空间中垂直关系4
空间几何中的垂直关系
空间几何中的垂直关系空间几何是数学中的一个重要分支，研究了在三维空间中的图形、形态和位置关系。
其中垂直关系是几何中的基本概念之一，它在建筑、工程、设计等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间几何中的垂直关系及其相关概念和性质。
1. 垂直关系的定义在空间几何中，两条直线、两个平面或者两个曲面相互垂直，意味着它们的方向互相垂直，不在同一平面上，并且它们的夹角是90度。
具体来说，垂直关系可以分为以下几种情况：1.1 直线的垂直关系空间中的两条直线相互垂直的判定条件有多种，最常用的方法是利用两条直线的方向向量之间的垂直性。
设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b，若a·b=0，则直线L1与直线L2垂直。
1.2 平面的垂直关系两个平面相互垂直的判定方法一般都涉及到它们的法向量。
设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，若n1·n2=0，则平面P1与平面P2垂直。
1.3 直线与平面的垂直关系直线与平面相互垂直的条件也涉及到它们的方向向量和法向量。
设直线L的方向向量为a，平面P的法向量为n，若a·n=0，则直线L与平面P垂直。
2. 垂直关系的性质垂直关系有一些重要的性质，下面将介绍几个常见的性质。
2.1 垂直平面的夹角如果两个平面相互垂直，则它们的夹角是90度。
这一性质在空间几何中非常重要，可以用来判断两个平面是否相互垂直。
2.2 垂直直线与平面的关系如果一条直线垂直于一个平面，那么它一定位于该平面上的某条直径上。
这一性质可以应用到建筑设计、物理力学等领域。
2.3 垂直向量与平面的关系设一个向量与平面上的任意一条向量都垂直，那么这个向量一定垂直于该平面。
这一性质常用于计算向量与平面的垂直关系。
3. 应用实例垂直关系在实际应用中有很多场景，下面举几个例子进行说明。
3.1 平面墙与地板的垂直关系在建筑设计中，我们常常需要确保墙面与地板垂直，以保证建筑的稳定性和美观性。
3.2 直线与曲面的垂直关系在机械制造中，我们需要确保某些直线与曲面垂直，来实现零件的配合与连接。
空间向量的垂直和平行关系
空间向量的垂直和平行关系空间向量是三维空间中具有大小和方向的量，它们之间存在着不同的关系。
其中最常见的关系是垂直和平行关系。
本文将深入探讨空间向量的垂直和平行关系，并分析其特点和性质。
一、垂直关系当两个向量的数量积等于零时，它们被称为垂直向量。
具体地说，对于空间中的向量A和A来说:A⋅A=AAA cos A=0其中，A⋅A表示向量A和A的数量积，AAA表示向量A和A的叉积，A表示两个向量之间的夹角。
当A为90度时，cos A=0，表明向量A和A 垂直。
垂直向量的特点和性质如下：1. 垂直向量的数量积为零，即两个向量之间的夹角为90度。
2. 向量的数量积等于零并不意味着它们一定是垂直的，还需考虑向量的长度和方向。
3. 若两个向量垂直，则它们的叉积为非零向量。
4. 若两个向量平行，则它们的数量积为非零常数。
5. 若一个向量与另一个非零向量垂直，则它与另一个向量平行。
二、平行关系当两个向量的叉积为零时，它们被称为平行向量。
具体地说，对于空间中的向量A和A来说:AAA=AAA sin A=0其中，AAA表示向量A和A的代数长度，sin A表示两个向量之间的夹角的正弦值。
当sin A等于零时，表明向量A和A平行。
平行向量的特点和性质如下：1. 平行向量的叉积为零，即两个向量之间的夹角的正弦值为零。
2. 平行向量之间的数量积可能为非零常数，也可能为零。
3. 若两个向量平行，则它们的数量积为非零常数。
4. 若两个向量垂直，则它们的叉积为非零向量。
5. 若一个向量与另一个非零向量平行，则它与另一个向量垂直。
通过对空间向量的垂直和平行关系进行分析，我们可以得出以下结论：1. 垂直和平行是空间向量最基本的关系，它们之间存在着一定的对应性。
2. 垂直和平行关系可以通过向量的数量积和叉积进行判断。
3. 垂直和平行向量在解决实际问题中具有重要的应用价值，如物理力学中的受力分析和几何学中的平面垂直关系。
在实际问题中，我们常常需要确定向量之间的关系，特别是垂直和平行关系。
高二第4讲 空间中的垂直关系(教师版)
第4讲空间中的垂直关系（教师版）一．学习目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．二．重点难点：重点：线面与面面垂直的判定．难点：线面与面面垂直的证明，特别是通过计算证明垂直关系．三．知识梳理：1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直垂直于同一个平面的两条[探究] 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平面是否垂直？提示：垂直2.平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平[探究] 2..垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定．可能平行，也可能相交．3．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出．四．典例剖析：题型一线面、面面垂直判断题例1（1）下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直则直线l与平面α不垂直．[思路探索] 利用线面垂直的定义并结合反例法，反证法判断．解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确．答案③④（2）(2012·浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)下列错误的是( )A．如果平面α⊥平面γ，如果平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线垂直于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直β解析：D中当过交线上任意一点作交线的垂线不在平面α内时，此垂线不垂直β，故选D.（3）(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB、PC，PA、AC、BD，则一定互相垂直的平面有( )A．8对B．7对C．6对D．5对解析：选B 由于PD⊥平面ABCD.故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．课堂小结：(1)线面垂直的定义不易用来判定线面垂直，但能利用它判定线面不垂直．(2)要注意定义的等价性．课堂练习1：（1）下列命题中正确的个数是( )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3答：B（2）下列命题错误的是________(填序号)．①若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l与α的所有直线垂直；③过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个；④a、b为异面直线，a∥α，b∥α，若l⊥a，l⊥b，则l⊥α.解析②③④正确，①不正确．答案①（3）(2012·金丽衢十二校第二次联考)已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件时，m⊥β.(填符合条件的序号)解析：当m⊥α且α∥β时，m⊥β，即应当填②⑤.题型二线面垂直的证明——————常运用线面垂直的判定定理证例2（等腰三角形中线即高证垂直）（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA ⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.(Ⅰ)证明:BD ⊥面PAC ; （2）（3）（略）证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC 是等腰三角形,且底角等于30°,且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且,所以;、BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭; 课堂练习2：（勾股定理证垂直）（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ;(3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图 4【答案】(1)在等边三角形ABC中,AD AE=AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF-中也成立,//DE BC∴,DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,//DE∴平面BCF;(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF BC⊥①,12BF CF==.在三棱锥A BCF-中,2BC=,222BC BF CF CF BF∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF⋂=∴⊥平面;(3)由(1)可知//GE CF,结合(2)可得GE DFG⊥平面.11111113232333F DEG E DFGV V DG FG GF--⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⎝⎭题型三线线垂直的证明——————常转化为证线面垂直例3：（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C-中,CA CB=,1AB AA=, 160BAA∠= .(Ⅰ)证明:1AB AC⊥;(Ⅱ)若2AB CB==,16AC=,求三棱柱111ABC A B C-的体积.【答案】(I)取AB的中点O,连接OC O、1OA O、1A B,因为CA=CB,所以OC AB⊥,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故,AA B∆为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC⨅OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1CC平面OA1C,故AB⊥AC. (II)由题设知12ABC AA B∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B都是边长为的等边三角形，所以2211111.OC OA AC AC OA OA OC ==+⊥又，故111111111,--= 3.ABC ABCOC AB O OA ABC OA ABC A B CABC S A B C V S OA=⊥∆⨯=因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC的体积课堂练习3：（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD-∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.