高中数学必修一 第五章 三角函数 单元训练题 (18)0812(含答案解析)
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-附答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-附答案1. 与610°角终边相同的角表为 .2.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］.3.设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 .4.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--•+•+--•+•+= .5. ①在(0,2π)上递减； ②以2π为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）.6.将函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .7.函数y =|sin x |的一个单调增区间是8.函数f （x ）=sin x +2|sin x |，x ∈［0，2π］的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .9.关于函数f (x )=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π433x ,有下列命题： ①其最小正周期为π32；②其图象由y =2sin3x 向左平移43个单位而得到； ③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ上为单调递增函数，则其中真命题为 （写出你认为正确答案的序号）.10.若动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 . 11.已知f (x )=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= .12.函数y =|sin x |cos x -1的最小正周期为 .13 求下列函数的定义域：（1）y =lgsin(cos x )=(2)y =x x cos sin -= .14.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程m cos x -1=cos x +m 有解，则参数m 的取值范围为 .15.下面有五个命题：①终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }. ②在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.③把函数y =3sin(2x +3π)的图象向右平移6π得到y =3sin2x 的图象. ④函数y =sin(x -2π)在［0,π］上是减函数. 其中，真命题的编号是 .16.已知342sin ,cos 552m m m m πθθθπ--⎛⎫==<< ⎪++⎝⎭，则θcot =17.已知定义在[]4,3t t -上的奇函数当0>x 时，x x x f aa 1log log )(-=（其中01a <<），若m 满足()240f m m -≥，则实数m 的取值范围为18.是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a cos x +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.参考答案1.与610°角终边相同的角表示为 .答案 k ·360°+250°(k ∈Z )2.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］. 答案 10sin 60t π 3.设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3ππ 4.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--•+•+--•+•+= . 答案 15. ①在(0,2π)上递减； ②以2π为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）.答案 y =-sin x6.将函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .答案 y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 7.函数y =|sin x |的一个单调增区间是 （写出一个即可）.答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ8.函数f （x ）=sin x +2|sin x |，x ∈［0，2π］的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .答案 1＜k ＜39.关于函数f (x )=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π433x ,有下列命题： ①其最小正周期为π32；②其图象由y =2sin3x 向左平移43个单位而得到；③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ上为单调递增函数，则其中真命题为 （写出你认为正确答案的序号）. 答案 ①③10.若动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 . 答案 211.已知f (x )=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= .答案 314 12.函数y =|sin x |cos x -1的最小正周期为 .答案 2π13 求下列函数的定义域：（1）y =lgsin(cos x );(2)y =x x cos sin -.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0.∵-1≤cos x ≤1,∴0＜cos x ≤1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x |-2π+2k π＜x ＜2π+2k π,k ∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1∴OM 只能在x 轴的正半轴上∴其定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+-k k x k x ,2222|ππππ. （2）要使函数有意义，必须使sin x -cos x ≥0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y =sin x 和y =cos x 的图象，如图所示.在［0，2π］内，满足sin x =cos x 的x 为4π，45π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+k k x k x ,24524|ππππ. 方法二 利用三角函数线如图MN 为正弦线，OM 为余弦线要使sin x ≥cos x ,即MN ≥OM则4π≤x ≤45π（在［0，2π］内）. ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x k x ,24524|ππππ 方法三 sin x -cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ≥0 将x -4π视为一个整体，由正弦函数y =sin x 的图象和性质 可知2k π≤x -4π≤π+2k π 解得2k π+4π≤x ≤45π+2k π,k ∈Z . 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x kx x ,24542|πππ. 14.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程m cos x -1=cos x +m 有解，则参数m 的取值范围为 . 解 由m cos x -1=cos x +m 得cos x =11-+m m ,作出函数y =cos x 的图象（如图所示） 由图象可得21≤11-+m m ≤1,解得m ≤-3. 15.下面有五个命题：①终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }.②在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ③把函数y =3sin(2x +3π)的图象向右平移6π得到y =3sin2x 的图象. ④函数y =sin(x -2π)在［0,π］上是减函数. 其中，真命题的编号是 .18.是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a cos x +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.解 y =1-cos 2x +a cos x +85a -23 =218542cos 22-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a x 当0≤x ≤2π时，0≤cos x ≤1 若2a ＞1,即a ＞2,则当cos x =1时 y max =a +a 85-23=1,∴a =1320＜2(舍去). 若0≤2a ≤1，即0≤a ≤2,则当cos x =2a 时 y max =218542-+a a =1,∴a =23或a =-4(舍去). 若2a ＜0,即a ＜0时,则当cos x =0时 y max =2185-a =1,∴a =512＞0(舍去). 综上所述,存在a =23符合题设.。
高中数学必修一 第五章 三角函数 单元测试 (12)(含答案解析)
高中数学必修一第五章三角函数单元测试 (12)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知函数f(x)=√3sinπxm，若存在f(x)的极值点x0，满足x02+f2(x0)<m2，则实数m的取值范围是()A. m<−2或m>2B. −2<m<2C. m>2D. m<22.若角α的终边经过点P(1,√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √323.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(5π6)的值为()A. 2B. −2C. √3D. −√34.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的最小正周期为π，x=π3为函数g(x)的一条对称轴，则函数g(x)的一个单调递增区间为()A. [0,π6] B. [π2,π] C. [π3,5π6] D. [π6,π3]5.已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③6.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在x=θ处取得最大值，则f(2θ)−f(3θ)的值为()A. 1B. 0C. −1D. √37.同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是π2；②在[−π6,π3]上是增函数的一个函数为()A. y =sin(x 2+π6) B. y =cos(2x +π3) C. y =sin(2x −π6)D. y =cos(x2−π6)8. 若sin2θ=cos2θ+1，则cos2θ=( )A. 0B. −1C. 1或0D. 0或−19. 为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x 的图象( )A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位 C. 向右平移π8个单位D. 向左平移π8个单位10. 将函数y =2cos(π6−x)cos(x +π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为( )A. π3B. π4C. π6D. π12二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 11. 已知函数f(x)=sin 2ωx 2+√32sinωx −12(ω>0)，x ∈R ，若f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是______．12. 已知α为第二象限角，cosα=−35，则sin2α=______． 13. 已知α∈(π2,3π4)，α=sinα，b =cosα，c =tanα，则a ，b ，c 的大小关系为______．14. 已知sinβ=45，β∈(π2,π)，且sin(α+β)=cosα，则cosβ=______，tan(α+β)=______．15. 已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sinβ=______．16. 若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为______． 17. 若sinθ−cosθ=75，且sinθ+cosθ<0，则tan2θ=______． 三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）18. 已知向量a ⃗ =(3sinx,cos2x)，b ⃗ =(cosx,12)，x ∈R ，设函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值．19.已知数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)出的单递增区间；(2)若f(x0)=35，x0∈[π4,π2]，求cos2x0的值．20.设向量a⃗=(−3cosθ,2sinθ)．(1)当θ=43π时，求|a⃗|的值；(2)若b⃗ =(3,−1)，且a⃗//b⃗ ，求2cos2θ2−1√2sin(θ+π4)的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：函数f(x)=√3sin πxm ，若存在f(x)的极值点x 0，可得πx 0m =kπ+π2，k ∈Z ，可得x 0=m(12+k)，k ∈Z ， f 2(x 0)=3．所以x 02+f 2(x 0)<m 2， 化为：m 2(12+k)2+3<m 2， 即：[1−(12+k)2]m 2>3，因为存在f(x)的极值点x 0，满足x 02+f 2(x 0)<m 2，所以k =−1，1−(12+k)2=34>0， ∴34m 2>3，解得：m <−2或m >2． 故选：A ．利用函数的极值点，推出x 0，然后化简所求不等式，求解m 的范围即可．本题考查不等式恒成立条件的应用，存在性问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力． 2.答案：D解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果． 【解答】解：∵角α的终边经过点P(1,√3)，则sinα=√3√1+3=√32， 故选：D ． 3.答案：D解析：解：根据函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象， 可得ω×(−π12)+φ=−π2 ①，且ω×π6+φ=0 ②， 由①②联立方程组，求得ω=2，φ=−π3， 故f(x)=2sin(2x −π3)，故f(5π6)=2sin4π3=−2sinπ3=−√3，故选：D．由题意利用五点法作图求得ω和φ，可得函数的解析式，可得f(5π6)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，五点法作图，属于基础题．4.答案：C解析：解：由题意知，f(x)=√2sin(ωx+φ−π4)，所以g(x)=f(x−π3)=√2sin(ωx−ωπ3+φ−π4)，因为g(x)的最小正周期为π，所以2πω=π，解得ω=2，所以g(x)=√2sin(2x−2π3+φ−π4)，由x=π3为g(x)的一条对称轴，则φ−π4=π2+kπ(k∈Z)，即φ=3π4+kπ(k∈Z)，因为|φ|<π2，可得φ=−π4，所以函数g(x)=√2sin(2x−7π6)，令−π2+2kπ≤2x−7π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，(k∈Z)，当k=0时，π3≤x≤5π6．故选：C．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：B解析：【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．6.答案：A解析：解：∵函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在x=θ处取得最大值，∴ωθ+π6=π2+2kπ，即ωθ=π3+2kπ,k∈Z，不妨取k=0，则ωθ=π3，∴f(2θ)−f(3θ)=sin(2ωθ+π6)−sin(3ωθ+π6)=sin(2π3+π6)−sin(π+π6)=12−(−12)=1．故选：A．由题可知，sin(ωθ+π6)=1，所以ωθ+π6=π2+2kπ，不妨取k=0，则ωθ=π3，所以f(2θ)−f(3θ)=sin(2ωθ+π6)−sin(3ωθ+π6)，代入已求的结论进行运算即可得解．本题考查正弦函数的最值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：由图象的相邻两条对称轴间的距离是π2，可知T2=π2，T=π，选项B、C满足．由x∈[−π6,π3]，得2x+π3∈[0,π]，函数y=cos(2x+π3)为减函数，不合题意．由x∈[−π6,π3]，得2x−π6∈[π2,π2]，函数y=sin(2x−π6)为增函数，符合合题意．故选：C．由题意求出函数周期，可知满足条件的函数是选项B或C，再由在[−π6,π3]上是增函数进一步判断只有C符合．本题考查三角函数的周期性及其求法，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，是基础题．8.答案：D解析：解：∵sin2θ=cos2θ+1，∴2sinθcosθ=2cos2θ，∴cosθ=0，或sinθ=cosθ，∴当cosθ=0时，cos2θ=2cos 2θ−1=0−1=−1； 当sinθ=cosθ时，cos2θ=cos 2θ−sin 2θ=0． 综上，cos2θ=0或−1． 故选：D ．由已知利用二倍角公式可求2sinθcosθ=2cos 2θ，可得cosθ=0，或sinθ=cosθ，分类讨论利用二倍角公式即可求解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属于基础题． 9.答案：D解析：解：为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x =sin(2x +π2)的图象向左平移π8个单位，sin(2(x +π8)+π2)=sin(2x +3π4).故选：D ．由题意利用诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 10.答案：D解析：解：由题意可得y =2cos(π6−x)cos(x +π3)=2sin(x +π3)cos(x +π3)=sin(2x +2π3)，向右平移φ(φ>0)个单位后可得y =sin[2(x −φ)+2π3]=sin(2x −2φ+2π3)的图象，因为平移后函数为偶函数，所以，−2φ+2π3=π2+kπ，∴φ=π12−kπ2.k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值是π12，故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的奇偶性，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：(0,112]∪[16,712]解析：解：函数f(x)=sin 2ωx 2+√32sinωx −12=√32sinωx −cosωx 2=sin(ωx −π6)，由f(x)=0，可得sin(ωx −π6)=0，解得x =kπ+π6ω∉(π,2π)，∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点， ∴T2≥π⇒ω≤1； 因为ω>0；分别取k =0，1，2，3…∴ω∉(112,16)∪(712,76)∪(1312,136)∪…=(112,16)∪(712,+∞)，∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点，∴ω∈(0,112]∪[16,712].故答案为：(0,112]∪[16,712].先整理解析式，由f(x)=0，可得sin(ωx −π6)=0，解得x =kπ+π6ω∉(π,2π)，即可得出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：−2425解析：解：∵已知α为第二象限角，cosα=−35，∴sinα=√1−cos 2α=45， 则sin2α=2sinαcosα=−2425， 故答案为：−2425．利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式，求出结果． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题． 13.答案：tanα<cosα<sinα解析：解：由于α∈(π2,3π4)，则sinα>0，cosα<0，tanα<0， y =cosα在(π2,3π4)递减，则−√22<cosα<0， y =tanα在(π2,3π4)递增，则tanα<−1，则有tanα<cosα<sinα．故答案为：tanα<cosα<sinα．先考虑函数值的符号，再运用正切函数、余弦函数的单调性，即可比较． 本题考查三角函数的单调性和运用：比较大小，考查余弦函数和正切函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．14.答案：−35 −3解析：解：∵sinβ=45，β∈(π2,π)， ∴cosβ=−√1−sin 2β=−√1−(45)2=−35， ∴tanβ=sinβcosβ=−43，∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=−35sinα+45cosα=cosα，可得−35sinα=15cosα，可得tanα=−13， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−13+(−43)1−(−13)×(−43)=−3．故答案为：−35，−3．由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解cosβ的值，进而可求tanβ的值，利用两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式进而可求tanα的值，根据两角和的正切函数公式即可求解tan(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.答案：√22解析：【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cos(β−α)的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sinβ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 【解答】解：∵cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=2√55，∴β−α∈(−π2,π2)，∴cos(β−α)=√1−sin 2(β−α)=3√1010， ∴sinβ=[(β−α)+α]=sin(β−α)cosα+cos(β−α)sinα=(−√1010)×√55+3√1010×2√55=√22． 故答案为：√22．16.答案：π2(答案不唯一)解析：【分析】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题． 由两角和差公式，及辅助角公式化简得f(x)=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=22，sinθ=22，结合题意可得√cos 2φ+(1+sinφ)2=2，解得φ，即可得出答案． 【解答】解：f(x)=sin(x +φ)+cosx=sinxcosφ+cosxsinφ+cosx=sinxcosφ+(1+sinφ)cosx=√cos 2φ+(1+sinφ)2sin(x +θ)，其中cosθ=√cos 2φ+(1+sinφ)2，sinθ=22， 所以f(x)最大值为√cos 2φ+(1+sinφ)2=2， 所以cos 2φ+(1+sinφ)2=4， 即2+2sinφ=4， 所以sinφ=1，所以φ=π2+2kπ，k ∈Z ， 当k =0时，φ=π2． 故答案为：π2(答案不唯一)．17.答案：−247解析：解：∵sinθ−cosθ=75，①∴两边平方，可得1−2sinθcosθ=4925，可得2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθ1+tan 2θ=−2425， 又∵sinθ+cosθ<0，∴sinθ+cosθ=−√1+2sinθcosθ=−√1−2425=−15，② ∴由①②可得sinθ=35，cosθ=−45，可得tanθ=sinθcosθ=−34， ∴tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=−247．故答案为：−247．将sinθ−cosθ=75两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，结合sinθ+cosθ<0，可求sinθ+cosθ=15，即可解得sinθ，cosθ，tanθ的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解：(1)∵a⃗ =(3sinx,cos2x)，b ⃗ =(cosx,12)，x ∈R ， ∴函数f(x)=a⃗ ⋅b ⃗ =(3sinx,cos2x)⋅(cosx,12)=3sinxcosx +12cos2x =32sin2x +12cos2x =√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π；(2)由(1)得f(x)=√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∵x∈[0,π2]，∴2x+φ∈[φ,π+φ]．则当2x+φ=π+φ时，f(x)取得最小值为√102sin(π+φ)=−√102sinφ=−√102×√1010=−12；当2x+φ=π2时，f(x)取得最大值为√102sinπ2=√102．∴函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值分别为√102，−12．解析：(Ⅰ)利用平面向量的数量积的坐标运算可得f(x)的解析式，利用周期公式求周期；(Ⅱ)由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．本题考查平面向量数量积的坐标运算，训练了三角函数最值的求法，是中档题．19.答案：解：(1)由图象可知T2=2π3−π6=π2，得T=π=2πω，即ω=2．当x=π6时，f(x)=1，可得sin(2×π6+φ)=1．∵|φ|<π2，∴φ=π6．故f(x)=sin(2x+π6).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z；由图象可得f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；(2)∵x0∈[π4,π2 ]，∴可得2x0+π6∈[2π3,7π6]，∵f(x0)=sin(2x0+π6)=35，∴cos(2x0+π6)=−45，∴cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=(−45)×√32+35×12=3−4√310．解析：本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数解析式，考查了已知三角函数值求角，训练了两角和的正弦公式，是中档题．(1)由函数图象得到半周期，进一步求得周期，再利用周期公式求ω的值，再由f(π6)=1结合φ的范围求得φ值，则函数解析式可求，再由函数图象得到函数的单递增区间；(2)由已知可求范围2x0+π6∈[2π3,7π6]，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2x0+π6)的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．20.答案：解：(1)根据题意，向量a⃗=(−3cosθ,2sinθ)，若θ=4π3，则cosθ=−12，sinθ=−√32，则a⃗=(32,−√3)；则|a⃗|=√212；(2)根据题意，若b⃗ =(3,−1)，且a⃗//b⃗ ，则有(−1)×(−3cosθ)=3×2sinθ，变形可得cosθ=2sinθ，2cos2θ2−12sin(θ+π4)=cosθsinθ+cosθ=2sinθsinθ+2sinθ=23．解析：(1)根据题意，由θ的值可得a⃗的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案；(2)根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得(−1)×(−3cosθ)=3×2sinθ，变形可得cosθ=2sinθ，结合三角恒等变形公式可得2cos2θ2−12sin(θ+π4)=cosθsinθ+cosθ，将cosθ=2sinθ代入计算可得答案．本题考查向量平行的坐标表示以及向量模的计算，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．。
高中数学 第五章 三角函数单元测试卷精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学
第五章单元测试卷一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．电流I(A )随时间t(s )变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A .150B ．50C .1100D ．100 2．若sin 2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A .32B ．－32 C .34D ．－343．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 大小关系( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b4．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－75．已知函数y ＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 6．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (6π－α)的值为( )A ．－23m B ．－32m C .23m D .32m7．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4(x∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( )A.π2 B.3π8 C.π4 D.5π88．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为5－12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3－5)π B．(5－1)π C ．(5＋1)π D．(5－2)π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若角α是第二象限角，则α2是( )四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α.(1)若α＝－13π3，求f (α)的值；(2)若α为第二象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝35，求f (α)的值．18.(本小题满分12分)在已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)求f (x )的定义域与单调区间．(2)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8的大小．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．第五章单元测试卷1．解析：T ＝2π100π＝150.答案：A2．解析：(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－14＝34.又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B3．解析：由题意知，a ＝sin 14°＋cos 14°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 14°＋22cos 14°＝2sin59°，同理可得，b ＝sin 16°＋cos 16°＝2sin 61°，c ＝62＝2sin 60°， ∵y ＝sin x 在(0°，90°)是增函数，∴sin 59°＜sin 60°＜sin 61°，∴a ＜c ＜b ， 故选D. 答案：D4．解析：由α为锐角，cos α＝55，∴sin α＝255故tan α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43 ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4tan 2α＝1－431＋43＝－17. 答案：B5．解析：由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4＝T 4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 答案：C6．解析：∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：B7．解析：由函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为T ＝2πω，可得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度， 得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋|φ|＋π4的图象， ∵平移后图象关于y 轴对称，∴2|φ|＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴|φ|＝k π2＋π8(k ∈Z )，k ＝1⇒φ＝±5π8，故选D. 答案：D8．解析：S 1与S 2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设S 1与S 2所在扇形圆心角分别为α，β， 则αβ＝5－12，又α＋β＝2π，解得α＝(3－5)π. 答案：A9．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，可知A ，C 正确． 答案：AC10．解析：对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为π3弧度，命题错误；对于B ，若tan α≥0，则k π≤α<π2＋k π(k ∈Z )，命题错误；对于C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝±45，命题错误；对于D ，当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α，命题正确．故选ABC.答案：ABC11．解析：由f ()x ＝cos 2x －3sin 2x 可得：f ()x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3所以f ()x 的周期为T ＝2π2＝π，所以A 正确；将x ＝π3代入f ()x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3可得： f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝－2 此时f ()x 取得最小值－2，所以x ＝π3是f ()x 的一条对称轴，所以B 正确；令t ＝2x ＋π3，则f ()x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由y ＝2cos t ，t ＝2x ＋π3复合而成； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，t ＝2x ＋π3在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6递增，y ＝2cos t在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3不单调，由复合函数的单调性规律可得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6不是f ()x 的一个递增区间；所以C 错误．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，t ∈[]0，π，t ＝2x ＋π3在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3递增，y ＝2cos t 在t ∈[]0，π单调递减，由复合函数的单调性规律可得：f ()x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3递减，所以D 正确；故选ABD.答案：ABD12．解析：f (－x )＝sin|－x |＋|sin (－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，故A 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin |x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ，则f (x )＝sin x＋sin x ＝2sin x 为减函数，故B 错误；当0≤x ≤π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，由f (x )＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f (x )是偶函数，得在[－π，0)上还有一个零点x ＝－π，即函数f (x )在[－π，π]有3个零点，故C 错误；当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f (x )取得最大值2，故D 正确，故选AD.答案：AD13．解析：cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)]＝－cos(45°＋α)＝－513.答案：－51314．解析：sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)，∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π.∴cos(π4＋α)<0.∴cos(π4＋α)＝－1－342＝－74. cos(α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34.答案：－743415．解析：1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2，因为α是第三象限角，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos α2－sin α2<0，所以上式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2cos α2－sin α22＝－1＋sin α1－sin α＝－1－451＋45＝－13. 