《数学概率论》PPT课件

例4 设二维随机变量具有概率密度 2e ( 2 x y ) , x 0, y 0, f ( x, y ) 其 它. 0, 求 (１)分布函数F(x,y)；（２）P{XY} 解
y (x,y)
O
x
概念的推广：
设E是一随机试验，S是其样本空间，X1,X2,...Xn是定 义S在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn )为定 义在S上的n维随机向量或n维随机变量． 对个任意实数x1,x2,…xn ，令



f ( x, y )dxdy 1,
4 P{(X, Y) G }
f ( x, y )dxdy, G是 一 平 面 区 域 。
G
例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
Cxy, 0 x y 1, f ( x, y ) 其它. 0,
x , y
其中 1 , 2 , 1 , 2 , 是常数，且 1 0, 2 0, 1 ，则 称(X,Y)服从参数为的，记为
( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 , )
2
2
二维正态分布图
当x y<1, 0 x<1 时，
F ( x, y ) du 8uvdv
0 u x y
x
y
v
1 (x,y)
(x,y) (x,y)
(x,y)
v=u
(x,y)
0
1 (x,y)
u
2x2 y2 x4
当x >y, 0 y < 1时， F ( x, y ) dv 8uvdu y 4 0 0 x 1 当y 1, 0 x <1时， F ( x, y ) du 8uvdv 2 x 2 x 4 0 u 当 x 1, y 1 时， F ( x , y ) 1
二维正态分布剖面图
例３ 设 ( X , Y ) ~
2 2 N ( 1 , 2 , 1 , 2 , ) ,
( x 1 ) 2
2 2 1
求(X,Y)的边缘概率密度.
解
f X ( x)
1 2 1

e

, x
fY ( y)
1 2 2
( y 2 )2
F ( x, y)

2

x
y

f ( u, v )dudv
则称(X,Y)为二维连续型随机变量， f (x,y)称为(X,Y)的概率密度， 或称为X和Y的联合概率密度．
性 质
1 f ( x, y) 0,

2 F( x , y ) 3 f ( x, y) , 在f ( x , y )的 连 续 点 . x y
(1) 确定常数C; (2) 求概率P{X+Y 1}; (3)求F(x,y)． 解 (1) D {( x , y ) 0 x y , 0 y 1}
y
1 P{ f (Y x, y )1 dxdy (2) X }
f (fx(,x y,)dxdy y )dxdy
定义1 设(X,Y)为二维随机变量，其分布函为F(x,y)
F X { x } P{ X x }
(X,Y)关于X的边缘分布函数 (X,Y)关于Y的边缘分布函数
FY ( y ) P{Y y }
[注] 边缘分布函数可以由X与Y的联合分布函F(x,y)唯 一确定:
FX ( x ) F ( x, ) FY ( y ) F ( ,y)
2 2, f ( x , y ) r 0,

( x, y) G, 其 它.
-r o
r
f X ( x ) f ( x, y )dy
r 2 x2 2 dy, 0 2 r 0,
x r
x
r x r, qita.
2 2 r 2 x2 , x r r qita 0,
f X ( x)



f ( x, y )dy,
x
同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y )



f ( x, y )dx,
y
分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度．
二维常见分布
均匀分布：设 G为一面积为 A平面有界区域，若
i 1

i
1,
p
i 1
来自百度文库
j
1.
离散型随机变量的边缘分布律列表 X Y
y1
y2 y j
p i
p 1 p 2 p i
1
例1
x1 x2 xi
p11 p 21 p i1
p11 p1 j p 22 p 2 j p i 2 p ij
(X,Y)具有概率密度
1 , f ( x, y) A 0,
( x, y) G, 其它.
则称(X,Y)在域G上服从均匀分布． 例2 设(X,Y)在域 G: x2+y2 r2, y0上服从均匀 分布，求其边缘概率密度.
例2 设(X,Y)在域 G: x2+y2 r2, y0 上服从均匀分布， 求其边缘概率密度． y 解
对任意固定的y, 当x2 >x1时,有F(x2, y) F(x1 ,y);
对任意固定的x ,当y2 > y1时,有F(x, y2) F(x ,y1). 2) 0 F(x,y) 1,且 F(-, y)=0, F(x, -)=0, F(-,-)=0, F(+,+)=1 . 3) F(x,y)关于 x右连续, 关于 y右连续, 4) 对于任意x1 <x2 , y1 < y2 ,有 F(x2, y2)-F(x2, y1)+ F(x1,y1)-F(x1,y2)0
F( x1 , x 2 , , x n ) P{X 1 x1 , X 2 x 2 , X n x n }
称为n维随机变量(X1,X2,...Xn )的分布函数．
类似可以定义离散型及连续型n维随机变量的分布 律及概率密度，它们都具有类似于二维时的性质．
§2
一、 边缘分布函数
边缘分布
P{ X i,Y j } P{ X i } P{Y j|X i }
Y X 0 1 0 15 28 6 28 1 6 28 1 28
二维连续型随机变量
定义4 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y), 若存在一个
非负函数f (x, y)，使得对任意x, y ，有
例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值, 另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求 (X,Y)的分布律. 解: X=i, i=1,2,3,4, Y=j, ji.
11 P{ X i , Y j } P{Y j X i }P{ X i } ( i 1,2,3,4, i4 Y j i)
二维离散型随机变量:
(X,Y)的所有可能取值是可列队或可列无限多队.
二维离散(X,Y)的分布律(联合分布律):
(X,Y)的所有可能取值(xi , yj ), i, j=1, 2…,
P{ X xi ,Y y j } ˆ pij , ( i , j 1,2,)
满 足

