2013-2014学年第一学期高数(工科类)复习试题1
(完整word版)大一工科类高数期末考试复习题
第二章末考复习题一、选择题1.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1312)(3x xx x x f 在x =1处的导数为（ ） A.1 B 。
2 C 。
3 D.不存在2．设f （x )=arccos （x 2），则f ＇（x )=( ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --3。
设函数f （x)可导,又y=f(—x ），则y '=（ ） A 。
)x (f ' B 。
)x (f -' C 。
-)x (f ' D 。
-)x (f -' 4。
设f (x ）=2x ，则f ″（x )=（ ） A.2x ·ln 22 B.2x ·ln4 C.2x ·2 D 。
2x ·45．设f(x)=ln4,则0x lim→∆=∆-∆+x)x (f )x x (f ( ）A ．4B ．41C ．0D ．∞6.设y=x 4+ln3,则y '=（ )A.4x 3B.31x 43+C.x 4lnx D 。
x 4lnx+317．设⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,3t t e y e x 则=dx dy （ ）A ．t e 232B ．t e 232-C ．y x -D ．—xy 8．设y=ln(2x+3)，则y '=（ ) A ．)3x 2(21+ B ．3x 2+ C ．3x 21+ D ．3x 22+9．设y=arcsinx 2,则dy=（ ) A ．dx x1x 24- B ．4x1x 2- C ．dx x1x 24+ D ．4x1x 2+10．f （x)在点x 0的左导数)x (f 0-'及右导数)x (f 0+'都存在且相等是f(x ）在点x 0可导的( ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．无关条件 D ．充分必要条件11．设⎩⎨⎧==tsin y t cos x ,则4t dxdyπ==（ ）A ．-1B ．22-C ．22 D ．1 12、.若函数f （x)在点x 0处可导且0)x (f 0≠'，则曲线y=f （x)在点（x 0， f （x 0））处的法线的斜率等于（ ） A.)x (f 0'- B 。
2013-2014学年度第一学期期末考试试题
盐城2013-2014学年度第一学期期末考试试题高一数学一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.0600cos 的值是 ．2.化简=--+ .3.函数()21log 3y x x=++的定义域是 ． 4.函数tan()23y x ππ=-的最小正周期是 .5.若02<<-απ，则点)cos ,(tan αα位于第 象限.6.函数()1cos (),f x x x R =-∈取最大值时x 的值是 .7.若函数-=3)(x x f 2)21(-x 的零点),)(1,(0Z n n n x ∈+∈则=n _________.8.函数(5)||y x x =--的递增区间是 . 9.为得到函数-=x y 2sin(3π)的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移个_长度单位.10.()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为 ．11.已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为 ． 12.设,0>ϖ若函数x x f ϖsin 2)(=在]4,3[ππ-上单调递增，则ϖ的取值范围是________.13.如图，在△ABC 中，,=⊥BC AB AD14.在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）.C函数4sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧<⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记AOB θ∠=且4sin 5θ=.（1）求B 点坐标； （2）求sin()2sin()22cos()ππθθπθ++--的值.16.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=．（1）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k ；（2）若向量d 满足//d c，求向量d ．17．已知函数2()2sin 1f x x x θ=+⋅-（θ为常数），1[]2x ∈． （1）若()f x在1[]2x ∈上是单调增函数，求θ的取值范围； （2）当θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值．18. 已知OAB ∆的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且OP PB λ= ，点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=.（1）求实数λ的值与点P 的坐标； （2）求点Q 的坐标；（3）若R 为线段OQ （含端点）上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.19.已知函数()sin()f x A x h ωϕ=++(0,0,)A ωϕπ>><.在一个周期内，当12x π=时，y 取得最大值6，当712x π=时，y 取得最小值0. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()1y mf x =-的图像与x 轴有交点，求实数m 的取值范围．20. 定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0≥M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的一个上界.已知函数xxa x f ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41211)(，11log )(21--=x ax x g .（1）若函数)(x g 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成的集合；（3）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.江苏盐城2013-2014高一上学期期末考试参考答案二、解答题15、（1）34(,)55B -(2)53- 16、（1）1118k =-（2）d =或(-17、（1）22,2,33k k k Z ππθππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦；(2)min 21,,432()sin 1,0,3f x ππθθπθθ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎫⎪--∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩.