北交大概率论第1章总复习
北交《概率论与数理统计》复习题一答案
北交《概率论与数理统计》复习题一一、 填空题1. 题在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科技书的概率为______ 1/15_____． 考核知识：古典概型。
2. 设随机事件A 与B 相互独立，且5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，则=)(B P ___0.4________．考核知识点：事件的独立性。
3. 设A ,B 为随机事件，5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，则=)|(A B P __0.64_____．考核知识点：条件概率。
4. 设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是____16/25_______．5.考核知识点：古典概型。
6. 设随机变量X 的分布律为：则=≥}1{X P ___0.7________． 考核知识点：离散型随机变量。
7. 设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中20,20:≤≤≤≤y x D ．记),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则=)1,1(f ____1/4_______． 考核知识点：概率密度函数。
8. 设),(Y X 的分布律为X Y0 1 2 0 0.3 0.1 0.2 10.10.3则==}{Y X P ____0.4_______． 考核知识点：二维离散型随机变量。
9. 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>--=--其他,00,0),1)(1(),(y x e e y x F yx ，则=≤≤}1,1{Y X P ___________．考核知识点：二维连续型随机变量。
10. 设总体X ～)1,(μN ，21,x x 为来自总体X 的一个样本，估计量2112121ˆx x +=μ，2123231ˆx x +=μ，则方差较小的估计量是___________． 考核知识点：估计量的有效性。
《概率论与数理统计》第一章考点手册
《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率考点1 随机事件基本概念（★三级考点，选择、填空）1.样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间。
2.样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。
3.随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A 、B 、C 。
4.任何事件均可表示为样本空间的某个子集。
5.基本事件：一个随机事件只含有一个试验结果。
6.事件A 发生当且仅当试验的结果是子集A 中的元素。
7.两个特殊事件:1）必然事件：样本空间包含了所有的样本点，且是自身的一个子集，在每次试验中总是发生。
2）不可能事件：不包含任何的样本点，也是样本空间的一个子集，在每次试验中总不发生。
考点2 事件的关系与运算（★三级考点，选择、填空）1.包含关系：“事件A 发生必有事件B 发生”记为A ⊂B ，称A 包含于B 。
A ＝B ⇔A ⊂B 且B ⊂A.2.和事件：“事件A 与事件B 至少有一个发生”，记作A ⋃B3.积事件:事件A 与事件B 同时发生，记作A ⋂B ＝ABA 和B 的公共部分4.互斥的事件：即事件A 与事件B 不可能同时发生。
AB ＝φ5.差事件：A －B 称为A 与B 的差事件,表示事件A 发生而事件B 不发生6.互逆的事件：A ⋃B ＝Ω,且AB ＝φ。
B A B A 易见，称为称为A 的对立事A 记作B =-=7.事件的运算交换律：A ⋃B ＝B ⋃A ，AB ＝BA结合律：(A ⋃B)⋃C ＝A ⋃(B ⋃C)，(AB)C ＝A(BC)3、分配律：(A ⋃B)C ＝(AC)⋃(BC)，(AB)⋃C ＝(A ⋃C)(B ⋃C)4、对偶律：考点3 频率（★三级考点，选择、填空）1.在相同条件下，事件A 在n 次重复试验中发生m 次，则称比值m/n 称为事件A 在n 次试验中发生的频率，记为fn(A)。
考点4 概率的定义与性质（★★二级考点，选择、填空）1.若对随机试验E 所对应的样本空间Ω中的每一事件A ，定义一个实数P(A)与之对应，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性：P(A) ≥0；(2)规范性：P(Ω)＝1；(3)可列可加性：若事件A 1，A 2，…,两两互斥，即A i A j ＝φ，(i ≠j),i,j ＝1,2,…,有P(A 1⋃A 2⋃…)＝P(A 1)＋P(A 2)+….则称P(A)为事件A 的概率。
北交《概率论与数理统计》复习题一
北交《概率论与数理统计》复习题一北交《概率论与数理统计》复习题一一、填空题1.已知A 、B 为两事件，( ) 0.6 P A ，( ) 0.1 P B 。
当A 、B 为相互独立事件时，( ) P AB ，( ) P A B。
考核知识点：独立事件2.设1 2, ,nX X X 是取自总体X 的一个样本，则样本均值X。
考核知识点：样本均值3.随机变量X 、Y 相互独立，~ (1,4) X N ，~ (10,0.2) YB ，则( 2 1 ) E X，( ) D X Y。
考核知识点：期望和方差的性质4.设, , A B C 为三个事件，则, , A B C 三事件恰有一个发生可表示为。
考核知识点：概率的性质5. 连续型随机变量X 的概率密度为2 1,0 1( )0 ,其它kx xf x，又知3( )4 E X ，k。
考核知识点：连续型随机变量的概率密度6. 设随机变量X 的分布律为 , 0,1,2,!kP X k a kk，0 为常数，试确定a =。
考核知识点：随机变量的分布率7.设0 ( )x 是标准正态分布的分布函数，已经查表得到0 (1.645)0.95 ，0 (1.96)0.975 。
则0 ( 1.645)。
考核知识点：标准正态分布的性质二、计算题8. 50 个铆钉随机地取来用在10 个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用 3 只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？考核知识点：古典概率9. 设随机变量X 的分布函数为. , 1, 1 , ln, 1 , 0) (e xe x __ F X ，求（1）P (X2), P {0X≤3}, P (2X25)；（2）求概率密度 f X (x). 考核知识点：分布函数和概率密度函数10. 在一箱子里装有12 只开关，其中2 只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。
