离散数学期末复习

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离散数学期末复习习题

离散数学一、选择题1△O Y C3A^Q un ㊉iv1.设：P：张三可以作这件事，Q：李四可以作这件事，命题“张三或李四都可以做这件事”的符号化为()A、PVQB、PVi QC、P—QD、-P V -Q2.谓词公式V x(P(x)V m yR(y))fQ(x)中量词V x的作用域是()A. V x(P(x) V3yR(y))B.P(x)C. (P(x) V3yR(y)) D,P(x), Q(x)3.若个体域为整体域，下列公式中哪个值为真？()A. V x 3y(x+y=0)B. 3y V x(x+y=0)C. V x V y(x+y=0)D. n 3x 3y(x+y=0)4.空集①的幂集P (①)的基数是()A. 1B.2C.3D.45.设R、S是集合A上的任意关系，则下面命题是真命题的是()。

A.若R、S是自反的，则R・S是自反的B.若R、S是反自反的，则R・S是反自反的C.若R、S是对称的，则R・S是对称的D.若R、S是传递的，则R・S是传递的6.集合 A={1, 2,…，10}上的关系 R={(x, y)|x+y=10 且x, y£A},则 R 的性质为()A.自反的B.对称的C.传递的，对称的口.非自反的，传递的7.含有5个结点，3条边的不同构的简单图有()A.2个B.3个C.4个D.5个8.设G (n, m),且G中每个结点的度数不是K就是K+1,则G中度数为K的结点数()A.2/nB.n(n+1)C.nkD.n(k+1)-2m9.设谓词P(x) :x是奇数，Q(x):x是偶数，谓词公式m(x) (P(x) AQ(x))在下面哪个论域中是可满足的。

()A自然数集 B整数集 C实数集 D以上均不成立10.设C(x)： x是运动员，G(x)： x是强壮的。

命题“没有一个运动员不是强壮的”可符号化为()A. n V x(C(x) A n G(x))B. iV xOx) — G(x))C. _|m x(C(x)A_|G(x))D. im x(C(x) - 1 G(x))11.设集合 M={x|f (x) =0}, N={x|g (x) =0},则方程 f (x)・g (x) =0 的解集是()A.MANB.MUNC.M ㊉ ND.M-N12.设A=/"a}},下列选项错误的是()A. {a} e p(A)B. {a}U p(A)C. {{a}} e p(A)D. {{a}} e p(A)13.设A={1,2,3,4,5},p{<i,j>|i<j,i,j £ A}则 p 逆的性质是()A.对称的B.自反的C.反对称的D.反自反，反对称，传递的14.设R和S是集合A上的等级关系，则RUS的对称性()A. 一定成立B.一定不成立C.不一定成立D.不可能成立15. K4中含有3条边的不同构生成子图有()A.1个B.3个C.4个D.2个16.设G=<V,E>为无向图，u,v £V，若u,v连通，则()A.d(u,v)>0B.d(u,v)=0C.d(u,v)<0D.d(u,v)三0二、填空题1.命题公式I(P-Q)的主析取范式为()，主合取式的编码表示为().2.设Q(x)： x是奇数，Z(x)： x是整数，则语句“不是所有整数都是奇数”所对应的谓词公式为()。

离散数学期末复习题(6套)

