一 系列等值线可以大致了解隐函数的 图像形状。
梯度法
利用隐函数的梯度方向可以判断函 数值的变化趋势，从而绘制出函数 的图像。这种方法适用于难以转化 为显函数的隐函数。
03
函数变化规律分析
增减性判断方法
导数法
通过求导判断函数的单调性，若 在某区间内导数大于0，则函数在 该区间内单调增加；若导数小于0 ，则函数在该区间内单调减少。
各点。
曲线连接
用平滑的曲线连接各点 ，得到函数的图像。
多元函数图像绘制技巧
确定函数定义域
根据函数表达式确定函数的定义域，即函 数自变量的取值范围。
曲面连接
用平滑的曲面连接各点或区域，得到函数 的图像。
选择合适的视角
对于多元函数，需要选择合适的视角来展 示函数的图像，如三维坐标系或等高线图 等。
描点画图
反函数的图像
反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称。如果原函数在某区间内单调， 则其反函数在该区间内也存在且单调性相反。
05
参数方程与极坐标下函数关系研 究
参数方程基本概念及性质介绍
参数方程定义
通过引入一个或多个参 数来表示变量间关系的 方程，常用于描述曲线 和曲面。
导数与原函数独立
导数与原函数独立在微积分学中，导数和原函数是两个非常重要的概念。
导数可以用来衡量函数在某一点的斜率，原函数可以用来求解函数在给定区间内的面积。
而在讨论这两个概念时，一个有趣的问题是它们之间是否是独立的。
简单来说，导数与原函数是独立的。
这意味着，一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。
在接下来的文章中，我们将详细阐述这个问题，并提供一些例子来说明。
首先我们来看一个常见的例子：函数 $f(x)=|x|$。
显然这个函数在 $x=0$ 的导数不存在。
因为在 $x=0$ 附近，函数的图像是一个 V 形，左右两边的斜率不同，所以导数不存在。
如果我们尝试求解 $f(x)$ 的原函数，会发现其并不存在。
这是因为 $f(x)$ 不是连续可微的，即它不满足牛顿-莱布尼茨公式的条件。
我们可以得出结论：这个函数存在导数但没有原函数。
接下来再看一个例子：函数 $f(x)=x^2$。
这个函数的导数是 $f'(x)=2x$，即导数存在且为 $2x$。
而对于原函数，我们可以非常容易地得到 $F(x)=\frac{1}{3}x^3+C$，其中 $C$ 为任意常数。
我们可以得出结论：这个函数存在原函数也存在导数。
再看一个例子：函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$。
这个函数没有原函数，但是它在$x=0$ 处的导数是 $f'(0)=\frac{1}{0}$，即它的导数不存在。
这说明了导数和原函数的独立性，即这个函数不存在原函数但存在导数。
导数与原函数是独立的。
一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。
在求解导数和原函数时，我们需要根据具体的函数性质来决定是否存在原函数或导数，不能简单地认为它们之间必然存在对应关系。
对于导数存在但原函数不存在的函数，我们需要通过其他方式来计算函数在给定区间内的面积。
常见的方法是通过积分，其中不定积分和定积分是最基本的两种类型。
不定积分是原函数的一个概念，它可以用来求解某个函数 $f(x)$ 的所有原函数。
2020年高考数学(理)函数与导数 专题12 导数的概念及运算(解析版)
函数与导数12 导数及其应用 导数的概念及运算一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y c y x ==，，2y x =，1y x=的导数； (2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【考点透析】 【备考重点】(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 二、知识概述： 1．由0()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0()()Q n x x f n ∈= ()1-='n nx x f()x x f sin = ()x x f cos =' ()x x f cos =()x x f sin -=' ()x a x f =()a a x f x ln ='【考点讲解】1）基本初等函数的导数公式2）导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（和或差的导数是导数的和与差）（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导） （3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）(4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【温馨提示】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.()x e x f = ()x e x f ='()x x f a log =()a x x f ln 1=' ()x x f ln =()xx f 1='2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =. 【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．1. 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ． 【答案】D2.【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【解析】本题要注意已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．【真题分析】2cos sin ,y x x '=-Q π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国Ⅰ卷】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D. 【答案】D4.【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）【解析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ． 【答案】D5.【2019年高考全国Ⅰ卷】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x xy x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【答案】30x y -=6.【变式】【2018年理数全国卷II 】曲线()1ln 2+=x y在点()00，处的切线方程为__________． 【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.