考虑放回抽样。
我们定义随机变量X，Y 如下：若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品, 1, , 0X若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品, 1, , 0Y写出X 和Y 的联合分布律。
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
(完整版)概率论知识点总结
概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。
相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。
事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。
记为 A ∪B 。
事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。
用交并补可以表示为B A B A =-。
互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时B A ⋃可记为A ＋B 。
对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。
对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。
事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P概率的性质： （1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则∑==)|()()|()()()()|(jj i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
概率论与数理统计数学第一章复习
概率论与数理统计数学第一章复习第一章概率论的基本概念一、随机试验概率论中将满足下列三个特点的实验称为随机试验，通常用E或E1，E2…来表示，这三个特点是：1.试验可在相同的条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个，但所有的结果是明确可知的；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记做S。
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
三、随机事件1.试验E的样本空间S的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为E的随机事件。
在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生。
2.由一个样本点组成的单点集称为基本事件，由多于一个样本点组成的集合称复合事件。
3.E和空集?都是E的子集，它们分别称为必然事件和不可能事件。
四、事件间的关系1.若BA?，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B 发生。
若BB?，即A=B，则称事件A与事件B相等。
A?且A2.事件BA ={x | x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。
当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA 发生。
3.事件BA ={x | x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。
当且仅当A，B同时发生时，事件BA 也记作AB。
A 发生。
B4.事件A—B=={x | x∈A且x?B}称为事件A与事件B的差事件。
当且仅当A发生，B不发生时事件A—B发生。
5.若BA =?，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的。
这指的是事件A与事件B不能同时发生。
基本事件是两两互不相容的。
6.若BA =?，则称事件A与事件B互为逆事件。
又称事件A与事件B互为A =S且B对立事件。
这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。
A 的对立事件记作A，A=S-A。
五、事件的运算1.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2.结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，(A∩B)∩C =A∩(B∩C)=ABC3.分配律：A(B∪C)=AB∪AC, A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)4.德摩根律：A B=A B, AB=A∪B5.吸收律：A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A6.双重否定律：A=A7.排中律：A∪A=Ω，A∩A=?8.差积转换律：A-B=A B六、频率1．在相同的条件下进行的n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nA /n称为事件A 发生的频率，并记成fn（A）。
14北京交通大学概率论总复习
I5 + US _
I5
I 5'
I
'' 5
3.25 0.35 3.6A
U6
U
' 6
U
'' 6来自 1.75 5.35 3.6V
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电源的等效变换法
实际电压源与实际电压源的等效变换法
I
+
E
+
– R0
U
RL
–
电压源
I U+ IS RS RS U RL
–
[解] 二电源共同作用时：
I1 R1
R2 I2
R1
+ U_’6
R2 I’2
R1
R2 I’’2
+ IS U’’6_
+ IS U6_
I3 R3
R4 I4
R3
R4 I’4
I’5 + US _
I’5=3.25 A U’6=－1.75 V
R3
R4 I’’4
I’’5
I’’5=0.35 A U’’6=5.35 V
功率
瞬时值
有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
i
+
Ru
u iR R
设
i 2Isinωt
则
U IR
I
U
U IR
UI I 2R
0
-
u 2Usinωt
u、 i 同相
i
设
U
i 2Isinωt
UI
L
+ u
u L di jX L 则
概率论第一章汇编
3 {0， 1， 2， 3， }； 4 {t | t 0}；
5 t | t ， ；
6 t | t 0， 1.