《离散数学》期末考试题(A)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(=⋃B A ，)(=⋂B A ，)()(=A P .2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分，共15分)1.设A , B 是集合，若A B A =-，则(A)B = ∅ (B) A = ∅ (C)=⋂B A ∅ (D)A B A =⋂2.谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R3.任意6阶群的子群的阶一定不为(A)4 (B)6 (C)2 (D)34.设n 是正整数，则有限布尔代数的元素个数为(A)2n (B)4n (C)n 2 (D)2n5.对于下列序列，可构成简单无向图的度数序列为(A)3, 3, 4, 4, 5 (B)0, 1, 3, 3, 3 (C)1, 1, 2, 2, 3 (D)1, 1, 2, 2, 2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设N N N :⨯→f ，)1,()(+=x x x f ，则f 是满射. () 2. 5男5女圆桌交替就座的方式有2880种. () 3. 设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. () 4. 任何树都至少2片树叶. ()5. 无向图G 有生成树的充要条件是G 为连通图. ( )四、(10分)设C B A ,,和D 是集合，证明)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯⊆-⨯-，并举例说明上式中不能将⊆改为 = .五、(15分)设N 是自然数集合，定义N 上的关系R 如下：y x R y x +⇔∈),(是偶数，1.证明R 是N 上的等价关系.2.求出N 关于等价关系R 的所有等价类.3.试求出一个N 到N 的函数f ，使得)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=.六、(10分)在实数集合R 中证明下列推理的有效性:因为R 中存在自然数，而所有自然数是整数，所以R 中存在整数.七、(10分)设R 是实数集合，令}0,R ,|),{(≠∈=a b a b a G ，定义G 上的运算如下: 对于任意G d c b a ∈),(),,(，),(),(),(b ad ac d c b a +=⋅，证明),(⋅G 是非Abel 群.八、(10分)若简单平面图G 的节点数7=n 且边数15=m ，则G 是连通图，试证明之.《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅}，则-A ∅ = ( )，-A {∅} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当n 为( )时，n K 是欧拉图.二、单选题(每小题3分，共15分)1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1-⋃R R 是A 上的(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有(A)2 (B)4 (C)8 (D)163.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为(A)n p + (B)pn (C)n p (D)pn4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是(A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( )2.命题联结词→不满足结合律. ( )3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“⋅8”的逆元为4. ( )4.整环不一定是域. ( )5.任何),(m n 平面图的面数2+-=n m r . ( )四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(C)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号).(1)q q p p →→∧)(；(2))(q p p ∨→；(3))(q p p ∧→；(4)q q p p →∨∧⌝)(；(5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 设A , B , C 是集合，则下述论断正确的是( ).(A)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ∈ C . (B)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ⊆ C .(C)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ∈ C . (D)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ⊆ C .2. 设R ⊆ A ⨯ A ，S ⊆ A ⨯ A ，则下述结论正确的是( ).(A)若R 和S 是自反的，则R ⋂ S 是自反的.(B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的.(C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的.(D)若R 和S 是传递的，则R ⋃ S 是传递的.3.在谓词逻辑中，下列各式中不正确的是( ).(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀4. 域与整环的关系为( ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.设f : Z → Z ，x x x f 2||)(-=，则f 是单射. ( )2.设ϕ是群G 1到群G 2的同态映射，若G 1是Abel 群，则G 2是Abel 群. ( )3.设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. ( )4.元素个数相同的有限布尔代数都是同构的. ( )5.设G 是n (n ≥ 11)阶简单图，则G 或G 是非平面图. ( )四、(15分)设A 和B 是集合，使下列各式(1)A B A =⋂； (2)A B B A -=-；(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么，并给出理由.五、(10分) 设S 是实数集合R 上的关系，其定义如下∈=y x y x S ,|),{(R 且是3y x -是整数}，证明: S 是R 上的等价关系. 六、(10分) 求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.七、(10分) 若n 个人，每个人恰有3个朋友，则n 必为偶数，试证明之.八、(10分) 利用生成函数求解递归关系⎩⎨⎧=-+=-2)1(211a n a a n n .《离散数学》期末考试题(D)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个，其中有( )单射，( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子，F (x ): x 是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合，则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( )，零元是( )，P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 不同构的5阶无向树有( )棵.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图，当n ≥ ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图.二、单选题(每小题3分，共15分)1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}.(C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}.2. 设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃R R 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧.(C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝.4.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.函数的复合运算“ ”满足结合律. ( )2. {→⌝,}是最小功能完备联结词集合. ( )3. 实数集R 关于数的乘法运算“⋅”阿贝尔群. ( )4. 任意有限域的元素个数为2n . ( )5. 设G 是n (n 为奇数)简单图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(10分)设A 和B 是集合，使B B A =-成立的充要条件是什么，并给出理由.五、(10分) 设R 和S 是集合A 上的对称关系，证明S R 对称的充要条件是R S S R =.六、(15分)分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 设G 是(n , m )无向图，若n m ≥，证明G 中必存在圈.八、(10分) 在初始条件f (1) = c 下，求解递归关系bn n f n f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=22)(，其中b ，c 为常数且kn 2=，k 为正整数.《离散数学》期末考试题(E)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ，{a }( )B ，{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. gcd(36, 48) = ( )，lcm(36, 48) = ( ).4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构，其元素个数为( ).5. 不同构的5阶无向树有( )棵，不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分，共15分)1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ，则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车，B (x ): x 是汽车，F (x , y ): x 比y 快，则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃.(B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃.(C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.(D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). 1 1 22 3 3G S G R(A)域(B)域和整环(C)整环(D) 有零因子环G≅，则称G为自补图. 5阶不同构的自补图5.设G是简单图，G是G的补图，若G个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. { ∅, {∅}} ∉P(P({∅})). ( )2. 非空1元及2元联结词集合的个数为29-1. ( )3. 群可分为Abel群和非Abel群. ( )4. 元素个数相同的有限域都是同构的. ( )5. 设G是简单图，则G或G是连通图. ( )四、(15分)设C,:, 若gf 是单射，证明f是单射，并举例说明g→:f→gBBA不一定是单射.五、(10分)设A = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, b), (b, d), (c, c), (a, c)}, 画出R的关系图，并求出R的自反闭包r(R)、对称闭包s(R)和传递闭包t(R).六、(10分)用CP规则证明下列推理.⌝∨→∨(.⇒),(⌝),→pqssrqrqp→七、(10分)求谓词公式))xyByAxA∀→∨∀∧⌝∃的前束范式.zC((x()))(z(()八、(10分)任意6个人中，一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.《离散数学》期末考试题(F)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A–B = { }, B–A = { }, A⊕B = { }.2. 实数集合R关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z(x): x是整数，O(x): x是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定 ( )连通图，其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律.2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的等价关系共有( )个.(A)13 (B)14 (C)15 (D)163.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.4. 下列偏序集，( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单无向图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A ，B ，C 是集合，若C A B A ⊕=⊕, 则B = C . ( )2. 逻辑联结词“→”满足结合律. ( )3. 设 (L , ≤)是偏序集，若L 的任意非空子集均存在上确界和下确界，则(L , ≤)是格.( )4. 在同构意义下，有限布尔代数只有,,,),((⋂⋃X P ∅, X ). ( )5. 设G 是简单图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(15分) 设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射，证明g 是满射，并举例说明f 不一定是满射.五、(10分) 在整数集合Z 上定义关系R 如下：对于任意∈y x , Z ，y y x x R y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性.六、(10分)利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分)证明：在至少两个人的人群中，必有两个人有相同个数的朋友.八、(10分)将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K 3或蓝色的K 3.(ps ：答案见离散数学期末复习题（6套）答案文档)。

