初中奥数系列：4.1.1实数基本概念及化简(数的开方).讲义学生版
八年级奥数实数知识点归纳
八年级奥数实数知识点归纳实数是我们在学习数学过程中会接触到的一种数，它是包括有理数和无理数的一种数集。
下面我们来归纳一下八年级奥数实数知识点。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两种。
其中有理数包括整数、正整数、负整数、分数和小数，无理数主要包括π 和√2 等无限不循环小数。
二、实数的运算1.实数加减法实数加减法遵循交换律、结合律和分配律。
例如，a+b=b+a，a+(b+c)=(a+b)+c，a×(b+c)=a×b+a×c。
2.实数乘法实数乘法同样可以遵循交换律、结合律和分配律。
此外，为了便于计算，我们通常会将分数化为最简形式。
3.实数除法在实数除法中，我们除数不能为 0。
如果被除数和除数同时为整数或者分数，我们可以直接进行除法运算。
如果被除数或者除数为无理数，我们可以采用近似的方法进行计算。
三、实数的大小比较实数的大小比较需要根据实数的正负性和绝对值进行分析。
例如，负数的绝对值大于正数的绝对值，而正数的绝对值又大于 0。
四、实数的表示实数可以通过分数和小数两种方式进行表示。
在小数中，我们还可以使用科学计数法来表示大数。
五、实数的应用在学习数学的过程中，实数的应用非常广泛。
例如，在物理学、化学和金融等领域，实数可以用来描述物理量、计算化学反应和进行金融投资分析等。
总结通过上文的介绍和归纳，相信大家对于八年级奥数实数知识点有了更加清晰的认识和了解。
在实际学习过程中，我们需要注重实际应用，同时也需要不断进行练习和巩固，从而更好地掌握实数的概念和运用。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。
简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。
有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。
而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。
实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。
也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
二、有理数有理数是实数的重要组成部分。
整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。
分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。
有理数具有一些很重要的性质。
比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。
而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。
我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。
比如购物时的价格、物品的数量等等。
三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。
像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。
圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。
无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。
虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。
乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。
除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。
乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。
在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
奥数专题讲座 实数(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑奥数专题讲座实数【知识概要】实数包括有理数与无理数，有理数的所有运算性质和运算律都适用于实数。
开不尽方的算数平方根是一类重要的无理数，实数运算的关键是算数平方根的化简和运算，其中以下三点必须引起注意：⑴多重根式的化简和计算：。
⑵分母有理化：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是。
⑶实数的整数部分和小数部分；先通过估算已知无理数，确定其整数部分a的值，再用已知无理数与a的差表示小数部分。
【赛题精析】例1化简 (第三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题)〔分析〕解本题的关键是将化成一个平方数，这里3＝2＋1＝，所以利用完全平方公式就可以得到。
例2化简 (1993年北京市初二数学竞赛初赛试题) 〔分析〕解本题可以将与分别化成一个平方数进行化简；另外由于与是互为有理化因式，并且（）（）＝4，因此原式平方后是一个正整数，我们也可以利用这一特点求解。
例3求的值。
(第三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题)〔分析〕不是的形式，不能直接配方，所以要把化成后，分子再配方；也可以将原式配方后再求值。
例4已知，求xy的值。
(1998年北京市初二竞赛复赛试题)〔分析〕∵，∴例5计算。
(第七届美国数学邀请赛试题)〔分析〕可以利用“四个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数”来求解。
例6计算：⑴。
(北京市竞赛题)⑵。
(1997年陕西省竞赛题)〔分析〕若一开始就把分母有理化，则计算必定繁难；仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分拆等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解。
例7设，求的整数部分。
(1998年全国初中数学竞赛试题) 〔分析〕先将已知代入原式中求出该式的值再来估算整数部分。
实数基本概念的讲义
