1.2.2同角三角函数的基本关系(一课时)
1.2.2同角三角函数的基本关系
1.2.2同角三角函数的基本关系猜想：sin 2α+cos 2α=1 αααcos sin tan =二、知识探究（一）：基本关系（1、以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长度构成直角三角形，由勾股定理得sin 2α+cos 2α=12、根据三角函数的定义当)(2Z k k ∈+≠ππα时，有αααtan cos sin =） 思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ，那么，正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？MP 2+OM 2=1sin 2α+cos 2α=1思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？sin 2α+cos 2α=1思考3：设角α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，根据三角函数定义，有sin α=y ，cos α=x ，)0(tan ≠=x xy α， 由此可得sin α，cos α，tan α满足什么关系？ αααtan cos sin =思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？)(2Z k k ∈+≠ππα思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？sin 2α+cos 2α=1 αααtan cos sin = 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.三、知识探究（二）：基本变形思考1：对于平方关系sin 2α+cos 2α=1可作哪些变形？sin 2α=1-cos 2αcos 2α=1-sin 2α(sinα+cos α)2=1+2sinαcos α(sinα-cos α)2=1-2sinαcos α思考2：对于商数关系αααtan cos sin =可作哪些变形？ s inα=cos αtan α αααtan sin cos = 四、课本例6练习P20 1、2、3、4五、课本例7练习P20 5六、小结1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论．3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高.七、习题例1、化简︒-440sin 12分析1：︒=︒=︒-=︒-80cos 80cos 80sin 1440sin 1222分析2：︒=︒=︒=︒=︒-80cos 440cos |440cos |440cos 440sin 122练习1、4sin 12-练习2、教材P22 B 组2例2、已知tanα=2，求下列各式的值.ααααsin 11sin 112cos sin 11++-⨯）（）（ 例3、已知π<<=+q q q 0,51cos sin 求sin q -cos q 的值. 练习3、P21 12练习4、已知21cos sin =+q q ，求sin 4q +cos 4q 的值. 例4、 已知tanα=2，(1)求sinα和cosα的值. (2)1sin cos sin 5cos 3cos sin sin 222++--ααααααα求 (3)αααα22cos 3cos sin sin 2-+求八、作业P21习题1.2A 组：11 13(1)(2)。
1.2.2同角三角函数的基本关系说课稿
同角三角函数的基本关系麻城市第五中学数学组曾令洋各位专家、评委：大家下午好！我今天说课的题目是《同角三角函数的基本关系》，内容选自于高中教材新课程人教A版必修4第一章第1.2.2节，本节课内容为一课时。
下面我将从教材分析、学情分析、教法与学法分析、教学过程设计四个方面来阐述我对本节课的分析和设计。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课选自内容选自于高中教材新课程人教A版必修4第一章第1.2.2同角三角函数的基本关系，是在学生学习了任意角和弧度，并且理解了任意角三角函数的定义和三角函数线等知识的基础上，与圆的几何性质建立联系，来研究同角三角函数的基本关系，从而找到了同一个角的不同三角函数间的联系，渗透了数形结合等重要数学思想，培养学生的数学应用能力，为后续的三角函数的图像与性质的学习打下基础。
2、学情分析根据学生已有的知识，在教材“探究”的引导下，利用几何关系中的勾股定理及三角函数的定义，学生容易得出同角三角函数的基本关系，但灵活应用关系解题是学生感到困难的地方，特别是求三角函数值时符号的确定。
3、教学目标分析知识与技能目标：推导并理解同角三角函数的基本关系；已知某角的一个三角函数值，会求它其余的三角函数值；能初步应用同角三角函数的基本关系化简三角函数，证明三角函数恒等式。
过程与方法目标：牢固掌握同角三角函数的基本关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角问题的思维能力；灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。
情感态度价值观目标：通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位，训练三角恒等变形的能力，培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。
重点：同角三角函数的基本关系推导及应用.难点：是同角三角函数基本关系式的几何推导，三角函数值符号的确定。
二、教法与学法分析.结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—合作探究—应用”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。
课件10： 1.2.2 同角三角函数的基本关系
3．常用技巧 (1)“1”的代换．为了解题的需要有时可以将1用“sin2α＋ cos2α”代替． (2)切化弦．利用商数关系把正切化为正弦函数或余弦函数． (3)整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当 变形找出与算式之间的关系．
1.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标
(一)知识与技能 1．理解同角三角函数的基本关系式． 2．会运用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明． (二)重点和难点 1．重点：同角三角函数的基本关系及其应用． 2．难点：同角三角函数的基本关系的应用．
基础知识
同角三角函数的基本关系 同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切， 即 sin2α＋cos2α＝1(α∈R)，csoins αα＝tan α α≠kπ＋π2，k∈Z .
