线性代数复习要点

1 j
a1n A1n ，
M1 j ( j 1, 2,
, n) ，其中 M1 j 称为 a1 j 的余子式， A1 j 称为 a1 j 的代数余子式． A (a1 j1 a2 j2 anjn ) ，
矩阵 A [aij ] 的行列式 A 的完全展开式为
它是 n ! 项的代数和，每一项都是不同行不同列的 n 个元的乘积． 二、行列式的性质 1、行列式按行（列）展开法则
Vn
四、伴随矩阵的性质 1、 Α A AA A E ． 2、当 A 可逆时，有 Α 3、 A A

n 1
1 j i n

( xi x j ) ．
1

1 1 A ， Α A A1 ， ( A1 ) ( Α ) 1 A． A A
, αm 线性表示；
, αm 唯一线性表示当且仅当 αm ] rank[α1 α2 α m b] m ． , km ，使得 , αm
rank[α1 α2
, αm ，若存在一组不全为零的数 k1 , k2 , k1 α1 k2 α2 k m αm 0 ，
, αm 线性相关， 否则称向量组 α1 , α2 , km 0 ．
1
0 ． B 1
1、矩阵的初等变换都是可逆的，且其逆变换也同一种类的初等变换． 2、有限次初等行变换可以把矩阵化为阶梯矩阵或者最简阶梯矩阵． 3、任何矩阵总可以经过有限次初等变换化为等价标准形． 4、对矩阵 Amn 进行一次某种初等行（或列）变换，相当于用同种 m 阶初等矩阵左乘（或 n 阶初 等矩阵右乘）矩阵 A ． 5、矩阵 A 可逆当且仅当 A 可以只经有限次初等行变换或者只经有限次初等列变换化为单位矩阵． 6、矩阵 A 可逆当且仅当 A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积． 7、矩阵 A 的等价标准形中 1 的个数称为 A 的秩，它等于 A 的非零子式的最高阶数．
rankA rankB n rank(AB) min{rankA, rankB} ；
特别地，当 Amn Bns 0 时, 有 rankA rankB n ； (9) 对于实矩阵 A ，有 rank( A A) rank( AA ) rankA ．