由题中条件可得：12+='x y ，所以切线的斜率为2102=+=k ，切线方程为()020-=-x y ，即x y 2=.【答案】x y 2=7.【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【解析】∵1sin 2y x '=--，∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=. 【答案】220x y +-=8．【2018年高考天津文数】已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【答案】e9.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ， 则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e 1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =， 考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+， 当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1. 【答案】(e, 1)10.【2018年全国卷Ⅲ理】曲线()()x e ax x f 1+=在点()10，处的切线的斜率为2-，则=a ________．【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.由题意可知：()()x x e ax ae x f 1++='，则()210-=+='a f ，所以3-=a ，故答案为-3.【答案】3-【变式】已知函数错误!未找到引用源。
2023届福建省龙岩市一级校高三上学期期末联考数学试题(解析版)
2023届福建省龙岩市一级校高三上学期期末联考数学试题一、单选题1．如图，已知U 是全集，,,A B C 是U 的三个子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()ABC B ．()A B C C ．()ABCD ．()ABC【答案】C【分析】结合韦恩图分析阴影区域和集合,,A B C 的关系即可.【详解】依题意，阴影部分区域是A 的补集与集合,B C 三者的公共部分，即()A B C .故选：C2．已知复数()()1i 1i λ=++-z 是纯虚数,则实数λ=（ ） A ．－1 B ．1C ．－2D ．2【答案】A【分析】对复数进行化简,根据纯虚数的定义列出方程求解即可. 【详解】()()()1i 1i 11z i λλλ=++-=++-,根据题意得1010λλ+=⎧⎨-≠⎩,解得1λ=-. 故选:A.3．“点(),a b 在圆221x y +=外”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解. 【详解】命题p ：点(),a b 在圆221x y +=外等价于221a b +>，命题q ：直线20ax by ++=与圆221x y +=相交等价于2222214a b a b <⇔+>+，从而有,p q q p ⇒，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B4．如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具.它是随着粮食生产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.若将某个米斗近似看作一个四棱台.上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等，上底面边长为25cm ，下底面边长为15cm ，侧棱长为10cm ，则该米斗的容积约为（ ）A ．26003cmB ．29003cmC ．31003cmD ．35003cm【答案】B【分析】画出图形，作出辅助线，求出棱台的高，利用棱台体积公式进行计算.【详解】画出此四棱台，如下：则15AB BC CD DA ====cm ，25EF FG GH HE ====cm ，10AE BF CG DH ====cm ，过点B 作BP ⊥底面EFGH 于点P ，点P 落在对角线HF 上，过点P 作PQ ⊥EF 于点Q ，连接BQ ， 因为EF ⊂平面EFGH ，所以BP ⊥EF ， 因为BPPQ P =，,BP PQ ⊂平面BPQ ，所以EF ⊥平面BPQ ， 因为BQ ⊂平面BPQ ， 所以EF ⊥BQ ， 其中()152QF EF AB =-=cm ，同理可得5PQ =cm ， 由勾股定理得：221002553BQ BF FQ =--=， 故22752552BP BQ PQ --，正方形EFGH 的面积为2125625S ==2cm ，正方形ABCD 的面积为2215225S ==2cm ，则该米斗的容积(()1212116125262522537552288733V S S S S BP =+⋅=⨯++⨯=≈3cm故选：B5．已知12ln 23a b -==，，6πsin 7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】A【分析】利用中间值和作差比较法来比较大小.【详解】1ln 2e ,2a =>=6πππ1sinsin sin 7762c ==<=,121323b -==>; 33ln 212ln 2333a b --==因为33222e >>，所以3ln 210->，所以a b >.综上可得a b c >>. 故选：A.6．抛物线E 的焦点为F ，对称轴为l ，过F 且与l 的夹角为3π的直线交E 于A ，B 两点，AB 的中点为M ，线段AB 的中垂线MD 交l 于点D ．若MFD △的面积等于23AB 等于（ ） A ．52B ．4C ．5D ．8【答案】D【分析】依题意不妨设抛物线为()220y px p =>，不妨设直线AB 的倾斜角为3π，直线:32p AB y x ⎫=-⎪⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出M 的坐标，从而求出直线MD 的方程，则D 的坐标可求，再根据三角形面积求出p ，最后根据焦半径公式计算可得.【详解】解：依题意不妨设抛物线为()220y px p =>，则,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据对称性不妨设直线AB 的倾斜角为3π，则直线:32p AB y x ⎫=-⎪⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2322p y x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y 整理得2233504p x px -+=， 所以1253p x x +=，则()121223333p y y x x p +=+-=， 所以53,63p p M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则直线MD 的方程为335336ppyx ，令0y =，解得116p x =，即11,06p D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1112623233MFDp p Sp⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=⨯，解得3p =或3p =-（舍去）， 所以26y x =，则125x x +=， 所以128AB x x p =++=. 