)
A．13
B．－13
C．1138
D．13或1138
【解析】∵tan α＝2，∴sin2α＝4cos2α.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝15.
sin3α＋cos sin3α＋sin
αα＝88ccooss33αα＋＋2ccoossαα＝88ccooss22αα＋ ＋12＝8585＋ ＋12＝1138.
A．－43
B．－34
C．34
D．43
【解析】∵sin α＝45且 α 是第二象限角，
∴cos α＝－ 1－sin2α＝－35，∴tan α＝－43.故选 A．
【答案】A
3．若 sin θcos θ＝12，则 tan θ＋csoins θθ的值是________．
【解析】tan θ＋csoins θθ＝csoins θθ＋csoins θθ＝sisni2nθ＋θcocos sθ2θ＝
高中数学《1.2.2同角三角函数的基本关系》课件新人
① (4 分)
②(8 分) (10 分) (12 分)
4 3 由①②解得 sin α＝5，cos α＝－5， sin α 4 所以 tan α＝ ＝－ . cos α 3
【题后反思】 (1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 三个式 子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”．它 们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α. (2)求 sin α＋cos α 或 sin α－cos α 的值， 要注意判断它们的符号．
2
4 5×5＋8 3 ∴原式＝ ＝－4. 3 15×－5－7
使用开方关系 sin α＝± 1－cos2α和 cos α＝ ± 1－sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负的依据是 角 α 所在的象限，如果角 α 所在的象限是已知的，则按三角函 数值在各个象限的符号来确定正负号；如果角 α 所在的象限是 未知的，则需按象限进行讨论．
1 [规范解答] 由 sin α＋cos α＝5 12 得 sin αcos α＝－ <0， 25 又 0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，则 sin α－cos α<0， ∴sin α－cos α＝ sin α－cos α2＝ 1－2sin αcos α ＝
12 7 1－2×－25＝ 5
1＋cos α sin2α－1＋cos α1－cos α sin α 法二 － ＝ sin α 1－cos α 1－cos αsin α sin2α－1－cos2α sin2α－sin2α ＝ ＝ ＝0， 1－cos α· sin α 1－cos α· sin α 1＋cos α sin α ∴ ＝ . sin α 1－cos α
课件7：1.2.2 同角三角函数的基本关系
α＋cos α－cos
αα＝ ＝122，7，得出csions
α＝1＋4 7， α＝ 74－1，
所以 tan α＝4＋3
7 .
类型 3 利用 tan α 求值
例 3 设 tan α＝2，求1＋si2ns2iαn－α·cosc2oαs α的值．
【自主解答】
1＋2s θ＋cos θ＝ 32－1的两边分别平方，
得
1＋2sin
θcos
θ＝1－
23，即
sin
θcos
θ＝－
3 4.
所以 sin θcos θ＝sisni2nθθ＋cocsosθ2θ＝1＋tatnanθ2θ＝－ 43，
解得 tan θ＝－
3或
tan
θ＝－
3 3.
∵θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝ 32－1<1， ∴θ∈2π，π，且|sin θ|>|cos θ|， ∴|tan θ|>1，即 θ∈π2，34π，∴tan θ<－1， ∴tan θ＝－ 3.