实数基本概念的讲义实数的基本概念⼀．平⽅根平⽅根:如果⼀个数的平⽅等于a，那么这个数叫做a的平⽅根．也就是说，若2x a=，则x就叫做a的平⽅根．⼀个⾮负数a的平⽅根可⽤符号表⽰为“”．⼀个正数有两个平⽅根，它们互为相反数；0的平⽅根是0；负数没有平⽅根.例题：1.⼀个正数的两个平⽅根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____2.下列说法正确的是（）A.正数的平⽅根是它本⾝B.100的平⽅根是10C.﹣10是100的⼀个平⽅根D.﹣1的平⽅根是﹣1练习：1.已知|b﹣4|+（a﹣1）2=0，则的平⽅根是（）A．B．C．D．2．⼀个正数的平⽅根分别是x+1和x﹣5，则x= ．3．若⼀正数的两个平⽅根分别是a﹣3和3a﹣1，则这个正数是___．⼆：算术平⽅根算术平⽅根：⼀个正数a有两个互为相反数的平⽅根，其中正的平⽅根叫做a的算术平⽅根，可⽤符号表⽰0有⼀个平⽅根，就是0，0的算术平⽅根也是0，负数没有平⽅根，当然也没有算术平⽅根．例题：1.的算术平⽅根为____练习：1．（5+m）2的平⽅根是，算术平⽅根是．2．⾃由落体的公式为s=gt2（g为重⼒加速度，g=9.8m/s2）．若物体下落的⾼度s为78.4m，则下落的时间t是s．3．的算术平⽅根是．三：⽴⽅根⽴⽅根：如果⼀个数的⽴⽅等于a，那么这个数叫做a的⽴⽅根，也就是说，若3,x a则x就叫做a的⽴⽅根.⼀个数a3”叫做根指数，不能省略．2任何⼀个数都有⽴⽅根，且只有⼀个⽴⽅根，正数的⽴⽅根为正数，负数的⽴⽅根为负数，0的⽴⽅根为0．例题：1.计算的结果是（）2如果m2=36，n3=﹣64，=5，则m+n﹣x的值有____个．练习1．已知2a﹣7的平⽅根是±3，2a+b﹣1的算术平⽅根是4，求a+b的⽴⽅根．2．已知x ﹣2的平⽅根是±2，2x+y+7的⽴⽅根是3，求x 2+y 2的平⽅根．3.已知2x ﹣y 的平⽅根为±4，﹣2是y 的⽴⽅根，求﹣2xy 的平⽅根．四：实数1 ⽆理数的概念：⽆限不循环⼩数叫做⽆理数．注意：（1）所有开⽅开不尽的⽅根都是⽆理数，但不是所有带根号的数都是⽆理数．（2）圆周率π及⼀些含π的数是⽆理数．（3）不循环的⽆限⼩数是⽆理数．（4）有理数可化为分数，⽽⽆理数则不能化为分数．2 ⽆理数的性质：设a 为有理数，b 为⽆理数，则a+b ，a-b 是⽆理数；3 实数的概念：有理数和⽆理数统称为实数．实数的分类：0??正整数整数负整数有理数有限⼩数或⽆限循环⼩数正分数实数分数负分数正⽆理数⽆理数⽆限不循环⼩数负⽆理数4 实数与数轴上的点⼀⼀对应：即数轴上的每⼀个点都可以⽤⼀个实数来表⽰，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表⽰它的点．例题：1.下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，⽆理数有_____个2.把下列各数填⼊相应的集合：﹣1、、π、﹣3.14、、﹣、、0、0.131331333、﹣（1）有理数集合{ }；（2）⽆理数集合{ }（3）整数集合{ }（4）负实数集合{ }3.计算：﹣12+（﹣2）3×﹣×（）练习：1．计算：﹣|﹣2|+（）﹣1= ．2．计算= ．3．定义：如果⼀个数的平⽅等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i；（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；根据以上信息，下列各式：①i3=﹣1；②i4=1；③（1+i）×（3﹣4i）=﹣1﹣i；④i+i2+i3+i4+……+i2019=﹣1．其中正确的是（填上所有正确答案的序号）．4．计算：|8|﹣+（﹣3）0+2﹣1=综合练习：1.的平⽅根是．2.（﹣4）2的算术平⽅根是．3.计算：= ．4.已知⼀个正数的两个平⽅根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为．5.已知2a﹣1的平⽅根是±3，3a+b﹣1的平⽅根为±4，则a+2b的平⽅根是．6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，⽆理数的有个．7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为．8.⽐⼤且⽐⼩的整数是．9.将下列各数填⼊相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…①有理数集合{ …}②⽆理数集合{ …}③负实数集合{ …}．10.计算：﹣2+|﹣2|．11.计算：﹣﹣（﹣2）2．12.⼀个数值转换器，如图所⽰：（1）当输⼊的x为16时．输出的y值是；（2）若输⼊有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满⾜要求的x的值，并说明你的理由；（3）若输出的y是，请写出两个满⾜要求的x值：．。
八年级奥数实数知识点归纳总结
八年级奥数实数知识点归纳总结奥数，全称奥林匹克数学竞赛，是一项国际性的数学竞赛。
在奥数竞赛中，实数是一项非常重要的知识点。
在这里，我们将对八年级奥数实数知识点进行归纳总结。
一、实数定义实数包括有理数和无理数两部分，其中有理数可以表示成两个整数的比值，无理数不能表示成有理数的比值。
二、实数的运算1.实数加法：两个实数相加，符号相同则相加并保留符号，符号不同则相减并取较大的符号。
2.实数减法：一个实数减去另一个实数，相当于加上另一个数的相反数。
3.实数乘法：两个实数相乘，同号得正，异号得负。
4.实数除法：除以一个非零实数等于乘以它的倒数。
三、实数的表示1.实数绝对值：实数x的绝对值表示为|x|，x≥0时，|x|=x，x<0时，|x|=-x。
2.实数的相反数：实数x的相反数表示为-x，满足x+(-x)=0。
3.实数的倒数：非零实数x的倒数表示为1/x，满足x*(1/x)=1。
4.实数的数轴表示：实数可以在数轴上表示，数轴上左侧为负数，右侧为正数，原点为0。
四、实数的分类实数可分为有理数和无理数。
其中有理数还可分为整数、分数、正数和负数。
五、实数的大小比较实数的大小比较可以通过比较它们的绝对值的大小，如果相同再比较符号的大小。
也可以在数轴上进行比较，位于左侧的实数比位于右侧的实数小。
六、实数的应用实数在生活中有着广泛的应用，如在物理学中，实数可用于描述长度、重量等物理量；在经济学中实数可用于表示价格、收益等；在化学中，实数可用于表示温度、浓度等。
以上便是对八年级奥数实数知识点的归类总结。
掌握实数知识，对于参加奥数竞赛将会有很大的帮助。
初三奥数实数重点知识
初三奥数实数重点知识
初三奥数实数重点知识
导语：所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。
以下是小编为大家精心整理的初三奥数实数重点知识，欢迎大家参考！
1.数的分类及概念
数系表：
说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)
2)有标准
2.非负数：正实数与零的统称。
(表为：x≥0)
常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3.倒数：①定义及表示法
②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1时，1/a<1;D.积为1。
4.相反数：①定义及表示法
②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义(“三要素”)
