完全平方式

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完全平方公式

完全平方公式知识点：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或(a-b)2或(-a-b)2或(-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。

即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2-a2-2ab-b2或-a2+2ab-b2巩固练习：一、选择题１．下列各式中，能够成立的等式是（）．A．B．C．D．2．下列式子：①②③④中正确的是（）A．① B．①② C．①②③ D．④3．（）A． B． C． D．4．若，则M为（）．A． B． C． D．5．一个正方形的边长为，若边长增加，则新正方形的面积人增加了（）．A． B． C． D．以上都不对6．如果是一个完全平方公式，那么a的值是（）．A．2 B．－2 C． D．7．若一个多项式的平方的结果为，则（）A． B． C． D．8．下列多项式不是完全平方式的是（）．A． B． C． D．9．已知，则下列等式成立的是（）①②③④A．① B．①② C．①②③ D．①②③④2、填空题1． 2．3． 4．5． 6．7． 8．3、运用完全平方公式计算：（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）（7）；（8）（9）（10）公式运用：完全平方公式常见的变式（1）ab b a b a 4)()(22+-=+ （2）ab b a b a 2)(222 ±=+ （3）)(2)()(2222b a b a b a +=-++ （4）)()(2222b a b a ab +-+= （5）2)1(1222-+=+aa aa （5）bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++例1 已知216,8c ab b a +==+，求2008)(c b a +-的值。

完全平方式是什么？完全平方公式的证明推导过程讲解

完全平方公式的证明推导过程完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。

(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。

先用代数方法证明，a²+2ab+b²=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b) （乘法分配律）=(a+b)x(a+b)=(a+b)²同理，a²-2ab+b²=axa-axb-axb+bxb=ax(a-b)-bx(a-b) （乘法分配律）=(a-b)x(a-b)=(a-b)²完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，一起来看看完全平方式的几何证明吧。

如下图所示，两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方形边长比小正方形多b，求大正方形面积。

显然，大正方形的面积为(a+b)²。

它也等于①②③④四部分的面积和。

分别计算四部分的面积，如下图：那么，大正方形的面积=a²+ab+ab+b²(a+b)²=a²+2ab+b²同样，我们再来证明(a-b)²=a²-2ab+b²。

如下图，大正方形边长为a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求小正方形①面积。

小正方①的面积为(a-b)²。

同样，①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。

和G老师一起分别计算下②③④的面积吧大正方形的面积为a²，小正方形①的面积=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb 即，(a-b)²=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb展开后，得(a-b)²=a²-2ab+b²完全平方式又常常写成：(a±b)²=a²±2ab+b²小学阶段对于完全平方式并不要求，但是某些小升初试题中会考到简单的计算，知道该怎么简便计算即可。

完全平方公式

完全平方公式1. 什么是完全平方公式？完全平方公式是用于计算一个二次方程的解的公式。

在代数学中，二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c 是实数，且 a 不等于 0。

完全平方公式可以用于求解这样的二次方程的根，即求解 x 的值。

2. 如何使用完全平方公式？完全平方公式给出了一个二次方程的两个根的计算公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，± 表示两个可能的根，√ 表示开方运算。

首先，根据二次方程的形式，确定 a、b 和 c 的数值。

然后，将这些数值代入公式中，计算出两个根的值。

根的值可以是实数，也可以是虚数。

如果b^2 - 4ac 大于等于0，则根是实数；如果 b^2 - 4ac 小于 0，则根是虚数。

3. 完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导过程可以通过完成平方的方法来实现。

对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以先将其完成平方，再进行化简。

步骤如下：1.将方程的右边移到左边，使等式等于 0。

ax^2 + bx + c = 0变为ax^2 + bx + c - 0 = 0即ax^2 + bx + c + 0 = 02.将常数项 c 写成另外一个数 k 的平方的形式，即 c = k^2。

ax^2 + bx + k^2 + 0 = 03.将二次项和一次项一起进行配方，即将(ax^2 + bx) 这一部分进行平方运算。

(ax^2 + bx)^2 = (ax2)2 + 2(ax^2)(bx) + (bx)^2 = a2x4 + 2abx^3 + b2x2将等式左边也进行同样的平方运算。

(ax^2 + bx + k2)2 = (ax2)2 + 2(ax^2)(bx) + 2(ax2)(k2) + (bx)^2 + 2(bx)(k^2) +k^4 = a2x4 + 2abx^3 + 2ak2x2 + b2x2 + 2bk^2x + k^44.将第3步中得到的结果与方程本身相加。