离散数学期末考试复习题及参考答案

A. B. C. D.
参考答案： B
6、设 A. 代数系统 B. 半群 C. 群
,*为普通乘法,则<S,*>是( )
D. 都不是
参考答案： A
7、设S={0,1},*为普通乘法,则< S , * >是( ) A. 半群,但不是独异点 B. 只是独异点,但不是群 C. 群 D. 环,但不是群
参考答案： B
A. B. C. D.
参考答案： B
3、命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( ) 设D:全总个体域,F(x):x是花,M(x) :x是人,H(x,y):x喜欢y
A. B. C. D.
参考答案： D
4、下列等价式成立的有( )
A. B. C. D.
参考答案： D
5、下列公式是重言式的有( )
5、 ( )设S={1,2},则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。参考答案：正确
8、谓词公式
中的x是( )
A. 自由变元
B. 约束变元
C. 既是自由变元又是约束变元
D. 既不是自由变元又不是约束变元
参考答案： C
9、设
是一个有界格,如果它也是有补格,只要满足( )
A. 每个元素都至少有一个补元
B. 每个元素都有多个补元
C. 每个元素都无补元
D. 每个元素都有一个补元
参考答案： A
10、一棵无向树T有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T中有( )片树叶
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案： C
11、设
A. {{1,2}} B. {1,2 } C. {1} D. {2}
参考答案： A
,则有( )

离散数学期末复习

一、填空20%（每空2分）：1．若对命题P 赋值1，Q 赋值0，则命题Q P ↔的真值为。

2．命题“如果你不看电影，那么我也不看电影”（P ：你看电影，Q ：我看电影）的符号化为3．公式))(()(S Q P Q P ⌝∧⌝∨∧∨⌝的对偶公式为4．图的对偶图为5．若关系R 是等价关系，则R 满足性质。

6．关系R 的传递闭包t (R) = 。

7．代数系统>*<,A 是群，则它满足8．设>⊗⊕<>∙+<,,,,B A 和是两代数系统，f 是从>⊗⊕<>∙+<,,,,B A 到的同态映射，则f 具有性质。

9．树T 的边数e 与点数v 有关系。

二、选择10%（每小题2分）：1．如果解释I 使公式A 为真，且使公式B A →也为真，则解释I 使公式B 为（）。

A 、真；B 、假；C 、可满足；D 、与解释I 无关。

2．设{}b a A ,=，则P （A ）×A = （）。

A 、A ；B 、P （A ）；C 、{}><><><><><><>Φ<>Φ<b A a A b b a b b a a a b a ,,,,},{,},{,},{,},{,,,, ；D 、{}><><><><><><>Φ<>Φ<A b A a b b b a a b a a b a ,,,,}{,,}{,,}{,,}{,,,,,。

3．设集合A ，B 是有穷集合，且n B m A ==,，则从A 到B 有（）个不同的双射函数。

A 、n ；B 、m ；C 、!n ；D 、!m 。

4．设K = {e , a , b , c}，>*<,K 是Klein 四元群，则元素a 的逆元为（）。

自考离散数学期末复习

1.5 最小联结词组与范式
主范式定义1.5.5 n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与
它的否定不能同时存在，但两者必须出现仅且出现一次。例如：2个命题变元P和Q，其大项为：
P˅Q, P˅¬Q, ¬P˅Q, ¬P˅¬Q 3个命题变元P，Q和R，其大项为： P˅Q˅R, P˅Q˅¬R, P˅¬Q˅R, P˅¬Q˅¬R, ¬P˅Q˅R, ¬P˅Q˅¬R, ¬P˅¬Q˅R, ¬P˅¬Q˅¬R
离散数学期末复习
1.1 命题概念
命题：具有唯一真值的陈述句
1.1 命题概念
练习：
1.下列句子为命题的是（ D ）
A.全体起立！
B. X=0
C. 我在说谎
D.张三生于1886年的春天
2.下列句子不是命题的是（ D ）
A.中华人民共和国的首都是北京 B.张三是学生
C.雪是黑色的
D.太好了！
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词（3）析取定义1.2.3 两个命题P, Q的析取是个复合命题，记作P∨Q。 ∨称作析取联结词，与自然语言中的“或”有些相似例4 王强是这次校运动会的跳高或100米短跑的冠军。
设P: 王强是这次校运动会的跳高冠军； Q:王强是这次校运动会的100米短跑的冠军。
所以本例可描述为： P∨Q
设P: 我有就学机会； Q:我必用功读书。
所以本例可描述为： P→Q
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词（4）条件 P→Q的真值
当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q 为F.其余情况，P∨Q为T
PQ TT TF FT FF
P→Q T F T T
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词（5）双条件定义1.2.6 给定两个命题P, Q，其复合命题P↔Q称作双条件命题，读作P当

离散数学期末复习

离散数学内容总结第一篇数理逻辑第1章命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例求的主析取范式及主合取范式。

例求(P→Q)R的主析取范式及主合取范式。

例求命题公式的主析取范式和主合取范式。

例求公式A=(pq)r的主析取范式与主合取范式。

例求的主析取范式。

判断公式类型例用等值演算法判断公式q (pq)的类型例判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。