②作用：A.直观地比较实数的.大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数)
定义及表示：
奇数：2n-1
偶数：2n(n为自然数)
7.绝对值：①定义(两种)：
代数定义：
几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。
沪教版 七年级数学 寒假班讲义 实数的概念及数的开方(学生版)
知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．如2、π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一 实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】 填空：1、若一个数不是有理数，那这个数一定是数；2、3-正数，整数，无理数；(填“是”或“不是”)3、圆的周长与直径的比值常数，有理数，无理数．(填“是”或“不是”)【例2】 已知四个命题，正确的有（ ） （1）有理数与无理数之和是无理数； （2）有理数与无理数之积是无理数； （3）无理数与无理数之和是无理数；（4）无理数与无理数之积是无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示．（1）实数不是有理数就是无理数． （ ） （2）无理数都是无限不循环小数． （ ） （3）带根号的数都是无理数．（）例题解析（4）无理数都是无限小数． （ ） （5）无理数一定都带根号．（ ） （6）两个无理数之和一定是无理数．（）（7）两个无理数之积不一定是无理数． （）【例4】 把下列各数分别填到相应的数集里边．327，2， 3.1415-，2π，103，34-，72-，0.201010010001-，1.732，7-有理数{ }； 无理数{ }； 正数{ }； 负数{}．一、开平方：1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数．模块二：数的开方知识精讲如21x =，1x =±，1的平方根是1±． 说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 3、算术平方根：正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”． ★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2）2a a =，2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 二、开立方：1、定义：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 三、开n 次方：1、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方．a 叫做被开方数，n 叫做根指数．2、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．3、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根． ★注意：1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示．其中被开方数a 是任意一个数，根指数n 是大于1的奇数；2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“n a -”表示．其中被开方数0a >，根指数n 是正偶数（当2n =时，在n a ±中省略n ）； 3）负数的偶次方根不存在；4）零的n 次方根等于零，表示为00n =．例题解析【例5】 填空：1、一个正方形的面积为15，则它的边长是___________；2___________；3、如果a 的平方根是a ，则a =______；如果a 的算术平方根是a ，则a =______．【例6】 下列说法中正确的是（）A ．4是8的算术平方根B ．16的平方根是4C 是6的平方根D ．a -没有平方根【例7】 下列各式中错误的是（）A ．0.6=±B 0.6=C ． 1.2=-D 1.2±【例8】 若()220.7x =-，则x =（） A ．-0.7 B ．±0.7C ．0.7D ．0.49【例9】 若实数a 1=，则a =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．1±【例10】）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数【例11】 （1）若24x =，29y =，则x y +=_________；（2_____________，算术平方根是___________；（3）若160x -+=，则x 的平方根是 ．【例12】 计算： （I ）求下列各数的平方根:(1)0；(2)2415⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)964-；(4)()20.25--．（II ）求下列各数的立方根：(1)0.216； (2)338-；(3)125±；(4)()0.064--．【例13】 （1）若0a <a -=__________________；（2）已知a 是小于1．【例14】 简答：（1）已知某数的平方根是31a+，求这个数；a-与5（2）已知31a+是同一个数的平方根，求这个数．a-与5【例15】下列说法：①16的4次方根是22±；③当n为大于1④当n为大于10a≥时有意义．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．②③D．③④【例16】求下列各式的值：（1）（2）（3）（4；（5．【例17】比较大小：1.732-（填“>”“<”“=”）．\【例18】 填空：（1）72的整数部分是______，小数部分是_______； （2）5-的整数部分是______，小数部分是_______． （3）适合于不等式727x <<的整数x 有．【例19】 填空：（1）已知12311.09=， 1.109a =，1109b =，则a =，b =； （2）已知 6.213 2.493≈，62.137.882≈，则621.3≈______，0.6213≈；（3）已知30.230.6127≈，32.3 1.320≈，323 2.844≈，则3230≈ ,323000-≈ ．【例20】 已知416a =，且a a =-，求94a +的平方根．【例21】 若01a <<，且16a a +=，求1a a-的值．数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；知识精讲模块三：数的方根运算和应用应用：与整式、分式的综合应用．【例22】 当x 为什么数时，下列各式有意义．（1）3x ；（2）5x -； （3）44x +； （4）()24x -；（5）24n x -；（6）632x -．