随机抽样、正态分布
抽样方法用样本估计总体及正态分布
64 0.4
8．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校 700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况 的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185cm之间的概 率；
5．对于每个个体所取不同数值较少的总体，常用条 形图表示其样本分布，而对于每个个体所取不同数 值较多或可以在实数区间内取值的总体，常用频率 分布直方图表示其分布．
6．在用样本的频率分布估计总体分布时，要清楚以 下概念：频率分布折线图，总体密度曲线，茎叶图．
用样本的数字特征估计总体的数字特征，要理解以下 概念：
(3)从样本中身高在165～180cm之间的女生中 任选2人，求至少有1人身高在170～180cm之 间的概率．
C
m＝n
6．一个总体中的1000个个体编号为0,1,2，…， 999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2， …，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的 样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那 么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中 抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．当 x＝24时，所抽样本的第5个号码是 456 .
抽样方法用样本估计总体及 正态分布
【学习目标】
1．了解简单随机抽样，系统抽样和分层抽样的方法， 会画频率分布直方图和茎叶图．
2．了解用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布 估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的 基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的 随机性．
3．了解正态分布曲线的特点及曲线表示的意义．
【点评】高考中关于直方图及其应用的考查大有 加强的趋势，因此既要会作相关统计数据的直方 图，又要会观察直方图，提升识图能力，同时还 要加强与概率问题的综合．
抽样方法、正态分布
抽样方法、正态分布本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March抽样方法、正态分布重点、难点讲解：1．抽样的三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。
后两种方法是建立在第一种方法基础上的。
2．了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。
3．正态曲线及其性质：N()，其正态分布函数：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。
把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。
正态图象的性质：①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。
②曲线关于直线x=μ对称。
③曲线在x=μ时位于最高点。
④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。
⑤当μ一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(x<x0)，其几何意义是由正态曲线N(0,1)，x轴，直线x=x0所围成的面积。
又根据N(0,1)曲线关于y轴的对称性知，，并且标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率。
任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)=。
5．了解“小概率事件”和假设检验的思想。
知识应用举例：例1．从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。
解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，……，503第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。
抽样分布和七种理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
概率论与数理统计实践----正态分布
正态分布的性质及实际应用举例正态分布定义：定义1：设连续型随机变量的密度函数（也叫概率密度函数）为：式中，μ 为正态总体的平均值；σ 为正态总体的标准差； x 为正态总体中随机抽样的样本值。
其中μ 、σ 是常数且σ > 0，则称随机变量ξ 服从参数为μ 、σ 的正态分布，记作ξ ~ N(μ,σ).定义2：在（1）式中，如果μ = 0，且σ =1，这个分布被称为标准正态分布，这时分布简化为：（2）正态分布的分布函数定义3：分布函数是指随机变量X 小于或等于x 的概率，用密度函数表示为：标准正态分布的分布函数习惯上记为φ ，它仅仅是指μ = 0,σ =1时的值，表示为：正态分布的性质：正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
应用综述 ：1. 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
2. 制定参考值范围（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
（2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
正态分布及其应用、抽样误差
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
正态总体的常用抽样分布
特点
卡方分布在正态分布两侧有更多的面 积，即其尾部比正态分布更重。随着 自由度n的增加，卡方分布趋近于正 态分布。
04
抽样分布的应用
参数估计
1 2
参数估计
通过抽样分布，我们可以估计总体参数，如均值 和方差。常用的估计方法有矩估计和最大似然估 计。
置信区间
基于抽样分布，我们可以构建总体参数的置信区 间，从而对总体参数进行区间估计。
03
样本方差的数学期望等于总体方差，其方差随 着样本量的增加而减小。
样本偏度与峰度
样本偏度是总体偏度的无偏估计，用于衡量数据的对称性。 样本峰度是总体峰度的无偏估计，用于衡量数据分布的尖锐程度。 在正态分布中，偏度和峰度均为0，但在非正态分布中，偏度和峰度可能不为0。
03
其他常用抽样分布
t分布
中心极限定理
中心极限定理的基本思想
中心极限定理表明，无论总体分布是什么类型，只要样本量足够大，从该总体中随机抽取的样本均值将趋近于正 态分布。这意味着我们可以利用正态分布的性质来分析和推断样本均值。