随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事 件, 简称“事件”， 记作A、B、C等。
例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个 随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1， 3，5}.它是样本空间Ω的一个子集。 基本事件：随机事件仅包含一个样本点ω，单点子集{ω}。 复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。 事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。 如，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。
1.1.3 随机事件与样本空间
样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为
试验E的样本空间, 记为Ω. 样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空
间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
例1-2：
分别写出例1-1各试验 E k 所对应的样本空间
1 {H,T}；
2 {1， 2， 3， 4， 5，； 6}
2. 和（并）事件： “事件A与事件B至少有一个 发生”，记作AB或A+B。
推广：n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生， 记作 Ai 或 Ai
i 1
i 1
n
n
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
上述试验具有如下特点： 1.试验的可重复性——在相同条件下可重复进行；
2.一次试验结果的随机性——一次试验的可能结果不
止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；
最新大学概率与统计总复习第一章
在实际应用中，常把事件 B 看作结果，而 A1, A2, , An , 为对结果 B 有影响的所有原因（一个不能少），则求 结果 B 发生的概率可用全概率公式. 即: 有原因的概 率问题可用全概率公式来求. 运用全概率公式可以解 决一些较难但却有趣的概率问题
设 A1, A2,, An 为完备事件组P(B) 0, 由乘法公式有
P Ai B P(Ai)P(B | Ai) (i 1, 2,, n)
由全概率公式有 n P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
P( Ai
|
B)
件或对立事件，记作 A 。显然 A 不发生的充要条件为 A 发生。
7．事件的差：称事件 A 发生而事件 B 不发生的事件为事件 A 与
事件 B 的差，记作 A B 。
显然 A B AB ，
A A, A1 A2 An A1 A2 An , A1A2 An A1 A2 An
同集合的运算规律
Bk
k 1
k 1 Bk
人物介绍
德·摩根
例 2. 若用 Ai 表示事件“笫 i 次打开房门”, 则事件”
笫一次没打开房门” 可表示为 A1
事件” 第三次才打开房门” 可表示为
A1 A2 A3
事件” 开门不超过三次而打开房门” 可表示为
Ai A1A2 A1 A2 A3
例 3. 设 A, B, C 三人同时破译一个密码, 令 A=” A 译出密码”, B=”B 译出密码”, C=”C 译出 密码”
事件并：称事件 A,，B 中至少有一个发生的事件为事件
A，,B 的并（事件），记作 A B 。 称 n 个事件 A1, A2 , An 中至少有一个发生的事件为事件
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论第一章总结
第一章随机事件及其概率一、内容提要 （一）．随机事件的概率1.随机试验：（i ）在相同的条件下可以重复进行；（ii ）试验有多种可能结果（iii ）所有可能结果可以明确，但试验前不能事先预知哪个结果出现。