α＝sin2α＋csoins22αα＋－2csoisn2αα·cos
α，
将上式分子、分母同除以 cos2α，得原式＝tan2αta＋n21α＋－21tan α＝93＝3.
[再练一题]
3．已知 tan α＝3，则 2sin2 α＋4sin αcos α－9cos2α 的值为(
A．3
B．2110
C．13
A．153
B．－153
C．152
D．－152
【解析】 由条件知 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－11232＝－153.
【答案】 B
3．已知 sin α＝ 55，则 sin4α－cos4α 的值为(
1.2.2同角三角函数的基本关系课件人教新课标
练习3. 教材P.20练习第4题．
三、证明问题
例4.
小 结：
关于三角恒等式的证明, 常有以下方法：
小 结：
关于三角恒等式的证明, 常有以下方法： (1) 从一边开始，证得它等于另一边，一 (2) 般由繁到简；
小 结：
关于三角恒等式的证明, 常有以下方法： (1) 从一边开始，证得它等于另一边，一 (2) 般由繁到简； (2) 左右归一法:
注意
⑴ 注意“同角”，至于角的情势无关重要，
如sin24＋cos24＝1等.
注意
⑴ 注意“同角”，至于角的情势无关重要，
如sin24＋cos24＝1等.
⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意 义的角而言的.
注意
⑴ 注意“同角”，至于角的情势无关重要，
如sin24＋cos24＝1等.
⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意 义的角而言的.
⑶ 对这些关系式不仅要坚固掌握，还要 能灵活运用（正用、反用、变形用）.
一、求值问题 例1.
一、求值问题 例2.
一、求值问题
小 结：
1. 整体代换; 2. “1”的活用; 3. 正切化弦.
二、化简问题 练习1.
二、化简问题 练习1.
练习2.
化简的基本要求
1. 项数最少、次数最低、函数种类 最少;
证明左、右两边式子等于同一个式子．
小 结：
(3) 比较法:
小 结：
(3) 比较法:
(4) 变式证明法： 将原等式转化为与其等价的式子加以 证明．
小 结：
(3) 比较法:
(4) 变式证明法： 将原等式转化为与其等价的式子加以 证明．
(5) 分析法．
21-22版：1.2.2 同角三角函数的基本关系（步步高）
1.2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点 同角三角函数的基本关系式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × )提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1.2．sin 2θ2＋cos 2θ2＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × ) 提示 当α＝π2＋k π，k ∈Z 时就不成立． 4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × )题型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. (2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 －125解析 ∵sin α＋cos α＝713， ∴(sin α＋cos α)2＝49169， 即2sin αcos α＝－120169<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125. 反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题的突破口．跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．(1)当α是第二象限角时，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 反思感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．跟踪训练2 已知cos α＝－45，求sin α和tan α. 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝925， 因为cos α＝－45<0， 所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35， tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35， tan α＝sin αcos α＝34. 题型二 齐次式求值问题例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求值解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式．跟踪训练3 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值． (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求三角函数值解 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.三角函数式的化简与证明典例 (1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α ＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式证明证明 ∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．[素养评析] (1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．(3)掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值为( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 A解析 ∵α为第二象限角，sin α＝45， ∴cos α＝－35，tan α＝－43. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35 B ．－15 C.15 D.35考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式化简、求三角函数值答案 A解析 sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 3．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简答案 B解析 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3. 4．已知tan x ＝－12，则sin 2x ＋3sin x cos x －1的值为( ) A.13B ．2C ．－2或2D ．－2考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D5．已知：tan αtan α－1＝－1，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝ . 答案 －53解析 由已知得：tan α＝12， ∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数名的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．。
1.2.2同角三角函数的基本关系式(第一课时)
cos
2
况, 我们都称它们为三角恒等式, 也就是说这些关系式
是在它们各自定义域上的恒等式,即当取使关系式都
有意义的任意值时, 关系式两边的值都相等,以后所说
的恒等式,也都假定是在使两边都有意义的情况下的
恒等式.