(3)因为R 为线段OQ 上的一个动点，故设(4,3)R t t ，且01t ≤≤，则(4,3)RO t t =--，(24,93)RA t t =--，(64,33)RB t t =---，+(88,66)RA RB t t =--，则()4(88)3(6R O R A R B t t t t ⋅+=---- 25050(01)t t t =-≤≤，故()RO RA RB ⋅+ 的取值范围为25[,0]2-. 19、（1）()3sin(2)33f x x π=++；（2）递增区间51,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；对称中心(,3),32k k Z ππ+∈；（3）91(),6,()2f x f x m ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，所以12,69m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.20、解：（1）因为函数)(x g 为奇函数，所以)()(x g x g =-，即11log 11log 2121---=--+x axx ax ， 即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a . （2）由（1）得：11log )(21-+=x xx g ， 下面证明函数11log )(21-+=x xx g 在区间(1,)+∞上单调递增， 证明略. 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增， 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--，所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞.（3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立.3)(3≤≤-x f ，xxxa ⎪⎭⎫⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414.xx xxa ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立.minmax 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴xxx x a设t x =2，t t t h 14)(--=，tt t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得 1≥t设0)14)(()()(,12121212121>--=-<≤t t t t t t t h t h t t ,()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<,所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增，)(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p .所以实数a 的取值范围为]1,5[-.。
13-14学年第一学期高等数学试题(A) (1)(1)
3 x x →0 ( )2 第一学期高等数学试题（A ）一、填空题（共 5 小题，每题 4 分，共 20 分） ⎧1 + ln (1 - 2 x ), x ≤ 0 1。
设函数 f (x ) = ⎨ ⎩ 3 + ae x ,x > 0 在 x = 0 处连续，则a =2。
过点(1, 2)，且切线斜率为2x 的曲线方程为3。
极限lim x →0 =e x - 1 4。
设 y = y (x )由方程e xy - x + y 3 - 0 确定，则 y ' =5。
⎰-1 2 - x dx = _二、计算题（共 6 小题，每题 10 分，共 60 分）1. 求不定积分⎰x arctan xdx2. 设 f (x ) 连续，在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0, f '(0) ≠ 0 ，求lim ⎰0 (x - t ) f (t )dt xx →0 x ⎰0 f ( x - t )dt 3. 设 f ( x ) = x 2 + 2，求函数 f (x ) 的单调区间，极值，曲线 y = x 4. 求解微分方程 y ''- 2 y '+ y = 4xexf ( x ) 的凹凸性、拐点。
5. 设 f (x ) 在 x = 0 处二阶可导，且lim sin x + xf ( x ) = 0 ，求 f (0), f '(0), f ''(0) 。
x →06. 设 f (x ) 具有二阶连续导数，且 f (0) = x 3 f '(0) = 0, f ''(x ) > 0 ，并且在曲线 y =f (x ) 上任xf (u )意一点(x , f (x ))(x ≠ 0)处作此曲线的切线，此切线在 x 轴上的截距记为u ，求limuf x 三、证明题（共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）1. 设函数 f ( x ), g (x ) 在[a , b ] 上连续，且 g (x ) > 0 。
2013-2014高等数学A(1)_A卷答案
π
六 (7 分) 求由曲线 y = arcsin x (0 ≤ x ≤ 1) ， y = 绕 y 轴旋转的旋转体体积. 解： Vy = π
∫
π 2
0
sin ydy = π ∫
2
π 2
0
2 1 − cos 2 y 1 ⎡1 ⎤2 π . dy = π ⎢ y − sin 2 y ⎥ = 2 4 ⎣2 ⎦0 4
−1 0
−1
−1
0
t 0 dt = [t − 2 ln(2 + t ) ]−1 = 1 − 2 ln 2 . 2+t
三、计算下列各题. (每小题 6 分，满分 24 分) 1.
∫ x( x
1
2
+ 1)
dx . (拆项) 解： ∫
1 1 x dx = ∫ ( − 2 )dx = ln | x | − ln( x 2 + 1) + C . x( x + 1) x x +1 2
x − 1 ln x = 0 ； f (1) = 0 ；
因 f (1 ) = f (1 ) = f (1) ，故 f ( x) 在 x = 1 处连续. (2) f −′(1) = lim −
x →1
−
+
−1 − ln x f ( x) − f (1) 1 − x ln x x = lim = = = 0； lim lim 1 x →1− x →1− x −1 x −1 1 − x x →1− − 2 1 −x
∫
四 (7 分) 试分析函数 f ( x ) = | x − 1| ln x ， ( x > 0) 在 x = 1 处的连续性和可导性(说明理由). 解：(1) f (1 ) = lim f ( x) = 1 − x ln x = 0 ； f (1 ) = lim f ( x) = − +
高数13-14A·B卷,14-15A卷
(1) ；(2) ．
5．计算定积分 ．(7分)
6．求参数方程 所确定的函数的二阶导数 ．（6分）
7．求 与 所围图形的面积，并求它绕 轴旋转所成立体的体积．(9分)
8．设 ， ，证明不等式： ．(6分)
4．已知函数 ，则 在 处（ ）．
A.间断；B.连续但不可导；C. ；D. ．
5．设在区间 内 ， ，则在区间 内，曲线
的图形（）
A、沿 轴正向下降且为凸的；B、沿 轴正向上升且为凸的；
C、沿 轴正向下降且为凹的；D、沿 轴正向上升且为凹的．
6． （）．A、 ；B、 ；C、 ；D、 ．
二、填空题（3分*6＝18分）
期末考试试卷（B卷）高等数学A1（13级理工）.