答案：－1316．解析：对于①，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π， 则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75， 所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos (2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③17．解析：(1)∵f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝sin αcos αsin α－sin α－sin α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝cos π3＝12.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝35，∴sin α＝35.∵α为第二象限角，∴f (α)＝cos α＝－1－sin 2α＝－45. 18．解析：(1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上， 得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1， 故f (x )的值域为[－1,2]．19．解析：(1)要使函数有意义，需满足2x －π3≠k π＋π2，即x ≠k π2＋π2，k ∈Z ，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋5π12，k ∈Z由k π－π2<2x －π3<k π＋π2解得k π2－π12<x <k π2＋5π12， 故函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12，k ∈Z . (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝3tan 2π3＝－33， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－π3＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝－3×tan π4＋tan π31－tan π4·ta n π3＝－3×1＋31－3＝6＋33，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8. 20．解析：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. 21．解析：(1)f (x )min ＝－2，此时2x －π3＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π12，k ∈Z ， 即此时自变量x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π－π12，k ∈Z . (2)把函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象；最后再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． (3)如图，因为当x ∈[0，m ]时，y ＝f (x )取到最大值2，所以m ≥5π12. 又函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12上是减函数， 故m 的最大值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12内使函数值为－3的值， 令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－3，得x ＝5π6， 所以m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π6. 22．解析：(1)以月份x 为横轴，气温t 为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线．由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 来描述．由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃，则A ＝17.9－9.52＝4.2，k ＝17.9＋9.52＝13.7.显然2πω＝12，故ω＝π6. 又x ＝2时t 取最大值，取ωx ＋φ＝0，得φ＝－ωx ＝－π6×2＝－π3. 所以t ＝4.2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3＋13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式． (2)如图所示，作直线t ＝13.7与函数图象交于两点，(5,13.7)，(11,13.7)．这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间．。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．17,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A ．14B ．2π C ．4π D ．123．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-4．已知函数()31cos 22f x x x ωω=-（0>ω）的图象与直线1y =的相邻两个交点距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=5．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性D ．函数()f x 的值域为R6．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．12x π=C ．3x π=D ．24x π=7．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．下面函数中最小正周期为π的是（ ）．A ．cos y x =B ．π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+9．若角α，β均为锐角，sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，则cos β=（ ）A B C D ． 10．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则()tan απ+=（ ）A ．-B ．C ．4-D ．411．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．312．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425D ．35二、填空题13．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______.14．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为π4，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为______． 15．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．16．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则()cos αβ-=________. 17．已知tan 2α=，则cos2=α__．18．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 19．已知函数()3sin cos f x x x =+.若关于x 的方程()f x m =在[0,2)π上有两个不同的解α和β（其中m <<cos()αβ-=_____（结果用m 表示）.20．已知7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，则cos2=α_______.三、解答题21．已知函数)(cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.22．若函数2cos 2cos y x x x =+. （1）求这个函数的单调递增区间.（2）求这个函数的最值及取得最值时的x 集合. 23．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭；②函数()f x 的图象可由4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③若对任意x ∈R ，()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，且12x x -的最小值为2π. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有解的和.24．已知sin cos αβ==，α、(0)2πβ∈，． （1）求cos(2)3πα-的值；（2）求αβ+的值．25．已知()cos2cos 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若2f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 26．已知函数3()sin(2)4f x x π=- （1）求()8f π的值；（2）求该函数的单调递增区间；（3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 由322232k x k ππππωπ+++求得22766k k x ππππωωωω++，k z ∈．可得函数()f x 的一个减区间为[6πω，7]6πω．再由6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得ω的范围．【详解】函数()sin()3f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减， 设函数的周期22T T πππω⇒=-，2ω∴． 再由函数()sin()3f x x πω=+满足322232k x k ππππωπ+++，k z ∈， 求得22766k k x ππππωωωω++，k z ∈． 取0k =，可得766x ππωω， 故函数()f x 的一个减区间为[6πω，7]6πω． 再由6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得1736ω，故选：B ． 【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间2．B解析：B 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象， 可得2114T=-=，所以4T =，又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.3．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】∵π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．4．D解析：D 【分析】首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求ω，再求函数的对称轴. 【详解】()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，max 1y =，由题意可知T π=，22ππωω∴=⇒=，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得：32k x ππ=+，k Z ∈ 当0k =时，3x π=.故选：D5．B解析：B 【分析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B6．D解析：D 【分析】由()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度得到()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令52122x k πππ+=+求解. 【详解】因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意得()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52122x k πππ+=+， 解得1,224x k k Z ππ=+∈， 故选：D7．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 8．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意；π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意；2π2cos sin 2cos 21sin 2214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意．故选：D9．B解析：B 【分析】由平方关系求得cos α，sin()αβ+，然后由两角差的余弦公式计算． 【详解】α，β均为锐角，25sin α=()4cos 5αβ+=-，2255cos 15α⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()243sin 155αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭， cos cos[()]βαβα∴=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++45355555=-⨯+⨯25=． 故选：B ．10．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得22sin α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】 因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2sin 3α=所以()sin tan tan 22cos ααπαα+===-故选：A11．A解析：A 【分析】运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-， 即有1sin[()]243ππα-+=-， 即1cos()43πα+=-. 故选：A.12．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故选：C二、填空题13．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为： 解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1214．【分析】先将函数化简整理根据相邻对称轴之间距离求出周期确定再根据正弦函数的性质结合给定区间即可求出最值【详解】因为由题意知的最小正周期为所以即所以当时所以因此所以函数的最小值为故答案为：解析：-【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-．故答案为：-15．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.16．【分析】将和两边同时平方然后两式相加再由两角差的余弦公式即可求解【详解】由两边同时平方可得由两边同时平方可得两式相加可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式解题 解析：5972-【分析】 将1cos cos 2αβ+=和1sin sin 3αβ+=两边同时平方，然后两式相加，再由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】 由1cos cos 2αβ+=两边同时平方可得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=，由1sin sin 3αβ+=两边同时平方可得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=，两式相加可得22221113cos cos 2cos cos +sin sin 2sin sin 946=3+αβαβαβαβ++++=即cos cos sin si 5972n αβαβ+=-，所以()cos cos cos sin s 9n 7i 52αβαβαβ-=+=-. 故答案为：5972- 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式，解题的关键是熟练掌握公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，,22cos sin 1αα+=并应用，属于中档题. 17．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 18．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】 由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：119．【分析】先利用辅助角公式化简再利用同角三角函数关系计算出与最后利用化简计算即可【详解】解：其中为锐角且又在上有两个不同的解和即由题意知：与异号不妨设则故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利解析：215m -【分析】先利用辅助角公式化简()f x ，再利用同角三角函数关系计算出()cos αϕ+与()cos βϕ+，最后利用()()cos()cos αβαϕβϕ-=+-+⎡⎤⎣⎦化简计算即可.【详解】解：()()3sin cos f x x x x ϕ=+=+，其中ϕ为锐角且1tan 3ϕ=， 又()f x m =在[0,2)π上有两个不同的解α和β，()()m mαϕβϕ+=∴+=， 即()sin 10m αϕ+=，()sin 10βϕ+=， ()cos αϕ∴+== ()cos βϕ∴+== 由题意知：()cos αϕ+与()cos βϕ+异号，不妨设()cos αϕ+=，则()cos βϕ+=， cos()αβ-()()cos αϕβϕ=+-+⎡⎤⎣⎦()()()()cos cos sin sin αϕβϕαϕβϕ=+++++(1010m m =-⨯ 215m =-. 故答案为：215m -.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用辅助角公式对()f x 进行化简.20．【分析】联立方程组求得的值结合余弦的倍角公式即可求解【详解】由题意知：联立方程组求得所以故答案为： 解析：725【分析】联立方程组，求得sin ,cos αα的值，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知：7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，联立方程组，求得34sin ,cos 55αα=-=-，所以2247cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=. 故答案为：725. 三、解答题21．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝，所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈， 所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 22．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换法求函数的单调递增区间即可；（2）根据三角函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）2cos 2cos 2cos 212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 因为函数sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数2cos 2cos y x x x =+的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）由（1）得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以函数的最大值为max 3y =，当且仅当22,62x k k Z πππ+=+∈，即：,6x k k Z ππ=+∈时取得；函数的最小值为min 1y =-，当且仅当22,62x k k Z πππ+=-+∈，即：,3x k k Z ππ=-+∈时取得；所以函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据题意，结合二倍角公式和辅助角公式将已知三角函数表达式化简整理得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，考查运算求解能力，是中档题. 23．（1）①③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）3π-. 【分析】（1）由题意分析出①②矛盾，可知③满足题意，由③可得出函数()f x 的最小正周期为π，可求得2ω=，可说明②不符合条件，进而可知符号题意的条件序号为①③，可得出2A =，由此可得出函数()f x 的解析式； （2）由()10f x -=可得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈，再由[],x ππ∈-可求得结果.【详解】（1）函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一， 由③可知，函数()f x 的最小正周期为T π=，所以2ω=，故②不合题意， 所以函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 由①可知2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为()10f x -=，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()2266x k k Z πππ+=+∈或()52266x k k Z πππ+=+∈， 所以()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为π-、23π-、0、3π、π，所以方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有的解的和为3π-. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的基本性质求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.24．（1；（2）34αβπ+=. 【分析】（1）先求出cos2α的值,再计算sin 2α的值,将cos(2)3πα-展开即可求解；（2）求出cos α和sin β的值，再计算()cos αβ+的值，结合α、(0)2πβ∈，，即可求出αβ+的值．【详解】（1）因为02πα<<，sin 5α=，所以cos α===，所以223cos 212sin 125αα=-=-⨯=-⎝⎭，4sin 22sin cos 2555ααα==⨯⨯=，314cos 2cos 2cos sin 2sin 333525πππααα⎛⎫-=+=-⨯+=⎪⎝⎭（2）因为02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，cos 10β=，所以sin β==，()cos cos sin sin cos αβαβαβ+=-===， 因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π，所以34παβ+=. 【点睛】方法点睛：解给值求角问题的一般步骤（1）求角的某一个三角函数值； （2）确定角的范围；（3）根据角的范围写出角的大小.25．（1）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再整体代入求单调递增区间；（2）由已知得23f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用倍角公式求12f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； 【详解】（1）1()cos2cos 2cos2cos22322f x x x x x x π⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭3cos222223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的单调递增区间5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由已知得233f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2221263f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin 39πα⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎥⎝⎭⎦．【点睛】求正弦型三角函数的单调区间，常用整体代入法，但要注意保证x 的系数为正，才比较不容易出错；求三角函数值时，要注意整体观察角. 26．（1）()18f π=-；（2）5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）作图见解析. 【分析】（1）直接代入求值；（2）解不等式3222242k x k πππππ-≤-≤+得单调增区间；（3）先列表描点再画图即可 【详解】解：（1）()sin()182f ππ=-=-（2）当3222242k x k πππππ-≤-≤+时，()f x 单调递增解得：5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递增区间为：5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）先列表x8π38π 58π 78π π324x π--34π -2π 02π π54π ()f x22- -1 0 122-。
人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭3．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ） A ．2425-B ．725C ．2425D ．725-4．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为22cm ，则该扇形的周长为（ ） A ．6cmB ．3cmC ．12cmD ．8cm5．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．D ．6．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 图象的一条对称轴是（ ） A ．6x π=B ．56x π=C ．512x π=D ．712x π=7．已知函数()()π2tan 010,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭，()0f =，π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①π6ϕ=；②2ω=；③函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④函数()f x 的最小正周期为π4．则上述说法正确的序号为（ ） A ．①④B ．③④C ．①②④D ．①③④8．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若4cos ,5αα=-是第三象限角，则sin α等于（ ）A ．35B ．35C ．34D ．34-10．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425D ．3511．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 12．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．310-B ．310C ．35D ．35二、填空题13．若1sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=____________ 14．已知3sin 2cos()sin 2παπαα⎛⎫++-=⎪⎝⎭，则2sin sin cos ααα+=__________.15．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________.16．若sin 2θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 17．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 18．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______． 19．函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1的最大值是________. 20．已知tan 2α=，则cos2=α__．三、解答题21．已知函数()sin 1f x x x =++. （Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值； （Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ[,]22x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.22．已知m ∈R ，函数2222()1sin cos (2)|sin |33f x x x m x =++-+.（1）若0m =，求()f x 的最大值； （2）若()f x 在02x π≤≤时的最小值为12，求m 的值.23．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分． 24．如图为函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的一个周期内的图象.（1）求函数()f x 的解析式及单调递减区间； （2）当1,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域. 25．设函数22()cos 2cos 32x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小值及()f x 取最小值时x 的集合； （3）求()f x 的单调递增区间. 26．已知02πα<<，4sin 5α. （1）求tan α的值； （2）求cos 2sin 2παα⎛⎫++⎪⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象； 将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．3．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.4．A解析：A 【分析】由题意利用扇形的面积公式可得2122R =，解得R 的值，即可得解扇形的周长的值．【详解】解：设扇形的半径为Rcm ，则弧长l Rcm =，又因为扇形的面积为22cm ， 所以2122R =，解得2R cm =， 故扇形的周长为6cm ． 故选：A ．5．C解析：C 【分析】先计算三角函数值得(1,P ，再根据三角函数的定义sin ,yr rα==可. 【详解】解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，所以sin y r α===. 故选：C.6．D解析：D 【分析】利用三角函数的性质，2()sin()033f A ππϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解 【详解】根据题意得，2()sin()033f A ππϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2πϕ<，进而求得，3πϕ=，所以，()sin(2)3f x A x π=+，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，所以，2,32x k k z πππ+=+∈，解得,k x k z 122ππ=+∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712x π= 故选D 【点睛】关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，进而求解，属于中档题7．D解析：D 【分析】根据()03f =，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ的值，即可判断①的正误；根据对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，代入公式，可解得ω的表达式，结合ω的范围，即可判断②的正误；根据()f x 解析式，结合x 的范围，即可验证③的正误；根据正切函数的周期公式，即可判断④的正误，即可得答案. 【详解】对于①：由()0f =知2tan ϕ=，即tan ϕ=π2ϕ<，解得π6ϕ=．故①正确；对于②：因为π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故πππ,1262k k Z ω+=∈，解得62,k k Z ω=-∈，因为010ω<<，所以4ω=，故②错误；对于③：当5ππ,243x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π3π4π,62x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故③正确；对于④：因为4ω=，所以()f x 的最小正周期π4T =，故④正确． 综上，正确的序号为①③④． 故选：D ．8．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<， 所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.9．B解析：B 【分析】运用同角的三角函数关系式直接求解即可. 【详解】4cos ,5a a =-是第三象限角，3sin 5a ∴==-，故选：B 10．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值 【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故选：C11．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 12．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B二、填空题13．【分析】由题意结合诱导公式二倍角余弦公式直接运算即可得解【详解】若则故答案为：解析：12-【分析】由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解. 【详解】若π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ11cos 2sin212sin 122442θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1sin22θ=-.故答案为：12-. 14．【分析】利用诱导公式化简得出根据的代换结合齐次式化简计算得出函数值【详解】由已知得：则故答案为：解析：35【分析】利用诱导公式化简得出tan 3α=-，根据”1”的代换结合齐次式化简计算得出函数值． 【详解】由已知得：cos 2cos 3cos sin αααα--=-=，则tan 3α=-222222sin sin cos tan tan 933sin sin cos sin cos tan 1915ααααααααααα++-+====+++故答案为：3515．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为： 解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解出即可. 【详解】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==， 解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-，1x ∴=-.故答案为：1-.16．0【分析】先求出再利用差角的余弦公式求解【详解】因为所以所以故答案为：0解析：0 【分析】 先求出1cos 2θ=-，再利用差角的余弦公式求解. 【详解】因为sin 2θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以1cos 2θ=-，所以11cos 062222πθ⎛⎫-=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：0 17．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为： 解析：13- 【分析】 由tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解.【详解】 tan tan 1124tan tan 312431tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 故答案为：13- 18．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为 解析：35 【分析】 利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可【详解】 由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 19．【分析】先根据二倍角公式辅助角公式将函数化为基本三角函数再根据三角函数有界性求最值【详解】因为函数f （x ）=sin2x+sinxcosx+1所以因为所以即函数的最大值为故答案为：【分析】先根据二倍角公式、辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值.【详解】因为函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1，所以113()(1cos 2)sin 21)22242f x x x x π=-++=-+， 因为sin(2)14x π-≤，所以()f x ≤，，故答案为：32+ 20．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】 由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 三、解答题21．