北师大版数学八下5.4《分式方程(第一课时)》 教案
北师大版八年级数学下册54.《分式方程》教学设计
3.强化学生的问题意识，引导学生善于发现、提出和解决问题。
4.突出学生的主体地位，教师扮演引导者、组织者和合作者的角色，促进师生互动、生生互动。
5.注重培养学生的综合素质，将分式方程知识与实际生活相结合，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
4.小组成果展示：每组选派一名代表进行成果展示，分享解题过程和经验。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计难易程度不同的练习题，涵盖分式方程的各种类型，使学生在练习中巩固所学知识。
2.学生独立完成：要求学生在规定时间内独立完成练习题，提高学生的解题能力。
3.解题指导：针对学生练习中出现的共性问题，进行集中讲解，帮助学生突破难点。
（一）导入新课
1.教学活动设计：以学生熟悉的生活场景为背景，提出一个关于速度的问题。例如：“小明和小华同时从同一地点出发，小明以4千米/小时的速度跑步，小华以5千米/小时的速度骑自行车，问他们分别在多长时间后相遇？”
2.引导学生思考：这个问题中涉及到哪些数学知识？能否用我们学过的方程来解决这个问题？
7.课后作业与反思：布置适量的课后作业，要求学生独立完成，并进行自我反思，总结解题过程中的优点和不足。
8.教学评价：采用多元化评价方式，关注学生的知识掌握程度、解题能力、合作意识等方面，全面评估学生的学习效果。
在教学过程中，教师应注重以下方面：
1.关注学生个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
4.布置课后作业：布置适量的课后作业，要求学生独立完成，并进行自我反思。
五、作业布置
为了巩固学生对分式方程知识的掌握，培养其运用所学解决实际问题的能力，特布置以下作业：
北师大版数学八年级下册5.4.1《分式方程的概念及分式方程》优秀教学案例
1. 教师引导学生对自己在解决问题过程中的表现进行反思，帮助他们发现自己的优点和不足。
2. 教师设计评价量表，让学生对自己的学习过程进行评价，培养他们的自我评价能力。
3. 教师组织学生进行互评，让他们学会倾听他人的意见，提高他们的沟通能力。
4. 教师对学生的学习成果进行总结性评价，注重激励和表扬，提高他们的学习积极性。
（二）过程与方法
1. 培养学生从实际情境中发现问题、提出问题、解决问题的能力，发展他们的问题意识。
2. 引导学生通过小组合作、讨论的方式，共同探究分式方程的解法，培养他们的团队协作能力。
3. 利用多媒体教学手段，形象地展示分式方程的解法，帮助学生理解和记忆，提高他们的信息素养。
4. 教师引导学生在解决分式方程的过程中，总结解题规律，提高他们解决类似问题的方法。
北师大版数学八年级下册5.4.1《分式方程的概念及分式方程》优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学八年级下册5.4.1《分式方程的概念及分式方程》这一节的内容，是学生在学习了分式和方程的基础上，进一步深化对数学知识的理解和应用。对于八年级的学生来说，他们已经掌握了分式的基本知识，但对分式方程的理解和应用还有一定的难度。因此，在这一节课中，我以“超市促销”为情境，让学生在解决实际问题的过程中，自然地接触到分式方程，并理解和掌握分式方程的概念和解决方法。
三、教学策略
（一）情景创设
1. 教师以“超市促销”为情境，让学生身临其境地感受分式方程的实际应用，激发他们的学习兴趣。
2. 通过多媒体展示超市促销的场景，让学生直观地了解促销活动的规则，为提出分式方程作铺垫。
3. 设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生从情境中抽象出分式方程，自然地引入新课。
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》(第1课时)教案
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》（第1课时）教案一. 教材分析《分式方程的概念及列分式方程》是北师大版数学八年级下册第5.4节的内容。
本节课主要让学生掌握分式方程的概念，学会如何列分式方程，并能够解简单的分式方程。
这一内容是学生学习了分式运算和一元一次方程的基础上进行的，为后续解决实际问题打下基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了分式的概念、分式的运算以及一元一次方程的解法，对于分式的基本概念和运算规则有一定的了解。
但部分学生在分式运算中还存在一定的困难，对于分式方程的理解和应用还需要加强。
此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高。
三. 教学目标1.了解分式方程的概念，理解分式方程与一元一次方程的联系和区别。
2.学会列分式方程，并能解简单的分式方程。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的概念，列分式方程的方法，解分式方程的步骤。
2.难点：理解分式方程与一元一次方程的联系和区别，解决实际问题中的分式方程。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT2.教学素材（实际问题）七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这些问题。
通过分析，引入分式方程的概念。
2.呈现（10分钟）讲解分式方程的概念，解释分式方程与一元一次方程的联系和区别。
通过示例，展示如何列分式方程。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些简单的实际问题，引导学生运用分式方程来解决问题。
每组选择一个问题，列出分式方程，并求解。
4.巩固（10分钟）选取部分学生的解题过程和答案，进行讲解和分析。
针对学生解题中出现的问题，进行讲解和指导。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些稍复杂的实际问题，引导学生运用所学的分式方程知识来解决问题。
5.4 分式方程(第1课时)北师大版数学八年级下册教案
5.4分式方程（第1课时分式方程的概念及列分式方程）教学目标1.引导学生理解分式方程的概念，并能根据实际问题建立分式方程的数学模型，归纳出分式方程的描述性定义.2.经历“实际问题——建立分式方程模型”的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识.教学重点难点重点：分式方程的概念.难点：根据题意列分式方程.教学过程复习巩固1.(1)已知分式2x ―3x 2―1,当x ＝±1时，分式无意义.(2)分式x ―22(x ―3)与3x 2―9的最简公分母是2(x +3)(x ―3).最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫最简公分母.2.方程：含有未知数的等式叫做方程.3.整式方程：分母不含有未知数的方程叫做整式方程.导入新课【创设情境，课堂引入】甲、乙两地相距 1400 km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8 倍.（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均行驶速度为x km/h ，那么x 满足怎样的方程？（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h ，那么y 满足怎样的方程？探究新知【实践探究，交流新知】【教师提问】题中存在哪些等量关系？【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃回答.等量关系：列车的速度×行驶时间＝1400km,高铁列车的行驶时间＝特快列车的行驶时间-9h,高铁列车的平均速度＝特快列车的平均速度×2.8.【教师提问】如果设特快列车的平均行驶速度为x km/h ，那么x 满足怎样的方程？【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃回答..【教师提问】如果我们设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h ，那么y 满足怎样的方程？【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃回答..【教师再次引入情境，与学生探讨】从甲地到乙地有两条路可以走：一条是全长为600 km 普通公路，另一条是全长为480km 的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间.【学生活动】小组讨论，踊跃回答.【师生总结】高速公路普通公路路程速度时间路程速度时间480 km x600 km 2x（1）这个问题中的等量关系是什么？走高速公路的速度＝走普通公路的速度― 45 km/h（2）根据等量关系，你能得到什么等式？.【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】上面我们得到了一种新的方程，比较下面左右两边的方程, 有什么不同?1―2y ＝3―,y ―1＝2―,9x ―2＝4x +54 1 400x―1 4002.8x ＝9,1 400y＝2.8×1 400y +9,480x ＝6002x ―45【总结】右边方程的分母中含有未知数.分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程.【例1】下列关于x 的方程中，是分式方程的是( )A.4＋x 5＝2＋3x 6B.x +510＝2＋3x 6C.+1＝7x －12D.＝【解析】A 、 B 中方程的分母中不含未知数，故不是分式方程；C 中方程的分母中不含表示未知数的字母，π是常数；D 中方程的分母中含未知数x ，故是分式方程.【答案】D【总结】（学生总结，老师点评）如何判断一个方程是分式方程判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数，注意必须是表示未知数的字母.【拓展延伸】【例2】为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款，已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20，而且两次人均捐款额正好相等，如果设第一次捐款的人数为x ，那么你能列出分式方程吗？