2014年北京市西城区高三一模数学(理科)及答案
北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试数学理-含答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+? （C ）(0,4)（D ）(8,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B CD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立. 由上表可知， 1()2P A =，()P B p =.所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+?? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分 又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增． 故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
2014年北京西城区高三一模数学试题解析
2014年北京西城区高三一模数学试题解析拿到西城一模数学试卷，隐隐觉得有点“不详”的预感。
通观全卷，感觉这份卷子出得有点让人哭笑不得。
【选择分析】8个选择，题型设计非常常规。
需要提一下的是第7题，一个函数应用题，此题的出现基本上和考试说明中提出的“考察实际能力”的精神是相符合的。
但其实，真要纠结于这一点的话，函数应用题，并不是一个特别生僻的点，即使把它勉强算成较少考察大的点，那么整张卷子，也没有第二道题出现了所谓的考察实际能力。
此题难度一般。
第8题，传统意义上的选择压轴。
题目本身没有设置特别大的难度，但是题干的用语却十分复杂纠结。
一个正四面体、任意一点到定点距离、距离构成的集合、集合元素还有限。
如果考生被这些或有用或无用的条件耽误太多时间，那么可能此题真的就成了一个难点。
但只要是有一个比较良好的审题习惯，并且对于高中的一百多知识点都非常熟悉，此题其实难度也没有想象中那么大。
【选择解读】逃离第八题本身的难度讨论，但是从第八题的出题方式也许能成为某种信号：绝对难度值降下来了，但是难度方式却发生了转移，更强调对于数学术语和数学逻辑的理解的考察。
如果命题者真是把这样的考察方式理解为考察数学思想。
那么本题的参考价值或许真的不小。
（当然，平心而论，笔者并不觉得这种出题方式和所谓的数学思想有多大关系，但或多或少，为数学思想提供了一个试题出口。
这个信号对于考生的价值其实还是比较大的。
）【填空分析】6个填空也没有太大的变化，平稳为主。
值得注意的是14题，和前面所说的第8题在某种程度上，如出一辙：绕！直角梯形，向量，内积加上莫名其妙的函数，或许会让部分学生有点晕头转向。
但其实，如果我们把这个题稍稍做调整，把函数换成“对应关系”四个字，也许晕的同学会减少不少，在很多同学考后给我的信息是：在考场上纠结函数大的解析式是什么纠结了很久，然后无果只能放弃。
这或许正式出题人的意图，用复杂的“条件们”去阻碍思路。
【填空解读】其实，14题算是一道好题，对于数学思想的考察明显比第8题要好很多。
2014北京西城区高三期末数学(理)试题
北京市第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4 （B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1- （B ）i -（C ）1（D ）i6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b << （D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116- （B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．侧(左)视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组 乙组 891a822 F B CEAHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.。
【解析版】北京市西城区2014届高三上学期期末考试试题(数学 理
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （ ）（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2.已知复数z 满足2i=1i z +，那么z 的虚部为（ ）（A ）1- （B ）i - （C ） （D ）3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ）（A ）4 （B（C ）3 （D4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）34（B）45（C）56（D）5.已知圆22:(1)(1)1C x y++-=与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧»AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）（A）2y x=+-（B）1y x=+-（C）2y x=-+（D）1y x=+-6.若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b < （C ）0a b << （D ）0b a <<7.．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ）（A ）116-（B ） 18- （C ） 14-（D ）8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D 【解析】试题分析：棱长为，故体对角线1BD =6，根据对称性，只需研究[1,3]x ∈，函数()y f x =的值域，连接11,,AB B C AC ，则1BD ⊥面1AB C ，此时2BP =，当1BP =时，截面周长为截面1AB C 周长的一半，即，当3BP =时，即当截面过体对角线1BD 中点时，此时截面为正六边形，其顶点为个棱的中点，如图所示，截面周长为.，所以函数()y f x =的值域为.考点：1、直线和平面垂直的判定；2、截面周长. 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．【答案】4 【解析】试题分析：=1,3(3OA AB =- （），，k-3)，因为OA AB ⊥ ，故0OA AB ⋅= ，即-3+3(k-3)=0，解得4k =.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.10.若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示， 那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12.甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13.如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点.若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB =______．14.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v .（1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．考点：1、映射的概念；2、不等式组表示的平面区域.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()f α=[π,π]α∈-，求α的值；（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16.（本小题满分13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示． （Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．甲组 乙组 891 a822考点：1、平均数；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列和期望. 17.（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60=∠BAD ，四边形BDEF是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3， H 是CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. 因为 ED BD D = ，所以AC ⊥平面BDEF .（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()22BH =- ，(2,0,0)DB =.设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩令11z =，得(0,=n . 由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则1cos ,2ED ED ED⋅<>===-n n n . 由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60.考点：1、直线和平面垂直的判定定理；2、直线和平面所成的角；3、二面角. 18.（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，()(1)e x f x x a '=++，因为0x e >，所以'()0f x >的解集为(1,)a --+∞，即单调递增区间；'()0f x <的解集为(,1)a -∞--，即单调递减区间；（Ⅱ）函数2()x a g x xe x -=-，令()0g x =，得()0x ax e x --=，显然0x =是一个零点，记()e x a F x x -=-，求导得()e 1x a F x -'=-，易知(,)x a ∈-∞时()F x 递减；(,)x a ∈+∞时()F x 递增，故()F x 的最小值min ()()1F x F a a==-，又1a <，故10a ->，即()0F x >，所以函数()g x 的零点个数1个.试题解析：（Ⅰ）解：因为()()e x f x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++．令()0f x '=，得1x a =--．当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：故()f x的单调减区间为(,1)a-∞--；单调增区间为(1,)a--+∞．19.（本小题满分14分）已知,A B是抛物线2:W y x=上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k，O为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB AC⊥，过,B C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求OD的最小值.【答案】（Ⅰ）34k；【解析】考点：1、直线的方程；2、直线和抛物线的位置关系；3、导数的几何意义.20.（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<.（Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.（Ⅱ）证明：因为201421()n T n n =+≤，所以113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤.因为[] n nb a=，所以1[3,4)a∈，2014[2,3)(2) na n∈≤≤.由21aqa=，得1q<.因为201220142[2,3)a a q=∈，所以20122223qa>≥，所以2012213q<<，即120122()13q<<.考点：1、等比数列的通项公式；2、数列前n项和；3、充要条件.。
