2013-2014学年第一学期高数(工科类)复习试题1

合集下载

(完整word版)大一工科类高数期末考试复习题

第二章末考复习题一、选择题1.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1312)(3x xx x x f 在x =1处的导数为（） A.1 B 。

2 C 。

3 D.不存在2．设f （x )=arccos （x 2），则f ＇（x )=( ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --3。

设函数f （x)可导,又y=f(—x ），则y '=（） A 。

)x (f ' B 。

)x (f -' C 。

-)x (f ' D 。

-)x (f -' 4。

设f (x ）=2x ，则f ″（x )=（） A.2x ·ln 22 B.2x ·ln4 C.2x ·2 D 。

2x ·45．设f(x)=ln4,则0x lim→∆=∆-∆+x)x (f )x x (f ( ）A ．4B ．41C ．0D ．∞6.设y=x 4+ln3,则y '=（ )A.4x 3B.31x 43+C.x 4lnx D 。

x 4lnx+317．设⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,3t t e y e x 则=dx dy （）A ．t e 232B ．t e 232-C ．y x -D ．—xy 8．设y=ln(2x+3)，则y '=（ ) A ．)3x 2(21+ B ．3x 2+ C ．3x 21+ D ．3x 22+9．设y=arcsinx 2,则dy=（ ) A ．dx x1x 24- B ．4x1x 2- C ．dx x1x 24+ D ．4x1x 2+10．f （x)在点x 0的左导数)x (f 0-'及右导数)x (f 0+'都存在且相等是f(x ）在点x 0可导的( ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．无关条件 D ．充分必要条件11．设⎩⎨⎧==tsin y t cos x ,则4t dxdyπ==（）A ．-1B ．22-C ．22 D ．1 12、.若函数f （x)在点x 0处可导且0)x (f 0≠'，则曲线y=f （x)在点（x 0， f （x 0））处的法线的斜率等于（） A.)x (f 0'- B 。

2013-2014学年度第一学期期末考试试题

盐城2013-2014学年度第一学期期末考试试题高一数学一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.0600cos 的值是．2.化简=--+ .3.函数()21log 3y x x=++的定义域是． 4.函数tan()23y x ππ=-的最小正周期是 .5.若02<<-απ，则点)cos ,(tan αα位于第象限.6.函数()1cos (),f x x x R =-∈取最大值时x 的值是 .7.若函数-=3)(x x f 2)21(-x 的零点),)(1,(0Z n n n x ∈+∈则=n _________.8.函数(5)||y x x =--的递增区间是 . 9.为得到函数-=x y 2sin(3π)的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移个_长度单位.10.()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为．11.已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为． 12.设,0>ϖ若函数x x f ϖsin 2)(=在]4,3[ππ-上单调递增，则ϖ的取值范围是________.13.如图，在△ABC 中，,=⊥BC AB AD14.在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）.C函数4sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧<⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为．二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记AOB θ∠=且4sin 5θ=.（1）求B 点坐标；（2）求sin()2sin()22cos()ππθθπθ++--的值.16.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=．（1）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k ；（2）若向量d 满足//d c，求向量d ．17．已知函数2()2sin 1f x x x θ=+⋅-（θ为常数），1[]2x ∈．（1）若()f x在1[]2x ∈上是单调增函数，求θ的取值范围；（2）当θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值．18. 已知OAB ∆的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且OP PB λ= ，点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=.（1）求实数λ的值与点P 的坐标；（2）求点Q 的坐标；（3）若R 为线段OQ （含端点）上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.19.已知函数()sin()f x A x h ωϕ=++(0,0,)A ωϕπ>><.在一个周期内，当12x π=时，y 取得最大值6，当712x π=时，y 取得最小值0. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()1y mf x =-的图像与x 轴有交点，求实数m 的取值范围．20. 定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0≥M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的一个上界.已知函数xxa x f ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41211)(，11log )(21--=x ax x g .（1）若函数)(x g 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成的集合；（3）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.江苏盐城2013-2014高一上学期期末考试参考答案二、解答题15、（1）34(,)55B -(2)53- 16、（1）1118k =-（2）d =或(-17、（1）22,2,33k k k Z ππθππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦；(2)min 21,,432()sin 1,0,3f x ππθθπθθ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎫⎪--∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩.(3)因为R 为线段OQ 上的一个动点，故设(4,3)R t t ，且01t ≤≤，则(4,3)RO t t =--，(24,93)RA t t =--，(64,33)RB t t =---，+(88,66)RA RB t t =--，则()4(88)3(6R O R A R B t t t t ⋅+=---- 25050(01)t t t =-≤≤，故()RO RA RB ⋅+ 的取值范围为25[,0]2-. 19、（1）()3sin(2)33f x x π=++；（2）递增区间51,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；对称中心(,3),32k k Z ππ+∈；（3）91(),6,()2f x f x m ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，所以12,69m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.20、解：（1）因为函数)(x g 为奇函数，所以)()(x g x g =-，即11log 11log 2121---=--+x axx ax ，即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a . （2）由（1）得：11log )(21-+=x xx g ，下面证明函数11log )(21-+=x xx g 在区间(1,)+∞上单调递增，证明略. 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增，所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--，所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞.（3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立.3)(3≤≤-x f ，xxxa ⎪⎭⎫⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414.xx xxa ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立.minmax 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴xxx x a设t x =2，t t t h 14)(--=，tt t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得 1≥t设0)14)(()()(,12121212121>--=-<≤t t t t t t t h t h t t ,()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<,所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增，)(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p .所以实数a 的取值范围为]1,5[-.。