(1)(2)证明例证明：例证明：例推证：Q∧(P→Q)P例前提：，结论：。

该结论是否有效？请说明原因。

在命题逻辑中构造下面推理的证明：例如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队获胜。

或者A队未获胜，或者A队成为联赛的第一名。

小张守第一垒。

A队没有成为联赛的第一名。

因此小李没有向B队投球。

例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。

根据以上事实，推断谁是盗窃犯。

（在命题逻辑中构造推理证明。

）例如果今天是周一，则要进行离散数学或C语言程序设计两门课中一门课的考试。

如果C语言程序设计课的老师有会，则不考C语言程序设计。

今天是周一，C语言程序设计课的老师有会，所以进行离散数学课的考试。

例若明天是星期一或星期三，我就有课。

若有课，今天必须备课。

我今天没备课。

所以，明天不是星期一和星期三。

例若明天是周一或周二，小华就要考试。

若要考试，今天必须复习。

小华今天没复习。

所以，明天不是周一和周二。

例如果A工作努力，B或C将生活愉快。

如果B生活愉快，那么A将不努力工作。

如果D愉快，则C将不愉快。

所以，如果A工作努力，D将不愉快。

第2章谓词逻辑求谓词公式的前束范式例求谓词公式的前束范式例求公式∀x F(x)∧∃x G(x)的前束范式。

《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结

《离散数学》方世昌的期末复习知识点总结1.集合论-集合的定义和运算：交、并、差、补、反转。

子集与真子集的概念。

-集合的基数：有限集、无限集、可数集、不可数集的定义与特性。

-集合的运算律：交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律。

-集合的等价关系：等价关系的定义和性质，等价关系的划分和等价类。

2.逻辑与命题关系-命题与命题符号：命题的定义、真值表和含有逻辑连接词的复合命题。

-命题逻辑：命题的蕴涵、等价、否定、充分条件和必要条件。

-谓词逻辑：命题的全称量词、存在量词及其关系。

-命题逻辑推理：假言推理、析取推理、拒取推理、类比推理等。

3.图论-图的基本概念与术语：顶点、边、邻接、路径、回路、连通、子图、生成树等。

-图的分类：无向图、有向图、简单图、多重图、完全图。

-图的矩阵表示：邻接矩阵、关联矩阵、度矩阵等。

-图的遍历算法：深度优先、广度优先。

-图的最短路径算法：迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法。

4.代数系统与半群-代数结构：代数系统的定义、代数公理、代数性质。

-半群：半群的定义与性质，封闭性、结合律和单位元。

-半群的子半群与同态：子半群的概念，同态映射的定义与性质。

-有限半群与无限半群：有限半群的定义和性质，无限半群的特点与例子。

5.数论与代数-整数与整数集合的性质：整数的除法原理、整除、公约数、最大公约数和最小公倍数。

-同余关系与同余类：同余关系的定义、同余类的性质、同余关系的基本定理。

-质数与素数：质数的定义、素数的性质、素数的判定方法。

-线性同余方程：线性同余方程的解法、同余方程的应用。

以上仅是《离散数学》中的部分重要知识点总结，该教材还包括很多其他内容，如排列组合、概率论、布尔代数等等。

期末复习时，建议从教材中选取一些重点章节进行深入学习和复习，同时要进行大量的习题训练，加深对知识点的理解和掌握。

祝你在期末考试中取得好成绩！。

离散数学期末复习题库

数理逻辑一、选择题。

1、下列选项中是原子命题的是（)A、霍金去世了。

B、霍金是物理学家，也是科普作家。

B、霍金的《时间简史》你看过吗？D、我看过《时间简史》，但没有看懂。

2、下列命题中，（）不是真命题。

A、海水是咸的当且仅当雪是白色的B、如果1+1=2，那么7+8＞16C、若太阳从西边落下，则2是奇数D、夏天冷当且仅当冬天热3、下列句子不是命题的是（）A.雪是黑色的。

B.江西师大是一座工厂。

C.好大的雪啊！D.若7+8＞16，则三角形有4条边。

4、下列句子是命题的是（）A.我正在说谎。

B.X < 0。

C.好大的雪啊！D.如果x大于3，则x2大于9。

5、下列句子是命题的是（）A.我正在说谎。

B.X < 0。

C.好大的雪啊！D.如果x大于3，则x2大于9。

6、下列联结词中不是完备的是（）A、{,,⌝∨∧} B、{,⌝∨} C、{,∨∧} D、{,⌝∧}7、下列选项中哪一个是复合命题？（)x>。

A、我不去看电影。

B、如果3x>，那么29C、我正在说谎。

D、把大象放进冰箱需要多少步？8、公式()P Q RP Q R=（）→⌝∨的成假解释是(,,)B、(,,)T F FT F T D、(,,) T T T B、(,,)T T F C、(,,)9、下列选项中是合式公式的是（)A 、3a b c ++=B 、P Q R <+C 、R Q P ∧⌝D 、R Q P ∧∨⌝10、下列公式不是永真公式的是（）C 、P P → B 、P P ↔ C 、 P P ∨⌝D 、P P ∧⌝ 11、下列公式 ( )为重言式．A ．⌝P ∧⌝Q ↔P ∨QB ．(Q →(P ∨Q)) ↔(⌝Q ∧(P ∨Q))C ．(P →(⌝Q →P))↔(⌝P →(P →Q))D ．(⌝P ∨(P ∧Q)) ↔Q12、设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A ．(∃x)(A(x)∧B(x))B ．(∀x)(A(x)∧B(x))C ．┐(∀x)(A(x) →B(x))D ．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))13、下列是真命题的有（）A 、；B 、；C 、；D 、。

(完整word版)离散数学复习提纲(完整版)

《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明)一、命题逻辑[复习知识点］1、命题与联结词(否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔）,复合命题2、命题公式与赋值(成真、成假）,真值表,公式类型（重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与（主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理［复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法.2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。

3、了解析取(合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取(合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取)范式的方法.4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。