【例23】 （1）若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 ；（2）x 为何值时，3423142x x x --++-有意义?（3）使得622xx --有意义的条件是 ．【例24】 填空：（1）8-的立方根与16的平方根之和为；（2）若()225x -与4y +互为相反数，则2x y +的平方根为．【例25】【例26】 已知221a A a b -=-+是21a b -+的算术平方根，12b B a b +=+是2a b +的立方根，求A B +的值．【例27】 已知22167(2)04m n m m -++=+，求n m 的值．例题解析【例28】若2244162x xyx-+-=+-，求2x y+的立方根．【例29】已知a b，分别是484，784的算术平方根，而c是-343的立方根，试求代数式222222a b c ab bc ac++-+-的值．一、填空题：【习题1】数3.14，2，π，0.323232，17，9，21+中，无理数的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【难度】★【答案】【解析】【习题2】填空：（1）81的平方是_________，81的平方根是_________；（2）()23-的平方根是_________，36的平方根是_________；（3）38的立方根是_________，23(3)-的立方是_________；（4）_________的四次方根为4±．随堂检测【习题3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由． （1）无限小数都是无理数( ) （2）若a 表示一个实数，则－a 表示一个负数 ( )（3）数轴上的点与有理数一一对应 ( )（4）任何实数的偶次幂是正实数() （5）在实数范围内，若x y =，则x y =()【习题4】 写出两个在3和4之间的无理数________．【习题5】 18=2=-2=4±，⑥2-，正确的有（ ）个 A ．4 B ．3C ．2D ．1【习题6】 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）A ．1B ．0C ．-1D ．1，-1或0【习题7】 下列各组数中互为相反数的是（）A ．2-B ．2-C ．22(与D ．【习题8】 把 1.6-、2π-、、0从小到大排列（）A ． 1.602π-<-<<<B ． 1.602π-<-<<C ． 1.602π-<-<<<D ． 1.602π-<-<<【习题9】【习题10】 如果a 是实数，那么下列说法正确的是（）A ．3a 是奇数B ．23a a <C ．2a a =D ．2a a >【习题11】 求下列各数的值：（1）254； （2）30.001；（3）()24-；（4）()328-⋅-； （5）5132；（6）71；（7）634；（8）63(2)-．【习题12】 已知370x y ++-=，求2x y +的四次方根．【习题13】 因为211121=，所以12111=，同样，因为211112321=，所以12321111=由此猜想12345678987654321=___________________．【习题14】 已知13的整数部分为a ，小数部分为b ，求()1134ba +的值．【作业1】 下列各根式无意义的是（） A ． ()5--B ．25-C ．25-D ．()25-【作业2】 下列结论正确的是（）A ．一个正分数的正的平方根比原数大B aC ．若b 是a 的立方根，则b -也是a -的立方根D ．任何实数都有两个平方根【作业3】 一个数的立方根是它本身，则这个数的平方根是（） A ．1或-1B ．0或-1C ．-1或1D ．1，-1或0【作业4】 若264x ==（） A ．4B ．4±C ．2±D ．2【作业5】 把下列各数分别填入相应的集合里：2273.1410.3030030001.7320.010*******π----，，，，，，，正数集合｛ ｝； 分数集合｛ ｝； 有理数集合｛ ｝； 无理数集合｛｝．【作业6】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）0是最小的实数( ) （2）0是绝对值最小的实数( ) （3）不存在绝对值最小的无理数 ( ) （4）不存在绝对值最小的实数( ) （5）不存在与本身的算术平方根相等的数 ( ) （6）比正实数小的数都是负实数()（7）非负实数中最小的数是0 ( )【作业7】 2）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．以上都可能【作业8】 填空：（1）1236-=，=；（2）81625的四次方根是，的六次方根是 ；（3）奇次方根是本身的实数有．【作业9】 若实数a 满足1a a=-，则（ ） A ．0a >B ．0a <C ．0a ≥D ．0a ≤【作业10】 计算：（1（2；（3）（4；（5） （6 （7）（8【作业11】 已知：224410260x y x y +-++=，求12x y +的5次方根．【作业12】 x 、y 分别是3-的整数部分和小数部分，求24xy y -的值．【作业13】 若2(1)||0z x y -++。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中一个非常基础且重要的概念。
简单来说，实数包括了有理数和无理数。
有理数，就是可以表示为两个整数之比的数，例如整数、有限小数和无限循环小数。
像 2、－3、05（即 1/2）、0333（即 1/3）等都是有理数。
而无理数，则是无限不循环小数，不能写成两个整数之比的形式。
比如圆周率π（约为 314159）、根号 2（约为 1414）等。
实数可以直观地看作数轴上的点，每一个实数都对应数轴上的一个唯一的点，反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。
二、实数的分类实数的分类方式有多种，常见的分类方法如下：1、按符号分类（1）正实数：大于 0 的实数，如 2、35 等。
（2）负实数：小于 0 的实数，如－2、－35 等。
（3）零：既不是正数也不是负数的实数。
2、按性质分类（1）有理数：包括整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无限循环小数）。
（2）无理数：无限不循环小数。
三、实数的运算1、加法和减法实数的加法和减法运算遵循以下规则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8 。
（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如，3 ＋（－5) ＝－2，－3 ＋ 5 ＝ 2 。
（3）减去一个数，等于加上这个数的相反数。
例如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2 。
2、乘法和除法（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
例如，3 × 5 ＝ 15，－3 ×（－5) ＝ 15，3 ×（－5) ＝－15 。