(2)上面的基本三角关系式，反映了同角三角函数之间
的内在联系，这里的“同角”，应作广义的理解，
必修4 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数
1.2.2同角三角函数的基本关系式
一、归纳探索
sin
cos
tan sin2 cos2
sin cos
30 1
3
3
2
2
3
1
3 3
45 2
2
2
2
1
1
1
60 3
1
3
1
3
2
2
150 1
3
3
1
3
2
2
3
3
sin2 cos2 1
tan sin cos
sin s in 2 cos 2 1cos tan
s in cos
cos
sin
tan
六:小结
1 :同角的三角函数的基本关系的推导
2 :同角的三角函数的基本关系
1sin2 cos 2 1
2tan sin
cos 3 :同角的三角函数的基本关系应用
求值 先定象限,后定值
例如 与 ，3与3是同角，5 和5 也是同角。
33
7
7
三 : 同 角 的 三 角 函 数 的 基 本关 系 的 应 用
1 : 应用之一: 求三角函数的值
例1 :已知sin 3 ,求cos , tan的值
课件9： 1.2.2 同角三角函数的基本关系
4．已知 sin α＝153，α∈π2，π，则 tan α＝________.
答案：－152
题型探究
类型一 利用同角基本关系式求值
[典例] (1)已知 sin α＝1123，并且 α 是第二象限角，求 cos α 和 tan α. (2)已知 sin α＋2cos α＝0，求 2sin αcos α－cos2α 的值．
(×)
(3)若 cos α＝0，则 sin α＝1.
(×)
2．已知 α∈0，2π，sin α＝35，则 cos α＝ ( )
A．45
B．－45
C．－17 答案：A
D．35
3．已知 cos α＝12，且 α 是第四象限角，则 sin α＝ ( )
A．±12
B．±
3 2
C．－
3 2
答案：C
D．－12
[解] (1)cos2α＝1－sin2α＝1－11232＝1532，又 α 是第二象限角，所以 cos α<0， cos α＝－153，tan α＝csoins αα＝－152. (2)由 sin α＋2cos α＝0，得 tan α＝－2. 所以 2sin αcos α－cos2α＝2sinsiαn2cαo＋s αc－osc2αos2α＝2tatann2αα＋－11＝－44＋－11＝－1.
所以 sin θ－cos θ＝
sin θ＋cos θ 2－4sin θcos θ＝
122－4×－38＝
7 2.
方法感悟
已知 sin α±cos α，sin αcos α 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的 方法求解．涉及的三角恒等式有： ①(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； ②(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； ③(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； ④(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，已知 sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ 中的任何 一个，则另两个式子的值均可求出．
1.2.2 同角三角函数的基本关系
y
P P
O
x
基本变形
当
根据三角函数定义,sinα ，cosα ，
tanα 满足什么关系？
基本变形
同角三角函数的基本关系: 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
“同角”二层含义:一是“角相同”,
二是“任意”一个角.
是否存在同时满足下列三个条件的角
?
不存在
同角三角函数的基本关系式的灵活应用
=AT
有向线段MP、OM、AT,分别叫做角
的正弦线、
余弦线、正切线，统称为三角函数线.
同角三角函数的基本关系
如图，设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P， 那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？
由此能得到什么结论？
y P
1
M
O
x
上述关系反映了角α 的正弦和余弦之间的内在联系， 根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α 的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
1.求值
例1 已知
解:因为 所以
,求 ,
的值.
是第三或第四象限角.
由
得
如果
是第三象限角,那么
从而
如果 是第四象限角,那么
2.证明三角恒等式 例2 求证：
所以原式成立.
所以原式成立.
பைடு நூலகம் A
D
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的. 2.利用平方关系求值时要根据角所在的象限确定三角函 数值符号． 3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题.