故选：D7．定义在区间[]0，a 上的函数()f x 的图象如图所示，记为()()00A f ，，()()B a f a ，，()()C x f x ，为顶点的三角形的面积为()s x ，则函数()s x 的导数()s x 的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当C 从A 运动到B 的过程中，面积先增加再减小，然后再增加再减小，由此求出结果． 【详解】连接AB ，BC ，CA ，以AB 为底，C 到AB 的距离为高h ．让C 从A 运动到B ,明显h 是一个平滑的变化,这样()S x 是平滑的变化．因为函数()12S x AB h =⨯，其中h 上为点C 到直线AB 的距离AB 为定值，当点C 在(]10,x 时，h 越来越大，s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正，当点C 在[)12,x x 时，h 越来越小，s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负，变化率的绝对值由小变大，当点C 在[)23,x x 时h 越来越大，s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正：变化率由大变小，当点C 在[)3,x a 时，h 越来越小，s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负．故选D ． 【点睛】本题考查原函数图像与导函数图像之间的关系，属于一般题．8．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ） A ．12B ．14C ．124D ．1144【答案】B【分析】随机逐个面试共有66A 种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类，求出相应的顺序，即可求得概率．【详解】解：随机逐个面试共有66A 种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类：①男男男女女女，此时有3333A A 36⨯=种；②男男女男女女，此时有212332A A A 36=⨯⨯种； ③男男女女男女，此时有2233A A 36⨯=种； ④男女男男女女，此时有11223322A A A A 36=种； ⑤男女男女男女，此时有3333A ?A 36=种；故共有365180⨯=种，所以概率为661801A 4=故选：B ．二、多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，则下列直线中与直线BM 是异面直线的有（ ）A ．1AAB ．1BBC ．1CCD ．1DD【答案】AC【分析】观察图形可得到1BB BM B =，1DD BM M =，1AA 与1CC 与直线BM 是异面直线.【详解】显然1BB BM B =，1DD BM M =，BD 错误；1AA 与1CC 与直线BM 既不平行，也不相交，是异面直线，AC 正确.故选：AC10．某校为调查学生身高情况，按比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，已知其中男生23人，平均数为170.6，方差为12.59；女生27人，平均数160.6，方差为38.62. 下列说法正确的是（ ）A ．这个样本的平均数为165.2B ．这个样本的方差为51.4862C ．该校女生身高分布比男生集中D ．该校男生的身高都比女生高【答案】AB【分析】先求解样本的平均数和方差，结合选项可得答案. 【详解】先求样本的平均数： 23170.627160.6165.2,2327⨯+⨯=+再求样本的方差：222327[12.59(170.6165.2)][38.62(160.6165.2)]51.48625050⨯+-+⨯+-=. 所以A,B 均正确；因为38.6212.59>，所以该校男生身高分布比女生集中，所以C 不正确； 样本数据无法得出男生的身高都比女生高，所以D 不正确. 故选：AB.11．关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是周期函数，周期为πC ．()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 的最小值是1-【答案】AD【分析】根据偶函数的定义判断A ，根据周期性的定义判断B ，由π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化简函数解析式，再根据正弦函数的性质判断C ，判断函数的周期，再分[]0,πx ∈，()π,2πx ∈两种情况求出函数的值域，即可判断D.【详解】解：因为()cos sin f x x x =+，所以()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=，故()cos sin f x x x =+为偶函数，故A 正确； 对于B ：()()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x f x +=+++=-+≠，故π不是函数的周期，故B 错误；对于C ：当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin 0x >，则()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则,π3π5π444x ∈+⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在3π5π44,⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故C 错误；对于D ：因为()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x f x +=+++=+=， 所以2π是函数的一个周期，当[]0,πx ∈时sin 0x ≥，则()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 4x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎝⎦⎭，则()f x ∈-⎡⎣，当()π,2πx ∈时sin 0x <，则()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-=+ ⎪⎝⎭，则π5π9π,444x ∈⎛⎫+⎪⎝⎭，所以πcos 4x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎭，则()(1f x ∈-，综上可得()f x ∈-⎡⎣，故D 正确；故选：AD12．