1 0 pij 1,
二 、 离散型随机变量的边缘分布律
若(X,Y)分布律为 P{ X x i , Y y j } pij , ( i , j 1,2, )
P{ X x i } P{Y xi }
P{ X x , Y y
j 1 i

j
}
P{ X x , Y y
p j p1
p2 p j
三、 连续型随机变量的边缘概率密度
设(X,Y) 概率密度为f (x, y)，则
x FX ( x ) F ( x, ) f ( x, y )dy dx,
x
由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为
X 1 2 3 4
1
2
3
4
1/4 1/8 1/12 1/16
0 1/8 1/12 1/16
0 0 1/12 1/16 7/48
0 0 0 1/16 1/16
1/4 1/4 1/4 1/4 1 返 回
25/48 13/48
例２ 某产品８件,其中有２件次品.每次从中抽取一件, 不放回，抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到 的次品件数, 试求(X,Y)的分布律． 解 (X,Y)的所有取值为(i, j), i,j=0,1 由乘法公式有
2 2 2
y
(x,y)
y2
y1 O
y
O
x
x1
x2
x
P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 )
分布函数F(x,y)的性质:
1) F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数,即
2

X
Y
x1 x2 xi

y1
p11 p21 pi 1
y2 y j
p12 p1 j p22 p2 j pi 2 pij
p
j 1 i 1
i

ij
1.
分 F ( x, y) 布 函 数
p ij x x
yj y
y
v
(3) F ( x, y ) f (u, v )dvdu
0,
2x y x
2 2 4
x
y
当x<0 或 y<0 时, 当x y<1, 0 x<1 时，
F (x,y) =
y4
当x >y, 0 y < 1时，
2 4
2x x
1,
当y 1, 0 x <1时， 当 x 1, y 1 时，
X(e)
[注]:二维随机变量(X,Y)的性质 不仅与X 和Y有关,且 还依赖于 两者的相互关系.
e S
Y(e)
分布函数(联合分布函数)
设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y,
F ( x, y) P{( X x ) (Y y)} ˆ P{ X x,Y y}
称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为 随机变量X 和Y 的联合分布函数。

二维正态分布
( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 2 2 2 2 1 2 ) 2 ( 1 ) 1 2 e 1
设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
f ( x, y) 1 2 1 2 1 2

D x y 1 1 1 02

x+y1
D
0 C 8
C dx Cxydy 1 x 1 x dx 8 xydy8
1
O
1
x
x+y=1
x
6
(3) F ( x, y ) f (u, v )dvdu
当x<0 或 y<0 时, F(x,y) = 0
y
f Y ( y ) f ( x, y )dx


r
r 2 y2 2 2 2 2 dx, 0 y 1 r y r 其 它 . 0,
-r
o
x r
x
2 2 r 0,
r 2 y2 , 0 y 1 其 它.
第三章
多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量
第二节 边缘分布
第三节 条件分布
第四节 相互独立的随机变量 第五节 两个随机变量的函数的分布
§1
二维随机变量
二维随机变量：
设E是一个随机变量,样本空间S={e}, 设X={e} 和Y={e}是定义在S上的随机变量,向量(X,Y)叫做 二维随机变量.
i 1 i

j
} pij
i 1
j 1
p

ij
ˆ pi
p
j 1

ij
( i 1,2, )
ˆ p j
p
i 1

ij
( j 1,2, )
(X,Y)关于X的边缘分布律
(X,Y)关于Y的边缘分布律
0 pi 1, 0 p j 1,
p