完全平方公式

• 口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央，符号与前一个样
完全平方公式的图形理解
两数和的完全平方公式：
b a
ab
b²
(a+b)²
a²
2
ab
a b a + 2ab+ b
2
a
b
2
完全平方公式的图形理解
两数差的完全平方公式： b a ab (a-b)²
2
b2
(a+b)²
ab b
(a b)
括到括号里的各项都改变符号。
练一练
• 在下列括号内填上适当的项，使等式成立。 1) (x+2y-3)(x-2y+3) 2y-3 2y-3 =[x+(____)][x-(____)] 2) (2x-y-z)(2x+y-z) 2x-z 2x-z =[(____)-y][(____)+y]
算一算
• (x-3y+2)(x+3y-2)
例题
• 甲、乙两家商店在9月份的销售额为a万元，在 10月和11月这两个月中，甲商店的销售额平均每月增长x%，乙商店的销售额平均每月减少x%，问11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？甲店销售额乙店销售额
a(1+x%)2 a(1-x%)2
a ab ab b 2 2 a 2ab b
2
a
2
例题1
(1) (3)
2 (2x+3y)
(2) (4)
2 (6x-5)
2 (-2x+y)
2 (-3x-2y)
例2 巧算
1) 1022 2) 9.82
判断并改正
(a b) a b

完全平方公式

完全平方公式在数学的奇妙世界里，有一个非常重要的公式，那就是完全平方公式。

它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们轻松解决许多数学问题。

完全平方公式包括两个：一个是两数和的完全平方公式，即\（（a＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）；另一个是两数差的完全平方公式，即\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。

咱们先来看看两数和的完全平方公式\（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab＋ b^2\）。

为了更好地理解它，我们可以通过一个实际的例子来感受一下。

假设小明有一个边长为\（a\）的正方形花坛，后来他在旁边又扩建了一个宽为\（b\）的长方形花坛。

那么现在整个花坛的面积是多少呢？原来正方形花坛的面积是\（a^2\），扩建的长方形花坛的面积是\（2ab\）（因为长方形的长是\（a\），宽是\（b\），面积就是\（ab\），两边都有所以是\（2ab\）），新扩建的小正方形花坛面积是\（b^2\）。

所以整个花坛的面积就是\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），而这恰好就是\（（a ＋ b)＾2\）展开后的结果。

再来说说两数差的完全平方公式\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。

比如小红有一块边长为\（a\）的正方形布料，她从中间裁掉了一个边长为\（b\）的小正方形。

那么剩下布料的面积是多少呢？原来正方形布料的面积是\（a^2\），裁掉的小正方形面积是\（b^2\），由于裁掉的部分在原来正方形的内部，所以重叠了两次，重叠部分的面积是\（2ab\）。

那么剩下布料的面积就是\（a^2 2ab ＋b^2\），这正好就是\（（a b)＾2\）展开后的式子。

掌握完全平方公式对于解决代数问题非常有帮助。

比如在进行因式分解的时候，如果我们遇到了形如\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）或者\（a^2 2ab ＋ b^2\）的式子，就可以直接利用完全平方公式将其转化为\（（a ＋ b)＾2\）或者\（（a b)＾2\）。

完全平方和平方差公式

平方差公式和完全平方公式（一）平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。

（二）完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。

（三）平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：（四）左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。

公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。

（五）该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。

3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。

这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。

公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。

（六）该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。

2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可是数，单项式，多项式。

3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

4.不要漏下一次项。

5.切勿混淆公式。

6.运算结果中符号不要错误。

7.变式应用难，不易于掌握。

完全平方公式

例如，在矩形中，如何利用完全平方公式计算矩形的面积或周长。
THANKS
谢谢您的观看
与完全平方公式相关的定理
勾股定理
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
均值不等式
对于任意实数a和b，都有(a+b)^2/4≥ab，当且仅当a=b时等号成立。
与完全平方公式相关的数学问题
利用完全平方公式计算某些数的平方
例如，对于一个正整数n，如何利用完全平方公式计算n^2的值。
利用完全平方公式解决几何问题
详细描述
我们先假设存在一个非完全平方数$n$，那么一定存在一个整数$k$使得$n=k^2+1$。那么我们可以将这个非完全平方数表示为两个整数的平方和： $(k+1)^2+1=(k^2+1)+2k+1=(k^2+1)+(k+1)^2$ 。但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设了 $n$是一个非完全平方数，因此它不能表示为两个整数的平方和
《完全平方公式》
xx年xx月xx日
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识
01
完全平方公式概述
什么是完全平方公式
完全平方公式定义
完全平方公式是一个数学表达式，它表示一个数的平方等于另外两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。
公式形式
a^2 = (a-b)^2 + 2ab 或 a^2 = (a+b)^2 - 2ab
完全平方公式的重要性
数学基础
完全平方公式是初中数学的基础内容，是进行二次根式运算、解一元二次方程和判断整式乘除运算结果的重要依据。