【分析】捐款总额（元）捐款人数人均捐款额（元）第一次4 800x第二次 5 000x +20【解】【总结】（学生总结，老师点评）（1）审清题意，明确题目中的未知数；（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.课堂练习1.下列方程是分式方程的是( )A.2x ＋1＝5x －3 B.＝-2C.2x 2+12x -3＝0D.2x -5＝2.运动会上，八(3)班拉拉队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根，乙种雪糕的单价是甲种雪糕单价的1.5倍，若设甲种雪糕的单价为x 元，根据题意可列方程为( )A.401.5x -30x ＝20B.-＝20C.-＝20D.-＝203.某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么抽调的管理人员人数x满足怎样的方程？参考答案：1.A2.B3.解：＝.课堂小结1.分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.根据实际问题列分式方程：（1）审清题意，明确题目中的未知数；（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计分式方程的概念及列分式方程1.2.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.判断方法：看分母中是否含有未知数.3.根据实际问题列分式方程：（1）审清题意，明确题目中的未知数；（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.。
北师大版八年级下册数学《5.4 第1课时 分式方程的概念及列分式方程》教案
北师大版八年级下册数学《5.4 第1课时分式方程的概念及列分式方程》教案一. 教材分析《5.4 第1课时分式方程的概念及列分式方程》这一课时主要让学生了解分式方程的概念，学会如何列分式方程。
分式方程是初中数学中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
通过学习分式方程，学生能够更好地理解和运用数学知识。
二. 学情分析八年级下的学生已经掌握了分式的基本知识，对分式的性质和运算有一定的了解。
但是，对于分式方程的概念和列方程的方法，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解分式方程的概念，并通过具体的例子让学生掌握列分式方程的方法。
三. 教学目标1.了解分式方程的概念，理解分式方程与整式方程的区别。
2.学会如何列分式方程，并能运用分式方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的概念的理解。
2.列分式方程的方法的掌握。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题引导学生思考，通过具体的案例让学生掌握列分式方程的方法，通过小组合作让学生互相交流和学习。
六. 教学准备1.准备相关的案例和问题。
2.准备PPT，用于展示案例和问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入分式方程的概念，例如：“某商品的原价是100元，打8折后的价格是80元，求商品的折扣率。
”让学生思考如何用数学方程来表示这个问题。
2.呈现（10分钟）呈现PPT，展示分式方程的定义和例子。
解释分式方程与整式方程的区别，并通过具体的例子让学生理解分式方程的概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组出一个例子，尝试列出一个分式方程。
然后，让学生互相交换例子，尝试解对方列出的分式方程。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于分式方程的问题，以巩固对分式方程的理解。
例如：“分式方程的解与哪些因素有关？”、“如何判断一个方程是不是分式方程？”等。
北师大版八年级数学下册 5.4分式方程 第1课时 分式方程的概念及解法 教案设计
5.4 分式方程第1课时分式方程的概念及解法【教学目标】【知识与技能】1.理解分式方程的概念;2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程；3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤.【过程与方法】通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.【教学重点】1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的基本思路和方法．3．了解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法．【教学难点】掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.【教学过程】一、情境导入问题1：甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米外的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？设甲同学每小时行x千米，你能列出相应的方程吗？这个方程是我们以前学过的方程吗？如果不是，你能给它取个名字吗？问题2：在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？分析：这一问题中有哪些已知量和未知量？已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务未知量：原计划每月固沙造林多少公顷这一问题中有哪些等量关系？实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷原计划完成的时间-完成实际的时间=4个月我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要_____个月，实际完成一期工程用了______个月，根据题意，可得方程____________.【教学说明】为了让学生经历从实际问题抽象.概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，利用第一节《分式》中一个熟悉的问题，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题.解决问题的能力.二、合作探究探究点一：分式方程的概念下列关于x的方程中，是分式方程的是( )A.4＋x5＝2＋3x6B.2x－17＝x2＋3C.xπ＋1＝7x－12D.12＋x＝1－2x解析：A中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D中方程分母含未知数x，故是分式方程．故选D.方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．探究点二：列分式方程某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为( )A.20x＋10x＋4＝15 B.20x－10x＋4＝15C.20x＋10x－4＝15 D.20x－10x－4＝15解析：设原计划每天生产x个，则实际每天生产(x＋4)个，根据题意可得等量关系：(原计划20天生产的零件个数＋10个)÷实际每天生产的零件个数＝15天，根据等量关系列出方程即可．设原计划每天生产x个，则实际每天生产(x＋4)个，根据题意得20x＋10x＋4＝15.故选A.方法总结：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．三、板书设计1．分式方程的概念2．列分式方程四、教学反思虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，以下是教师在教学中应该注意的地方：第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，从而再强调解分式方程必须检验，不能省略不写这一步；第二，给学生的鼓励不是很多.鼓励可以让学生有充分的自信心.“信心是成功的一半”，在今后的课堂教学中，应尊重其差异性，尽可能分层教学，评价标准多样化，多鼓励，少批评；多肯定，少指责.用动态的、发展的、积极的眼光看待每个学生，帮助他们树立自信心.赞美的力量是巨大的，有时，一句赞美的话，可以改变人的一生.一句肯定的话、一个赞许的点头、一张表示优秀的卡片，都是很好的鼓励，会起到意想不到的良好结果.本课时的教学以学生自主探究为主，通过参与学习的过程，让学生感受知识的形成与应用的价值，增强学习的自觉性，体验类比学习思想的重要性，然后结合生活实际，发现数学知识在生活中的广泛应用，感受数学之美.。
北师大版八年级数学下册教案 5-4 第1课时 分式方程及其解法