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学中具有广泛的应用价值。例如，在制定置信区间、假设检验和回归分析等统计方法时，都 需要利用中心极限定理来处理样本数据和推断总体参数。因此，正确理解和应用中心极限定理对于统计推断的准 确性和可靠性至关重要。
THANKS
样本量大小的影响
样本量大小
样本量的大小对抽样分布的形状和稳 定性有显著影响。随着样本量增加， 抽样分布的形状逐渐接近正态分布， 且分布的离散程度逐渐减小。
样本量与精度
样本量越大，估计的精度越高，即估 计的参数值越接近真实值。因此，在 制定抽样计划时，应充分考虑样本量 的大小，以确保估计的精度满足要求。
§5.4三大抽样分布
所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0
1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：
随机分布 正态分布
正态分布概率密度函数绿线代表标准正态分布累积分布函数 颜色与概率密度函数同参数location （real ）squ （real ）支撑集概率密度函數累积分布函数期望值中位数众数方差偏度0峰度3 信息熵 动差生成函数特性函数正态分布normal distribution一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。
从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
随机抽样、用样本估计总体、正态分布
11.6 随机抽样 用样本估计总体 正态分布教材细梳理—-知识点 一.随机抽样 1.简单随机抽样(1).定义：一个总体含有N 个个体，从中逐个①_____地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会_②_____，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2). 最常用的简单随机抽样方法有两种___③__法和_④_________法． (3). 适用于 ⑤ 的情况. 2.系统抽样(1).定义：将总体分成 ⑥ 的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样 . (2).系统抽样步骤：假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本. a. 先将总体的N 个个体⑧ ．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；（编号的位数要一样） b. 确定⑨ ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n；c. 在第1段用_⑩_________确定第一个个体编号l (l ≤k )；d. 按照一定的规则抽取样本．通常是将l ⑪ 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k ) 依次进行下去，直到获取整个样本． (3).系统抽样适用于⑫ 的情况. 3.分层抽样(1).定义：当总体由⑬ 组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占⑭ 进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.(2).分层抽样适用于总体由差别明显的几部分组成的情况. 二.样本估计总体有关概念和知识点1．通常我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的①__________估计总体的分布．另一种是用样本的② 估计总体的数字特征. 2.频率分布直方图画法(1)．求极差（最大值-最小值=极差）. (2)．决定组距与组数.(3)．确定分点，将数据分组.5.茎叶图以数据的高位为茎，放中间，低位为叶放两边，它的优点是： （1）保留了原始数据，没有损失样本信息.（2）数据可以随时记录、添加或修改. (n x x ++-2(n x x ++-受极值影响较大。
高三数学高效课堂资料学案四十九 随机抽样、 用样本估计总体、正态分布
高三数学高效课堂资料学案四十九 随机抽样、用样本估计总体、正态分布（概率与统计学案三，共八个）一、考点与能力要求1.熟练掌握随机抽样的概念、抽样方法及三种抽样的区别与联系；2.掌握频率、中位数、众数、方差、标准差的定义；3.能利用频率分布直方图解决与概率有关的实际问题；4.了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义并结合具体题目进行运算。
二、知识讲解 （一）预备知识1.抽样方法：三种抽样的共同点与各自特点分别是什么？2.样本分析（1）样本平均值 （2）样本众数 （3）样本中位数 （4）样本方差众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，方差是用来描述一组数据波动情况的特征数。
3.频率分布直方图（1）频率分布直方图的绘制； （2）样本估计总体；（3）用样本平均数估计总体平均数，用样本标准差估计总体标准差。
4.正态分布 （1）正态变量概率密度曲线的函数表达式为 ，其中参数σμ,分别表示什么变量？标准正态分布怎样表示？（2）正态分布曲线的几何性质？（二）基础知识析理 1.随机抽样（1）基础解读：随机抽样包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种。
它们的共同点：抽样过程中每个个体被抽取的机会相同，都是不放回的抽样 。
不同点：使用的范围不同。
简单随机抽样适用于总体个数较少的抽样；系统抽样适用于总体个数较多的抽样；分层抽样适用于总体由差异明显的几部分所组成的抽样。
（2）应用：（2017江苏） 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为22()21(),2x f x e x R μσπσ--=∈∙22222123()()()()n x x x x x x x x S n-+-+-+∙∙∙+-=2222123()()()()n x x x x x x x x S n -+-+-+∙∙∙+-=60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 2.正态分布（1）基础解读：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=。
第69讲随机抽样用样本估计总体正态分布
•B
第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
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第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
第69讲随机抽样用样本 估计总体正态分布
2020/11/26
第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
第69讲随机抽样用样本估计总体态 分布
第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
第69讲随机抽样用样本估计总体正态 分布
随机抽样、正态分布
(4)若ξ～N(μ,σ2),则Eξ=μ,Dξ=σ2.