设数集{},,,S a b c d =满足下列两个条件：（1）,,x y S xy S ∀∈∈；（2）,,x y z S ∀∈，若x y ≠则xz yz ≠.则下论断正确的是（ ） A ．a b c d ,,,中必有一个为0 B ．a ，b ，c ，d 中必有一个为1 C ．若x S ∈且1xy =，则y S ∈ D ．{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z ==【答案】BCD【分析】根据（1）（2）得到0S ∉，1S ∈，A 错误，B 正确；再分1a =，1a ≠，两种情况，经过推理得到C 正确；在C 选项的分析基础上，得到若1a ≠，此时求出{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，若1a =，推理出,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，得到D 正确.【详解】由（1）得：数集S 中必有1或0， 由（2）得：0S ∉，故1S ∈，A 错误，B 正确； 由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个， 不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =， 下面证明C 正确，因为x S ∈，若x b =，则y cd =，由（1）知：y cd S =∈，满足要求， 同理若x c =，则y bd S =∈，满足要求，若x d =，则y bc S =∈，满足要求， 若x a =，因为1S ∈，若1a =，则1y S =∈，满足要求，若1a ≠，则,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =， 由（1）知：ac S ∈，又因为1a ≠，1c ≠，所以ac a ≠，ac c ≠，故ac d =， 同理可得ad c =，所以相乘得ab ad dc ⋅=，解得：21a =， 因为1a ≠，所以1a =-，故取1y S =-∈，满足要求， 综上：若x S ∈且1xy =，则y S ∈，C 正确； 下面证明D 正确；由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个， 不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =，若1a ≠，则1abcd ≠，因为,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =， 根据C 选项的分析可知：ac d =，ad c =，1a =-，则d c -=，故21cd d =-=，故i d =，i c =-，若i d =-，i c =， 此时{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，D 正确； 若1a =，则1abcd =，1bcd a ==，由（1）知：cd S ∈， 若1cd a ==，则b bcd a ==，不可能， 若cd c =，则1d a ==，不可能， 若cd d =，则1c a ==，不可能，所以cd b =，故2b bcd a ==，同理可得：22,c a d a ==， 因为a 的平方根有且只有2个，所以,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾， 故不存在1a =即1abcd =的情况，故{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z ==，D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.三、填空题13．已知3a =，5b =且,45a b =，则a 在b 上的投影向量为__________．【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为3a =，5b =且,45a b =， 则a 在b 上的投影向量为232cos 4532510b b a b b=⨯⨯=，. 14．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，若曲线()y f x =在1x=-处的切线方程为30x y -+=，则该曲线在1x =处的切线方程为___________.【答案】30x y +-=【分析】依题意可得()12f -=且()11f '-=，又()f x 为偶函数，即可求出()1f ，再对()()f x f x -=两边求导，即可求出()1f '，从而求出切线方程.【详解】解：因为曲线()y f x =在1x=-处的切线方程为30x y -+=，所以()12f -=，且()11f '-=， 又()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则()()112f f =-=，对()()f x f x -=两边求导可得()()f x f x ''--=，所以()()111f f ''=--=-，所以该曲线在1x =处的切线方程为()211y x -=--，即30x y +-=. 故答案为：30x y +-=15．三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面,23,4,30ABC PA PC AB AC BAC ====∠=.若三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.【答案】18π【详解】试题分析： 由题意，得，∵，∴，∴的外接圆直径，设球心为,的中点为,球的半径为,则∴，则有该三棱锥的外接球的半径，∴该三棱锥的外接球的表面积为.【解析】球的体积和表面积.【方法点睛】本题主要考查的是三棱锥的外接球表面积，直线与平面的位置关系，属于中档题，对于本题而言，根据题中条件画出立体几何图形，求出，假设出球心，利用勾股关系，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积,因此确定三棱锥的外接球的半径是解决此类题目的关键.16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若122PF PF =，且260MF N ︒∠=，则双曲线C 的离心率为________.【答案】【分析】由122PF PF =和122PF PF a -=计算可得14PF a =，22PF a =，易得12FO F O =，PO MO =，可得出四边形12PF MF 为平行四边形，又得1260F PF ︒∠=，在三角形12PF F 中利用余弦定理计算得出3c a =，最后可得出离心率. 