5、掌握命题逻辑的推理理论。

[疑难解析］1、公式类型的判定判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。

具体方法有两种，一是真值表法,二是等值演算法。

2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。

关键有两点:一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律）,结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语(或子句）只保留一个.3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法）. 例1.试求下列公式的主析取范式:(1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真?恒假？可满足？（1)（PP ）Q （2)（P Q)Q （3）（（P Q)(Q R ））（P R) 解：（1）真值表 P QP P P （P P)Q 0 01 0 1 0 11 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0因此公式(1)为可满足.（2）真值表P Q P Q （P Q) （P Q）Q0 0 1 0 00 1 1 0 01 00 1 01 1 1 0 0因此公式（2）为恒假。

离散数学期末复习复习材料

证明R是X上的等价关系，
并求由该等价关系所产生的1的等价类[1]R和5的等价类[5]R。
证明：①.对aX，均有(a-a)/3=0z成立，即<a,a> R，所以，R是自反的。
②. 对a，b X如果 <a,b> R，则有(a-b)/3=kz成立，于是(b-a)/3=-kz成立，即<b,a> R，所以，R具有对称性。
二、典型题例讲解
例1 有向图G=<V,E>如下图所示，分别求: (1). G的邻接矩阵。 (2).利用邻接矩阵求G中到的长度为3的通路条数。
并写出v1到v4的长度为3的路径。
谢谢大家！！
5) 逆关系 ✓ 定义
6) A上关系的性质 ✓ 自反、反自反、对称、反对称、传递性 ✓ 如何从关系图和关系矩阵来判别。
7) 关系的闭包 ✓ 自反闭包r(R)、对称闭包s(R) 、传递闭包 t(R) ✓ 关系闭包的性质与应用
8) 等价关系 ✓ 概念：判断及证明。典型例子：同余关系 ✓ 等价类与性质 ✓ 划分，划分与等价关系的转换
⑦ P(c)┑Q(c)
T，⑥，UI
⑧ ┑P(c)
T，⑤⑦，拒取式
⑨ x┒P(x)
T，⑧，EG
故，原推证成立，证毕。
第三部分集合
期末复习
一、本章主要内容 1) 集合及其运算
a) 集合与元素 b) 集合之间的关系：包含与相等 c) 特殊集合：空集、全集、幂集 d) 集合的运算：并、交、差、补、对称差 e) 基本集合恒等式：与谓词逻辑基本恒等式类
3) 谓词逻辑的等值演算 a. 谓词逻辑的基本等值式 b) 谓词逻辑等值演算的换名规则 c) 谓词逻辑的前束范式
4) 谓词逻辑的推理理论 a) 推理的形式结构

离散数学期末复习题

离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集．（错）（2）{}φ是空集．（错）（3）{}{}a a a },{∈ （对）（4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对）（5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉．（错）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则（对）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （错）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系．（对）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律．（错）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA = （错）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （错）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集（ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有（ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是（ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是（ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A ⨯为（ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A 的恒等关系为（ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为（ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为（ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足（ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρ .~1~2ρρ7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是．ρρρ⊆8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><b a ,|><b a ,A b a B A ∈⨯∈,且∩}=21,ρρ 则B ___________________. 填 }2,2,0,2,2,0,0,0{><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。

离散数学期末考试最新复习题最新资料

离散复习一一、数理逻辑要点1：命题公式和真值表小项和大项、主析取范式和主合取范式永真式和推理证明1. n 个命题变元，共可组成个命题公式（wff ）；可组成个真值结果不同的命题公式；可组成个主析取范式、个主合取范式、个主异或范式、个主等值范式。

2. 因子项P Q R ∧⌝∧是简单取式，若原公式中仅此三个变元，则将其称为项；其角标表示为；对应角标的大项用公式表示出来是。

3.对任一指派，为什么mi 和mj 不能同时为真？为什么Mi 和Mj 不能同时为假？这里i ≠j 。

4.P Q P Q ⌝∨⌝→↔⌝求公式（）（）的主析取和主合取范式。

5.,A B A C B C,A B A B A B A C B C ∨⇔∨⇔∧⇔∧⇔⌝⇔⌝⇔如果是否有？若是否有？如果，是否有？6.张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三、李四都在说谎，问张三、李四、王五3个人到底谁在说真话，谁说假话。

7.用推理规则论证下述问题：我或者去北京，或者去广州。

如果去北京，就去长城。

去了长城，就不能参加运动会。

所以，如果我参加了运动会，那么我去了广州。

要点2：量化断言和命题的关系量词辖域、自由变元和约束变元谓词永真式、推理规则及推理证明1. 设D={0,1}，P(0,0)=0，P(0,1)=1，P(1,0)=0；P(1,1)=1，则公式 (∀x)(∃y)P(x, y)可量化为，且可得该公式的真值结果为；(∃x) (∀y) P(x, y)可量化为，可得该公式的真值结果为。

2.∀∧∃⌝证明公式xP(x)y P(y)是永假式。

3. xQ ∧∀⇒∃∧证明P(x)(x)x(P(x)Q(x))。

4. 符号化下列命题，并推证其结论：任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或者喜欢汽车，或者喜欢骑自行车。

有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。

二、集合论（集合、二元关系、函数）要点：集合与其子集、空集合和全集、集合运算集合与关系、关系运算二元关系图、哈斯图、偏序关系等价关系、等价类、划分如何定义一个函数特殊函数类、置换函数1. 运算{φ, {φ}}-{φ}的值为。