13-14学年第一学期高等数学试题(A) (1)(1)

3 x x →0 ( )2 第一学期高等数学试题（A ）一、填空题（共 5 小题，每题 4 分，共 20 分） ⎧1 + ln (1 - 2 x ), x ≤ 0 1。

设函数 f (x ) = ⎨ ⎩ 3 + ae x ,x > 0 在 x = 0 处连续，则a =2。

过点(1, 2)，且切线斜率为2x 的曲线方程为3。

极限lim x →0 =e x - 1 4。

设 y = y (x )由方程e xy - x + y 3 - 0 确定，则 y ' =5。

⎰-1 2 - x dx = _二、计算题（共 6 小题，每题 10 分，共 60 分）1. 求不定积分⎰x arctan xdx2. 设 f (x ) 连续，在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0, f '(0) ≠ 0 ，求lim ⎰0 (x - t ) f (t )dt xx →0 x ⎰0 f ( x - t )dt 3. 设 f ( x ) = x 2 + 2，求函数 f (x ) 的单调区间，极值，曲线 y = x 4. 求解微分方程 y ''- 2 y '+ y = 4xexf ( x ) 的凹凸性、拐点。

5. 设 f (x ) 在 x = 0 处二阶可导，且lim sin x + xf ( x ) = 0 ，求 f (0), f '(0), f ''(0) 。

x →06. 设 f (x ) 具有二阶连续导数，且 f (0) = x 3 f '(0) = 0, f ''(x ) > 0 ，并且在曲线 y =f (x ) 上任xf (u )意一点(x , f (x ))(x ≠ 0)处作此曲线的切线，此切线在 x 轴上的截距记为u ，求limuf x 三、证明题（共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）1. 设函数 f ( x ), g (x ) 在[a , b ] 上连续，且 g (x ) > 0 。

2013-2014高等数学A(1)_A卷答案

π 和 y 轴所围成的图形绕 y 轴所围成的图形 2
π
六 (7 分) 求由曲线 y = arcsin x (0 ≤ x ≤ 1) ， y = 绕 y 轴旋转的旋转体体积. 解： Vy = π
∫
π 2
0
sin ydy = π ∫
2
π 2
0
2 1 − cos 2 y 1 ⎡1 ⎤2 π . dy = π ⎢ y − sin 2 y ⎥ = 2 4 ⎣2 ⎦0 4
−1 0
−1
−1
0
t 0 dt = [t − 2 ln(2 + t ) ]−1 = 1 − 2 ln 2 . 2+t
三、计算下列各题. (每小题 6 分，满分 24 分) 1.
∫ x( x
1
2
+ 1)
dx . (拆项) 解： ∫
1 1 x dx = ∫ ( − 2 )dx = ln | x | − ln( x 2 + 1) + C . x( x + 1) x x +1 2
x − 1 ln x = 0 ； f (1) = 0 ；
因 f (1 ) = f (1 ) = f (1) ，故 f ( x) 在 x = 1 处连续. (2) f −′(1) = lim −
x →1
−
+
−1 − ln x f ( x) − f (1) 1 − x ln x x = lim = = = 0； lim lim 1 x →1− x →1− x −1 x −1 1 − x x →1− − 2 1 −x
∫
四 (7 分) 试分析函数 f ( x ) = | x − 1| ln x ， ( x > 0) 在 x = 1 处的连续性和可导性(说明理由). 解：(1) f (1 ) = lim f ( x) = 1 − x ln x = 0 ； f (1 ) = lim f ( x) = − +

高数13-14A·B卷,14-15A卷

4．求下列不定积分. (每小题6分，共12分)
(1) ；(2) ．
5．计算定积分．(7分)
6．求参数方程所确定的函数的二阶导数．（6分）
7．求与所围图形的面积，并求它绕轴旋转所成立体的体积．(9分)
8．设，，证明不等式：．(6分)
4．已知函数，则在处（）．
A.间断；B.连续但不可导；C. ；D. ．
5．设在区间内，，则在区间内，曲线
的图形（）
A、沿轴正向下降且为凸的；B、沿轴正向上升且为凸的；
C、沿轴正向下降且为凹的；D、沿轴正向上升且为凹的．
6．（）．A、；B、；C、；D、．
二、填空题（3分*6＝18分）
期末考试试卷（B卷）高等数学A1（13级理工）.
题型
选择题
填空题
计算题
合计
得分
阅卷人
一、选择题（3分*6＝18分）
得分
阅卷人
1．当时，是的（）无穷小量．
A．低阶；B．高阶；；
C．；D．
3．若，则（）．
A、是常数；B、是常数；
C、；D、．
解：
3．求下列函数的导数或微分(每小题4，共12分)．
（1）设，求；（2）设，求．
（3）设，求．
解（1）：
解（2）：
解（3）：
4．求不定积分 (8分)．
解：
5．计算定积分 (8分)．
解：
6．求由抛物线及直线所围成图形面积(8分)．
解：
7．证明方程在区间（0，1）内有且仅有一个实根(8分)．
2．已知，则．
3．曲线在点处的切线方程是．
4．曲线的拐点是．

