第九章 振动习题
大物B课后题09-第九章振动学（1）
习题9-5.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。
设弹簧的劲度系数为k 1和k2.解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 12()F k k x =-+ 根据牛顿第二定律有2122()d xF k k x ma m dt=-+==化简得21220k k d x x dt m++= 令212k k m ω+=则2220d x x dtω+=所以物体做简谐振动，其周期22T πω==9-6 如图所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子，+q 和-q 相距l ，且l 不变。
若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消失后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。
试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。
设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。
解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图所示位置时，点偶极子所受力矩为 sin sin sin 22l lM qE qE qEl θθθ=--=- 点偶极子对中心O 点的转动惯量为2221222l l J m m ml ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由转动定律知2221sin 2d M qEl J ml dtθθβ=-==∙化简得222sin 0d qEdt mlθθ+=当角度很小时有sin θθ≈，若令22qEmlω=，则上式变为222sin 0d dtθωθ+= 所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。
而且其周期为22T πω==9-7 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。
汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在 1.3v Hz = 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。
问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？解 汽车正常载重时的质量为m ，振子总劲度系数为k ，则振动的周期为2T =，频率为1v T == 正常载重时弹簧的压缩量为22220.15()44mg T g x g m k vππ====9-8 一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O 点，如图所示。
第9章振动学基础习题
第9章振动学基础习题9.1 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1cos（8πt＋2π/3）（SI）的规律振动，求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初相以及速度与加速度的最大值；（2）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（3）t＝1、2、5、10s等各时刻的相位；（4）分别画出振动的x-t图线，v-t图线和a-t图线；（5）画出这些振动的转动矢量图示，并在图中指明t＝1、2、5、10s时矢量的位置。
9.2 一个弹簧振子m=0.5kg，k=50N／m，振幅A=0.04m，求：（1）振动的圆频率，最大速度和最大加速度；（2）当振子对平衡位置的位移为x=0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力；（3）以速度具有正的最大值时为计时起点，写出振动的表达式。
9.3 一质点在x=0附近沿x轴作简谐振动。
在t=0时位置为x=0.37cm，速度为零，振动频率为0.25Hz。
试求：（1）周期、圆频率、振幅；（2）在时刻t的位置和速度；（3）最大速度和最大加速度的值；（4）在t=3.0s时的位置和速率。
9.4 作简谐振动的小球，速度最大值为v m=3cm/s，振幅A=2cm，若从速度为正的最大值时开始计算时间，求：（1）振动的周期；（2）加速度的最大值；（3）振动表达式。
9.5 如图，两轻弹簧与小球串联在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A、B之间，整个系统放在水平面上。
设弹簧的原长为l1、l2，倔强系数为k1、k1，A、B间距离为L，小球的质量为m。
（1）试确定小球的平衡位置。
（2）使小球沿弹簧长度的方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否是简谐振动？振动的周期为多少？9.6 一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量为m的盘子。
现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，盘子开始振动起来。
（1）此时振动周期与空盘振动的周期各为多少？（2）此时振动的振幅。
第9章振动之练习题及参考答案
1、 一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 )312cos(1042π+π⨯=-t x (SI)．从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为(A)s 81(B)s 61 (C)s 41 (D)s 31 (E)s 21 ［ ］2、一物体作简谐振动，振动方程为)41cos(π+=t A x ω．在 t = T /4（T 为周期）时刻，物体的加速度为 (A) 2221ωA -． (B)2221ωA ．(C) 2321ωA -． (D) 2321ωA ．3、一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［ ］4、一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为(A) E 1/4． (B) E 1/2．(C) 2E 1． (D) 4 E 1 ． ［ ］5、一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点．已知周期为T ，振幅为A ．(1) 若t = 0时质点过x = 0处且朝x 轴正方向运动，则振动方程为x =_____________________________．(2) 若t = 0时质点处于A x 21=处且向x 轴负方向运动，则振动方程为x =_____________________________．(A (B ) (C )(D -x6、一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2 cm ，则该简谐振动的初相为____________．振动方程为____________________________．7、一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A 点处的速率．8、一弹簧振子沿x 轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x 轴原点）．已知振动物体最大位移为x m = 0.4 m 最大恢复力为F m = 0.8 N ，最大速度为v m = 0.8π m/s ，又知t = 0的初位移为+0.2 m ，且初速度与所选x 轴方向相反．(1) 求振动能量；(2) 求此振动的表达式．9、质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)318cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E ； (4) 平均动能和平均势能．10、一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．参考答案1、E2、B3、B4、Dt-5、)212cos(π-πTt A ， )312c o s (π+πTt A6、 π/4 ， )4/c o s (1022π+π⨯=-t x (SI)7、解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒， ∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1，ω = 2πν = (π /4) s -1(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方． t = 0时， 5-=x cm φcos A = t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=由上二式解得 tg φ = 1 因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图）25c o s /==φx A cm∴ 振动方程 )434c o s (10252π-π⨯=-t x (SI) (2) 速率)434s i n (41025d d 2π-π⨯π-==-t t xv (SI)当t = 0 时，质点在A 点221093.3)43sin(10425d d --⨯=π-⨯π-==tx v m/s 8、解：(1) 由题意 kA F m =，m x A =，m m x F k /=． 16.021212===m m m x F kx E J(2) π===2mm m x Av v ω rad /s由 t = 0， φc o s0A x ==0.2 m ， 0sin 0<-=φωA v 可得 π=31φ则振动方程为)312c o s (4.0π+π=t x9、解：(1) A = 0.5 cm ；ω = 8π s -1；T = 2π/ω = (1/4) s ；φ = π/3(2) )318s i n (1042π+π⨯π-==-t xv (SI))318cos(103222π+π⨯π-==-t xa (SI)(3) 2222121Am kAE E E P K ω==+==7.90×10-5 J(4) 平均动能 ⎰=TK tm T E 02d 21)/1(v⎰π+π⨯π-=-Tt t m T 0222d )318(s i n )104(21)/1(= 3.95×10-5 J =E2110、解：(1) 设振动方程为 )c o s (φω+=t A x由曲线可知 A = 10 cm , t = 0，φcos 1050=-=x ，0sin 100<-=φωv 解上面两式，可得 φ = 2π/3由图可知质点由位移为 x 0 = -5 cm 和v 0 < 0的状态到x = 0和 v > 0的状态所需时间t = 2 s ，代入振动方程得 )3/22c o s (100π+=ω (SI) 则有2/33/22π=π+ω，∴ ω = 5 π/12 故所求振动方程为 )3/212/5cos(1.0π+π=t x (SI)。
大学物理2-1第9章习题课
L x y 10 cos 200 t ( L 1) 200
3
x 10 cos200 ( t ) ( 2 L 1 ) 200
3
x 10 cos[200 （ t＋ ）+ ] 200 2
例：A、B两弹簧的倔强系数分别为kA, kB,其质量均可忽略不计 ，今将二弹簧连接起来并竖直悬挂，当系统静止时，而弹簧的 弹性势能EpA与EpB之比
①
E pA E pB
E pA k A 2 E pA k B E pA k B 2 kA ② 2 ③ ④ 2 E pB k B kB E pB k A E pB k A
习
题
1、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米， 时间的单位为秒，则简谐振动的振动方程为： [ C ]
A) x 2 cos(2t / 3 2 / 3)cm
B ) x 2 cos(2t / 3 2 / 3)cm C ) x 2 cos(4t / 3 2 / 3)cm D ) x 2 cos(4t / 3 2 / 3)cm E ) x 2 cos(4t / 3 / 4)cm
kA kB
E pA
E pB
2 1 1 mg ( mg ) k A (x A )2 k A ( )2 2 2 kA 2k A
2 1 1 mg ( mg ) k B (x B )2 k B ( )2 2 2 kB 2k B
A B
m
E pA E pB
kB kA
o L=2.25m
x
L y A 10 cos[200 (t )] 200
3
在A点反射后，由于存在半波损失，所以反射时：
9-振动学基础
，初位相2=___________.