(完整word版)离散数学-期末复习题及答案

课程名称:《离散数学》一、单项选择题1、 (D)。

下列句子是命题的为。

A 、这朵花多好看呀！B 、明天下午有会吗？C 、5y x >+D 、地球外的星球上也有人。

2、 (A)。

李平不是不聪明，而是不用功。

p:李平聪明q:李平用功。

符号化为。

A 、 q )p (⌝⌝⌝∧ B 、 q p ⌝⌝∧ C 、 q )p (∧⌝⌝ D 、q )p (⌝⌝⌝∨ 3、 (A)。

与)q p (∨⌝命题公式等值的是。

A 、q p ⌝⌝∧ B 、q p ⌝⌝∨ C 、q p ∧ D 、q)(p ∧⌝4、 (D)。

含有3个命题变项的简单和取式中一定可形成种不同的极小项。

A 、2 B 、4 C 、6 D 、85、 (C)。

q )q p (∧→⌝此公式的类型为。

A 、重言式B 、永真式C 、矛盾式D 、可满足式 6、 (C)。

q )q )q p ((→∧→此公式的类型为。

A 、矛盾式B 、可满足式C 、重言式D 、永假式7、 (A)。

设A 是含有3个命题变项的公式,若它的主析取范式中含有8个极小项,则它是。

A 、重言式B 、矛盾式C 、可满足式D 、永假式8、 (B)。

只有天下大雨,他才乘公共汽车上班.p:天下大雨q:他乘车上班,符号化为。

A 、q p → B 、p q → C 、q p →⌝D 、p q →⌝9、 (B)。

不经一事,不长一智p:经一事q:长一智,符号化为。

A 、p q →B 、q p ⌝⌝→C 、p q ⌝⌝→ D 、q p → 10、 (B)。

R Q P →∧⌝)(成真赋值为。

A 、 000,001,110B 、 001,011,101,110,111C 、全体赋值D 、无11、 (B)。

公式Q P →的主析取范式为)3,1,0(∑，则公式的主合取范式为。

A 、)2(TB 、)2(∏C 、)3,1,0(∏D 、)3,2,1,0(∏12、 (A)。

R Q P →∧⌝成假赋值为。

离散数学期末复习题

离散数学期末复习题一、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1)(1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。

3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)(6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀(3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃(3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃10、下列推导错在⑶①)(y x y x >∃∀ P②)(y z y >∃US ① ③)(z C z > ES ②④)(x x x >∀ UG ③⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ∀∃ P②),(y z yF ∃US ① ③),(c z FES ② ④),(c x xF ∀ UG ③⑤),(y x xF y ∀∃ EG ④⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨(3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨二、填充题1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种。

《离散数学》期末复习

《离散数学》期末复习第一篇：《离散数学》期末复习《离散数学》期末复习内容：第一章~第七章题型：一、选择题（20%，每题2分）二．填空题（20%，每题2分）三、计算题（20%，每题5分）四、证明题（20%，每题5分）五、判断题（20%，每题2分）第1章数学语言与证明方法1.1 常用的数学符号1.计算常用的数学符号式子 1.2 集合及其表示法1.用列举法和描述法表示集合2.判断元素与集合的关系(属于和不属于)3.判断集合之间的包含与相等关系，空集(E)，全集(∅)4.计算集合的幂集5.求集合的运算：并、交、相对补、对称差、绝对补6.用文氏图表示集合的运算7.证明集合包含或相等方法一：根据定义, 通过逻辑等值演算证明方法二：利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明1.3 证明方法概述1、用如下各式方法对命题进行证明。

π直接证明法：A→B为真π间接证明法：“A→B为真” ⇔“ ¬B→¬A为真” π归谬法(反证法)： A∧¬B→0为真π穷举法： A1→B, A2→B,…, Ak→B 均为真π构造证明法：在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体B π空证明法：“A恒为假” ⇒“A→B为真” π平凡证明法：“B恒为真” ⇒“A→B为真” π数学归纳法：第2章命题逻辑2.1 命题逻辑基本概念1、判断句子是否为命题、将命题符号化、求命题的真值（0或1）。

命题的定义和联结词(¬, ∧, ∨, →, ↔)2、判断命题公式的类型赋值或解释.成真赋值,成假赋值；重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可满足式:。