【详解】由题122PF PF =，①由双曲线的定义可得，122PF PF a -=，②由①②可得14PF a =，22PF a =，又12FO F O =，PO MO =， 所以四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ︒∠=，可得1260F PF ︒∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a ︒⋅⋅⋅=+-， 即2224208c a a =-，223c a =，可得3c a =，所以3==ce a. 故答案为：3.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.四、解答题17．已知正项数列{an }的前n 项和为Sn ，且a 1＝1，21n a +＝Sn ＋1＋Sn .（1）求{an }的通项公式；（2）设212n an n b a -=⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .【答案】（1）()n a n n N +=∈ ； （2）1(23)26n n T n +=-⋅+.【分析】（1）由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合递推式21n a +＝Sn ＋1＋Sn 即可求解.（2）由n b =(2n －1)·2n ，利用错位相减法求和即可. 【详解】解：（1）由21n a +＝Sn ＋1＋Sn ① 所以当n ≥2时，2n a ＝Sn ＋Sn －1，②①－②得21n a +－2n a ＝an ＋1＋an ，即(an ＋1＋an )(an ＋1－an )＝an ＋1＋an ，因为an >0，所以an ＋1－an ＝1，所以数列{an }从第二项起，是公差为1的等差数列． 由①知22a ＝S 2＋S 1，因为a 1＝1，所以a 2＝2， 所以当n ≥2时，an ＝2＋(n －2)×1，即an ＝n .③ 又因为a 1＝1也满足③式，所以an ＝n (n ∈N *)．（2）由（1）得212n an n b a -=⋅＝(2n －1)·2n ， 则Tn ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －1)·2n ，④ 2Tn ＝22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，⑤ ④－⑤得－T n ＝2＋2×22＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1， 所以－Tn ＝2＋()3121212n ---－(2n －1)·2n ＋1，故Tn ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.【点睛】本题主要考查了数列前n 项和n S 与n a 的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.18．ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos B b A b -=. (1)求A 的大小；(2)若ABC 的周长等于3，求ABC 的面积的最大值. 【答案】(1)π3【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对原式变形化简可得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合角A的范围，可求出角A 的值，（2）由余弦定理结合基本不等式可得1bc ≤，然后利用三角形的面积公式可求出ABC 面积的最大值.【详解】（1sin cos B b A b -=，sin sin cos sin A B B A B -=，又sin 0B ≠cos 1A A -=，11cos 22A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =.（2）解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-①， 又3a b c ++=，所以3a b c =--，代入①得222(3)b c b c bc --=+-， 整理得6639b c bc +=+，又因为2b c bc +≥，当且仅当b c =时取等号， 因为3b c +<，所以32bc <， 所以430bc bc -+≥，解得1bc ≤或3bc ≥（舍去），故1bc ≤，故ABC 的面积133sin 244S bc A bc ==≤，当且仅当1b c ==时取等号， 所以ABC 面积的最大值为34. 19．在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，2222,90BC AD AB ABC ︒===∠=，如图把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD .(1)若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由. 【答案】2 (2)14【分析】（1）以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用点到面的向量距离公式求解；（2）由（1）中已经求出的平面ACD 的法向量，设出N 的坐标，写出AN ，利用线面角的向量公式列式计算即可.【详解】（1）由已知条件可得2,2,BD CD ==CD BD ⊥． 由平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，根据面面垂直的性质定理，故CD ⊥平面ABD ．过点D 在平面ABD 作Dz DB ⊥，则Dz DC ⊥．以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D (1,1,0)M ．则(0,2,0)CD =-，(1,0,1)AD =--，(1,1,0)MC =-.设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则,CD n AD n ⊥⊥，0,0,y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，得平面ACD 的一个法向量为(1,0,1)n =-，于是点M 到平面ACD 的距离22n MC d MC⋅==．（2）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60． 设,01BN BC λλ=<<，则(22,2,0)N λλ-，(12,2,1)AN λλ=--， 又平面ACD 的法向量(1,0,1)n =-且直线AN 与平面ACD 所成角为60︒，∴221213sin 60221(12)4AN nAN n λλλ⋅-+===⋅+-+28210λλ+-=， ∴1142λλ==-或（舍去）．