2013-2014第一学年期末考试高数C参考答案

2013—2014学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）D B D C A二、填空题（每小题4分，共20分）1.（0，2）2. cos sin x dy xe dx =-3. (1)x e x C --++4.15.0 三、计算题（每小题5分，共20分） 1. 31lim (2cos )1x x x x →∞++-解：由于2333111lim lim 0111x x x x x x x →∞→∞++==--或者3211lim lim 013x x x x x →∞→∞+==-―――（2分） 2cos x +为x →∞时的有界量，――――――――――――――（4分）所以原式极限为0. ―――――――――――――――――――（5分） 2.设0x >时，可导函数()f x 满足：13()2()f x f x x+=，求'()f x (0)x > 令1t x =，则原式变为：1()2()3f f t t t +=――――――――――――――――――――――（2分）连立得13()2(),1()2()3f x f x x f f x x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1()2f x x x =-―――――――――（4分）所以21()2f x x '=+. ――――――――――――――――――――（5分） 3.设2cos xy e x =，求y '' 解：21(cos sin )2x y e x x '=-―――――――――――――――――（3分）23[cos sin ]4x y e x x ''=-+―――――――――――――――――――（5分）4.x 011lim()1x x e →-- 解：原式=x 01lim (1)x x e x x e →---――――――――――――――――――（1分） =01lim (1)1x x x e e x →-+-―――――――――――――――――（3分） =01lim 2x x →+=12――――――――――――――――――（5分）四．计算题（每小题5分，共20分） 1.2arctan 1x x dx x ++⎰解：原式=22arctan 11x x dx dx x x +++⎰⎰――――――――――――――（1分） =2211(1)arctan arctan 21d x xd x x+++⎰⎰―――――――――――――（3分） =221[ln(1)(arctan )]2x x +++C ―――――――――――――――――（5分） 2.2156dx x x -+⎰ 解：原式=11()32dx x x ---⎰―――――――――――――――――（3分） =3ln2x C x -+-―――――――――――――――――――（5分） 3.3cos()3x dx πππ+⎰解：法一：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰―――――――――――（2分）=3sin()3x πππ+――――――――――――――――――（4分）=（5分）法二：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰――――――――――――――――（2分） 43323cos x tdt πππ+==⎰t=换元―――――――――――――――――――（4分）4323sin tππ=-=――――――――――――――――――（5分） 4.120arcsin xdx ⎰解：原式=1212001arcsin 2x x +⎰―――――――――――――（2分）=12π――――――――――――――――――（4分）=122π+――――――――――――――――――――（5分）五．求由抛物线21y x =+与直线1y x =+所围成的面积.解：如图所示――――――――――――――――――――――（2分）联立方程，解出交点：（0，1）（1，2）――――――――（6分）积分：1122300111()()236x x dx x x -=-=⎰―――――――――――（10分）六．某服装有限公司确定，为卖出x 套服装，其单价为1500.5p x =-.同时还确定，生产x 套服装的总成本为：2()40000.25C x x =+.（10分）(1)写出边际成本'()C x 的表达式；(2)求总利润()L x 以及边际利润'()L x ；(3)服装产量x 为多少时，利润达到最大，最大利润是多少？解：1.()0.5C x x '=――――――――――――――――――――（2分） 2.2()()()0.751504000L x R x C x x x =-=-+-―――――――（4分） () 1.5150L x x '=-+――――――――――――――――――――（6分）3.令()0L x '=得到唯一驻点100x =，由题设可知此唯一驻点即使总利润最大时的服装产量，则(100)3500L =――――――――――――――――（10分）。

高数2013-2014(1)答案

西南交通大学2013－2014学年第(1)学期期中考试试卷课程代码 6011310 课程名称高等数学I 考试时间 90分钟阅卷教师签字：一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5小题, 每小题5分, 共25分)1.的值是（）极限ax ax ax a -→+-12)1(lim ）答（．　．．．D e D e C e B A a a -12.　的值是（）极限xx xx 2sec 5arctan lim0→ ）答（．．．．C D C B A 25510 3.x x x x x x f 322)(232-+-+=的第一类间断点有）答（个．个．个．个．B D C B A 32104.　）内的实根的个数为（　，在方程)30(0133=+-x x　）答（．．．．B D C B A 01235.是次项的系数的阶麦克劳林展开式中的n a n x n xx f -=11)(( ) )(!)1(.!1..1. 答 A n D n C n B A n-班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线二填空题（4个小题，每题6分，共24分）6.)103()3)(2)(1(----=x x x x x y 在x =3的导函数值是（ 3！100！） 7. 曲线xxe y -=的凹区间是（ [2,+∞））。