2014年北京市西城区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2 4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log3165．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．78．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝；C的准线方程为．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是．（用数字作答）14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆W：＝1，直线l与W相交于M，N两点，l与x 轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1＝0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．2014年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵A＝（0，2]，B＝（﹣∞，1），∴A∪B＝（﹣∞，2]，∵全集为U＝R，∴∁U（A∪B）＝（2，+∞）．故选：C．2．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，1），＝（﹣5，1），若（+k）∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．﹣【解答】解：∵＝（2，﹣1），＝（1，1），∴，又＝（﹣5，1），且（+k）∥，∴1×（2+k）﹣（﹣5）×（k﹣1）＝0，解得：k＝．故选：B．3．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且与极轴平行的直线方程是（）A．ρ＝2B．θ＝C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2【解答】解：点（2，）在直角坐标系下的坐标为（2，2），即（0，2）∴过点（0，2）且与x轴平行的直线方程为y＝2．即为ρsinθ＝2．故选：D．4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a＝2，b＝2，那么输出的a值为（）A．44B．16C．256D．log316【解答】解：若a＝2，则log3a＝log32＞4不成立，则a＝22＝4，若a＝4，则log3a＝log34＞4不成立，则a＝42＝16，若a＝16，则log3a＝log316＞4不成立，则a＝162＝256若a＝256，则log3a＝log3256＞4成立，输出a＝256，故选：C．5．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）＝f（﹣x）和f（x ﹣π）＝f（x）的函数是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝sin2x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝cos2x 【解答】解：对于任意x∈R，f（x）满足f（x）＝f（﹣x），则函数f（x）是偶函数，选项中，A，B显然是奇函数，C，D为偶函数，又对于任意x∈R，f（x）满足f（x﹣π）＝f（x），则f（x+π）＝f（x），即f（x）的最小正周期是π，选项C的最小正周期是2π，选项D的最小正周期是＝π，故同时满足条件的是选项D．故选：D．6．（5分）“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程﹣＝1表示双曲线，则（m﹣10）（m﹣8）＞0，即m＞10或m＜8．∴“m＜8”是“方程﹣＝1表示双曲线”的充分而不必要条件，故选：A．7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n＝2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n＝＝n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n＝11n﹣（n2+n）﹣9＝﹣n2+10n﹣9＝﹣（n﹣5）2+16，∴当n＝5时，S n取得最大值16，故选：B．8．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6＝10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）设复数＝x+yi，其中x，y∈R，则x+y＝．【解答】解：∵，又＝x+yi，∴，∴，则x+y＝．故答案为：．10．（5分）若抛物线C：y2＝2px的焦点在直线x+2y﹣4＝0上，则p＝8；C 的准线方程为x＝﹣4．【解答】解：直线x+2y﹣4＝0，令y＝0，可得x＝4，∴＝4，∴p＝8，C的准线方程为x＝﹣4故答案为：8；x＝﹣4．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是．【解答】解：∵正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，故它的侧（左）视图一定是一个高为2的矩形，当侧（左）视图的底面为俯视图的高时侧（左）视图面积最小，此时侧（左）视图面积S＝2×＝故答案为：12．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是（3，5）．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y＝a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a＝3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a＝1+4＝5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）13．（5分）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是48．（用数字作答）【解答】解：采用捆绑及内部调整法，把三对师生看成三个整体，每对师生都有2种排列顺序，故不同的排法种数为A33×2×2×2＝6×8＝48．故答案为：48．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设＝x，＝y，对于函数y＝f（x），给出以下三个结论：①当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是②③．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵＝x，（0≤x≤1）．∴＝（﹣2，0）+x（1，a）＝（x﹣2，xa），∴＝＝（0，a）﹣（x﹣2，xa）＝（2﹣x，a﹣xa）∴y＝f（x）＝＝（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）＝（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．①当a＝2时，y＝f（x）＝5x2﹣8x+4＝，∵0≤x≤1，∴当x＝时，f（x）取得最小值；又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．综上可得：函数f（x）的值域为．因此①不正确．②由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立，因此②正确；③由y＝f（x）＝（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0＝．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x＝0时，函数f（x）取得最大值4．当时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）＝4，f（1）＝1，∴f（x）max＝f（0）＝4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2＝a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos B＝，b＝2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2＝a2+bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，又A∈（0，π），∴A＝；（Ⅱ）∵cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝＝，由正弦定理＝，得a＝＝3，∵b2+c2＝a2+bc，即4+c2＝9+2c，整理得：c2﹣2c﹣5＝0，解得：c＝1±，∵c＞0，∴c＝+1，＝bc sin A＝．则S△ABC16．（13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）a＝1﹣0.10﹣0.35﹣0.15﹣0.25＝0.15，b＝200﹣20﹣30﹣70﹣50＝30．…（2分）（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50＝1：2：1．…（4分）∴按分层抽样法，购买灯泡数n＝k+2k+k＝4k（k∈N*），∴n的最小值为4．…（6分）（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．…（7分）由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15＝0.25，…（8分）从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，∴，，，．…（11分）∴随机变量X的分布列为：…（12分）∴X的数学期望．…（13分）（注：写出，，k＝0，1，2，3．请酌情给分）17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（Ⅰ）求证：BC⊥D1E；（Ⅱ）求证：B1C∥平面BED1；（Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥CD，BC⊥CC1，又∵CD∩CC1＝C，∴BC⊥平面DCC1D1，…（2分）∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E．…（4分）（Ⅱ）证明：∵BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形D1DBB1是平行四边形．连接DB1交D1B于点F，连接EF，则F为DB1的中点．在△B1CD中，∵DE＝CE，DF＝B1F，∴EF∥B1C．…（6分）又∵B1C⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，∴B1C∥平面BED1．…（8分）（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC⊥D1E，又∵D1E⊥CD，BC∩CD＝C，∴D1E⊥平面ABCD．…（9分）设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设D1E＝a，则E（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，a），C（0，1，0），B1（1，2，a），G（1，0，0）．设平面BED1法向量为＝（x，y，z），因为，由，得令x＝1，得＝（1，﹣1，0）．…（11分）设平面BCC1B1法向量为＝（x1，y1，z1），∵，∴由，得令z1＝1，得＝（0，﹣a，1）．…（12分）由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，得，…（13分）解得a＝1．∴线段D1E的长度是1．…（14分）18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得f'（x）＝（xlnx）'＝lnx+1，其中x＞0，…（2分）所以f'（1）＝1，又因为f（1）＝0，所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1．…（4分）（Ⅱ）先考察函数g（x）＝﹣x2+2x﹣3，x∈R的图象，配方得g（x）＝﹣（x﹣1）2﹣2，…（5分）所以函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，且g（x）＝g（1）＝﹣2．…（6分）max因为对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1．…（8分）以下考察函数h（x）＝xlnx，x∈（0，+∞）的图象，则h'（x）＝lnx+1，令h'（x）＝lnx+1＝0，解得．…（9分）随着x变化时，h（x）和h'（x）的变化情况如下：即函数h （x ）在上单调递减，在上单调递增，且．…（11分）因为对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，都有f （x 1）＜f （x 2）成立， 所以 ．…（12分）因为（即h （x ）min ＞g （x ）max ），所以a 的取值范围为．…（13分）19．（14分）已知椭圆W ：＝1，直线l 与W 相交于M ，N 两点，l 与x轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0，求△OCD 外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为直线l 的方程为x +2y ﹣1＝0， 所以与x 轴的交点C （1，0），与y 轴的交点．…（1分）则线段CD 的中点，，…（3分）即△OCD 外接圆的圆心为，半径为， 所以△OCD 外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点． 理由如下：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx +m （km ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则，D （0，m ），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，…（7分）所以△＝16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|＝3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）20．（13分）在数列{a n}中，a n＝（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d＝b2﹣b1＜0．假设b1＝1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得，所以．因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以4d＝b5﹣b1＝b5﹣1＞﹣1，即．这与矛盾．所以假设不成立，即b1≠1．所以，因为b5＝b1+4d，b5＞0，所以，即，综上，得．（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个m项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．设，且K，L互质，L≥2）．当K＝1时，因为，所以＝，所以．当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a＝K m﹣1×M（M∈N*），所以＝．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．。