因式分解(完全平方公式)

完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式$ax^2 + bx + c$，完全平方公式的形式为$(mx + n)^2$。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将$x^2 + 6x + 9$使用完全平方公式进行因式分解。
示例二
将$4x^2 - 4x + 1$使用完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。

完全平方公式的定义

完全平方公式的定义
完全平方公式是一种有用的数学工具，可以用来解决多个方程。

它是一个常见的抽象表示形式，由四个变量X、a、b、c和d组成，它的表达式为：X^2+aX+b=cX+d。

这里的X表示一个未知数，a、b、c和d分别表示四个常数。

如果所有变量都是定值（即a,b,c和d都是非零常数），则将上述公式视为一元二次方程（也就是完全平方方程）。

在求解它时，首先必须将它化成一般形式ax²+bx+c=0。

然后应用平方根公式（即X=−b±√b²−4ac2a）来解决这个问题。

此外，如果该方程有不止一个根（即b²-4ac是正数时），则要考虑所有根的情况。

对于复杂的多项式问题来说，使用完全平方公式能够很好地减少问题的复杂度。

例如在求解三次多项式中的根时可以将三次多项式化成三个不含x³成分的完全平方形式。

考虑到这些优势和特性，它成为了很多学生和工作者在数学中使用的一个重要工具。

完全平方公式

完全平方公式知识要点1．完全平方公式的推导： ①两数的平方：2)(b a +=))((b a b a ++=22b ab ab a +++（多项式乘法法则）=222b ab a ++（合并同类项） ②两数差的平方：2)(b a -=))((b a b a --=22b ab ab a +--（多项式乘法法则）=222b ab a +-（合并同类项） 2．完全平方公式：①2)(b a +=222b ab a ++ ②2)(b a -=222b ab a +-这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式．3．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，即另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． 4．知识的综合运用：①改变符号运用公式计算：如2)(b a --=[]2)(b a +-=2)(b a + ②根据加减法的运算律变形运用公式：如2)(b a +-=2)(a b - ③利用完全平方公式把代数式变形：如ab b a b a 2)(222-+=+=2)(b a -+ab 2；2)(b a -=ab b a 4)(2-+等④推广：[]22)()(c b a c b a ++=++=22)(2)(c c b a b a +++++=222222c bc ac b ab a +++++=bc ac ab c b a 222222+++++典型例题例1．判断下列各式的计算是否正确，如果错了，指出错的地方，并把它改正过来． ①222)())((b a b a b a b a +=+=++ ②222)(b a b a -=-③2)3(y x -=2293y xy x +- ④222244)2()2(b ab a b a b a ---=+-=--⑤212)1(22++=+xx x x ⑥22241025)25(y xy x y x +-=--例2．计算： ①2)3(b a + ②2)3(y x +- ③2)(n m --例3．利用完全平方公式进行计算： ①2201 ②299例4．要使4142++mx x 成为一个两数和的完全平方式，则（）A 、2-=mB 、2=mC 、1=mD 、1-=m例5．已知3=+b a ，12-=ab ，求下列各式的值．①22b a + ②22b ab a +-③2)(b a -例6．计算下列各式： ①2)241(y x +- ②22)3()3(y y --+ ③2)2(b a +-例7．计算： ①2)(c b a +- ②2)312(+-y x例8．如果y x ,满足0)(22=++-y x x ，求x y 的值．1．填空：①+=-22)3(x x +9 ②+2a +4=2)2(+a ③++a a 62 =2)5(+a ④2244b ab a +-=（）22．计算： ①2)43(y x +- ②)211)(141(a a +--③2)52(n m +3．如果2642b ab M a +∙-是一个完全平方式，则M 等于（） A 、8B 、8±C 、16±D 、32±4．用完全平方公式计算： ①2204 ②22985．若5=+y x ，2=xy ，求22y x +6．已知b a b a 42522+=++，b a 53-求的值．7．用完全平方公式计算下列各题： ①2)74(-+y x ②2)(z y x ++③2)132(+-b a ④2)7(+-n m1．填空：（1）16x 2－8x+_______=（4x －1）2；（2）_______+6x+9=（x+3）2；（3）16x 2+_______+9y 2=（4x+3y ）2；（4）（a －b ）2－2（a －b ）+1=（______－1）2．（5）+=+229)3(n m n +2m （6）=++229124y xy x （）2 （7）+2a +25=2)5(+a （8）x 2- 6xy+ =（）22．用简便方法计算： ①2301 ②24993．计算下列各题： ①2)65(y x - ②2)83(b a + ③2)62(-+n m4. 有个多项式的前后两项被墨水污染了看不清，已知它的中间项是12xy ，•且每一项系数均为整数，请你把前后两项补充完整，使它成为一个完全平方式，•并将它进行因式分解．你有几种方法？多项式：■+12xy+■=（）25. 若代数式m 2+4加上一个单项式后可构成一个完全平方式，求这个单项式（要求至少写出两个）．。