记为E2.随机事件:与随机试验结果有关的命题, 简称事件.记为A,B,C……不可能事件和必然事件也视为为随机事件分别记为 φ和Ω.3.基本事件:按照试验的目的和要求所确定的随机试验E 的一个直接可能结果ω称为基本事件或样本点.4.样本空间(基本事件集):试验E 的所有样本点ω构成的集合称为E 的样本空间或基本事件集,记为Ω.即 Ω.={ω}（二）．随机事件的关系和运算1.事件的包含: 若事件A 发生必然导致B 发生.则称A 包含于B 记作 A ⊂B.2.事件的相等:对两个事件A,B.若A ⊂B.且B ⊂A.则称A 与B 相等.记作A=B3.事件的并：“事件A 与B 中至少有一个发生”的事件称为A 与B 的并（或和），记作A B 。
“n 个事件中至少有一个发生”的事件称为这个事件的并(或和).记作12....n A A A 简记为1n i i A =4.事件的差: “事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差记作A-B5.事件的交(积): “事件A 与B 都发生” 的事件称为A 与B 的交(积).记作A Bn 个事件12,...n AA A 都发生”的事件称为这个事件的交(或积).记作12...n A A A .6. 事件的互斥(互不相容):事件A 与事件B 不能同时发生,则称互斥.即AB φ=7. 事件的互逆(对立): 事件A 与事件B 必有一个发生,但不能同时发生,则称A 与B 互逆,记作A B =或B A = 即满足A B =Ω AB φ=8.完备事件组:若事件12,,,n A A A 必有一个发生,且12,,,n A A A 两两互不相容,即 12,n A A A =Ω ,且(, 1.2...,,)i j A A i j n i j φ==≠（三）．概率的概念1.概率的古典定义:设E 为古典概型,其样本空间Ω包含n 样本点,事件A 含k 样本点,则称k/n 为 事件A 的概率,记作()/P A k n =2.概率的统计定义设在相同条件下重复进行同一试验,n 次试验中事件A 发生的次数为μ,如果随着试验次数的增大,事件A 发生的频率/n μ 仅在某个常数(01)p p << 附近有 微小变化,则称数p 是事件A 的概率, 即()P A p =.3.概率的公理化定义设A 为随机事件, ()P A 为定义在所有随机事件组成的集合上的实函数且满足下列三条公理:公理1 对任一事件A,有0()1P A ≤≤公理2 ()1P Ω= ()0P φ=公理3.对于两两互斥的可数个随机事件12,,,n A A A ..., 有1212(......)()()...()...n n P A A A P A P A P A =++++ 则()P A 称为事件A 的概率.（四）．概率的性质1. ()1P Ω= ()0P φ=2. 对任意两个事件A ，B.有()()()()P A B P A P B P AB =+-若AB φ=,则()()()P A B P A P B =+3.对任意事件A,有()1(P A P A =-)4.对任意个事件12,,...,n A A A .有12(...)n P A A A 11()()n i i j i i j n P A P A A =≤<≤=-∑∑+1()i j k i j k n P A A A ≤<<≤∑-...+12(1)(...)n n P A A A -(-1)若i j A A φ= (,1,2...,)i j n i j =≠ 则121(...)()n n i i P A A A P A ==∑5.若B A ⊂,则()()()P A B P A P B -=-,且()()P A P B ≥（五）．条件概率、 乘法公式1.条件概率 设A ，B 为随机试验E 的两个事件。
概率论第一章知识点总结
概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。
3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。
4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。
5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。
8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。
其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。
大学概率论总复习-
为(,), 函数值在区间[0, 1]上的实值函数
F ( x ) P ( X x ) ( x )
为随机变量X的分布函数.