第 2 章 行列式
1 * * 1 * T T *
4、 ( A ) ( A ) , ( A ) ( A ) , ( A ) ( A ) ．
T 1
AT A 5、 B
பைடு நூலகம்
T
， T B B
1
A T A
T
BT ；
A1 A 当 A, B 可逆时，有 B
线性代数复习要点
第 1 章 矩阵
一、特殊矩阵 方阵，同型矩阵，行矩阵（或行向量） ，列矩阵（或列向量） ，零矩阵 0 ； 基本矩阵 E ij ，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵 E ，三角矩阵； 对称矩阵，反对称矩阵，矩阵 A 与 B 可交换； 矩阵的幂，矩阵的多项式； 行满秩矩阵，列满秩矩阵，满秩矩阵（可逆矩阵） ，降秩矩阵，非奇异矩阵，奇异矩阵； 阶梯矩阵，最简阶梯矩阵，等价标准形； 矩阵的等价，初等矩阵； 分块矩阵，分块对角矩阵，分块三角矩阵． 二、矩阵的运算性质 1、 ( A ) A, ( AB) B A , (kA) kA , ( A B ) A B ．
2
2、初等变换的性质 (1) 对调变换使得行列式的值反号； (2) 倍乘变换只是放大或缩小行列式的值； (3) 倍加变换不改变行列式的值． 3、加法原理：若行列式的某一行（或列）的元都是两数之和，则此行列式等于两个行列式的和． 4、乘积法则：对任何 n 阶矩阵 A 和 B ，均有 | AB | | Α | | B | ． 5、转置运算不改变行列式的值． 三、行列式的计算 1、典型方法：三角化方法、降阶法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法． 2、设 A 为 n 阶矩阵， k 为任意数，则 kA k A ．
(5) rank
A 0 0 rankA rankB ， rank 0 B B
A rankA rankB ； 0
(6) max{rankA, rankB} rank[A B] rankA rankB ； (7) rankA rankB rank(A B) rankA rankB ； (8) Sylvester 不等式：设 A 为 m n 矩阵， B 为 n s 矩阵，则
第 4 章 向量
一、n 维向量的线性运算规律 矩阵的线性运算也适合于向量，且向量的加法与数乘也满足矩阵的线性运算的八条运算规律． 二、向量组的线性表示 1、给定向量 β 和向量组 α1 , α2 , 则称 β 可由向量组 α1 , α2 ,
, αm ，若存在一组数 k1 , k2 , β k1α1 k2 α2 k m αm ，
n
| Amn x 0} ，则 N ( A) 是
n
的向量子空间， dim N ( A) n r ．
4、非齐次线性方程组的解对向量加法和数乘是不封闭的． 5、非齐次线性方程组 Ax b 的任意两解之差是其导出方程组 Ax 0 的解． 6、非齐次线性方程组的通解等于它的一个特解与导出方程组的通解之和．
αm ] ，则下列三个命题等价：
, αm 线性无关；
(2) 齐次线性方程组 Ax 0 只有零解； (3) rankA m ，即 A 的秩等于向量组所含向量的个数 m ． 4、一个向量 α 线性相关当且仅当 α 0 ． 向量组 α1 , α2 线性相关当且仅当 α1 , α2 对应分量成比例． 5、 向量 β 可由向量组 α1 , α2 , 性无关、而向量组 α1 , α2 , 6、 n 维基本向量组 e1 , e2 , 7、对于 n 维向量组 α1 , α2 , 则该向量组线性相关． 9、若一个向量组线性无关，则它的升维组也线性无关；若一个向量组线性相关，则它的降维组也 线性相关． 10、向量组 α1 , α2 , 向量线性表示． 向量组 α1 , α2 , 量线性表示． 11、 矩阵的初等行变换不改变列向量之间的线性相关性和线性组合关系； 矩阵的初等列变换不改变 行向量之间的线性相关性和线性组合关系． 四、等价向量组 1 、若向量组 (Ⅱ) 中每个向量都可由向量组 ( Ⅰ ) 线性表示，则称向量组 (Ⅱ) 可由向量组 ( Ⅰ ) 线性表 示．若向量组 ( Ⅰ ) 和向量组 (Ⅱ) 能相互线性表示，则称向量组 ( Ⅰ ) 与向量组 (Ⅱ) 等价． 向量组的等价具有自反性、对称性和传递性．
三、分块矩阵的求逆公式 当 A, B 可逆时，有
， 1 B B
A 1 A
1
B 1 ．
A 1 A C 0 B 0
四、重要结论
1
A1 A1CB 1 A 0 ， 1 1 B 1 C B B CA
, km ，使得 , αm 的线性组合． αm ] ，则下列三个命题等价：
, αm 线性表示，或称 β 为向量组 α1 , α2 , , αm 和 n 维向量 b ， A [α1 α2
4
2、设有 n 维向量组 α1 , α2 ,
(1) 向量 b 可由向量组 α1 , α2 , (2) 线性方程组 Ax b 有解； (3) rankA rank[A b] ． 3、向量 b 可由向量组 α1 , α2 , 三、向量组的线性相关性 1、给定向量组 α1 , α2 , 则称向量组 α1 , α2 ,
, αm 线性无关． 也就是说， 若 α1 , α2 ,
线性无关，则上式成立当且仅当 k1 k2 2、设矩阵 A [α1 α2 (1) 向量组 α1 , α2 ,
αm ] ，则下列三个命题等价：
, αm 线性相关；
(2) 齐次线性方程组 Ax 0 有非零解； (3) rankA m ，即 A 的秩小于向量组所含向量的个数 m ． 3、设矩阵 A [α1 α2 (1) 向量组 α1 , α2 ,
x1
其中 A j ( j 1, 2,
A A1 A ， x2 2 ， ， xn n ， A A A
, n) 是用常数项向量 b 替代 A 中的第 j 列得到的行列式．
．
(2) n n 齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是系数行列式 | A | 五、线性方程组解的结构 1、齐次线性方程组的解对向量加法和数乘是封闭的． 2、齐次线性方程组 Ax 0 的每个基础解系都含 n rankA 个解向量． 3、记 N ( A) { x
n
3、设 A 为方阵，则 | A | | A | ．
k k
4、设 A 为可逆矩阵，则 | A | | A | ． 5、设 A 为方阵，则 | A | 0 当且仅当 A 的全部特征值不为 0． 6、分块对角矩阵和分块三角矩阵的行列式：
1
1
diag( A1 , A2 ,
, As ) A1 A2