综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ． 20．甲、乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜负.按主、客场制先进行两场比赛，若某一队在前两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；否则，需在中立场进行第三场比赛，其获胜方为冠军.假定甲队在主场获胜的概率为12，在客场获胜的概率为13，在第三场比赛中获胜的概率为25，且每场比赛的胜负相互独立.(1)已知甲队获得冠军，求决赛需进行三场比赛的概率；(2)比赛主办方若在决赛的前两场中共投资m （千万元），则能盈利2m（千万元）.如果需进行第三场比赛，且比赛主办方在第三场比赛中投资n （千万元）n .若比赛主办方准备投资一千万元，以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？【答案】(1)15(2)34千万元.【分析】(1)甲获胜，且比赛进行了三场，说明前两场一队赢一场，第三场中立场甲赢； (2)根据总盈利和进行的场次有关，求出总盈利2m，即比赛只需进行两场的概率，再求出总盈利为2m+. 【详解】（1）由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场， 所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场， 设甲获得冠军时，比赛需进行的场次为X ，则111121(3)11232355P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）由题可得1m n +=，所以[]1,0,1m n n =-∈ 比赛结束需进行的场次即为Y ，则2,3Y =，设决赛总盈利为Z ，则,22m mZ = 11111()(2)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11111((3)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以决赛总盈利为Z 的分步列如下，所以11111()2222222m m E Z m n ⎛=⨯+⨯=+-+ ⎝，所以211()22E Z =-，12=，即14n =时，二次函数211()22E Z =-有最大值为58，所以以决赛总盈利的数学期望为决策依据， 则其在前两场的投资额应为13144m =-=千万元.21．已知2EF =，动点C 满足：4FC =且,,E F C 三点共面.线段EC 的垂直平分线为l ，点M 在l 上且FM FC ⊥，P 为线段CF 延长线上的点，且PCM PEM ∠=∠，记P 的轨迹为曲线Γ. (1)求证PE PF FC +=，并建立适当的坐标系，求Γ的方程； (2)判断直线l 与Γ公共点的个数，并说明理由. 【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)1个公共点【分析】（1）由待证表达式可以猜想轨迹是椭圆，故可以EF 的中点为原点建立坐标系，结合题干条件，构造全等三角形证明待证表达式，从而易得椭圆的方程；（2）分直线EC 的斜率是否存在作为切入点，此即等价于考虑0x 是否等于1±，写出l 方程后，联立直线l 和椭圆方程，计算判别式进行求解.【详解】（1）以EF 所在的直线为x 轴，EF 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy 如图，在线段FC 上取点Q ，使得PF FQ =，因为MF PQ ⊥，所以MP MQ =，因为M 在EC 的垂直平分线上，所以ME MC =，又因为PEM PCM ∠=∠，所以△MPE 和MQC △全等，所以PE QC =，所以4PE PF FQ QC FC +=+==；又FC EF >，即P 的轨迹是以,E F 为焦点的椭圆，设Γ的方程为()222210x y a b a b+=>> ，则24a FC ==，得2a =，2213b a =-=，又因为当C 在直线EF 上时，点M 不存在，所以τ的方程为()221043x yy +=≠（2）设()00,C x y ，则EC 的中点为001,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，00y ≠. 1°当01x =-时，此时EC ()220014x y -+解得023y =±l 的方程为3y =此时l 与τ恰有一个公共点，和椭圆相切与上顶点（或下顶点）（如图）；2°当01x ≠-时，如图，则EC 的斜率为001y x +，l 的方程为00001122y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得：2200000112x x y y x y y +-+=-+，因为()2200116x y -+=，所以l 的方程可化为000017x x y x y y ++=-+，代入22143x y +=得：()()2200217143x x x x y -+++⎡⎤⎣⎦+=， 整理得：()()()()2222200000041381747120x y x x x x x y ⎡⎤++-++++-=⎣⎦（＊） 由()2200116x y -+=得()2200161y x =--代入“＊”并整理得：()()()()222000078171610x x x x x x +-++++=，由()2200116x y -+=可知，07x ≠-，此时[]22200008(1)(7)416(7)(1)0x x x x ∆=-++-⨯⨯++=，l 与τ恰有一个公共点.综上，l 与τ恰有一个公共点．22．已知()e cos x af x x -=+.(1)若3π2a =，求f （x ）在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值； (2)若1a ≤，证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增. 【答案】(1)1. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数3π2()e sin x f x x -'=-，由此令3π2()e sin x g x x -=-，根据其导数判断()f x '的单调性，进而判断其值的正负，可得()f x 的单调性，进而求得最值;（2）由于要证明()e sin 0x f x x α-'=->在(0,)+∞是恒成立，故根据其结构特征，先证明e 1x x ≥+成立，再证明sin ,0x x x ≥≥成立，利用这两个结论即可证明()e sin 0x f x x α-'=->，从而证明结论.