2.2 命题逻辑等值演算1、用真值表判断两个命题公式是否等值2、用等值演算证明两个命题公式是否等值3、证明联结词集合是否为联结词完备集 2.3 范式1、求命题公式的析取范式与合取范式2、求命题公式的主析取范式与主合取范式（两种主范式的转换）3、应用主析取范式分析和解决实际问题 2.4 命题逻辑推理理论1、用直接法、附加前提、归谬法、归结证明法等推理规则证明推理有效第3章一阶逻辑3.1 一阶逻辑基本概念1、用谓词公式符号命题（正确使用量词）2、求谓词公式的真值、判断谓词公式的类型 3.2 一阶逻辑等值演算1、证明谓词公式的等值式2、求谓词公式的前束范式第4章关系4.1 关系的定义及其表示1、计算有序对、笛卡儿积2、计算给定关系的集合3、用关系图和关系矩阵表示关系 4.2 关系的运算1、计算关系的定义域、关系的值域2、计算关系的逆关系、复合关系和幂关系3、证明关系运算满足的式子 4.3 关系的性质1、判断关系是否为自反、反自反、对称、反对称、传递的2、判断关系运算与性质的关系3、计算关系自反闭包、对称闭包和传递闭包 4.4 等价关系与偏序关系1、判断关系是否为等价关系2、计算等价关系的等价类和商集3、计算集合的划分4、判断关系是否为偏序关系5、画出偏序集的哈期图6、求偏序集的最大元、最小元、极小元、极大元、上界、下界、上确界、下确界7、求偏序集的拓扑排序第5章函数1.判断关系是否为函数2.求函数的像和完全原像3.判断函数是否为满射、单射、双射4.构建集合之间的双射函数5.求复合函数6.判断函数的满射、单射、双射的性质与函数复合运算之间的关系7.判断函数的反函数是否存在，若存在求反函数第6章图1.指出无向图的阶数、边数、各顶点的度数、最大度、最小度2.指出有向图的阶数、边数、各顶点的出度和入度、最大出度、最大入度、最小出度最小入出度3.根据握手定理顶点数、边数等4.指出图的平行边、环、弧立点、悬挂顶点和悬挂边5.判断给定的度数列能否构成无向图6.判断图是否为简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图7.求给定图的补图、生成子图、导出子图8.判断两个图是否同构6.2 图的连通性1.求图中给定顶点通路、回路的距离2.计算无向图的连通度、点割集、割点、边割集、割边3.判断有向图的类型：强连通图、单向连通图、弱连通图 6.3 图的矩阵表示1.计算无向图的关联矩阵2.计算有向无环图的关联矩阵3.计算有向图的邻接矩阵4.计算有向图的可达矩阵5.计算图的给定长度的通路数、回路数6.4 几种特殊的图1、判断无向图是否为二部图、欧拉图、哈密顿图第7章树及其应用 7.1 无向树1.判断一个无向图是否为树2.计算无向树的树叶、树枝、顶点数、顶点度数之间的关系3.给定无向树的度数列，画出非同构的无向树4.求生成树对应的基本回路系统和基本割集系统5.求最小生成树 7.2 根树及其应用1.判断一个有向图是否为根树2.求根树的树根、树叶、内点、树高3.求最优树4.判断一个符号串集合是否为前缀码5.求最佳前缀码6.用三种方法遍历根树第二篇：离散数学期末复习试题及答案(二)第二章二元关系1.设A={1,2,3,4},A上二元关系R={(a,b)|a=b+2}，S={(x,y)|y=x+1 or y=x2} 求R⋅S,S⋅R,S⋅R⋅S,S2,S3,S⋅Rc。

离散数学期末考试复习资料

《离散数学》课程综合复习资料一、判断题1．R1，R2是集合A上的二元关系，若R1和R2都是反自反的，则R1R2也是反自反的。

答案：√2．对任意集合A，A。

答案：×3．设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，则<B,*>必定是<G,*>的子群。

答案：×4．A、B、C为任意集合，已知A⋂B=A⋂C，必须有B=C。

答案：×5．对于任意一个集合A，空集。

答案：√6．设E为全集，对任意集合A，A。

答案：×7．设A、B为任意两个集合，A答案：×8．R是集合A上的二元关系，若R是自反的，则R c也是自反的。

答案：√9．对于任意一个集合A，空集。

答案：×图是平面图。

10．K3,3答案：×11．“你去图书馆吗？”是一个命题。

答案：×12．如果有限集合A有n个元素，则其幂集p(A)有2n个元素。

答案：×13．群中可以有零元。

14．集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系。

答案：√15．含有幺元的半群为独异点。

答案：√二、基本题1．将下列命题符号化：（1）只要不下雨，他就骑自行车上班。

（2）他或者骑自行车上班，或者乘公共汽车上班。

（3）有些大学生运动员是国家选手。

答案：（1）（⌝P→ Q）（2）（Q ∇ R 或 (Q∧⌝R)∨(⌝Q∧R)）（3）（(∃x)(P(x)∧Q(x))）2．求命题公式P∧(P→Q)的主析取范式。

答案：原式⇔P∧(⌝P∨Q)⇔(P∧⌝P) ∨ (P∧Q)⇔T∨ (P∧Q)⇔P∧Q3．求⌝(P→Q)的主合取范式。

答案：原式⇔⌝(⌝P∨Q)⇔⌝(⌝P∨Q)⇔P∧⌝Q⇔(P∨(⌝Q ∧Q))∧(⌝Q∨(⌝P∧P))⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)∧(P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q)4．设A={3,4}，试构成集合P(A)⨯A。

离散数学复习要点

《离散数学》期末考试复习要点（长期有效）第一章命题逻辑1-1 ：命题、原子命题、复合命题、命题常量、命题变元1-2 ：联结词否定、和取、析取、条件、双条件1-1,1-2习题（1）（3）（5）（6）1-3：翻译例题3---例题61-3 习题（1）（5）(7)1-4: 真值表，等价公式例题1—例题61-4 习题（1）1-5 所有知识，表1-5.21-5 习题（1）（6）（7）1-7：合取范式、吸取范式、小项、大项及其性质、主析取范式及其简洁式、主合取范式及其简洁式、命题公式的成真赋值例题6---例题111-7习题（4）1-8：论证过程三种方法--真值表法、直接证法、间接证法例题1（p42）例题2—例题6 表1-8.3和表1—8.41-8 习题（1）（3）（4）（5）第二章谓词逻辑2-1 ：所有知识2-2：所有知识2-1,2-2习题（1）（2）2-3 例题1—例题42-3 习题（4）2-4 所有知识2-4 习题（2）（3）2-5 所有知识2-5 习题（1）（2）2-6 所有知识例题1，例题22-7 全称指定、全称推广、存在指定、存在推广。

例题1—例题32-7 习题（1）a）b）（2）a)（3）第三章集合与关系3-1 所有知识3-1 习题（4）（6）（7）（9）3-2 所有知识3-2 习题（3）（6）3-4 序偶、定理3-4.1例题13-4 习题（1）（2）（3）d）e）3-5 关系的定义，空关系，全域关系，恒等关系，关系矩阵，关系图。