1.2.2
同角三角函数的基本关系
1.掌握同角三角函数的基本关系式;
2.会用基本关系式证明有关问题;
1.2.2同角三角函数的基本关系
(cos x − sin x ) 2 = (cos x − sin x )(cos x + sin x ) cos x − sin x = cos x + sin x 左边 中间 证法二： 证法二：
(1 − tan (1 + tan cos x − = cos x +
x ) ⋅ cos x x ) ⋅ cos x sin x sin x
同步训练题： 同步训练题：
8 1、已知cos α = − ，且α是第 17 二象限角，求sin α， α的值． tan
1 2、已知 tan α = ，求 cos α 2 和 sin α值．
9
8 Q 1、解： sin α + cos α = 1, cos α = − 17 2 2 ∴ sin α = 1 − cos α 8 2 15 2 = 1 − (− ) = ( ) , 17 17 Q α是第二象限角 ∴ sin α > 0
2 2
15 ∴ sin α = ， 17 sin α 15 tan α = =− ， cos α 8
10
sin α 1 2、解： tan α = Q = ∴ cos α = 2 sin α , cos α 2 Q sin 2 α + cos 2 α = 1 ∴ 5 sin 2 α = 1, 1 又 Q tan α = > 0 ∴α是第一或第三象限角 2 当α是第一象限角时， 5 2 5 sin α = , cos α = 5 5 当α是第三象限角时， 5 2 5 sin α = − , cos α = − 5 5
15
小结
1. 同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”， sin β 2 2 因此 sin α + cos β ≠ 1 tan α ≠ ， ……． cos γ
1.2.2 同角三角函数的基本关系 (1)
复习：
❖ （1）角的正弦函数、余弦函数和正切函数的 定义如何表示？
❖ （2）各象限角的三角函数值的正负号？
观察：写出几个特殊角的三角函数值，观
察他们之间的关系；猜想之间的联系。
❖ 思考： 从以上的过程中你能发现什么一般规律？
能否用代数式表示这两个规律？
学导结合：
❖ 一 同角三角函数的基本关系
平方关系： sin 2 cos2 1
商数关系： sin tan
cos
k (k Z )
2
巩固知识 典型例题❖例1：已知s in
3 5
，且
是第三象限的角，求
cos, tan 的值
变式：
❖ 已知 sin 3 ，求 cos, tan 的值
5
❖ 例2：已知 tan 5 , 求 sin, cos 的值。
12
探究深化：
❖ 探究：已知 tan 2 ，求
❖ （1） sin cos sin cos
❖ （2） sin cos
总结反思：
（1）本节课的收获 （2）本节课的不足
❖ 作业： 课本第21也第10,11,12题
1.2.2同角三角函数的基本关系 优秀课件
填要点、记疑点
1.2.2
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系： sin 2α＋cos 2 α＝1 .
(2)商数关系：tan
α＝csoins
α α
(α≠kπ＋π2，k∈Z)
．
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1 的变形公式：
sin2α＝ 1－cos 2α ；cos2α＝ 1－sin 2 α ；
sin cos
3300°°＝tan
30°，csoins
4455°°＝tan
45°，csoins
6600°°＝tan
60°，csoins
115500°°＝tan
150°.
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：同角三角函数的基本关系式
1.2.2
思考 2 从以上的过程中，你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示 这两个规律？
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
明目标、知重点
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、 求值和证明．
1.2.2
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
答 设点 P(x，y)为 α 终边上任意一点，P 与 O 不重合．
P 到原点的距离为 r＝ x2＋y2>0，则 sin α＝yr，coys α＝xr，tan α＝xy. 于是 sin2α＋cos2α＝(yr)2＋(xr)2＝y2＋r2 x2＝1，csoins αα＝rx＝yx＝tan α.
1.2.2同角三角函数的基本关系
应用 1．利用同角三角函数的基本关系 求某个角的三角函数值
例1．已知sinα＝－3/5，且α在 第三象限，求cosα和tanα的值.
1.2.2 同角三角函数的基本关系
在初中我们已经知道，对于同一 个锐角α，存在关系式：
si2n co 2 s1
sin tan cos
上述公式是否对任意的角α都成立? 你能证明吗?