（Ⅰ）2=3απ或53π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【分析】（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π=++，则可得sin(+)03πα=，即可求出； （Ⅱ）由题可得2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由()sin 2sin()131f x x x x π=++=++， 由()=2sin()113f παα++=，得sin(+)03πα=， 又[0,2]απ∈， 得2=3απ或53π； （Ⅱ）由题知，2sin(23(2)1)x f x π+=+2()2sin 2++12sin 2+1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或 5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或 122x ππ≤≤， 即所求x 的集合为{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【点睛】 关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解. 22．（1）2；（2）12±. 【分析】 （1）先代入0m =，然后对sin x 正负讨论，化简出函数解析式，然后再求出最大值即可，（2）根据x 的范围即可化简函数解析式，然后再根据x 的范围即可判断函数什么时候取得最小值，进而可以求出m 的值．【详解】 解：（1）0m =，则函数222()1sin cos |sin |33f x x x x =++-， 当sin [0x ∈，1]时，2()1cos f x x =+，当cos 1x =时，max ()2f x =，当sin [1x ∈-，0)时，2244()1sin cos 1sin 1sin 33f x x x x x =++=++- 2222(sin )239x =--+， 所以当sin 0x =时，max ()2f x =，综上，函数()f x 的最大值为2；（2）当02x π时，2222()1sin cos (2)sin 33f x x x m x =++-+ 222212sin cos sin 2sin 2m x x x m x =-+=--+224(sin )2x m m =-+++，所以当sin 1x =时，2min 1()212f x m =-+=， 所以214m =，即12m =±， 故m 的值为12±． 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三角函数求最值以及含参数求最小值的问题考查了学生的运算能力，属于基础题．解题关键是对sin x 按正负分类讨论，去掉绝对值符号后利用三角函数性质求最值．23．（1）[,],36k k k Z ππππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤． 若选择②，1m ≤-． 【分析】(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求.【详解】（1）因为()()2cos cos sin f x x x x x =+-22cos s n cos i x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2).6x π=+ 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得36k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）若选择①，由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤， 故当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值，且最大值为()26f π=， 所以2m ≤.若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤, 故当7266x ππ+=，即2x π=时, ()f x 取得最小值，且最小值为()12f π=-， 所以1m ≤-【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.24．（1）()2sin()44f x x ππ=+，[]8 1.85,k k k Z ++∈；（2）(2⎤⎦. 【分析】（1）由图可求出()2sin()44f x x ππ=+，令322()2442k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈，即可求出单调递减区间；（2）由题可得5,4434x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则可求得值域. 【详解】(1)由题图，知2,7(1)8A T ==--=， 所以2284T πππω===， 所以()2sin()4f x x πφ=+.将点(－1，0)代入，得2sin()04πφ-+=.因为||2πφ<，所以4πφ=， 所以()2sin()44f x x ππ=+. 令322()2442k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈, 得8185()k x k k Z +≤≤+∈. 所以()f x 的单调递减区间为[]8 1.85,k k k Z ++∈.(2)当1,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5,4434x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时sin()1244x ππ-<+≤，则()2f x <≤，即()f x 的值域为(2⎤⎦.【点睛】方法点睛：根据三角函数()sin()f x A x ωϕ=+部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω； （3）取点代入函数可求得ϕ.25．（1）12；（2）min ()0f x =，22,3x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（3）单调递增区间为252,2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用两角和的余弦公式，二倍角公式以及两角差的正弦公式化简函数解析式可得()1sin()6f x x π=--，代入3x π=，即可计算得解. （2）由（1）利用正弦函数的性质即可求解.（3）利用正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：（1）2211()cos()2cos cos cos 1cos 11sin()32226x f x x x x x x x x ππ=++=-++=+=--， 所以1()1sin()3362f πππ=--=. （2）由于()sin()16f x x π=--+，所以当sin()16x π-=时，()0min f x =，此时2,62x k k z πππ-=+∈，所以()f x 取最小值时x 的集合为2|2,3x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭， 故()f x 的最小值为0，()f x 取最小值时x 的集合为2|2,3x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. （3）令322262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，解得252233k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为25[2,2]33k k ππππ++，()k z ∈. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式，二倍角公式、两角差的正弦公式以及正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题.26．（1）43；（2）825. 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系先得cos α的值，再得tan α的值；（2）根据诱导公式以及二倍角的余弦可得结果.【详解】（1）因为02πα<<，4sin 5α，故3cos 5α=，所以4tan 3α=. （2）23238cos 2sin 12sin cos 1225525παααα⎛⎫++=-+=-+=⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查了通过同角三角函数的基本关系以及诱导公式求三角函数的值，属于基础题.。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C 2．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2αα=-（ ）A ．2425-B ．725-C ．7-D ．17-3．sin 3π=（ ）A ．12B ．12-C ．2D ． 4．已知3sin 5α=-，则cos2=α（ ） A ．15-B ．15C ．725-D ．7255．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭6．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（ ）. A ．1B ．12-C 3D ．127．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．若2232cos()4θθπθ=-，则sin 2θ=（ ）A ．13B ．23C ．23-D ．13-9．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（ ） A ．19B 45C ．19-D ．4510．若角α，β均为锐角，25sin α=，()4cos 5αβ+=-，则cos β=（ ）A 25B 25C 2525D ．2511．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（ ） A ．13-B ．13C ．223-D ．2312．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（ ） A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491二、填空题13．已知()0,απ∈且tan 3α=，则cos α=______.14．已知2sin 3x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 15．设()sin 2cos2f x a x b x =+，0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 成立，则下列命题中正确的命题是______.（填序号）①11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②7105f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③()f x 不具有奇偶性；④()f x 的单调增区间是()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ；⑤可能存在经过点(),a b 的直线与函数的图象不相交. 16．已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________.17．若sin θ=,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则cos 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______. 18．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．19．方程21sin cos 2x x x =在[0,]4π上的解为___________20．已知tan 2α=，则cos2=α__．三、解答题21．已知向量()cos ,sin m x x =，()cos x n x =，设函数()12f x m n =⋅-，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若方程()23f x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，求()12cos x x +，()12cos x x -的值．22．已知()π2sin cos 23cos cos 44f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围.23．设函数21()sin 3sin cos 2f x x x x ωωω=+-的图象关于直线x π=对称，其中ω为常数，且1,12ω⎛⎫∈⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移10π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求实数k 的取值范围. 24．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()fα；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值25．如图，以Ox 为始边作角α与β(0)βαπ<<<)，它们的终边分别与单位圆相交于点P ､Q ，已知点P 的标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值;（2）若0OP OQ ⋅=，求sin()αβ+的值26．已知函数2()2sin )sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】 因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，再将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故选：D.2．D解析：D 【分析】利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-， 代入22sin cos 1αα+=得()22sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5α，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭cos 211sin 2717252425αα-==--⎛⎫- ⎪⎭-⎝， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.3．C解析：C 【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】sin32π=. 故选：C.4．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】 因为3sin 5α=-， 所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.5．A解析：A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【详解】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+， 又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ， 因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.6．B解析：B 【分析】根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.7．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin 07a π=>；427πππ<<， 4cos cos cos 72πππ∴<<，即10b -<<.又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<；3tan tan174ππ∴>=；33tan()tan177cππ∴=-=-<-，01a b c∴>>>->，故选：C.8．B解析：B【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin2θθθ-=，再平方即可求出.【详解】)22cos sin2cos()cos cos sin sin444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin2cos sinθθθθθθ+-==-，()2cos sin2θθθ∴-=，两边平方得()241sin23sin2θθ-=，解得sin22θ=-（舍去）或2sin23θ=.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin2θθθ-=，再平方求解.9．C解析：C【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】由题意2,k k Zαβππ+=+∈，即2kβππα=+-，2221 cos()cos(22)cos(2)cos22sin12139kαβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C．10．B解析：B 【分析】由平方关系求得cos α，sin()αβ+，然后由两角差的余弦公式计算． 【详解】α，β均为锐角，sin α=()4cos 5αβ+=-，cos 5α∴==，()3sin 5αβ+==，cos cos[()]βαβα∴=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++4355=-25=． 故选：B ．11．A解析：A 【分析】 运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】 解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-， 即有1sin[()]243ππα-+=-， 即1cos()43πα+=-. 故选：A.12．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒， 所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈， 故选：B二、填空题13．【分析】本题考查同角三角函数及其关系借助公式求解即可求解时需要判定符号的正负【详解】解：法一：由可得代入解得因为所以所以法二：由且可取终边上的一点坐标为根据三角函数终边定义公式故答案为：【点睛】方法【分析】本题考查同角三角函数及其关系，借助公式sin tan cos ααα=，22sin +cos =1αα求解即可，求解时需要判定符号的正负. 【详解】解：法一：由sin tan =3cos ααα=可得sin =3cos αα，代入22sin +cos =1αα解得cos 10α=±， 因为()0,tan 30απα∈=>，，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 10α=. 法二：由()0,απ∈且tan 3α=可取α终边上的一点坐标为(1,3)，根据三角函数终边定义公式cos α===.【点睛】方法点睛：同角三角函数基本关系的3个应用技巧： （1）弦切互化利用公式sin tan ()cos 2k απααπα=≠+实现角α的弦切互化； （2）和(差)积转换利用2(sin cos )=1sin 2ααα±±进行变形、转化；（3）巧用“1”的变换22222211sin+cos =cos (tan 1)sin (1)tan αααααα=+=+.14．【分析】由再结合诱导公式可得结果【详解】【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时常用拼凑角常见的互余关系有：与与与等；常见的互补关系有：与与等；解析：3-【分析】 由2623x x πππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再结合诱导公式可得结果. 【详解】22cos cos sin 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时，常用拼凑角,，常见的互余关系有：3πα+与6πα-，3πα-与6πα+，4πα-与4απ+等；常见的互补关系有： 3πα+与23πα-，4πα+与34πα-等； 15．①③【分析】由题可知直线与函数的图象的一条对称轴可求得可化简函数的解析式为计算出的值可判断①的正误；计算可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正解析：①③ 【分析】 由题可知，直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，可求得3ab ，可化简函数()f x 的解析式为()2sin 26f x b x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.计算出1112f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断①的正误；计算710f π⎛⎫⎪⎝⎭、5f π⎛⎫⎪⎝⎭，可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取0b >，利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正确，求出直线的方程，结合函数()f x 的最值可判断⑤的正误.【详解】 由题可知，直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，可得162f b π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，整理可得2230a b -+=，即()20a -=，a ∴=.()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭.对于命题①，11112sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①正确； 对于命题②，7747172sin 22sin 2sin 101063030f b b b ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17172sin 2sin 3030b b ππ=-=，172sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，7105f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②不正确； 对于命题③，2sin 66f b b ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 262f b b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 不具有奇偶性，③正确； 对于命题④，当()2,63x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z 时，则()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 当0b >时，函数()f x 在区间()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递减，④错误； 对于命题⑤，假设经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，则该直线与x 轴平行，此时该直线的方程为y b =，则2b b >，由于0b ≠，矛盾，⑤错误.故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭分析得出直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，进而借助辅助角公式化简得出a 、b 的倍数关系.16．【分析】根据可得的值而再将分子分母同除以化成关于的分式即可解【详解】由得则有；故答案为：【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式： 解析：35【分析】根据2sin cos 0αα-=，可得tan α的值，而2222sin 2sin cos sin 2sin cos 1sin cos αααααααα--=+， 再将222sin 2sin cos sin cos ααααα-+分子分母同除以2cos α化成关于tan α的分式即可解. 【详解】由2sin cos 0αα-=， 得1tan 2α=， 则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++ 221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，sin tan cos θθθ=，tan cot 1θθ⋅=. 17．0【分析】先求出再利用差角的余弦公式求解【详解】因为所以所以故答案为：0解析：0 【分析】 先求出1cos 2θ=-，再利用差角的余弦公式求解. 【详解】因为sin θ=,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2θ=-，所以11cos 062222πθ⎛⎫-=-⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：018．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.19．【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论【详解】由得得∴又∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为的形式然后解析：12π 【分析】 由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论． 【详解】由21sin cos 2x x x =得1cos 21222x x -+=，得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴26x k ππ-=，,212k x k Z ππ=+∈， 又0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12x π=． 故答案为：12π．【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程，解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为sin()x k ωϕ+=的形式，然后由正弦函数的定义得出结论．（2）用换元法，如设sin x t =，先求得方程()0f t =的解0t ，然后再解方程0sin x t =．20．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 三、解答题21．（1）π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递增；ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减；（2）()121cos 2x x +=,()122cos 3x x -=． 【分析】（1）根据平面向量的数量积和三角恒等变换，求出函数()f x 的解析式，再根据x 的范围，即可得到()f x 的单调性； （2）由方程()23f x =有两个不相等的实数根1x 、2x ，根据对称性求出12x x +的值，再计算()12cos x x +和()12cos x x -的值即可． 【详解】（1）因为向量()cos ,sin m x x =，()cos x n x =，所以函数()12f x m n =⋅-21cos cos 2x x x =-1cos 212222x x +=+- πcos 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令π203x -=，解得π6x =， 所以π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，即ππ2,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递增， ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，即ππ20,33x ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减；（2）当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦；所以π1cos 2,132x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()1,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 又方程()23f x =在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根1x 、2x ， 所以12ππ2220033x x ⎛⎫⎛⎫-+-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12π3x x +=， 所以()12π1cos cos 32x x +==； 由12π3x x =-， 所以()122πcos cos 23x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2πcos 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()223f x ==．【点睛】解题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质、数量积公式、三角恒等变换公式，并灵活应用，()23f x =需结合余弦函数的对称性与值域进行求解，综合性较强，属中档题.22．（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.【分析】（1）化简()f x ，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果； （2）转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象可得结果. 【详解】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 244x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 44x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 222x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得：71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()g x =2sin 242sin 23x k x π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点等价于12sin 2sin 2sin 2cos 2cos 23226k x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根，设()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，依题意可知2y k =与()y h x =的图象有唯一交点，函数()h x 在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知实数k 应满足11222k -<≤或21k =-， ∴1144k -<≤或12k =-，故实数k 的取值范围11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭. 【点睛】关键点点睛：转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.23．（1）5()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）31,2⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由二倍角分式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的周期求得ω解析式；（2）由图形变换得()g x 的解析式，求出()g x 在[0,]2π上的值域后可得k 的范围．【详解】 （1）21()sin3sin cos 2f x x x x ωωω=+-3sin 2cos2sin 2226x x x ωωπω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ∵图象关于直线x π=对称，∴2,62k k Z πππωπ-=+∈∴123k ω=+，又1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令1k =时，56ω=符合要求， ∴函数5()sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象向右平移10π个单位长度后，得到函数5sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍（纵坐标不变），得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当5012x π≤≤，即2332x πππ-≤-≤时，()g x 递增，(),12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当5122x ππ<≤，即22233x πππ<-≤时，()g x 递减，()2g x ⎫∈⎪⎣⎭，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上实数解，所以实数k 的取值范围是⎡-⎢⎣⎦.【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，两角差的正弦公式，三角函数的图象变换，正弦函数的性质，此类问题的解题方法是：利用二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦人（或余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x m ωϕ+++形式，然后利用正弦函数性质求解．24．（1）sin cos αα⋅；（2）. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解； （2）由平方关系可得()23cos sin 4αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-； （2）由()1sin cos 8f ααα==可知 ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴cos sin 2αα-=-. 25．（1）1825；（2）725. 【分析】（1）根据终边上点的坐标，利用三角函数定义得到角α的正弦值与余弦值，利用二倍角的正弦公式、二倍角法余弦公式，切化弦，把要求的式子化简，约分整理，将所求三角函数值代入求解即可；（2）以向量的数量积为0为条件，可得2παβ-=，从而可得3sin 5β=，进而得4cos 5β=，利用两角和的正弦公式可得结果. 【详解】 （1）由三角函数定义得3cos 5α=-， 4sin 5α= ∴原式()222cos sin cos 2sin cos 2cos 2cos sin sin cos 1cos cos αααααααααααα++===++2=·235⎛⎫- ⎪⎝⎭=1825（2）0OP OQ ⋅=，∴2παβ-=，∴2πβα=-，∴3sin sin cos 25πβαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+44337555525⎛⎫=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭. 26．（1）最小正周期为π；（2）单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）[0,3].【分析】（1）逆用二倍角公式化简整理可得()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用2T ωπ=即可求得()f x 的最小正周期；（2）令26z x π=-，利用函数2sin 1y z =+的图像与性质，列出不等式，即可求得()f x的单调递减区间；（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的取值范围.【详解】（1）由已知可得()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）令26z x π=-，函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . （3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[0,3]f x ∈，即()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3]. 【点睛】本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题.。
高中数学必修一 第五章 三角函数 单元测试 (8)(含答案解析)