【详解】（1）若3π2a =，则3π2()e cos x f x x -=+，故3π2()e sin x f x x -'=-， 令3π2()e sin x g x x -=-，则3π2()e cos 0x g x x -'=->在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，故()f x '在 π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，又ππ()e 102f -'=-< ，3π()1102f '=+>，故存在π3π(,)22k ∈，使得()0f k '=，则π[,)2x k ∈时，()0f x '<，3π(,]2x k ∈时，()0f x '>，故()f x 在π[,)2k 递减，在3π(,]2k 递增，故max π3π()=max{()()}22f x f f ，，又ππ()e 2f -= ，π3π()1e 2f -=> ，故()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为3π()12f =.（2）先证明e 1x x ≥+成立，再证明sin ,0x x x ≥≥成立．令()()e 1xh x x =-+，则()e 1x h x '=- ，当0x >时，()0h x '> ，当0x <时，()0h x '< ， 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 所以()()min 00h x h ==，所以()0h x ≥ ，即e 1x x ≥+恒成立．令()sin ,(0)x x m x x =-≥，则()1cos 0m x x '=-≥，仅在0x =时取等号， 所以()m x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()00m x m ≥= ，即sin ,0x x x ≥≥成立，所以()()()()e sin 1sin sin 1x f x x x a x x x a α-'=-≥-+-=-+-，由于sin 0,0x x x -≥≥，当0x >时，sin 0x x ->，而1a ≤，则10a -≥ ，故0fx，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【点睛】关键点点睛：利用导数证明()f x 在(0,)+∞上单调递增，即要证明其导数在(0,)+∞上大于或等于0恒成立，求出导数()e sin x f x x α-'=-后，关键在于根据其结构特征，构造函数证明e 1x x ≥+成立，再证明sin ,0x x x ≥≥成立，从而利用这两个结论，证明()e sin 0x f x x α-'=->成立.。
导函数有界和原函数有界的关系
导函数有界和原函数有界的关系
导函数和原函数的关系密切。
导函数反映了原函数在某一点的变化率，而原函数则表示了导函数在整个区间内的累积效果。
因此，导函数有界与原函数有界的关系值得深入探讨。
然而，导函数有界并不一定意味着原函数有界。
例如，函数y=x的导函数f'(x)=1，在R上都是有界的，但原函数f(x)=x^(2)/2在R上无界。
反过来，原函数有界也不一定意味着导函数有界。
例如，函数y=e^x的原函数在R上都是有界的，但导函数f'(x)=e^x在R上无界。
因此，导函数有界和原函数有界的关系并不是简单的因果关系，而是需要具体问题具体分析。
导函数连续和原函数在某一邻域内可导的关系
导函数连续和原函数在某一邻域内可导的关系导函数和原函数之间是密不可分的，在微积分中发挥着极为重要的作用。
在研究函数性质时，我们需要研究导函数和原函数之间的关系。
其中，导函数连续和原函数在某一邻域内可导的关系更是我们需要掌握的重要内容。
一、导函数与原函数在微积分中，关于函数的导数是十分重要的一个概念。
对于函数$f(x)$，若其在$x$处可导，则称其在该点的导数为$f'(x)$。
其中，导数为一种变化率，表示函数在某一点处的变化速率。
我们可以将函数的导数称之为原函数的导函数，它是函数变化率的一种衡量方式。
同时，我们可以通过对原函数进行求导，得到其导函数。
对于一个函数$f(x)$，其原函数可以记为$F(x)$。
原函数表示在$x$取某一值时，函数的值所组成的新函数。
尤其是对于导函数而言，其原函数就是原来的那个函数。
二、导函数连续的概念若一个函数在其定义域内某点的左、右导数均存在且相等，则称其在该点处导函数连续。
如果一个函数的导函数在某一邻域内存在，那么我们就可以称该函数在该邻域内可导。
因此，如果以上的两个条件均满足，即函数在某一点处的导函数连续，并且该函数在该点的某一邻域内可导，则我们可以得出结论，该函数在该点处是可导的。
由于导函数是原函数的一种形式，所以我们可以通过导函数的连续性来了解其原函数的可导性。
也就是说，如果一个函数在某一点处的导函数连续，那么该函数在该点处的原函数也是可导的。
需要注意的是，定义导函数时，我们并没有要求函数在某一邻域内是连续的。
因此，在判断原函数的可导性时，我们需要首先判断该函数在某一邻域内是否连续。
导函数有界和原函数有界的关系
导函数有界和原函数有界的关系首先，我们来思考导函数有界的情况。
如果一个函数的导数在一些区间内有界，意味着该函数在这个区间内的变化率是受限的。
也就是说，函数的斜率在这个区间内不会无限增大或减小，而是保持在一个有限的范围内。
这表明了函数在该区间内的变化是相对平缓的。
例如，如果一个函数的导数在区间[-1,1]内有界，那么函数在该区间内的增加或减小的速率是有限的。
根据微积分基本定理，导数是原函数的斜率。
因此，导函数有界可以直接说明了原函数在一些区间内的变化速率是受限的。
换句话说，如果原函数的导数有界，那么原函数在该区间内的变化是相对平缓的。
这与原函数有界的概念是一致的。
反过来，如果一个函数的原函数有界，意味着函数在一些区间内的变化是有限的。
这表明了函数的增加或减小是受限的，也就是变化速率是有界的。
换句话说，函数在该区间内的斜率是有限的。
而根据微积分基本定理，函数的斜率就是导数。
因此，如果一个函数的原函数有界，那么这个函数的导数也是有界的。
总结起来，导函数有界和原函数有界是等价的。
导数有界表明了函数在一些区间内的变化率是有限的，这也等价于函数的积分在该区间内存在一个有限的值。
反之，函数的积分有界表明了函数在一些区间内的变化是有限的，也就是函数的导数是有界的。
需要注意的是，这里讨论的是一个闭区间内的导函数和原函数有界。
在开区间上的导函数和原函数有界可能会出现例外情况。
例如，函数f(x)=e^x的导数在整个实数轴上都是有界的，但它的原函数F(x)=e^x在整个实数轴上是无界的。
这是因为F(x)的增长速度是指数级的。
总之，导函数有界和原函数有界是密切相关的概念。
导函数有界可以推导出原函数有界，反之亦然。
这一关系更深入地表明了函数的变化率与函数的变化之间的关系。
导函数与原函数的对照表
导函数与原函数的对照表
导函数与原函数的对照表：
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即
③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的零点是原函数的
导数的零点是原函数的
求导数与原函数的关系：
1、什么是求导数？
利用微积分的思想，对某函数求导数，就是从函数的定义出发，求出
该函数的导数。
其中导数又称导函数、偏导数、特征量及微分系数等，它表示函数作为定义域中点的变化率，也即定义域上点的多少程度影
响了函数值的变化。