注意：1、“同角”是指公式与角的表达 形式无关， 如： si23 n co 23 s1
2、上述关系（公式2）都必须在定义域 允许的范围内成立。
3．利用同角三角函数的基本关系证明 三角等式
例6．求证： cos 1sin 1sin cos
例2．已知
cosm(m0,m1), 求的其他三角
例3.已知 tanα=3,求值（1）45scions 23csions
（2）2 s2 in sic no 3 s c2 o
2．利用同角三角函数的基本关系化简三角 函数式
例4．化简： 1sin2 440
例5．已知
是第三象限角 11 ss， iinn 化 11简 ssiinn
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任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别 是如何定义的？ y sin y cos x tan ( x 0)
2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、 正切函数线分别是什么？ y P MP=sinα ，
A
x
OM=cosα ，
M O T
x
AT=tanα .
3.对于一个任意角α ，sinα ，cosα ， tanα 是三个不同的三角函数，从联系 的观点来看，三者之间应存在一定的内 在联系，我们希望找出这种同角三角函 数之间的基本关系，实现正弦、余弦、 正切函数的互相转化，为进一步解决三 角恒等变形问题提供理论依据．
知识探究（一）：基本关系
cos a = 1 , 2 1 + t an a
sin a = cos a tan a .
理论迁移
例1
求证： 4 2 2 2 sin sin cos cos 1.
3 例2 已知 sin ,求 5
cos ， 的值. tan
.
若α
3 4 是第三象限角，则 cos 5 ，tan 4
sin cos . tan
思考3：结合平方关系和商数关系， 可得到哪些新的恒等式？
1 cos a = , 2 1 + t an a
2
t an a sin a = . 2 1 + t an a
2
2
思考4：若已知sinα 的值，如何求cosα 和tanα 的值？ sin 2 . cos a = ? 1 sin a , tan cos 思考5：若已知tanα 的值，如何求sinα 和cosα 的值？
4 3 cos ，tan . 5 4
若α是第四象限角，则
例3 已知tanα =2，求下列各式的值.
1 1 1 （1） sin a ×cos a ；（2）1 - sin a + 1 + sin a
5 2
1 例4 已知 sin q + cos q = ， 2 4 4 求 sin q + cos q 的值.
y
P
sin cos 1
2 2
P
O
x
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点 P（x，y），根据三角函数定义，有 y sin y ， x，tan ( x 0) ， cos x 由此可得sinα ，cosα ，tanα 满足什 么关系？ sin tan cos
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？ a k (k Z )
2
思考5：平方关系和商数关系是反映同一 个角的三角函数之间的两基本关系， 它们都是恒等式，如何用文字语言描述 这两个关系？
sin cos 1
2 2
sin tan cos
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
知识探究（二）：基本变形
思考1：对于平方关系 sin cos 1 可作哪些变形？ 2 2 2 2 sin 1 cos , cos 1 sin ,
2 2
sin 2 cos2 1
(sin a + cos a ) = 1 + 2 sin a cos a ,
思考1：如图，设α 是一个任意角，它 的终边与单位圆交于点P，那么，正弦 线MP和余弦线OM的长度有什么内在联 系？由此能得到什么结论？
y
MP OM 1
2 2
P
1
sin cos 1
2 2
M
O
x
思考2：上述关系反映了角α 的正弦和 余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 将它称为平方关系.那么当角α 的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.
2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算， 因此要根据角所在的象限确定三角函数值符 号，必要时应就角所在象限进行分类讨论．
3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问 题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总 结、提高.
作业： P20 练习：1，2，4，5. P21习题1.2A组：11，12.
2
2
(sin a - cos a ) = 1 - 2 sin a cos a ,
1 + sin a cos a = . cos a 1 - sin a
1 + cos a sin a = , sin a 1 - cos a
sin 思考2：对于商数关系 cos tan 可作
哪些变形？
sin a = cos a t an a ,