题型
选择题
填空题
计算题
合计
得分
阅卷人
一、选择题（3分*6＝18分）
得分
阅卷人
1．当 时， 是 的（）无穷小量．
A．低阶；B．高阶； ；
C． ；D．
3．若 ，则（）．
A、 是常数；B、 是常数；
C、 ；D、 ．
解：
3．求下列函数的导数或微分(每小题4，共12分)．
（1）设 ，求 ；（2）设 ，求 ．
（3）设 ，求 ．
解（1）：
解（2）：
解（3）：
4．求不定积分 (8分)．
解：
5．计算定积分 (8分)．
解：
6．求由抛物线 及直线 所围成图形面积(8分)．
解：
7．证明方程 在区间（0，1）内有且仅有一个实根(8分)．
2．已知 ，则 ．
3．曲线 在点 处的切线方程是．
4．曲线 的拐点是．
2013-2014第一学年期末考试高数C参考答案
2013—2014学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、 选择题（每小题4分，共20分）D B D C A二、 填空题（每小题4分，共20分）1.（0，2）2. cos sin x dy xe dx =-3. (1)x e x C --++4.15.0 三、 计算题（每小题5分，共20分） 1. 31lim (2cos )1x x x x →∞++-解：由于2333111lim lim 0111x x x x x x x →∞→∞++==--或者3211lim lim 013x x x x x →∞→∞+==-―――（2分） 2cos x +为x →∞时的有界量，――――――――――――――（4分）所以原式极限为0. ―――――――――――――――――――（5分） 2.设0x >时，可导函数()f x 满足：13()2()f x f x x+=，求'()f x (0)x > 令1t x =，则原式变为：1()2()3f f t t t +=――――――――――――――――――――――（2分） 连立得13()2(),1()2()3f x f x x f f x x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1()2f x x x =-―――――――――（4分） 所以21()2f x x '=+. ――――――――――――――――――――（5分） 3.设2cos xy e x =，求y '' 解：21(cos sin )2x y e x x '=-―――――――――――――――――（3分）23[cos sin ]4x y e x x ''=-+―――――――――――――――――――（5分）4.x 011lim()1x x e →-- 解：原式=x 01lim (1)x x e x x e →---――――――――――――――――――（1分） =01lim (1)1x x x e e x →-+-―――――――――――――――――（3分） =01lim 2x x →+=12――――――――――――――――――（5分） 四．计算题（每小题5分，共20分） 1.2arctan 1x x dx x ++⎰解：原式=22arctan 11x x dx dx x x +++⎰⎰――――――――――――――（1分） =2211(1)arctan arctan 21d x xd x x+++⎰⎰―――――――――――――（3分） =221[ln(1)(arctan )]2x x +++C ―――――――――――――――――（5分） 2.2156dx x x -+⎰ 解：原式=11()32dx x x ---⎰―――――――――――――――――（3分） =3ln2x C x -+-―――――――――――――――――――（5分） 3.3cos()3x dx πππ+⎰解：法一：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰―――――――――――（2分）=3sin()3x πππ+――――――――――――――――――（4分）=（5分）法二：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰――――――――――――――――（2分） 43323cos x tdt πππ+==⎰t=换元―――――――――――――――――――（4分）4323sin tππ=-=――――――――――――――――――（5分） 4.120arcsin xdx ⎰解：原式=1212001arcsin 2x x +⎰―――――――――――――（2分）=12π――――――――――――――――――（4分）=122π+――――――――――――――――――――（5分） 五．求由抛物线21y x =+与直线1y x =+所围成的面积.解：如图所示――――――――――――――――――――――（2分） 联立方程，解出交点：（0，1）（1，2）――――――――（6分） 积分：1122300111()()236x x dx x x -=-=⎰―――――――――――（10分） 六．某服装有限公司确定，为卖出x 套服装，其单价为1500.5p x =-.同时还确定，生产x 套服装的总成本为：2()40000.25C x x =+.（10分）(1)写出边际成本'()C x 的表达式；(2)求总利润()L x 以及边际利润'()L x ；(3)服装产量x 为多少时，利润达到最大，最大利润是多少？解：1.()0.5C x x '=――――――――――――――――――――（2分） 2.2()()()0.751504000L x R x C x x x =-=-+-―――――――（4分） () 1.5150L x x '=-+――――――――――――――――――――（6分）3.令()0L x '=得到唯一驻点100x =，由题设可知此唯一驻点即使总利润最大时的服装产量，则(100)3500L =――――――――――――――――（10分）。
