2018年黄冈市初中数学竞赛试题

2018年黄冈市初中数学竞赛试题

一、填空:(30分)

1.已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3,则x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2001+(-ab)2002的值等于________.

2.已知正数a 、b ，有下列命题：

（1）若a=1,b=1,≤1;(2)若a=12,b=52,≤32;(3)若a=2,b=3,≤52

;(4)若a=1,b=5,则-

≤3.根据以上几个命题所提供的信息,请猜想:若a=6,b=7,≤________.

3.

已知k=a b c a b c a b c c b a

+--+-++==,2+9=6n,则关于自变量x 的一次函数y=kx+m+n 的图象一定经过第_______象限.

4.如图1,∠AOB=450,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q 、R （均不同于点O ），则ΔPOR 的周长的最小值为__________.

5.某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金,金额与他的工

作年数的算术平方根成正比例.如果他工作a 年,他的退休金比原有

的多p 元;如果他工作b 年(b ≠a),他的退休金比原有的多q 元.那么他

每年的退休金是(以a 、b 、p 、q 表示)____________元.

6.已知在ΔABC 中,∠A 、∠B 是锐角，且sinA=

315

,tanB=2,AB=29cm, 则ΔABC 的面积等于______cm 2. 二、解答题:

7.(10分)观察:1×2×3×4+1=52,

2×3×4×5+1=112,

3×4×5×6+1=192。

┉┉┉

（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

（2）根据（1），计算2000×2001×2002×2003+1的结果（用一个最简式子表示）。

8.(10分)如图2,已知Rt ΔABC 中,∠C=900,沿过点B 的一条直线BE 折叠这个三角形,使点C 落在AB 边上的一点D.要使点D 恰为AB 的中点,问在图中还需添加什么条件?

(1)写出两个满足边的条件;

(2)写出两个满足角的条件;

(3)写出一个满足除边、角以外的其他条件。

9.(10分)在一次数学竞赛中,组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品.若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品,则可买100份奖品;若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品,则可买80份奖品.问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书,可各买多少?

10.(15分)如图3,OB是以点(0,a)为圆心、a为半径的⊙o1砝弦,过点B作⊙O1的切线,P为劣弧OB上的任一点,且过P作OB、AB、OA的垂线,垂足分别是D、E、F.

（1）求证：PD2=PE×PF.(2)当∠BOC=300时,点P为弧OB的中点时,求DEFP四个点的坐标及SΔDEF.

11.(10分)若a 、b 、c 、d>0，证明:在方程

1

2x 212x 2=0;12x 2=0;12

x 2=0中,至少有两个方程有两个不相等的实数根.

12.(15分)有麦田5块A 、B 、C 、D 、E ，它们的产量(单位:吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图4所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场。问建在哪块麦田上（不允许建在除麦田以外的其它地方），才能使总运输量最小？图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a 、b 、c 表示距离，b

参考答案

一.

1.28或-26.

2.169 4

.

3.二.

提示:作P关于OA的对称点P1,P关于OB的对称点P2,连P1P2,交OA于M,交OB于N.则

QP=QP1,RP=RP2,于是ΔPRQ的周长=QP+QR+RP=QP1+QR+RP2≤P1P2

5.设工作x 年,退休金为y 元.则

y y p y q ⎧=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩

平方:222222222222y k x y py p k x k a y qy q k x k b ⎧=⎪++=+⎨⎪++=+⎩,所以:222222py p ak qy q bk ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,

消去k 2得:=,所以

y=.

6.如图,易得ΔABC 的面积是145.

二.

7.(1)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=┉┉=(n 2+3n+1)2.

(2)原式=(20002+3×2000+1)2=40060012.

8.(1)AB=2BC 或

或

或BE=AE.

(2)∠A=300或∠B=600.

(3)ΔBEC ≌ΔAED.

9.设每台计算器x 元,每本竞赛书y 元,这笔钱为s 元.则

s=100(x+3y)=80(x+5y),化简为x=5y.

所以s=800y 或s=160x,由此知:这笔钱可买800本书或160台计算器.

10.(1)连ED 、FD 、PB 、PO,由已知易得E 、B 、P 、D 和P 、F 、O 、D 均四点共圆。 则∠EDP=∠EBP=∠DOP=∠PFD 。

同理∠DEP=∠FDP 。

所以ΔEDP ∽ΔEDF ，故PD 2=PE ×PF 。

（2）当∠BOC=300时，ΔABO 是正Δ。

已知P 是弧BO 的中点，得P 是正ΔABO 的中心。

易证：ΔPOO 1是正Δ，得PO=a,从而

a,34a), E(-a,a),S ΔDEF

=S ΔABC =

a 2. 11.因Δ1=2a+b-2,Δ2=2b+c-2

,Δ3=2c+d-2,Δ4=2d+a-2. 所以,Δ1+Δ3=2a+2c++b+d-2

-2=(a+b-2)+(c+d-2)+a+c =(-)2+(

-)2+a+c>0.

同理:Δ2+Δ4>0.

所以Δ1、Δ2、Δ3、Δ4中至少有两个大于0，故结论成立。

12.设在x 处的运输总量为S (X),由三角形三边关系有a+b>d.

于是:S (A)=3a+5(a+b)+4(a+d)+6a=18a+5b+4d,S (B)=10a+3b+4d,S (C)=18a+13d,S (D)=14a+13b,S (E)=26a+6b. 经比较得:S (B)最小,故应建在B 处

.