8.的微分是，则设)()53()1)(2()(2x f x x x x f -+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++--+-dx x x x x x x )53(6)1(21)2(21)53()1)(2(2 9.则且处可导在设,0)(,)(≠='=b a f a x x f=--+→)sin ()sin (limx a f x a f x x ⎪⎭⎫⎝⎛b 21　⎪⎭⎫=---+-+=⎝⎛----+=--+→→→b xxx a f x a f x x x a f x a f x a f x a t x a f x a f x a f x a f x x x x 21sin sin )()sin (sin sin )()sin (1lim)()sin ()()sin (1lim)sin ()sin (lim 000三解答题（5个小题,每题6分，共30分） 10. 计算⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 20sin cos sin tan lim 极限解：21cos )2(sin 2lim cos )cos 1(tan lim 22020=⋅=⋅-=→→x x xx x x x x x x11. 设 ⎩⎨⎧+-=++=22)1(arctan 22ln )1ln(t t y t x ，求22,dx yd dx dy解：)1(12)1(212222t t t t t t dxdy ++-=++-+=t t t t t t dx y d 2)1)(21(12)21(2222++-=++-= 12. 的函数，确定的是由方程　设x y x f y x f y y )()(22+++=且2)0(=y ,其中)(x f 是可导函数，且)0(.1)4(,21)2(y f f '='='求解： )1)(()22)((22y y x f y y x y x f y '++'+'++'='由2)0(=y 以及.1)4(,21)2(='='f f 代入得：71)0(-='y13. ．求　，，，已知)(01sin 0)1ln()(23x f x x x x x x f '⎪⎩⎪⎨⎧>≤-= 解：f f f f x x ()()()()0000000-=+===，在处连续'=-=-=-='=-==-→-→-→-+→+→+f f x f x x x x xf f x f x x x x x x x x x ()lim ()()lim ln()lim ()lim ()()lim sin001000100000300300002'=f ()00'=-≤->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪f x x x x x x x x ()sin cos 310211023，，四解答题（本题7分）14. 如图所示，某人开游艇在距岸9公里A 点处，接到短信要立刻赶到距游艇343公里处岸上的B 点处，如果游艇速度是每小时4公里，在岸上步行是每小时5公里，问何处登岸可使到达B 点的时间最短？设登岸处为D 并设DB 为x ，()x x CD -=--=15934322则抵达B 点所用时间为54)15(922xx t +-+=其中0≤ x ≤1551)15(814)15(2+-+--='x x t 令0='t 求出在(0,15)内仅有唯一驻点x=3，所以根据实际意义，在距B 点3公里处登岸所用时间最短。

13-14高等数学试题(A)

广州大学2013-2014学年第一学期考试卷课程：高等数学Ⅰ（80学时）考试形式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1．设1()21,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则(())f f e = . 2．曲线221x x y x +=-有铅直渐近线 . 3．已知当0x →时，sin x x -与3ax 是等价无穷小，则常数a = .4．设ln(1),0()2sin 1,0ax x f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则当常数a = 时，()f x 在0x =处连续. 5．设1cos ,0()0,0x x f x x x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则(0)f '= . 6．曲线2x y e =上点(0,1)处的切线方程为 .7．曲线3(1)y x x =-的凸区间为 .8．函数cos x 在[,]22ππ-上的平均值为 . 9．设31()sin d x f x t t -=⎰，则(1)f = . 10．22222111lim ()12n n n n n n→∞+++=+++ .二．解答下列各题（每小题6分，本大题满分18分）1．已知2(1)(1)x y x x =+-，求2|x y ='.2．设sin sin cos x t y t t t =⎧⎨=+⎩，计算224d d t y x π=.3．设()y x 是由21y x y e -+=所确定的隐函数，求()y x 在0x =处的导数.三．（本题满分6分）证明：方程11n n x x x -+++=（整数1n >）在1(,1)2内有且只有一个根.四．计算下列极限（每小题6分，本大题满分12分）1．011lim()sin x x x x→+-.2．12ln lim (1)x x x →+∞+.五．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分） 1．21d 1x x x ++⎰.2．20x ⎰.3．21ln d x x x+∞⎰.六．（本题满分9分）在(1,)e 内求一点0x ，使右图中阴影部分的面积之和为最小.七．（本题满分10分）（1）已知()f x 是连续函数，证明：00(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰；（2）利用（1）的结论，计算30sin d x x x π⎰.。

高数试卷A2013～2014(答案)

济南大学2013~2014学年第一学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）课程名称：高等数学A （一）一、填空题(1) e 1．(2) dx x x x )(sec )21(22++. (3) )6,1(-. (4) 2π．(5) 1．二、选择题(1) A ．(2) A . (3) B . (4) C ．(5) D ．三、计算下列极限、导数 (1) 解：)13)(2()13)(13(lim 213lim2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ(3) 解：两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y ，所以：yy ln 21+='3222)ln 2(1)ln 2(y y y y y dx y d +-=+'-= 四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222(2) 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x xx x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=112dt te dx e t x22][221101=-==⎰⎰dt e te tde t t t五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 解：23124tte dx dy t+=，令0=dx dy ，得0=t ，代入得：1=x 。