(5)若X~N(μ,σ2), 则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544, P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. (6)通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机 变量X只取 11 (μ-3σ,μ+3σ)之间的值 ,并 简称之为3σ原则.
随机抽样、正态分布
1.数据的基本数字特征
(1)平均数：一组数据的平均数，记为.设 有n个数据x1,x2,…,xn，则平均数为
(2)中位数：一组数据按照从小到大或从 大到小的顺序进行排列时，处于中间位置的 数.当这组数据的个数为奇数时，中位数为中 间一个数；当这组数据的个数为偶数时，中 位数为中间的两个数的平均数.
(5)茎叶图：中间的数字表示数据的十位 数字，旁边的数字分别表示两组数据中各个 数据的个位数字. 3.抽样方法 (1)简单随机抽样：从含有 N个个体的总 体中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本 (n≤N) ，如果每次抽取时总体内的各个个体 被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫 做③ 简单随机抽样 .有两种常用方法：
x1 x2 xn . x =① n
(3)众数:一组数据中出现次数最多的数.
(4)极差:一组数据中最大数与最小数的差.
(5)方差:一组数据中所有数与平均数的差 的平方和的平均数,记为s2，
即s2=② ( x1 x) ( x2 x) ( xn x)
2 2 2
在抽样时 (3) 分 层 抽 样 ,将总体分成 : 即 ⑥ . 互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层 独立地抽出一定数量的个体,将各层取出的 . 个体合在一起作为样本 . . 4.正态分布 1 ( x2 ) e (x∈(-∞,+∞)) (1)如果随机变量 2 ξ的概率密度为
正态总体下的抽样分布
中心极限定理是抽样分布的理论基础， 它表明无论总体分布是什么，只要样 本量足够大，样本均值的分布近似正 态分布。
样本均值的性质
无偏性
样本均值的数学期望等于总体均值， 即$text{E}(bar{x}) = mu$。
最小方差性
在所有可能的样本统计量中，样本均 值具有最小的方差，即 $text{Var}(bar{x}) = frac{sigma^2}{n}$。
数学表达式
正态分布的数学表达式为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
抽样分布的概念
抽样分布
抽样分布描述的是从某一总体中随机 抽取一定数量的样本后，这些样本统 计量（如均值、方差等）的分布情况。
大样本下样本方差的分布
卡方分布
在大样本下，样本方差通常呈现卡方分布。
方差的无偏估计
在大样本下，样本方差是总体方差的无偏估计。
方差的同方差性
在大样本下，来自不同总体的样本方差通常具有同方差性，即它们具有相同的 方差。
04
小样本下的抽样分布
小样本的定义
小样本是指从总体中随机抽取的样本 量较小，通常在30个样本以下。
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正态分布的性质
Байду номын сангаас01
02
03
集中性
正态分布的曲线关于均值 所在直线对称，数据值主 要集中在均值附近。
均匀性
正态分布的曲线在均值两 侧均匀下降，且下降速度 逐渐减缓。
平坦性
正态分布的曲线在均值的 两侧逐渐接近水平线，表 现出平坦的趋势。
第三章 正态分布与抽样分布
图3-5 正态分布的概率
关于正态分布，有几个概率应记住： 关于正态分布，有几个概率应记住： 一般正态分布： 一般正态分布：
P（µ－1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝0.95 1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝ ）＝0.95 P（µ－2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝0.99 2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝ ）＝0.99 P（µ－σ≤x＜µ+σ）＝0.6826 σ≤x＜µ+σ）＝ ）＝0.6826 P（µ－2σ≤x＜µ+2σ）＝0.9545 2σ≤x＜µ+2σ）＝ ）＝0.9545 P（µ－3σ≤x＜µ+3σ）＝0.9973 3σ≤x＜µ+3σ）＝ ）＝0.9973