（2）除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
例如，6 ÷ 3 ＝ 6 × 1/3 ＝ 2 。
3、乘方和开方（1）乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。
例如，2³＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8 。
实数的概念及运算课件
实数运算在几何学中也有着重要的应用。例如，在平面几何中，我们可以通过实数运算来 计算两点之间的距离、点到直线的距离等；在立体几何中，我们可以通过实数运算来计算 体积、表面积等。
在物理中的应用
力学研究
在物理学中，实数运算广泛应用于力学研究。例如，在经典力学中，我们可以通过实数运算来计算物体的运动轨迹、 速度、加速度等；在流体力学中，我们可以通过实数运算来计算流体的速度、压强等。
反身律
a+a=a
减法运算律
反身律
a-a=0
减法的可交换性
a-b=b-a
减法的可结合性
a - (b + c) = a - b - c
乘法运算律
交换律
01
a×b=b×a
结合律
02
(a × b) × c = a × (b × c)
反身律
03
a × a = a^2
除法运算律
反身律
a / a = 1（a ≠ 0）
举例
如2+3=3+2，(-5)*(-6)=(-6)*(-5)。
结合律
01
总结词
结合律是指实数运算中，改变运算的结合顺序，其运算结果不变。
02 03
详细描述
结合律也是数学中重要的运算性质之一，对于任何实数a、b和c，都有 (a+b)+c=a+(b+c)和(ab)c=a(bc)。这意味着加法和乘法都是可结合的 。
实数的定义和性质
定义
实数是包括有理数和无理数的所有数 ，具有连续性和完备性。
性质
实数具有加法、减法、乘法和除法的 封闭性，即这四种运算的结果仍为实 数。实数还具有顺序性、完备性和连 续性等性质。
八年级奥数实数知识点
八年级奥数实数知识点实数是指全体有理数和无理数的集合。
实数是数学中最常见的一类数，我们在学习数学时也离不开实数。
在八年级的奥数学习中，实数是一个非常重要的知识点。
本文将全面介绍八年级奥数实数知识点。
一、实数的定义实数是由有理数和无理数组成的数集。
其中有理数是可以表示成p/q（p和q为整数，且q≠0）的数字，无理数则无法表示成有理数的数字。
二、实数的分类实数可以分为三类，分别是正数、负数和零。
正数是大于零的实数，负数则是小于零的实数，零是和零相等的实数。
三、实数的运算1.加法运算：两个实数相加时，先将它们的小数点对齐，按位相加即可。
同时注意进位。
2.减法运算：两个实数相减时，可以将减法转化为加法，即a-b=a+(-b)。
若要计算两个实数相减的结果，应先将它们的小数点对齐，再按位相减。
同时注意借位。
3.乘法运算：两个实数相乘的结果等于它们的积。
在计算过程中，应注意小数点的位置。
4.除法运算：两个实数相除的结果等于它们的商。
在计算过程中，应注意小数点的位置。
若被除数不够除，则应在被除数末尾添零继续除。
四、实数的度量实数之间的大小可以用数轴上的位置来表示。
数轴上的每一个点都对应着一个实数，数轴上的正方向表示正数，数轴上的负方向表示负数。
任何一个实数都可以用数轴上的一个唯一的点来表示。
实数a和b之间的距离为|a-b|。
五、实数的性质1.实数具有传递性，即若a<b，b<c，则a<c。
2.实数具有对称性，即若a=b，则b=a。
3.实数具有割裂性，即对于任意实数a和b，都有且只有下列三种情况之一成立：a<b，a=b，或a>b。
4.实数具有区间性，即将实数分为开区间、闭区间、半开区间三种。
六、实数的应用实数在我们日常生活中有着广泛的应用。
比如，在科学计算、经济学、物理学、化学、生物学等领域中，实数都起着重要作用。
在奥数竞赛中，实数也是一个重要的知识点。
只有熟练掌握实数的概念、性质和运算，才能在竞赛中获得好成绩。
实数的知识点总结课件
实数的知识点总结课件一、实数的概念1.1 实数的定义实数是数学领域中的一种数字概念，包括有理数和无理数。
实数是可以用来度量和计算数量的数，是数学中最基本的数。
1.2 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以用整数或整数分数表示的数，而无理数是不能用有限的整数或整数分数表示的数。
二、实数的性质2.1 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意的实数a、b、c有：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。
2.2 实数的减法实数的减法满足异减法a-b=a+(-b)，其中-a称为a的相反数，满足a+(-a)=0。
2.3 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意的实数a、b、c有：ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
2.4 实数的除法实数的除法满足a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。
2.5 实数的乘方实数的乘方满足乘方的次序异法则：(a^m )^n=a^(mn)，其中a为非零实数，m和n为任意实数。
三、实数的表示和比较3.1 实数的表示实数可以用数轴上的点表示，数轴上任意一点与原点的距离称为这个点的坐标。
3.2 实数的比较实数的比较可以通过数轴上的位置进行比较，即若a在b的左边，则a小于b，若a在b的右边，则a大于b。
四、实数的运算4.1 实数的加减运算实数的加减运算即是对实数进行加法和减法的操作，按照加法和减法的性质进行运算。
4.2 实数的乘除运算实数的乘除运算即是对实数进行乘法和除法的操作，按照乘法和除法的性质进行运算。
4.3 实数的乘方运算实数的乘方运算即是对实数进行乘方的操作，按照乘方的性质进行运算。
五、实数的应用5.1 实数在代数中的应用实数在代数中可以用来解方程、求根以及进行代数计算。
5.2 实数在几何中的应用实数在几何中可以用来表示线段、面积、体积等几何量，并进行几何计算。
实数章节知识点总结
实数章节知识点总结一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是所有有理数和无理数的集合，用R表示，即R={x|x是有理数或无理数}。
2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
（1）有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、分数等。
有理数的集合用Q表示，即Q={x|x=m/n，m和n为整数，且n≠0}。
（2）无理数是不能表示为分数形式的数，并且无限不循环小数。
无理数的集合用R-Q表示，即R-Q={x|x不是有理数}。
3. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式等形式表示，例如：π，e，√2等就是无理数的例子。