高中数学必修一第五章三角函数单元测试 (8)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin50°sin20°+sin40°cos20°=()A. √32B. −√32C. −12D. 122.函数y=cos|12x|是()A. 最小正周期为2π的奇函数B. 最小正周期为4π的奇函数C. 最小正周期为2π的偶函数D. 最小正周期为4π的偶函数3.已知向量a⃗=(cosα,sinα)，b⃗ =(cosβ,sinβ)，a⃗⊥b⃗ ，则当t∈[−2,1]时，|a⃗−t b⃗ |的最大值为()A. √2B. √3C. 2D. √54.将函数f(x)=cosx+sinx的图象向右平移3π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()A. g(x)=√2cosxB. g(x)=−√2cosxC. g(x)=√2sinxD. g(x)=−√2sinx5.将函数f(x)=sin(2x−π3)的图象向左平移a(a>0)个单位得到函数g(x)=cos2x的图象，则a 的最小值为()A. π3B. 5π12C. 2π3D. π126.为了得到函数y=√2(sin2x+cos2x)的图象，只需把函数y=2sin2x图象上所有的点()A. 向左平移π4个单位长度 B. 向左平移π8个单位长度C. 向右平移π4个单位长度 D. 向右平移π8个单位长度7.已知f(x)=cos2x+sinx，有以下命题：①π为f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x=π2对称；③f(x)在(π6,π2)上单调．则正确命题的个数是()A. 3B. 2C. 1D. 08.若函数f(x)=2cos2(ωx2+π6)(ω>0)的最小正周期为2π3，则f(x)图象的一条对称轴为()A. x=π9B. x=π3C. x=π6D. x=2π99.已知A是△ABC的一个内角，且sinA+cosA=a，其中a∈(0,1)，则关于tan A的值，以下答案中，可能正确的是()A. −2B. −12C. 12D. 210.已知函数f(x)=2cos2(ωx2−π12)+1(ω>0)的最小正周期为π，若m，n∈[−2π,2π]，且f(m)⋅f(n)=9，则m−n的最大值为()A. 2πB. 5π2C. 3π D. 7π211.已知函数f(x)=cos2ωx+√32sin2ωx−12(ω>0)的最小正周期为π，若将y=f(x)的图象上所有的点向右平移φ(0<φ<π2)个单位所得图象对应的函数g(x)为奇函数，则f(φ)=()A. 12B. √22C. √32D. 112.已知函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x，则()A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的图象关于点(−π12 , 0)对称C. f(x)的最大值为2D. f(x)的图象关于直线x=π6对称二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若tan(θ−π4)=3，则cos(2θ−3π2)=______．14.已知sin(π3−x)=13，且0<x<π2，则cos(2π3+x)的值是______．15.已知函数f(x)=√3(sin2x+4cosx)+2sinx，f(x)的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.在△ABC中，a=3，c=5，cosB=−12．(Ⅰ)求b的值；(Ⅱ)求sin(B+C)的值．17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)设g(x)=f(x)−cos2x，求函数g(x)在区间x∈[0,π2]上的最大值和最小值．18.已知函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[712π,56π]上的最小值以及取得该最小值时x的值．19.已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)，其中A>0，ω>0，f(x)的最小值为−2，且f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(4a2−2ac)cosB=a2+b2−c2，求f(B)．20.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在同一个周期内，当x=π4时，y取最大值1，当x=7π12时，y取最小值−1．(1)求函数y=f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a<1)，求在[0,2π]内的所有实数根之和．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：sin20°sin50°+cos20°sin40°=sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin(20°+40°)= sin60°=√32，故选：A．由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，化简所给的式子为sin60°，从而求得结果．本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．2.答案：D解析：解：因为函数y=cos|12x|；所以：f(−x)=cos|12(−x)|=cos|12x|=f(x)；故是偶函数；当x>0时，又因为：f(x+2π)=cos[12(x+2π)]=cos(12x+π)=−cos12x；故其最小正周期不为2π；故选：D．分别求出其周期并判断奇偶性即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础．3.答案：D解析：解：∵向量a⃗=(cosα,sinα)，b⃗ =(cosβ,sinβ)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α−β)=0，则当t∈[−2,1]时，|a⃗−t b⃗ |=√(a⃗−t b⃗ )2=√a⃗2−2t a⃗⋅b⃗ +t2⋅b⃗ 2=√1+t2≤√1+4=√5，故|a⃗−t b⃗ |的最大值为√5，故选：D．由题意利用两个向量垂直的性质，求向量的模的方法，求出|a⃗−t b⃗ |的最大值．本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模的方法，属于基础题．4.答案：B解析：解：将函数f(x)=cosx+sinx=√2sin(x+π4)的图象向右平移3π4个单位长度，得到函数g(x)=√2sin(x−3π4+π4)=−√2cosx的图象，则函数g(x)的解析式为g(x)=−√2cosx，故选：B．利用两角和的正弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两角和的正弦公式、诱导公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．5.答案：B解析：解：将函数f(x)=sin(2x −π3)的图象向左平移a(a >0)个单位， 得到函数g(x)=sin(2x +2a −π3)=cos2x 的图象， ∴当实数a 取得最小值时，2a −π3=π2， 故实数a 取得最小值为5π12，故选：B ．由题意利用诱导公式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得a 的最小值．本题主要考查诱导公式的应用，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 6.答案：B解析：解：为了得到函数y =√2(sin2x +cos2x)=2sin(2x +π4)的图象， 只需把函数y =2sin2x 图象上所有的点向左平移π8个单位长度， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 7.答案：B解析：解：函数f(x)=cos 2x +sinx =−(sinx −12)2+54，由于函数y =sinx 的最小正周期为2π，所以该函数的关系式乘方周期减半， 故①π为f(x)的一个周期；正确．②f(x)的图象关于直线x =π6对称；故错误． ③f(x)在(π6,π2)上单调递减，故正确．故选：B ．直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的最小正周期，函数的对称轴及单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 8.答案：D解析：解：函数f(x)=2cos 2(ωx 2+π6)=cos(ωx +π3)+1(ω>0)的最小正周期为2π3，所以2πω=2π3，解得ω=3，可得函数f(x)=cos(3x +π3)+1， 令3x +π3=kπ，k ∈Z ，解得x =13kπ−π9，k ∈Z ，当k=1时，可得，x=2π9，显然D正确．故选：D．通过函数的周期，可求出ω，然后求出函数的对称轴方程，即可得到选项．本题主要考查三角函数的周期公式的应用，及由正弦函数的性质求解函数的解析式及对称轴方程，考查计算能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：由0<A<π，得到cosθ>0，所以把sinA+cosA=a，两边平方得：(sinA+cosA)2=a2，即sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+ 2sinAcosA=a2，又a∈(0,1)，所以2sinAcosA=a2−1<0，所以cosA<0，又sinA+cosA=a>0，所以sinA>−cosA>0，则解得tanA<−1.比较四个选项，只有A正确．故选：A．把已知的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，由a的范围得到2sin A cosA的值小于0，进而得到cos A的值小于0，又根据sinA+cosA=a，a大于0，得到sinA>−cosA>0，再利用不等式的基本性质及同角三角函数间的基本关系化简，得到tan A值的范围，即可判断出符合题意的tan A值的可能值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，要求学生掌握余弦函数的图象与性质，不等式的基本性质，以及同角三角函数间的基本关系，解本题的思路是利用同角三角函数间的基本关系及不等式的基本性质求出tan A的范围，属于基础题．10.答案：C解析：解：知函数f(x)=2cos2(ωx2−π12)+1(ω>0)=cos(ωx−π6)+2的最小正周期为2πω=π，∴ω=2，f(x)=cos(2x−π6)+2．若m，n∈[−2π,2π]，则2m−π6∈[−25π4,23π4]，2n−π6∈[−25π4,23π4].∵f(m)⋅f(n)=[cos(2m−π6)+2]⋅[cos(2n−π6)+2]=9，故cos(2m−π6)=1且cos(2n−π6)=1．故(2m−π6)的最大值为2π，(2n−π6)的最小值为−4π，即m的最大值为13π12，n的最小值为−23π12，则m−n的最大值为13π12+23π12=3π，故选：C．由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域确定最值，从而求得m −n 的最大值．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域及最值，属于中档题． 11.答案：C解析：解：已知函数f(x)=cos 2ωx +√32sin2ωx −12=1+cos2ωx2+√32sin2ωx −12=sin(2ωx +π6)(ω>0)的最小正周期为2π2ω=π， ∴ω=1，f(x)=sin(2x +π6).若将y =f(x)的图象上所有的点向右平移φ(0<φ<π2)个单位， 所得图象对应的函数g(x)=sin(2x −2φ+π6)为奇函数， ∴−2φ+π6=0，φ=π12，则f(φ)=sin(π6+π6)=√32，故选：C ．由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得φ的值，可得f(φ)的值．本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于基础题． 12.答案：D解析：解：f(x)=√3sinxcosx +cos 2x =√32sin2x +1+cos2x2，=sin(2x +π6)+12，根据周期公式可知T =π，A 错误；函数的最大值为32，C 错误； 因为f(−π12)=−12，函数f(x)的图象关于(−π12,12)对称，B 错误； 当x =π6时，函数取得最大值，故x =π6为对称轴，D 正确．故选：D ．先结合二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质进行检验即可判断． 本题主要考查了正弦函数性质的简单应用，属于基础试题．13.答案：45解析：解：∵tan(θ−π4)=tanθ−11+tanθ=3，∴tanθ=−2， ∴cos(2θ−3π2)=−sin2θ=−2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=−2tanθtan 2θ+1=−2×(−2)4+1=45．故答案为：45．由已知利用两角差的正切函数公式可求tanθ的值，进而利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了两角差的正切函数公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：−2√23解析：解：因为sin(π3−x)=13，且0<x <π2， 所以：2π3<2π3+x <7π6；∴cos(2π3+x)=−√1−sin 2(2π3+x)=−√1−sin 2[π−(π3−x)]=−√1−sin 2(π3−x)=−√1−(13)2=−2√23； 故答案为：−2√23．根据角的范围结合同角三角函数基本关系式即可求解结论．本题考查的知识点是同角三角函数基本关系式，难度不大，属于基础题．15.答案：172解析：解：f(x)=√3(sin2x +4cosx)+2sinx =√3sin2x +4√3cosx +2sinx =2√3sinxcosx +4√3cosx +2sinx =2√3cosx(sinx +2)+2sinx=2√3cosx(sinx +2)+2sinx +4−4=2(√3cosx +1)(sinx +2)−4， 显然sinx +2>0，由于要求f(x)的最大值， ∴只需考虑√3cosx +1>0的情况即可，∴当√3cosx +1>0时，2(√3cosx +1)(sinx +2)−4 ⩽2(√3cosx+1+sinx+22)2−4=2[2sin(x+π3)+32]2−4⩽172，当且仅当{√3cosx +1=sinx +2sin(x +π3)=1，即x =π6+2kπ(k ∈Z)时等号成立，因此当x =π6+2kπ(k ∈Z)时，f(x)取得最大值172． 故答案为：172．先将f(x)化为f(x)=2(√3cosx +1)(sinx +2)−4，然后对2(√3cosx +1)(sinx +2)4利用基本不等式求出其最值，再求出f(x)的最大值．本题考查了三角函数的最值和基本不等式的应用，考查了化归与转化能力和运算求解能力，属中档题．16.答案：解：(Ⅰ)b2=a2+c2−2accosB=9+25−2×3×5×(−12)=49，∴b=7．(Ⅱ)∵cosB=−12，B∈(0,π)．∴B=2π3，由正弦定理 asinA =bsinB，∴sinA=3×√3 27=3√314，∴sin(B+C)=sinA=3√314．解析：(Ⅰ)根据余弦定理即可求出；(Ⅱ)根据正弦定理即可求出．本题考查了余弦定理和正弦定理，考查了运算求解能力，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)由图可得A=1，T2=2π3−π6=π2，∴T=π，ω=2，当x=π6时，f(x)=1，可得sin(2⋅π6+φ)=1，∵|φ|<π2，∴φ=π6，∴f(x)=sin(2x+π6)．(Ⅱ)g(x)=f(x)−cos2x=sin(2x+π6)−cos2x=sin2xcosπ6+cos2xsinπ6−cos2x=√32sin2x−1 2cos2x=sin(2x−π6)，∵0≤x≤π2，∴−π6≤2x−π6≤5π6，当2x−π6=π2，即x=π3时，g(x)有最大值为1；当2x−π6=−π6，即x=0时，g(x)有最小值−12．解析：(Ⅰ)由图可得A=1，一个周期内最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，得最小正周期T，进而得ω，代入最高点坐标求φ，得f(x)的解析式；(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)的解析式，代入求出g(x)的解析式，用两角和的正弦公式把式中的第一项展开，合并，再逆用两角差的正弦公式把式子变形为一个角的一个三角函数值，由x的范围，得到2x−π6的范围，由正弦函数的图象得到sin(2x−π6)的最大值和最小值．本题主要考查了给出条件求y=Asin(ωx+φ)的解析式以及三角函数的最值的求法，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin(ωx+φ)的形式，从x的范围由里向外扩，一直扩到Asin(ωx+φ)的范围，结合正弦函数图象求出最值，属于中档题．18.答案：解：(1)因为函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12=(cosx+√3sinx)⋅cosx+1 2=cos2x+√3sinxcosx+1 2=1+cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x+π6)+1；∴函数f(x)最小正周期是T=π；当2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；(2)x∈[712π,56π]⇒4π3≤2x+π6≤11π6；所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．解析：(1)函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间；(2)由x∈[712π,56π]可得：43π≤2x+π6≤116π，所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．本题主要考查了三角函数的图象和性质，以及三角函数求最值，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=Asin(ωx+φ)，其中A>0，ω>0，φ∈(0,π)，x∈R，且f(x)的最小值为−2，可知A=2，相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知周期T=4π，可得ω=12，∴f(x)=2sin(12x+π6)，令−π2+2kπ≤12x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，得4kπ−4π3≤x≤2π3+4kπ，∴单调递增区间：[4kπ−4π3,2π3+4kπ]，k∈Z；(Ⅱ)由4(a2−2ac)cosB=a2+b2−c2，余弦定理：4(a2−2ac)cosB=2abcosC，即(2a−c)cosB=bcosC，由正弦定理：可得2sinAcosB−sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，即2cosB=1，那么cosB=12，又B为三角形内角，则B=π3，故得f(B)=2sin(12×π3+π6)=√3．解析：(Ⅰ)根据f(x)的最小值为−2，可得A=2，相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知周期T=2π，可得ω=1，即可求解函数f(x)的解析式和单调递增区间；(Ⅱ)由(4a2−2ac)cosB=a2+b2−c2，利用余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式可求cos B 的值，进而可求B，可求f(B)的值．本题考查了三角函数的性质和正、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了正弦函数的图象和性质，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，属于基础题．20.答案：解：(1)函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在同一个周期内，当x=π4时，y取最大值1，当x=7π12时，y取最小值−1．故T2=7π12−π4=4π12=π3，所以T=2π3．解得ω=2π2π3=3，由于|φ|<π2，所以当x=π4时，f(π4)=sin(3π4−φ)=1，解得φ=−π4，所以f(x)=sin(3x−π4)，令π2+2kπ≤3x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得π4+23kπ≤x≤23kπ+7π12(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为[π4+23kπ,23kπ+7π12](k∈Z)，(2)函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a<1)，在[0,2π]内恰有3个周期．所以6个实数根的关系满足x1+x2=π2，x3+x4=11π6，x5+x6=19π6，所以在[0,2π]内的所有实数根之和为π2+11π6+19π6=11π2．解析：(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质，求出函数的单调递减区间．(2)利用函数函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a<1)，在[0,2π]内恰有3个周期，所以有6个实数根，故x1+x2=π2，x3+x4=11π6，x5+x6=19π6，进一步求出和．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(18)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.tan255∘=( )A．−2−√3B．−2+√3C．2−√3D．2+√32.已知θ是第三象限角，则√sin2θ−sin4θ可化简为( )A．sinθcosθB．−sinθcosθC．2sinθcosθD．−2sinθcosθ3.已知cos(π4−α)=45，则sin2α=( )A．−725B．725C．−15D．154.若α=−6，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.已知函数f(x)=3cos(π2x+2)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则∣x1−x2∣的最小值为( )A．4B．1C．12D．26.若α与β关于y轴对称，则( )A．α+β=π2+kπ(k∈Z)B．α+β=2kπ+π2(k∈Z)C．α+β=2kπ(k∈Z)D．α+β=2kπ+π(k∈Z)7.设函数f(x)=cos(x+π3)，则下列结论错误的是( )A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C．f(x+π)的一个零点为x=π6D．f(x)在(π2,π)单调递减8. 将函数 y =cos (x −π3) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 π6 个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为 ( ) A ． x =π2B ． x =π8C ． x =π9D ． x =π9. 已知函数 f (x )=sin (ωx +π6)+12(ω>0) 在区间 (0,π2) 上有且仅有两个零点，则实数 ω 的取值范围为 ( ) A ． (2,143]B ． [2,143)C ． [103,4)D ． (103,6]10. −300∘ 的弧度数是 ( ) A ． −π6B ． −π3C ． −5π6D ． −5π3二、填空题（共6题）11. 某公园草坪上有一扇形小径（如图），扇形半径为 40 m ，中心角为 120∘，甲由扇形中心 O 出发沿 OA 以每秒 2 米的速度向 A 快走，同时乙从 A 出发，沿扇形弧以每秒4π3米的速度向 B 慢跑，记 t (0≤t ≤20) 秒时甲、乙两人所在位置分别为 N ，M ，∣MN∣=f (t )，通过计算 f (5)，f (10)，f (15)，判断下列说法是否正确： （1）当 MN ⊥OA 时，函数 f (t ) 取最小值； （2）函数 y =f (t ) 在区间 [10,15] 上是增函数； （3）若 f (t 0) 最小，则 t 0∈[0,10]；（4）g (t )=f (t )−40 在 [0,20] 上至少有两个零点．其中正确的判断序号是 （把你认为正确的判断序号都填上）．12. 已知 sinα=45，则 cos (α+π2)= ．13. 化简√1−2sin10∘cos10∘cos10∘−√1−cos 2170∘= ．14. 已知函数 f (x )={∣log 4x ∣,0<x <4sin (π4x −π2),4≤x ≤12，若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4，当 x 1<x 2<x 3<x 4 时，满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2 的取值范围是 ．15. 已知 0<α<π2，cos (α+π6)=35，则 cosα= ．16. 已知函数 f (x )=∣sinx∣+∣cosx∣−4sinxcosx −k ，若函数 y =f (x ) 在区间 (0,π) 内恰好有奇数个零点，则实数 k 的所有取值之和为 ．三、解答题（共6题）17. 已知函数 f (x )=sin (3x +π4)．(1) 求 f (x ) 的单调递增区间；(2) 若 α 是第二象限角，f (α3)=45cos (α+π4)cos2α，求 cosα−sinα 的值．18. 请回答：(1) 已知 f (α)=sin (2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan (π+α)，求 f (π3) 的值；(2) 已知 cos (75∘+α)=13，求 sin (α−15∘)+cos (105∘−α) 的值．19. 已知函数 f (x )=√2asin (x −π4)+a +b ．(1) 当 a =1 时，求函数 f (x ) 的单调递减区间；(2) 当 a <0 时，f (x ) 在 [0,π] 上的值域为 [2,3]，求 a ，b 的值．20. 设全集为 R ，A ={x∣ 2<x ≤5}，B {x∣ 3<x <8}，C ={x∣ a −1<x <2a }．(1) 求 A ∩B ，∁R (A ∪B )；(2) 若 A ∩B ∩C =∅，求实数 a 的取值范围．21. 已知 cosα=35，α∈(−π2,0)．(1) 求 tanα，sin2α 的值； (2) 求 sin (π3−α) 的值．22.如图，有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角∠PAQ始终为45∘（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，记tanθ=t．(1) 用t表示PQ的长度，并研究△CPQ的周长l是否为定值？(2) 问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】tan255∘=tan(180∘+75∘)=tan75∘=tan(45∘+30∘)=tan45∘+tan30∘1−tan45∘tan30∘=1+√331−1×√33=√33−√3=(3+√3)26=12+6√36=2+√3.【知识点】两角和与差的正切2. 【答案】A【解析】√sin2θ−sin4θ=√sin2θ(1−sin2θ)=√sin2θcos2θ=∣sinθcosθ∣，因为θ是第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，所以√sin2θ−sin4θ=sinθcosθ．故选A．【知识点】同角三角函数的基本关系3. 【答案】B【解析】因为cos(π4−α)=45，即√22cosα+√22sinα=45，平方可得12+sinαcosα=1625，所以sinαcosα=750，则sin2α=2sinαcosα=725．【知识点】二倍角公式4. 【答案】A【解析】因为−2π<−6<−3π2，所以角α的终边在第一象限．故选A．【知识点】任意角的概念5. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】D【解析】由于α，β关于y轴对称，得β=2kπ+π−α（k∈Z），即α+β=2kπ+π(k∈Z)．【知识点】弧度制7. 【答案】D【解析】函数f(x)的最小正周期为T=2π1=2π，则函数f(x)的周期为T=2kπ(k∈Z)，取k=−1，可得函数f(x)的一个周期为−2π，选项A正确；函数f(x)图象的对称轴为x+π3=kπ(k∈Z)，即x=kπ−π3(k∈Z)，取k=3，可得y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，选项B正确；f(x+π)=cos[(x+π3)+π)=−cos(x+π3)，函数f(x)的零点满足x+π3=kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ+π6(k∈Z)，取k=0，可得f(x+π)的一个零点为x=π6，选项C正确；当x∈(π2,π)时，x+π3∈(5π6,4π3)，函数f(x)在该区间内不单调，选项D错误．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【解析】将函数y=cos(x−π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，得到函数y=cos(x2−π3)的图象；再将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y=cos[12(x+π6)−π3]=cos(x2−π4)的图象，该函数图象的对称轴满足x2−π4=kπ(k∈Z)，即x=2kπ+π2(k∈Z)．结合选项，只有A符合，故选A．【知识点】三角函数的图象变换、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】D【知识点】弧度制二、填空题（共6题）11. 【答案】②③④【解析】建立如下图所示的平面直角坐标系，因为甲由扇形中心O出发沿OA以每秒2米的速度向A快走，所以N(2t,0)，乙从A出发，沿扇形弧以每秒4π3米的速度向B慢跑，所以∠AOM=4π3t40=πt30，因此M(40cosπt30,40sinπt30)，其中0≤t≤20，∣MN∣=f(t)=√(40cosπt30−2t)2+(40sinπt30)2=√4t2−160tcosπt30+1600，f(5)=10√17−4√3，f(10)=20√3，f(15)=50，f(5)<f(10)<f(15)，当t=10时MN⊥OA，因为f(5)<f(10)，所以此时函数f(t)不是最小值；当t=15时OM⊥OA，当t∈[10,15]时，结合图象可得M向左上方移动，而N沿x正半轴向右边移动，因此MN越来越大，y=f(t)增函数，由于当10≤t≤20时，f(t)≥f(10)，而f(5)<f(10)，所以若f(t0)最小，则t0∈[0,10]；由g(t)=f(t)−40=0得f(t)=40，因为f(0)=40，f(10)<40<f(15)，所以t∈[10,15]时，存在f(t)=40，即g(t)=f(t)−40在[0,20]上至少有两个零点．【知识点】三角函数模型的应用12. 【答案】−45【知识点】诱导公式13. 【答案】1【解析】原式=√(sin10∘−cos10∘)2cos10∘−√1−cos210∘=cos10∘−sin10∘cos10∘−sin10∘=1．【知识点】同角三角函数的基本关系14. 【答案】(−2,10)【解析】由题意，函数f(x)={∣log4x∣,0<x<4sin(π4x−π2),4≤x≤12={∣log4x∣,0<x<4−cos(π4x),4≤x≤12，画出函数的图象，如图所示，令PD，则0<a<1，由图象可知，设 y =a 和函数 y =f (x ) 的图象有四个交点， 可得 0<x 1<x 2<4<x 3<8<x 4<12，其中 log 4x 1=−log 4x 2，则 log 4x 1+log 4x 2=log 4x 1x 2=0，解得 x 1x 2=1， 且 x 3+x 4=16，则 x 4=16−x 3， 所以 x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2=1×x 3(16−x 3)−50×1=1×(16x 3−x 32)−50=−x 32+16x 3−50=−(x 3−8)2+14,其中 4<x 3<6，设 g (x )=−(x −8)2+14，则函数 x ∈(4,6)，函数 g (x ) 单调递增， 则 g (4)=−2，g (6)=10，所以 x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2 的取值范围是 (−2,10)．【知识点】函数的零点分布、对数函数及其性质、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】3√310+25【解析】因为已知 0<α<π2，cos (α+π6)=35， 所以 sin (α+π6)=45， 所以cosα=cos [(α+π6)−π6]=cos (α+π6)cos π6+sin (α+π6)sinπ6=35×√32+45×12=3√3+410=3√310+25.【知识点】两角和与差的余弦16. 【答案】2√2+1（1，√2−2，√2+2之和）【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为函数y=sinx的单调递增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，所以令−π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[−π4+2kπ3,π12+2kπ3]，k∈Z．(2) 因为f(α3)=sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，所以sinαcosπ4+cosαsinπ4=45(cosαcosπ4−sinαsinπ4)(cos2α−sin2α)，即√22(sinα+cosα)=45×√22(cosα−sinα)(cosα−sinα)(cosα+sinα)，即sinα+cosα=45(cosα−sinα)2(cosα+sinα)．当sinα+cosα=0，即tanα=−1时，因为α是第二象限角，所以α=3π4+2kπ，k∈Z．此时，cosα−sinα=−√2．当sinα+cosα≠0时，有(cosα−sinα)2=54．因为α是第二象限角，所以cosα<0，sinα>0，所以cosα−sinα=−√52．综上所述，cosα−sinα=−√2或−√52．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、两角和与差的余弦18. 【答案】(1) f(α)=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)=−sinα⋅(−sinα)sinα⋅tanα=sin2αsinα⋅sinαcosα=cosα,则f(π3)=cosπ3=12．(2) 因为cos(75∘+α)=13，所以sin(α−15∘)+cos(105∘−α)=sin[(α+75∘)−90∘]+cos[180∘−(α+75∘)]=−cos(75∘+α)−cos(75∘+α)=−23.【知识点】诱导公式、同角三角函数的基本关系19. 【答案】(1) 当a=1时，f(x)=√2sin(x−π4)+1+b．因为y=sinx的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)，所以当2kπ+π2≤x−π4≤2kπ+3π2．即2kπ+3π4≤x≤2kπ+7π4(k∈Z)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是[2kπ+3π4,2kπ+7π4](k∈Z)．(2) f(x)=√2asin(x−π4)+a+b，因为x∈[0,π]，所以−π4≤x−π4≤3π4，所以−√22≤sin(x−π4)≤1．又因为a<0，所以√2a≤√2asin(x−π4)≤−a，所以√2a+a+b≤f(x)≤b．因为f(x)的值域是[2,3]，所以√2a+a+b=2，且b=3，解得a=1−√2，b=3．【知识点】正弦函数的性质20. 【答案】(1) 因为A={x∣ 2<x≤5}，B={x∣ 3<x<8}，所以A∩B={x∣ 3<x≤5}，A∪B={x∣ 2<x<8}，所以 ∁R (A ∪B )={x∣ x ≤2或x ≥8}．(2) 因为 A ∩B ={x∣ 3<x ≤5}，A ∩B ∩C =∅，所以可分 C =∅，C ≠∅ 两种情况讨论．当 C =∅ 时，a −1≥2a ，解得 a ≤−1；当 C ≠∅ 时，有 {2a ≤3,a −1<2a或 {a −1≥5,a −1<2a, 解得 −1<a ≤32 或 a ≥6． 综上所述 a ≤32 或 a ≥6，即实数 a 的取值范围为 {a∣ a ≤32或a ≥6}． 【知识点】交、并、补集运算21. 【答案】(1) 因为 cosα=35，α∈(−π2,0)，所以 sinα=−√1−cos 2α=−45， 所以 tanα=sinαcosα=−43， sin2α=2sinαcosα=−2425；(2) sin (π3−α)=sin π3cosα−cos π3sinα=√32×35−12×(−45)=3√3+410.【知识点】两角和与差的正弦、二倍角公式22. 【答案】(1) 设 BP =t ，CP =1−t (0≤t ≤1)，所以 ∠DAQ =45∘−θ，DQ =ADtan (45∘−θ)=1−t 1+t ， 则：CQ =1−1−t 1+t =2t 1+t ，所以 PQ =√(1−t )2+(2t 1+t )2=1+t 21+t， 故 l =CP +CQ +PQ =1−t +2t 1+t +1+t 21+t =1−t +1+t =2，所以△CPQ的周长l是定值2hm．(2) S=S正方形−S△ABP−S△ADQ=1−t2−12⋅1−t1+t=2−12(t+1+21+t)≤2−√2,当且仅当t=√2−1时，等号成立，所以摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为2−√2hm2．【知识点】两角和与差的正切、均值不等式的应用。
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题（含答案）一、单选题 1．把85π化为角度是( ) A ．270°B ．280°C ．288°D ．318°2．由函数cos 2y x =的图象，变换得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，这个变换可以是（ ） A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3π 3．已知,αβ为锐角，且cos α=10,cos β=5，则αβ+的值是( )A ．23π B ．34πC ．4π D ．3π 4．在ABC 中，()()sin sin A B A B +=-，则ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形5．设 ,,,,则下列不等式正确的是 A ．B ．C ．D ．6．已知sin cos 1αα+=，则sin 2α的值为（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．227．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos α= ，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．1626-B ．616-C ．16 26-+D ．616-+8．已知函数()()sin 202A x f x A πϕϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，，若23x π=是()f x 图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 图象的一个对称中心5012π⎛⎫⎪⎝⎭， B ．()f x 在36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．()f x 的图象过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()f x 的最大值是A9．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦10．为了得到函数sin(2)4y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度11．函数()sin 22f x x x =+的对称中心坐标为（ ）A ．,0()62k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．,0()62k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ C ．,0()6k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．,0()6k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭12．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递减的是（ ）. A ．y x =- B ．cos y x =C ．23y x =D ．2y x =-第II 卷（非选择题）二、填空题13．若函数2tan tan ||4y x a x x π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭的最小值为-6，则实数a 的值为________.14．已知函数()sin f x a x x =图象的一条对称轴为直线76x π=，若函数7()()5F x f x =-在7,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，…，n x ，则12n x x x +++=___________． 15．若方程3sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π上的解为12x x 、，且12x x >，则()12sin x x -=________.16．若4sin()5πα+=-，则cos2α的值为________．三、解答题17．已知02ω<<，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在[],t t -上单调递增，求t 的最大值.18．求函数()2sin(2)3f x x π=+单调增区间19．已知πcos(2π)sin(π)sin 2()sin(2π)3πcos(π)cos 2f ααααααα⎛⎫+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭=+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()5f α=,求11sin cos αα-的值.20．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值322，当23x π=时，()f x 取得最小值2-.(1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间. (2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移22个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.21．如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE θ∠=，总造价为W 元．（1）试将W 表示为θ的函数()W θ，并写出的取值范围；（2）如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小．22．已知函数()2cos 3cos )1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期并用五点作图法画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象； （2）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的解析式，并求当2[,]123x ππ∈-时，函数()g x 的最小值及此时的x 值.23．设函数()2222,3f x cos x cos x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.24．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点15(,4P m . （1）求实数m 的值；（2）求sin()23tan()cos()2παππαα-+--的值.25．已知()2sin3cos sin 1222x x x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(１)若π2π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的值域;(2)在ΔABC 中,A 为BC 边所对内角,若()1,1,f A BC ==求·AB AC 的最大值.参考答案1．C2．B3．B4．C5．B6．B7．A8．A9．D10．D11．A12．D 13．-7或714．143π15．4516．725-17．（1）2π；（2）4π. 18．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 19．（1）cos sin αα-；（2）210. 20．(1)()22sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3；(2)6,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣ 21．（1）2016cos ()216(),sin 2W a a θπθθθ-=⋅+-（2）43AM =22．（1）π，图象见解析；（2）()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小值-312x π=-时取到. 23．（1）π，5[,],36k k k Z ππππ++∈；（2）1[,2]2. 24．（1）14m =-;（2）1525． (1)[]1,2.(2)12.。