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集合论
样本空间Ω
样本点ωi
随机试验
试验结果
数量化
对应
函数论 实数集 (,) 实数 x(,)
若干样本点构成事件A
随机变量X表示事件A
事件A的概率P(A)
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
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3
4. 随机事件
在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
5. 样本点
随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为
这个试验的一个样本点，记作 i(i1,．2, )
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15
性质6 加法定理的推广形式
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)
A
B
C
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第三章 条件概率与事件的独立性
第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 伯努利试验和二项概率 第六节 主观概率
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第三章 基本知识点
1. 条件概率的定义
设A，B为同一随机试验中的两个随机事件 , 且 P(A) > 0， 则称已知A发生条件下B发生 的概率为B的条件概率，记为
P(B| A) P(AB)
2. 乘法定理
P(A)
P (A B ) P (A )P (B |A ) P(B| A) P(AB)
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论第一章总结
概率论与数理统计第一章总结1.随机事件在试验的结果中，可能发生也可能不发生的事件成为随机事件，通常用字母A ，B ，C 等表示。
在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件。
相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。
2.样本空间随机试验的每一个可能的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间。
任一随机事件A 都是样本空间的一个子集，必然事件A 就等于样本空间，不可能事件是不包含任何样本点的空集，基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
3.事件的关系及运算（1）事件的包含与相等： （2）事件的和(或并)： （3）事件的积(或交)： （4）事件的差： （5）互不相容事件： （6）对立事件： （7）事件满足以下运算规律：交换律，结合律，分配率，德摩根定律4.随机事件的频率与概率的定义及性质设随机事件A 在n 次试验中发生了a 次，则a/n 称为随机事件A 发生的频率。
概率的公理化定义：（1） 非负性（2） 规范性（3） 有限可加性（4） 可列可加性概率的重要性质：（1） （2）P (Φ)=0（3）若A 、B 互斥， 则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )（4）A ⊂ B ，则 P (B －A )＝P (B )－P (A )（5）加法公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P(AB )5.古典概型两个特征：有限性，等可能性。
设在古典概型中，试验的基本事件的总数为N ，随机事件A 包含其中的M 个基本事件，则随机事件A 的概率为：P （A ）=M/N（生日模型，抽签模型，分配模型）6. 几何概型两个特征：无限性，等可能性。
（蒙特卡罗法）7. 条件概率与乘法公式A B 或B A⊂⊃ A B A B或+ AB A B 或A B-ΦAB = A A 与()1()P A P A =-条件概率若P(B)>0,乘法公式:P (AB )=P (B )P (A |B )P (A 1A 2…An )= P (A 1) P (A 2|A 1) P (A3| A 1A 2) P (A 4| A 1A 2A 3) …P (An | A 1A 2…An -1)(波利亚罐模型)8. 全概率公式与贝叶斯公式(1) 全概率公式：(全概率公式用来求较复杂事件的概率.)(敏感性问题调查)(2) 贝叶斯公式:(贝叶斯公式用来求后验概率)9.随机事件的独立性两两独立与相互独立的关系：相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立多个事件相互独立的必要条件：10.伯努利概型若在试验E 的样本空间S 只有两个基本事件 且每次试验中 我们称这只有两个对立的试验结果的试验为伯努里试验。
概率论第1章复习资料
A、AB
B、A¯ B¯ C、A∪B=B
D、A
的 运
A-B = A B
= A-AB = (A∪
∩B=B
算 B)-B
例 2 若事件 B 与 A 满足 B – A=B，则一定有 (B)
A、A=
B、AB= C、AB¯ =
D、B=A¯
A1,A2,…,An 构成 的一个完备事件组(或分斥或划分)指 A1,A2,…,An 两两互不相容，
P(B|A0)=1, P(B|A1)=19/20 18/19 17/18=17/20,
(1) =P(B)= P(A0)P(B|A0)+ P(A1)P(B|A1)=0.81+0.27/20=0.97 ;
(2) =P(A0|B)= P(A0B)/P(B)= P(A0)P(B|A0)/P(B)=0.8/0.97= 0.8247
性 事件 A1,A2,…,An 相互独立---指任意 k 个事件 Ai1,Ai2,…,Aik 满足 P(Ai1∩Ai2∩…∩Aik)
=P( Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，其中 k=2,3,…,n。
可 元件的可靠性 P(A)=r
靠 系统的可靠性： 串联方式 P(A1∩A2∩…∩An)=rn
性
并联方式 P(A1∪A2∪…∪An)=1-(1-r)n ,
y<a-x-y+x
a
aa
0<x< 2 , 0<y< 2 , 2
<x+y<a
。即
G={(x,y)|
a 0<x<2
a , 0<y<2质
<x+y<a } 由图中计算面积之比，可得到相应的几何 概率 P(A)= 1/4。 (1)非负性，对于任一个事件 A，有 P(A)0; (2)规范性:P()=1 或 P()=0; (3)有限可加性：对两两互斥事件 A1,A2,…,An 有 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+
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(2) PBk 0