(I)证明:;PB CD⊥(II)（略）【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.由PAB∆和PAD∆都是等边三角形知PA=PB=PD, [来源:学科网]所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, OE BD⊥,从而PB OE⊥.因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE//CD.因此,PB CD⊥.题型四面面垂直的证明——————常转化为证线面垂直例4（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥中,,,分别为的中点(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:课堂练习4：（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD所以PA垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点，所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD ，所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD[来源:学§科§网]所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.题型五线面、面面垂直探究问题例5（2012北京文）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,AB上的中点, 点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A 1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.【考点定位】本题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决.第三问的创新式问法,难度比较大.解:(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点,所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.课堂练习5：（2012北京理）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB 上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)求证:A1C⊥平面BCDE;(2)（略）(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.、、【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大.解:(1) CD DE ⊥,1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD , 又 1AC ⊂平面1A CD , ∴1AC ⊥DE 又1AC CD ⊥, ∴1AC ⊥平面BCDE (3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ，，,则[]03a ∈，则(10A P a =- ，，,()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z = ，，,则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =- ， 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直,则10n n ⋅=,∴31230a a ++=,612a =-,2a =-∵03a << ∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直五．品味高考（家庭作业）：1.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）yCA ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D2．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知为异面直线,平面,平面.直线满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ）A ．,且B ．,且C ．与相交,且交线垂直于 D ．与相交,且交线平行于【答案】D3.（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A4.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II) （略）【答案】（略）5.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC ，同理:FG∥平面ABC 又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC(2)∵平面⊥SAB 平面SBC ，平面SAB 平面SBC =BCAF ⊆平面SABAF⊥SB ，∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC 又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SA6.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=. (Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ)（略）【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===.COBDEC DO BE'A 图1 图2ABCSGFE连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==，由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE .7.（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ; (Ⅱ) （略）解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为, 在正方形ABCD中，BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)8.（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，1AC D OB E'A H,连接CE 并延长交AD 于F .(1) 求证:AD CFG ⊥平面;解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====, 故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .。
高考数学一轮总复习：空间中的垂直关系
空间中的垂直关系[基础梳理] 1．直线与平面垂直(1)定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理：⎭⎬⎫a ，b αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念：①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl β⇒α⊥β⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl βα∩β＝al ⊥a⇒l ⊥α1．判定定理的理解若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α. 2．性质定理α⊥β，P ∈β，PQ ⊥α⇒PQβ时垂直于第三个平面，[四基自测]1．下列命题中不正确的是( )A ．如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案：A2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为() A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交答案：C3．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案：C4．如图所示，在三棱锥V ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．答案：4考点一线面垂直的判定与性质◄考基础——练透[例1](2019·河南商丘模拟)如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________．解析：由P A⊥平面ABC，BC平面ABC，可得P A⊥BC，又AB是圆O的直径，C是圆O上一点，则有BC⊥AC，又P A∩AC＝A，所以BC⊥面P AC，又AF面P AC，所以BC⊥AF，故③正确；因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥面PBC，又PB面PBC，所以AF⊥PB，故①正确；因为AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF，又EF平面AEF，所以PB⊥EF，故②正确；由于AF⊥平面PBC，AF∩AE＝A，所以AE不与面PBC垂直，故④错误．综上可知正确命题的序号为①②③.答案：①②③证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线.如图所示，三棱锥P ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC＝AC ＝2，E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F.(1)求证：AP⊥FB；(2)求多面体PFBCE的体积．解析：(1)证明：由题意得BE⊥AC，又PC⊥平面ABC，∴PC⊥BE.又AC∩PC＝C，∴BE⊥面P AC.∴BE⊥AP.