答案：4cm 2π/3 提示：运用旋转矢量法，如图。
y
A
A2
A1
O
x
解答 12 题
-7-
二、选择题
1、下列说法正确的是： (A) 简谐振动的运动周期与初始条件无关；(B) 一个质点在返回平衡位置的力作用下，一定做简谐振 动；(C) 已知一个谐振子在 t =0 时刻处在平衡位置，则其振动初相为π/2；(D) 因为简谐振动机械能守恒， 所以机械能守恒的运动一定是简谐振动。
周期 T；2）当速度是 12cm/s 时的位移。
9-S 简谐振动的运动规律
4、如图，一质点在一直线上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点（t=0），经
2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后第 2 次经过 B 点，若己知该质点在 A，B 两点具有相同的速率，
AB=10cm，求：1）质点的振动方程；2）质点在 A 点（或 B 点）处的速率。
计算 5 题
mF
7、有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为
x1
10 cos(2t
)
cm，
x2
10 cos(2t
)
2
cm，
O
计算 6 题
1) 求它们的合振动方程；
2) 另有一同方向的简谐振动 x3 2 cos(2t 3 ) cm，问当3 为何值时， x1 x3 的振幅为最大值？
8、一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A，周期为 T，其振动方程用余弦
(A) Asin ;
(B) Asin ; (C) A cos ; (D) A cos
y
Hale Waihona Puke 4、如图所示质点的简谐振动曲线所对应的振动方程是：
第9章 振动学基础答案
第9章 振动学基础答案9.4 一个运动质点的位置与时间的关系为 m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=325cos 1.0ππ , 其中x 的单位是m , t 的单位是s .试求：（1）周期、角频率、频率、振幅和初相位； （2）t =2s 时质点的位移、速度和加速度.解：（1）由题中质点位置与时间的关系便知，振幅A =0.1m ，初相位3πϕ=，角频率s rad /25πω=，频率Hz 45=ν，周期s f T 8.0541===（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325sin 41πππυt dt dx ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325cos 85222πππt dt x d a 则当t=2s 时，质点的位移，速度和加速度分别为m x 05.03cos 1.03225cos 1.0-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=πππ；s m /68.0833sin 413225sin 41===⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=ππππππυ222/1.33cos 853225cos 85s m a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=πππππ9.5 一个质量为2.5kg 的物体，系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定.若弹簧受10N 的拉力,其伸长量为5.0cm,求物体的振动周期.解：由kx f =可得弹簧的经度系数为 m N x f k /1021051022⨯=⨯==- 弹簧振子的周期 s k m T 70.01025.2222=⨯==ππ9.6 如图9.27图所示 ,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的劲度系数为1k 和2k 。
解：设物体离开平衡位置的位移是x ，此时物体所受合力x k k f )(21+-=作为线性回复力，则有021=++x m k k x故m k k 21+=ω mk k 2121+=πν9.7 如图9.28所示 , 求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的径度系数为1k 和2k 。
解：设物体m 离开平衡位置的位移为x ，所受线性回复力为f 则有）（12211x k x k f -=-= )2(21xx x =+（1）、（2）联立解之得 212121/1/11k k k k x k k f +-=+-=所以有振动方程0)(12121=++x k k k k m x，则 )(21,)(21212121k k m k k k k m k k +=+=πνω9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式.解：对于单摆系统中的物体m ，其振动动能 2222121θυ ml m E k == 系统的势能（重力势能）221)cos 1(θθmgl mgl mgh E p ≈-== 而系统的总能量 201θm gl E E E p k =+= 所以20212212221θθθmglmglml =+ 由此得：)()(22022202θθωθθθ-=-=lg )220θθωθ-±= 9.9 与轻弹簧的一端相接的小球沿x 轴作简谐振动,振幅为A ,位移与时间的关系可以用余弦函数表示.若在t =0时,小球的运动状态分别为（1）x = - A ；（2）过平衡位置,向x 轴正向运动；（3）过x =A /2处,向x 轴负向运动；（4）过2/A x =处,向x 轴正向运动.试确定上述状态的初相位. 解：位移x 与时间t 的一般关系可表为 )cos(ϕω+=t A x（1）t =0时，A x -=， 则有ϕcos A A =-， 即1cos -=ϕ。
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略 9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x m F G G mx x πρπρ=-=- 令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ＝1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
内蒙古科技大学马文蔚大学物理下册第六版解答
内蒙古科技⼤学马⽂蔚⼤学物理下册第六版解答
第九章振动
习题：P37～39 1，2，3，4，5，6，7，8，16.
9-4 ⼀质点做简谐运动,周期为T,当它由平衡位置向X轴正⽅向运动时,从1/2最⼤位移处到最⼤位移处这段路程所需的时间( )
A、T/12
B、T/8
C、T/6
D、T/4
分析（C），通过相位差和时间差的关系计算。
可设位移函数
y=A*sin(ωt),其中ω=2π/T；
当 y=A/2,ωt1=π/6；当 y=A,ωt2=π/2；△t=t2-t1=[π/(2ω)]-[π/(6ω)]=π/(3ω)=T/6
第⼗章波动
习题：P89～93 1，2，3，4，5，6，12，16，25，
10-6在驻波中,两个相邻波节间各质点的振动（）：
A.振幅相同,相位相同
B.振幅不同,相位相同
C.振幅相同,相位不同
D.振幅不同,相位不同
答案：波函数叠加检验.（C) 振幅相同，相位相反
第⼗⼀章光学
P177～182 1，2，3，4，5，6，7,8,11,23,26,31,37,38.