高数2013-2014(1)答案
西南交通大学2013－2014学年第(1)学期期中考试试卷课程代码 6011310 课程名称 高等数学I 考试时间 90分钟阅卷教师签字：一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5小题, 每小题5分, 共25分)1.的值是（ ）极限ax ax ax a -→+-12)1(lim ）答（ ． ． ． ．D e D e C e B A a a -12. 的值是（ ）极限xx xx 2sec 5arctan lim0→ ） 答（ ． ． ． ．C D C B A 25510 3.x x x x x x f 322)(232-+-+=的第一类间断点有）答（ 个．个 ．个 ．个 ．B D C B A 32104. ）内的实根的个数为（ ，在方程)30(0133=+-x x ） 答（ ． ． ． ．B D C B A 01235.是次项的系数的阶麦克劳林展开式中的n a n x n xx f -=11)(( ) )(!)1(.!1..1. 答 A n D n C n B A n-班 级 学 号 姓 名密封装订线 密封装订线 密封装订线二 填空题（4个小题，每题6分，共24分）6.)103()3)(2)(1(----=x x x x x y 在x =3的导函数值是（ 3！100！） 7. 曲线xxe y -=的凹区间是（ [2,+∞） ）。
8.的微分是，则设)()53()1)(2()(2x f x x x x f -+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++--+-dx x x x x x x )53(6)1(21)2(21)53()1)(2(2 9.则且处可导在设,0)(,)(≠='=b a f a x x f=--+→)sin ()sin (limx a f x a f x x ⎪⎭⎫⎝⎛b 21 ⎪⎭⎫=---+-+=⎝⎛----+=--+→→→b xxx a f x a f x x x a f x a f x a f x a t x a f x a f x a f x a f x x x x 21sin sin )()sin (sin sin )()sin (1lim)()sin ()()sin (1lim)sin ()sin (lim 000三 解答题（5个小题,每题6分，共30分） 10. 计算⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 20sin cos sin tan lim 极限解：21cos )2(sin 2lim cos )cos 1(tan lim 22020=⋅=⋅-=→→x x xx x x x x x x11. 设 ⎩⎨⎧+-=++=22)1(arctan 22ln )1ln(t t y t x ，求22,dx yd dx dy解：)1(12)1(212222t t t t t t dxdy ++-=++-+=t t t t t t dx y d 2)1)(21(12)21(2222++-=++-= 12. 的函数，确定的是由方程 设x y x f y x f y y )()(22+++=且2)0(=y ,其中)(x f 是可导函数，且)0(.1)4(,21)2(y f f '='='求 解： )1)(()22)((22y y x f y y x y x f y '++'+'++'='由2)0(=y 以及.1)4(,21)2(='='f f 代入得：71)0(-='y13. ．求 ，，，已知)(01sin 0)1ln()(23x f x x x x x x f '⎪⎩⎪⎨⎧>≤-= 解：f f f f x x ()()()()0000000-=+===，在处连续'=-=-=-='=-==-→-→-→-+→+→+f f x f x x x x xf f x f x x x x x x x x x ()lim ()()lim ln()lim ()lim ()()lim sin001000100000300300002'=f ()00'=-≤->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪f x x x x x x x x ()sin cos 310211023，，四 解答题（本题7分）14. 如图所示，某人开游艇在距岸9公里A 点处，接到短信要立刻赶到距游艇343公里处岸上的B 点处， 如果游艇速度是每小时4公里，在岸上步行是每小时5公里，问何处登岸可使到达B 点的时间最短？设登岸处为D 并设DB 为x ，()x x CD -=--=15934322则抵达B 点所用时间为54)15(922xx t +-+=其中0≤ x ≤1551)15(814)15(2+-+--='x x t 令0='t 求出在(0,15)内仅有唯一驻点x=3，所以根据实际意义，在距B 点3公里处登岸所用时间最短。
13-14高等数学试题(A)