完全平方公式4个变形

完全平方公式4个变形
五年级数学课程中，求解完全平方公式是经常涉及到的一个技能，它有四种变形：
1、一元二次一般式。

这个式子有ax^2+bx+c=0，是含有一个未知数x就可以完成完全平方公式，这里是求ax^2+bx+c=0的解，用二次完全平方公式可以写成：x=（-b±√(b^2-4ac))/2a，从这个公式可以看出，在求解的时候只要把常数的值代入公式里，计算出完全平方根就可以求得x的解。

2、展开完全平方式。

展开完全平方式包括
ax^2+2bx+c=0，这是当b≠0时完全平方式可以分解为两个完全平方和的形式，其公式可以表示为x=(-
b±√(b^2-ac))/a，只要把常数的值代入公式里，计算出完全平方根，就可以求得x的解。

3、完全平方比例定理。

这个定理是说，当
y=ax^2+bx+c=0时，x的取值范围是(-
c/b)±√(c^2/b^2−a/b)，所以只要根据这个公式计算出x
的取值范围，就可以求得坐标，并通过坐标表示法确定图形的位置，也可以在图形上做出一些判断。

4、棱锥面完全平方式。

高中数学中最常用的是棱锥面
完全平方式，它的式子有：
z=ax^2+2bxy+y^2+2cx+2dy+e，要是把其中的常数代入
到完全平方的比例定理中去求解，可以求得x和y的值，而且它可以用来画出棱锥面的三维图形。

上述是完全平方公式的四种变形，它们分别有不同的求解方法，每种变形又能应用于不同的场景，学生学习完整括这四种变形，可以更快更有效地完成各种应用题，既可以在计算数学机器上求解，也可以使用绘图系统求解。

完全平方公式

完全平方公式完全平方公式是数学中一个用于求解一元二次方程的重要公式。

通过完全平方公式，我们可以直接求解任意形式的一元二次方程，而无需进行因式分解或使用其他方法。

一元二次方程的一般形式一元二次方程是指一个未知数的二次方程，其一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为已知的实数系数，且a不等于0。

我们的目标是求解方程中的未知数x的值。

完全平方公式的表达给定一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，完全平方公式可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在完全平方公式中，± 表示两个不同的解，√代表求平方根。

完全平方公式的推导过程完全平方公式可以通过配方法进行推导，具体过程如下：首先，将一元二次方程ax^2 + bx + c = 0移项得到ax^2 + bx = -c。

然后，我们通过添加一个常数项，使得方程成为一个完全平方。

我们的目标是创建一个二次多项式，其可以被表示为一个完全平方。

为了实现这一点，我们需要将方程右侧的常数项进行调整。

如果需要使方程成为一个完全平方，则我们需要添加一个数使得bx可以写成一个平方项的形式。

考虑到一元二次方程的一般形式，我们可以选择b/2的平方，即(b/2)^2 = b^2/4。

将这个平方项添加到方程右侧，我们可以得到(ax^2 + bx + b^2/4) = -c + b^2/4。

通过移项，我们将该方程转化为(ax + b/2)^2 = b^2 - 4ac/4。

接下来，我们对上式的两边取平方根，得到ax + b/2 = ± √(b^2 - 4ac)/2。

最后，将方程重新整理，我们可以得到完全平方公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)完全平方公式的应用举例通过完全平方公式，我们可以解决任意一元二次方程的问题。

下面是一些应用举例：例子1给定方程2x^2 + 5x - 3 = 0，我们可以通过完全平方公式求解x的值。

完全平方式的所有公式

完全平方式的所有公式完全平方式是数学中一个非常重要的知识点，它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多数学难题的大门。