又EF ⊥AP ，EF ∩BE ＝E ，∴AP ⊥面BEF . ∴AP ⊥FB .(2)在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，E 为AC 中点， ∴AE ＝1，BE ＝ 3.在△PCA 中，∠PCA ＝90°，AC ＝PC ＝2，∴∠P AC ＝45°.又EF ⊥P A ，∴EF ＝AF ＝22，S △AEF ＝12EF ·AF ＝14.易知，BE ⊥平面AFE .∴V ABEF＝V B AFE ＝13BE ·S △AEF ＝312，又V P ABC ＝13PC ·S △ABC ＝233，∴多面体PFBCE 的体积为V P ABC －V A BEF ＝7312. 考点二 平面与平面垂直的判定与性质◄考能力——知法[例2] (1)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为22a,2a ，A ，B ，C ，D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ； ③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为5πa 2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，BP ∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝52a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确，综上，正确命题的序号为①②③④.答案：①②③④(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)如图所示，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM ＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.①证明：平面ACD⊥平面ABC；②Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q－ABP的体积．解析：①证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.②由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ， 所以BP ＝2 2.如图所示，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.应用线面垂直的判定与性质定理的思维(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证明该直线与另一个平面垂直．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解析：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)如图所示，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x .故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.考点三 空间垂直关系的探索与转化◄考基础——练透[例3] (1)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 的轨迹的周长等于________．解析：分别取BB 1，CC 1的中点E ，F ，连接AE ，EF ，FD ，则BN ⊥平面AEFD ，过点M 作平面α，使α∥平面AEFD ，则平面α与正方体表面的交线即为点P 的轨迹，该轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD 的周长相等，又矩形AEFD 的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋5(2)如图所示，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．①求证：CD⊥平面SAD；②若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．解析：①证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.②存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.证明：连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，因为PD∥CM，且PD＝CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.又因为N为SC的中点，所以NO∥SP.易知SP⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因为NO平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD.探索垂直关系，常采用逆向思维一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：(1)等腰三角形的高、中线与底边垂直．(2)矩形的相邻边垂直．(3)直径所对的圆周角的两边垂直．(4)菱形的对角线垂直．(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直．(6)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．(2019·安阳模拟)如图所示，平面ABDE⊥平面ABC，AC＝BC，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD＝12AE，O，M分别为CE，AB的中点．(1)求证：OD∥平面ABC.(2)能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．解析：(1)证明：取AC中点F，连接OF，FB.∵F为AC中点，O为CE中点，∴OF∥EA且OF＝12EA.又BD∥AE且BD＝12AE，∴OF∥DB，OF＝DB，∴四边形BDOF是平行四边形，∴OD∥FB.∵FB平面ABC，OD平面ABC，∴OD∥平面ABC.(2)当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE.取EM中点N，连接ON，CM.∵AC＝BC，M为AB中点，∴CM⊥AB.又∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，CM平面ABC，∴CM⊥平面ABDE.∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON∥CM，∴ON⊥平面ABDE.直观想象——立体几何中高维与低维转化中的学科素养立体几何中的点与点、点与线、线与线、线与面、面与面之间的关系是由低维逐步到高维的转化过程，解决立体几何问题不仅用到高维、也要用到低维．其中直观想象是重点的核心素养，是培养空间想象能力的基本方法．[例]如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，若二面角C－AB－C1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为________．解析：设所求距离为d ，两次计算三棱锥C 1－ABC (即三棱锥C －ABC 1)的体积，得：13×34×32＝13×12×1×3×h ，解得h ＝34.答案：34点评：本题将点到平面的距离问题转化为三棱锥的体积问题.课时规范练 A 组 基础对点练1．(2019·惠州模拟)P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A ，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是( ) A ．P A ⊥BC B ．BC ⊥平面P AC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC解析：由P A ⊥平面ACB ⇒P A ⊥BC ，故A 不符合题意；由BC ⊥P A ，BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，可得BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥PC ，故B ，D 不符合题意；无法判断AC ⊥PB ，故C 符合题意． 答案：C2．(2019·石家庄模拟)已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直解析：垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．答案：D3．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m∥n，nα，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β解析：若m∥n，nα，则m∥α或mα，故A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或nα，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β.答案：D4．(2019·长春质检)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面ABD解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.答案：D5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.答案：C6．(2019·南昌调研)如图所示，四棱锥P－ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：如图所示，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P －ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B.答案：B7.如图所示，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.如图所示，四棱锥P ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．求证：(1)AP∥平面BEF；(2)BE⊥平面P AC.证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所示．