2、求导数与原函数的关系
求导数与求原函数所确定图像有所不同，求导数即求函数在该点的斜率，而原函数即求函数在该点的函数值。
即导数表示函数在该处的变
化率，而原函数表示函数在该处的函数值。
而通过计算导数，我们可
以大体了解函数的趋势，而通过求原函数我们可以知道函数的具体值。
3、求导数的零点与原函数的关系
导数的零点即导数为0，这时函数在该点处的变化率为0，也即函数在
该点处不变，这时一般称该时函数在这点处取得最大值或最小值，这
时的极值点就是原函数的极值点。
故求导数的零点和原函数的极值点
是相关的。
4、如何用定理求取原函数的极值点
定理一般可以用二次函数、反比例函数、正弦函数和余弦函数等常见函数来证明，这些定理可用来推导出原函数的极值点的出发点，根据定理的特殊性，最终可以求取原函数的极值点。
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导函数图像类型题
类型一:已知原函数图像,判断导函数图像。
1. (福建卷11)如果函数)(x f y =的图象如右图,那么导函
数()y f x '=的图象可能就是 ( )
2. 设
函数f (x )
在定义域内可导,y=f (x )的图象如下左图所示,则导函数y=f '(x )的图象可能为( )
3. 函数()y f x =的图像如下右图所示,则()y f x '=的图像可能就是
( )
4. 若函
数
2()f x x b
=+的图象的顶点在第
四象限,则其导函数'()f x 的图象就是( )
类型二:已知导函数图像,判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(x f '就是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的
图象如右图所示,则)(x f y =的图象最有可能的就是( )
6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已
知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图,则f x ()的图象可能就是( ) 7. 函数
)
(x f 的定
义域为开区间
3
(,3)2-,导函数)
(x f '在
3
(,3)2
-内的图象如图所示,则函数)(x f 的单调增区间就是_____________
类型三:利用导数的几何意义判断图像。
8. (2009湖南卷文)若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上就是增函数,则函数()y f x =在区间[,]
a b 上的图象可能就是
( )
O 1 2 x y
x
y
y
O 1 2 y
O
1 2 x
O 1 2 x
C
D
O
1 2 x
y
a
b a
b a
o x
o
x
y
o
x
y
o x y
y
)(x f y '=
x
o y
A .
B .
C .
D .
9、若函数)('
x f y =在区间),(21x x 内就是单调递减函数,则函数)(x f y =在区间),(21x x 内的图像可以就是( )
A B C D
10、(选做)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图,那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能就是
( )
类型四:根据实际问题判断图像。
9. (2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科)如右图所示就是某一容器的三视图,现向容器中
匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象就是( )
10、如图,直线
l 与圆
c,
当l 从0
l 开始在平面上绕点o 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过︒
90)时,它扫过的园内阴影部分的面积S
就是时间t 的函数
,这个函数的图像大致就是( )
11、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别
找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象、
O t
h h t O h t O O t h O t
h h t O h t O O t h
10. 已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下,
则( )
函数)(x f 有1个极大值点,1个极小值点
函数
)(x f 有2个极大值点,2个极小值点 函数)(x f 有3个极大值点,1个极小值点 函数)(x f 有1个极大值点,3个极小值点
11. (2008珠海质检理)函数)(x f 的定义域为
),(b a ,其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所
示,则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个
数就是( )
(A)、1 (B)、2 (C)、3
(D)、4
12. 已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5,
其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示、求:
(Ⅰ)0x 的值; (Ⅱ),,a b c 的值、 13. 函数()y f x =在定义域3
(,3)2
-
内可导,其图象如图,记()y f x =的导函数为/
()y f x =,则不等式
/()0f x ≤的解集为_____________
14. 如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图
象,'()f x 为函数()f x 的导函数,则不等式'()0x f x ⋅<的解集为_____ _
x
y
1x x 4
O
2x 3x ••••
15. 【湛江市·文】函数2
2
1ln )(x x x f -=的图象大致就是
A .
B .
C .
D .
16. 【珠海·文】如图就是二次函数a bx x x f +-=2)(的部分图象,则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区间就是
( )
A 、)21,41(
B 、)1,21
(
C 、)2,1(
D 、)3,2(
17. 定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =.)(x f '为)(x f 的导
函数,已知函数)(x f y '=的图象如右图所示、若两正数b a ,满
足1)2(<+b a f ,则2
2
b a ++的取值范围就是 ( )
A.11(,)32
B.()1(,)3,2-∞+∞U
C.1(,3)2
D.(,3)-∞-
x
x x x
y
y y
y
O O O
O
x
y
O。