2013-2014-1工科高数(2-1)期末考试B卷

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷( 工科类)专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2014年1月6 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

第 1 页共 7 页一．（共5小题，每小题3分，共计15 分）判断下列命题是否正确 ? 在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则+∞=∞+→)(lim x f x .（）2．若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 在0x 点也可导.（）3．若)(x f 在0x 点取得极值，则.0)(0='x f （）4．若0)(0=''x f ，则))(,(00x f x 必是曲线)(x f y =的拐点.（）5．若)(x f 在],[b a 可积，则)(x f 在],[b a 也可积.（）2二．（共3小题，每小题7分，共计21分） 1. 设)1(sin 1)(2--=x x x x x f ，指出)(x f 的间断点，并判断其类型.2．求极限:.)1(lim 022xdte t x x tx ⎰-+∞→+3．设)(x y y =由方程0=-+yx e e xy 所确定,求)0(y ''.第 3 页共 7 页三．（共3小题，每小题7分，共计21分） 1．求不定积分dx .2．设2x e 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(.3．求定积分 dx x x x )2sin cos (20244+⎰-ππ.cm/s自顶部1．有一底半径为R cm，高为h cm的圆锥容器，今以253向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率.2．汽车以每小时36 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度25sm=刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？a-4第 5 页共 7 页五．（本题10分）已知21xxy +=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线.6六．（共2小题，每小题7分，共计14分）1.试求曲线)1(1≥=x xy 与1=x 、x 轴所围平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 .2.求微分方程256x y y y x e '''-+=的通解.第 7 页共 7 页七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：若0132210=+++++n a a a a n ，则方程02210=++++n n x a x a x a a 在)1,0(内至少有一个实根，其中),,2,1(n i a i =为常数.。

2013-2014-1工科高数(2-1)期末试卷A答案

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分） 4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分）5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π ------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x xt x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分） 3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即 x x y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dx dy y ln 1)ln 1(+=+，即yx dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 ) ⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 ) 322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 ) 解2 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，----------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，x y dx dy x y dx dy y x y x 11ln 111ln 122⋅+⋅⋅-=⋅⋅+-xx xy yy xy dx dy ln ln 22++=∴ （直接再求导比较繁琐，需化简后再求导）----------------------------------------------------------------------------------------- ( 2分 )由x yy x ln 1ln 1=得x x y y ln ln =， xx xy y y xy dx dy ln ln 22++=y xy xy x xy xy ln ln ++=y xln 1ln 1++=, 以下同解1. 三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xx x 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(s i n s i n 1)s i n 1(s i n s i n 1c o s s i n 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分）（令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(.解 )(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 ) C x dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 ) ⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442c o s s i n ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 274⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2） dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分）四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222，即 dtdw w dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得对角线的增加率：3=dt dy（cm/s ）. -------------------------------------------------- ( 2分 ) 2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解 ct dtdxt v 2)(== ----------------------------------------------------------- ( 2分 ) cx t c t c k x f 444)(2222===, -------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdx W 04＝22ca . ------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(x x x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x ,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 ) 六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dx xe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分）[]x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C eC y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C eC y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Ro lle中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 )令nnx a xa x a x f n sin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 ) 在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第一章函数与极限 13 %；第二章一元函数的导数与微分 16 %；第三章微分中值定理与导数的应用 20 %；第四章不定积分 14 %；第五章定积分及其应用 30 % . 第六章常微分方程 7 % .。

高数13级高数(上)期末试卷

(A) 有界(B) 可导(C) 有原函数(D) 可积三、判断题（对的打勾错的打叉）(共5题，每题2分，共10分)1.（）一切初等函数在其定义区间内都是连续的.2.（）)(])([22x f x f '='运算无误.3.（）0→x 时，37x x +是46x x +的高阶无穷小.4.（）因为3x y =为奇函数，区间) (∞+-∞，关于原点对称，所以0d )( =⎰∞+∞-x x f .5.（）若直线为过一定点与已知平面垂直的直线，则该直线方向向量的方向是唯一的.四、解下列各题(共6小题，每小题5分，共30分) 1. 已知⎰+=x t t y 2 02d 1，求y ''. 2. 求⎰x x x d e 22.3. 求)11e 1(lim 0x x x --→ . 4. 已知62134++=x x y ，求)(n y5. 已知0d cos d e 0=+⎰⎰xytt t t ，求22d d x y 6. 求⎰-π3d )cos 1(x x五. (12分)设曲线x y 22=与直线4-=x y 围成的图形在第一象限中的部分为D ，求(1)D 的面积；(2)D 绕x 轴旋转形成的立体体积； (3)曲线x y 22=绕x 轴旋转形成的旋转曲面的曲面方程。

六. (10分)(1)方程对称式的直线标准式且平行直线，，求过点)(012022) 1 3(⎩⎨⎧=--+=++--z y x z y x(2)求其方程，到该平面的距离为，，且点平行，设一平面与平面 3)3 2 1( 0122-=++-z y x .七.(10分)设)1ln()(2x x f +=，讨论函数)(x f 的单调性和曲线)(x f y =的凹凸性 .八. (8分)设1 0>>>n b a ，证明：)()(11b a na b a b a nb n n n n -<-<---.。