5.4分式方程第1课时分式方程及其解法教学目标【知识与技能】1.理解并能够说出分式方程的意义;2.理解并掌握分式方程的解法步骤,掌握验根的方法.【过程与方法】经历探索分式方程的解法的过程,经历解分式方程产生增根和将分式方程转化为整式方程的过程,体会数学中的化归思想.【情感、态度与价值观】在建立分式方程的数学模型的过程中培养克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力.教学重难点【教学重点】理解并掌握分式方程的解法.【教学难点】解分式方程产生增根的原因.教学过程一、情境导入在这一章的第一节《分式》中,我们曾研究过一个“固沙造林,绿化家园”的问题.当时,我们设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要2400x 个月,实际完成一期工程用了2400x+30个月.根据题意,可得方程2400 x −2400x+30=4.像2400x,2400x+30这种分母中含有字母的代数式是分式.而像2400x−2400x+30=4这样的方程我们是第一次遇到,它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界中的数量关系,是一种反映现实世界的数学模型.二、合作探究探究点1分式方程的意义典例1下列方程是分式方程的是()A.12−x3=0 B.4x=-2C.x2-1=3D.2x+1=3x[解析]观察知B项符合题意.[答案]B【技巧点拨】分母中含有未知数的方程叫做分式方程,可见,判断一个方程是否为分式方程,关键看分母里是否有未知数.下列方程:①x−35=1;②3x+1=2;③1+x5+x =12;④x 2+2x 2+1=5;⑤x π+x 2π=4.其中是分式方程的有 ( )A.①②B.②③C.③④D.②③④[答案] D探究点2 分式方程的解法典例2 解下列分式方程:(1)xx−1−2x−1x 2−1=1; (2)2+x 2−x +16x 2−4=-1.[解析] (1)去分母,得x (x +1)-(2x -1)=x 2-1,解得x =2.检验:当x =2时,x 2-1≠0,故分式方程的解为x =2.(2)去分母,得-(x +2)2+16=4-x 2,解得x =2.检验:当x =2时,2-x =0,故分式方程无解.探究点3 分式方程的增根典例3若分式方程3x−a x 2−2x +1x−2=2x 有增根,则实数a 的取值是 ( )A.0或2B.4C.8D.4或8[解析] 去分母,得3x -a +x =2(x -2),由题意得,分式方程的增根为0或2.当x =0时,-a =-4,解得a =4;当x =2时,8-a =0,解得a =8,故a 的值为4或8.[答案] D在将分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使分式方程的分母为零,那么这个根叫做分式方程的增根.产生增根的原因是在方程两边同乘了一个使分母为0的整式,因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.检验的方法是检验所得的根是否使分式方程中分母的值等于0.若关于x 的分式方程m x 2−4−1x+2=0无解,则m = .[答案] 0或-4三、板书设计分式方程及其解法分式方程及其解法{ 分式方程的意义分式方程的解法步骤{ 转化解整检验结论增根及其产生的原因教学反思本节课中,让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.。
八年级数学下册第五章分式与分式方程4分式方程第1课时分式方程的概念教案新版北师大版
八年级数学下册教案:4 分式方程第1课时 分式方程的概念1．通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型．2．能利用具体情境中的等量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义．重点理解分式方程的概念．难点根据实际问题建立分式方程的数学模型．一、情境导入在这一章的第一节中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2 400 hm 2，实际每月固沙造林的面积比原计划多30 hm 2，结果提前4个月完成原计划的任务．那么原计划每月固沙造林多少公顷呢？当时，我们设原计划每月固沙造林x hm 2，那么原计划完成任务需要2 400x个月，实际完成任务用了2 400x ＋30个月．根据题意，可得方程2 400x －2 400x ＋3＝4 . 2 400x －2 400x ＋3＝4 中，2 400x ，2 400x ＋3 是不同于整式的代数式，我们称之为分式．像2 400x －2 400x ＋3＝4这样的方程我们称之为分式方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．今天我们共同来研究分式方程．二、探究新知1．路程问题甲、乙两地相距1 400 km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．(1) 你能找出这一问题中有哪些等量关系吗？(2) 如果设特快列车的平均行驶速度为 x km /h ，那么 x 满足怎样的方程？(3) 如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h ，那么 y 满足怎样的方程？解：(1) 等量关系：乘高铁列车所用的时间＋9 h ＝乘特快列车所用的时间．高铁列车的速度＝特快列车的速度×2.8.乘高铁列车所用的时间＝ 1 400高铁列车的速度. 乘特快列车所用的时间＝ 1 400特快列车的速度. (2)x 满足方程：1 400x －1 4002.8x＝9 . (3)y 满足方程：1 400y ＝2.8×1 400y ＋9. 2．捐款问题我国是世界上自然灾害种类最多的国家，自然灾害也给一些地区造成重创(播放图片)，每当这时全国人民都会纷纷伸出友谊之手，捐出自己的一份爱．课件出示教材第125页“做一做”．处理方式：学生独立思考，然后组织讨论、交流，教师巡视，给予必要的指导．解：设七年级捐款人数为x 人，根据题意，可得方程4 800x ＝5 000x ＋20. 3．总结分式方程的概念师：上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程怎么称呼？特点：这些方程都有分式，分母中都含有未知数．强调分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程．判断分式方程的条件：①方程；②分母中含有未知数．思考：整式方程与分式方程有什么区别？整式方程的分母中不含有未知数，分式方程的分母中含有未知数．三、举例分析例 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9 000 kg 和15 000 kg .已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．问题1：在这个问题中涉及哪几个基本量？它们的关系如何？解：涉及三个基本量：总产量、每公顷试验田的产量、试验田的面积．其中总产量＝每公顷试验田的产量×试验田的面积．第一块试验田的面积＝第二块试验田的面积；(a)第一块试验田每公顷的产量＋3 000 kg ＝第二块试验田每公顷的产量．(b)问题2：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少千克呢？解：方法1：根据等量关系(b)，可知第二块试验田每公顷的产量是(x ＋3 000)kg .根据题意，利用等量关系(a)，可得方程：9 000x ＝15 000x ＋3 000. 方法2：根据等量关系(a)，我们可以设两块试验田的面积都为x hm 2，那么9 000x表示第一块试验田每公顷的产量，15 000x表示第二块试验田每公顷的产量．根据等量关系(b)，可列出方程：9 000x ＋3 000＝15 000x. 四、练习巩固1．下列各式中，是分式方程的是( )A ．x ＋y ＝5B .x ＋25＝2y －z 3C .1xD .y x ＋5＝0 2．“退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程．某地规划退耕面积共69 000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3.设退耕还林的面积为x hm 2，那么x 满足怎样的分式方程？五、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？六、课外作业1．教材125～126页“随堂练习”第1、2题．2．教材第126页习题5.7第1～3题．本节课循序渐进，合理设计教学问题系列，有效组织教学活动，既发挥了教师的主导作用，又体现了学生的主体地位，较好地完成了教学目标．在本节课堂教学中，学生在掌握了列分式和分式计算式的基础上，结合过去学过的列一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式(组)、一次函数解应用题等知识，能够很快列出分式方程．而且，本节课在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围．。
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》（第1课时）教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》（第1课时）的内容包括分式方程的定义、性质和列分式方程的方法。
本节课内容是在学生已经掌握了分式的概念、性质、运算的基础上进行的，是初中数学的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。
分式方程在实际生活中的应用非常广泛，如解决利润问题、浓度问题等。
通过本节课的学习，使学生掌握分式方程的基本概念和列方程的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本概念、性质和运算，具备了一定的数学基础。
但是，对于分式方程的概念和列方程的方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例来理解和掌握。
此外，学生可能对解决实际问题中的方程有一定的恐惧心理，需要教师通过引导和鼓励来激发学生的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式方程的定义、性质，学会列分式方程的方法。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的定义、性质和列分式方程的方法。
2.难点：理解分式方程的实际意义，学会解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生通过自主学习，掌握分式方程的基本概念和性质。
2.合作交流：学生进行小组讨论，分享彼此的学习心得和解决问题的方法。
3.实例分析：通过具体的实例，使学生理解和掌握分式方程的列法。
4.实践操作：让学生亲自动手解方程，提高学生的操作能力。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示分式方程的定义、性质和列方程的方法。
2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对分式方程的理解和掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，如利润问题、浓度问题等，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。
【最新北师大版精选】北师大初中数学八下《5.4.分式方程》word教案 (4).doc