例题1-例题63-5 习题（1）（2）（7）3-6 所有知识例题1—例题53-6 习题（1）3-7 复合关系，逆关系，例题1—例题43-7 习题（1）3-8 关系的闭包的定义，会求三个闭包。

例题1—例题33-8 习题（1）（2）3-9 集合的划分和覆盖的定义3-9 习题（1）3-10 等价关系的定义，等价类的概念。

商集的概念。

例题1—例题3。

3-10 习题（2）（3）3-11 相容关系的概念，相容类，最大相容类。

离散数学期末复习

离散数学期末复习一、选择题1、以下各选项错误的选项是A、∅⊆∅B、∅⊂∅C、∅∈{ ∅}D、∅⊆{∅ }2、命题公式 (p∧q) →p 是A、矛盾式B、重言式C、可满足式D、等值式3、如果是R是A上的偏序关系，R-1是R的逆关系，那么R∪R-1是A、等价关系B、偏序关系C、全序关系D、都不是4、以下句子中那个是假命题？A、是无理数.B、2 + 5 ＝8.C、x + 5 ＞ 3D、请不要讲话！5、以下各选项错误的选项是？A、∅⊆∅B、∅⊆{∅ }C、∅∈{ ∅}D、{∅ } ⊆∅6、命题公式 p→〔p∨q∨r〕是？A、重言式B、矛盾式C、可满足式D、等值式7、函数f : N→N, f(x)=x+5,函数f是A、单射B、满射C、双射D、都不是8、设D=<V,E>,那么V={a,b,c,d,e,f},R={<a,b> ,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>},有向图D为A、强连通B、单向连通C、弱连通D、不连通的9、关系R1和R2具有反自反性，下面运算后，不能保持自反性的是A、R1⋃R2B、R1-1C、R1︒R2D、R1-R210、连通平面图G有4个结点，3个面，那么G有〔〕条边。

A、7B、6C、5D、4二、填空题1、将下面命题符号化。

设p:天冷，q:小王穿羽绒服。

只要天冷，小王就穿羽绒服.符号化为2、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。

因为天冷，所以小王穿羽绒服.符号化为3、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。

假设小王不穿羽绒服，那么天不冷.符号化为4、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。

只有天冷，小王才穿羽绒服.符号化为5、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。

除非天冷，小王才穿羽绒服.符号化为6、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。

除非小王穿羽绒服，否那么天不冷.符号化为7、将下面命题符号化，设p:天冷，q:小王穿羽绒服。

离散数学期末复习

离散数学期末复习离散数学期末复习第⼀部分数理逻辑⼀、知识体系包括命题逻辑（第⼀章～第三章）和谓词逻辑（第四章、第五章），主要内容如下：(⼀) 命题逻辑1．命题、命题联结词、命题如何符号化2．命题变元、命题公式、命题公式的真值指派3．永真公式、永假公式和可满⾜公式判别⽅法：(1)真值表⽅法(2)等值演算⽅法A?）的含义及其判别4．两命题公式等值（B判别⽅法：A?是否永真(1)⽤真值表判别B(2)命题的等值演算A?）的含义及其判别5．公式A蕴含公式B（B判别⽅法：A→是否永真(1)⽤真值表判别BA→是否等值于1(2)⽤“等值演算”的⽅法判B(3)假设前件A为真，证明后件B为真(4)假设后件B为假，证明前件A为假6．范式的求取7．推理的形式证明⽅法（P规则、T规则、CP规则、基本等值式、基本蕴含式）(⼆) 第⼆章谓词逻辑1．基本述语个体、谓词、量词；命题函数，个体域，全总个体域，特性谓词。

2．谓词公式的有关概念谓词公式；量词的辖域，约束变元，⾃由变元；谓词公式，谓词公式的指派；永真公式，永假公式，可满⾜公式。

3．谓词公式间的关系谓词公式间的等值关系（A?B）；谓词公式间的蕴含关系（A?B）；⼀些基本的等值式；⼀些基本的蕴含式。

4．谓词演算的推理规则及⽅法在谓词演算中，命题演算的推理理论仍然成⽴，另外还⽤到与量词有关的推理规则。

全称特定化规则（US）；存在特定化规则（ES）；全称⼀般化规则（UG）；存在⼀般化规则（EG）。

主要内容的知识结构如下：⼆、模拟题 1．⽤P 表⽰：天下⼤⾬；Q 表⽰：他乘公共汽车上班。

将“如果天下⼤⾬，他就乘公共汽车上班。

”符号化正确的是（）。

A ．P →QB ．Q →PC ．P ∧QD ．P ∨Q2．下列语句中，不是命题的有（）。

A ．5能被2整除。

B ．太阳系以外的星球上有⽣物。

C ．现在开会吗？D ．⼩李在宿舍⾥。

3．下列语句为命题的是（）。

Ａ．暮春三⽉，江南草长。

Ｂ．这是多么可爱的风景啊！Ｃ．⼤家想做什么，就做什么，⾏吗？Ｄ．请勿践踏草坪！4．设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有⼀个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )A ．))()((x G x C x ?∧??B ．))()((x G xC x ?→??C ．))()((x G x C x ?→??D ．))()((x G x C x ?∧??5．求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表6．证明下列各式：1）)()()),()((a Q x xp a Q x p x ∧??2）Q R P Q R Q P →∨?→∧→)()()(7．⽤形式演绎法证明：1）Q S ?→是Q P ?∨?，R P →?，S R ?→的有效结论。

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