高等数学习题库(理工科)

高等数学（工本）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设向量a={2，1，-1}与y 轴正向的夹角为β，则β满足( )A.0<β<2πB.β=2πC.2π<β<π D.β=π2.若fx(x0，y0)=fy(x0，y0)=0，则点(x0，y0)一定是函数f (x ，y)的( ) A.驻点 B.极大值点 C.极小值点 D.极值点3.设积分区域D 是由直线x=y ，y=0及x=2π所围成，则二重积分⎰⎰Ddxdy的值为( )A.21B.2πC.42πD.82π4.下列微分方程中为线性微分方程的是( )A.yx y dxdysin += B.xexxy dxyd )1(222+=-C.yx dxdycos = D.xdx dy x dxyd 1)(222=+5.在下列无穷级数中，收敛的无穷级数是( )A.∑∞=-1121n n B.∑∞=1)23(n nC.∑∞=1231n nD.∑∞=++12231n n n二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.已知向量a={-1，3，-4}和b={2，0，1}，则3a+b=_________. 7.设函数z=2x2-3y2，则全微分dz=_________.8.设积分区域D:x2+y2≤4，则二重积分⎰⎰Ddxdyy x f ),(在极坐标下化为二次积分为_________.9.微分方程y ″+y=8的一个特解y*=_________.10.无穷级数1+1+++++!1!31!21n 的和为_________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点（3，3，-2）并且与平面2x-y+z-3=0垂直的直线方程. 12.求空间曲线L ：x=2t ，y=t2，z=t3在点（2，1，1）处的法平面方程.13.求函数f (x ，y ，z)=x2-y+z2在点P （2，-1，2）处沿方向L={2，-1，2}的方向导数.14.已知函数z=f (2x+y ，x-3y)，其中f 具有连续的一阶偏导数，求y z∂∂.15.计算积分I=⎰⎰11.sin xdy yy dx16.计算三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydzy x22，其中积分区域Ω是由x2+y2=2，z=0及z=2所围成.17.计算对弧长的曲线积分⎰+C yx dse222，其中C 是圆周x2+y2=1.18.计算对坐标的曲线积分⎰-+Cdyy x ydx x )(2，其中C 为曲线y=x2从点（0，0）到（1，1）的一段弧.19.求微分方程y ″-2y ′-3y=0的通解.20.已知曲线y=f (x)上任意点（x ，y ）处的切线斜率为y-x ，且曲线过原点，求此曲线方程.21.判断无穷级数∑∞=+131n nn 的敛散性.22.求幂级数nn nnxn ∑∞=--1132)1(的收敛区间.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23．求函数f (x ，y)=x2+xy+y2-6x-3y 的极值. 24．求锥面z=22y x+被柱面z2=2x 所割下部分的曲面面积S.25．将函数f (x)=x -31展开为x 的幂级数.高等数学（一）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

2013-2014第一学期高等数学试卷A及答案

郑州轻工业学院2013-2014学年第一学期高等数学A 试卷A试卷号：A20140100（1）一、单项选择题(每题3分，共15分)1．xx e 10lim →=（ D ）（A ）0 （B ）+∞ （C ）-∞ （D ）不存在 2．当0x →时，下列与x 不等价的无穷小是（ C ）（A ）tan x ；（B ）sin 1xe-；（C1；（D3．已知),)()()(()(d x c x b x a x x f ----=且))()(()(0d a c a b a x f ---='，则（Ａ）．（A ） a x =0；（B ） b x =0；（C ）c x =0；（D ） d x =0。

4．下列命题中，正确的是（Ｂ）A 若函数()y f x =在点0x 没有定义，则)(lim 0x f x x →一定不存在；B 若函数()y f x =在点0x 可导，则它在点0x 必然连续；C 即使函数()y f x =在点0x 可导，它在点0x 不一定可微；D 若)(lim 0x f x x →存在，则函数)(x f 在点0x 一定连续5．若⎰⎰'=',)()(dx x g dx x f 则必有Ｃ。

（A ）)()(x g x f = （B ）dx x g dx x f )()(⎰⎰=（C ）c x g x f +=)()( （D ）0)()(=-x g x f二、填空题(每题3分，共15分)1．设点(1,2)为曲线23bx ax y +=的拐点，则数组=),(b a （－１,３）． 2．设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则在至少存在一点(),a b ξ∈，使得()f ξ'=()()f b f a b a-- .3. 极限203050(21)(32)lim (35)x x x x →∞+-=+ 202()3.4．设,a x y x a dy =+=则 1(ln )a x ax a a dx -+5．⎰=-+dx x x x)cos 156(2565tan ln 5x x x c +-+ 三、计算题 (每题6分，共36分) 1．已知函数)1)(1()(2--=x x x f ，求函数的单调区间解：()(1)(31)f x x x '=-+令()0f x '= 得1x =或13x =- 3分当1(,)3x ∈-∞-时 0y '> ，()y f x =单增当1(,1)3x ∈-时 0y '< ，()y f x =单减当(1,)x ∈+∞时 0y '> ，()y f x =单增 6分 2．求极限：x x x x 2)1212(lim +-∞→解：21222221212lim()lim(1)2121x x x x x x x x x +-⋅⋅-+→∞→∞--=+++ 4分 2e -= 6分3．验证e sin x y x =满足关系式''2'20y y y -+=解：'e sin e cos ,x x y x x =+， 2分 ''e sin 2e cos e sin 2e cos x x x x y x x x x =+-= 4分代入等式左边''2'22e cos 2(e sin e cos )2e sin 0xxxxy y y x x x x =-+=-++==右边。