对于大样本资料，常将样本标准差S 对于大样本资料，常将样本标准差S 与样本均数配合使用，记为 X ± S ，用 与样本均数配合使用， 以说明所考察性状或指标的优良性与稳 定性。对于小样本资料， 定性。对于小样本资料，常将样本标准 误 SX 与样本均数 X 配合使用，记 配合使用， 为 X ± S ，用以表示所考察性状或指 标的优良性与抽样误差的大小。 标的优良性与抽样误差的大小。
学上已证明 总体的两个参数与x总体的两 总体的两个参数与x 个参数有如下关系： 个参数有如下关系：
µx = µ
σx =
σ
n
表 X 的抽样分布形式与原总体X分布形式的关系 的抽样分布形式与原总体X
2.2 均数标准误
均数标准误 σx = 的大小反映样本均数 X n 抽样误差的大小 标准误大， 的大小。 的抽样误差的大小。标准误大，说明各样本均 间差异程度大；反之，亦然。 数 X 间差异程度大；反之，亦然。 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， σx 此时，可用样本标准差S 因而无法求得 。此时，可用样本标准差S估 S 于是， 计σ 。于是，以 估计 n 。记σx 为 n， S SX 称作样本标准误或均数标准误。 称作样本标准误或均数标准误。 是均数抽样 SX 误差的估计值。 误差的估计值。
3章几种常见的分布
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
几种常见的分布
2019/5/27
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布、三角形分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系
2019/5/27
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
2019/5/27
4
三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可 以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服 务系统的服务时间等。
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
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取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
13
十二、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布方分布
正态分布及抽样误差
样本统计量与总体参数之间存在一定的关系，通常 是通过抽样分布来描述。
样本统计量的性质
样本统计量是随机变量，其取值依赖于样本数据。
样本统计量具有可加性、可乘性和线性变换等性质，这些性质有助于简化 计算和推导。
样本统计量的分布通常服从正态分布或t分布等，这些分布具有一些重要 的数学性质，例如中心极限定理和独立同分布定理。
直观解释
虽然数学证明比较复杂，但我们可以 通过直观的方式来理解中心极限定理。 当样本量足够大时，每个样本点对样 本均值的影响较小，样本均值的变化 趋近于正态分布。
Part
05
大样本近似
大样本近似的概念
定义
大样本近似是指当样本量足够大时， 样本统计量（如样本均值、样本比例
等）的分布接近于正态分布。
样本统计量与总体参数的估计
01
样本统计量可以作为总体参数的估计量，通过样本数
据来估计总体参数的数值。
02
估计量的准确性取决于样本的代表性、样本量的大小
和抽样方法等因素。
03
常用的估计量包括样本均值、样本方差、样本比例等
，这些估计量在统计学中有广泛的应用。
Paห้องสมุดไป่ตู้t
04
中心极限定理
中心极限定理的表述
抽样误差的来源
随机抽样
由于每个样本都是随机抽 取的，因此每个样本都有 可能产生不同的统计量。
样本量大小
样本量越大，抽样误差越 小；样本量越小，抽样误 差越大。
总体变异程度