2014北京西城区高三期末数学理试题20210525124312
北京市第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷 （选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每题5 分，共 40 分 ． 在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项 ．1．设会集A { x | 0 x 2}， B { x | | x |≤ } ，则会集A B（ ）1（ A ） (0,1)（ B ） (0,1] （ C ） (1,2)（ D ） [1,2)2 复数 z 满足 z=2i，那么 z 的虚部为（）1 i（ A ）1 （ B ）i （ C ） 13．在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c. 若 a则 c（）（A ） 4 （B ） 15（C ）34．履行以下列图的程序框图，输出的S 值为（ ）3 （ A ）4（ B ） 4（ D ） i3 ， b 2 ， cos( A B)1 ，3（D ） 17开始i=1，S=05S S1（ C ） 56（ D ） 1i(i 1)i=i+1否i ≥ 5是输出 S结束22?5．已知圆C : ( x+ 1)+ ( y - 1) = 1与x轴切于A点，与y轴切于 B 点，设劣弧AB的中点为M ，则过点 M 的圆 C 的切线方程是（）（A）y = x + 2 -2（ B）y = x + 1-1 2（C）y = x - 2+2（ D）y = x+ 1- 2 6．若曲线ax2by 21为焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a ,b满足（）（ A）a2b211（ B）ba（ C）0 a b（ D）0 b a7．定义域为R的函数 f ( x) 满足 f (x 1) 2 f (x) ，且当 x (0,1] 时， f ( x) x2x ，则当 x [ 2, 1]时， f (x) 的最小值为（）（A）1（B）1（ C）1688. 如图，正方体ABCD A1B1C1 D1的棱长为 2 3 ，动点BD1的平面，记这样获得的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP x，则当 x [1,5] 时，函数 y f (x) 的值域为（）（A）[26,66]（B）[26,18]（C）[36,18]（D）[36,66]1（D）04P 在对角线BD1上，过点 P 作垂直于D1C1A1B1PD CA B第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点 A3)1,(，B(2, k) ，若向量 OA AB ，则实数k_____．10 ．若等差数列{ a n}满足a11a4a6 5 ，则公差d______ ；，2a2 a4 a6a20______．11．已知一个正三棱柱的全部棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．2侧(左)视图12．甲、乙两名大学生从 4 个公司中各选 2 个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1 个同样的选法种数是______. （用数字作答）13．如图，B,C为圆O上的两个点，P 为 CB 延长线上一点，PA为圆 O的切线， A为切点. 若PA2， BC3，则 PBAC______；______．ABO.BPC Ax y≥0,14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组 x y≤0, 所表示的平面地域为 D .在映照x2y2≤2u x y, T :x 的作用下，地域 D 内的点( x, y)对应的象为点(u, v).v y（1）在映照T 的作用下，点(2,0)的原象是；（2）由点(u,v)所形成的平面地域的面积为______．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）已知函数 f ( x) 3 cos x ，g( x) sin(π0)πx )(，且 g( x) 的最小正周期为 .3（Ⅰ）若 f ( )6[ π,π] ，求的值；，2（Ⅱ）求函数 y f ( x)g( x) 的单调增区间.16．（本小题满分13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，没法确认，假设这个数字拥有随机性，并在图中以 a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学均匀成绩同样，求（Ⅱ）求乙组均匀成绩超出甲组均匀成绩的概率；a 的值；（Ⅲ）当 a 2 时，分别从甲、乙两组中各随机采用一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学希望．甲组乙组882 29 0 1a17．（本小题满分 14 分）如图，在多面体 ABCDEF中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，BAD 60 ，四边形BDEF 是矩形，平面 BDEF⊥平面 ABCD， BF=3， H 是 CF的中点 .（Ⅰ）求证： AC⊥平面 BDEF；（Ⅱ）求直线 DH 与平面BDEF所成角的正弦值；E （Ⅲ）求二面角 H BD C的大小.FD HCAB18．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x) ( x a)e x ，此中 e 是自然对数的底数，a R .（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）当 a1 时，试确立函数 g( x) f ( x a) x2 的零点个数，并说明原由 .19．（本小题满分14 分）已知A, B是抛物线W : yx 2 上的两个点，点 A 的坐标为 (1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点 .（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求 k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为 W 上一点，且ABAC ，过 B,C两点分别作 W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD的最小值 .20．（本小题满分 13 分）设无量等比数列 {a n } 的公比为 q ，且 a n0( n N *) ，[ a n ] 表示不超出实数 a n 的最大整数（如 [2.5]2）,记b n[ a n ] ，数列 {a n } 的前 n 项和为 S ，数列 { b n } 的前 n 项和为 T .n n（Ⅰ）若 a 1 = 4, q =1，求 T n ；21（Ⅱ）若对于任意不超出2014 的正整数 n ，都有 T n = 2n + 1，证明： ( 2)2012q1.3（Ⅲ）证明：S n = T n （ n = 1,2,3,L ）的充分必需条件为挝 *, q N * .a 1 N更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查察试题）高考模拟试题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】。
北京市西城区2014+—+2015学年度第一学期期末高三理科考试试题
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+? （C ）(0,4) （D ）(8,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 120．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+ cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . (9)分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x 由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==. ………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分（Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事 件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立. 由上表可知， 1()2P A =，()P B p =.所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ (5)分111(1)222p p p =?+?? 1122p =+. (6)分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分又因为113p q ++=，0q ≥， 所以23p ≤.所以3253p ≤<. (8)分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分（Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） (7)分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. (9)分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0ts ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =,2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . (8)分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分)8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． (3)分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增． 故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分（Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
2014北京西城区高三期末数学(理)试题答案
2014.1
13．1
2
14． (1,1)
π
注：第 10、13、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：因为 g ( x )
sin(
x
π )(
0) 的最小正周期为 π
，
3
所以 2 ，解得 ω 2 ． |ω|
5
55
分
………………13
由
y3
1 k
k
2 5
，得 k
1
5
26
，验证知符合题意.
所以当 k 1 26 时， O D 有最小值 2 5 .
5
5
分
………………14
20．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：由等比数列{an} 的 a1 =
4 ，q =
1， 2
得 a1 = 4 ， a2 = 2 ， a3 = 1 ，且当 n > 3 时， 0 < an < 1 .
因为 bn = [an ] ，
所以 a1 [3, 4) ， an [2, 3)(2≤ n≤2014) . 分
由 q a2 ，得 q 1 . a1
分
因为 a2014 a2 q 2012 [ 2, 3) ，
所以 q 2012 ≥ 2 2 ， a2 3
所以
2 q 2012 1 ，即
21 ( ) 2012 q 1 .
(92, 90) ， (92, 91) ，
(92, 92) ，
……………… 9 分
则这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有取值为 0,1, 2, 3, 4 .