13-14-1高数期末试题及答案

y(0) 0 ，
1. 在 (0, ) 上分析 y(x) 的单调性及曲线 y y(x) 的凹凸性；2.计算 lim x3 y(x); x0
解：1.由于 y(x) 3x2 2 y2 0 ，所以 y y(x) 在 (0, ) 上单调递增；
y(x) 6x 4 y y 6x 4 y(3x2 2 y2 ) 0 ，所以 y y(x) 在 (0, ) 上为凹函数。
dx
解： 1 2 y y 0 sin2 ( y x) ( y 1) ，所以 1 sin2 ( y x) y (sin2 ( y x) 2 y) ，
所以
y
1 sin2 ( y x) sin2 ( y x) 2 y
。
六、设
f
(x)
1 x2 ,
e
x
,
x 0 ，计算 5 f (x 2) dx 。
f (1) 1 6 g(x)dx 1 g()(6 3) g(), (3, 6) ；所以 g(1) g() ，由洛尔定理可
33
3
得：至少存在 (1,) (1, 6) ，使 g( ) 0 ，即f ( ) f ( ) 0 。
四、若
x y
t
t
1
t ue
2 3u
du
，计算（1） dy ，（2）曲线在 t 1处的切线方程。 dx
cos x
x2
lim 6ecos2 x ( sin x)
x0
2x
3e1 。
三、计算下列积分（每个小题 7 分，共 14 分）
1、计算积分
x dx x 1
解：设 x t, x t2, dx 2tdt, 所以原式
t
t2
2tdt 1
2
t
2

13~14(一)高数(工)1期末考试(A)试卷解答

上海应用技术学院2013—2014学年第一学期《高等数学（工）1》期（末）试卷A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．B ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．C ； 6．C ； 7．D ； 8．B ； 9．D ； 10．A ．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分． 11．a be； 12．2； 13．1111(1)e e y x y x e e e++-=-=-或；14．4e-； 15．43； 16．122(1)y x -=+．三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）． 17．求极限111lim 1ln x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭．解：1111ln 1lim lim 1ln (1)ln x x x x x x x x →→-+⎛⎫-=⎪--⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 111lim 1ln x xx x x →-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 2121lim 11x xx x →-=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 12=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）18．设arctan ln(y x x =+，求221x d ydx=．解：2211111y x x ⎛⎫'=+=++．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 332222222221122121(3)(3)x xx y x x x x x --''=-=-++++（）（）．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）158x y =''=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）19．设函数)2arcsin(2)1(x x y +=，求dxdy．解：2ln arcsin(2)ln(1)y x x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）2212)arcsin(2)1xy x x y x '=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）2arcsin(2)222(1))arcsin(2)1x x y x x x x ⎛⎫'=+++⎪+⎭．．．．．．．．（1分）另解：2arcsin(2)ln(1)x x y e+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）()2arcsin(2)ln(1)2arcsin(2)ln(1)x xy e x x +''=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）2arcsin(2)222=(1))arcsin(2)1x x x x x x ⎛⎫+++⎪+⎭．．．．．．．．．．．．．．（3分）20．判定曲线2()(714)xf x e x x =-+的凹凸性与拐点．解：22()(714)(27)(57)x x x f x e x x e x e x x '=-++-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）22()(57)(25)(32)(2)(1)x x x x f x e x x e x e x x e x x ''=-++-=-+=--．．．．．．．（1分）令()0f x ''=，得到1,2x x ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）在(,1)-∞内，曲线2()(714)x f x e x x =-+是凹的；在(1,2)内，曲线2()(714)x f x e x x =-+是凸的；在(2,)+∞内，曲线2()(714)x f x e x x =-+是凹的；拐点2(1,8),(2,4)e e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）21．计算不定积分()cos ln 2x x dx x+⎰．解：()()2cos ln 2cos ln ln (1)x x dx x d x x x+=++⎰⎰．．．．．．．．（4分）（注：加号前后各2分）3222sin(ln )(1)3x x C =+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）（注：前两个一个一分，但是两个都写对了C 漏写还是要扣一分）22．计算定积分2．解： sec x t =令，sec tan dx t tdt =，23x t π=→=，4x t π=→=．．．．．．．．（2分）22334344tan tan sec sec t t tdt dt t t ππππ==⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 234sin cos t tdt ππ=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 234sin sin td t ππ=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） ()334sin 324t ππ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）23．计算定积分1320arctan()x x dx ⎰．解：1320arctan()x x dx ⎰1241arctan()4x dx =⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）()142142001arctan()arctan()4x x x d x =-⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 144012441x x dx x π⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 14012441x x dx x π⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 112400112441xdx dx x π⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 1122001arctan()44x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1214448πππ-⎛⎫=-+=⎪⎝⎭ (注：或者11arctan124-)．．．．．．．（1分）24．求微分方程2223,xdy xy x e dx-=满足初始条件01==x y 的特解．解：（解法一）dyxy dx=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） dy xdx y = dy xdx y⇒=⎰⎰ 2l n l n 2x y C ⇒=+ 22xy C e ⇒=．．．．．．．．．．（1分）令原方程的通解为22()x y C x e =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）则2222()()x x y C x e C x e x ''=+，代入原方程得222222222()()()3x x x x C x e C x e x xC x e x e '+-=2()3C x x '⇒=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 23()3C x x dx x C ==+⎰通解为232()x y x C e =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）由01==x y ，则1C =-232(1)x y x e =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）（解法二）令()P x x =-，222()3x Q x x e =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 222(3)x xdxxdxe x e e dx C -⎰⎰=+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）2222222(3)x x x e x e edx C -=+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）222(3)x e x dx C =+⎰232()x e x C =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）由于01==x y ，则1C =-，所以特解为232(1)x y e x =-．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）． 25．求由曲线xy 1=，直线x y +=1,1=x 及2=x 所围图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．解：（1）22111(1)S x dx dx x=+-⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 22211(1)5ln ln 222x x +=-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）（2） 2222111(1)x V x dx dx x ππ=+-⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 22311(1)13x x ππ+=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 278135(1)326πππ-=+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）（注：如果公式全写错但图形画对了但可以给1分）26．设)(x f 在[0,1]上可导，且11(1)022f f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭．又设 212()()x x F x f t dt +=⎰．（1）求()F x '；（2）证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=；（3）证明：至少存在一点(0,1)η∈，使得()()0F F ηηη'''+=．证：（1）211()()2()22x F x f x x f +'=-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）（2）13(1)2(1)(1)(1)22F f f f '=-=且11(0)()22F f '=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）则()23(1)(0)(1)02F F f ''=-<，由于()F x '在[0,1]上连续，由零点存在定理，存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=。