总体变异程度越高，抽样 误差越大；总体变异程度 越低，抽样误差越小。
抽样误差的控制
STEP 02
STEP 03
多次重复抽样
通过多次重复抽样可以计 算出抽样误差的估计值， 从而更好地了解样本的代 表性。
卫生统计学名词解释
1.总体：总体（population）是根据研究目的确定的同质的观察单位的全体，更确切的说，是同质的所有观察单位某种观察值（变量值）的集合。
总体可分为有限总体和无限总体。
总体中的所有单位都能够标识者为有限总体,反之为无限总体。
样本：从总体中随机抽取部分观察单位，其测量结果的集合称为样本（sample）。
样本应具有代表性。
所谓有代表性的样本，是指用随机抽样方法获得的样本.2。
随机抽样:随机抽样（random sampling）是指按照随机化的原则（总体中每一个观察单位都有同等的机会被选入到样本中），从总体中抽取部分观察单位的过程。
随机抽样是样本具有代表性的保证。
3。
变异：在自然状态下,个体间测量结果的差异称为变异(variation）。
变异是生物医学研究领域普遍存在的现象。
严格的说，在自然状态下,任何两个患者或研究群体间都存在差异，其表现为各种生理测量值的参差不齐。
4。
计量资料：对每个观察单位用定量的方法测定某项指标量的大小，所得的资料称为计量资料（measurement data）。
计量资料亦称定量资料、测量资料..其变量值是定量的，表现为数值大小，一般有度量衡单位.如某一患者的身高（cm）、体重（kg）、红细胞计数（1012/L）、脉搏(次/分）、血压（KPa)等计数资料：将观察单位按某种属性或类别分组，所得的观察单位数称为计数资料（count data)。
计数资料亦称定性资料或分类资料。
其观察值是定性的，表现为互不相容的类别或属性。
如调查某地某时的男、女性人口数；治疗一批患者，其治疗效果为有效、无效的人数；调查一批少数民族居民的A、B、AB、O 四种血型的人数等。
等级资料：将观察单位按测量结果的某种属性的不同程度分组，所得各组的观察单位数,称为等级资料（ordinal data)。
等级资料又称有序变量.如患者的治疗结果可分为治愈、好转、有效、无效或死亡，各种结果既是分类结果，又有顺序和等级差别，但这种差别却不能准确测量；一批肾病患者尿蛋白含量的测定结果分为 +、++、+++等.等级资料与计数资料不同:属性分组有程度差别，各组按大小顺序排列。
正态性检验方法
正态性检验方法
正态性检验是一种确定样本数据是否服从正态分布的检验方法。
它通常用于检查数据是否满足期望的正态分布，这对很多统计技术而言是很重要的。
通常，正态性检验有多种形式，其中包括Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验、Chi-Square检验和Anderson-Darling检验。
Kolmogorov-Smirnov检验(K-S检验)是一种无参数正态性检验，它比较实际分布和理论分布的CDF之间的差异，通过计算样本最大绝对差异来判断样本是否符合正态分布。
K-S检验使用的是随机抽样，可以检验观测值和理论值之间的极端差异，但如果两个分布之间有微小的差异，K-S检验就不能很好地检测出来。
Shapiro-Wilk检验（SW检验）是一种有参数正态性检验，它通过比较累积分布函数的估计值和理论值之间的差异，来衡量样本是否符合正态分布。
它使用少量参数，比K-S检验更加高效。
然而，它的优势仅在于处理小的样本量，当样本量较大时，其拒绝假设的能力要差一些。
Chi-Square检验（卡方检验）是一种有参数正态性检验，它通过比较实际数据和理论数据之间的差异来判断数据是否符合正态分布。
它使用较大的参数统计量，如果样本量较小，则拒绝正态性可能性较大，反之亦然。
Anderson-Darling检验（A-D检验）是一种无参数正态性检验。
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典例精讲
题型一 抽样方法
例1 在我国东南沿海有60个人均GDP在3万
元以上的城市，其中人均GDP在3~4万元之 间的有36个，在4～5万元之间的有18个，在5 万元以上的有6个.国家环保总局欲用分层抽 样从中随机抽取部分城市进行环境调查，若 抽取的人均GDP在4～5万元之间的城市个数 为3，则抽取的人均GDP在3～4万元之间的 城市个数为.
25)2+(26-25)2+(29-25)2+(31-25)2］≈17.43.
因为x 甲
= x乙
,
s
2 甲
<
s
2 乙
,所以甲发挥得更好.