2014西城区高三(上)期末数学(理科)
2014西城区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}，则集合A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1]C．（1，2） D．[1，2）2．（5分）已知复数z满足z=，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B．C．3 D．4．（5分）执行如图的程序框图，输出的S等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）A．y=x+2﹣B．y=x C．y=x﹣2D．y=x+16．（5分）若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足（）A．a2＞b2B．C．0＜a＜b D．0＜b＜a7．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．08．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），B（﹣2，k），若向量，则实数k=．10．（5分）若等差数列{a n}满足a1=，a4+a6=5，则公差d=；a2+a4+a6+…+a20=．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为．12．（5分）甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是．（用数字作答）13．（5分）如图，B，C为圆O上的两个点，P为CB延长线上一点，PA为圆O的切线，A为切点．若PA=2，BC=3，则PB=；=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记不等式组所表示的平面区域为D．在映射T：的作用下，区域D内的点（x，y）对应的象为点（u，v）．（1）在映射T的作用下，点（2，0）的原象是；（2）由点（u，v）所形成的平面区域的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=cosωx，g（x）=sin（ωx﹣）ω＞0），且g（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）若f（α）=，α∈[﹣π，π]，求α的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）+g（x）的单调增区间．16．（13分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．18．（13分）已知函数f（x）=（x+a）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＜1时，试确定函数g（x）=f（x﹣a）﹣x2的零点个数，并说明理由．19．（14分）已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k，O为坐标原点．（Ⅰ）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．20．（13分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，且a n＞0（n∈N*），[a n]表示不超过实数a n的最大整数（如[2.5]=2），记b n=[a n]，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）若a1=4，q=，求T n；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n，都有T n=2n+1，证明：（）＜q＜1．（Ⅲ）证明：S n=T n（n=1，2，3，…）的充分必要条件为：a1∈N*，q∈N*．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选D2．【解答】z===1+i，∴z的虚部为1．故选：C．3．【解答】∵cos（A+B）=，∴cosC=﹣，在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣=17，∴c=．故选：D．4．【解答】根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+n=2第2次循环：S=+n=3…第4次循环：S═++…+n=5此时，n=5输出S=1﹣=故选B．5．【解答】由题意，M为直线y=﹣x与圆的一个交点，代入圆的方程可得：（x+1）2+（﹣x﹣1）2=1．∵劣弧的中点为M，∴x=，∴，∵过点M的圆C的切线的斜率为1，∴过点M的圆C的切线方程是y﹣1+=x﹣+1，即y=x+2﹣．故选A．6．【解答】由题意，曲线ax2+by2=1可化为．∵曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，∴，∴b＞a＞0．故选C．7．【解答】当x∈[﹣2，﹣1]时，x+2∈[0，1]，∴f（x+2）=（x+2）2﹣（x+2）=x2+3x+2，又f（x+1）=2f（x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=2f（x+1）=4f（x），∴4f（x）=x2+3x+2（﹣2≤x≤﹣1），∴f（x）=（x2+3x+2）=﹣（﹣2≤x≤﹣1），∴当x=﹣时，f（x）取得最小值﹣．故选：A．8．【解答】∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y min=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y max=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵=（1，3），=（﹣2，k）﹣（1，3）=（﹣3，k﹣3），向量，∴=（1，3）•（﹣3，k﹣3）=﹣3+3（k﹣3）=0，解得k=4．故答案为：4．10．【解答】等差数列{a n}满足a1=，a4+a6=5=2a5，∴a5=，∴=+4d，则公差d=．∴a2+a4+a6+…+a20=10（a1+d）+×2d=10×1+45=55，故答案为：，55．11．【解答】由正三棱柱的侧视图可知该三棱柱是平放着的三棱柱，如图：其中三棱柱的棱长为2，则三棱柱的正视图为矩形ABCD，其中AB=2，AD为正三角形的高，即AD=，∴此三棱柱正（主）视图的面积为2×，故答案为：2．12．【解答】由题意知本题需要分步来解，第一步甲大学生选实习公司，有=6种方法，第二步乙大学生选实习公司，有=4种方法，由乘法原理得：两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法有6×4=24种．故答案是24．13．【解答】∵PA是圆O的切线，PBC是割线，∴PA2=PB•PC，∵PA=2、BC=3，∴22=PB•（PB+3），解得PB=1（舍负）．∵PA切圆O于点A，∴∠BAP=∠C，又∵∠APB=∠CPA，∴△CPA∽△APB，可得==2．故答案为：1，214．【解答】不等式组所表示的平面区域D如图，（1）由，解得：．∴在映射T的作用下，点（2，0）的原象是（1，1）．（2）由，得．代入不等式组，得．可行域如图，∴点（u，v）所形成的平面区域的面积为．故答案为：（1）（1，1）；（2）π．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）解：因为g（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期π，∴，解得ω=2，由f（α）=，得=，即，∴2，k∈Z，∵α∈[﹣π，π]，∴α∈{}；（Ⅱ）函数y=f（x）+g（x）=+=+sin2xcos﹣cos2xsin=sin2x+cos2x=sin（2x+），由，解得kπ﹣，所以函数y=f（x）+g（x）的单调增区间为[kπ﹣]，k∈Z．16．【解答】（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得，解得a=1；（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，a的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．由（Ⅰ）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，∴当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）=；（Ⅲ）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）”为事件B，当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）．∴事件B的结果有7种，它们是：（88，90），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）．∴两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）的概率P（B）=．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，∴ON∥ED，∵ED⊥平面ABCD，∴ON⊥平面ABCD，由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，∴A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），E（﹣1，0，3），F（1，0，3），C（0，，0），H（，，）∵AC⊥平面BDEF，∴平面BDEF的法向量=（0，2，0）．设直线DH与平面BDEF所成角为α，∵=（，，），∴sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得=（﹣，，），=（2，0，0）．设平面BDH的法向量为=（x，y，z），则令z=1，得=（0，﹣，1）由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为=（0，0，﹣3），则cos＜，＞==﹣，由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角，∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°．18．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=（x+a）e x，x∈R，所以f′（x）=（x+a+1）e x．令f′（x）=0，得x=﹣a﹣1．当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1）；单调增区间为（﹣a﹣1，+∞）．（Ⅱ）结论：函数g（x）有且仅有一个零点．理由如下：由g（x）=f（x﹣a）﹣x2，得方程xe x﹣a=x2，显然x=0为此方程的一个实数解．所以x=0是函数g（x）的一个零点．当x≠0时，方程可化简为e x﹣a=x．设函数F（x）=e x﹣a﹣x，则F′（x）=e x﹣a﹣1，令F′（x）=0，得x=a．当x变化时，F（x）和F′（x）的变化情况如下：即F（x）的单调增区间为（a，+∞）；单调减区间为（﹣∞，a）．所以F（x）的最小值F（x）min=F（a）=1﹣a．因为a＜1，所以F（x）min=F（a）=1﹣a＞0，所以对于任意x∈R，F（x）＞0，因此方程e x﹣a=x无实数解．所以当x≠0时，函数g（x）不存在零点．综上，函数g（x）有且仅有一个零点．19．【解答】（Ⅰ）抛物线y=x2的焦点为（0，）．…（1分）由题意，得直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣1），…（2分）令x=0，得y=1﹣k，即直线AB与y轴相交于点（0，1﹣k）．…（3分）∵抛物线W的焦点在直线AB的下方，∴1﹣k＞，解得k＜．…（5分）（Ⅱ）设B（x1，x12），C（x2，x22），则∵A（1，1）且AB⊥AC，∴即（x1+x2）+x1•x2=﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又∵y′=2x，∴B、C处的切线的斜率为k1=2x1，k2=2x2，∴B、C处的切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1）和y﹣x22=2x2（x﹣x2），联立解得D（，x1•x2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设x1x2=t，由（x1+x2）+x1•x2=﹣2得=﹣1﹣，∴|OD|2=（﹣1﹣）2+t2=t2+t+1﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当t=﹣时，|OD|2min=，∴|OD|min=﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．【解答】（Ⅰ）解：∵等比数列{a n}中，a1=4，q=，∴a1=4，a2=2，a3=1，且当n＞3时，0＜a n＜1．…（1分）∵b n=[a n]，∴b1=4，b2=2，b3=1，且当n＞3时，b n=[a n]=0．…（2分）∴T n=．…（3分）（Ⅱ）证明：∵T n=2n+1（n≤2014），∴b1=T1=3，b n=T n﹣T n﹣1=2，（2≤n≤2014）．…（4分）∵b n=[a n]，∴a1∈[3，4），a n∈[2，3），（2≤n≤2014）．…（5分）由q=，得q＜1．…（6分）∵∈[2，3），∴，∴，即（）＜q＜1．…（8分）（Ⅲ）证明：（充分性）∵a1∈N*，q∈N*，∴∈N*，∴b n=[a n]=a n对一切正整数n都成立．∴S n=a1+a2+…+a n，T n=b1+b2+…+b n，∴S n=T n．…（9分）（必要性）∵对于任意的n∈N*，S n=T n，当n=1时，由a1=S1，b1=T1，得a1=b1；当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，b n=T n﹣T n﹣1，得a n=b n．对一切正整数n都有a n=b n．由，a n＞0，得对一切正整数n都有，…（10分）公比q=为正有理数．…（11分）假设q不属于N*，令q=，其中p，r∈，r≠1，且p与r的最大公约数为1．∵a1是一个有限整数，∴必然存在一个整数k（k∈N），使得a1能被r k整除，而不能被r k+1整除．又∵，且p与r的最大公约数为1．不属于Z，这与（n∈N*）矛盾．∴a k+2∴q∈N*．∴．…（13分）。
北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试理科数学(含答案)