由于E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△P AC中，可得AP∥OF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC平面P AC，所以BE⊥平面P AC.9．(2019·唐山统考)已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)若PD＝AD＝2，PB⊥AC，求点P到平面AEC的距离．解析：(1)证明：如图所示，连接BD，交AC于点F，连接EF，∵底面ABCD 为矩形，∴F 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴EF ∥PB ， 又PB平面AEC ，EF平面AEC ，∴PB ∥平面AEC . (2)∵PD ⊥平面ABCD ， AC平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，又PB ⊥AC ，PB ∩PD ＝P ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵BD平面PBD ，∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 为正方形．又E 为PD 的中点，∴P 到平面AEC 的距离等于D 到平面AEC 的距离，设D 到平面AEC 的距离为h ，由题意可知AE ＝EC ＝5，AC ＝22，S △AEC ＝12×22×3＝6，由V D AEC＝V E ADC 得13S △AEC ·h ＝13S △ADC ·ED ，解得h ＝63，∴点P 到平面AEC 的距离为63.B 组 能力提升练10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 相交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF 平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ， 则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2， 所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12.答案：A11．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，nα，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α解析：选项A.若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交、异面，故A 错误；B ．若m ⊥α，nα，则m ⊥n ，显然成立；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或nα，故C 错误；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α或n ∥α或n 与α相交． 答案：B12.如图所示，三棱锥A －BCD 的底面是等腰直角三角 形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在 下面命题中：①平面ABE ⊥平面BCD ； ②平面EFG ∥平面ABD ；③四面体FECG 体积的最大值是13.真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①正确，因为AB ⊥平面BCD ，且AB平面ABE ，由面面垂直的判定定理可知平面ABE ⊥平面BCD ；②错误，若两平面平行，则必有AD ∥EF ，而点E 是棱CD 上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF ⊥平面GCE ，且GF ＝12AB ＝1， 而S △GCE ＝12GC ·CE ·sin45°＝24CE ≤1，故V F －GCE ＝13S △GCE ·FG ≤13. 故正确的命题为①③. 答案：C13．已知平面α，β和直线m .给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m ∥β. (2)当满足条件________时，有m ⊥β. 解析：(1)当mα，且α∥β时，有m ∥β，故填③⑤.(2)当m ⊥α，且α∥β时，有m ⊥β，故填②⑤. 答案：(1)③⑤ (2)②⑤14．(2019·北京东城区模拟)如图所示，在四棱锥E -BCD 中，AE ⊥DE ，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，CD ＝3AB .(1)求证：平面ACE⊥平面CDE；(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：因为CD⊥平面ADE，AE平面ADE，所以CD⊥AE.又AE⊥DE，CD∩DE＝D，所以AE⊥平面CDE，因为AE平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE.(2)在线段DE上存在一点F，且EFED＝13，使AF∥平面BCE.设F为线段DE上一点，且EF ED＝13.过点F作FM∥CD交CE于点M，连接BM，AF，则FM＝13CD.因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB.又FM∥CD，所以FM∥AB.因为CD＝3AB，所以FM＝AB.所以四边形ABMF是平行四边形，所以AF∥BM.又AF平面BCE，BM平面BCE，所以AF∥平面BCE.提能练(四) 立体几何A 组 基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π .9π2 C ．6π .32π3解析：设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2， ∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2. 答案：B2.(2019·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．4πB ．16πC ．24πD ．25π 解析：由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R ＝22＋22＋42＝26，则R ＝6，故该球的表面积为4πR 2＝24π，故选C.答案：C3．(2019·洛阳模拟)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A.823πB.833πC.863πD.1623π解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π，故选A.答案：A4．(2019·石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )A.83B.43C.823D.423解析：记由三视图还原后的几何体为四棱锥A －BCDE ，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D ，E 分别为所在棱的中点，分析知平面ABE ⊥平面BCDE ，点A 到直线BE 的距离即四棱锥的高，设为h ，在△ABE 中，易知AE ＝BE ＝5，cos ∠ABE ＝55，则sin ∠ABE ＝255，所以h ＝455，故四棱锥的体积V ＝13×2×5×455＝83，故选A.答案：A5．(2019·贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．15πB ．16πC ．17πD ．18π解析：由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D 1－BCD ，将其放在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为9＋4＋4＝17，球O 的直径为17，所以球O 的表面积S ＝17π，故选C.答案：C6．(2019·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h ＝9－r 2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 29－r 2＝13π9r 4－r 6.设f (r )＝9r 4－r 6(r ＞0)，则f ′(r )＝36r 3－6r 5，令f ′(r )＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－r 2)＝0，得r ＝6，所以当0＜r ＜6时，f ′(r )＞0，f (r )单调递增，当r ＞6时，f ′(r )＜0，f (r )单调递减，所以f (r )max ＝f (6)＝108，所以V max ＝13π×108＝23π.答案：23π7．(2019·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为________．解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P －ABC ，其中底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，P A ⊥平面ABC ，BC ＝27，P A 2＋y 2＝102，(27)2＋P A 2＝x 2，所以xy ＝x 102－[x 2－(27)2]＝x 128－x 2≤x 2＋(128－x 2)2＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64.答案：648.如图，已知四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点．(1)证明：平面PCD ⊥平面PDE ；(2)若PD ＝3AD ，求点E 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AB ，连接DB ，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，所以△DAB 为等边三角形，又E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE ，又PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PDE ，因为CD ∥AB ，所以CD ⊥平面PDE ，因为CD 平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PDE .(2)因为AD ＝2，所以PD ＝23，在Rt △PDC 中，PC ＝4，同理PB ＝4，易知S △PBC ＝15，S △EBC ＝32，设点E 到平面PBC 的距离为h ，连接EC ，由V P －EBC ＝V E －PBC 得，13S △EBC ·PD ＝13S △PBC ·h ， 所以h ＝155.B 组 能力提升练9．