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题(含答案)人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练题（含答案）一、单选题1.已知函数$f(x)=\cos 2x+3\sin 2x+1$，则下列判断错误的是（）A。
$f(x)$的最小正周期为$\pi$B。
$f(x)$的值域为$[-1,3]$C。
$f(x)$的图象关于直线$x=\dfrac{\pi}{6}$对称D。
$f(x)$的图象关于点$\left(-\dfrac{\pi}{4},0\right)$对称2.已知函数$y=\sin(\omega x+\dfrac{\pi}{2})$在区间$\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$上单调递增，则$\omega$的取值范围是A。
$\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$B。
$\left[\dfrac{1}{2},1\right]$C。
$\left[\dfrac{1}{3},2\right]$D。
$\left[\dfrac{2}{3},3\right]$3.若角$\alpha$的终边过点$P(2,2)$，则$\sin\alpha=$（）A。
1B。
-1C。
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}$D。
$-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$4.若$x$是三角形的最小内角，则函数$y=\sin x+\cos x+\sin x\cos x$的值域是（）A。
$[-1,+\infty)$B。
$[1,2]$C。
$[0,2]$D。
$\left[1,\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right]$5.下列说法正确的个数是（）①大于等于，小于等于90的角是锐角；②钝角一定大于第一象限的角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始边与终边重合的角的度数为$360^\circ$。
A。
1B。
2C。
3D。
46.角$\alpha$的终边经过点$(2,-1)$，则$2\sin\alpha+3\cos\alpha$的值为（）A。
高中数学必修一第五章《三角函数》解答题提高训练 (18)(有解析)
高中数学必修一第五章《三角函数》解答题提高训练 (18)一、解答题（本大题共28小题，共336.0分）1. 在ΔABC 中，M 为BC 边上一点，∠BAM =45∘，cos∠AMC =√55．(1)求sinB;(2)若MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC =4，求MC 的长．2. (1)解三角不等式：cosx ≥12(2)在△ABC 中，sinA +cosA =√22，求tan A 的值．3. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosθ,y =sinθ(θ为参数)，将C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C 2，直线l 的参数方程为{x =√3+√22t,y =√22t (t 为参数)．(1)求l和C2的普通方程；(2)若直线l与C2相交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值及对应点P的坐标．+log38−52log53;4.(1)求值：2log32−log3329=5，求tan2α的值．(2)已知2sinα+cosαsinα−cosα5.已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.)的值；(1)求f(π3(2)求f(x)的最大值和最小值．6. 已知α，β均为锐角，且sinα=35，tan(α−β)=−13，求tan(2α−β)的值．7. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,0<ω<16,0<φ<π2)在R 上的最大值为√2，f(0)=1．(1)若点(π8,√2)在f(x)的图象上，求函数f(x)图象的对称中心；(2)将函数y =f(x)的图象向右平移π4ω个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，得函数y =g(x)的图象，若y =g(x)在[0,π8]上为增函数，求ω的最大值．8. 已知函数f(x)=sin ωx ·cos ωx +√3cos 2ωx −√32(ω>0)，直线x =x 1，x =x 2是y =f(x)图象的任意两条对称轴，且|x 1−x 2|的最小值为π4． (1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象．若关于x的方程g(x)+k=0在区间[0,π2]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．9.已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．(1)当x∈(−π2,π4)时，求f(x)的单调递增区间；(2)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象．当x∈[−π12,π6]时，求函数g(x)的值域．10.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为{x=4−t,y=kt(t为参数)，直线l2的普通方程为y=1kx，设l1与l2的交点为P，当k变化时，记点P的轨迹为曲线C.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)已知点A，B在C上，∠AOB=π，求△AOB的面积的最大值．411.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3(a2+c2−b2)=2abcosA+2a2cosB．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)若点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=4√3，求△ABC面积的最大值．312.已知向量a⃗=(cos3x,sin3x)，b⃗ =(cosx,−sinx)，且x∈[0,π]，求f(x)=λa⃗⋅b⃗ −λ|a⃗+4b⃗ |sin2x(λ≠0)的单调区间．13. 如图，在xOy 平面上，点A(1,0)，点B 在单位圆上，∠AOB =θ(0<θ<π).(1)若点B(−35,45)，求tan(2θ+π4)的值；(2)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，四边形OACB 的面积用S θ表示，求S θ+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinB −√3cosB =0，cosA =−17，a =8．(Ⅰ)求sin C ； (Ⅱ)求△ABC 的面积．15. 已知曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−2x +2y −2=0．(1)将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程；(2)若点M(x,y)在曲线C上，求x+y的最大值．16.函数f(x)=Asin(ωx−π6)+1(A>0,ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)设α∈(0,π2)，则f(α2)=2，求α的值．17.已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x−1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[−π4,π4]时，求函数f(x)的值域以及函数f(x)的单调区间.18.某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：ℎ)的函数，记作y=f(t).下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b(ω>0,A>0)的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．(1)求y与t满足的函数关系式；(2)某船吃水程度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问它同一天内最多能在港内停留多少小时？(忽略进出港所需的时间)．=bsin(B+C)．19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A+C2(1)求B；(2)若a=3，b+c=6，求△ABC的内切圆半径．20.某游乐场新引进双轮转盘(如图所示)供游客娱乐，转盘O1的半径为8米，离地最近距离为2米；转盘O2的半径为10米，离转盘O1的最近距离为2米.转盘O1按逆时针方向匀速转动，且转动一周需12秒；转盘O2按顺时针方向匀速转动，且转动一周需24秒.父亲与女儿两人决定参与此游戏，父亲安排在转盘O1的点A处(转盘O1顶端)，女儿安排在转盘O2的点B处(转盘O2左端).现两转盘按各自方向同时开始转动，记开始时间t=0．t+10，g(t)=(1)设父亲离地高度为f(t)，女儿离地高度为g(t)，时间为t，则有f(t)=8cosπ6 A′sinω′t+B′(A′>0,ω′>0)，请求出g(t)的函数解析式．(2)当与父亲的垂直距离(即两人离地距离之差)大于21米时，女儿便会产生“恐惧心理”.求在大转盘转动一周内，女儿产生“恐惧心理”的时间会持续多久？21.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最高点为M(π6,3)．(1)求f(x)的解析式和单调减区间；(2)若总存在x0∈[−π6,π3]，使得不等式f(x0)+2≤log3m成立，求实数m的最小值．22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一系列对应值如表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y=f(kx)(k>0)的最小正周期为2π3，当x∈[0,π3]时，方程f(kx)=m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．。
高中数学必修一 第五章 三角函数 单元训练题 (1)0812(含答案解析)
必修一 第五章 三角函数 单元训练题 (1)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，f(x)≤f(π9)对任意x ∈R 恒成立，则ω可以是( )A. 1B. 32C. 152D. 122. 已知cos(π−α)=−35，则tan(3π2−α)值为( )A. 34B. 43C. ±43D. ±343. 已知函数f(x)=cos(2x +φ)(φ∈R)，若f(π3−x)=f(x)且f(π)>f(π2)，则函数f(x)取得最大值时x 的可能值为( )A. 2π3B. π6C. π3D. π24. 已知tanα=2，π<α<3π2，则sinα+cosα=( )A. −3√55B. −√55C. −√5D. √555. 函数f(x)=cos(πx +φ)(0<φ<π2)的部分图象如图所示，若方程f(x)=a 在(0,x 0)上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1f(x 1)+x 2f(x 2)的取值范围是( )A. {0}B. (−1,√22) C. (−32,3√24 ) D. (−43,3√24)6. 先将函数y =2sinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位长度，得到f(x)的图象，则f(x)的解析式是( )A. f(x)=2sin(2x +π3) B. f(x)=2sin(2x +π6) C. f(x)=2sin(2x −π3)D. f(x)=2sin(2x −π6) 7. 已知函数f(x)=sin2x −cos2x ，则( )A. f(x)的最小正周期为π2B. 曲线y =f(x)关于(3π8,0)对称C. f(x)的最大值为2D. 曲线y =f(x)关于x =3π8对称8. sin35°cos25°+cos35°sin25°的值等于( )A. 14B. 12C. √22D. √329. 关于函数f(x)=sin(x +φ)(x ∈R)，下列命题正确的是( )A. 存在φ，使f(x)是偶函数B. 对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数C. 存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数D. 对任意的φ，f(x)都不是奇函数10. 已知函数f(x)=cos(12x +π4)，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)，那么|x 1−x 2|的最小值为( )A. π4B. π2C. πD. 2π二、填空题（本大题共3小题，共15.0分） 11. 若tanα=3，则cos2α+3sin 2α=______．12. 已知sinα+cosα=√55，且π2<α<π，那么sin2α等于______，tanα等于______．13. 已知sinα+cosαsinα−2cosα=2，则tan2α的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 14. 已知函数f(x)=cos(2x +π3)．(1)求函数y =f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．15. 已知函数f(x)=cos2x +2cos 2(x −π3).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若α∈(0,π2)，f(α)=43，求cos2α．16.在函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3,−2)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调减区间；(3)若[−π3,π3]时，函数ℎ(x)=2f(x)+1−m有一个零点，求m的取值范围．17.设平面向量a⃗=(√3sinx,cos2x−12)，b⃗ =(cosx,−1)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,π2]上的最大值和最小值；(2)若锐角α满足f(α2)=13，求cos(2α+π6)的值．18.已知0<α<π2，cosα=35．(Ⅰ)求tanα的值；(Ⅱ)求tan(α+π4)的值；(Ⅲ)若0<β<π2且cos(α+β)=−12，求sinβ的值．19.已知函数f(x)=2sinxcosx+√3cos2x．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；(Ⅲ)若函数g(x)=f(x)−k 在[0,π4]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．20. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，且f(π12)=−1，f(π6)=0，f(7π12)=1． (Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)将y =f(x)的图象先向左平移π6个单位，再将图象上的所有点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得到的图象对应函数为y =g(x)，求y =[g(x +π12)]2+[g(x +π4)]2的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：函数f(x)=sin(ωx+π3)，f(x)≤f(π9)对任意x∈R恒成立，所以f(π9)=1，即sin(π9ω+π3)=1，可得π9ω+π3=π2+2kπ，k∈Z，解得：ω=18k+32，k∈Z，当k=0时，可得ω=32．故选：B．根据题意，f(x)≤f(π9)对任意x∈R恒成立，即可得f(π9)=1，进而由π9ω+π3=π2+2kπ，k∈Z，即可求得ω=18k+32，k∈Z，当k=0时，可得ω=32．本题考查正弦函数的最大值，考查转化思想以及计算能力．2.答案：D解析：解：∵cos(π−α)=−35，∴cosα=35，∴sinα=±√1−cos2α=±45，∴tan(3π2−α)=cotα=cosαsinα=±34．故选：D．由已知利用诱导公式可得cosα=35，利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.答案：B解析：解：由f(π3−x)=f(x)可知函数的对称轴为x=π6，所以由题意可得2⋅π6+φ=kπ，k∈Z，解得φ=−π3+kπ，k∈Z，又因为f(π)>f(π2)，所以cos(2π+φ)>cos(π+φ)，即cosφ>−cosφ，可得cosφ>0，所以可得φ=−π3+2kπ，k ∈Z ，所以f(x)=cos(2x −π3+2kπ)=cos(2x −π3)，所以f(x)取到最大值时，则2x −π3=2kπ，k ∈Z ，即x =π6+kπ，k ∈Z ， 当k 取适当的整数时，只有x =π6适合， 故选：B ．由f(π3−x)=f(x)可知函数的对称轴为x =π6，进而求出φ的取值集合，再由f(π)>f(π2)，可得φ的取值集合，代入函数f(x)中可得f(x)=cos(2x −π3)，进而求出函数取到最大值时x 的集合，k 取适当的整数可得x 的取值选项．本题考查函数的对称性及函数的最值的求法，属于中档题． 4.答案：A解析：解：∵π<α<3π2，∴sinα<0，cosα<0，可得sinα+cosα<0， ∵tanα=2，∴sinα+cosα=−√(sinα+cosα)2=−√1+2sinαcosα=−√1+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=−√1+2tanαtan 2α+1=−√1+2×222+1=−3√55． 故选：A ．由已知可求得sinα+cosα<0，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 5.答案：C解析：解：根据函数f(x)=cos(πx +φ)(0<φ<π2)的部分图象，可得cosφ=√22，∴φ=π4，f(x)=cos(πx +π4).再根据函数的周期为2ππ=2，∵方程f(x)=a 在(0,x 0)上有两个不同的实数解x 1，x 2，f(x 1)=f(x 2)， 故 πx 0+π4=7π4，x 0=32，且x 1+x 2=x 0=32． 则x 1f(x 1)+x 2f(x 2)=(x 1+x 2)⋅f(x 1)=32⋅f(x 1). 由于x 1∈(0,32)，故πx 1+π4∈(π4,7π4).f(x 1)=32cos(πx 1+π4)∈[−32，3√24)，故选：C．由特殊点的坐标求出φ值，可得x0的值，再根据余弦函数的对称性求出且x1+x2的值，结合f(x1)= f(x2)，利用余弦函数的定义域和值域，求出x1f(x1)+x2f(x2)的取值范围．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由特殊点的坐标求出φ值，可得x0的值，再根据余弦函数的对称性、余弦函数的定义域和值域，求出x1f(x1)+x2f(x2)的取值范围，属于中档题．6.答案：A解析：解：将函数f(x)=2sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到y=2sin2x的图象，再向左平移π6个单位长度，得到y=2sin2(x+π6)=2sin(2x+π3)的图象，故f(x)=2sin(2x+π3)，故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：D解析：解：函数f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4)，所以函数的最小正周期T=2π2=π，所以A不正确；f(x)的最大值为√2，所以C不正确；函数的对称中心满足2x−π4=kπ，所以x=π8+kπ2，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x−π4=kπ+π2，k∈Z，解得x=3π8+kπ2，k∈Z，当k=0时，x=3π8，所以D正确．故选：D．现将函数化简可得f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4)，进而求出函数的最小正周期即函数的最大值，可判断A.C不正确，然后求出函数的对称轴，即对称中心所满足的条件，可得B不正确，D答案正确本题考查三角函数的化简及三角函数的性质，属于基础题．8.答案：D解析：解：sin35°cos25°+cos35°sin25°=sin60°=√32．故选：D．由已知结合两角和的正弦公式即可求解．本题主要考查了两角和的正弦公式的简单应用，属于基础试题．9.答案：A解析：解：对于A ，当φ=π2+kπ，k ∈Z 时，函数f(x)=sin(x +φ)是偶函数，所以A 正确； 对于B ，当φ=kπ，k ∈Z 时，函数f(x)=sin(x +φ)是奇函数，所以B 错误；对于C ，不存在φ∈R ，使函数f(x)=sin(x +φ)既是奇函数，又是偶函数，所以C 错误； 对于D ，φ=kπ，k ∈Z 时，函数f(x)=sin(x +φ)是奇函数，所以D 错误． 故选：A ．根据三角函数f(x)=sin(x +φ)的性质，即可判断所给命题的真假性．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题． 10.答案：D解析：解：f(x)的周期T =2π12=4π，由题意可知f(x 1)为f(x)的最小值，f(x 2)为f(x)的最大值， ∴|x 1−x 2|的最小值为T2=2π． 故选：D ．计算f(x)的最小正周期T ，则|x 1−x 2|的最小值为T2． 本题考查了三角函数得性质，属于基础题．11.答案：1910解析：解：cos2α+3sin 2α=cos 2α−sin 2α+3sin 2α=cos 2α+2sin 2αsin 2α+cos 2α，两边同除cosα，原式=1+2tan 2αtan 2α+1=1+2×3232+1=1910．故答案为：1910．先利用余弦的二倍角公式将其化简，再利用同角三角函数的平方关系将分母的1用sin 2α+cos 2α代替，然后将分式的上下同除cosα后，可将原式转化为只含tanα的表达式，代入数据即可得解． 本题考查二倍角公式和同角三角函数关系的综合应用，运用了同除余弦可化切的解题思路，考查学生的运算能力，属于基础题．12.答案：−45 −2解析：解：∵sinα+cosα=√55，且π2<α<π，∴|sinx|>|cosx|，tanx <−1．把所给的等式平方可得1+sin2α=15，∴sin2α=−45． 再根据sin2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=−45． 求得tanα=−2，或tanα=12(舍去)， 故答案为：−45；−2．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．13.答案：−512解析：解：由sinα+cosαsinα−2cosα=2得sinα+cosα=2sinα−4cosα，得5cosα=sinα，得tanα=5，则tan2α=2tanα1−tan2α=2×51−25=−1024=−512，故答案为：−512根据条件求出tanα的值，结合正切的倍角公式进行求解即可．本题主要考查正切函数值的计算，结合条件求出tanα，利用正切函数的倍角公式是解决本题的关键．难度中等．14.答案：解：(1)函数f(x)=cos(2x+π3)．由2x+π3=kπ得x=kπ2−π6，即函数的对称轴方程为x=kπ2−π6，k∈Z，(2)当−π12≤x≤π2时，−π6≤2x≤π，π6≤2x+π3≤4π3，所以当2x+π3=π，即x=π3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(x)=cosπ=−1，当2x+π3=π6，即x=−π12时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)=cosπ6=√32．解析：(1)直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程．(2)利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=cos2x+2cos2(x−π3)=cos2x+1+cos(2x−2π3)=cos2x+√32sin2x−1 2cos2x+1=√32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)+1，…4分∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π…5分(Ⅱ)由f(α)=43，可得sin(2α+π6)=13，∵α∈(0,π2)，∴2α+π6∈(π6,7π6)，…7分又∵0<sin(2α+π6)=13<12，∴2α+π6∈(π2,π)，…8分∴cos(2α+π6)=−2√23，…10分∴cos2α=cos[(2α+π6)−π6]=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6=1−2√66…12分解析：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=sin(2x+π6)+1，利用正弦函数的周期公式即可求解．(Ⅱ)由f(α)=43，可得sin(2α+π6)=13，由已知又0<sin(2α+π6)=13<12，可求范围2α+π6∈(π2,π)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2α+π6)，进而根据两角差的余弦函数公式可求cos2α的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：解：(1)∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为T2=πω=π2，∴ω=2．且图象上一个最低点为M(2π3,−2)，∴A=2，2⋅2π3+φ=3π2，∴φ=π6，∴函数f(x)=2sin(2x+π6).(2)令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，可得函数的减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z．(3)在[−π3,π3]上，2x+π6∈[−π2,5π6]，故当2x+π6=π2时，f(x)取得最大值为2，当2x+π6=−π3时，f(x)取得最小值为−√3．函数ℎ(x)=2f(x)+1−m有一个零点，即f(x)=m−12只有一个零点．故有m−12∈[−√3,12)，或者m−12=2，即m∈[1−2√3,2)，或m=5．解析：(1)由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用正弦函数的单调性求出f(x)的减区间．(3)由题意，在[−π3,π3]上，f(x)=m−12 只有一个零点．先求出f(x)的最值，结合图象求出m 的范围．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．17.答案：解：(1)f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12=√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6)， ∴f(x)的最小正周期为T =π．∵x ∈[0,π2]，∴−π6≤2x −π6≤5π6，∴−12≤sin(2x −π6)≤1， 故函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值分别为1，−12；(2)因为锐角α满足f(α2)=13，∴sin(α−π6)=13，∵−π6<α−π6<π3，∴cos(α−π6)=2√23． ∵(2α+π6)+(−2α+π3)=π2∴cos(2α+π6)=sin(−2α+π3)=−sin(2α−π3)=−2sin(α−π6)cos(α−π6)=−4√29．解析：(1)求出f(x)的解析式并化简，根据正弦函数的性质得出周期和最值；(2)根据f(α2)=13可得sin(α−π6)=13，利用同角三角函数的关系和诱导公式及二倍角公式得出cos(2α+π6)的值．本题考查了平面向量数量积、三角函数的性质、三角恒等变换，考查了数学运算，属于中档题． 18.答案：解：(I)因为0<α<π2，cosα=35故sinα=45，所以tanα=43．(II)tan(α+π4)=tanα+11−tanα=1+431−43=−7． (III)因为0<α<π2，0<β<π2，所以 0<α+β<π．又因为cos(α+β)=−12，所以 sin(α+β)=√32． sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=4+3√310．解析：(I)由已知结合同角平方关系即可直接求解；(II)结合两角和的正切公式即可求解；(III)由已知结合同角平方关系及两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角平方关系，和差角公式在求解三角函数值中的应用，属于中档试题．19.答案：解：(I)由f(x)=sin2x+√3cos2x=2(12sin2x+√32cos2x)=2sin(2x+π3)，得f(x)的最小正周期为π．(II)因为x∈[0,π2]，所以π3≤2x+π3≤4π3，所以−√32≤sin(x+π6)≤1．从而−√3≤2sin(x+π6)≤2．所以当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)的最大值为2；当2x+π3=4π3，即x=π2时，f(x)的最小值为−√3．(III)由x∈[0,π4]，得2x+π3∈[π3,5π6]，而函数f(x)在[0,π12]上单调递增，f(x)∈[√3,2]，在(π12,π4]上单调递减，f(x)∈[1,2]，所以若函数g(x)=f(x)−k在[0,π4]上有两个不同的零点，则k∈[√3,2)．解析：(I)先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；(II)由已知x的范围，结合正弦函数的性质即可求解；(III)由已知可转化为y=k与y=f(x)的交点问题，然后结合正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．20.答案：解：(Ⅰ)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，T=2×(7π12−π12)=π，所以ω=2πT=2；又sin(2×π6+φ)=0，所以φ=kπ−π3，k∈Z；又|φ|<π2，所以φ=−π3；又f(π12)=−1，得A=2，所以f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x−π3)；(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移π6个单位，得y=f(x+π6)=2sin2x图象，再将图象上的所有点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得y=2sinx的图象；所以函数为y=g(x)=2sinx，所以y =[g(x +π12)]2+[g(x +π4)]2=4sin 2(x +π12)+4sin 2(x +π4)，=4×[1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2]， =4−2(√32cos2x −32sin2x)，=4−2√3(2x +π3)， 所以函数y 的值域是[4−2√3,4+2√3].解析：(Ⅰ)由函数f(x)的部分图象求出T 、ω和φ、A 的值，写出f(x)的解析式； (Ⅱ)根据图象平移写出函数解析式，再计算y =[g(x +π12)]2+[g(x +π4)]2的值域． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。
高中数学必修一第五章三角函数专项训练题(带答案)