北京市西城区2014－2015学年度高三第一学期期末试数学理第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin 4B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b（D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面x O 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+ （C ）(0,4)（D ）(8,)+侧(左)视图正(主)视图俯视图11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____． 13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B C D ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1BCE ； （Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）B CDA B 1C 1E FA 1 D 1已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)Pm m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.20．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事 件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A =，()P B p =. 所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分 又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1BCE ，EC ⊂平面1BCE ， 所以1A F ∥平面1BCE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10AE m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分 所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A BCD ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
2014西城高考一模数学理 (附答案)
北京市西城区2014年高三一模试卷数 学（理科） 2014．4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B = ð（ ） （A ）(,2]-∞ （B ）(,1]-∞ （C ）(2,)+∞ （D ）[2,)+∞2． 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c ． 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2（B ）12（C ）114（D ）114-3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 165．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x6． “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产． 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元． 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）3（B ）4（C ）5（D ）68． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） （A ）4个（B ）6个（C ）10个 （D ）14个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10． 若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________．12．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______．13． 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______．（用数字作答）14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ②(0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4． 其中所有正确结论的序号是_________．A BD C PBAD. P三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知222b c a bc +=+．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下． 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分．．．．．．层抽样．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望．117．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1BC // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，求线段1D E 的长度．18．（本小题满分13分）已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N ． 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列． 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1231122m m c c c c -++++-≤．北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学（理科） 2014．4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．25-10．84x =-11． 12．(3,5)13．48 14．○2，○3注：第10题第一问2分，第二问3分． 第14题若有错选、多选不得分．三、解答题：本大题共6小题，共80分． 其他正确解答过程，请参照评分标准给分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， ……………………………… 3分又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =． ……………………………… 5分（Ⅱ）解：因为 cos =B ，(0,π)∈B ，所以 sin 3B ==． ……………………………7分 由正弦定理sin sin =a bA B ， ………………………………9分 得 sin 3sin ==b Aa B． ……………………………10分 因为 222b c a bc +=+，所以 2250--=c c ，解得 1=c 因为 0>c ，所以 1=c ． ……………………………11分故△ABC 的面积1sin 22S bc A ==． ……………………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =． ……………………………… 2分 （Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=． ……………………………… 4分 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为4． ……………………………… 6分 （Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3． …………………………… 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=， ……………… 8分 从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，所以033127(0)C (1)464P X ==⨯-=， 1231127(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=， 2213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=，33311(3)C ()464P X ==⨯=． ……………………………… 11分 所以随机变量X 的分布列为：………………………………12分所以X 的数学期望2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………………13分（注：写出1(3,)4X B ，3311()C ()(1)44k k kP X k -==-，0,1,2,3k =． 请酌情给分）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥， 又因为 1= CD CC C ，所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………………………2分 因为 1D E ⊂平面11DCC D ， 所以1BC D E ⊥． ………………………………4分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形．连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C ．分 又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF 平面1BED ，所以 1//BC 平面1BED ． ………………………………8分1（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为 1D E CD ⊥，BC CD C = ，所以 1D E ⊥平面ABCD ． ………………………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴 如图建立空间直角坐标系，设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G ． 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，因为1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==， 由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩ 令1x =，得(1,1,0)=-n ． ……………………………11分 设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，因为 1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩ 令11z =，得(0,,1)a =-m ． ……………………………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，得||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ………………………………13分 解得1a =． ……………………………14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >， ……………………………… 2分所以 (1)1f '=， 又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-． ……………………………… 4分 （Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，配方得2()(1)2g x x =---， ……………………………… 5分 所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-．……………………………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤． …………………………… 8分 以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，则 ()ln 1h x x '=+，令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x ． …………………………… 9分 随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：即函数()h x 在1(0,)e上单调递减，在(,)e+∞上单调递增，且min 11()()e e==-h x h ． … 11分 因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1e≥a ． ……………………………… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >）， 所以a 的取值范围为1,e[1]．……………………………… 13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D ． ………………………… 1分 则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， …………………………… 3分 即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||24CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=． …………………………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……………………………… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………………………… 7分 所以 2216880k m ∆=-+>， （*） ……………………………… 8分由韦达定理，得122412km x x k -+=+， 21222212m x x k-=+． ………………………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合． 所以 1224120km x x k mk-+==+-， ………………………………10分解得 k = ………………………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =．12|x x -= ……………………………… 12分即 12||3||m x x k-==，解得 5m =±． …………………………… 13分 验证知（*）成立．所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为2y x =25y x =-±． ……………………………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一． 如3项子列12，13，16； ……………………………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥， 所以 210d b b =-<． ……………………………… 3分 若 11b = ，由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得212b ≤， 所以 2111122d b b =--=-≤． 因为 514b b d =+，50b >，所以 515411d b b b =-=->-，即14d >-． 这与12d -≤矛盾． 所以 11b ≠． 所以 112b ≤， ……………………………… 6分 因为 514b b d =+，50b >， 所以 51511422d b b b =-->-≥，即18d >-，综上，得108d -<<． ………………………… 7分 （Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ ．因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤． 设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）． 当1K =时，因为 112q L =≤，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++211111()()222≤-++++ m ， 112()2-=-m ，所以 112312()2m m c c c c -++++- ≤．……………………………… 10分 当1K ≠时，因为 11111m m m m K c c q a L---==⨯是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 1*()-=⨯∈m a K M M N ，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++1232111111()----=++++ m m m m M K K L K L L ． 因为 2L ≥，*K M ∈N ，， 所以 21112311111()()2()2222m m m c c c c --++++++++=- ≤． 综上， 1231122m m c c c c -++++- ≤． …………………………… 13分。