k 1,
2, n
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第一章
常用的全概率公式有
全概率公式和贝叶斯公式
P A P Bk P A Bk
n k 1
要求: (1)B1 , B2 ,Bn 是样本空间 S 的一个划分。
(2) PBk 0
k 1,
2, n
第一章
总复习
（五）典型例题： 例1 已知 A、B 是两个事件，且 P ( A) 0.4 , P( A B) 0.7 ,
(1) 若A，B互不相容，求 ( B)； P ( AB) 0 P
(2) 若A，B相互独立，求 ( B) , P( A B); P
P P( AB) P( A) P( B)， ( A B) P( AB ) P( A) P( B )
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第一章
总复习
全概率公式和贝叶斯公式 例2 有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中 10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。 今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件 两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；P ( A1 ) ? （2）第一次取到的零件是一等品的条件下 ， 第二次取到的也是一等品的概率； P( A2 A1 ) ? （3）已知第一次取到的零件是一等品，求它 是第一箱的零件的概率；
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第一章
总复习
注意2： 设事件 A 与 B 满足： P AP B 0 则互不相容与相互独立不能同时成立。 即：若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ； 若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立．
注意3：A,B,C三个事件相互独立,必有A,B,C三个事件 两两独立;反之,不一定.
特别： A P B P A B P B P A B P
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第一章
全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式的使用 （已知原因，求结果）
P A P ABn P Bn P A Bn
n 1 n 1
我们把事件A看作某一过程的结果，
n
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第一章
全概率公式和贝叶斯公式
Bayes公式的特点
（已知结果，求原因）
如果已知事件A已经发生，要求此时是由第 n个 原因引起的概率，则用Bayes公式
P ( B | A) n
P( A | B )P( B ) n n , P( A | B )P( B ) j j j 1
( P A1 A2 An1 0)
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第一章
总复习
（3）全概率公式 （已知原因，求结果）重点
P A P ABn P Bn P A Bn
n 1 n 1
重点 （4）Bayes（逆概）公式：（已知结果，求原因） P( A | B )P( B ) n n P ( B | A) , n 1,2, , n P( A | B )P( B ) j j j 1 条件: (1)B1 , B2 ,，Bn， 是样本空间 S 的一个划分。
把 B1 , B2 , , Bn 看作该过程的若干个原 因， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 即 PBn 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PA B 已知
n
则要计算结果A发生的概率就用全概率公式．
即求 P A
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第一章
全概率公式和贝叶斯公式
常用公式
P( A B C ) P( A B C ) 1 P( A B C )
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第一章
总复习
等可能概型
3． 等可能概型（古典概型） 特点是：
样本空间的元素只有有限个；
(有限性)
每个基本事件发生的可能性相同。（等可能性）
概率计算公式:
A包含的基本事件数 P ( A) . S中基本事件总数
nAB P ( B A) nA
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第一章
总复习
（2） 乘法公式
10
P AB P APB A
( P ( A) 0) ( P ( B) 0)
P AB PBPA B
0
重点
2
P A1 A2 An P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P An A1 A2 An 1
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第一章
总复习
（三）要掌握的概念和公式：
1 随机事件之间的关系及运算；
10 包含
A B
“A发生必然导致B发生” “A，B中至少有一发生”
20 和 A B 30 积 40 差
A B AB “A与B同时发生”
A B AB
“A发生但B不发生 ”
50 互不相容 A B “A与B不能同时发生” 60 互逆 A B 且 A B S
Bayes公式的使用 （已知结果，求原因）
我们把事件A看作某一过程的结果， 把 B1 , B2 , , Bn 看作该过程的若干个原 因， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知 ， 即 PBn 已知 验前概率
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PA B 已知
n
如果已知事件A已经发生，要求此时是由第 n个 原因引起的概率，则用Bayes公式 验后概率 即求 P B A
(3) 若P( B A) 0.6，求P( B)，P( A B)；
P( AB) P( A) P( B A)
(4) 若P( A B) 0.3，求P( B)； P ( A B) P ( A) P ( AB )；
P ( AB ) P ( A B) P ( B)
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB )
3
0
, 若A1 , A2 ,是两两互不相容事件则
（可列可加性）
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P ( A1 A2 ) P ( A1) P ( A2) .