11-4 、在迈克尔逊⼲涉仪的⼀条光路中,放⼊⼀⽚折射率为n=1.4的透明介质薄膜后，⼲涉条纹产⽣了7.0条条纹移动.如果⼊射光波长为589nm,则透明介质薄膜厚度为( )
A 10307.5nm
B 1472.5nm
C 5153.8nm
D 2945.0nm
答案（C）由2(n-1)t=N得出
11-26、某⼈⽤迈克尔逊⼲涉仪测量⼀光波的波长，当可动反射镜M 移动了0.310mm 的过程中，观察到⼲涉条纹移动了1100条，求该光波的波长
解：d=N /2, =563.6nm。
第9章_振动集美大学物理答案
第9章_振动集美⼤学物理答案班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第9-1 振动⼀．填空题：1．为了测得⼀物体的质量m ，将其挂到⼀弹簧上，并让其⾃由振动，测得振动频率v 1=1.0Hz ；若再将另⼀个质量m 2=0.5kg 的物体单独挂在该弹簧上，测得振动频率v 2=2.0Hz ，则被测物体的质量m = 2.0 kg 。
（设振动均在弹簧弹性限度内进⾏）2．如图为以余弦函数表⽰的简谐运动的振动曲线，则其初相?=3π-或53π，P 时刻的相位为0或2π。
⼆．选择题：3．下列表述中正确的是： ( D )(A) 物体在某⼀位置附近来回往复的运动是简谐振动。
(B) 质点受回复⼒（恒指向平衡位置的作⽤⼒）作⽤，则该质点⼀定作简谐振动。
(C) 拍⽪球的运动是简谐振动(D) 某物理量Q 随时间t 的变化满⾜微分⽅程0222=+Q dtQ d ω，则该物理量按简谐振动的规律变化（ω由系统本⾝的性质决定）。
4．⼀质点沿x 轴作简谐运动，运动⽅程为 x ＝4×10-2 cos(ππ312+t ) (SI) ，从t ＝0时刻起，到质点位置在x ＝－２cm 处，且向x 轴正⽅向运动的最短时间间隔为：（ C ） (A) 1/8 s (B) 1/4 s (C) 1/2 s (D) 1/3 s (E) 1/6 s５．⼀个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A /2，且向x 轴的正⽅向运动，代表此简谐运动的旋转⽮量图为：（ B ）(D)(A)(C)三．计算题：6．作简谐运动的⼩球，速度最⼤值v m =3㎝/s ，振幅A ＝2㎝。
若从速度为正的最⼤值的某时某刻开始计时，求：⑴振动周期；⑵加速度的最⼤值；⑶振动表达式。
解：⑴由ωυA m =，得s rad Am/23==υω，所以s T 342πωπ==；⑵由22/5.4s cm A a m ==ω⑶由题意可得初识时刻的旋转⽮量图如右所⽰，可见2π-=，所以振动表达式为)()223cos(2cm t x π-=7．某振动质点的x-t 曲线如图所⽰，试求：⑴运动⽅程；⑵点P 对应的相位；⑶到达点P 相应位置所需时间。
第九章 光的偏振习题
第九章 光的偏振习题一、择填空题1、按照小说《隐形人》中所述，其主人公发明了一种特殊的化合物，喝了它以后，他就成为光的完全透明体，完全隐形了。
可是小说的作者忽略了一个重要的事实，那就是这位隐形人也看不见周围的东西，这是因为（A ）光束正好干涉相消；（B ）偏振光的布儒斯特定理；（C ）透明的视网膜无法吸收光线；（D ）入射光的全反射；（E ）对于不同波长的入射光，眼睛的焦距会发生变化。
答案[ ]2、如图1所示，一束自然光入射到折射率分别为n 1和n 2的两种介质的交界面上，发生反射和折射。
已知反射光是完全偏振光，那么折射角r 的值为。
3、（1）如图2a 所示 ，一束自然光入射在方解石晶体的表面上，入射光线与光轴成一定角度。
这时将有 条光线从方解石透射出来；（2）如果把方解石切割成等厚的A 、B 两块，并平行地移开很短一段距离，如图2b 所示，此时光线通过这两块方解石后将有 条光线射出来；（3）在图b 中如把B 块绕光线转过一个角度，此时将有条光线从B 块射出来。
4、将自然光入射到两个主截面互成60°角的尼科耳棱镜上，可得到一偏振光。
若在两个尼科耳之间再放入一块偏振片，使其偏振化方向和两尼科耳的主截面各成30°角，则放入偏振片前入射光强与出射光强之比是 ；放入偏振片前与放入偏振片后两次出射光强之比是 。
5、一单色光通过偏振片P 投射到屏上形成亮点，若将P 以入射光线为轴旋转一周，发图2A B (b)(a)图1i 0现屏上亮点产生明暗交替的变化，由此，判定入射光是A ．线偏振光；B ．圆偏振光；C ．部分偏振光；D ．自然光。
答案 [ ]6、波长为λ的平行单色光垂直入射到缝宽为a 的单缝上，在缝后凸透镜的焦平面处有一观察屏，如图3所示。
若在缝前盖上两块偏振片P 1和P 2，两块偏振片各遮盖一半缝宽，而且P 1的偏振化方向与缝平行，而P 2的偏振化方向与缝垂直，试问：（1）屏上的衍射条纹宽度[A] 增为两倍； [B] 减为一半； [C] 不变；答案 [ ]（2）自然光通过偏振片后，光强[A] 增强； [B] 减弱； [C] 不变。
高二物理第九章 机械振动-单摆知识点总结练习题(含答案解析)
三、单摆1、单摆：在细线的一端拴一小球，另一端固定在悬点上，如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆2、单摆是实际摆的理想化模型3摆长:摆球重心到摆动圆弧圆心的距离 L=L0+R4偏角:摆球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角（偏角一般小于5°） 2、单摆的回复力：平衡位置是最低点 ，kx F -=回回复力是重力沿切线方向的分力，大小为mg sin θ，方向沿切线指向平衡位置单摆的周期只与重力加速度g 以及摆长L 有关。
所以，同一个单摆具有等时性 重力加速度g:由单摆所在的空间位置决定。
纬度越低，高度越高，g 值就越小。
不同星球上g 值也不同。
单摆作简谐运动时的动能和重力势能在发生相互转化，但机械能的总量保持不变，即机械能守恒。
小球摆动到最高点时的重力势能最大，动能最小；平衡位置时的动能最大，重力势能最小。
若取最低点为零势能点，小球摆动的机械能等于最高点时的重力势能，也等于平衡位置时的动能。
例一：用下列哪些材料能做成单摆( AF )悬线：细、长、伸缩可以忽略摆球：小而重（即密度大） A.长为1米的细线 B 长为1米的细铁丝 C.长为0.2米的细丝线D.长为1米的麻绳E.直径为5厘米的泡沫塑料球F.直径为1厘米的钢球G.直径为1厘米的塑料球H.直径为5厘米的钢球例2.一摆长为L 的单摆,在悬点正下方5L/9处有一钉子,则这个单摆的周期是多少？例3、有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。
已知该单摆在海平面处的周期是T 0，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T 。
求该气球此时离海平面的高度h 。
把地球看作质量均匀分布的半径为R 的球体。
gL T π35=例7．如图所示为一单摆的共振曲线，求：1。
该单摆的摆长约为多少？（近似认为g=2m/s 2）2共振时摆球的最大速度大小是多少？③若摆球的质量为50克，则摆线的最大拉力是多少？例11．如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a 、b 、c 、d 、e 五个单摆，让a 摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。
第九章 振动习题及解答
第九章振动习题及解答9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力.解：刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向，为与铅垂线（为平衡位置）的夹角，由对的转动定理；因很小故9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，轻弹簧的劲度系数为和，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率 .解：以物体 m为隔离体,水平方向受的弹性力以平衡位置为原点建立坐标系，水平向右为x轴正方向。
设m处于点对两弹簧的伸长量为0，即两个弹簧都处于原长状态。
m发生一小位移x之后，弹簧的伸长量为x，弹簧被压缩长也为x。
故物体受力为：（线性恢复力）m相当于受到刚度系数为的单一弹簧的作用由牛顿第二定律：9.2.3一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为.若在振子和弹簧之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数应是的多少倍？解：未串时：平衡位置串联另一刚度系数为的弹簧：此时弹簧组的劲度系数为已知：解得：9.2.4单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度a(<g)下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆长为. 解：（ 1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力，摆线张力，惯性力。
平衡位置处有：由此可得平衡位置时摆线铅直夹角(1)由平衡位置发生小角位移由牛顿第二定律 :在切线方向的分量式即角很小,故.于是得:利用 (1)式,则即因为所以(2)以电梯为参照系,惯性力与重力沿铅垂方向,同于的分析摆线为铅垂位置时为平衡态.(3) 同(2)的分析得:9.2.5在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为.设想各原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为108g且包含个原子.现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数. 解：由 9.2.2知这里9.2.6一弹簧振子，弹簧的劲度系数为，物体质量为20g现将弹簧自平衡位置拉长并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0m/s，求该振子的运动学方程(SI).解：以平衡位置为原点建立坐标系 O-x,水平向右为正方向。