《分式方程》第1课时教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．教学重难点教学重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法．教学难点：检验分式方程解的原因．教学过程（一）复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．（二）新课分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断下列各式哪个是分式方程．在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．（三）应用一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v ）千米/时，逆流航行的速度为（20－v ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时，逆流航行60千米所用的时间为v-2060小时． 可列方程v +20100=v-2060， 方程两边同乘（20+v ）（20－v ），得100（20－v ）= 60（20＋v ），解得v =5．检验：将v =5代入方程，左边=右边，所以v ＝5为方程的解．所以水流速度为5千米/时．（四）总结解分式方程的一般步骤：1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．2．解这个方程．3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．第2课时教学目标1．使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．2．使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．教学重难点1．了解分式方程必须验根的原因．2．培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力．教学过程（一）复习引入解方程：思考：上面两个分式方程中，为什么（1）去分母后所得整式方程的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？学生活动：小组讨论后总结（二）新课（1）为什么要检验根？在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）．对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求．如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解．（2）验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．（三）应用例1：解方程32-x =x3 解：方程两边同乘x （x －3），得2x ＝3x －9；解得x ＝9，检验：x ＝9时，x （x －3）≠0，9是原分式方程的解．例2：解方程1-x x －1=)2)(1(3+-x x 解：方程两边同乘（x －1）（x ＋2），得x （x ＋2）－（x －1）（x ＋2）＝3；化简，得x ＋2＝3；解得x ＝1，检验：x ＝1时（x －1）（x ＋2）＝0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解．（四）课时小结：解分式方程的一般步骤．第3课时教学目标1．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．2．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．教学重点和难点教学重点：（1）可化为一元一次方程的分式方程的解法．（2）分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．教学难点：理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程．教学过程（一）复习提问1．解分式方程的步骤（1）能化简的先化简；（2）方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根．2．列方程应用题的步骤是什么？（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答．3．由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？ 在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有五种：（1）行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．（2）数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法．（3）工程问题基本公式：工作量=工时×工效．（4）顺水逆水问题v 顺水=v 静水＋v 水．v 逆水=v 静水－v 水．（二）新课例1．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 分析：甲队一个月完成总工程的31，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的x1，那么甲队半个月完成总工程的61，乙队半个月完成总工程的x 21，两队半个月完成总工程的61＋x21． 等量关系为：甲、乙两个工程总量＝总工程量，则有31＋61＋x21＝1 例2：从2004年5月起某列列车平均提速v 千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前的平均速度为x 千米/时，则提速前列车行驶s 千米所用的时间为xs 小时，提速后列车的平均速度为（x ＋v ）千米/时，提速后列车行驶（s ＋50）千米所用的时间为v x s ++50小时． 等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶（s ＋50）千米所用的时间； 列方程得：xs ＝v x s ++50 （三）小结对于列方程解应用题，一定要善于把生活语言转化为数学语言，从中找出等量关系．对于我们常见的几种类型题，我们要熟悉它们的基本关系式．。
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》(第1课时)说课稿
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》（第1课时）说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》（第1课时）这一节的内容，是在学生已经掌握了分式的概念、分式的运算、分式方程的解法等知识的基础上进行授课的。
本节内容主要介绍了分式方程的概念和如何列分式方程，旨在让学生掌握分式方程的基本概念，了解分式方程在实际问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了分式的基本知识，对分式的概念、分式的运算等有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，可能会对如何将实际问题转化为分式方程感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生将实际问题与分式方程联系起来，培养学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的基本概念，了解分式方程在实际问题中的应用。
2.过程与方法目标：培养学生解决实际问题的能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极向上的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的概念及其在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为分式方程，以及如何解决分式方程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题引入分式方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解分式方程的概念：讲解分式方程的定义、特点，让学生理解分式方程的意义。
3.案例分析：分析一些实际问题，引导学生将实际问题转化为分式方程，并解决分式方程。
4.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自解决问题的方法，培养学生的合作意识。
5.总结提升：对本节课的内容进行总结，强调分式方程在实际问题中的应用。
6.课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。
北师大版数学八下5.4.1《分式方程的概念及分式方程》教学设计
师生活动：学生思考并回答问题，相互补充。 设计意图：让学生知道检验分式方程的解的方法——将未知数的值代入原分式方程的两边，
看左右两边的值是否相等；学生通过检验，发现这个整式方程的解就是原分式方程的解； 说明上述解分式方程的值是否有效的，进而得知：将分式方程去分母化为整式方程是解分式 方程必要和有效的步骤。
设计意图：让学生在已有的知道经验基础上，尝试解分式方程。
1/3
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
问题 3 这些解法有什么共同特点？ 师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同点是先去分母将分式方程转化为整式
方程式，再解整式方程，进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据： （1） 如何把它转化为整式方程？ （2） 怎样去分母？ （3） 在方程两过乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4） 这样做的依据是什么？ 学生思考后得出结论：分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了。利用等 式的性质 2 可以在方程两边都乘以一个式子——各分母的最简公分母。 设计意图：通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程， 并知道解决问题的关键是去分母。
(3)解下列方程
1= 3 2x x +3
23 =
x −1 x2−1
5.小结 本节课学联了哪些主要内容?解分式方程的一般步骤是什么?