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，如图2.在图2所示的几何体D －ABC 中，(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F －BCE 的体积． 解析：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22，∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4， ∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF .∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线．∵V F －BCE ＝V B －CEF ＝13×S △CEF ×BC ，∴S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F －BCE ＝13×12×22＝23.10．(2019·南昌调研)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AA 1＝3，AC ⊥BC ，点M 在线段AB 上．(1)若M 是AB 的中点，证明：AC 1∥平面B 1CM ；(2)是否存在点M 使得三棱锥B 1－BCM 的体积是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积的19？若存在，试求BM 的长度；若不存在，请说明理由． 解析：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接ME . 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以侧面BB 1C 1C 为矩形．又M 是AB 的中点，所以ME 为△ABC 1的中位线，所以ME ∥AC 1. 因为ME 平面B 1CM ，AC 1平面B 1CM ，所以AC 1∥平面B 1CM .(2)存在点M 使得三棱锥B 1BCM 的体积是三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积的19. 理由如下：假设存在点M 使得三棱锥B 1－BCM 的体积是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积的19.由题意知VB 1－BCM ＝13S △BCM ·BB 1，VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·BB 1，设BM ＝λBA,0＜λ＜1，则13λS △ABC ·BB 1＝19S △ABC ·BB 1，所以λ＝13，即BM ＝2，故当BM ＝2时，三棱锥B 1－BCM 的体积是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积的19.。
空间中的垂直关系
8． 5 空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______ ( 无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说__________________________ ，记作_______ .直线I叫做______________ ，平面a叫做_______________ .直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做________ .垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的______________ .(2)判定定理：一条直线与一个平面内的________________ 都垂直，则该直线与此平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.用符号表示： a // b,(3)__________________________________________ 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 .3.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ___________ ，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°勺角.任一直线与平面所成角B的范围是 ____________ .4.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的________________________ 叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 ______________ 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是 _______________ ．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________________ ，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的__________ ，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____ 的直线与另一个平面垂直．自查自纠1．直角2.(1)直线I与平面a互相垂直I丄a平面a的垂线直线I 的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3.锐角[0；90°4.(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0 ° 180°]5.(1)直二面角(2)垂线(3)交线0 （2017江西宜春四校联考）下列命题中错误的是（ ）A •如果平面a 丄平面3那么平面 a 内一定存在直线平行于平面 3B.如果平面 a 不垂直于平面 3,那么平面a 内一定不存在直线垂直于平面3C. 如果平面 a 丄平面 Y 平面3丄平面 Y a Q 3 =丨,那么I 丄平面 丫 D .如果平面a 丄平面3那么平面a 内所有直线都垂直于平面 3解：对于选项A ,可在a 内作直线平行于交线即可， A 正确；对于选项B ，假设在a 内存在直线垂直于平面 3则a 丄3这与已知矛盾，所以原命题成立，B 正确；对于选项C ,因为平面a 丄平面Y 所以在平面 丫内存在一条直线m 丄a 所以m i l.同理可知在平面 丫内存在直线n 丄3 n 丄I.若直线m , n 重合，则面a 与3重合或平 行，这与已知矛盾，所以直线 m , n 相交，又I 丄m , I 丄n ,所以I 丄面Y C 正确；对于选项 D ,易知a 与3的 交线I 并不垂直于面 3, D 错误.故选D.° （2017甘肃马营中学月考）若m 、n 是两条不同的直线,a 、3 丫是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ )A .若 m? 3 ,a 丄 3 ,贝U m 丄aB .若 aCl Y= m , 3C Y = n , m / n ,贝U a/ 3 C .若 m ± 3, m //a则a 丄3D .若 a 丄Y a 丄 3则 3-L Y解：若m? 3 , a 丄3 ,贝y m 与a 的关系可能平行也可能相交或 m? a ,贝y A 为假命题；选项 B 中，a 与3选C.而不充分条件.故填必要不充分.❺（2017重庆八中适应性考试）在正四面体P-ABC 中，D , E , F 分别是AB , BC , CA 的中点，下面四个结论 中正确的是 _________________ . ① BC //平面PDF ； ② DF 丄平面FAE ；③ 平面PDF 丄平面 ABC ； ④平面PAE 丄平面 ABC.解：由DF // BC 可得BC //平面PDF ,故①正确；若PO 丄平面ABC ,垂足为O ,贝U O 在AE 上,贝U DF 丄PO , 又DF 丄AE ,故DF 丄平面FAE ,故②正确；由PO 丄平面ABC , PO?平面PAE ,可得平面 FAE 丄平面 ABC , 故④正确，平面PDF 不过PO ,故③不正确.故填①②④.A . A 1E 丄 DC 1B . A 1E 丄 BDC . A 1E 丄 BC 1D . A 1E 丄AC解:由正方体的性质，得 A 1B 1 丄 BC 1 , BQ 丄 BC 1 ,所以 BG 丄平面 A 1B 1CD ,又 A 1E?平面 A 1B 1CD ,所以 A 1E 丄BC 1 ,故选C.（2017全国卷川）在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中, E 为棱CD 的中点，贝U（)❹ 若I , m 是两条不同的直线， m 垂直于平面a ,则"I 丄m ”是"I // a”的 _____________ 条件.解：若I 丄m , m 丄平面a,贝y I //a 或I? a ；若I //a, m 丄平面a,贝U I 丄m ,所以"I 丄m ”是"I // a”的必要 可能平行也可能相交，则B 为假命题；选项 D 中3与丫也可能平行或相交（不一定垂直），则D 为假命题.»为类解析触类旁邂类型一线线垂直问题EB 如图，在四棱台ABCD-A I B I C I D I中，D i D丄平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB= 2AD, AD =A1B1,Z BAD = 60°(1)证明：AA i 丄BD ；⑵证明：CC i//平面A I BD.证明：(1)因为D I D丄面ABCD，且BD?面ABCD，所以D i D丄BD.又因为AB = 2AD，/ BAD = 60°在厶ABD 中，由余弦定理得BD2= AD2+ AB2—2AD ABcos60°= 3AD2,所以AD2+ BD2= AB2所以AD丄BD.又因为AD n D I D = D，所以BD丄面ADD i A i.又AA I?面ADD I A I,所以AA I±BD.(2)连接AC, A i C i,设AC n BD = E,连接A I E.i因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC = ^AC.由棱台定义及AB = 2AD = 2A i B i知A i C i // EC且A i C i = EC,所以四边形A I ECC I为平行四边形.所以CC i// A I E.又因为A I E?面A I BD, CC i?面ABD,所以CC I // 面A I BD.【点拨】本题主要考查线线、线面位置关系•第(i)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A I BD中没有与CC I平行的直线，故需作辅助线.