第九章 振动 习题册解答 (1)
分析：总能量： E = 1 k A2 2
势能：
E P1
=
1 2
k
(A)2 3
=
1 9
E;
动能：
E k1
=
E
-
E P1
=
8 9
E;
E P2
=
1 2
k
(A)2 2
=
1 4
E
E k2
=
E - EP2
=
3 4
E
9.8 把单摆小球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后 由静止释放，使其摆动。从放手时开始计时，若用余弦函数表示运动方程，则该单摆振动的初 相位为:[ B ]
（m）
§9.3~9.7
9.6 一个弹簧振子，作简谐振动，已知此振子势能的最大值为 100J。当振子处于最大位移
的一半处时其动能瞬时值为：[ C ]
（A） 25J； （B） 50J； （C） 75J； （D） 100J。
分析：总能量 E = 1 k A2 = 100J 2
振子处于最大位移一半时，势能为 EP
2π m
分析：
T = 2π = 2π ω
m ν=1 k， T
k m
α
正
k
m
mg.sinα α
mg
平衡位置：kl=mg.sin α 任意位置：k(l-x)- mg.sinα =ma
a = − k x ，令ω = k ，则T = 2π m
m
m
k
9.3 一弹簧振子，振动方程为 x=0.1cos(πt-π/3)·m，若振子从 t=0 时刻的位置到达 x=-0.05m 处，且向 X 轴负向运动，则所需的最短时间为：[ D ]
马文蔚《物理学》(第6版)(下册)课后习题-第九章至第十一章【圣才出品】
第二部分课后习题第9章振动一、问题9-1有人说谐振子是指作简谐运动的物体；也有人说谐振子是指一个振动系统。
你的看法如何？试表述之。
答：作简谐运动的振动系统，称为谐振子。
弹簧振子、单摆、复摆等都是谐振子。
谐振动是指振动物体在平衡位置附近往复运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离（或角位移）成正比，并且受力方向始终指向平衡位置。
9-2符合什么规律的运动是简谐运动？说明下列运动是不是简谐运动：（1）完全弹性球在硬地面上的跳动；（2）活塞的往复运动；（3）如问题9-2图所示，一小球沿半径很大的光滑凹球面滚动（设小球所经过的弧线很短）；（4）竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距离（在弹性限度内），然后放手任其运动。
问题9-2图答：符合关系式F＝－kx或的运动都是简谐运动。
（1）不是简谐运动。
虽然完全弹性碰撞过程中能量守恒，但球在运动过程中受到的力不符合关系式F＝－kx。
（2）不是简谐运动。
有摩擦力做功，不符合关系式F＝－kx。
（3）是简谐运动。
运动过程类似单摆。
（4）是简谐运动。
重物所受的力符合关系式F＝－kx。
9-3弹簧的劲度系数k是材料常数吗？若把一个弹簧均分为二段，则每段弹簧的劲度系数还是k吗？将一质量为m的物体分别挂在分割前、后的弹簧下面，问分割前、后两个弹簧振子的振动频率是否一样，其关系如何？答：弹簧的劲度系数k不是材料常数。
若把一个弹簧均分为二段，则每段弹簧的劲度系数变为2k。
根据弹簧振子频率的公式，将一质量为m的物体分别挂在分割前、后两个弹簧的下面，分割前、后两个弹簧振子的振动频率之比为。
9-4一质量未知的物体挂在一劲度系数未知的弹簧上，只要测得此物体所引起的弹簧的静平衡伸长量，就可以知道此弹性系统的振动周期，为什么？答：当物体挂在一个劲度系数未知的弹簧上，平衡时，，其中是此物体所引起的弹簧的静平衡伸长量。
而弹性系统的振动周期，所以T＝，即只要测得此物体所引起的弹簧的静平衡伸长量，就可以知道此弹性系统的振动周期。
大学物理第九章-十四章 振动--习题集(含答案)
第九章 振动一、简答题1、如果把一弹簧振子和一单摆拿到月球上去,它们的振动周期将如何改变? 答案：弹簧振子的振动周期不变，单摆的振动周期变大。
2、完全弹性小球在硬地面上的跳动是不是简谐振动，为什么？答案：不是，因为小球在硬地面上跳动的运动学方程不能用简单的正弦或余弦函数表示，它是一种比较复杂的振动形式。
3、简述符合什么规律的运动是简谐运动答案：当质点离开平衡位置的位移`x`随时间`t`变化的规律，遵从余弦函数或正弦函数()ϕω+=t A x cos 时，该质点的运动便是简谐振动。
或：位移x 与加速度a 的关系为正比反向关系。
4、怎样判定一个振动是否简谐振动？写出简谐振动的运动学方程和动力学方程。
答案：物体在回复力作用下，在平衡位置附近，做周期性的线性往复振动，其动力学方程中加速度与位移成正比，且方向相反:x dtx d 222ω-= 或：运动方程中位移与时间满足余弦周期关系:)cos(φω+=t A x5、分别从运动学和动力学两个方面说明什么是简谐振动？答案：运动学方面：运动方程中位移与时间满足正弦或余弦函数关系)cos(φω+=t A x动力学方面：物体在线性回复力作用下在平衡位置做周期性往复运动，其动力学方程满足6、简谐运动的三要素是什么？答案： 振幅、周期、初相位。
7、弹簧振子所做的简谐振动的周期与什么物理量有关？答案： 仅与振动系统的本身物理性质：振子质量m 和弹簧弹性系数k 有关。
8、如果弹簧的质量不像轻弹簧那样可以忽略，那么该弹簧的周期与轻弹簧的周期相比，是否有变化，试定性说明之。
答案：该振子周期会变大，作用在物体上的力要小于单纯由弹簧形变而产生的力，因为单纯由形变而产生的弹力中有一部分是用于使弹簧产生加速度的，所以总体的效果相当于物体质量不变，但弹簧劲度系数减小，因此周期会变大。
9、伽利略曾提出和解决了这样一个问题：一根线挂在又高又暗的城堡中，看不见它的上端而只能看见其下端，那么如何测量此线的长度？答案：在线下端挂一质量远大于线的物体，拉开一小角度，让其自由振动，测出周期T ，便可依据单摆周期公式gl T π2=计算摆长。
9+振动++习题解答
第三篇 波动过程 光学求解波动过程和光学问题的基本思路和方法教材将这三部分内容安排在一起，是充分考虑到它们之间的关联性，因而在学习这部分内容和求解有关习题时也要学会前后内容和方法上的关联．我们知道振动是波动的基础，机械波就是机械振动在弹性介质中振动状态的传播过程．波动要有波源，所谓波源就是一个振动源．因而要讨论波动情况，首先要熟悉振动的研究．例如：要写波动方程，就要会求波源的振动方程．必须弄清振动物理量和波动物理量的联系和区别．又例如：研究波的干涉（包括光的干涉），就要知道两个同频率、同振动方向简谐运动的合成．这其中相位及相位差是一个十分重要的物理概念，掌握了相位差的计算对掌握振动合成、机械波和光波的干涉等一些题的求解作用很大．因此学好前面的内容对后面帮助很大．下面是这部分内容的几个常用解题方法的简介．一、比较法在振动、波动这二章的习题中，有相当一部分题目是求简谐运动方程和波动方程．通常有两种类型：（1） 由题给一些条件求简谐运动或波动方程；（2） 由题给振动曲线图和波形图求简谐运动方程和波动方程．而比较法是求解这类问题常用的一种方法．这里的所谓比较法就是针对要求的问题，有目的地先写出简谐运动方程或波动方程的一般形式，即()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=波动方程简谐运动方程 π2cos cos cos 000λx T t A u x t ωA y t ωA y 然后采用比较法与已知条件比较确定式中各相应的物理量．实际求解的题中往往只有少数量是未知的，只要设法由已知条件配合其他方法求出这些未知量，整个问题就解决了．这种解题思路的好处是目的明确，知道自己要做什么和如何去完成．这里要求读者真正掌握简谐运动方程和波动方程一般表示式，并理解其中每个量的物理意义．请读者结合参阅9-7,10-9 等题的求解过程，来学会这种解题的方法．二、旋转矢量法描述振动可以用解析法、图示法和旋转矢量表示法等．旋转矢量表示法就是将简谐运动与一旋转矢量OA 对应，使矢量作逆时针匀速转动，其长度等于简谐运动的振幅A ，角速度等于简谐运动的角频率ω．在t ＝0 时，它与参考坐标轴的夹角为简谐运动的初相位φ．这时，旋转矢量末端在参考坐标轴上的投影点的运动规律即可代表质点作简谐运动的规律．旋转矢量表示法是研究简谐运动及其合成的直观而有力的方法．尤其在求振动的初相位和相位时非常方便．在求振动方程，波动方程时常需求原点的振动初相位，因此掌握好这种方法很关键．读者可以结合参阅9-12、9-14、9-15、10-3、10-14 等题的解去体会这种方法的好处．三、相位分析法相位是研究振动、波动问题的有效工具．无论是建立振动方程、比较两个振动的差异、研究振动的合成，或是表述波动特征、导出波动方程和研究波的干涉及学习波动光学等都离不开相位和相位差的概念和计算．常用相位分析法求解下述四类问题．1．在振动合成问题中，两个同频率、同方向简谐运动合成时，它们的相位差12Δ-=是一个常量，合振动的振幅大小A A A A A cos Δ2212221++=，其值由Δ决定．其中特殊情况是()()()⎩⎨⎧-=++==2121 π12 π2ΔA A A k A A A k 振幅最小振幅极大请读者参阅题9-28、题10-20等的求解过程，可体会到相位差Δ的重要性．2．在波动中，波线上各点相位有密切联系．因为波动是波源的振动状态由近及远向外传播的过程，也称为振动相位的传播．对于平面简谐波，波线上任两点的相位差λx /Δπ2Δ⋅=是一定的．波线上所有点都重复同一种运动状态，只是相位不同而已．因此只要知道波线上任一点的运动方程，就可通过求相位差而得出其他点的运动方程．3．在波的干涉中，干涉问题实际上是振动合成问题．波场中任一点，参与的合成运动是来自两个同频率、同方向简谐运动的波源，合成结果仍是简谐运动，合振动振幅A 的值取决于分振动的相位差．但要注意这种情况的相位差为 ()12121122π2π2π2Δx x λx λt ωx λt ω---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 这里相位差由两个分振动的波源初相位差和两列波到达场点的波程差决定．波场中不同点，由于波程差()12x x -值不同而使ϕ∆不同，合振幅就有强弱之分，这就是波的干涉现象．