五.板书设计 分式方程
分式方程的概念
解 分 式 方 程 练习题
解分式方程的一般步 骤
90 = 60 30 + v 30 − v
的过程
学生演板
六.教学反思 本课时的教学以学生自主探究为主，通过参与学习的过程，让学生感受知识的形成与应
最新北师大版八年级数学下册5.4分式方程公开课优质教案 (1)
《分式方程》第1课时教学目标（一）教学知识点1．通过对实际问题地分析，感受分式方程刻画现实世界地有效模型地意义．2．通过观察，归纳分式方程地概念．（二）能力训练要求体会到分式方程作为实际问题地模型，能够根据实际问题建立分式方程地数学模型，并能归纳出分式方程地描述性定义．（三）情感与价值观要求在建立分式方程地数学模型地过程中培养能力和克服困难地勇气，并从中获得成就感，提高解决问题地能力．教学重难点教学重点：能根据实际问题地数量关系列出分式方2 程，归纳出分式方程地定义．教学难点：能根据实际问题中地等量关系列出分式方程．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课［师］在这一章地第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”地问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x 2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月．根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4．（1） 我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式地代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样地方程，它和我们学过地一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界地数学模型．接下来，我们再来看几个这样地例子．Ⅱ．讲授新课列出刻画现实世界地数学模型——方程．［小麦实验田问题］有两块面积相同地小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷地产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷地产量．你能找出这一问题中所有地等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷地产量为xkg，那么，第二块试验田每公顷地产量是____________kg．根据题意，可得方程____________．［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们地关系如何？［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田地产量，试验田地面积．其中总产量=每公顷试验田地产量×试验田地面积．［师］你能找出这一问题地所有等量关系吗？［生］第一块试验田地面积=第二块试验田地面4 积．（a ）［生］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷地产量+3000kg=第二块试验田每公顷地产量（b ）［师］我们接着回答下面地问题：如果设第一块试验田每公顷地产量为xkg ，那么第二块试验田每公倾地产量是多少kg 呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷地产量是（x+3000）kg ．［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x ．（2） ［师］x 9000，300015000+x 地实际意义是什么呢？ ［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田地面积．［师］有没有别地方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田地面积都为x 公顷，那么x9000表示第一块试验田每公顷地产量，x15000表示第二块试验田每公顷地产量，根据等量关系（b ）可列出方程：x 9000+3000=x15000（3） ［师］接下来，我们再来看一个问题［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定地人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数地2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动地每个同学平均分摊地费用比原计划少4元．原定地人数是多少？ 这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x 人，那么每人平均分摊____________元；人数增加到原定人数地2倍后，每人平均分摊____________元．根据题意，可得方程____________．［师］我们先来审题，找到题中地等量关系．［生］由题意，可知：实际参加活动地人数=原定人数×2倍．（c）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊地费用=实际每个同学平均分摊地费用+4元．（d）［师］同学们已经过审题，找到了题中地等量关系，接下来该干什么呢？［生］设出未知数，列出方程，将具体实际地问题转化为数学模型．［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说地，你有几种列方程地方法呢？讨论后，各小组可选代表回答上面地问题．［生］我代表第一小组回答．我们设未知数地方法采用中方法：设原定是x人，那么每人平均分摊300元；人数增加x6到原来人数地2倍后，每人平均分摊x2480元，根据题意，利用等量关系（d ），得方程：x 300－4=x2480（4） ［生］我们组没有按照投影片上地设法，而是设原定每人平摊y 元，那么原定人数为y300人；实际参加活动地每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动地人数为4480-y 人，根据题意，利用等量关系（c ），得方程：2×y 300=4480-y ．（5） ［师］上面两个组地回答都很精彩，祝贺他们．（鼓掌）从同学们地表现不难看出，用方程这样地数学模型刻画现实世界地情境，同学们掌握得很好．下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型．如上图，在等腰三角形ABC 中，底边BC=2a ，高AD=h ，8求内接正方形PQRS 地边长．［师生共析］由于SPQR 是正方形，SR ∥BC ，AE ⊥SR ，所以AE 是△ASR 地高且ED=SR=正方形SPQR 地边长，△ASR 地高AE 可表示为AD 与正方形边长地差．由SR ∥BC ，可得△ASR ∽△ABC ，于是有：BC SR =AD AE （相似三角形对应高地比等于相似比）．所以可设正方形地边长为x ，由BC SR = AD AE 得：a x 2=hx h -．（其中a 、h 为常数）（6）［师］你还能找出图中地相似三角形吗？你还能用它地性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流．［生］从上图中可知SPQR 是正方形，所以RQ ⊥BC ，又因为AD ⊥BC ，所以AD ∥RQ ，△ADC ∽△RQC ．可得RQ AD =CQCD ． 即RQ AD =RQ CD BC 2121-．所以，设内接正方形地边长为2x ，根据题意，得x h2=xa a -．（a 、h 为常数）．（7） ［师］你们表现得真棒！ 观察方程：x 2400－302400+x =4 （1） x9000=300015000+x （2） x9000+3000=x 15000 （3） x 300－4=x2480 （4） 2×y 300=4480-y （5） ax2=h x h -．（其中a 、h 为常数） （6） x h2=xa a -（其中a 、h 是常数） （7） 上面所得到地方程有什么共同特点？［生］不难发现方程中地未知数都含在分母中，不是一元一次方程．［师］是地．这就是我们今天要认识地一种新地方程——分式方程即分母中含有未知数地方程．方程（6）是什么方程？［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一10 次方程．Ⅲ．随堂练习1．已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼地捕捞费用是x +102000元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足地方程．分析：题中地等量关系是：101千克鱼×每千克鱼地捕捞费用=200元．解：x 满足地方程是：101×x+102000=200． 2．补充练习某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员地人数比为1∶4，那么应抽调地管理人员数x 满足怎样地方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，则xx+-8040=41．Ⅳ．课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要地数学模型，认识了一种新地方程——分式方程．第2课时教学目标（一）教学知识点1．解分式方程地一般步骤．2．了解解分式方程验根地必要性．（二）能力训练要求1．通过具体例子，让学生独立探索方程地解法，经历和体会解分式方程地必要步骤．2．