(20i7武汉市武钢第三子弟中学月考）如图，三棱柱ABC-A i B i C i 中，CA= CB , AB = AA i , / BAA i= 60°.f(i)证明：AB 丄A I C ;⑵若AB= CB = 2, A I C = .6,求三棱柱ABC-A i B i C i的体积. 解：⑴证明：取AB的中点O,连接OC, OA i, A I B.因为CA = CB，所以0C丄AB.由于AB = AA i,/ BAA i= 60° °故厶AA i B为等边三角形，所以OA i丄AB.因为OC A OA i= 0,所以AB丄平面OA i C.又A i C?平面OA i C，故AB丄A i C.⑵由题设知△ ABC与厶AA i B都是边长为2的等边三角形，所以OC = OA i = .3. 又A i C = ■.6，贝U A i C2= OC2+ OA i,故OA i丄OC.因为OC A AB= O,所以OA i丄平面ABC, OA i为三棱柱ABC-A i B i C i的高.乂△ ABC 的面积S SBC= , 3,故三棱柱ABC-A i B i C i 的体积为V = S^ABC X OA i = 3.类型二线面垂直问题GE 如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , AB丄AD，点E在线段AD上，且CE // AB.（i）求证：CE丄平面PAD ;⑵若PA= AB= i , AD = 3, CD =运，/ CDA = 45° 求四棱锥P-ABCD 的体积. 解：（1）证明：因为PA丄底面ABCD , CE?平面ABCD，所以PA丄CE.因为AB丄AD, CE / AB，所以CE丄AD.又PA A AD = A，所以CE丄平面PAD.(2)由(1)可知CE丄AD.在Rt △ ECD 中，CE = CD sin45 = 1, DE = CD c os45°= 1, 又因为AB = 1，贝U AB = CE.又CE // AB, AB丄AD,所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形.因为AD = 3，所以BC = AE= AD —DE = 2,1 1 5S ABCD = 2(BC + AD) AB =彳(2 + 3)X 1 = §,1 1 5 5VP-ABCD=3SABCD'PA=3x只1=6.于是四棱锥P-ABCD的体积为|.【点拨】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第（2）问的难点在于求底面四边形ABCD的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积.（2017锦州市第二高级中学月考）如图，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E, F , P, Q, M, N分别是棱AB, AD , DD i, BB i, “B i, AQ i 的中点•求证：⑴直线BC i〃平面EFPQ ;⑵直线AC」平面PQMN.证明：（1）如图，连接AD i，由ABCD-A i B i C i D i是正方体，知AD i II BC i, 因为F , P分别是AD, DD i的中点，所以FP II AD i,从而BC i I FP.而FP?平面EFPQ，且BC i?平面EFPQ , 故直线BC i I平面EFPQ.⑵如图，连接AC, BD，贝U AC丄BD.由CC i丄平面ABCD , BD?平面ABCD，可得CC i丄BD .又AC A CC i = C,所以BD丄平面ACC i A i.而AC i?平面ACC i A i,所以BD丄AC i.因为M, N分别是A i B i, A i D i的中点，所以MN I BD，从而MN丄AC i. 同理可证PN丄AC i.又PN A MN = N,所以直线AC i±平面PQMN.类型三面面垂直问题GO）如图所示，在长方体ABCD-A i B i C i D i中，AB = AD = i, AA i= 2, M是棱CC i的中点.B C又A1B1Q B I M = B i,由①②得BM丄平面A I B I M.而BM?平面ABM，所以平面ABM丄平面A i B i M.【点拨】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一.变式.（2017武汉市第四十三中学月考）如图，在五棱锥P-ABCDE 中，PA丄平面ABCDE , AB// CD，/ ABC=45° AB= 2 2, BC = 2AE = 4，三角形PAB是等腰三角形.求证：平面PCD丄平面PAC.证明：因为/ABC = 45° AB= 2 2, BC = 4,所以在△ ABC 中，由余弦定理得，AC2= (2 _ 2)2+ 42-2 X 2_2X 4COS45 = 8,解得AC= 2 ,2，所以AB2+ AC2= 8 + 8 = 16= BC2,即卩AB丄AC,又PA丄平面ABCDE，所以PA丄AB.又FA n AC = A，所以AB丄平面PAC,又AB // CD，所以CD丄平面FAC. 又因为CD?平面PCD，所以平面PCD丄平面PAC.类型四垂直综合问题EE （2017大连经济技术开发区一中月考）如图1，在等腰直角三角形ABC中，/ A = 90° BC= 6, D, E分别是AC ,AB上的点，CD = BE= 2,O为BC的中点.将厶ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A'B-DE ,其中AO = 3.（1）证明：A'O丄平面BCDE ;⑵求二面角A'C--B的平面角的余弦值.解：（1）证明：在图1中，易得OC = 3, AC = 3,2, AD = 2 2.如图示，连接OD , OE，在△ OCD中，由余弦定理可得OD = OC2+ CD2- 2OC CDcos45°= , 5•由翻折不变性可知AD = 2 _2,易得AO2+ OD2= AD2，所以A ‘0丄OD•同理可证A O丄OE.又因为OD n OE = O,所以A O丄平面⑵过O作OH丄CD交CD的延长线于H，连接A H，因为A ‘O丄平面BCDE，易知A H丄CD，所以/ A HO为二面角A‘ C--B的平面角.结合图1可知，H为AC中点，又O为BC中点，故OH = ^AB= 节，从而A H = OH2+ OA 2=亠3°, 所以cos/ A ‘ HO=-°^ =丘A ‘ H 5 '所以二面角A'CD-B 的平面角的余弦值为亠5【点拨】本题主要考查线面垂直及二面角的计算等.(2016全国卷I )如图，在以A , B , C , D , E , F 为顶点的五面体中,(1)证明：平面 ABEF 丄平面EFDC ;⑵求二面角E-BC-A 的余弦值.解：(1)证明：由已知可得 AF 丄DF , AF 丄FE ,又DF n FE = F ，所以AF 丄平面EFDC . 又AF?平面ABEF ，故平面ABEF 丄平面EFDC.⑵过D 作DG 丄EF ，垂足为 G ,由(1)知DG 丄平面ABEF.以G 为坐标原点， G F 的方向为x 轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 G -xyz.由(1)知/DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角，故 / DFE = 60° 贝U DF = 2, DG可得 A(1 , 4, 0), B(-3,4, 0), E( — 3, 0, 0), D(0, 0, .3).由已知得，AB // EF ，所以 AB //平面 EFDC.又平面 ABCD n 平面 EFDC = CD ，故 AB / CD , CD // EF.由BE // AF ，可得BE 丄平面EFDC ，所以/CEF 为二面角C-BE-F 的平面角，故/CEF = 60°从而可得C(— 2,0, 3),连接 AC ,则 (1 , 0, . 3), EB = (0, 4, 0), AC = (— 3,— 4,3), AB = (— 4, 0, 0).设n = (x , y , z)是平面BCE 的法向量，贝Un EC =0,'x + T 3z = 0,厂即'所以可取n = (3, 0,—*3).InEB = 0,仆 0,m AC = 0,设m 是平面ABCD 的法向量，则m AB = 0,同理可取 m = (0, 3, 4),1. 判断(证明)线线垂直的方法 (1) 根据定义；(2) 如果直线a // b , a 丄c ,贝U b 丄c ;⑶如果直线 a 丄面a, c? a ,贝U a 丄c ;折叠要注意不变量；作二面角，往往要通过作垂线来实现.面ABEF 为正方形，AF = 2FD ,贝U cos 〈n , m >n m|n ||2「19 19 结合图形，得二面角 E-BC-A 的余弦值为一2 .'19/ AFD = 90° 且二面角揭示规漳⑷向量法：两条直线的方向向量的数量积为零.2.证明直线和平面垂直的常用方法（1）利用判定定理：两相交直线a, b? a , a丄c, b± c? c丄a;（2）a // b, a丄 a ? b± a ;⑶利用面面平行的性质：a// 3, a丄a ? a± 3 ；⑷利用面面垂直的性质：a丄3, a A 3 =m, a? a , a丄m? a丄3 ；a丄丫，3丄Y, a A 3 =m? m X 丫.3.证明面面垂直的主要方法（1）利用判定定理：a丄3, a? a ? a丄3 ；（2）用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角；（3）如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：a// 3, a丄丫? 3丄丫.4.平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线, 把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等.5.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化判定定理判定定理线线垂直J *线面垂直・〜面面垂直性质定理性蜃定理6.线面角、二面角求法求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形求出该角，步骤是作（找）?证？求（算）三步曲.也可用射影法：设斜线段AB在平面a内的射影为A B AB与a所成角为0,贝U COS B 厂B厂I|AB|设厶ABC在平面a内的射影三角形为△ A B C 平面ABC与a所成角为0则COS 0 = S： B CS A ABC@|底翻科劃b查漏补缺折展延伸1.（2016浙江）已知互相垂直的平面 a , 3交于直线I •若直线m, n满足m// a, n丄3 ,则（）A . m / lB . m / n C. n丄I D. m± n解：由题意知aA A l，所以l? 3 •因为n丄3所以n丄I•故选C.2.已知a, 3为两个不同的平面，I为直线，若a丄3, a A 3 = I，则（）A .垂直于平面3的平面一定平行于平面aB.垂直于直线I的直线一定垂直于平面aC.