河南省顶级名校2019届高三上学期10月月考数学试卷(文科)Word版含解析

河南省顶级名校2019届高三上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A={x|y=}，A ∩B=∅，则集合B 不可能是（ ）A ．{x|4x ＜2x+1}B ．{（x ，y ）|y=x ﹣1}C ．{y=x ﹣1}D ．{y|y=log 2（﹣x 2+2x+1）}2．i 是虚数单位，若=a+bi （a ，b ∈R ），则log 2（a ﹣b ）的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．0D ．3．曲线和直线在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于 （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A ．B ．C ．D ．5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．f （x ）=x 2B ．f （x ）=C ．f （x ）=e xD ．f（x ）=sinx6．已知函数f （x ）=ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线l 与直线8x ﹣y+2=0平行，若数列{}的前n 项和为S n ，则S 2015的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数f （x ）=x 2﹣2cosx ，对于上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②； ③|x 1|＞x 2； ④x 1＞|x 2|，其中能使恒成立的条件个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知O 为坐标原点，双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0）（c ＞0），以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于A ，B ，O 三点，且（+）=0，若关于x 的方程ax 2+bx ﹣c=0的两个实数根分别为x 1和x 2，则以|x 1|，|x 2|，2为边长的三角形的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形9．设F 1、F 2是双曲线x 2﹣=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P ，使（+）•=0（ O 为坐标原点）且且|PF 1|=λ|PF 2|，则λ的值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．10．已知函数在其定义域内的一个子区间（a ﹣1，a+1）内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M ，N是圆x 2+y 2=1的一条直径的两端点，则的最小值为（ ）A ．4B ．C ．D ．712．已知定义在[1，+∞）上的函数，当x ∈[2n ﹣1，2n ]（n ∈N *）时，函数f （x ）的图象与x 轴围成的图象面积为S n ，则S 1+S 2+…+S n =（ ） A ．2n B ．2n C ．2n+1﹣2 D ．n 2+n二、填空题（每题5分，共20分）13．若数列{a n }是正项数列，且++…+=n 2+3n （n ∈N *），则++…+= ．14．已知P 、A 、B 、C 是球O 球面上的四点，△ABC 是正三角形，三棱锥P ﹣ABC 的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O 的表面积为 ． 15．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与圆（x ﹣3）2+y 2=9相交于A ，B 两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为 ． 16．给出下列命题：①函数f （x ）=x 3+ax 2+ax ﹣a 既有极大值又有极小值，则a ＜0或a ＞3； ②若f （x ）=（x 2﹣8）e x ，则f （x ）的单调递减区间为（﹣4，2）；③过点A （a ，a ）可作圆x 2+y 2﹣2ax+a 2+2a ﹣3=0的两条切线，则实数a 的取值范围为a ＜﹣3或a ＞1；④双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为e 1，双曲线=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的最小值为2．其中为真命题的序号是 ．三、解答题（题型注释）17．已知函数f （x ）=2sinx •cosx+2cos 2x ﹣（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足f （﹣）=，且sinB+sinC=，求bc 的值．18．已知数列{an }是递增的等比数列，满足a1=4，且的等差中项，数列{bn}满足b n+1=bn+1，其前n项和为sn，且S2+S6=a4（1）求数列{an }，{bn}的通项公式（2）数列{an }的前n项和为Tn，若不等式nlog2（Tn+4）﹣λbn+7≥3n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．20．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）证明：AC⊥PB；（2）证明：PB∥平面AEC；（3）求二面角E﹣AC﹣B的大小．21．已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．河南省顶级名校2019届高三上学期10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A={x|y=}，A ∩B=∅，则集合B 不可能是（ ）A ．{x|4x ＜2x+1}B ．{（x ，y ）|y=x ﹣1}C ．{y=x ﹣1}D ．{y|y=log 2（﹣x 2+2x+1）}【考点】交集及其运算．【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，分别求出选项中集合B ，根据A ∩B=∅，作出判断即可．