使学生进一步了解数学思想中地“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程地途径．（三）情感与价值观要求1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验地良好习惯，培养严谨地治学态度．2．运用“转化”地思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学地自信．教学重难点教学重点：1．解分式方程地一般步骤，熟练掌握分式方程地解决．2．明确解分式方程验根地必要性．教学难点：明确解分式方程验根地必要性．教学过程Ⅰ．提出问题，引入新课［师］在上节课地几个问题，我们根据题意将具体实际地情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正地解决，则必须设法解出所列地分式方程．这节课，我们就来学习分式方程地解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过地一元一次方程地解法，12也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程地方法． 解方程213-x +325+x =2－624-x［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母地最小公倍数6，得3（3x －1）+2（5x+2）=6×2－（4x －2）．（2）去括号，得9x －3+10x+4=12－4x+2，（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4，（4）合并同类项，得23x=13，（5）使x 地系数化为1，两边同除以23，x=2313． Ⅱ．讲解新课，探索分式方程地解法［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程地解法步骤．下面我们来看一个分式方程．［例1］解方程：21-x =x3． （1） ［生］解这个方程，能不能也像解含有分母地一元一次方程一样去分母呢？［师］同学们说他地想法可取吗？［生］可取．14 ［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样地整式（或数），可以去掉分母呢？［生］乘以分式方程中所有分母地公分母．［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母地最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母地最简公分母，去分母也比较简单．［师］我觉得这两位同学地想法都非常好．那么这个分式方程地最简公分母是什么呢？［生］x （x －2）．［师生共析］方程两边同乘以x （x －2），得x （x －2）×21 x =x （x －2）·x3， 化简，得x=3（x －2）． （2）我们可以发现，采用去分母地方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过地一元一次方程． ［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x ．即x=3x －6（去括号）2x=6（移项，合并同类项）．x=3（x 地系数化为1）．［师］x=3是方程（2）地解吗？是方程（1）地解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论．（教师可参与到学生地讨论中，倾听学生地说法） ［生］x=3是由一元一次方程x=3（x －2） （2）解出来地，x=3一定是方程（2）地解．但是不是原分式方程（1）地解，需要检验．把x=3代入方程（1）地左边=231 =1，右边=33=1，左边=右边，所以x=3是方程（1）地解．［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样地方法完成例2地解答．［例2］解方程：x 300－x2480=4 （由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答） 解：方程两边同乘以2x ，得600－480=8x解这个方程，得x=1516 检验：将x=15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边，所以x=15是原方程地根．［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程地解，还有了检验结果地好习惯．我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮地解法）议一议 解方程32--x x =x-31－2． （可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法地同学，可用实物投影仪显示他地解法，并一块分析） ［师］我们来看小亮同学地解法：32--x x =x-31－2 解：方程两边同乘以x －3，得2－x=－1－2（x －3） 解这个方程，得x=3．［生］小亮解完没检验x=3是不是原方程地解． ［师］检验地结果如何呢？［生］把x=3代入原方程中，使方程地分母x－3和3－x都为零，即x=3时，方程中地分式无意义，因此x=3不是原方程地根．［师］它是去分母后得到地整式方程地根吗？［生］x=3是去分母后地整式方程地根．［师］为什么x=3是整式方程地根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程地根呢？同学们可在小组内讨论．（教师可参与到学生地讨论中，倾听同学们地想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程．如果整式方程地根使得最简公分母地值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时地两个基本性质，得到地整式方程地解必将使分式方程中有地分式分母为零，也就不适合原方程了．［师］很好！分析得很透彻，我们把这样地不适合原方程地整式方程地根，叫原方程地增根．在把分式方程转化为整式方程地过程中会产生增根．那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程地解后可用检验地方法看是不是原方程地解．［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程地根分别代入原方程地左、右两边吗？［生］不用，产生增根地原因是这个根使去分母时地最简公分母为零造成地．因此最简单地检验方法是：把整式方程地根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程地增根；若使最简公分母不为零，则是原方程地根．是增根，必舍去．［师］在解一元一次方程时每一步地变形都符合等式地性质，解出地根都应是原方程地根．但在解分式方程时，解出地整式方程地根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验地错误．18Ⅲ．应用，升华1．解方程：（1）13-x =x 4；（2）1210-x +x215-=2． 2．回顾，总结想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤？［师］同学们可根据例题和练习题地步骤，讨论总结．［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程地根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零地根是原方程地增根，应舍去．使最简公分母不为零地根才是原方程地根．3．补充练习解分式方程：（1）x 9000=300015000+x ；20 （2）x h 2=xa a -（a ，h 常数） Ⅳ．课时小结［师］同学们这节课地表现很活跃，一定收获不小． ［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程地三个步骤缺一不可．［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中地重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程． Ⅴ．活动与探究若关于x 地方程31--x x =932-x m 有增根，则m 地值是____________．第3课时教学目标（一）教学知识点1．用分式方程地数学模型反映现实情境中地实际问题．2．用分式方程来解决现实情境中地问题．（二）能力训练要求1．经历运用分式方程解决实际问题地过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题地能力．2．认识运用方程解决实际问题地关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型．（三）情感与价值观要求1．经历建立分式方程模型解决实际问题地过程，体会数学模型地应用价值，从而提高学习数学地兴趣．2．培养学生地创新精神，从中获得成功地体验．教学重难点教学重点：1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程地数学模型．2．根据实际意义检验解地合理性．教学难点：寻求实际问题中地等量关系，寻求不同地解决问题地方法．教学过程Ⅰ．提出问题，引入新课［师］前两节课，我们认识了分式方程这样地数学模型，并且学会了解分式方程．接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．Ⅱ．讲授新课做一做某单位将沿街地一部分房屋出租．