咱们先来说说完全平方和公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。

想象一下，a 和 b 是两个小伙伴，它们手拉手一起做游戏。

当它们决定要一起变成完全平方的样子时，就按照这个公式来变身啦。

比如说，a = 3，b = 4 ，那么 (3 + 4)² = 3² + 2×3×4 + 4²，算一算，7² = 9 + 24 + 16 ，49 = 49 ，是不是很神奇？再看看完全平方差公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²。

这个就像是 a 和 b这两个小伙伴闹了点小别扭，分开的时候的变化规则。

比如 a = 5 ，b = 2 ，(5 - 2)² = 5² - 2×5×2 + 2²，3² = 25 - 20 + 4 ，9 = 9 ，分毫不差。

咱们在实际解题的时候，这两个公式可太有用啦！记得有一次，我在给学生们讲一道数学题，题目是：已知 x + y = 7 ，xy = 12 ，求 x² +y²的值。

这时候，完全平方公式就派上用场啦！我们可以把 x² + y²变形为 (x + y)² - 2xy ，然后把 x + y = 7 ，xy = 12 代入，就得到 7² - 2×12= 49 - 24 = 25 。

同学们恍然大悟，那种因为掌握了新知识而眼睛放光的样子，让我特别有成就感。

还有呢，这两个公式还能帮助我们进行因式分解。

比如 x² + 6x + 9 ，我们一看，这不就是 (x + 3)²嘛。

还有 4x² - 12x + 9 ，可以写成 (2x -3)²。

完全平方公式的6种变形

完全平方公式的6种变形
完全平方公式的6种变形
完全平方公式是数学中用于求解一元二次方程的根的一种公式，它可以表示为：$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
它有六种变形，即：
（1）$$ ax^2 = -bx - c $$
（2）$$ ax^2 = bx + c $$
（3）$$ ax^2 + c = bx $$
（4）$$ ax^2 - c = bx $$
（5）$$ ax^2 + bx = -c $$
（6）$$ ax^2 - bx = c $$
从上述六种变形来看，式子中的$a$,$b$,$c$是变形过程中，满足方程一定性
质的参数，一般情况下$a$,$b$都不能为0，改变其值，可以使方程更好地求解。

当$a$，$b$，$c$具有确定的值时，可以利用完全平方公式来求解方程的根。

例如，方程 $$ x^2+7x+10=0 $$ 的运行结果为$x=-2.5$和$x=-3.5$，可以用完全
平方公式$x^2-7x+10=0$，来检验结果是否正确：
$$ x^2-7x+10=（x-2.5）（x-3.5） $$
从计算结果可以看出，完全平方公式计算的结果是正确的。

总之，完全平方公式是一种重要的数学工具，它可以将一元二次方程改写成特
殊的形式，以便更容易地解决方程。

六种变形使用不同的参数，因此，在求解一元二次方程的过程中，可以根据实际情况选用最合适的形式，从而更容易地获得正确的解。

完全平方公式

完全平⽅公式定义两数和的平⽅，等于它们的平⽅和加上它们的积的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²两数差的平⽅，等于它们的和减去它们的积的2倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²该公式是进⾏与变形的重要的知识基础，是中常⽤到的公式。

该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。

难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项的理解等）。

学习⽅法完全平⽅公式的转换这两个公式的结构特征：1. 左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍；2. 左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.3. 公式中的字母可以表⽰具体的数（或），也可以表⽰或等数学式．公式⼝诀⾸平⽅，尾平⽅，⾸尾相乘放中间。

或⾸平⽅，尾平⽅，两数⼆倍在中央。

也可以是：⾸平⽅，尾平⽅，积的⼆倍放中央。

同号加、异号减，负号添在异号前。

（可以背下来）即（注意：后⾯⼀定是加号）公式变形变形的⽅法（⼀）、变符号：例1：运⽤完全平⽅公式计算：（1）（2）分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。

解答：(1)原式=(2)原式=（⼆）、变项数：例2：计算：分析：完全平⽅公式的左边是两个相同的⼆项式相乘，⽽本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运⽤整体思想看成⼀项，从⽽化解⽭盾。

所以在运⽤公式时，(3a+2b+c)2可先变形为，直接套⽤公式计算。

解答：原式=（三）、变结构例3：运⽤公式计算：(1)(2)(3)分析；本例中所给的均是⼆项式乘以⼆项式，表⾯看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中⼀个因式作适当变形就可以了。