【解答】解：由A 中y=，得到x ﹣1≥0，解得：x ≥1，即A={x|x ≥1}，A 、由集合中不等式变形得：22x =4x ＜2x+1，即2x ＜x+1， 解得：x ＜1，即B={x|x ＜1}，满足A ∩B=∅；B 、B={（x ，y ）|y=x ﹣1}，满足A ∩B=∅；C 、B={y=x ﹣1}，满足A ∩B=∅；D 、由y=log 2（﹣x 2+2x+1）=log 2[﹣（x ﹣1）2+2]≤1，即B={y|y ≤1}， 此时A ∩B={1}，A ∩B ≠∅， 故选：D ．2．i 是虚数单位，若=a+bi （a ，b ∈R ），则log 2（a ﹣b ）的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．0D ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数方程化简，利用复数相等的定义，求解方程组，可解得a ﹣b 的值，再根据对数的性质即可求出．【解答】解：因为，所以由复数相等的定义可知，所以log 2（a ﹣b ）=log 22=1．故选：B3．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（）A．πB．2π C．3π D．4π【考点】二倍角的正弦；诱导公式的作用；余弦函数的对称性．【分析】本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将=sin2x+1令y=，解得x=k（k∈N），代入易得|P2P 4 |的值．【解答】解：∵=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=sin2x+1若=则2x=2kπ+（k∈N）x=k（k∈N）故|P2P4|=π故选：A4．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B． C．D．【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（图中红色部分），它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高为4．设其外接球的球心O必在高线EF上，利用外接球的半径建立方程，据此方程可求出答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥（图中红色部分），它是一个正四棱锥的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高EF=4．设其外接球的球心为O，O点必在高线EF上，外接球半径为R，则在直角三角形AOF中，AO2=OF2+AF2=（EF﹣EO）2+AF2，即R2=（4﹣R）2+（2）2，解得：R=故选C．5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A ．f （x ）=x 2B ．f （x ）=C ．f （x ）=e xD ．f （x ）=sinx 【考点】选择结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f （x ）+f （﹣x ）=0，即函数f （x ）为奇函数②f （x ）存在零点，即函数图象与x 轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案． 【解答】解：∵A ：f （x ）=x 2、C ：f （x ）=e x ，不是奇函数，故不满足条件①又∵B ：f （x ）=的函数图象与x 轴没有交点，故不满足条件② 而D ：f （x ）=sinx 既是奇函数，而且函数图象与x 也有交点， 故D ：f （x ）=sinx 符合输出的条件 故选D ．6．已知函数f （x ）=ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线l 与直线8x ﹣y+2=0平行，若数列{}的前n 项和为S n ，则S 2015的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】函数f （x ）=ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线l 与直线8x ﹣y+2=0平行，可得f ′（x ）|x=1=（2ax ）|x=1=2a=8，解得a ．可得f （x ）=4x 2﹣1，==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵函数f （x ）=ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线l 与直线8x ﹣y+2=0平行，∴f ′（x ）|x=1=（2ax ）|x=1=2a=8， 解得a=4． ∴f （x ）=4x 2﹣1， f （n ）=4n 2﹣1．∴==．∴数列{}的前n 项和为S n =+…+==．则S 2015=．故选：C ．7．已知函数f （x ）=x 2﹣2cosx ，对于上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②； ③|x 1|＞x 2； ④x 1＞|x 2|，其中能使恒成立的条件个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【考点】函数的值．【分析】利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论． 【解答】解：∵f （x ）=x 2﹣2cosx ，∴f ′（x ）=2x+2sinx ，∴当x=0时，f ′（0）=0；当x ∈[﹣，0）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在此区间上单调递减；当x ∈（0，]时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在此区间上单调递增．∴函数f （x ）在x=0时取得最小值，f （0）=0﹣1=﹣1．∵x ∈[﹣，]，都有f （﹣x ）=f （x ），∴f （x ）是偶函数．根据以上结论可得：①当x 1＞x 2时，则f （x 1）＞f （x 2）不成立；②当x 12＞x 22时，得|x 1|＞|x 2|，则f （|x 1|）＞f （|x 2|），f （x 1）＞f （x 2）恒成立；③当|x 1|＞x 2时，由函数f （x ）=x 2﹣2cosx 是偶函数，知f （x 1）=f （|x 1|）＞f （x 2）不恒成立；④x 1＞|x 2|时，则f （x 1）＞f （|x 2|）=f （x 2）恒成立． 