二、实数的性质1. 有理数的性质（1）有理数的四则运算有理数的加减乘除运算仍然是有理数，即有理数集合对于加减乘除封闭。
（2）有理数的比较对于任意两个有理数a和b，有以下性质：① 若a>b，则a+c>b+c（c为任意有理数）② 若a>b且c>0，则ac>bc③ 若a>b且c<0，则ac<bc2. 实数的性质（1）实数集合的稠密性实数集合中的有理数和无理数是密集分布的，即任意两个实数之间都存在无限多的有理数和无理数。
（2）实数的有序性任意两个实数a和b，必属于下列三种关系中的一种：① a=b② a<b③ a>b（3）实数的加法封闭性和乘法封闭性任意两个实数的和、差、积仍然是实数。
三、实数的运算规则1. 实数的加法和减法（1）同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。
（2）异号相加：一个正数与一个负数相加，结果的绝对值为它们的差，符号取绝对值较大的数的符号。
2. 实数的乘法和除法（1）同号相乘：两个正数相乘，结果为正数；两个负数相乘，结果为正数。
（2）异号相乘：一个正数与一个负数相乘，结果为负数。
（3）除法：除数不为0时，实数的除法遵循乘法的性质。
3. 实数的乘方和开方实数的n次乘方和n次开方都有以下规律：（1）同号实数的n次乘方是正数，异号实数的n次乘方是负数。
实数初步一知识点总结
实数初步一知识点总结一、实数的基本概念实数是所有有理数和无理数的总称。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零和分数。
无理数是无法表示为两个整数的比值的数，如π、√2等。
实数包括有理数和无理数两大类，它们的特点是可以在数轴上表示，并且满足加法、减法、乘法和除法的封闭性。
二、实数的性质1. 实数的大小比较实数可以进行大小比较，两个实数a和b，若a>b，则称a大于b；若a<b，则称a小于b；若a=b，则称a等于b。
实数的大小比较是实数运算的基础，我们可以利用大小比较来解决实际生活中的问题。
2. 实数的绝对值实数a的绝对值，记作|a|，是a到原点的距离。
当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
实数的绝对值可以用来表示距离、温度、误差等概念，在实际问题中有着广泛的应用。
3. 实数的加法和减法实数的加法和减法满足交换律、结合律和分配律。
对于任意的实数a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。
实数的加法和减法是我们日常生活中经常使用的运算法则，我们可以利用这些法则解决各种实际问题。
4. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于任意的实数a、b和c，有a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a(b÷c)=(a÷c)b。
实数的乘法和除法是我们在日常生活中经常使用的运算法则，例如购物、计算面积和体积等都离不开这些法则。
5. 实数的幂运算实数的幂运算是将实数连乘若干次的运算，对于任意的实数a和自然数n，有a^n=a×a×⋯×a(n个a相乘)。
实数的幂运算在代数式、方程式和不等式的求解中有着非常重要的作用，它使得我们能够用简单的运算规则处理复杂的数学问题。
三、实数的应用1. 实数的分数表示实数可以用分数表示，分数是指一个整数除以一个非零的整数，例如1/2、3/4等。
实数讲义
第十二章实数【知识点说明】1、掌握实数的概念、数的开方。
2、掌握实数的运算、分数指数幂、熟练运用有理数指数幂的公式。
【知识梳理】一、实数的概念1、定义：有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类：正有理数有理数零----有限小数或无无限循环小数负无理数实数正无理数无理数----无限不循环小数负无理数二、数的开方1、平方根和开平方：①定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。
，其中______表示a的正平方根（又叫______________），读作“根号a”。
②表示：正数a的两个平方根记作a③性质：正数的平方根有两个，且互为_________；0的平方根为________；负数没有平方根。
④2a=_______=⑤一个数a的算术平方根具有_________，即：____________________。
2、立方根和开立方：① 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用3a 表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做___________；求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。
② 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
3、n 次方根：定义：如果一个数的n 次方（n 是大于1的正数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根。
求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。
【热身练习】1、与数轴上的点一一对应的是（ ） A.全体有理数B.全体无理数C.全体实数D.全体整数2、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，那么这个数是 （ ）.A.0B.正实数C.0和1D.13、如果y =0.25，那么y 的值是（ ） A 0.0625 B ．-0.5C ．0.5D ． 0.6254、如果x 是a 的立方根，那么下列说法中正确的是（ ）A -x 也是a 的立方根B ．-x 是-a 的立方根C ．x 是-a 的立方根D ． x 等于a 的立方3 5、若式子x-31的平方根只有一个，则x 的值是__________ 6、若一个正数的平方根是2a-1和 -a+2，则这个正数是__________ 7、已知1-2a + （b + 3）2 = 0，则=332ab__________ 8、已知y =191x -91+-+x ，则xy=_________ 9、有理数x 经过四舍五入得到的近似数是3.142，则x 的范围是__________ 10、若22x =+，则（x + 2）2的平方根为___________ 11、设x ，y 为实数，且y = 5x -54-++x ，则 | x – y | =__________【课堂练习】一、选择题1. 实数38、2π、34、310、25其中无理数有（） A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 2. 如果162=x ，则x 的值是（）A 、 4B 、 -4C 、4±D 、2± 3．下列说法正确的是（）A 、25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2 C 、8.0的立方根是 D 、65 是3625 的一个平方根 5．