高中数学必修一第五章三角函数专项训练题单选题1、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（ ） A ．35B ．−12C ．12D ．13答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7)) =sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12故选：C2、已知sin (α−π3)+√3cosα=13，则sin (2α+π6)的值为（ ） A ．13B ．−13C ．79D ．−79答案：D解析：利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(α−π6)=13，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．因为sin (α−π3)+√3cosα=12sinα−√32cosα+√3cosα=12sinα+√32cosα =sin (α+π3)=sin (π2+α−π6)=cos (α−π6)=13，所以sin (2α+π6)=sin (π2+2α−π3)=cos (2α−π3)=2cos 2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79， 故选：D3、已知函数f(x)=cos 2ωx 2+√32sinωx −12(ω>0,x ∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(0,512]B ．(0,56)C ．(0,512]∪[56,1112]D ．(0,512]∪(56,1112] 答案：C分析：先化简函数解析式，由π<x <2π得，求得πω+π6<ωx +π6<2πω+π6，利用正弦函数图象的性质可得2πω+π6≤π或{2πω+π6≤2ππω+π6≥π，求解即可. f(x)=cosωx+12+√32sinωx −12=√32sinωx +12cosωx =sin(ωx +π6)．由π<x <2π得，πω+π6<ωx +π6<2πω+π6， ∵函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，且πω+π6>π6， ∴2πω+π6≤π或{2πω+π6≤2ππω+π6≥π ， 解得0<ω⩽512或56⩽ω⩽1112， 则ω的取值范围是(0,512]∪[56,1112].故选：C ．4、在0∘~360∘范围内，与−70∘终边相同的角是（ ） A ．70∘B ．110∘C ．150∘D ．290∘ 答案：D解析：根据终边相同的角的定义即可求解. 与−70∘终边相同的角的为−70∘+360∘⋅k (k ∈Z )， 因为在0∘~360∘范围内，所以k =1可得−70∘+360∘=290∘， 故选：D.5、中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（ ）A．704cm2B．352cm2C．1408cm2D．320cm2答案：A解析：设∠AOB=θ，OA=OB=r，由题意可得：{24=rθ64=(r+16)θ，解得r，进而根据扇形的面积公式即可求解．如图，设∠AOB=θ，OA=OB=r，由弧长公式可得：{24=rθ64=(r+16)θ，解得：r=485，所以，S扇面=S扇形OCD−S扇形OAB=12×64×(485+16)−12×24×485=704cm2．故选：A．6、阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为s=2sin(ωt+φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(−2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3−t1=2，则ω=（）A．π2B．πC．3π2D．2π答案：B分析：利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为s0的时间t1，t2，t3，即可得T=t3−t1，可求参数ω.由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以T =t 3−t 1=2，则2πω=2，可得ω=π.故选：B 7、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57.又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.8、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）A ．25B ．−25C ．65D ．−65 答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25．故选：A. 多选题9、若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ） A ．tanα=−sinαcosαB ．√1−2sinαcosα=sinα−cosαC ．cosα=−√1−sin 2αD ．√1+2sinαcosα=sinα+cosαE ．sinα=−√1−cos 2α 答案：BC解析：利用sin 2α+cos 2α=1,tanα=sinαcosα，结合三角函数在各个象限的符号，代入每个式子进行化简、求值.对A ，由同角三角函数的基本关系式，知tanα=sinαcosα，所以A 错；对B ，C ，D ，E ，因为α是第二象限角，所以sinα>0,cosα<0，所以sinα−cosα>0,sinα+cosα的符号不确定，所以√1−2sinαcosα=√(sinα−cosα)2=sinα−cosα，所以B ，C 正确；D ，E 错． 故选：BC.小提示：本题考查同角三角函数的基本关系、三角函数在各个象限的符号，考查运算求解能力. 10、（多选）已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=15，则（ ） A ．θ∈(π2,π)B ．cosθ=−35C ．tanθ=−34D ．sinθ−cosθ=75答案：ABD分析：已知式平方求得sinθcosθ，从而可确定θ的范围，然后求得sinθ−cosθ，再与已知结合求得sinθ,cosθ，由商数关系得tanθ，从而可判断各选项．因为sinθ+cosθ=15①，所以(sinθ+cosθ)2=sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ=125，所以2sinθcosθ=−2425．又θ∈(0,π)，所以sinθ>0，所以cosθ<0，即θ∈(π2,π)，故A 正确．(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=4925，所以sinθ−cosθ=75②，故D 正确．由①②，得sinθ=45，cosθ=−35，故B 正确．tanθ=sinθcosθ=−43，故C 错误． 故选：ABD ．11、下列四个关系式中错误的是（ ）． A ．sin5θ+sin3θ=2sin4θcosθ B ．cos3θ−cos5θ=−2sin4θsinθ C ．sin3θ−sin5θ=−12cos4θcosθ D ．sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ 答案：BCD分析：由5θ=4θ+θ，3θ=4θ−θ，利用两角和与差的正弦、余弦公式展开后可得相加减，实质就是和差化积公式．对D 要注意目的要求．由sin5θ=sin(4θ+θ)=sin4θcosθ+cos4θsinθ，sin3θ=sin(4θ−θ)=sin4θcosθ−cos4θsinθ，cos5θ=cos(4θ+θ)=cos4θcosθ−sin4θsinθ，cos3θ=cos(4θ−θ)=cos4θcosθ+sin4θsinθ，代入各选项， 得sin5θ+sin3θ=2sin4θcosθ，A 正确，B 错误，右边应是2sin4θsinθ；C 错误，右边应是−2cos4θsinθ；D 错误，由sin5θ与cos3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑．左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin5θ+cos3θ=sin5θ+sin (π2−3θ) =2sin (θ+π4)cos (4θ−π4)． 故选：BCD ．小提示：本题考查各差化积公式，利用两角和与差的正弦余弦公式相加减后可得和差化积公式，注意和差化积公式是同名函数的和差才能化积．填空题12、已知sinα=2cosα，则sin2α+2sinαcosα=______．答案：85##1.6分析：根据题意，由同角三角函数关系可得tanα的值，而sin2α+2sinαcosα1=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α，最后利用齐次式化成关于tanα的分式即可解.解：由sinα=2cosα，得tanα=sinαcosα=2，则sin2α+2sinαcosα1=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=22+2×222+1=85.所以答案是：85.13、已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，则ω=______.答案：143分析：由题意可得函数的图象关于直线x=π4对称，再根据f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，可得π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，由此求得ω的值．依题意，当x=π6+π32=π4时，y有最小值，即sin(π4ω+π3)=−1，则π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，所以ω=8k+143(k∈Z).因为f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，所以π3−π4≤T2=πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143.所以答案是：14314、若角θ是第四象限角，则y=sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|=______．答案：－1分析：根据在第四象限三角函数的符号，化简计算y 值. 因为角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0， 所以y =sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|=−1+1−1=−1．所以答案是：-1. 解答题15、已知a <0，函数f(x)=acosx +√1+sinx +√1−sinx ，其中x ∈[−π2,π2].（1）设t =√1+sinx +√1−sinx ，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数g(t)； （2）求函数f(x)的最大值（可以用a 表示）；（3）若对区间[−π2,π2]内的任意x 1，x 2，若有|f(x 1)−f(x 2)|≤1，求实数a 的取值范围.答案：（1）g(t)=a2t 2+t −a ，t ∈[√2,2]；（2）f(x)max ={√2,a ≤−√22a +2,−12≤a <0−a −12a ,−√22<a <−12；（3）[√2−3,0).分析：（1）由题设得t 2=2+2cosx ∈[2,4]，则cosx =t 2−22，代入f(x)可得g(t).（2）由（1）知，f(x)的最大值即为g(t)的最大值，讨论a ≤−√22、−12≤a <0、−√22<a <−12时g(t)在[√2,2]上的单调性，即可得对应的最大值.（3）将问题转化为g(t)max −g(t)min ≤1，结合（2）所得单调性，求a 的范围. （1）由题意，t 2=2+2√1−sin 2x =2+2√cos 2x ，而x ∈[−π2,π2]，则cosx ∈[0,1]，∴t 2=2+2cosx ∈[2,4]，显然t >0，则t ∈[√2,2]，且cosx =t 2−22，∴g(t)=a(t 2−2)2+t =a2t 2+t −a ，t ∈[√2,2]；（2）f(x)的最大值，即g(t)的最大值. ①a ≤−√22时，g(t)在[√2,2]递减，g(t)max =g(√2)=√2；②−12≤a <0时，g(t)在[√2,2]递增，g(t)max =g(2)=a +2； ③−√22<a <−12时，g(t)在[√2,−1a ]递增，[−1a ,2]递减，g(t)max =g(−1a )=−a −12a ；综上，f(x)max={√2,a≤−√22a+2,−12≤a<0−a−12a ,−√22<a<−12（3）由题意，f(t)max−f(t)min≤1，即g(t)max−g(t)min≤1，g(t)=a2t2+t−a；①a≤−√22时，g(t)在[√2,2]递减，则：{a≤−√22g(√2)−g(2)=−a+√2−2≤1⇒√2−3≤a≤−√22；②−12≤a<0时，g(t)在[√2,2]递增，则：{−12≤a<0g(2)−g(√2)=a+2−√2≤1⇒−12≤a<0；③−√22<a<−12时，g(t)在[√2,−1a]递增，[−1a,2]递减，g(t)max=g(−1a)=−a−12a，则：{−√22<a<−12g(t)−g(2)=−2a−12a−2≤1g(t)−g(√2)=−a−12a −√2≤1⇒−√22<a<−12：综上，a∈[√2−3,0).小提示：关键点点睛：第二问，要求f(x)的最大值，即求g(t)的最大值，讨论参数a结合g(t)的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为g(t)max−g(t)min≤1，结合所得单调性求参数范围即可.。
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限.3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = .4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .5.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2) [][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .9.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜ 2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 .10. 某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .12.函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008).参考答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.答案 一或三2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限. 答案 二3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = . 解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=<-<+-=<0113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.又∵sin 2θ+cos 2θ=1∴11131122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为91.4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .答案 25.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .答案562 6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2)[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=21又∵α是第四象限角，∴sin α=-23cos 12-=-α. （1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］ =sin(-α)=-sin α=23. （2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++=)2cos()2sin()2sin()2sin(απαπαππαππ+-•++--+++n n n n=αααπαπcos sin )sin()sin(•+-++=αααπαcos sin )sin(sin •---=αααcos sin sin 2•-=αcos 2-=-4.7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+•αααααα. 方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .答案 239.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 . 答案 y =-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48ππx10.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .答案 y =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .答案 -2或212.求函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .解 方法一 y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π化成y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .1分∵y =sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ) ∴函数y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π（k ∈Z ) 即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z ) 2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π（k ∈Z )即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ).∴函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ).方法二 y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π可看作是由y =2sin u 与u =x -4π复合而成的.又∵u =x -4π为减函数∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ) -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π (k ∈Z ). 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π(k ∈Z ) 即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π (k ∈Z )得 -2k π-45π≤x ≤-2k π-4π(k ∈Z ) 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间.综上可知：y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）； 递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）.13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.解 由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sin x ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0; 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.Z14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的振幅A =2,周期T =22π=π 初相ϕ=3π. （2）令X =2x +3π,则y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sin X .列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，再把y =sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，最后把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象. 方法二 将y =sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y =sin2x 的图象； 再将y =sin2x 的图象向左平移6π个单位； 得到y =sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008). 解 （1）∵y =2A - 2Acos(2ωx +2ϕ) 且y =f (x )的最大值为2，A ＞0 ∴2A +2A=2,A =2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0 ∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ22=2, ω=4π.∴f (x )= 22-22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ22x =1-cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22x .∵y =f (x )过(1,2)点，∴cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22=-1.ϕπ22+=2k π+π,k ∈Z .∴ϕ=k π+4π,k ∈Z . 又∵0＜ϕ＜2π，∴ϕ=4π.(2)∵ϕ=4π,∴f (x )=1-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22ππx =1+sin x 2π.∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.又∵y =f (x )的周期为4，2 008=4×502∴f （1）+f （2）+…+f （2 008）=4×502=2 008.。
高中数学必修一第五章三角函数必考考点训练(带答案)
高中数学必修一第五章三角函数必考考点训练单选题1、已知函数f(x)=cos 2ωx 2+√32sinωx −12(ω>0,x ∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(0,512]B ．(0,56)C ．(0,512]∪[56,1112]D ．(0,512]∪(56,1112]答案：C分析：先化简函数解析式，由π<x <2π得，求得πω+π6<ωx +π6<2πω+π6，利用正弦函数图象的性质可得2πω+π6≤π或{2πω+π6≤2ππω+π6≥π，求解即可. f(x)=cosωx+12+√32sinωx −12=√32sinωx +12cosωx =sin(ωx +π6)．由π<x <2π得，πω+π6<ωx +π6<2πω+π6， ∵函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，且πω+π6>π6，∴2πω+π6≤π或{2πω+π6≤2ππω+π6≥π， 解得0<ω⩽512或56⩽ω⩽1112， 则ω的取值范围是(0,512]∪[56,1112]. 故选：C ．2、已知函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，tanx 等于（ ） A ．1B ．−1C ．√32D ．−√32答案：A分析：由正弦函数的性质，先求出当y 取得最小值时x 的取值，从而求出tanx . 函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，有x +π4=2kπ+3π2，故x =2kπ+5π4，k ∈Z ．∴tanx =tan (2kπ+5π4)=tan (π4)=1，k ∈Z ．故选：A ．3、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)，∵y =2sin (x +m +π3)图象关于原点对称，∴m +π3=kπ(k ∈Z )，解得：m =−π3+kπ(k ∈Z )，又m >0， ∴当k =1时，m 取得最小值2π3. 故选：D.4、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果. 因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)，而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可， 故选：A. 5、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57. 又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 6、若sinα+2cosα5cosα−sinα=516，则tanα=（ ） A ．13B ．12C ．−13D ．−12 答案：C分析：利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解. 由sinα+2cosα5cosα−sinα=516可得tanα+25−tanα=516， 解得：tanα=−13， 故选：C.7、已知简谐振动f (x )=Asin (ωx +φ)(|φ|<π2)的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0,34)，则该简谐振动的频率和初相是（ ） A ．16，π6B ．18，π3C ．18，π6D ．16，π3答案：C分析：根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点(0,34)求出初相即可得解. 由题意可知，A ＝32，32＋(T2)2＝52， 则T ＝8，ω＝2π8＝π4， ∴ y ＝32sin (π4x +φ).由32sin φ＝34，得sin φ＝12.∵|φ|＜π2， ∴φ＝π6.因此频率是18，初相为π6.故选：C8、下列函数中为周期是π的偶函数是（ ） A ．y =|sinx |B ．y =sin|x| C ．y =−sinx D ．y =sinx +1 答案：A分析：根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解. 对于A ，y =|sinx |为偶函数,且最小正周期为π,所以A 正确; 对于B ，y =sin |x |为偶函数,但不具有周期性,所以B 错误; 对于C ，y =−sinx 为奇函数，所以C 错误; 对于D, y =sinx +1为非奇非偶函数,所以D 错误. 综上可知,正确的为A 故选:A 多选题9、下列不等式中成立的是（ ）A．sin1<sinπ3B．cos2π3>cos2C．cos(−70∘)>sin18∘D．sin4π5>sin17π6答案：ACD分析：结合诱导公式，根据y=sinx和y=cosx的单调性依次判断各个选项即可得到结果.对于A，∵y=sinx在(0,π2)上单调递增，又0<1<π3<π2，∴sin1<sinπ3，A正确；对于B，∵y=cosx在(π2,π)上单调递减，又π2<2<2π3<π，∴cos2π3<cos2，B错误；对于C，∵cos(−70∘)=cos70∘=sin20∘，又sin20∘>sin18∘，∴cos(−70∘)>sin18∘，C正确；对于D，∵sin4π5=sin(π−π5)=sinπ5，sin17π6=sin(3π−π6)=sinπ6，又sinπ6<sinπ5，∴sin4π5>sin17π6，D正确.故选：ACD.10、下列四个关系式中错误的是（）．A．sin5θ+sin3θ=2sin4θcosθB．cos3θ−cos5θ=−2sin4θsinθC．sin3θ−sin5θ=−12cos4θcosθD．sin5θ+cos3θ=2sin4θcosθ答案：BCD分析：由5θ=4θ+θ，3θ=4θ−θ，利用两角和与差的正弦、余弦公式展开后可得相加减，实质就是和差化积公式．对D要注意目的要求．由sin5θ=sin(4θ+θ)=sin4θcosθ+cos4θsinθ，sin3θ=sin(4θ−θ)=sin4θcosθ−cos4θsinθ，cos5θ= cos(4θ+θ)=cos4θcosθ−sin4θsinθ，cos3θ=cos(4θ−θ)=cos4θcosθ+sin4θsinθ，代入各选项，得sin5θ+sin3θ=2sin4θcosθ，A正确，B错误，右边应是2sin4θsinθ；C错误，右边应是−2cos4θsinθ；D 错误，由sin5θ与cos3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑．左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin5θ+cos3θ=sin5θ+sin(π2−3θ)=2sin(θ+π4)cos(4θ−π4)．故选：BCD．小提示：本题考查各差化积公式，利用两角和与差的正弦余弦公式相加减后可得和差化积公式，注意和差化积公式是同名函数的和差才能化积．11、关于函数f(x)=1+cosx，x∈(π3,2π)的图象与直线y=t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t<0或t≥2时，有0个交点B．当t=0或32≤t<2时，有1个交点C．当0<t≤32时，有2个交点D．当0<t<2时，有2个交点答案：AB分析：作出函数函数f(x)=1+cosx，x∈(π3,2π)的图象，数形结合，一一判断每个选项，可得答案.根据函数的解析式作出函数f(x)的图象如图所示,对于选项A，当t<0或t≥2时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当t=0或32≤t<2时，有1个交点，故B正确；对于选项C，当t=32时，只有1个交点，故C错误；对于选项D，当32≤t<2时，只有1个交点，故D错误．故选:AB．填空题12、函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈[−π4,π4]的值域为____________．答案：[－4，4]分析：根据正切函数的单调性可得－1≤tan x≤1，令tan x＝t，利用二次函数的性质即可求解.∵－π4≤x≤π4，∴－1≤tan x≤1.令tan x＝t，则t∈[－1，1]，∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－π4时，y min＝－4，当t＝1，即x＝π4时，y max＝4.故所求函数的值域为[－4，4]．所以答案是：[－4，4]小提示：本题考查了正切函数的单调性、二次函数的单调性求值域，属于基础题.13、已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，则ω=______.答案：143分析：由题意可得函数的图象关于直线x=π4对称，再根据f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，可得π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，由此求得ω的值．依题意，当x=π6+π32=π4时，y有最小值，即sin(π4ω+π3)=−1，则π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，所以ω=8k+143(k∈Z).因为f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，所以π3−π4≤T2=πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143.所以答案是：14314、函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．答案：π2.分析：将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.函数f(x)=sin22x=1−cos4x2,周期为π2小提示：本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.解答题15、某轮船以V海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60度．轮船从A处向北航行30分钟后到达B处，测得油井P在南偏东15度，且BP=10√6海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点．（1）求轮船的速度V；（2）求P、C两点的距离（精确到l海里）．答案：（1）40海里/小时；（2）56海里.解析：（1）在△ABP中，利用正弦定理ABsin∠APB =BPsin∠BAP求解.（2）在△CBP中，ly 余弦定理PC2=PB2+BC2−2PC⋅BC⋅cos∠PBC求解.（1）在△ABP中，由正弦定理得：ABsin∠APB =BPsin∠BAP，即12Vsin(60∘−15°)=10√6sin120∘，解得V=2×10√6⋅sin45∘sin120∘=40.所以V=40海里/小时；（2）在△CBP中，由余弦定理得：PC2=PB2+BC2−2PC⋅BC⋅cos∠PBC，=(10√6)2+(40)2−2×10√6×40×PC⋅BC⋅cos(180∘−15∘−45∘)，=2200+400√6，所以PC≈56海里小提示：本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第五单元《三角函数》单元练习题（含答案）一、单选题1．将函数()y f x =的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的12，②向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象（如图所示），其中点2,03D π⎛⎫- ⎪⎝⎭，点,03E π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()f x y f x ='在区间[]0,2π上的对称中心为（ ）A ．(),0π，()2,0πB ．(),0πC ．()0,0，(),0πD ．()0,0，(),0π，()2,0π2．已知函数()|sin |cos f x x x =+.有下列四个结论：①函数的值域为2,2⎡-⎣； ②函数的最小正周期为2π；③函数在[],2ππ上单调递增； ④函数的图像的一条对称轴为x π=. 其中正确的结论是（ ） A ．②③B ．②④C ．①④D ．①②3．设函数()sin3sin3,f x x x =+则()f x 为（ ） A ．周期函数，最小正周期为3πB ．周期函数，最小正周期为23π C ．周期函数，最小正周期为2π D ．非周期函数4．函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B ．π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．2πππ,π36k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．πππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 5．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=（ ）．A ．35B ．35C ．45D ．45-， 6．将函数cos 21y x =+的图象向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为()f x =（ ） A ．cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 2xD ．sin 2x -7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0）满足f （3π）＝2，f （π）＝0，且f （x ）在区间（5,312ππ）单调，则ω的取值个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．108．若对于任意x ∈R 都有()2()3cos sin f x f x x x +-=-，则函数(2)cos 2y f x x =-的图象的对称中心为（ ） A ．,0,4k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．(),0,k k π∈ZC ．,0,24k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,0,2k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z 9．在(0,2π)上使cos sin x x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．π5π(0,)(,2π)44B ．ππ5π(,)(π,)424C ．π5π(,)44D ．3ππ(,)44-10．下列函数中偶函数是（ ）A ．y 11x x e e -=+B ．y ＝sinx +2|sinx |C ．y ＝ln （x ）D ．y ＝e x +e ﹣x11．化简cos()cos sin()sin αββαββ---的结果为( ) A ．sin(2)αβ+B ．cos(2)αβ-C ．cos αD ．cos β12．函数3sin 2y x =-+的最小值为（ ） A ．2 B ．－1C ．－2D ．5第II 卷（非选择题）二、填空题13．满足tan （x+3πx 的集合是 ． 14．已知4cos 5α=-，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于_______． 15．已知α是第三象限的角，若4cos 5α=-，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______ .16．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ取最大值时，tan θ=________.三、解答题17．已知向量m =sin,12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，n =,2cos 2x x ⎛⎫⎪⎝⎭，设函数()f x =m ·n . （1）求函数()f x 的解析式.（2）求函数()f x ，[],x ππ∈-的单调递增区间.18．在ABC ∆中，已知14,,tan422B b A π===，求三角形ABC ∆面积19．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，cos β=，且tan(2)3αβ+=. （1）求tan2α的值；（2）求αβ+的值.20．如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，OC 两两成120︒，1OC =，AB OB OC =+，且OA OB >，现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为(k k 为正常数）：在AOC ∆区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与AOC ∆的面积成正比，比例系数为43k ，设OA x =，OB y =．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求N M -的最大值及相应的x 的值．21．如图，已知AB 是一幢6层的写字楼，每层高均为3m ，在AB 正前方36m 处有一建筑物CD ，从楼顶A 处测得建筑物CD 的张角为45．()1求建筑物CD 的高度；()2一摄影爱好者欲在写字楼AB 的某层拍摄建筑物.CD 已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)？22．（1）已知4cos 5α=-，且α为第三象限角，求sin α，tan α的值 （2）已知tan 3α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+ 的值.23．已知函数()sin 232f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（Ⅱ）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边,,a b c ，若4,52A f a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积．24．已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出取最值时x 的值； （3）求不等式()2f x 的解集. 25．已知函数2()122cos f x x x =-+． (Ⅰ)求()f x 的最大值及取得最大值时的x 集合；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1,()0a f A ==,求b c +的取值范围参考答案1．D2．B3．B4．A5．D6．C7．B8．D9．A10．D11．C12．B 13．2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦14．7. 15．7 16．117．（1）()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 18．7 19．（1）43.（2）4π20．（1）212x y x -=-，⎛ ⎝⎭；（2）22x =-时，N M -的最大值是(10k =-． 21．(1)30米;(2) 当6n =时，张角CMD ∠最大，拍摄效果最佳. 22．（1）35，34；（2）5723．（Ⅰ）⎡⎣；（Ⅱ） ABC S =△. 24．（1）5,,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （2）12x π=时，()f x 取最大值3；4πx =-时，()f x 取得最小值0（3）,,124k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z25．（Ⅰ）4,|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）(]1,2.。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．为了得到函数()()5sin 212f x x π=-的图象，可以将函数()sin 2g x x =图象上所有的点（ ） A ．向右平移512π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度 C ．向右平移524π个单位长度 D ．向左平移524π个单位长度 2．下列图像中，符合函数sin 2()1cos xf x x=-的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()()πcos 2sin 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位长度后得到函数()y g x =的图像，则（ ）A ．()g x xB ．()g x x =C ．()π26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2g x x4．函数sin y x =-在[0,2]π上的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．要想得到正弦曲线，只需将余弦曲线（ ） A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移π个单位 D ．向左平移π个单位6．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（ ）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===7．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M 3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23和π4 B ．2和π3 C ．2和π2 D ．103和π28．