垂直于平面3的平面一定平行于直线ID .垂直于直线I的平面一定与平面a, 3都垂直解：由面面垂直的判定定理可知，垂直于直线I的平面一定与平面a, 3都垂直.故选D.3.设m, n是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A .若a丄 3 m? a , n? 3 ,贝U m± nB.若a// 3 m? a , n? 3 ,则m// nC.若m l n , m? a , n? 3 ,贝U a丄3D .若m±a,m / n ,n / 3 ,贝U a丄3解：若a丄B, m? a , n?卩，贝U m与n可能平行、相交或异面，故A错；若a//®, m? a , n?卩，则m与n可能平行，也可能异面，故B错；若m丄n, m? a , n? B ,贝U a与®可能相交，也可能平行，故C错；对于D项，由m丄a, m / n,得n丄a,又知n // B,故a丄B,所以D项正确.故选D.4.(2017沈阳市第一中学月考)设平面a与平面B相交于直线m,直线a在平面a 内，直线b在平面B内，且b丄m,则"a丄B'是"a丄b”的( )A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解：当a丄B时，由面面垂直的性质定理知b丄a,则b丄a.所以“a丄B”是“a丄b”的充分条件.而当a? a ,且a // m时，因为b丄m,所以b丄a，而此时平面a与平面B不一定垂直.所以“a丄B”不是“ a丄b ”的必要条件.故选A.5.(2015福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，M , N分别为VA, VC的中点，则下列结论正确的是( )CA . MN // ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC X平面VACD .平面VAC丄平面VBC解：依题意，MN // AC,又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到AC丄BC,因此MN 与BC所成的角是90°, B错误；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直，C错误；由于BC丄AC, BC丄VA,因此BC丄平面VAC.又BC?平面VBC，所以平面VBC丄平面VAC, D正确.故选D.6. (2017瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SGG2G3中，E, F分别是G1G2, G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE, SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1, G2, G3三点重合于点G,这样，下列五个结论：(1)SG丄平面EFG ；(2)SD丄平面EFG ；(3)GF丄平面SEF；(4)EF丄平面GSD；(5)GD丄平面SEF.正确的是( )A. (1)和⑶B. ⑵和⑸C. (1)和⑷D. ⑵和⑷解因为正方形中折叠前后都有SG丄GE, SG丄GF，所以SG丄平面EFG.(1)正确，(2)错误:因为SG丄GF, SG丄GD，所以GF并不垂直于SF, GD并不垂直于SD,即卩⑶（5）错误.因为EF丄GD , EF丄SG, GD n SG= G ,所以EF丄面GSD.（4）正确.故选C.7.在正方体ABCD-A 'B 'C 'D中,过对角线BD '的一个平面交AA于E,交CC于F，贝U①四边形BFDE 一定是平行四边形；②四边形BFD E有可能是正方形；③四边形BFD E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD E有可能垂直于平面BB D.以上结论正确的为____________ .（写出所有正确结论的编号）解：根据两平面平行的性质定理可得BFD E为平行四边形，①正确；若四边形BFD E是正方形，则BE丄ED ', 又A ' D '丄EB, A ' D ' n ED ' = D '，所以BE丄面ADD A '，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E, F分别为棱AA ', CC '的中点时，EF // AC,又AC丄平面BB D, 所以EF丄面BB D，④正确.故填①③④.8.（2017沈阳市回民中学月考）ABCD是正方形，P为平面ABCD外一点，且PA丄平面ABCD，则平面PAB,平面PBC，平面PCD，平面PAD，平面ABCD这五个平面中，互相垂直的平面有 _________________ 对.解：因为PA丄平面ABCD，所以平面PAD丄平面ABCD，平面PAB丄平面ABCD.又因为AD丄平面FAB，所以平面FAD丄平面PAB,同理可得平面PBC丄平面PAB,平面PAD丄平面PCD，故互相垂直的平面有5对.故填5.9.（2017钟祥市实验中学月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD = a, PA = PC =■, 2a.求证：（1）PD 丄平面ABCD ；⑵平面PAC丄平面PBD.证明：⑴因为PD = a, DC = a, PC= 2a,所以PC2= PD2+ DC2,所以PD 丄DC.同理可证PD丄AD，又AD n DC = D ,所以PD丄平面ABCD.⑵由⑴知PD丄平面ABCD ,所以PD丄AC,而四边形ABCD是正方形，所以AC丄BD，又BD n PD = D，所以AC丄平面PDB.同时AC?平面PAC ,所以平面PAC丄平面PBD.10. （2017谷城县第一中学月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , AB丄AD , AC丄CD，/ABC = 60° PA = AB = BC, E 是PC 的中点.证明：⑴CD丄AE;(2)PD丄平面ABE.证明：⑴ 因为PA丄底面ABCD , CD?平面ABCD，所以PA丄CD.因为AC丄CD , FA Q AC = A,所以CD丄平面FAC.而AE?平面PAC,所以CD丄AE.(2)由FA= AB= BC ,Z ABC= 60 °可得AC = PA•因为E是PC的中点，所以AE丄PC.由⑴知AE丄CD，且PC Q CD = C,所以AE丄平面PCD.而PD?平面PCD，所以AE丄PD.因为PA丄底面ABCD，所以PA丄AB.又因为AB丄AD且PA Q AD = A,所以AB丄平面PAD，而PD?平面PAD,所以AB丄PD.又因为AB Q AE= A,所以PD丄平面ABE.11. (2017 天津)如图，在四棱锥P- ABCD 中，AD 丄平面PDC , AD // BC, PD 丄PB, AD = 1 , BC = 3, CD = 4, PD = 2.AP 5因为PD丄平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以/ DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD // BC, DF // AB,故BF = AD = 1 ,由已知，得CF = BC- BF = 2.又AD 丄DC ,故BC 丄DC ,在Rt△ DCF 中，DF2= DC2+ CF2= 42+ 22= 20, DF = 2 5,所以在Rt△ DPF 中可得sin/ DFP = DD二亠5所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为—.5(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC丄BM，并求MC的值.解：⑴由题设AB= 1, AC = 2,/ BAC = 60°, 可得S A ABC=I' AB - AC • sin60 °= ^3.由PA丄平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高，又PA = 1,所以三棱锥P-ABC的体积⑵证明：在平面ABC内，过点B 作BN丄AC,垂足为N.在平面FAC内，过点N作MN // PA，交PC于点M ,连接BM •由FA丄平面ABC知FA丄AC,又MN // PA，所以MN丄AC•又BN丄AC, BN P MN = N, BN?平面MBN ,MN?平面MBN，所以AC丄平面MBN.又BM?平面MBN，所以AC丄BM.I 3 PM AN 1在Rt△BAN中,AN=ABcos/BAC=2 从而NC=AC-AN乜由MN〃PA，得MM=AN二./ BAC= 60 °V=3 ABC，PA=卡. (2015安徽)如图，三棱锥AB= 1 , AC= 2,(1) 求异面直线A i M和C i D i所成的角的正切值；⑵证明：平面ABM丄平面A i B i M.解：⑴因为C i D i I B i A i,所以/ MA i B i为异面直线A i M和C i D i所成的角，因为A i B i丄平面BCC i B i,所以/ A i B i M =90°而A i B i= i , B i M = . B i C?+ MC i= 2,故tan/ MA i B i = = .2.A iB i(2) 证明：由A i B i丄平面BCC i B i, BM?平面BCC i B i,得"B i丄BM •①由(i)知，B i M = 2,又BM = BC1 2+ CM2= .2, B i B= 2,B i M2+ BM2= B i B2,从而BM 丄B i M.②(1) 求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2) 求证：PD丄平面PBC;⑶求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解：(1)如图，由已知AD // BC,故/DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD丄平面PDC，所以AD丄PD.在Rt△ PDA 中，由已知，得AP = AD1 2+ PD2= 5.故cos/ DAP = AD =血.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为-?.5⑵证明：因为AD丄平面PDC，直线PD?平面PDC，所以AD丄PD.又因为BC // AD，所以PD丄BC.又PD丄PB，所以PD丄平面PBC.⑶过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.。
空间中的垂直关系
空间中的三种垂直关系：
线线垂直： 所成角为直角 线面垂直： 线和面内所有直线都垂直
面面垂直： 所成的二面角为直二面角
问题： 如图，在四棱锥P ABCD中，PD 面ABCD, (1)请你添加一个条件，使PB AC成立；
问题： 如图，在四棱锥P ABCD中，PD 面ABCD, (1)请你添加CD中，PD 面ABCD, (6)若BC CD，PD CD, E是PC中点， 则在PB上是否存在点 F，使得PC 面DEF ?
在PB上是否存在点F，使得PB 面DEF ?