讨论波的干涉，求干涉极大和极小的位置分布，采用相位分析法很方便．４．在光的干涉中，两束光在相遇区出现明、暗条纹，实际上就是两束振幅相同的相干光波因干涉使合成振动振幅出现极大和相消的问题．因此只要求出两束光在相遇点的相位差即可．所以对杨氏双缝、牛顿环、劈尖、薄膜和迈克尔逊干涉仪等干涉，其核心问题就是找出两束相干光的相位差ϕ∆．有了ϕ∆则结果为()()()⎩⎨⎧+=暗条纹明条纹 π12 π2Δk k 考虑到两束相干光的初相位差为零，则可有δλπ2Δ=．δ是光程差，λ是光在真空中的波长．那么上式也可表达为()()()⎩⎨⎧+=暗条纹明条纹 π12 π2Δk k因此当你掌握了相位差（或光程差）的计算，光的干涉问题就基本解决了，对于不同问题只是等式左边形式的不同而已．例如薄膜干涉，22/λδ+=ne 或ne 2=δ（要仔细考虑半波损失情况，决定是否加2/λ项）．如果你理解了这一点，能帮助你提高解题能力．而对于光的衍射，其本质仍是光波的干涉，不论是多缝的光栅衍射，还是单缝衍射，在讨论其明暗衍射条纹时，仍然是从相位差分析出发．对光栅衍射，当光栅常数为b b '+时，对应不同的衍射角ϕ，任意相邻两缝到屏上某点的光程差为()λk b b δ='+=sin时出现明条纹（即两束相干光在该点相遇时相位差为π2）．而对单缝衍射，要注意的是明暗条纹公式为()()()⎩⎨⎧+==明条纹暗条纹 2/12 sin λk λk φa δ但这也可由相位差分析得到．如图，对应屏上P 点，将单缝波阵面AB 分成1AA 、21A A 、BA 2等段，使A 、1A 、2A 、B 这些相邻点的光到达P 点的相位差为π（对应的光程差为2/λ，即图中22211/λ===C B B B BB ）．由于在相邻的1AA 和21A A 段波阵面上均能找到相位差为π的一一对应点，从而使它们在P 点干涉相消．这样当AB 被分成偶数段这样的波阵面时（对应()2/12sin λk a BC +==），屏上P 点出现暗条纹，而当AB 被分成奇数段这样的波阵面时（对应()2/12sin λk φa BC +==），将有一段不会被抵消，而使屏上出现明条纹．第九章 振动9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A -，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）题９-１ 图分析与解（b ）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A /2，且投影点的运动方向指向O x 轴正向，即其速度的x 分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b ）．9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a ）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ）()()()()()()()()cm π32π34cos 2D cm π32π34cos 2B cm π32π32cos 2C cm π32π32cos 2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t x t x t x t x题９-２ 图分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A /2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为3/π2．振动曲线上给出质点从–A /2 处运动到+A 处所需时间为 1 s ，由对应旋转矢量图可知相应的相位差3/π4Δ=，则角频率()1s 3/π4Δ/Δ-==t ω，故选（D ）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案．9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a ） 所示， x 1 的相位比x 2 的相位（ ）（A ） 落后2π （B ）超前2π （C ）落后π （D ）超前π 分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b ） 即可得到答案为（b ）．题９-３ 图9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ）（A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 分析与解 质点作简谐运动的动能表式为()ϕωω+=t A m E k 222sin 21，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C ）． 9-5 图（a ）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）（A ） π23 （B ）π21 （C ）π （D ）0 分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是π（即反相位）．运动方程分别为t A x ωcos 1=和()πcos 22+=t ωA x ．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b ）很方便求得合运动方程为t A x ωcos 21=．因而正确答案为（D ）．题９-５ 图9-6 有一个弹簧振子，振幅m 10022-⨯=.A ，周期s 01.=T ，初相4/π3=．试写出它的运动方程，并作出t x -图、t -v 图和t a -图．题９-6 图分析 弹簧振子的振动是简谐运动．振幅A 、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程()ϕω+=t A x cos 的三个特征量．求运动方程就要设法确定这三个物理量．题中除A 、ϕ已知外，ω可通过关系式T ω/π2=确定．振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同．解 因T ω/π2=，则运动方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=t π2cos cos T A t ωA x 根据题中给出的数据得 ()()m 75.0π2cos 100.22πt x +⨯=-振子的速度和加速度分别为()()-12s m π75.0π2sin 10π4d /d ⋅+⨯-==-t y x v()()-1222s m π75.0π2cos 10π8d /d ⋅+⨯-==-t y x a t x -、t -v 及t a -图如图所示．9-7 若简谐运动方程为()()m π25.0π20cos 10.0+=t x ，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度．分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果．解 （1） 将()()m π25.0π20cos 10.0+=t x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：振幅A ＝0.10m ，角频率1s π20-=ω，初相ϕ＝0.25π，则周期s 1.0/π2==ωT ，频率Hz /1T =v ．（２）s 2=t 时的位移、速度、加速度分别为()m 1007.7π25.0π40cos 10.02-⨯=+=t x()-1s m 44.4π25.0π40sin π2d /d ⋅-=+-==t x v()-22222s m 1079.2π25.0π40cos π40d /d ⋅⨯-=+-==t x a9-8 一远洋货轮，质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S ．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F 与位移x 间的关系，如果满足kx F -=，则货轮作简谐运动．通过kx F -=即可求得振动周期k m ωT /π2/π2==．证 货轮处于平衡状态时［图（a ）］，浮力大小为F ＝mg ．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O ，竖直向下为x 轴正向，如图（b ）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为∑'+=F P F其中F '为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为gSx mg gSx F F ρρ+=+='题９-８ 图则货轮所受合外力为kx gSx F P F -=-='-=∑ρ式中gS k ρ=是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．由∑=t x m F 22d d /可得货轮运动的微分方程为 0d d 22=+m gSx t x //ρ 令m gS /ρω=2，可得其振动周期为gS ρm πωT /2/π2==9-9 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度33m kg 1055-⋅⨯=.ρ．现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为m 的质点在此隧道内作无摩擦运动．（1） 证明此质点的运动是简谐运动；（2） 计算其周期．题９-９ 图分析 证明方法与上题相似．分析质点在隧道内运动时的受力特征即可．证 （1） 取图所示坐标．当质量为m 的质点位于x 处时，它受地球的引力为2x m m G F x -= 式中G 为引力常量，x m 是以x 为半径的球体质量，即3/π43x ρm x =．令3/π4Gm ρk =，则质点受力kx Gmx ρF -==3/π4因此，质点作简谐运动．