综上可知：能使f （x 1）＞f （x 2）恒成立的有②④． 故选：B ．8．已知O 为坐标原点，双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0）（c ＞0），以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于A ，B ，O 三点，且（+）=0，若关于x 的方程ax 2+bx ﹣c=0的两个实数根分别为x 1和x 2，则以|x 1|，|x 2|，2为边长的三角形的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形 【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF 为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a ，方程ax 2+bx ﹣c=0即为x 2+x ﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状． 【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF 为等腰直角三角形， 可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x ，可得=1，c=a ，则关于x 的方程ax 2+bx ﹣c=0即为x 2+x ﹣=0，即有x 1x 2=﹣，x 1+x 2=﹣1，即有x 12+x 22=1+2＜4，可得以|x 1|，|x 2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形． 故选：A ．9．设F 1、F 2是双曲线x 2﹣=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P ，使（+）•=0（ O 为坐标原点）且且|PF 1|=λ|PF 2|，则λ的值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设点P （，m ），由=0解出 m ，根据双曲线的第二定义得e==，求出|PF 2|的值，再利用第一定义求出|PF 1|的值，即得λ值．【解答】解：由题意得 a=1，b=2，∴c=，F 1（﹣，0），F 2 （，0），e=．设点P （，m ），∵=（+，m ）•（﹣，m ）=1+﹣5+m 2=0，m 2=，m=±．由双曲线的第二定义得 e==，∴|PF 2|=2，∴|PF 1|=2a+|PF 2|=4，∴λ===2，故选A ．10．已知函数在其定义域内的一个子区间（a ﹣1，a+1）内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，令导函数为0，求出x的值，得到不等式解出k的值即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），所以a﹣1≥0即a≥1，f′（x）=2x﹣=，令f′（x）=0，得x=或x=﹣（不在定义域内舍），由于函数在区间（a﹣1，a+1）内不是单调函数，所以∈（a﹣1，a+1），即a﹣1＜＜k+1，解得：﹣＜k＜，综上得1≤k＜，故选：D11．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，则的最小值为（）A．4 B．C．D．7【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】设出M，N，P的坐标，根据向量数量积的公式进行转化，利用数形结合转化为线性规划进行求解即可．【解答】解：∵M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，∴设M（a，b），N（﹣a，﹣b），则满足a2+b2=1，设P（x，y），则=（a﹣x，b﹣y）•（﹣a﹣x，﹣b﹣y）=﹣（a﹣x）（a+x）﹣（b﹣y）（b+y）=﹣a2+x2﹣b2+y2=x2+y2﹣（a2+b2）=x2+y2﹣1，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：则原点到直线x+y﹣4=0的距离最小，此时d==2，则z=d2=（2）2=8，则=x2+y2﹣1=8﹣1=7，故选：D．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图象面积为Sn ，则S1+S2+…+Sn=（）A．2n B．2n C．2n+1﹣2 D．n2+n【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，求出三角形的高，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）在[1，+∞）上的图象如图：当n=1时，x∈[1，2]，此时三角形的高为f（）=4，则S1=×1×4=2，当n=2时，x∈[2，4]，此时三角形的高为f（3）=f（）=4=2，则S2=×2×2=2，当n=3时，x∈[4，8]，此时三角形的高为f（6）=f（3）=2=1，则S3=×4×1=2，综上当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的最高点为23﹣n，与x轴围成的面积为Sn=×23﹣n×2n﹣1=2．则S1+S2+…+Sn=2+2+…+2=2n，故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．若数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+= 2n2+6n ．【考点】数列的求和．【分析】根据题意先可求的a1，进而根据题设中的数列递推式求得++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）与已知式相减即可求得数列{an}的通项公式，进而求得数列{}的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．【解答】解：令n=1，得=4，∴a1=16．当n≥2时，++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．与已知式相减，得=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，∴an =4（n+1）2，n=1时，a1适合an．