下列说法⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数 ⑷两个无理数的和还是无理数 其中错误的有（ ）个A 、 3B 、 1C 、 4D 、 2 6．如果x x -=2 成立的条件是（）A 、x ≥0B 、 x ≤0C 、 x>0D 、x <07.设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于 x 的说法正确的是（） A 、x 是有理数 B 、3±=x C 、 不存在 D 、 取1和2之间的实数 8．下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a - 互为相反数 C 、3a 与3a -是互为相反数 D 、a 与a -互为相反数 三、实数的运算1、掌握用数轴上的点表示实数，在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离为____2、有理数的额运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用，开方和乘方是同级运算。
初中奥数讲义_实数的概念及性质附答案
初中奥数讲义_实数的概念及性质附答案实数的概念及性质随着客观现实和社会实践的需要，人数不断扩大从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于平方根运算的引入，代数运算得到了改进。
平方根和立方根的概念和性质是学习二次方根公式和一元二次方程的基础。
平方根和立方根是最简单的平方根。
建立概念的方法及其性质是进一步学习偶数幂根和奇数幂根的基础有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1.有理数可以写成有限小数或循环小数的形式。
它们可以表示组件的数量，但不能表示分数q的形式，这里p、q是互质的整数，且p?0．pq的形式；无理数是无限不循环小p2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．例题求解[例1]如果a和B满足3A？5b3=7，那么s=2A？3b的值范围为(全国初中数学联赛试题)利用a和B的非负性，我们建立了一组关于s的不等式注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．【例2】设a是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个()a、有理数小于0 B.有理数大于0 C.无理数小于0 D.无理数大于0(武汉市选拔赛试题)我们的想法是适当地修改方程，并建立a和B之间的关系。
[例3]已知a和B是有理数，而（？13311319）a？(?) B2.13? 0，求a和B的值。
将原方程分为有理数和无理数，利用实数的性质建立关于a和B的方程。
《实数概念理解》 讲义
《实数概念理解》讲义一、实数的定义实数，这个在数学中经常出现的名词，到底是什么呢？简单来说，实数是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数），它们都可以表示为两个整数的比值。
而无理数，则是那些无限不循环小数，比如圆周率π、根号 2 等等。
二、实数的分类为了更好地理解实数，我们可以对其进行分类。
实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数包括正有理数和正无理数。
正有理数像 1、2、3 这样的正整数，以及像 1/2、2/3 这样的正分数。
正无理数比如π、根号 3 等等。
零，是一个特殊的实数，它既不是正数也不是负数。
负实数则包括负有理数和负无理数。
负有理数像－1、－2、－3 这样的负整数，以及像－1/2、－2/3 这样的负分数。
负无理数比如π、根号 2 等等。
三、有理数有理数是实数中比较有规律的一部分。
整数很好理解，像 0、1、－1 等等。
而分数，其实就是把一个整数分成若干等份的表示形式。
比如3/4 ，表示把一个整体平均分成 4 份，取其中的 3 份。
有理数有很多特性。
它们可以写成有限小数或者无限循环小数。
比如 1/2 可以写成 05 ， 1/3 可以写成 0333（无限循环）。
四、无理数无理数相对来说比较神秘和难以捉摸。
它们不能表示为两个整数的比值，并且其小数部分是无限不循环的。
例如，圆周率π约等于 31415926，它的小数位是无穷无尽且没有循环规律的。
还有像根号 2 约等于 141421356，也是无限不循环小数。
无理数的发现对于数学的发展有着重要的意义，它们让我们对数字的世界有了更深入和全面的认识。
五、实数的性质实数具有很多重要的性质。
首先是有序性，任意两个实数都可以比较大小。
比如 2 大于 1 ，－3 小于 0 。
其次是稠密性，也就是说在任意两个不同的实数之间，都存在着无穷多个实数。
比如在 1 和 2 之间，有 15 、 125 、 11 等等。
奥数七年级实数知识点
奥数七年级实数知识点七年级的学生进入初中，开始学习更高深的数学知识。
其中一个重要的领域是实数。
实数是指所有的实数，包括有理数和无理数。
在这篇文章中，我们将深入探讨七年级学生所需了解的重要实数知识点。
一. 实数的概念实数是指可以用数轴上的点来表示的数，包括有理数和无理数。
数轴是一个直线，上面的点与实数一一对应。
有理数是可以表示成两个整数之比的数，而无理数则不能用有理数的形式表示，如根号2、根号3等。
二. 实数的范围实数包括从负无穷到正无穷的所有数。
在数轴上，正数位于原点的右侧，负数则位于原点的左侧。
而无理数则分布在整个数轴上。
三. 实数的比较对于有理数和无理数的比较，我们可以通过大小关系和绝对值来进行。
对于两个有理数，我们可以比较它们的大小。
对于两个无理数，我们需要使用近似值进行比较。
而对于有理数和无理数的比较，则需要将无理数近似成一个有理数，再比较大小。
四. 实数的表示实数可以用分数表示，也可以用小数表示。
对于有理数来说，可以用分数或小数表示。
而无理数则大多数用小数表示，因为无理数无法表示成分数的形式。
五. 实数的运算实数的运算同样也是非常重要的知识点。
实数的加、减、乘、除等运算都是基本的。
对于有理数的运算，可以使用通分或分母分解来进行。
对于无理数的运算，只能将其近似成小数，再进行运算。
六. 实数的绝对值实数的绝对值表示该数到原点的距离，因此它总是非负的。
对于正数，它的绝对值等于它本身。
而对于负数，则需要取负号，如|-3|= 3，|3|= 3。
七. 实数的平方实数的平方表示该数乘以自己的结果，即x²= x × x。
对于正数和负数来说，它们的平方都是非负数，如3²= 9，-3²= 9。
总结实数是高中数学中的重要知识点之一。
这篇文章介绍了实数的概念、范围、比较、表示、运算、绝对值、平方等知识点。
通过这些知识，七年级的学生可以更好地理解实数的概念和应用，为未来的数学学习打下坚实的基础。
《实数概念理解》 讲义
《实数概念理解》讲义一、实数的定义与范围实数，是数学中一个非常基础且重要的概念。