第一章
总复习
（2） 概率的性质与推广
性质 1 P() 0 ;
性质 2 若A1 , A2 ,, An 是两两互不相容事件则 ,
P ( A1 A2 An)
P ( B ) P ( A) （非降性）
第一章
总复习
重 要 推 广
1) P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
（加法公式）
重点
2) P( BA ) P( B A) P( B) P( AB)
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第一章
总复习
（四）容易混淆的概念：
注意1：两事件相互独立与互不相容的区别： “A与B互不相容”，指A与B两事件没有公共 样本点，不能同时发生，即 P（AB）=0。 “A与B相互独立”，指A是否发生不影响B 发生的概率，即 P（AB）=P（A）P（B）或
P ( B A) P ( B ) P ( B A ) ( P ( A) 0 )
P A Bn 与第一步试验无关，仅 考虑在原因 n发生 B
的条件下，在第二步试 验中结果 发生的可能性。 A
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第一章
总复习
5 独立性 （1） 两事件独立 定义： P AB P A P B 性质（要求会证明）：
10 事件A 与 B 相互独立的充分必要条件为： ( P A 0) , P B A P B 2 0 若随机事件 A 与 B 相互独立，则
P( B2 A1 ) ?
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第一章
总复习
全概率公式和贝叶斯公式
例2（续）
（结果） 解 ： 设 Ai 表示“第i次取到一等品”(i=1,2)， （原因） B ( i= 1,2)表示“取到的是第 i箱中的产品”,
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第一章
总复习
事件的运算规律
分配律:
A B C A B A C A B C A B A C
De Morgan定律: A B A B , 事件间的关系与运算举例；
A B A B
ABC “A，B，C中至少有两发生” ： AB BC AC
第一章
总复习
（一）内容 1 随机事件之间的关系及运算。 2 概率的定义和基本性质。 3 古典概率的定义及其计算公式。 4 条件概率的定义及计算，乘法公式、全概率公式， 贝叶斯公式。 5 随机事件独立性的概念，会利用事件独立性 进行概率计算。 （二）重点和难点 1.用概率的基本性质，条件概率的计算公式， 乘法公式，独立性，计算概率； 2.全概率公式，贝叶斯公式。(难点)
“A，B，C中至少有一发生” ： “A，B，C中最多有一发生” ：
AB C A BC A B C A B C AB BC AC
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第一章
总复习
2 概率的定义和基本性质
（1） 概率的（公理化）定义
10
20
0 P ( A) ; （非负性）
P ( S ) 1 ; （正则性或正规性）
（有限可加性）
性质 3
P ( A1) P ( A2) P ( An) A B P ( B A) P ( B ) P ( A) （包含可减性）
性质 4 P( A) 1 ; 性质 5 P ( A ) 1 P ( A) ; （逆事件的概率公式） 性质 6 P( A B) P( A) P( B) P( AB) 。 返回主目录 （加法公式） 重点
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第一章
总复习