已知函数()π()cos 002f x A x A ωϕωϕ=+>><（，，）的部分图象如图所示，若先将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象；再把()g x 图象上所有点向左平行移动2π3个单位长度，得到函数()h x 的图象，则当2π[π,]3x ∈-时，则函数()h x 的值域为（ ）A ．[-2，0]B ．[-1，0]C ．[0，1]D ．[0，2]9．已知函数()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 的图像关于直线π4x =对称10．将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．32B ．2C ．3D ． 11．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C A π=-，则ba的取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．D ．4)12．已知函数()4sin sin ,(0)33f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，将其图象沿x 轴向左平移(0)m m >个单位，所得图象关于直线3x π=对称，则实数m 的最小值为（ ）A ．6πB ．3π C ．34π D ．4π 13．已知函数3()2sin 242f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数52cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度14．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈()()cos f x A x B ωϕ=++的模型波动（()f x 的单位：千元，x 为月份，112x ≤≤且*x ∈N ）．已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则()f x 的解析式为（ ） A ．()ππ2sin 744f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()9si 44πn πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()πn 74f x x =+D ．()π2sin 744πf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭15．函数()sin cos f x x x =+的图象可以由函数()sin cos g x x x =-的图象（ ）A ．向右平移π4单位得到B ．向左平移π4单位得到C ．向右平移π2单位得到D ．向左平移π2单位得到16．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于()g x 的说法正确的是（ ） A ．图象关于直线3x π=-对称 B ．图象关于6x π=对称 C ．图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称17．将偶函数()()()2cos 2(0π)f x x x ϕϕϕ=+-+<<的图象向右平移π6个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调递减区间为（ ） A ．ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π7π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、解答题18．已知函数()()3sin 2f x x πϕϕ=+∈-，（，2π）函数关于4x π=对称.(1)求()f x ϕ的值及的解析式；(2)用五点法在下列直角坐标系中画出()f x 在744ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象；(3)写出()f x 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量x 的取值集合． 19．不画图，说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得出： （1）1π8sin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1πsin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.20．已知函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之(1)求()f x 的解析式；(2)若已知三点坐标1,0A ，1,12B f πα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭和()1,2C f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭．若//AB AC ，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin cos αα+的值．21．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4，且满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)求方程()102f x +=在区间[]22-,上所有解的和.22．已知函数1cos 2y x x =+，说明此函数是由sin y x =如何变换而来的. 23．已知函数()2sin f x x ω=，其中常数0>ω． (1)若函数()y f x =的最小正周期为2π，求ω的值；(2)若()y f x =是2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的严格增函数，求ω的取值范围；(3)当2ω=时，则将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[],(,?R,)a b a b a b ∈<且满足：()y g x =在[],a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[],a b中，求b a -的最小值．三、填空题24．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______．（填序号）①方程()()3π0,2f x g x x ⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为7π12；②不等式()()g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ k ∈Z③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称． 25．将函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与函数()f x 的图象重合，则ω的最小值为______.26．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个取值为_________．27．已知数列{}n a 满足()1111n n a n N a *+=-∈+，11a =.若从四个条件：①A =；②2ωπ=；③3πϕ=；④12B =中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{}n a 的通项n a 表示为sin()0,||2A n B πωϕωϕ⎛⎫++>< ⎪⎝⎭的形式，则n a =___________.四、多选题28．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+-（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=-，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称B ．函数()g x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将函数()1y f x =+的图象向左平移12π个单位长度可得到函数()g x 的图象 D ．函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦29．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图像向左平移6π个单位后，得到函数()g x 的图像，则下列结论中正确的是（ ）A ．()2sin 2g x x =B ．()g x 的图象关于点(,0)12π-中心对称C ．()g x 的图象关于3x π=-对称D ．()g x 在区间[,]66ππ-上单调递增参考答案与解析1．C【分析】由条件根据函数 y ＝A sin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【详解】因为()()()55sin 2sin 21224f x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦所以应将函数()sin 2g x x =的图象上所有的点向右平移524π个单位长度. 故选：C. 2．A【分析】根据函数的奇偶性及函数值验证选项即可得出答案. 【详解】由()sin 21cos x f x x =-知 ()()sin 21cos xf x f x x--==-- ()f x ∴是奇函数，选项B 错误；()sin 2101cos1f =>-， ()()()sin 2ππ01cos πf --==--所以选项C 和选项D 错误，选项A 正确. 故选：A. 3．A【分析】先将()f x )6x πω+，根据最小正周期求出ω，再根据正弦函数的图像平移得到答案.【详解】因为()ππcos 2sin 66f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，所以2ω=．将()π26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位长度后得到函数()ππ2266y g x x x⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像． 故选：A. 4．D【解析】利用五点法找到特殊点3(0,0),,1,(,0),1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由此判断选项即可【详解】根据五点法找出五个特殊点,分别为3(0,0),,1,(,0),1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,然后描点并用光滑的曲线连接 故选:D【点睛】本题考查正弦型函数的图像,考查五点法作图的应用 5．A【分析】由诱导公式及函数图象平移规则即得.【详解】因为cos sin()2y x x π==+所以将余弦曲线向右移2π个单位可得sin()sin 22y x x ππ=-+=．故选：A ． 6．D【分析】由图象求得()f x 的表达式，然后由图象变换得结论．【详解】设()()sin (0,0,)f x A x A ωαωαπ=+>><，由函数图象，知52,212122T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===.所以()()2sin 2f x x α=+. 又函数图象过点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πα⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭.所以532,62k k ππαπ+=+∈Z ，解得22,3k k παπ=+∈Z . 因为απ<，所以23πα=.所以()22sin 22sin233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以1,2,23m n πϕ===.故选：D. 7．C【分析】由f （x ）是偶函数及0≤φ≤π可得φπ2=.由图象关于点M 3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，结合ω＞1及余弦函数的图象与性质可求ω. 【详解】解：由f （x ）是偶函数 φ＝k ππ2+ k ∈Z ∵0≤φ≤π，∴当k ＝0时，则φπ2=. ∴f （x ）＝sin （ωx π2+）＝cos ωx ∵f （x ）图象上的点关于3π,04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称∴3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3πcos 04ω=，故3π4ω=k ππ2+ k ∈Z即()2213k ω=+ k ∈Z . ∵f （x ）在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，可得π12ππ22ωω≤⋅=，即ω≤2. 又∵()2213k ω=+ k ∈Z ω＞1∴当k ＝1时可得ω＝2． 故选：C ． 8．D【分析】由图可求出函数的周期πT =，从而可求出2ω=，由图可得2A =，然后将点13,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数中可求出ϕ的值，进而可求得函数解析式，根据三角函数图象变换规律求出()h x ，再由2ππ,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出3262πππx -≤+≤，再由余弦函数的性质可求得()h x 的值域. 【详解】由题意得313341234T πππ=-=，∴πT = 2π2T ω== 当13π12x =时，则ππ132212x k ωϕϕ+=⨯+= ()Z k ∈ ∴()132ππZ 6k k ϕ=-∈π2ϕ<，，令1k =可得π6ϕ=-又易知2A =，故()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由三角函数图象的变换可得1π1π()2cos(2)2cos()4626g x x x =⨯-=-所以()1212cos 2cos 23626πππh x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵2ππ3x -≤≤，∴3262πππx -≤+≤ ∴1π10cos 26x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故函数()g x 的值域为[]0,2.故选：D 9．C【分析】根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可．【详解】由()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对A 项()f x 的最小正周期为2π，故A 错；对B 项()f x ，故B 错；对C.项当3π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则有πππ442x -<-<，因为sin y x =在ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增所以()f x 在区间3π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；对D.项，当π4x =时，则有πππ0444f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =不是()f x 的对称轴，故D 错．故选：C 10．B【分析】先求出()g x ，又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数，则ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，即可求出ω最大值.【详解】函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数 所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤解得2ω≤，故ω的最大值为2.11．C【分析】根据题意可得2B A =，由锐角三角形可求出A 的范围，再由正弦定理及余弦函数的值域即可求解. 【详解】3C A =-π sin sin 22cos ,sin sin b B A A a A A∴=== 2(0,),2B A =∈π3(0,)2C A =-∈ππ(,)64A ∴∈ππcos A ∴∈ba∴∈. 故选：C 12．A【分析】由已知，先对函数()f x 进行化简，根据最小正周期为π，求解出ω，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线π3x =对称，建立等量关系即可求解出实数m 最小值.【详解】解：()ππ114sin sin 4sin sin 3322f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111cos 231cos 24sin 42cos 2124242x x x x x ωωωωω⎡⎤⎫-+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=⋅-⋅=--⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即()2cos21f x x ω=--，由其最小正周期为π，即22ππω=，解得1ω= 所以()2cos21f x x =--将其图象沿x 轴向左平移m （0m >）个单位，所得图象对应函数为()()2cos212cos 221y x m x m =-+-=-+- 其图象关于3x π=对称，所以2π2π,Z 3m k k +=∈，所以 ππ,Z 32k m k =-+∈ 由0m >，实数m 的最小值为π6.故选：A. 13．D【分析】根据()f x 是奇函数可求得4πϕ=-，利用诱导公式得52cos 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得【详解】因为()f x 是奇函数，所以3,Z 4k k πϕπ-=∈，即3,Z 4k k πϕπ=+∈ 因为2πϕ<，所以4πϕ=-，所以()()2sin 22sin 2f x x x π=-=-因为52cos 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可把函数52cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度.故选：D. 14．D【分析】先根据最值，求出,A B ，求出最小正周期，进而求出2ππ4T ω==，代入特殊点坐标求出π4ϕ=-，求出正确答案.【详解】解：由题意得95A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得27A B =⎧⎨=⎩，又最小正周期为()2738⨯-=所以2ππ4T ω==，所以()π2sin 74f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将()3,9代入，解得3π2sin 794ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则3ππ242πk ϕ+=+ Z k ∈π2π,Z 4k k ϕ=-+∈因为π2ϕ<，所以当0k =时，则π4ϕ=-符合题意 综上：()π2sin 744πf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：D 15．D【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图像变换的性质进行求解即可.【详解】因为()sin cos )4g x x x x π=--，()sin cos ))442f x x x x x πππ=+=+=-+所以函数()sin cos g x x x=-向左平移2π单位得到函数()sin cos f x x x =+的图像 故选：D 16．C【分析】根据三角函数图象的平移变换可得()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数对称轴、对称中心的定义与验证法依次判断选项即可.【详解】由题意得，()sin 2sin 2366g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴132g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭和13g π⎛⎫= ⎪⎝⎭故A ，B ，D 错误，又5012g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴()g x 图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称．故选：C ． 17．C【分析】根据辅助角公式，结合偶函数的性质求出ϕ值，再根据余弦函数图象的变换规律求出函数()g x 的解析式，最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】()()()π2cos 22sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫+-+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x 是偶函数，所以()()ππ2ππ623k k k k ϕπϕ-=+∈⇒=+∈Z Z 因为0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()2ππ2sin 22cos 236f x x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 因为函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到()y g x =的图象所以()ππ2cos 22cos 263y g x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()π2π22ππ3k x k k ≤-≤+∈Z 时，则函数()g x 单调递减 即当()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z 时，则函数()g x 单调递减 当0k =时，则函数()g x 在π2π63x ≤≤时单调递减. 故选：C 18．(1)4πϕ=()3sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)详见解析(3)单调递增区间是,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈最小值为3-，取得最小值的x 的集合52,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据函数的对称轴，列式,42k k Z ππϕπ+=+∈，求ϕ；（2）利用“五点法”列表，画图；（3）根据三角函数的性质，即可求解. (1)因为函数关于直线4x π=对称，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,4k k Z πϕπ=+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4πϕ=所以()3sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)首先根据“五点法”，列表如下：(3) 令22242k x k πππππ-≤+≤+解得32244k x k ππππ-≤≤+ k Z ∈ 所以函数的单调递增区间是,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈ 最小值为3-令3242x k πππ+=+，得524x k ππ=+ k Z ∈ 函数取得最小值的x 的集合52,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 19．（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】（1）根据先平移，再进行横坐标伸缩变换，最后进行纵坐标伸缩变换求解即可； （2）根据先平移，再进行横坐标伸缩变换，最后进行纵坐标伸缩变换求解即可； 【详解】解：（1）将正弦曲线sin y x =上的所有点向右平移8π个单位长度得到函数sin 8y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将它图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数1πsin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将它的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的8倍，横坐标不变得到函数1π8sin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.（2）将正弦曲线sin y x =上的所有点向左平移7π个单位长度得到函数sin 7y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将它图象上所有点的横坐标缩短为原来的13倍，纵坐标不变，得到函数πsin 37y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将它的图象上所有点的纵坐标缩小为原来的13倍，横坐标不变得到函数1πsin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.20．(1)()sin f x x =-【分析】（1）由题意设最高点为()1,1x ，相邻最低点为()2,1x -，则12||2Tx x -=，由三角函数的图象及已知可得222()22T+=，解得T ，利用周期公式可求ω，由(0)cos 0f ϕ==，结合范围0ϕπ<<，可求ϕ的值，即可得解()f x 的解析式．（2）由（1）利用诱导公式化简三点坐标，利用向量平行的坐标表示可得1cos sin 2αα=，进而利用三角函数恒等变换即可求解sin cos αα+的值． （1）解：设最高点为()1,1x ，相邻最低点为()2,1x -，则122T x x -=由三角函数的图象及已知，可得2242T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22444T π+=+，解得2T π=，由2T πω=，可得1ω=所以()cos()f x x ϕ=+因为函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为奇函数 所以(0)cos 0f ϕ==，得2k πϕπ=+Z k ∈又0ϕπ<<，所以2ϕπ=于是()cos()sin 2f x x x π=+=-（2）21．(1)()cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1-【分析】（1）由()f x 的最小正周期为4求得ω，由1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 的图象的对称中心，并结合02πϕ<<，求出ϕ的值及()f x 的解析式（2）由()102f x +=，得1cos 242x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得546x k =+或1146x k =-和k ∈Z ，再由[]2,2x ∈-，可求出x 的值，从而可求得它们的和. （1）因为()f x 的最小正周期为4，所以242ππω==.因为()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称所以1cos 022πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即()4k k πϕπ=+∈Z又02πϕ<<，所以4πϕ=.()f x 的解析式为()cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2） 由()11cos 02242f x x ππ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭ 得1cos 242x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以22243x k ππππ+=+或22243x k ππππ+=-k ∈Z 解得546x k =+或1146x k =- k ∈Z因为[]2,2x ∈-，所以方程的解集为115,66⎧⎫-⎨⎬⎩⎭所以所有解的和为511166-=-.22．sin y x =向左平移6π个单位【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，然后根据左右平移变换即可求出结果.【详解】因为1cos sin 26y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 根据三角函数的图象变换，将函数sin y x =向左平移6π个单位，即可得到sin()6y x π=+的图象.23．(1)1 (2)304ω<≤ (3)433π【分析】(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最小正周期为2πω；(2)依题意可得42232ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解之即可；(3)由条件根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得()g x 的解析式，令()0g x =，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，*]()m a m N π+∈恰有21m +个零点，所以在区间[a ，14]a π+是恰有29个零点，从而在区间(14a π+，]b 至少有一个零点，即可得到a ，b 满足的条件．进一步即可得出b a -的最小值．(1) 解：22ππω=，∴1ω＝(2)解：由0ω＞，根据题意有42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，，解得304ω≤＜(3)另一方面，在区间5[12π，514]312πππ++恰有30个零点因此b a -的最小值为431433πππ+=． 24．③【分析】根据图象分别确定,A T ，结合五点作图法可最终求得()f x 解析式，再根据三角函数平移变换求得()g x ；对于①，直接代入()f x ，()g x解析式，结合三角恒等变换化简方程为sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合x 范围求得方程的根即可；对于②，()()ππ2sin 2sin 2π33tan 2ππ32sin 2cos 263x x g x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-≥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ2π332k x k +≤-<+和k ∈Z ，解得ππ5ππ,32122k k x ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z 故②错误； 对于③，因为()7π7ππ4ππ2sin 22sin 22sin 2126633f x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()y f x =与()y g x =图象关于7π24x =对称，故③正确． 故答案为：③ 25．12【分析】由题意，利用图像平移变换法则得到π6为函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个周期，从而得到12kω=()*N k ∈，可得ω的最小值.【详解】将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后所得图象与()f x 的图象重合，故π6为函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个周期即2ππ6k ω=()*N k ∈，则12k ω=()*N k ∈，故当1k =时，则ω取得最小值12. 故答案为：12 26．4π 【分析】根据平移后的可得函数()cos(22)g x x ϕ=+，根据题意可得(0)0g =可得22k πϕπ=+，取一值即可得解.【详解】将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度 可得()cos(22)g x x ϕ=+，由函数()g x 的图象关于原点对称 可得(0)cos(2)0g ϕ== 所以22k πϕπ=+ 42k ππϕ=+当0k =时，则4πϕ=.故答案为：4π 27134n ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭或134n ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 【分析】由递推关系推出n a 的通项公式，发现n a 周期为2，求出w π=，则排除②，再根据，1a ，2a 的取值，求出14B =，排除④，分别讨论①和③作为条件时是否成立，得到最终的表达式. 所以数列{}n a 周期为2，即22T wπ==，解得w π=，则②不能作为条件，此时sin()n a A n B πϕ=++ 有sin()11sin(2)2A B A B πϕπϕ++=⎧⎪⎨++=-⎪⎩ 解得14B =，则④不能作为条件，此时1sin()4n a A n πϕ=++当①作为条件时，则1)4n a n πϕ=++，11)14a πϕ++=此时sin ϕ=3πϕ=-代入n a 成立，故①可作为条件，此时1)34n a n ππ=-+ 当③作为条件时，则1sin()34n a A n ππ=++，则11sin()134a A n ππ=++=，此时A =n a 成立，故③可作为条件，此时1)34n a n ππ=++. 故答案为：1)34n a n ππ=-+或1)34n a n ππ=++.【点睛】思路点睛：（1）本题在求出数列{}n a 的通项公式后，先根据周期性和特殊值确定ω和B 的值，排除部分选项，然后逐一讨论其他选项是否成立； （2）三角函数中解析式的确定，一般由周期确定ω，由特殊值确定ϕ，由最值确定A ，由对称中心确定B .28．ABD【分析】根据三角函数的图象求得,A ϕ的值，得出函数()f x ，进而求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】根据函数()y f x =的图象，可知2A =当0x =时，则满足()02f =-，则2cos 12ϕ-=-，即1cos 2ϕ=- 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，可得()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 对于A 中，当12x π=-时，则112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，可得函数()g x 的图象不关于直线12x π=-对称，所以A 项错误；对于B 中，当12x π=时，则12g π⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 的图象不关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以B 项错误； 对于C 中，因为()212cos 23y f x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232sin 232x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦52sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将其图象向左平移12π个单位，可得函数522sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，所以C 项正确； 对于D 中，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以223323,x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦-，所以当222,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，即[0,]12x π∈时，则()g x 单调递减，所以D 项错误．故选：ABD29．BCD 【分析】进行平移可得()2sin(2)6g x x π=+，根据三角函数的性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】2sin 2()2sin(2)666()x g x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦，故A 错误； 令12x π=-可得()2sin 0012g π-==，故B 正确； 令3x π=-可得()2sin()232g ππ-=-=-，故C 正确； [,]66x ππ∈-，所以2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦易知sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单增，所以()g x 在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单增，故D 正确.故选：BCD。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题附答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若sin 2cos θθ=，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．35B ．25C ．25-D ．352．若θ为ABC 的一个内角，且1sin cos 8θθ⋅=-，则sin cos θθ-=（ ）A ．BC ．D3．若函数()f x 是奇函数，当0x >时，则3()log f x x =，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-二、填空题4．已知sin 3cos αα=，则13sin cos 2cos 24ααα-=+___________.5．设直线2y x =的倾斜角为α，则cos2=α___________.6．函数1()sin 2()24g x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的值域为___________.7．已知1(0,),sin()cos(2)4θππθπθ∈-+-=，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______．三、解答题8．已知,αβ为锐角，tan 2,sin()ααβ=-=． (1)求cos2α的值； (2)求tan β的值．9．已知5cos 7cos 022ββα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，求tantan 22αβα-的值． 10．已知R θ∈，设函数()()()2cos sin cos f x x x x θθ=-++．(1)若f (x )是偶函数，求θ的取值集合；(2)若方程()()()0f x f x f +-=有实数解，求sin cos θθ+的取值范围． 11．已知7sin cos 13x x +=-(0πx << )，求cos 2sin x x - 的值.12．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin ,c A B c ==． (1)求A ；(2)设D 是AB 边上靠近A 的三等分点，CD ABC 的面积．13．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的一段图像过点(0,1)，如图所示.（1）求()f x 在区间2[,]32ππ--上的最值； （2）若12(),(0)21234f ππαα-=<<,求22cos sin 2()cos sin ααπαα-+-的值.14．