简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数包括整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）。
整数大家都很熟悉，像 0、1、－2 等等。
而分数呢，比如 1/2、－3/4 这样能表示为两个整数之比的数。
无理数则是那些不能表示为两个整数之比的数，也就是无限不循环小数。
最常见的无理数就是圆周率π和开方开不尽的数，比如√2。
实数的范围非常广泛，它涵盖了我们在日常生活和数学研究中遇到的几乎所有的数值。
从测量物体的长度、计算物体的面积和体积，到解决各种数学问题，实数都发挥着至关重要的作用。
二、实数的性质1、有序性实数是具有有序性的。
也就是说，对于任意两个实数 a 和 b，要么a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必定有一种成立。
例如，2 ＜ 3，5 ＝ 5，7 ＞ 4 等等。
2、稠密性实数还具有稠密性。
这意味着在任意两个不相等的实数之间，都存在着无穷多个实数。
比如说，在 1 和 2 之间，有 11、12、13 等等，还有 111、112 等等，无穷无尽。
3、四则运算封闭性实数对四则运算（加、减、乘、除）是封闭的。
这是什么意思呢？就是说，任意两个实数进行加、减、乘、除运算（除数不为 0），得到的结果仍然是实数。
比如 3 ＋ 5 ＝ 8，7 2 ＝ 5，4 × 6 ＝ 24，10 ÷ 2 ＝5，结果都是实数。
三、实数的表示方法1、小数表示实数可以用小数来表示。
有限小数和无限循环小数都对应着有理数，而无限不循环小数则对应着无理数。
例如，025 是有限小数，是有理数；0333是无限循环小数，也是有理数；π ≈ 31415926是无限不循环小数，是无理数。
2、数轴表示我们还可以通过数轴来表示实数。
数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
数轴的正方向通常向右，原点为 0，左边为负数，右边为正数。
奥数七年级实数知识点总结
奥数七年级实数知识点总结奥数七年级实数知识点总结实数是数学中最基础且最重要的数系之一，广泛应用于各个领域。
在奥数七年级中，学生将接触到关于实数的一些基本概念和性质，例如有理数和无理数的区别、实数的大小比较以及实数的运算法则等等。
本文将对这些知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握实数的相关知识。
首先，我们来谈谈有理数和无理数的区别。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
例如，-2、0、1/2和0.3都是有理数。
而无理数是不能表示为两个整数的比值的数，通常以无限不循环小数的形式出现，例如π和根号2。
有理数和无理数一起构成了实数集合。
实数之间的大小比较是奥数中常见的问题。
在进行大小比较时，需要根据实数的正负和绝对值大小进行判断。
对于两个正数来说，它们的大小关系与它们的数值大小一致。
例如，3大于2，10大于1。
而对于两个负数来说，它们的大小关系则与它们的数值大小相反。
例如，-3小于-2，-10小于-1。
当一个正数和一个负数进行比较时，正数大于负数。
在研究绝对值大小时，可将实数的绝对值看作它们到零点的距离。
绝对值越小，实数越接近零点。
例如，|-3| = 3，|2| = 2。
因此，-3比2更接近零点，-3小于2。
实数的运算法则也是奥数中重要的一部分。
实数之间的加法、减法、乘法和除法都遵循一定的规律。
例如，对于任意的实数a、b和c来说，加法具有交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。
乘法具有交换律和结合律，即a × b= b × a，(a × b) × c = a × (b × c)。
除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)，其中b ≠ 0。
在进行实数乘法和除法运算时，需要注意负数的处理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
板块一 平方根、立方根、实数
实数可按下图进行详细分类：
0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎨⎬⎩⎪
⎪⎪⎪
⎧⎨⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩
正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 实数与数轴上的点一一对应.
(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“”．
算术平方根：
一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）
一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0≥.
平方根的计算：
中考要求
知识点睛
数的开方
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．
通过验算我们可以知道：
⑴当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
①若0a ≥
，则2a =；②不管a
(0)
||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩
注意二者之间的区别及联系．
⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，
之
间，即：0≤
立方根的定义及表示方法：
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表
，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的
其实省略了根指数“2”
“三次根号a ”
“二次根号a ”
“根号a ”. 任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.
立方根的计算：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．
通过归纳我们可以知道：
⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．
a =
，3a =
⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<，
利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．
一、实数的概念
【例1】
在实数010.1235中无理数的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例2】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为64时，输出的y 是（ ）
输出y
输入x
例题精讲。