∴an=4（n+1）2，∴=4n+4，∴++…+==2n2+6n．故答案为2n2+6n14．已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=，∴=，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴=，解得R=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为：16π．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为 3 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为：bx﹣ay=0，取AB中点为M，圆心C到M的距离丨CM丨=2，=tan∠BAC=2，双曲线的离心率e==，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意知，双曲线过第一、三象限的渐近线方程为bx﹣ay=0，取AB中点为M，如图所示，由勾股定理，可知圆心C （3，0），到M 的距离丨CM 丨=2，∴=tan ∠BAC=2，双曲线的离心率e====3，故答案为：3．16．给出下列命题：①函数f （x ）=x 3+ax 2+ax ﹣a 既有极大值又有极小值，则a ＜0或a ＞3； ②若f （x ）=（x 2﹣8）e x ，则f （x ）的单调递减区间为（﹣4，2）；③过点A （a ，a ）可作圆x 2+y 2﹣2ax+a 2+2a ﹣3=0的两条切线，则实数a 的取值范围为a ＜﹣3或a ＞1；④双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为e 1，双曲线=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的最小值为2．其中为真命题的序号是 ①②④ ． 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据函数极值和导数之间的关系进行判断．②令f ′（x ）=（x+4）（x ﹣2）e x ＜0，解得即可得出f （x ）的单调递减区间； ③根据点与圆的位置关系进行判断． ④由于e 1+e 2=+=≥即可判断出．【解答】解：①∵f （x ）=x 3+ax 2+ax ﹣a ，∴f ′（x ）=3x 2+2ax+a 若函数f （x ）=x 3+ax 2+ax ﹣a 既有极大值又有极小值 ∴△=（2a ）2﹣4×3×a ＞0，∴a ＞3或a ＜0，故①正确，②若f （x ）=（x 2﹣8）e x ，则f ′（x ）=（x 2+2x ﹣8）e x ，由f ′（x ）＜0，得x 2+2x ﹣8＜0．即﹣4＜x ＜2，即f （x ）的单调递减区间为（﹣4，2）；故②正确， ③过点A （a ，a ）可作圆x 2+y 2﹣2ax+a 2+2a ﹣3=0的两条切线， 则点A 在圆的外部，圆的标准方程为（x ﹣a ）2+y 2=3﹣2a ，可得圆心P 坐标为（a ，0），半径r=，且3﹣2a ＞0，即a ＜，∵点A 在圆外，是|AP|=＞r=，即有a 2＞3﹣2a ，整理得：a 2+2a ﹣3＞0，即（a+3）（a ﹣1）＞0，解得：a ＜﹣3或a ＞1，又a ＜，可得a ＜﹣3或1＜a ＜，故③错误；④双曲线=1的离心率为e 1，双曲线=1的离心率为e 2，则e 1+e 2=+=≥=2，当且仅当a=b 时取等号．其最小值为2，正确．故答案为：①②④．三、解答题（题型注释）17．已知函数f （x ）=2sinx •cosx+2cos 2x ﹣（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足f （﹣）=，且sinB+sinC=，求bc 的值．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（1）f （x ）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出f （x ）的单调递减区间即可；（2）由f （x ）解析式，以及f （﹣）=，求出A 的度数，将sinB+sinC=，利用正弦定理化简，求出bc 的值即可．【解答】解：（1）f （x ）=2sinx •cosx+2cos 2x ﹣=sin2x+cos2x=2sin （2x+），∵ω=2，∴f （x ）的最小正周期T=π，∵2k π+≤2x+≤2k π+，k ∈Z ，∴f （x ）的单调减区间为[k π+，k π+]，k ∈Z ；（2）由f （﹣）=2sin[2（﹣）+]=2sinA=，即sinA=，∵A 为锐角，∴A=，由正弦定理可得2R===，sinB+sinC==，∴b+c=×=13，由余弦定理可知：cosA===，整理得：bc=40．18．已知数列{a n }是递增的等比数列，满足a 1=4，且的等差中项，数列{b n }满足b n+1=b n +1，其前n 项和为s n ，且S 2+S 6=a 4 （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式（2）数列{a n }的前n 项和为T n ，若不等式nlog 2（T n +4）﹣λb n +7≥3n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）利用的等差中项，求出公比，可求数列{a n }的通项公式；数列{b n }为等差数列，公差d=1，可求数列{b n }的通项公式；（2）不等式nlog 2（T n +4）﹣λb n +7≥3n 化为n 2﹣n+7≥λ（n+1），可得对一切n∈N *恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则∵是a 2和a 4的等差中项，∴，∵q＞1，∴q=2，∴依题意，数列{bn}为等差数列，公差d=1又，∴b1=2，∴bn=n+1…（2）∵．不等式nlog2（Tn+4）﹣λbn+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1）∵n∈N*…∴对一切n∈N*恒成立．而当且仅当，即n=2时等式成立，∴λ≤3…19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）第3，4，5组中的人数分别为0.06×5×100=30，0.04×5×100=20，0.02×5×100=10．从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者，应从第3，4，5组各抽取人数为，， =1；（2）设“第4组至少有一名志愿者被抽中”为事件A，则P（A）==．