2014 — 2015西城区学年度第一学期期末试卷高三【数学理】
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，，则集合（ ）1,0,1{}A -=2{|2}B x x x =-<A B = （A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若，，则∆2a b=sin B =（ ）（A ）3A π=（B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =2．设命题：平面向量和，，则为（ ）p ∀a b ||||||-<+a b a b p ⌝ （A ）平面向量和，∀a b ||||||-+≥a b a b （B ）平面向量和，∃a b ||||||-<+a b a b （C ）平面向量和，∃a b ||||||->+a b a b （D ）平面向量和，∃a b ||||||-+≥a b a b4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4（B ）5（C ）6（D ）75．设函数，，则“”是“函数为奇函数”的（ ）()3cos f x x b x =+x ∈R 0b =()f x （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）（A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线，点，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点，使得2:4C y x =(,0)P m Q ，则实数m 的取值范围是（）90OQP Ð= （A ）(4,8)（B ）(4,)+¥侧(左)视图正(主)视图俯视图8. 设D 为不等式组表示的平面区域，点为坐标平面内一点，若对于区域D1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤(,)B a b xOy 内的任一点，都有成立，则的最大值等于（ ）(,)A x y 1OA OB ⋅≤a b +（A ）2（B ）1（C ）0（D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数，则 _____．2i12iz -=+||z =10．设为双曲线C ：的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12,F F 2221(0)16x y a a -=>，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.12||||4PF PF -=11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么______．x y z ++=12． 如图，在中，以为直径的半圆分别交，于ABC ∆BC AB AC 点，，且，那么____； _____．E F 2AC AE =AFAB =A ∠=13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小（C ）(0,4)（D ）(8,)+¥2x3ya321258z品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能θ0<θ<2π与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数, x ∈R 的部分图象如图所示.()cos cos 442x x xf x =+（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；()f x （Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求的值.BAO ∠tan 16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概 率121838（2）购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概 率p13q（Ⅰ）当时，求q 的值；14p =（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围； 45p（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学12p =16q =期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，，BC AD //，且90BAD ∠= ，点E 在棱AB 上，平面与棱相交于点F .122A A AB AD BC ====1A EC 11C D （Ⅰ）证明：∥平面；1A F 1B CE （Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角的余弦值；1A EC D --（Ⅲ）求三棱锥的体积的最大值.11B A EF -18．（本小题满分13分）已知函数和的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.2()(0)f x ax bx a =->()ln g x x =（Ⅰ）若点P 的坐标为，求的值；1(,1)e-,a b （Ⅱ）已知，求切点P 的坐标.a b =19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点满足条件2211612x y +=(,0)(4)P m m >B D 1.||||FA e AP =（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记和的面积分别为，PMF ∆PNF ∆1S ，求证：.2S 12||||S PM S PN =20．（本小题满分13分）设函数，对于任意给定的位自然数（其中是个位数字，()(9)f x x x =-m 0121m m n a a a a -= 1a 2a 是十位数字，），定义变换：. 并规定．记 A 012()()()()m A n f a f a f a =+++ (0)0A =10()n A n =，，， ，．21()n A n = 1()k k n A n -= （Ⅰ）若，求；02015n =2015n （Ⅱ）当时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<；3m ≥ （Ⅲ）如果，写出的所有可能取值.（只需写出结论）*010(,3)m n m m <∈≥N m n 北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C2．D3．A4．C5．C 6．D 7．B 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9． 10．1221416x y -=11．12．17412π313．14．9613注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+……………… 2分cos 22x x=+=，……………… 4分π2sin()26x +所以 .2π4π12T ==故函数的最小正周期为. ……………… 6分()f x 4π由题意，得，πππ2π2π2262x k k -++≤≤解得，4π2π4π4π+33k x k -≤≤所以函数的单调递增区间为. ……………… 9分()f x 4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z （Ⅱ）解：如图过点作线段垂直于B BC x 由题意，得，，33π4TAC ==2=BC 所以.2tan 3πBC BAO AC ∠==16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以++=1. ……………… 2分p 13q又因为， 14p = 所以=． ……………… 3分q 512（Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事 件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，……………… 4分则，且A ，B 独立. C AB AB AB = 由上表可知， ，. 1()2P A =()P B p = 所以 ……………… 5分()()()()P C P AB P AB P AB =++111(1)222p p p =´-+´+ . ……………… 6分1122p =+ 因为，114()225P C p =+> 所以.……………… 7分35p > 又因为，，113p q ++=0q ≥ 所以.23p ≤ 所以.……………… 8分3253p ≤<（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：X X402 P121838…………… 9分则. ……………10 分113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：Y Y201-P121316…………… 11分 则. …………… 12分111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯= 因为，EX EY >所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面平面.ABCD ∥1111A B C D 又因为平面平面，平面平面，ABCD 1A ECF EC =1111A B C D 11A ECF A F =所以∥. …………………2分1A F EC 又因为平面，平面，1A F ⊄1B CE EC ⊂1B CE 所以∥平面. …………………4分1A F 1B CE （Ⅱ）解：因为⊥底面ABCD ，，1AA 90BAD ∠= 所以，，两两垂直，以A 为原点，以，，分别为轴、轴和1AA AB AD AB AD 1AA x y z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则，，，1(0,0,2)A (1,0,0)E (2,1,0)C 所以 ,.1(1,0,2)A E =- 1(2,1,2)AC =- 设平面的法向量为(,,),m x y z =1A ECF由，,10A E m ⋅= 10AC m ⋅= 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令,得. …………………7分1z =(2,2,1)m =-又因为平面的法向量为， …………………8分DEC (0,0,1)n =所以，1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅由图可知，二面角的平面角为锐角，1A EC D --所以二面角的余弦值为. …………………10分（Ⅲ）1A EC D --13解：过点F 作于点,11FM A B ⊥M 因为平面⊥平面，平面,11A ABB 1111A B C D FM ⊂1111A B C D 所以平面,FM ⊥11A ABB 所以 …………………12分11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯.1222323FM FM ⨯=⨯⨯=因为当F 与点重合时，取到最大值2（此时点E 与点B 重合），1D FM 所以当F 与点重合时，三棱锥的体积的最大值为. ………………14分1D 11B A EF -4318.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得， …………………1分21(1e e ea bf =-=- 且，， …………………3分()2f x ax b '=-1()g x x'=由已知，得，即，11()(e ef g ''=2e eab -=解得，. …………………5分22e a =3e b =（Ⅱ）解：若，则，，a b =()2f x ax a '=-1()g x x'=设切点坐标为 ，其中,(,)s t 0s >由题意，得 ， ①2ln as as s -= ， ②…………………6分12as a s -= 由②，得 ，其中，1(21)a s s =-12s ≠代入①，得 .（*） …………………7分1ln 21s s s -=- 因为 ，且，1(21)a s s =>-0s > 所以 . …………………8分12s >设函数 ，，1()ln 21x F x x x -=--1(,)2x ∈+∞ 则 .…………………9分2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=- 令 ，解得或(舍).…………………10分()0F x '=1x =14x =当变化时，与的变化情况如下表所示，x ()F x '()F x x1(,1)21(1,)+∞()F x '+0-()F x ↗↘…………………12分所以当时，取到最大值，且当时.1x =()F x (1)0F =1(,1)(1,)2x ∈+∞ ()0F x < 因此，当且仅当时. 1x =()0F x = 所以方程（*）有且仅有一解.1s = 于是 ，ln 0t s ==因此切点P 的坐标为.