每间房屋地租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租地租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．（1）你能找出这一情境地等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？［师］现在我们一块来寻求这一情境中地等量关系．［生］第二年每间房屋地租金=第一年每间房屋地租金+500元．（1）22［生］还有一个等量关系：第一年租出地房屋间数=第二年租出地房屋地间数． ［师］根据“做一做”地情境，你能提出哪些问题呢？在我们地数学学习中，提出问题比解决问题更重要．同学们尽管提出符合情境地问题．［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋地租金各是多少？［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋地租金为x96000元，第二年每间房屋地租金为x 102000元，根据题意，得x 102000=x96000+500 解这个方程，得x=12经检验x=12是原方程地解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．24 ［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋地租金各是多少？［生］根据第一问地答案可计算，得： 第一年每间房屋地租金为1296000=8000（元）， 第二年每间房屋地租金为12102000=8500（元）． ［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？ ［生］解：设第一年每间房屋地租金为x 元，第二年每间房屋地租金为（x+500）元．第一年租出地房间为x 96000间，第二年租出地房间为500102000+x 间，根据题意，得x 96000= 500102000+x 解，得x=8000x+500=8500（元）经检验：x=8000是原分式方程地解，也符合题意． 所以这两年每间房屋地租金分别为8000元，8500元．［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心地事情．［例3］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高地定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量地2，3张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m3地部分每立方米收费多少元？［师］解决实际情境问题，最关键地是什么呢？［生］审清题意，找出题中地等量关系．［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）你们找到题中地等量关系了吗？［生］此题主要地等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量地32．［师］怎样表示出张家1月份地用水量和李家1月份地用水量呢？［生］根据自来水公司水费计算地办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5m3地水费与超出5m3部分地水费．［师］下面我们就来用等量关系列出方程．［师生共析］设超出5m3部分地水，每立方米收费设为x元，则1月份，张家超出5m3地部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出5m3地用水量为x5 5.15.17⨯-m3，总用水量为5+x5 5.15.17⨯-；李家超出5m3部分地水费为（27.5－1.5×5）元，超出5m3地用水量为x5 5.15.27⨯-m3，总用水量为（5+x5 5.15.27⨯-）m3根据等量关系，得26x5 5.15.17⨯-+5=（x5 5.15.27⨯-+5）×32解这个方程，得x=2．经检验x=2是所列方程地根．所以超出5m3部分地水，每立方米收费2元．Ⅲ．随堂练习小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好地硬皮本，这种本子地价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本地价格各是多少？［师］我们先来找到题中地等量关系．［生］题中地等量关系有两个：15元钱买地软皮本地本数=15元钱买地硬皮本地本数+1本．硬皮本地价格=软皮本地价格×（1+21）［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．28 ［生］解：设软皮本地价格为x 元，则硬皮本地价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买软皮本x15本，硬皮本x )211(15+本．根据题意，得，x 15=x )211(15++1解，得x=5经检验x=5是原方程地根，也符合题意，所以（1+21）x=23×5=7.5（元） 故这种软皮本和硬皮本地价格各为5元、7.5元． Ⅳ．课时小结列方程解决实际情境中地具体问题，是数学实用性最直接地体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样地数学模型，关键则在于审清题意，找出题中地等量关系，找到它就为列方程指明了方向．Ⅴ．活动与探究如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3km ，王老师家到学校地路程为0.5km，由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车地速度是步行速度地3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师地步行速度及骑自行车地速度各是多少？。
北师大版八年级数学下册优秀教学案例5.4分式方程
3.学生对数学学科的兴趣、自信心及科学态度的培养。
六、教学反思
在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的教学策略，使每位学生都能在课堂上得到充分发展。同时，注重培养学生的数学思维，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。在教学评价方面，要关注学生的全面发展，既要关注学生的知识与技能，也要关注过程与方法、情感态度与价值观的培养。不断反思教学，调整教学策略，提高教学质量。
（三）小组合作
1.小组讨论：将学生分成若干小组，针对问题进行讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.分工合作：在解决分式方程的过程中，让学生分工合作，每个人都有明确的任务，提高工作效率。
3.分享与交流：小组成员将各自的研究成果进行分享，互相学习，共同提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：让学生在课后对所学内容进行反思，总结自己的学习心得，发现自身不足，为下一步学习做好准备。
3.实际应用：让学生运用分式方程解决实际问题，培养学生的应用能力。
五、教学拓展
1.开展数学活动：组织数学竞赛、讲座等活动，激发学生学习兴趣，提高学生的数学素养。
2.家庭作业设计：结合学生实际情况，设计富有挑战性的家庭作业，让学生在课后进行思考和探索。
3.学科交叉：与其他学科相结合，如科学、信息技术等，让学生感受到数学的广泛应用。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给出建设性意见，促进共同进步。
Hale Waihona Puke 3.教师评价：教师要对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握程度、思维发展水平、情感态度等方面，为下一步教学提供参考。
四、教学实践
1.课堂讲解：结合具体案例，讲解分式方程的解法，引导学生主动思考。
5.4第1课时分式方程的概念及列分式方程-北师大版八年级下册数学教案
此外，去分母的运算技巧是本节课的一个难点。在授课过程中，我应该更加细致地讲解这一部分，强调乘法分配律的运用，并通过举例让学生们明白分母为零的情况需要避免。同时，我可以设计一些小组活动，让学生们在讨论和实践中掌握这一技巧。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们表现出了很高的积极性，他们能够主动思考、交流，并提出自己的观点。这说明学生们对于参与课堂活动的热情很高，我也应该继续发挥这种优势，多设计一些互动性强、趣味性高的教学活动，激发学生的学习兴趣。
然而，我也注意到，在小组讨论过程中，部分学生过于依赖同组其他成员，缺乏独立思考。为了解决这个问题，我将在以后的课堂中，鼓励学生们独立思考，培养他们自主解决问题的能力。同时，我也会关注每个学生的学习状况，及时给予指导和帮助。
5.4第1课时分式方程的概念及列分式方程-北师大版八年级下册数学教案
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级下册数学教材第5章“分式方程”中的5.4节“分式方程的概念及列分式方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.分式方程的概念：理解分式方程的定义，掌握分式方程的一般形式，了解分式方程的解。
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分式方程
第一课时
一、教学目标：
（1）通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.