20．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）证明：AC⊥PB；（2）证明：PB∥平面AEC；（3）求二面角E﹣AC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理，即可证明AC⊥平面PAB，从而可得AC⊥PB；（2）连结BD，与AC相交于O，连结EO，证明PB∥EO，即可证明PB∥平面AEC；（3）过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则∴∠EOG是二面角E﹣AC﹣B的平面角，连结EF，即可求二面角E﹣AC﹣B的大小．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB（2）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点又E为PD中点，∴PB∥EO又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB∥平面AEC（3）解：过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则F为AD中点∵AB⊥AC，∴OG⊥AC又由（1）（2）知，AC⊥PB，EO∥PB，∴AC⊥EO∴∠EOG是二面角E﹣AC﹣B的平面角连结EF，在△EFO中，又PA=AB，EF⊥FO，∴∠EOF=45°∴∠EOG=135°，即二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．21．已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C 的方程；（Ⅱ）先猜测T 的坐标，再进行验证．若直线l 的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得． 【解答】解：（Ⅰ）则由题设可知b=1，又e=，∴=，∴a 2=2所以椭圆C 的方程是+y 2=1．…（Ⅱ）若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1①若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是②…由①②解得．由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）．… 事实上点T （0，1）就是所求的点．证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得（18k 2+9）x 2﹣12kx﹣16=0设点A 、B 的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=∵=（x 1，y 1﹣1），=（x 2，y 2﹣1）∴=x 1x 2+（y 1﹣1）（y 2﹣1）=（k 2+1）x 1x 2﹣（x 1+x 2）+=∴，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）．…综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件．…22．已知函数f （x ）=a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求函数f （x ）单调区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求f ′（x ），再计算f ′（0），和f （0），即可得到切线方程；（2）先求函数的导数f ′（x ）=a x lna+2x ﹣lna=2x+（a x ﹣1）lna ，并且f ′（0）=0，判断零点两侧的正负，得到单调区间；（3）将存在性问题转化为|f （x 1）﹣f （x 2）|max ≥e ﹣1，即f （x ）max ﹣f （x ）min ≥e ﹣1， 根据上一问的单调性得到最小值f （0），再计算端点值f （﹣1）和f （1）比较大小．因为，再令令，求其导数，分情况比较大小，计算a 的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f （x ）=a x +x 2﹣xlna （a ＞0，a ≠1）， 所以f ′（x ）=a x lna+2x ﹣lna ，f ′（0）=0，又因为f （0）=1，所以函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y=1； （2）由（1），f ′（x ）=a x lna+2x ﹣lna=2x+（a x ﹣1）lna ． 当a ＞1时，lna ＞0，（a x ﹣1）lna 在R 上递增； 当0＜a ＜1时，lna ＜0，（a x ﹣1）lna 在R 上递增； 故当a ＞0，a ≠1时，总有f ′（x ）在R 上是增函数，又f ′（0）=0，所以不等式f ′（x ）＞0的解集为（0，+∞）， 故函数f （x ）的单调增区间为（0，+∞），递减区间为 （﹣∞，0）； （3）因为存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1成立， 而当x ∈[﹣1，1]时，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min ， 所以只要f （x ）max ﹣f （x ）min ≥e ﹣1即可．又因为x ，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表所示：可得f （x ）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数， 所以当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）的最小值f （x ）min =f （0）=1，f（x）的最大值f（x）为f（﹣1）和f（1）中的最大值．max因为，令，因为，所以在a∈（0，1）、（1，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）．所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即，函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．综上可知，所求a的取值范围为．。