（2） 质点振动的周期为s 1007.5/π3/π23⨯===ρG k m T9-10 如图（a ）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为1k 、2k ．当物体在光滑斜面上振动时．（1） 证明其运动仍是简谐运动；（2） 求系统的振动频率．题9-10 图分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b ）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O ，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率υ．证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为1x 、2x ，则由物体受力平衡，有2211sin x k x k mg ==θ （1）按图（b ）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x 时，两弹簧又分别被拉伸1x '和2x '，即21x x x '+'=．则物体受力为()()111222sin sin x x k mg x x k mg F '+-='+-=θθ （２） 将式（1）代入式（2）得1122x k x k F '-='-= （３） 由式（3）得11k F x /-='、22k F x /-='，而21x x x '+'=，则得到 ()[]kx x k k k k F -=+-=2121/式中()2121k k k k k +=/为常数，则物体作简谐运动，振动频率 ()m k k k k πm k ωv 2121/21/π21π2/+=== 讨论 （1） 由本题的求证可知，斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2） 如果振动系统如图（c ）（弹簧并联）或如图（d ）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为()m k k v /π2121+=，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．*9 －11 在如图（a ）所示装置中，一劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为1m 的物体A ，置于光滑水平桌面上．现通过一质量m 、半径为R 的定滑轮B （可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为2m 的物体C ．设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率．题9-11 图分析 这是一个由弹簧、物体A 、C 和滑轮B 组成的简谐运动系统．求解系统的振动频率可采用两种方法．（1） 从受力分析着手．如图（b ）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A 相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O ，此时弹簧已伸长0x ，且g m kx 20=．当弹簧沿x O 轴正向从原点O 伸长x 时，分析物体A 、C 及滑轮B 的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程．（2）从系统机械能守恒着手．列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程．解1 在图（b ）的状态下，各物体受力如图（c ）所示．其中()i F 0x x k +-=．考虑到绳子不可伸长，对物体A 、B 、C 分别列方程，有()22101d d tx m x x k F T =+-= （1） 22222d d tx m F g m T =- （2） ()2212d d 21tx mR J R F F T T ==-α （3） g m kx 20= （4）方程（3）中用到了22T T F F '=、11T T F F '=、22/mR J =及R a /=α．联立式（1） ～式（4）可得02d d 2122=+++x m m m k t x / （5） 则系统振动的角频率为 ()221//m m m k ++=ω解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒．设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离x （此时速度为v 、加速度为a ）为末状态，则由机械能守恒定律，有()20222212021212121x x k ωJ m m gx m E +++++-=v v 在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取．为运算方便，选初始状态下物体C 所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点．将上述方程对时间求导得()tx x x k t ωωJ t m t m g m d d d d d d d d 00212+++++-=v v v vv 将22/mR J =，v =R ω，22d /d d /d t x t =v 和02kx g m = 代入上式，可得 02d d 2122=+++x m m m k t x / （6） 式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致．9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50ｓ．当t ＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在x ＝-1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x 0 和v ＝v 0 来确定φ值．（2） 旋转矢量法：如图（a ）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x 0 和速度v 0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．题9-12 图解 由题给条件知A ＝2.0 ×10-2 m ，1s π4/2-==T ω，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．解析法：根据简谐运动方程()ϕω+=t A x cos ，当0t =时有()ϕω+=t A x c o s 0，sin 0ωA -=v ．当（1）A x =0时，1cos 1=ϕ，则01=ϕ；（2）00=x 时，0cos 2=ϕ，2π2±=，因00<v ，取2π2=； （3）m 100120-⨯=.x 时，50cos 3.=ϕ，3π3±= ，由00<v ，取3π3=； （4）m 100120-⨯-=.x 时，50cos 4.-=ϕ，3ππ4±= ，由00>v ，取3π44=． 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b ）所示，它们所对应的初相分别为01=ϕ，2π2=，3π3=，3π44=． 振幅A 、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1）()m t πcos4100.22-⨯=x（2）()()m /2πt π4cos 100.22+⨯=-x（3）()()m /3πt π4cos 100.22+⨯=-x（4）()()m /3π4t π4cos 100.22+⨯=-x 9-13 有一弹簧， 当其下端挂一质量为m 的物体时， 伸长量为9.8 ×10-2 m ．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1） 当t ＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10-2 ｍ 处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2） 当t ＝０ 时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s -1的速度向上运动，求运动方程．分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω和φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k ）决定的，即ω=k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相φ需要根据初始条件确定．题9-13 图解 物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F ＝mg ．而此时弹簧的伸长量Δl ＝9.8 ×10-2m ．则弹簧的劲度系数k ＝F ／Δl ＝mg ／Δl ．系统作简谐运动的角频率为1s 10-=∆==l g m k //ω（1） 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向．由初始条件t ＝0 时，x 10 ＝8.0 ×10-2 m 、v 10 ＝0 可得振幅()m 10082210210-⨯=+=./ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相π1=［图（a ）］．则运动方程为()()m π10t cos 100.821+⨯=-x（2）t ＝０ 时，x 20 ＝0、v 20 ＝0.6 ｍ·s -1 ，同理可得()m 100622202202-⨯=+=./ωv x A ；2/π2=［图（b ）］．则运动方程为()()m π5.010t cos 100.622+⨯=-x9-14 某振动质点的x -t 曲线如图（a ）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点P 对应的相位；（3） 到达点P 相应位置所需的时间．