2013—2014学年度第一学期数学期末考试题目

金塔汽车维修中等专业学校2013—2014学年度第一学期期末考试试题高一数学（必修1）适用班级：2013级学生（2013艺术高考班）命题人：姜永齐班级：姓名：亲爱的同学，你好！一起生活和学习了一个学期，我们从不熟悉到了解，逐步学会了学习，并渐入佳景。

今天是展示你才能的时候了，只要你仔细审题、认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有出色的表现，放松一点，相信自己的实力！说明：考试时间100分钟，全卷满分120分第I 卷选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（注：将答案填在答题卷上的表格里）1.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(，则=)1(f （）A ．3B ．1-C ．1D ．3 2.化简：[]4332)5(-的结果为（）A ．5B ．5C ．5-D ．5-3.下列命题中，①a a n n =；②R a ∈，则()1102=+-a a ；③y x y x +=+34334；④623)5(5-=-。

正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34. 已知集合{}1,1-=M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=+z x x N x ,42211 ，则=N M （） A.{}1,1- B.{}1- C.{}0 D.{}0,1- 5.设9.014=y ，48.028=y ，5.13)21(-=y ，则（）A.213y y yB.312y y yC.321y y yD.231y y y 6.当11≤≤-x 时，函数22-=x y 的值域为（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,23B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0 C.[]0,1- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,237. 已知函数xx f -=11)(的定义域是M ，)1ln()(x x g +=定义域是N ，则N M 等于（）A.{}1- x xB.{}1- x xC.{}11 x x -D.Φ8.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈21,3,1,1a ，则使函数ax y =的定义域为R ，且为奇函数的所有a 的值为 ( )A ．3,1B ．1,1-C ．3,1-D ．3,1,1- 9.函数x x f 2log )(=的图象大致是（）10.已知函数⎩⎨⎧≤=0,20,log )(3x x x x f x ，则=))91((f f （）A.4B.41C.4-D.41-11. 如果函数a x x x f ++=2)(2没有零点，那么实数a 的取值范围是（）A.1 aB.1 aC.1≤aD.1≥a 12.若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 的定义域是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21B.⎥⎦⎤⎝⎛-0,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21D.()+∞,0金塔汽车维修中等专业学校2013—2014学年度第一学期期末考试一、选择题：（本大题小共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项第II 卷非选择题（共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数)10(43)(2≠-=-a a a x f x 且的图象一定经过定点．14. 函数b a x f x +=)(的图象如图所示，则=)3(f ．15.已知函数31)2lg()(-+-=x x x f16.给出下列五个命题：①函数x y 2=与函数x y )21(=的图象关于y 轴对称；②幂函数x y =与3x y =都是奇函数且在区间()+∞,0上单调递增；③计算：1)12(log )12(-=+-；④设函数()x f 是在区间[]b a ,上图像连续的函数，且()()0<⋅b f a f ，则方程()0=x f 在区间[]b a ,上至少有一实根；⑤函数x x f 2log )(=与x x f 21log )(=的图象关于x 对称。