已知π3π044βα<<<<，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和3π5sin 413⎛⎫+= ⎪⎝⎭β，求()sin αβ+的值. 15．求证：sin cos 11sin sin cos 1cos αααααα-++=+-16．已知()1sin 2αβ-=和()1sin 3αβ+=． (1)证明：tan 5tan 0αβ+=； (2)计算：()()2tan tan tan tan tan αβαβααβ--+⋅-的值．四、双空题17．已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=__________，2sin 2cos αα+=__________．参考答案与解析1．A【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可【详解】因为sin 2cos θθ=，显然cos 0θ≠，故tan 2θ= ()()2cos 1sin 2cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθ++=++()2222cos sin cos tan 1213sin cos tan 1215θθθθθθθ+++====+++故选：A 2．D【解析】先分析得到sin θcos θ0，再求2(sin cos )θθ-再开方即得解. 【详解】因为1sin cos 0,(0,)8θθθπ⋅=-<∈所以(,)2πθπ∈所以sin 0,cos 0,sin cos 0θθθθ><∴->. 215(sin cos )12sin cos 144θθθθ-=-=+= 所以5sin θcos θ2. 故选：D【点睛】结论点睛：看到sin cos ,sin cos θθθθ±，要联想到2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±解题. 3．A【分析】由奇函数性质知，要求13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，只需求13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值即可，将13 代入函数解析式求出113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以113f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【详解】解：因为()f x 为奇函数，所以1133f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0x >时，则3()log f x x =，所以13311log log 333l f -⎛⎫== ⎪⎝=-⎭所以11133f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：A. 4．124【分析】由sin 3cos αα=，求得tan α的值，再将原式化为齐次式，即可求得结果. 【详解】因为sin 3cos αα=，所以tan 3α=则()22213sin cos sin cos 3sin cos 2cos 2422cos 14αααααααα-+-=+-+222sin cos 3sin cos 4cos 2ααααα+-=+ 222222sin cos 3sin cos tan 13tan 91912sin 6cos 2tan 629624ααααααααα+-+-+-====++⨯+.故答案为:1245．35【分析】由斜率得tan 2α=，然后由余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系转化代入计算． 【详解】解：由题意可知22222222cos sin 1tan 3tan 2,cos2cos sin cos sin 1tan 5αααααααααα--==-===-++. 故答案为：356．12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由正弦的二倍角公式、两角和的正弦公式变形后，令sin cos t x x =+换元，化为t 的二次函数，求得t 的范围后，由二次函数性质得结论．【详解】()()sin cos coscos sin )sin cos sin cos 44g x x x x x x x x x ππ=+=-+；令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则22111(1)1.222t y t t -⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7【分析】由诱导公式化简得1sin cos 4θθ+=，平方后计算得15sin cos 32θθ=-，从而计算出cos sin θθ-=再由诱导公式以及余弦的二倍角公式代入求解得答案. 【详解】1sin()cos(2)sin cos 4πθπθθθ-+-=+=，则()2115sin cos 12sin cos sin cos 3216θθθθθθ+=+=⇒=-所以()231cos sin 12sin cos 16θθθθ-=-=，因为(0,)θπ∈，所以cos 0,sin 0θθ<>，cos sin θθ-=则()()()2231sin 2cos 2cos sin cos sin cos sin 24πθθθθθθθθ⎛⎫+=-=--=--+= ⎪⎝⎭8．(1)35； (2)1.【分析】（1）由二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式法计算作答. （2）由同角公式求出tan()αβ-，再利用差角的正切公式计算作答. (1)因tan 2α=，所以22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++. (2)因,αβ为锐角，则22ππαβ-<-<，而sin()αβ-=cos()αβ-==于是得1tan()3αβ-=，所以12tan tan()3tan tan[()]111tan tan()123ααββααβααβ---=--===+-+⨯. 9．tantan622αβα-=-【分析】将原式转化为5cos 7cos 02222αβααβα--⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据两角和差的余弦公式化简，结合同角三角函数的关系求解即可.【详解】由5cos 7cos 022ββα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得5cos 7cos 02222αβααβα--⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开得5cos cos sin sin 7cos cos sin sin 022222222αβααβααβααβα----⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即12cos cos 2sinsin02222αβααβα--+=，两边同除以coscos22αβα-得122tantan022αβα-+=解得tantan622αβα-=-．10．(1)|=,Z 24k k ππθθ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭；(2)[.【分析】(1)用二倍角的正弦公式变形函数式，再利用偶函数的定义结合和差角的正弦化简即可求解作答. (2)由(1)及已知，利用三角恒等变换公式化简变形，求出sin 2θ的范围，再把sin cos θθ+用sin 2θ表示出求解作答. (1)因函数21()cos sin(22)2f x x x θ=-+是偶函数，即R x ∀∈，()()f x f x =-成立则2211cos sin(22)cos sin(22)22x x x x θθ--+=-+，化简整理得：sin 2cos20x θ=而sin 2x 不恒为0，于是得cos20θ=，解得2,Z 2k k πθπ=-∈，即=,Z 24k k ππθ-∈ 所以θ的取值集合{|=,Z}24k k ππθθ-∈ (2)由(1)及已知得：22111cos sin(22)cos sin(22)1sin 2222x x x x θθθ-++--+=-即212cos cos 2sin 21sin 22x x θθ-=-，化简整理得：2(sin 21)cos 2sin 2x θθ-=显然sin 21θ≠，则sin 2cos 22(sin 21)x θθ=- 依题意，原方程有实数解等价于sin 2112(sin 21)θθ-≤≤-，解得21sin 23θ-≤≤25)1sin 2[0,]3(sin cos θθθ+=+∈，解得sin cos θθ≤+≤所以sin cos θθ+的取值范围是[. 11．2213-【分析】将7sin cos 13x x +=-两边平方可得1202sin cos 169x x =-，判断x 的范围，并求出17sin cos 13x x -=，进而可求得5sin 13x =12cos 13x =- ，即可求得答案.【详解】∵7sin cos 13x x +=-(0πx <<) ∴cos 0sin 0x x <>， ，即sin cos 0x x -> 把7sin cos 13x x +=-两边平方得4912sin cos 169x x =＋ 即1202sin cos 169x x =-∴2289sin cos 12sin cos 169()x x x x --== 即17sin cos 13x x -=联立7sin cos ,1317sin cos ,13x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得5sin 13x =12cos 13x =-∴22cos 2sin 13x x -=- . 12．(1)π4A =； (2)92.【分析】（1）根据给定条件，再利用正弦定理边化角，借助同角公式计算作答.（2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形面积公式计算作答. （1）在ABC 中，由cos sin ,c A B c ==得：cos sin b A a B =，由正弦定理得sin cos sin sin B A A B = 而0πB <<，即sin 0B >，则tan 1B =，又0πA << 所以π4A =. （2）依题意，13AD AB ==，在ACD △中，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅即222255299b b b b =+-=，解得3b =所以ABC 的面积21π9sin sin 242ABCSbc A ===.13．(1)最小值-1，最大值1 (2)【分析】(1) 由三角函数的图象和性质求出函数解析式，根据2[,]32x ππ∈--结合正弦函数图象和性质求其值域即可 (2) 由12(),(0)21234f ππαα-=<<可求1sin 3α=利用同角三角函数关系及诱导公式即可求值.【详解】（1）由题图知，,T π=于是22Tπω== 将sin 2y A x =的图像向左平移12π个单位长度，得到sin(2)y A x φ=+的图像. 因为||2πφ<，所以2126ππφ=⨯=，将(0,1)代入sin(2)6y A x π=+，得2A = 故()2sin(2)6f x x π=+.因为232x ππ-≤≤-，所以752666x πππ-≤+≤- 所以11sin(2),262x π-≤+≤所以1()1f x -≤≤即min max ()1,()1f x f x =-=.（2）因为()2sin(2),6f x x π=+且12(),2123f πα-=所以22sin 3α=，即1sin 3α=.又因为04πα<<，所以cos α==所以222cos sin 2()2cos sin 22cos cos sin cos sin ααπααααααα-+-===--【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的图象及性质，三角函数值域的求法，同角三角函数的关系及诱导公式，属于中档题． 14．5665【分析】由于()3442πππβααβ⎛⎫⎛⎫+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则先利用两角和的余弦公式进行求解，接着再利用诱导公式即可得到答案 【详解】解：∵04πβ<<3344ππβπ∴<+<∵35sin 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴312cos 413βπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭ ∵344ππα<<，∴344ππα-<-<- ∴024ππα-<-<∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴4sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴333cos cos cos sin sin 444444ππππππβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦123545613513565⎛⎫=-⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭ ∵()()3cos cos sin 442πππβααβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+--=++=-+⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ∴()56sin 65αβ+=. 15．证明见解析【分析】从左边开始，将式子变形为(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)αααααααα-++++-++，进而将式子化简，结合同角三角函数的平方关系进行变形，最后证得答案. 【详解】左边(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)αααααααα-+++=+-++222(sin 1)cos (sin cos )1αααα+-=+- ()()2222sin 2sin 11sin sin cos 2sin cos 1ααααααα++--=++-22sin 2sin 12sin cos 1αααα+=+- 2sin (sin 1)1sin 2sin cos cos αααααα++===右边所以原等式成立. 16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）由已知可得()()2sin 3sin αβαβ-=+，然后利用两角和与差的正弦公式化简后，整理，再根据同角三角函数的关系化为正切即可得结论，或对已知式子利用两角和与差的正弦公式展开，可求出5sin cos 12αβ=，1cos sin 12αβ=-两式相除可得结论（2）结合两角差的正切公式的变形公式化简，再将（1）中的结论代入可求得结果 （1） 方法一：由条件()1sin 2αβ-=()1sin 3αβ+= 则()()2sin 3sin αβαβ-=+即2sin cos 2cos sin 3sin cos 3cos sin αβαβαβαβ-=+ 整理得sin cos 5cos sin αβαβ=-也即tan 5tan αβ=-，tan 5tan 0αβ+=得证． 方法二：由条件()1sin 2αβ-=()1sin 3αβ+= 即1sin cos cos sin 2αβαβ-= 1sin cos cos sin 3αβαβ+= 得5sin cos 12αβ=1cos sin 12αβ=-从而可得tan 5tan αβ=- tan 5tan 0αβ+=得证．（2）由于()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ⇒-=-+所以原式()()2tan tan tan tan tan αβαβααβ--+=-()()()()2tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβααβ---+=-()()2tan tan tan tan 1tan tan tan 5αβαββααβα--⋅==-=- 17．13 32【分析】首先根据两角和的正切公式求解1tan 3α=，接着利用三角恒等变换将2sin 2cos αα+转化成22tan 1tan 1αα++，代入计算即可.【详解】因为tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以1tan 21tan αα+=- 解得1tan 3α=；又2222222sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin cos ααααααααααα+++==++ 分子分母同除以cos α得2221212tan 133sin 2cos 1tan 12()13αααα⨯+++===++. 故答案为：13 32【点睛】熟练应用三角恒等变换公式及变换技巧，是三角恒等变换中必须要掌握的本领.。
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必修一 第五章 三角函数 单元训练题 (18)一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1. 已知角α的终边过点P(−4,3)，则2sinαcosα的值是( )A. 2425B. −2425C. 2325D. −23252. 将函数f(x)=cos(3x +π6)的图象向左平移π2个单位长度，得到的图象的函数解析式为( )A. y =−sin(3x +π6) B. y =cos(3x +π2) C. y =−cos(3x +π6)D. y =sin(3x +π6)3. 下列各角中，与60°终边相同的角为( )A. 30°B. 120°C. 420°D. 300°4. 已知sinα=√33，α是第二象限角，则cosα=( )A. √33B. √63C. −√33D. −√635. 为了得到函数y =3sin(x +π5)的图象，只需把y =3sin(x −π5)的图象上所有的点( )A. 向右平移π5个单位长度 B. 向左平移π5个单位长度 C. 向右平移2π5个单位长度D. 向左平移2π5个单位长度6. 计算6sin(−90°)+3sin0°−8sin270°+12cos180°的值为( )A. −10B. −2C. 2D. 26 7. 已知tanα=13，则cos(2α+π2)=( )A. 35B. −35C. 45D. −458. 已知f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x =5π24对称，把f(x)的图象向左平移π4个单位后所得的图象关于点(π12,0)对称，则ω的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 69. 已知f(x)=sin(2x −φ)(0<φ<π2)在[0,π3]上是增函数，且f(x)在(0,7π8)有最小值，则φ的取值范围是( )A. [π6,π2)B. [π6,π4)C. [π3,π2)D. [π4,π3)10. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，若存在0≤x 1<x 2≤π，满足f(x 1)=f(x 2)=34，则cos(x 1−x 2)=( )A. −√74B. √74C. 34D. −3411.已知α∈(0,π2)，tanα=√2cosα，则sinα=()A. √33B. √63C. √22D. √32二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）12.已知f(x)=2cosx(sinx+cosx)，若对任意x∈[0,π2]不等式m−2≤f(x)≤m+√2恒成立，则实数m的取值范围是______．13.若点P(cosα,sinα)在直线y=2x上，则cos(2α+π2)的值等于______．14.已知函数y=√32sinπx+12cosπx在x∈[23,t](t>23)时的最小值为m，最大值为M，若2M+m=0，则(m+M)t的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知f(x)=2sin(2x−π4).(Ⅰ)填写如表并用五点法画出f(x)在[π8,9π8]上简图；x2x−π4y=2sin(2x−π4 ).16.在平面直角坐标系内有两点M(2cos2ωx+φ2, 1)，N(1, √3sin(ωx+φ)−1)，其中ω>0，0<φ<π2，设函数f(x)=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O为坐标原点，若f(x)的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为(π3, 0)，设g(x)=af(x)(a≠0)．(Ⅰ)求ω和φ的值；(Ⅱ)求g(x)的单调递增区间；(Ⅲ)当a>0时，方程g(x)=k在[0,a]上有解，求k的取值范围．17.已知函数f(x)=cosx(2sinx+√3cosx)−√3sin2x．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)若当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．18.已知a⃗=(sin2α,3)，b⃗ =(4,cos2α)，π4<α<π2，−π2<β<0，且a⃗⊥b⃗ ．(1)求cos2α的值；(2)若cosβ=2√55，求cos(α−β)的值．19.已知函数f(x)=2cosxcos(x−π6)−√3sin2x+sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程[g(x)]2−(2+a)g(x)+2a=0在[−3π4,π4]上恰有2个根，求a的取值范围．20.已知sinα=13，tanα<0．(Ⅰ)求sin2α的值；(Ⅱ)在平面直角坐标系中，若α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，将角α的终边绕原点顺时针旋转π4后与单位圆交于点Q，求点Q的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：角α的终边过点P(−4,3)， ∴r =OP =5，利用三角函数的定义，求得sinα=35，cosα=−45， 所以2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；故选：B ．根据角α的终边过点P(−4,3)，得到点P 到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求出sinα，cosα的值即可求解结论．本题考查任意角的三角函数的定义，本题解题的关键是求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义，本题是一个基础题． 2.答案：D解析：解：将函数f(x)=cos(3x +π6)的图象向左平移π2个单位长度， 得到的图象的函数解析式为y =cos(3x +3π2+π6)=sin(3x +π6)，故选：D ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，诱导公式，属于基础题． 3.答案：C解析：解：与60°终边相同的角一定可以写成k ×360°+60°的形式，k ∈z ， 令k =1可得，420°与60°终边相同， 故选：C ．与60°终边相同的角一定可以写成k ×360°+60°的形式，k ∈z ，检验各个选项中的角是否满足此条件．本题考查终边相同的角的特征，凡是与α终边相同的角，一定能写成k ×360°+α，k ∈z 的形式． 4.答案：D解析：解：∵sinα=√33，α是第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−(√33)=−√63． 故选：D ．由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 5.答案：D解析：解：只需把y=3sin(x−π5)的图象上所有的点向左平移2π5个单位长度，即可得到函数y=3sin(x+π5)的图象，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为6sin(−90°)+3sin0°−8sin270°+12cos180°=−6+0−8(−1)+12(−1)=−10．故选：A．利用6sin(−90°)=−sin90°=−1，sin0°=0，sin270°=−1，cos180°=−1，化简求值．本题考查运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，注意三角函数值的符号．7.答案：B解析：解：∵tanα=13，∴cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosα=−2sinαcosαsin2α+cos2α=−2tanα1+tan2α=−2×131+(13)2=−35．故选：B．由已知利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：C解析：解：∵已知f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x=5π24对称，把f(x)的图象向左平移π4个单位后所得的图象关于点(π12,0)对称，而π12+π4=π3，可得f(x)的图象既关于直线x=5π24对称，又关于点(π3,0)对称，∴2k+14⋅2πω=(π3−5π24)，∴ω=8k+4，k∈Z，则ω的最小值为4，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．9.答案：B解析：解：由x∈[0,π3]，可得2x−φ∈[−φ,2π3−φ]，结合0<φ<π2，由f(x)在[0,π3]上是增函数，可得2π3−φ≤π2，所以π6≤φ<π2 ①． 当x ∈(0,7π8)时，2x −φ∈(−φ,7π4−φ)，由f(x)在(0,7π8)有最小值，可得7π4−φ>3π2，即φ<π4 ②， 结合①②可得，π6≤φ<π4，故选：B ．由题意利用正弦函数的最值、定义域和值域，求得φ的取值范围． 本题主要考查正弦函数的最值、定义域和值域，属于中档题． 10.答案：C解析：解：由图象知函数的周期T =2×(13π12−7π12)=2×6π12=π，即2πω=π，得ω=2， f(7π12+13π122)=f(10π12)=sin(2×10π12+φ)=−1，即5π3+φ=2kπ+3π2，即φ=2kπ−π6，k ∈Z ， 当k =0时，φ=−π6， 即f(x)=sin(2x −π6)，∵存在0≤x 1<x 2≤π，满足f(x 1)=f(x 2)=34， ∴−π6≤2x 1−π6≤11π6，则θ1=2x 1−π6，θ2=2x 2−π6关于π2对称，即2x 1−π6+2x 2−π62=π2，得x 2=2π3−x 1，且sin(2x 1−π6)=34 则cos(x 1−x 2)=cos(2x 1−2π3)，设2x 1−π6=α，则2x 1=π6+α，即sinα=34 则cos(x 1−x 2)=cos(2x 1−2π3)=cos(π6+α−2π3)=cos(α−π2)=sinα=34 故选：C ．根据图象求出函数解析式，结合对称性求出x 2=2π3−x 1，然后利用三角函数的诱导关系进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导关系进行转化是解决本题的关键．有一定的难度．11.答案：C解析：解：∵α∈(0,π2)，tanα=√2cosα，∴sinαcosα=√2cosα，即cos2α=2又∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α√2=1，即√2sin2α+sinα−√2=0，解得sinα=√22，负值舍去．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2α=√2sin2α+cos2α=1，可得解sinα的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．12.答案：[1,2]解析：解：f(x)=2cosx(sinx+cosx)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1，当x∈[0,π2]时，2x+π4∈[π4,5π4]，sin(2x+π4)∈[−√22,1]，即有f(x)的最大值为f(π8)=1+√2，f(x)的最小值为f(π2)=0，由对任意x∈[0,π2]不等式m−2≤f(x)≤m+√2恒成立，可得m−2≤0，且m+√2≥1+√2，解得1≤m≤2，即m的取值范围是[1,2]．故答案为：[1,2]．由二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式，化简f(x)=√2sin(2x+π4)+1，再由x∈[0,π2]时，运用正弦函数的图象和性质可得f(x)的最值，再由不等式恒成立思想，解m的不等式可得所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查三角函数的恒等变换和三角函数的图象和性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．13.答案：−45解析：解：∵点P(cosα,sinα)在直线y=2x上，∴sinα=2cosα，又sin2α+cos2α=1，解得：cos2α=15；∴cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosα=−4cos2α=−45．故答案为：−45．根据点P 在直线上，得到sinα和cosα之间的关系，利用同角三角函数基本关系式公式和诱导公式化简得出答案．本题考查了诱导公式的应用，同角三角函数的关系，属于基础题．14.答案：[−1,−23]解析：解：y =√32sinπx +12cosπx =sin(πx +π6)∵x ∈[23,t]，∴πx +π6∈[56π,πt +π6]，∵当x =23时，y =12，∴M ≥12或−1≤m <12，即−1≤−2M <12，∴−14<M ≤12， ∴M =12，m =−1．由正弦函数的图象可知，πt +π6∈[32π,136π]，解得t ∈[43,2]．∴(m +M)t =(−1+12)t ∈[−1,−23].故答案为：[−1,−23].先根据辅助角公式将函数y 化简为y =sin(πx +π6)，从而得πx +π6∈[56π,πt +π6]，当x =23时，y =12，由此可推出M ≥12或−1≤m <12，进而得到M =12，m =−1.再结合正弦函数的图象可知，πt +π6∈[32π,136π]，解之得t 的取值范围，故而得解．本题考查三角函数与三角恒等变换的综合应用，涉及辅助角公式、正弦函数的图象与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．作在x ∈[π8,9π8]上的图如右所示：(Ⅱ)法一：①向右平移π4个单位，②所得各点的横坐标缩短到原来的12，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍．法二：①各点的横坐标缩短到原来的12，②向右平移π8个单位，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍．解析：(Ⅰ)由函数解析式，结合T =2πω可得y =f(x)的周期，结合正弦函数的图象和性质可画出[π8,9π8]上的简图，(Ⅱ)法一：①向右平移π4个单位，②所得各点的横坐标缩短到原来的12，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍．法二：①各点的横坐标缩短到原来的12，②向右平移π8个单位，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍．本题考查的知识点是五点法作图，正弦型函数的图象变换，难度不大，属于基础题． 16.答案：解：(Ⅰ)f(x)=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2cos 2ωx+φ2+√3sin(ωx +φ)−1=√3sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)=2sin(ωx +φ+π6)， ∵f(x)的图象相邻两最高点的距离为π，∴2πω=π，即ω=2．又f(x)图象的一个对称中心为(π3,0)，故2sin(2π3+φ+π6)=0， ∴2π3+φ+π6=kπ，∴φ=kπ−5π6，k ∈Z ，又0<φ<π2，故φ=π6． (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x +π3)，∴g(x)=2asin(2x +π3)，当a >0时，令−π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ，解得：−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ， ∴f(x)的单调增区间为：[−5π12+kπ,π12+kπ]，k ∈Z ． 当a <0时，令π2+2kπ≤2x +π3≤3π2+2kπ，解得：π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，∴f(x)的单调增区间为：[π12+kπ≤x≤7π12+kπ]，k∈Z．(Ⅲ)由(Ⅱ)知g(x)=2asin(2x+π3)，x∈[0,a]．∴当0<a≤π12时，g(x)在[0,a]上单调递增，故g(x)min=g(0)=√3a，g(x)max=g(a)=2asin(2a+π3)，当π12<a≤π6时，g(x)在[0,π12]上单调递增，在[π12,a]上单调递减，且a−π12<π12，故g(x)min=g(0)=√3a，g(x)max=g(π12)=2a，当π6<a≤7π12时，g(x)在[0,π12]上单调递增，在[π12,a]上单调递减，且a−π12>π12，g(x)min=g(a)=2asin(2a+π3)，g(x)max=g(π12)=2a，当a>7π12时，g(x)在[0,π12]上单调递增，在[π12,7π12]上单调递减，且在x=7π12时取得最小值，故g(x)min=g(7π12)=−2a，g(x)max=g(π12)=2a，要使方程g(x)=k在[0,a]上有解，则有当0<a≤π12时，√3a≤k≤2asin(2a+π3)；当π12<a≤π6时，√3a≤k≤2a；当π6<a≤7π12时，2asin(2a+π3)≤k≤2a；当a>7π12时，−2a≤k≤2a．解析：(I)化简f(x)的解析式，根据周期和对称中心得出ω和φ的值；(II)讨论a的符号，根据正弦函数得单调区间列不等式组得出g(x)的单调增区间；(III)讨论a的范围，判断g(x)在[0,a]上的单调性，从而求出g(x)的最值，得出k得范围．本题考查了三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=2sinxcosx+√3cos2x−√3sin2x=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以函数f(x)的最小正周期T=π，因为函数y=sinx的的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2],k∈Z，所以2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间是[kπ+π12,kπ+7π12],(k∈Z)．(Ⅱ)由题意可知，不等式f(x)≥m 有解，即m ≤f(x)max ． 由(Ⅰ)可知f(x)=2sin(2x +π3)，当x ∈[0,π2]时，2x +π3∈[π3,4π3]，故当2x +π3=π2，即x =π12时，f(x)取得最大值，最大值为2．所以m ≤2.故实数m 的取值范围是(−∞,2]．解析：(Ⅰ)先将函数f(x)进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)转化为m ≤f(x)max .结合变量的范围求出其最大值即可求解结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角化简公式将函数化简是解决本题的关键．18.答案：解：(1)因为a ⃗ ⊥b ⃗ ，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =0，所以{4sin2α+3cos2α=0sin 22α+cos 22α=1，解得cos 22α=1625， 因为π4<α<π2，所以π2<2α<π，所以cos2α=−45． (2)由(1)知，cos2α=−45=2cos 2α−1，因为π4<α<π2，所以cosα=√1010，sinα=√1−cos 2α=3√1010；因为cosβ=2√55，−π2<β<0，所以sinβ=−√1−cos 2β=−√55，所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=√1010×2√55−3√1010×√55=−√210．解析：(1)根据平面向量数量积的坐标运算可得4sin2α+3cos2α=0，再结合同角三角函数的平方关系和α的取值范围即可得解；(2)运用余弦的二倍角公式以及α的取值范围可求得cosα和sinα，利用同角三角函数的平方关系和β的取值范围可求得sinβ，最后根据余弦的两角差公式对cos(α−β)进行展开，代入数据运算即可． 本题主要考查三角函数与三角恒等变换的综合应用，涉及同角三角函数的平方关系、余弦的二倍角公式和两角差公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.答案：解：(Ⅰ)f(x)=2cosxcos(x −π6)−√3sin 2x +sinxcosx=√3cos 2x +sinxcosx −√3sin 2x +sinxcosx =√3cos2x +sin2x =2sin(2x +π3)，所以，f(x)的最小正周期为T =2π2=π．令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12(k ∈Z)． 所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k ∈Z)． (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x +π3)，将函数y =f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y =2sin(x +π3)的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，所以g(x)=2sin(x+π3+π4)=2sin(x+7π12)．由[g(x)]2−(2+a)g(x)+2a=0，得g(x)=2，或g(x)=a．当x∈[−3π4,π4]时，x+7π12∈[−π6,5π6]．当且仅当x+7π12=π2，即x=−π12时，g(x)=2．由题意，g(x)=a仅有一个根，因为2sin(−π6)=−1，2sin5π6=1，所以，a的取值范围是[−1,1)．解析：(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，得出结论．(Ⅱ)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再结合三角函数的图象与性质，求得a的范围．本题考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和单调性，定义域和值域，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象与性质，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)∵tanα<0，且sinα=13，∴cosα=−√1−sin2α=−2√23，∴sin2α=2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29．(Ⅱ)由三角函数的定义可知，终边旋转后得到的角为α−π4．∵cos(α−π4)=cosαcosπ4+sinαsinπ4=−2√23×√22+13×√22=√2−46，sin(α−π4)=sinαcosπ4−cosαsinπ4=13×√22+2√23×√22=√2+46，∴点Q的坐标为(√2−46,√2+46)．解析：(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin2α的值．(Ⅱ)由题意利用任意角三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得点Q的坐标．本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，属于基础题．。