分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A 、ω和0ϕ，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．解 （1） 质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t 0 ＝0 和t 1 ＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b ） 所示．由图可见初相3/π0-=（或3/π50=），而由()3201//ππω+=-t t 得1s 24/π5-=ω，则运动方程为 ()m 3/π24π5cos 10.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x题9-14 图（2） 图（a ）中点P 的位置是质点从A ／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c ） 所示．当初相取3/π0-=时，点P 的相位为()000=-+=p p t ωϕϕ（如果初相取成3/π50=，则点P 相应的相位应表示为()π200=-+=p p t ω． （3） 由旋转矢量图可得()3/π0=-p t ω，则s 61.=p t ．9-15 作简谐运动的物体，由平衡位置向x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？ （1） 由平衡位置到最大位移处；（2） 由平衡位置到x ＝A /2 处；（3） 由x ＝A /2处到最大位移处．解 采用旋转矢量法求解较为方便．按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在点O ．（1） 平衡位置x 1 到最大位移x 3 处，图中的旋转矢量从位置1 转到位置3，故2/πΔ1=，则所需时间 411//T t =∆=∆ωϕ（2） 从平衡位置x 1 到x 2 ＝A /2 处，图中旋转矢量从位置1转到位置2，故有6/πΔ2=，则所需时间 1222//T t =∆=∆ωϕ（3） 从x 2 ＝A /2 运动到最大位移x 3 处，图中旋转矢量从位置 2 转到位置3，有3/πΔ3=，则所需时间633//T t =∆=∆ωϕ题9-15 图9-16 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0 kg 的重物．现使平板沿竖直方向作上下简谐运动，周期为0.50ｓ，振幅为2.0×10-2 m ．求：（1） 平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2） 若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？ （3） 若振幅不变，则平板以多大的频率振动时， 重物会跳离平板？题9-16 图分析 按题意作示意图如图所示．物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力P 和板支持力F N 作用，F N 是一个变力．按牛顿定律，有22d d ty m F mg F N =-= （1） 由于物体是随板一起作简谐运动，因而有()ϕωω+-==t A ty a cos d d 222，则式（1）可改写为()ϕωω++=t mA mg F N cos 2 （2）（1） 根据板运动的位置，确定此刻振动的相位ϕω+t ，由式（2）可求板与物体之间的作用力．（2） 由式（2）可知支持力N F 的值与振幅A 、角频率ω和相位（ϕω+t ）有关．在振动过程中，当π=+t ω时N F 最小．而重物恰好跳离平板的条件为N F ＝0，因此由式（2）可分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅．解 （1） 由分析可知，重物在最低点时，相位ϕω+t ＝0，物体受板的支持力为()N 9612222./=+=+=t mAmg mA mg F N πω 重物对木块的作用力N F ' 与N F 大小相等，方向相反． （2） 当频率不变时，设振幅变为A ′．根据分析中所述，将N F ＝0及π=+t ω代入分析中式（2），可得m 102.6π4//2222-⨯==='gT ωm mg A（3） 当振幅不变时，设频率变为v '．同样将N F ＝0及π=+t ω代入分析中式（2），可得Hz 52.3/π21π22==='mA mg ωv 9-17 两质点作同频率、同振幅的简谐运动．第一个质点的运动方程为()ϕω+=t A x cos 1，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点，试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差．题9-17 图解 图示为两质点在时刻t 的旋转矢量图，可见第一个质点M 的相位比第二个质点N 的相位超前2/π，即它们的相位差Δφ＝π/2．故第二个质点的运动方程应为()2cos 2/πϕω-+=t A x9-18 图（a ）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm ，求（1） 振动周期；（2） 加速度的最大值；（3） 运动方程．分析 根据v -t 图可知速度的最大值v max ，由v max ＝A ω可求出角频率ω，进而可求出周期T 和加速度的最大值a max ＝A ω2 ．在要求的简谐运动方程x ＝A cos （ωt ＋φ）中，因为A 和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v －t 曲线图可以知道，当t ＝0 时，质点运动速度v 0 ＝v max /2 ＝A ω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x 轴正向向着平衡点运动．利用v 0 ＝－A ωsinφ就可求出φ．解 （1） 由ωA v =max 得1s 51-=.ω，则s 2.4/π2==ωT（2）222max s m 1054--⋅⨯==.ωA a（3） 从分析中已知2/sin 0ωA ωA =-=v ，即21sin /-=ϕ6/π5,6/π--=因为质点沿x 轴正向向平衡位置运动，则取6/π5-=，其旋转矢量图如图（b ）所示．则运动方程为 ()()cm 6/π55.1cos 2-=t x题9-18 图9-19 有一单摆，长为1.0m ，最大摆角为5°，如图所示．（1） 求摆的角频率和周期；（2） 设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3） 摆角为3°时的角速度和摆球的线速度各为多少？题9-19 图分析 单摆在摆角较小时（θ＜5°）的摆动，其角量θ与时间的关系可表示为简谐运动方程()ϕωθθ+=t cos max ，其中角频率ω仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长l ）决定，即l g /=ω．初相φ与摆角θ，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理概念，必须注意区分．解 （1） 单摆角频率及周期分别为s 01.2/π2;s 13.3/1====-ωT l g ω（2） 由0=t 时o max 5==θθ可得振动初相0=ϕ，则以角量表示的简谐运动方程为t θ13.3cos 36π=（３） 摆角为3°时，有()60cos max ./==+θθϕωt ，则这时质点的角速度为()()1max 2max max s2180800cos 1sin /d d --=-=+--=+-=..ωθϕωωθϕωωθθt t t线速度的大小为 1s 2180/d d --==.t l v θ讨论 质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取θθ≈sin ，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ 较小时成立．9-20 为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地球上的“秒摆”（周期为2.00ｓ），拿到月球上去，如测得周期为4.90ｓ，则月球表面的重力加速度约为多少？ （取地球表面的重力加速度2E s m 809-⋅=.g ）解 由单摆的周期公式g l T /π2=可知21T g /∝，故有2M 2E E M T T g g //=，则月球的重力加速度为()2E 2M E M s m 631-⋅==./g T T g9-21 一飞轮质量为12kg ，内缘半径r ＝0.6ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s ，试求其绕质心轴的转动惯量．9-21 题图分析 飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为c /π2mgl J T =，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离c l ，其以刃口为转轴的转动惯量即可求得．再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量．解 由复摆振动周期c /π2mgl J T =，可得22π4/mgrT J =．则由平行轴定理得 222220m kg 8324⋅=-=-=./mr mgrT mr J J π9-22 如图（a ）所示，质量为1.0 ×10-2kg 的子弹，以500m·s -1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg ，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m -1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．