| A|

．
7、当 A, B 可逆时，有
( AB) B A ，
A | B | A* ， B | A | B* Bn
*
Am | A | B* mn ． (1) * | B | A
*
3
第 3 章 线性方程组
1
8、初等变换不改变矩阵的秩． 9、矩阵秩的关系式 (1) rankAT rankA ； (2) rank(kA) rankA (k 0) ； (3) rankA min{m, n} ； (4) 设 P , Q 是可逆矩阵，则
rank( PA) rank( AQ) rank( PAQ) rankA ；
一、线性方程组的基本概念
m n 线性方程组，解集，同解方程组；
方程组相容（有解） 、不相容（矛盾或无解） 、有唯一解，特解，通解（一般解） ； 系数矩阵，未知量向量，常数项向量，增广矩阵，矩阵方程． 二、消元法 对增广矩阵进行初等行变换的过程：先化为阶梯矩阵（消元） ，再化为最简阶梯矩阵（回代） ． 三、线性方程组解的判别准则 对于 n 元线性方程组 Ax b ， (1) 无解的充分必要条件是 rankA rank[ A b] ； (2) 有唯一解的充分必要条件是 rank[ A b] rankA n ； (3) 有无限多解的充分必要条件是 rank[ A b] rankA n ． 四、克莱姆(Cramer)法则 (1) 如果 n n 线性方程组 Ax b 的系数行列式 | A | 0 ，则方程组有唯一的解
一、行列式的概念
n 阶行列式 A 或 det A 是 n 阶矩阵 A [aij ] 按下述运算法则得到的一个算式： 当 n 1 时， A a11 a11 ； 当 n 2 时，
A a11 A11 a12 A12
这里 A1 j (1)
n 1
， (kA) k

A ， ( A ) | A |n 2 A ， ( A )T ( AT ) ．
n, rank A n, 4、 rank A 1, rank A n 1, 0, rank A n 1.
5、 A 为可逆矩阵的充要条件是 A 0 ． 6、若 A 可逆，且 为 A 的特征值，则 A 有一个特征值为
As ；
A C
0 B
| A|| B |，
A D 0 B
| A || B |，
0 Bn
Am 0
i 1
(1)mn | Am | | Bn | ．
7、设 n 2 ，n 阶 Vandermonde 行列式 Vn 的 (i, j ) 元为 x j (i, j 1, 2,
, n) ，且
n
a
k 1 n k 1
ik
Ajk ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 Akj a1i A1 j a2i A2 j
ain Ajn | Α | ij ， ani Anj | Α | ij ，
a
其中 Kronecker 符号 ij
ki
0, i j, 1, i j.
T T T T T T T T T T
2、 ( A )
* *
1 1
A, ( AB) 1 B 1 A1 , (kA) 1
n2
3、 ( A ) | A |
1 T
1 1 A , ( A B) 1 A1 B 1 ． k A, ( AB)* B* A* , ( kA)* k n 1 A* , ( A B)* A* B* ．