（2）通过观察，归纳分式方程的概念.
（3）体会分式方程到整式方程的转化思想．
（4）掌握分式方程的解法
二、教学重点：
掌握分式方程的概念和分式方程的解法.
三、教学难点：
利用分式的基本性质、等式的基本性质将等式方程转化为一元一次方程去解，并体会两者的联系与区别.
四、教学过程:
（一）回顾与思考
1. 什么叫做一元一次方程?
只含有一个未知数，并且未知数的指数为1，这样的方程叫做一元一次方程.
2. 下列方程哪些是一元一次方程?
(1)3x-5=3 (2)x+2y=5 5)3(2=−x x 15
13)4(=+−x x
3.解一元一次方程的步骤有哪些？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 4. 请解方程： 解： 去分母，得 5x-3(x+1)=15
去括号，得 5x-3x-3=15
移项，得 5x-3x=15+3
合并同类项， 得 2x=18
系数化为1，得 x=9
经检验：x=9是原方程的根.
15
13=+−x x
（二）新知探究
1．小麦实验田问题
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，分别求出这两块试验田每公顷的产量.
你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（1）第一块面积=第二块面积，
（2）每公顷的产量土地面积
总产量=
（3）第一块实验田每公顷的产量=+kg 3000第二块试验田每公顷的产量
如果设第一块实验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg.
根据题意，可得方程：
2.高速公路问题 从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600km 的普通公路，另一条是全长480km 的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45h km /，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.
这一问题中有哪些等量关系？
如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为
xh ，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为2x h .
根据题意，可得方程
452600480=−x
x 3.捐款问题
（这个题目不要求学生讨论.让学生独立完成.）
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园.某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，
3000150009000+=x x
而且两次人均捐款恰好相等.如果设第一次捐款人数为x 人，那么x 满足怎样的方程？(20
50004800+=x x ) 讨论：
上面的问题中出现了方程:
， ， 它们有什么共同特点？(这些方程的分母中都含有未知数.) 归纳：
分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程（fractionai equation).
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不出现在分母中.
随堂练习：
1.下列关于x 的方程中,其中哪几个是分式方程?
2.下列方程中哪些是分式方程？
（三）再探新知——分式方程的解法
1.探究： 你能求出前面问题中所列的方程 的解吗？请类比刚才解方程 的步骤试一试. 解：去分母，方程两边同乘x(x+3000)得
9000（x+3000)=15000x
去括号，得
3000150009000+=x x 45
2600480=−x x 2050004800+=x x 12131)1
(=−−+x x x a x =+−22)2(11
)1()3(2
=−−x x 2112)4(=−+x x 0
312)3(432)2(3312)1(=−+=−+=−x •x
x x x 1)6(11)5(14943423)4(2==−−−=++y x •x x •x x x x •3000150009000+=x x 15
1
3=+−x x
9000x+27000000=15000x
移项，得
9000x-15000x=-27000000
合并同类项，得
-6000x=-27000000
系数化为1，得
x=4500
经检验：x=4500是原方程的根.
2.思考：根据解方程过程总结解分式方程一般需要经过哪几步？
①.转化（去分母）：分式方程化为整式方程
②.求解：解整式方程
③.检验：检验由这个整式方程所得的根是不是原方程的根.
④.写根
3.归纳：
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 例1 解方程x
x 321=− 解：方程两边都乘以x(x-2),得
x=3(x-2)
解这个方程，得
x=3
检验：将x=3带入原方程，得
左边=1=右边
所以，x=3是原方程的根.
例2 解方程452600480=−x
x （两种解法） 解： 方程两边都乘以2x ，得
960-600=90x
解这个方程，得
x=4
检验：将x=4代入原方程，得
左边=45=右边
所以，x=4是原方程的根.
解法2： 原方程可化为：
32032=−x
x 方程两边都乘以x ，得
32-20=3x
解这个方程，得 x=4
检验：将x=4代入原方程，得
左边=45=右边
所以，x=4是原方程的根.
4.议一议：
解分式方程 22121−−=−−x x x 时，小亮的解为2=x ，他的答案正确吗？ 答：不正确， x=2不是原方程的根，因为它使得原方程的分母为零.
5.归纳：
①使得原方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根.产生增根的原因是，我们在等号的两边同乘了一个可能使分母为零的整式．所以解分式方程必须检验．
②验根的方法：
解分式方程进行检验的关键是：看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，则为增根；如果不为零，则为原方程的根.
补充例题：
例3 解方程 4
1622222−=−+−+−x x x x x 解：方程两边同乘以（x+2)(x-2) ，得
()()16222
2=+−−x x 解这个方程，得 x=-2
检验：当 x=-2时， （x+2)(x-2) =0
所以，x=-2是增根，原方程无解.
例4 已知13−x 与1
4+−x 互为相反数，求x 的值. 解： ∵13−x 与 1
4+−x 互为相反数 ∴01
413=+−+−x x 解之，得 x=7
经检验： x=7是原分式方程的根.
∴ x=7
随堂练习：
1.解方程：
2.m 为何值时，方程012=−++x m x m 会产生增根. （四）课堂小结
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的步骤：
转化（去分母）→求解→检验→写根.
3.增根的定义：使得原方程的分母为零的根，我们称它为原方程的增根.
4.产生增根的原因:我们在等号的两边同乘了一个可能使分母为零的整式．
5.验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是：看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零. 为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，则为增根；如果不为零，则为原方程的根.
（五）布置作业
习题3.6第1、2、3题
习题3.7第1题
x x 413)1(=−1412)2(2−=−x x 423532)3(=−+−x
x x。