题9-22 图分析 可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v 0 ，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m 1 ＋m 2 和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v 0 和初位移x 0 ）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．解 振动系统的角频率为 ()121s 40-=+=m m k /ω由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v 0 为()12110s m 01-⋅=+=.m m v m v又因初始位移x 0 ＝0，则振动系统的振幅为 ()m 105.2//202020-⨯==+=ωωx A v v图（b ）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位2/π0=，则简谐运动方程为()()m π0.540cos 105.22+⨯=-t x9-23 如图（a ）所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，其下挂有一质量为m 1 的空盘．现有一质量为m 2 的物体从盘上方高为h 处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1） 此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？ （2） 此时的振幅为多大？。
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0 . 1 2 0 s 0 2 i n 2 0 ( 4 ) 4 . 4 m s 4
a d 0 .1 ( 0 2) 0 2co 2ts 0 (4 ) dt
a 0 . 1 ( 2 0 ) 2 c 02 o 2 0 s4 ( ) 2 . 1 7 m s 5 2 9
物体的运动将是简谐运动，且不用考虑重力的影响，与水平 放置的弹簧振子的运动完全相同。
第九章 振 动
13
物理学
第五版
物体振动时的角频率为：
第九章 振动
m km m l g g l9 .8 9 .1 8 2 0 1s 0 1
（1）由初始条件有：
t 0 ,A 8 .0 1 2 m 0 ,x 0 A ,0 0
为 ）为（
）
(A) x2cos2( t2)
33
x2cos2( t2)(B)
33
(C) x2cos4( t2)
33
x2cos4( t2) (D)
33
答案（D）
第九章 振 动
2
物理学
第五版
由图可得，振幅 A2cm
t0x0A 2, 00
初相可用旋转矢量图求出，
第九章 振动
2 3
运动方程为 x2co s(t2)
A0.10 m 20s1
10Hz 2
T 1 0.10s
4
（2）t 2s 时的位移、速度和加速度
x 0 .1 c0 2 o 0 2 s ( 4 ) 0 .0m 7 7 .0 0 c7 7 m
第九章 振 动
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物理学
第五版
第九章 振动
d x 0 .1 0 20 si2 nt0 ( 4 )
3
第九章 振 动
3
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第五版
由图可得 t1s x1A2cm
x12c
os(2)2
3
cos(2)1
3
(2)0或2 ＝4
3
3
运动方程为 x2cos4( t＋2)
33
第九章 振动
第九章 振 动
4
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第五版
第九章 振动
9-3 两个同周期的简谐运动曲线如图所示，x 1 的相 x 2 位比 的相位（ ）
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第九章 振动
9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻
质点的位移 A为2
x ，且向 轴正方向运动，
代表此简谐运动的旋转矢量为（
）。
由题意可知：
t0x0A 2, 00
第九章 振 动
答案（B）
1
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第五版
第九章 振动
9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐
运动的运动方程（x 的单c位m为 t ， 的s单位
3
由初始条件有：
t4.0s, x0,00
代入运动方程有：
xAcos(4)0
3
第九章 振 动
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物理学
第五版
第九章 振动
4
32
5 （取正号）
24
（1）运动方程 x0.10 co5s(t)m
（2）点P对应的相位
24 3
(D)
2
简谐运动的动能为
E k1 2m 21 2m2 A 2si2(n t)
Ek t 曲线为
答案（C）
第九章 振 动
6
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第九章 振动
9-5图中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简 谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）
(A)2
1 (B)
(C)
应(D用)旋3 0转矢量图可求2出两个简谐运
运动方程为
x6.010 2co1st0 ()(m )
2
第九章 振 动
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第五版
第九章 振动
9-14 某振动质点的xt
曲线如图所示，试求：
（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点
P相应位置所需时间。
解：由图可得：A0.10 m
t0, x00.0m 5A 2,00
由旋转矢量图的初相位为：
第九章 振 动
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物理学
第五版
第九章 振动
9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅
A2.01 02m
T0.5，s 周期t 0
。
当
时：（1）物体在正方向端点；（2）物
体在平衡位置，向x负方1.0 向运1动 02m ；（3）物体在
处，向负方向x运动1 ；.0（14） 0 2物m体在 处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。
解：（1）t=0，物体在正方向端点
应用旋转矢量图得初相 0
2T4rads
运动方程为 x21 0 2co4st(m )
第九章 振 动
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物理学
第五版
第九章 振动
（2）t=0，物体在平衡位置，向负方向运动
应用旋转矢量图得初相
运动方程为
2
x210 2co4st()m ()
2
（3）物体在 x1.01 02m处，向负方向运动(A) 落Biblioteka (D)超前 2(B2)超前
由图可得，两个简谐运动的频率相
(C)落后
同，相位差就是初相位差。应用旋
转矢量图可求出两个简谐运动的初
相差。
1
3
2
,
2
1
2
2
答案（B）
第九章 振 动
5
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第九章 振动
9-4当质点以频率 作简谐运动时，它的动能的变化
频率为（
）
(A)
(B) 2
4(C)
动的初相。
应用矢量图求出合成的简谐运动的初相。
0 答案（D）
第九章 振 动
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第九章 振动
9-7 若简谐运动方程 x 0 .1c0o 2s0 t (4 )
为：x
mt
s
，
式中 的单位为 ， 的t 单2位s 为 。求（1）振
幅、频率、角频率、周期和初相；（2）
时解的：位（移1、）速x度和Ac加o 速度st 。()
应用旋转矢量图得初相
运动方程为
3
x210 2co4st()m ()
3
第九章 振 动
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物理学
第五版
（4）t=0，物体在 x1.01 0 2m
处，向正方向运动 应用旋转矢量图得初相
4
3
运动方程为
x210 2co4st(4)m ()
3
第九章 振动
第九章 振 动
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第五版
第九章 振动
9-13 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，
伸长量为9.8102m
。若使物体上下振动，
且规定向下为正方向t。（0 1）当
时，物体在
平8.0衡1位0置2m上方
t 0
处，由静止开始向0下.6m 运动s1，求
运动方程；（2）当
时，物体在平衡位置
解并以：物体平衡时有：kl 的m速g 度向k 上 m运g动，求运动方程。
l
选物体平衡时的位置为坐标原点，向下为坐标的正方向，则
由旋转矢量图的初相位为：
运动方程为
x 8 .0 1 2 0 co 1ts 0()(m )
第九章 振 动
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第九章 振动
（2）由初始条件有：
t 0 ,x 0 0 , 0 0 .6m 0 s
振动的振幅为：
Ax0 2( 0)2 00 1.60 6.01 0 2m
由旋转矢量图的初相位为： 2