…………………13分(1,0)19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 ，2211612x y +=所以 ,,, ………………2分4a=b=2c ==则 ，，. ………………3分12c e a ==||2FA =||4AP m =-因为，||21||42FA AP m ==-所以 . ………………5分8m =（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 ，，符合题意. …………6分21S S =||||PM PN =若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为，，.)2(-=x k y ),(11y x M ),(22y x N 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 ， ……………… 7分2222(43)1616480k x k x k +-+-= 可知 恒成立，且 ，. ……………… 8分0>∆34162221+=+k k x x 3448162221+-=k k x x 因为 ……………… 10分8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM)8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx，0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k 所以 . ……………… 12分MPF NPF ∠=∠ 因为和的面积分别为，PMF ∆PNF ∆11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， ……………… 13分21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠ 所以. ……………… 14分12||||S PM S PN =20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：，，，，114082042n =+++=2201434n =+=3182038n =+=418826n =+=，，……5141832n =+=6181432n =+= 所以 ．……………… 3分201532n =（Ⅱ）证明：因为函数，2981()(9)(24f x x x x =-=--+所以对于非负整数，知.（当或5时，取到最大值）… 4分x ()(9)20f x x x =-≤4x = 因为 ， 12()()()()m A n f a f a f a =+++ 所以 ． ……………… 6分()20A n m ≤ 令 ，则．1()1020m g m m -=-31(3)102030g -=-⨯> 当时，，3m ≥11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯-> 所以 ，函数，（，且）单调递增．(1)g()0g m m +->()g m m ∈N 3m ≥ 故 ，即．g()g(3)0m >≥11020()m m A n ->≥ 所以当时，对于任意的位自然数均有.…………………9分3m ≥m n 1()10m A n -<（Ⅲ）答：的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．m n …………………14分。
2014西城区高三(上)期末数学(理科)
2014西城区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}，则集合A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1]C．（1，2） D．[1，2）2．（5分）已知复数z满足z=，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B．C．3 D．4．（5分）执行如图的程序框图，输出的S等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）A．y=x+2﹣B．y=x C．y=x﹣2D．y=x+16．（5分）若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足（）A．a2＞b2B．C．0＜a＜b D．0＜b＜a7．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．08．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，3），B（﹣2，k），若向量，则实数k=．10．（5分）若等差数列{a n}满足a1=，a4+a6=5，则公差d=；a2+a4+a6+…+a20=．11．（5分）已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为．12．（5分）甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是．（用数字作答）13．（5分）如图，B，C为圆O上的两个点，P为CB延长线上一点，PA为圆O的切线，A为切点．若PA=2，BC=3，则PB=；=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记不等式组所表示的平面区域为D．在映射T：的作用下，区域D内的点（x，y）对应的象为点（u，v）．（1）在映射T的作用下，点（2，0）的原象是；（2）由点（u，v）所形成的平面区域的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=cosωｘ，g（x）=sin（ωｘ﹣）ω＞0），且g（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）若f（α）=，α∈[﹣π，π]，求α的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）+g（x）的单调增区间．16．（13分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．18．（13分）已知函数f（x）=（x+a）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＜1时，试确定函数g（x）=f（x﹣a）﹣x2的零点个数，并说明理由．19．（14分）已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k，O为坐标原点．（Ⅰ）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．20．（13分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，且a n＞0（n∈N*），[a n]表示不超过实数a n的最大整数（如[2.5]=2），记b n=[a n]，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）若a1=4，q=，求T n；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n，都有T n=2n+1，证明：（）＜q＜1．（Ⅲ）证明：S n=T n（n=1，2，3，…）的充分必要条件为：a1∈N*，q∈N*．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选D2．【解答】z===1+i，∴z的虚部为1．故选：C．3．【解答】∵cos（A+B）=，∴cosC=﹣，在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣=17，∴c=．故选：D．4．【解答】根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+n=2第2次循环：S=+n=3…第4次循环：S═++…+n=5此时，n=5输出S=1﹣=故选B．5．【解答】由题意，M为直线y=﹣x与圆的一个交点，代入圆的方程可得：（x+1）2+（﹣x﹣1）2=1．∵劣弧的中点为M，∴x=，∴，∵过点M的圆C的切线的斜率为1，∴过点M的圆C的切线方程是y﹣1+=x﹣+1，即y=x+2﹣．故选A．6．【解答】由题意，曲线ax2+by2=1可化为．∵曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，∴，∴b＞a＞0．故选C．7．【解答】当x∈[﹣2，﹣1]时，x+2∈[0，1]，∴f（x+2）=（x+2）2﹣（x+2）=x2+3x+2，又f（x+1）=2f（x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=2f（x+1）=4f（x），∴4f（x）=x2+3x+2（﹣2≤x≤﹣1），∴f（x）=（x2+3x+2）=﹣（﹣2≤x≤﹣1），∴当x=﹣时，f（x）取得最小值﹣．故选：A．8．【解答】∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y min=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y max=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵=（1，3），=（﹣2，k）﹣（1，3）=（﹣3，k﹣3），向量，∴=（1，3）?（﹣3，k﹣3）=﹣3+3（k﹣3）=0，解得k=4．故答案为：4．10．【解答】等差数列{a n}满足a1=，a4+a6=5=2a5，∴a5=，∴=+4d，则公差d=．∴a2+a4+a6+…+a20=10（a1+d）+×2d=10×1+45=55，故答案为：，55．11．【解答】由正三棱柱的侧视图可知该三棱柱是平放着的三棱柱，如图：其中三棱柱的棱长为2，则三棱柱的正视图为矩形ABCD，其中AB=2，AD为正三角形的高，即AD=，∴此三棱柱正（主）视图的面积为2×，故答案为：2．12．【解答】由题意知本题需要分步来解，第一步甲大学生选实习公司，有=6种方法，第二步乙大学生选实习公司，有=4种方法，由乘法原理得：两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法有6×4=24种．故答案是24．13．【解答】∵PA是圆O的切线，PBC是割线，∴PA2=PB?PC，∵PA=2、BC=3，∴22=PB?（PB+3），解得PB=1（舍负）．∵PA切圆O于点A，∴∠BAP=∠C，又∵∠APB=∠CPA，∴△CPA∽△APB，可得==2．故答案为：1，214．【解答】不等式组所表示的平面区域D如图，（1）由，解得：．∴在映射T的作用下，点（2，0）的原象是（1，1）．（2）由，得．代入不等式组，得．可行域如图，∴点（u，v）所形成的平面区域的面积为．故答案为：（1）（1，1）；（2）π．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）解：因为g（x）=sin（ωｘ﹣）的最小正周期π，∴，解得ω=2，由f（α）=，得=，即，∴2，k∈Z，∵α∈[﹣π，π]，∴α∈{}；（Ⅱ）函数y=f（x）+g（x）=+=+sin2xcos﹣cos2xsin=sin2x+cos2x=sin（2x+），由，解得kπ﹣，所以函数y=f（x）+g（x）的单调增区间为[kπ﹣]，k∈Z．16．【解答】（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得，解得a=1；（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，a的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．由（Ⅰ）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，∴当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）=；（Ⅲ）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）”为事件B，当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）．∴事件B的结果有7种，它们是：（88，90），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）．∴两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）的概率P（B）=．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC?平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，∴ON∥ED，∵ED⊥平面ABCD，∴ON⊥平面ABCD，由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系．∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，∴A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），E（﹣1，0，3），F（1，0，3），C（0，，0），H（，，）∵AC⊥平面BDEF，∴平面BDEF的法向量=（0，2，0）．设直线DH与平面BDEF所成角为α，∵=（，，），∴sinα＝|cos＜，＞|=||=，∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得=（﹣，，），=（2，0，0）．设平面BDH的法向量为=（x，y，z），则令z=1，得=（0，﹣，1）由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为=（0，0，﹣3），则cos＜，＞==﹣，由图可知二面角H﹣BD﹣C为锐角，∴二面角H﹣BD﹣C的大小为60°．18．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=（x+a）e x，x∈R，所以f′（x）=（x+a+1）e x．令f′（x）=0，得x=﹣a﹣1．当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：x（﹣∞，﹣a﹣1）﹣a﹣1（﹣a﹣1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘极小值↗故f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1）；单调增区间为（﹣a﹣1，+∞）．（Ⅱ）结论：函数g（x）有且仅有一个零点．理由如下：由g（x）=f（x﹣a）﹣x2，得方程xe x﹣a=x2，显然x=0为此方程的一个实数解．所以x=0是函数g（x）的一个零点．当x≠0时，方程可化简为e x﹣a=x．设函数F（x）=e x﹣a﹣x，则F′（x）=e x﹣a﹣1，令F′（x）=0，得x=a．当x变化时，F（x）和F′（x）的变化情况如下：x（﹣∞，a）a（a，+∞）F′（x）﹣0+F（x）↘极小值↗即F（x）的单调增区间为（a，+∞）；单调减区间为（﹣∞，a）．所以F（x）的最小值F（x）min=F（a）=1﹣a．因为a＜1，所以F（x）min=F（a）=1﹣a＞0，所以对于任意x∈R，F（x）＞0，因此方程e x﹣a=x无实数解．所以当x≠0时，函数g（x）不存在零点．综上，函数g（x）有且仅有一个零点．19．【解答】（Ⅰ）抛物线y=x2的焦点为（0，）．…（1分）由题意，得直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣1），…（2分）令x=0，得y=1﹣k，即直线AB与y轴相交于点（0，1﹣k）．…（3分）∵抛物线W的焦点在直线AB的下方，∴1﹣k＞，解得k＜．…（5分）（Ⅱ）设B（x1，x12），C（x2，x22），则∵A（1，1）且AB⊥AC，∴即（x1+x2）+x1?x2=﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又∵y′=2x，∴B、C处的切线的斜率为k1=2x1，k2=2x2，∴B、C处的切线方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1）和y﹣x22=2x2（x﹣x2），联立解得D（，x1?x2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设x1x2=t，由（x1+x2）+x1?x2=﹣2得=﹣1﹣，∴|OD|2=（﹣1﹣）2+t2=t2+t+1﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当t=﹣时，|OD|2min=，∴|OD|min=﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．【解答】（Ⅰ）解：∵等比数列{a n}中，a1=4，q=，∴a1=4，a2=2，a3=1，且当n＞3时，0＜a n＜1．…（1分）∵b n=[a n]，∴b1=4，b2=2，b3=1，且当n＞3时，b n=[a n]=0．…（2分）∴T n=．…（3分）（Ⅱ）证明：∵T n=2n+1（n≤2014），∴b1=T1=3，b n=T n﹣T n﹣1=2，（2≤n≤2014）．…（4分）∵b n=[a n]，∴a1∈[3，4），a n∈[2，3），（2≤n≤2014）．…（5分）由q=，得q＜1．…（6分）∵∈[2，3），∴，∴，即（）＜q＜1．…（8分）（Ⅲ）证明：（充分性）∵a1∈N*，q∈N*，∴∈N*，∴b n=[a n]=a n对一切正整数n都成立．∴S n=a1+a2+…+a n，T n=b1+b2+…+b n，∴S n=T n．…（9分）（必要性）∵对于任意的n∈N*，S n=T n，当n=1时，由a1=S1，b1=T1，得a1=b1；当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，b n=T n﹣T n﹣1，得a n=b n．对一切正整数n都有a n=b n．由，a n＞0，得对一切正整数n都有，…（10分）公比q=为正有理数．…（11分）假设q不属于N*，令q=，其中p，r∈，r≠1，且p与r的最大公约数为1．∵a1是一个有限整数，∴必然存在一个整数k（k∈N），使得a1能被r k整除，而不能被r k+1整除．又∵，且p与r的最大公约数为1．∴a k+2不属于Z，这与（n∈N*）矛盾．∴q∈N*．∴．…（13分）。