方法提炼
1.统计的基本思想方法是用样本估计总 体，即用局部推断整体，这就要求样本应具 有很好的代表性，而样本良好客观的代表性， 完全依赖抽样方法，弄清简单随机抽样和分 层抽样的客观合理性，从而会在不同的情况 下采用适当的抽样方法.掌握三种抽样方法 的抽样步骤.
样
适用范围 总体中的个 体数较少
总体由差异 明显的几部
分组成 总体中的个 体数较多
2.频率分布直方图会使样本的一些数字特 征更明显,绘制频率分布直方图时,要合理分组, 以便使数据中的特征能更好地反映出来.
总体分布估计中,(1)先确定分组的组数,其 方法是：最大数据与最小数据之差除组距得
组数.(2)计算每组中的频数及频率，其中频率
三种抽样方法的比较：
类别 简单 随机 抽样 分层 抽样
系统 抽样
共同点 各自特点
①抽样过 从总体中逐个
程中每个
抽取
个体被抽
取的概率 将总体分成几 是相等的; 层进行抽取 ②均属于
不放回抽 样
将总体均分成 几部分，按事
先确定的规则
在各部分抽取
相互联系 最基本的抽
样方法
各层抽样时 采用简单随
机抽样
在起始部分 抽样时采用 简单随机抽
(ⅰ)④抽签法 :就是把总体中的N个个体编 号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中, 搅拌均匀后，每次从中取出一个号签,连续抽 取n次,就得到一个容量为n的样本.
(ⅱ)⑤随机数表法 :利用随机数表、随机 数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.
(2)系统抽样：按下列步骤进行抽样：
(ⅰ)先将总体的N个个体编号；(ⅱ)确定 分段间隔k，对编号进行分段；(ⅲ)在第1段用 简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k);(ⅳ) 按照一定的规则抽取样本.
(4)若ξ～N(μ,σ2),则Eξ=μ,Dξ=σ2.
(5)若X~N(μ,σ2), 则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,
P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,
P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. (6)通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机 变量X只取 11 (μ-3σ,μ+3σ)之间的值 ,并 简称之为3σ原则.
分析 根据分层抽样的特征，在各层抽取
的比例是相同的，故可先依据已知求出
这个比例，再求解.
抽 取 的 人 均 GDP 在 4~5 万 元 之 间 的
城市的比例为 3 ，故抽取的人均GDP在
18
3～4万元之间的城市的比例也是
3
，则抽
取的城市个数为36× 1 3＝8 ６.
18
点评分层抽样在各层抽取样本的比例是相
(2)频率分布直方图的画图步骤：
(ⅰ)求极差；(ⅱ)决定组距与组数；(ⅲ)将 数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分 布直方图(以频率组距为纵坐标).
(3)频率分布折线图：连接频率分布直方图 中各小长方形上端的中点所得的折线.
(4)总体密度曲线：随着样本容量的增加, 作频率分布折线图时所分的组数增加,组距减 小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光 滑曲线,则称这条光滑曲线为总体密度曲线.
2.本题主要考查频率分布直方图、 频率、期望等概念和用样本频率估计整 体分布的统计方法，考查运用பைடு நூலகம்率、统 计知识解决实际问题的能力.
题型三 样本的数字特征估计总体
例3 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进
行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据 如下表：
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速 度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判 断选谁参加比赛更合适.
(1)画茎叶图,中间数为数据的十位数字:
从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的最 大速度情况都是分布均匀的,只是乙更好一 些;乙的中位数是33.5,甲的中位数是33.因 此,乙发挥比较稳定,总体情况比甲好. (2) x 甲 =33，x 乙 =33；s甲=3.96,s乙=3.56; 甲的中位数是33，乙的中位数是33.5. 综合比较，选乙参加比赛较为合适.
0.9544.
变式 设在一次数学考试中，某班学生
的分数服从ξ～N(110, 2 )0，2 且已知满分
为150分，这个班的学生共50人，求这
个 班 在 这 次 考 试 中 不 小 于 90 分 的 人 数
和超过130分以上的人数.