广州大学2013-2014学年第一学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ（80学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1．设1()21,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则(())f f e = . 2．曲线221x x y x +=-有铅直渐近线 . 3．已知当0x →时，sin x x -与3ax 是等价无穷小，则常数a = .4．设ln(1),0()2sin 1,0ax x f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则当常数a = 时，()f x 在0x =处连续. 5．设1cos ,0()0,0x x f x x x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则(0)f '= . 6．曲线2x y e =上点(0,1)处的切线方程为 .7．曲线3(1)y x x =-的凸区间为 .8．函数cos x 在[,]22ππ-上的平均值为 . 9．设31()sin d x f x t t -=⎰，则(1)f = . 10．22222111lim ()12n n n n n n→∞+++=+++ .二．解答下列各题（每小题6分，本大题满分18分）1．已知2(1)(1)x y x x =+-，求2|x y ='.2．设sin sin cos x t y t t t =⎧⎨=+⎩，计算224d d t y x π=.3．设()y x 是由21y x y e -+=所确定的隐函数，求()y x 在0x =处的导数.三．（本题满分6分）证明：方程11n n x x x -+++=（整数1n >）在1(,1)2内有且只有一个根.四．计算下列极限（每小题6分，本大题满分12分）1．011lim()sin x x x x→+-.2．12ln lim (1)x x x →+∞+.五．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分） 1．21d 1x x x ++⎰.2．20x ⎰.3．21ln d x x x+∞⎰.六．（本题满分9分）在(1,)e 内求一点0x ，使右图中阴影部分的面积之和为最小.七．（本题满分10分）（1）已知()f x 是连续函数，证明：00(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰； （2）利用（1）的结论，计算30sin d x x x π⎰.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等数学A1》期末复习题
一、选择题 (每小题3分，共18分)
1．lim sin x e x x
→∞为（B ）。
A ．1 B ．∞ C ．0 D ．e
2．函数21,0(),
0x x x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处（ C ） A ．极限不存在 B.极限存在，但不连续 C.连续，但不可导 D.可导
3．(2),()x f e x f x '==若则（ A ）。
A ．1x
B ． 2x
C ．12x
D ．1ln 2
x 4．设自然数,m n 满足3m n >>，则（ B ）。
A ．m n m n <
B ．n m m n <
C ．m n m n =
D ．m n m n >
5．设函数()f x 连续，ln 1()()x
x x f x dx Φ=⎰，则()x 'Φ=（ C ）
A ．
2111(ln )()f x f x x x + B ．1(ln )()f x f x
+ C ．2111(ln )()f x f x x x - D ．1(ln )()f x f x
- 6．设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续,且lim ()0x f x →-∞=，则必有（ D ）。
A ．0,0a b << B ．0,0a b >> C ．0,0a b ≤> D ．0,0a b ≥<
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．曲线3y x x =-在拐点处的切线方程是 。
2．函数()2x f x =的n 阶麦克劳林展开式中，项n x 的系数是 。
3. 定积分2
11()x x x e dx --+=⎰ 。
4．通解为2121x x y C e C e =++的二阶线性常系数非齐次微分方程是 。
5．设一质量为M 的匀质细棒位于x 轴的区间[]1,1-上，另有单位质点位于2x =点
处。
则细棒对单位质点的引力大小为 。
三、计算题 （每小题7分，共42分)
1．求极限30sin lim arctan x x x x
→- 。
2．设参数方程sin cos ,cos sin x t t t y t t t =-⎧⎨=+⎩求二阶导数22d y dx 。
3．设函数()y y x =由225x y xy e -+=所确定，求0x y dy ='及。
4．求反常积分
1+∞
⎰。
5．求微分方程sin cos x y y x e -'+=满足()y ππ=的特解。
6．设函数()f x 的原函数为2ln x ，求定积分1()e
xf x dx '⎰。
四、综合题（每小题9分，共18分）
1．设[]()(1)()0,1(),lim ().n n f x nx x n M n M n →∞
=-其中为正整数在上的最大值求 2．设曲线23,(01)y x y ax a ==<<所围成的平面图形D 的面积为2.3
（1）求a ； （2）求图形D 绕x 轴旋转而成的体积。
五、证明题（选做一题，共7分）
1．设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足1
2
(1)2()f xf x dx =⎰，求证：存在(0,1)ξ∈，使得1
()()f f ξξξ'=-。
2．设()f x 在[]0,2上连续，在()0,2内可导，且满足()(1)1,21f f ==-。
求证：存
在(0,2)ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=。