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北京市西城区2014年高三一模试卷数 学（理科） 2014.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B = ð（ ） （A ）(,2]-∞（B ）(,1]-∞（C ）(2,)+∞（D ）[2,)+∞2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2（B ）12（C ）114（D ）114-3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（ ）（A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 165．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x6． “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）3 （B ）4（C ）5（D ）68. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 10. 若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.BADC. P12．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD = ，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：○1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○2 (0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；○3 (0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积. 16．（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.A D CP（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD⊥，2AB =（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，求线段1D E 的长度. 18．（本小题满分13分）已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.1（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1231122m m c c c c -++++-≤.北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2014.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．25-10．8 4x =-11． 12．(3,5) 13．4814．○2,○3注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==，…………… 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为 cos =B (0,π)∈B ，所以 sin B ==.…………7分 由正弦定理sin sin =a bA B ， ………………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分因为 222b c a bc +=+， 所以 2250--=c c ， 解得 1=c因为 0>c ，所以 1=c . ………………11分故△ABC 的面积1sin 2S bc A ==……………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. ……………… 2分 （Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. ……………… 4分 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为4． ……………… 6分 （Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=， ……… 8分 从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，所以033127(0)C (1)464P X ==⨯-=， 1231127(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=， 2213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=，33311(3)C ()464P X ==⨯=. ………… 11分 所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 （注：写出1(3,)4X B ，3311()C ()(1)44k kk P X k -==-，0,1,2,3k =. 请酌情给分）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又因为 1= CD CC C ， 所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………2分 因为 1D E ⊂平面11DCC D ， 所以1BC D E ⊥. …………4分（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形.连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点.在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C .……………6分 又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF平面1BED ，所以 1//B C 平面1BED . (8)（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为 1D E CD ⊥，BC CD C = ，所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴 如图建立空间直角坐标系，设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G . 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，因为 1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩令1x =，得(1,1,0)=-n . ………………11分设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，因为 1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =，得(0,,1)a =-m .…………12分 由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3， 得 ||π|cos ,|cos 3⋅<>===m n m n m n ， ……………13分 解得1a =. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >… 2分所以 (1)1f '=，又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ……………… 4分（Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，1配方得2()(1)2g x x =---， ……………… 5分所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.……………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤. ……………… 8分 以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，则 ()ln 1h x x '=+， 令()ln 10h x x '=+=，解得1e=x . ……… 9分 随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：即函数()h x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，且m i n 11()()e e==-h x h … 11分 因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立， 所以 1e≥a . …… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >）， 所以a 的取值范围为1,e [1].…………… 13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D . ……………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，||CD ==， ……………… 3分即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||2CD =， 所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. …………… 5分 （Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……………… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分 所以 2216880k m ∆=-+>， （*） ……………… 8分由韦达定理，得122412kmx x k-+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 9分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k mk-+==+-， …………10分 解得2k =±. …………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.12|x x -= ………… 12分 即12||3||m x x k -==， 解得m =……… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l的方程为2y x =±或2y x =-±. ……………… 14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列12，13，16； …… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥， 所以 210d b b =-<. ……………… 3分 若 11b = ， 由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得212b ≤，所以 2111122d b b =--=-≤.因为 514b b d =+，50b >， 所以 515411d b b b =-=->-，即14d >-.这与12d -≤矛盾.所以 11b ≠. 所以 112b ≤， …… 6分 因为 514b b d =+，50b >，所以 51511422d b b b =-->-≥，即18d >-，综上，得108d -<<. ………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ .因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. 设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）. 当1K =时，因为 112q L =≤，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++211111()()222≤-++++ m ， 112()2-=-m ，所以 112312()2m m c c c c -++++- ≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为 11111m m m m K c c q a L---==⨯是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 1*()-=⨯∈m a KM M N ，所以 211231(1)m m c c c c c q q q-++++=++++1232111111()----=++++ m m m m M K K L K L L. 因为 2L ≥，*K M ∈N ，， 所以 21112311111()()2()2222m m m c c c c --++++++++=- ≤. 综上， 1231122m m c c c c -++++- ≤. ……………… 13分。