因为ξ～N(110, 2 0),2则μ=110,σ=20,
P(110-20<x≤110+20)=0.6826. 所以P(ξ>130)=1/2*(1-0.6826)=0.1587. P(ξ≥90)=0.6826+0.1587=0.8413. 故不小于90分的人数为50×0.8413≈42(人). 超过130分以上的人数为50×0.1587≈8(人).
(5)茎叶图：中间的数字表示数据的十位 数字，旁边的数字分别表示两组数据中各个 数据的个位数字.
3.抽样方法
(1)简单随机抽样：从含有N个个体的总 体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本 (n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体 被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫 做③ 简单随机抽样 .有两种常用方法：
合计
频数 4 25 30 29 10 2
100
频率 0.04 0.25 0.3 0.29 0.10 0.02 1.00
(2)纤度落在［1.38,1.50）中的概率约 为 0.30+0.29+0.10 ＝ 0.69 ， 纤 度 小 于 1.40 的概率约为0.04+0.25+12×0.30＝0.44.
(3)分层抽样:即⑥在抽样时,将总体分成 . 互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层 .
独立地抽出一定数量的个体,将各层取出的 . . 个体合在一起作为样本
4.正态分布
(1)如果随机变量ξ的概率密度为
φμ,σ(x)=⑦
1
2
e
(
x )2
2
2
(x∈(-∞,+∞)).
其中μ、σ分别表示总体的平均数与标准 差，称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，记作 ξ～N(μ,σ2),函数图象称为正态密度曲线，简 称正态曲线.
点评求此概率需将问题化为正态随机变
量的几种特殊值的概率形式，然后利用对 称性求解.
题型三 频率分布表与频率分布直方图
例3在生产过程中，测得纤维产品的纤度
(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，
数据分组如下表
分 [1.30, [1.34, [1.38, [1.42, [1.46, [1.50, 合计 组 1.34) 1.38) 1.42) 1.46) 1.50) 1.54)
(3)众数:一组数据中出现次数最多的数. (4)极差:一组数据中最大数与最小数的差. (5)方差:一组数据中所有数与平均数的差 的平方和的平均数,记为s2， 即s2=② (x1x)2(x2x)2(xnx)2 .
n
(6)标准差：方差的算术平方根,记作s. 2.主要统计图表 (1)基本统计图表：象形、条形、折线、 扇形统计图.
=
频 总
数 数
.(3)画出直方图.
3.画茎叶图的步骤如下：
(1)将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两 部分;
(2)将最小茎和最大茎之间数按大小 次序排成一列，写在左(右)侧；
(3)将各个数据的叶按大小次序写在 其茎右(左)侧；
4.用样本的数字特征(众数、中位数、 平均数)估计总体数字特征.
5.正态分布应用十分广泛，应用正 态分布的关键是通过数形结合，利用正 态分布曲线分析求解，或转化为“σ， 2σ,3σ原则”问题求解.
频率
(2)估计纤度落在［1.38,1.50)中的概 率及纤度小于1.40的概率是多少？
(3)统计方法中，同一组数据常用该 组区间的中点值（例如区间［1.30,1.34） 的中点值是1.32）作为代表.据此，估计 纤度的期望.
(1)频率分布表为：
分组 ［1.30,1.34） ［1.34,1.38） ［1.38,1.42） ［1.42,1.46） ［1.46,1.50） ［1.50,1.54)
频4 数
25 30 29 10 2 100
(1)完成频率分布表，并在给定的坐标系 中画出频率分布直方图；
分组 ［1.30,1.34） ［1.34,1.38） ［1.38,1.42） ［1.42,1.46） ［1.46,1.50） ［1.50,1.54)
合计
频数 4 25 30 29 10 2
100
一 般 的 ， 如 果 对 于 任 何 实 数 a<b, 随 机 变
量ξ满足P(a<ξ≤b)= ⑧ 正态分. 布
φ abμ,σ(x)dx，则称ξ的分布为
(2)标准正态分布
在正态分布中,当μ=⑨ 0,σ=⑩ 时1 ,正态总 体称为标准正态总体，正态分布N(0,1)，称 为标准正态分布，记作ξ～N(0,1).