(7)若ABCD为正方形，PD CD, E、F是PC、PB的中点， 求二面角P DF E的正弦值；
(2)若PB AC， 求证：面 PAC 面PBD
(3)若PAD 面PBD， 求证：AD PB；
归纳：空间中垂直关系图
线线垂直
判
定
定
义
线面垂直
判
性
定
质
面面垂直
指出：转化思想是证明空间位置关系中最重要的思想
问题： 如图，在四棱锥 P ABCD中，PD 面ABCD, (4)若ABCD为矩形， AD 1，AB 2， E为AB中点，求证： PE CE； (5)若ABCD为矩形，AB kAD， 且在线段AB上存在一点E, 使得PE CE,求k的取值范围；
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
例2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
空间里的垂直关系课件
总结与应用
总结
垂直关系是空间中重要的概念，它们存在于日 常生活中的各个领域，以及科学、工程和数学 的研究中。
应用
通过理解和应用垂直关系，我们可以更好地理 解和解释事物之间的垂直位置和相对关系。
空间里的垂直关系ppt课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨空间中的垂直关系。从定义到应用，从数 学表达到性质，让我们一起通过实例来理解和应用垂直关系。
空间的定义
空间是我们生活中的基本概念，代表着我们所存在的物质维度。它可以是三维的，也可以是更高维度的。在空 间中，我们可以观察到各种关系和规律。
垂直关系的概念
1 什么是垂直关系？
垂直关系表示两个事物或元素之间的竖直方 向上的相对位置。
2 为什么垂直关系重要？
垂直关系有助于我们理解物体的高度、深度 和层次结构，以及它们在空间中的相对位置。
垂直关系在日常生活中的应用
城市天际线
高楼大厦在城市中形成了壮观的 垂直关系，展示了人类的建筑和 工程能力。
楼梯
树木
楼梯是连接不同楼层的垂直通道， 使我们能够便捷地在空间中垂直 移动。
树木的分层结构和不同高度的树 冠形成了自然界中的垂直关系， 营造出美丽的风景。
垂直关系的数学表达
1 直线的斜率
在二维平面中，两条垂直直线的斜率乘积为-1。
2 向量的垂直性
两个向量垂直的条件是它们的内积等于零。
垂直关系的性质
垂直的直角
两条相交直线的内角和为90度， 形成垂直的直角。
垂直的投影
一个物体沿着垂直方向的投影 是它在垂直平面上的影子。
垂直的比例
两个物体相似且比例相等时， 它们在垂直方向上的对应线段 也相似且比例相等。
通过实例理解垂直关系
垂直关系知识点总结
垂直关系知识点总结在数学中，垂直关系是指两条直线或向量相交且相交点的角度为90度。
垂直关系是几何中非常重要的概念，它在计算几何、向量、三角函数等领域都有着广泛的应用。
本文将对垂直关系的基本概念、性质、相关定理及其应用进行总结。
一、垂直关系的基本概念1.垂直线段：在平面几何中，如果两条线段的端点可以连成垂直直角，那么这两条线段就是垂直的。
两条垂直线段的特点是它们的端点组成的角是90度。
2.垂直平面：在空间几何中，如果一个平面与另一个平面相交，且它们相交的直线为垂直线，则这两个平面为垂直平面。
3.垂直向量：在向量的概念中，如果两个向量的点积为0，则这两个向量是垂直的。
4.垂直角：在直角坐标系中，如果两条线的斜率乘积为-1，则这两条线是垂直的，它们的夹角为90度。
二、垂直关系的性质1.垂直线段的性质：两条垂直线段的长度乘积等于它们的端点之间的距离的平方。
2.垂直平面的性质：两个垂直平面的法线向量互相垂直。
3.垂直角的性质：垂直角的度数为90度。
4.垂直向量的性质：如果两个向量垂直，则它们的点积为0。
5.坐标系中的垂直关系：在直角坐标系中，两条相交直线的斜率乘积为-1，即两条直线的斜率互为倒数。
三、垂直关系的相关定理1.垂直平分线定理：如果一条直线垂直于两条平行线，则它们的交点到两条平行线的距离相等。
2.垂直平分角定理：如果一条直线垂直于两条相交直线，并且把这两条相交直线的交点分成相等的两部分，则这条直线是这两条相交直线的平分线。
3.垂直高线定理：在直角三角形中，垂直于斜边的高线等于三角形两直角边之一的乘积除以斜边的长度。
4.垂直平方定理：在直角三角形中，斜边上任意一点到斜边的垂直高线和三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方。
5.垂直向量的判定定理：两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的点积为0。
四、垂直关系的应用1.建筑领域：在建筑设计中，经常需要考虑建筑物的垂直关系，如墙壁、柱子、楼梯等的垂直度对建筑物的稳定性、美观性等有重要影响。
人教版高二数学必修第四册《空间中的垂直关系》说课稿
人教版高二数学必修第四册《空间中的垂直关系》说课稿一、引言《空间中的垂直关系》是人教版高二数学必修第四册的一章内容，本章主要介绍了三维空间中的垂直关系的概念、性质以及应用，并通过丰富的例题让学生深入理解垂直关系的几何特征和运用方法。
本说课稿将重点介绍该章节的教学目标、教学重点和难点、教学方法和教学过程的设计。
二、教学目标1.理解垂直关系的概念，掌握判断两条直线或两个平面是否垂直的方法；2.掌握垂直关系的性质和判定定理，并能运用定理解决问题；3.在三维空间中，能够熟练应用垂直关系的概念和性质，分析解决相关几何问题。
三、教学重点和难点3.1 教学重点1.垂直关系的定义和性质；2.垂直关系的判定定理。
3.2 教学难点1.理解垂直关系的几何特征，能准确判断两直线或两平面是否垂直；2.运用垂直关系的判定定理解决实际问题。
四、教学内容和安排4.1 教学内容1.垂直关系的概念和性质；2.垂直关系的判定定理；3.垂直关系在三维空间中的应用。
4.2 教学安排1.师生互动，通过引导问题引发学生对垂直关系的思考；2.展示垂直关系的定义和性质，以图例和实例帮助学生理解；3.通过演示和讨论，引入垂直关系的判定定理；4.练习和实践，通过例题和习题的讲解，巩固学生对垂直关系的理解和应用；5.总结与反思，让学生回顾本节课的重要内容和自己的学习体会。
五、教学方法本节课将采用多种教学方法来促进学生的主动参与和深入理解垂直关系的概念和运用方法。
具体教学方法包括：1.启发式教学法：通过提出问题、让学生自主发现、分析和总结，引导学生理解垂直关系的几何特征和性质；2.归纳法：通过示例与练习，让学生掌握垂直关系的判定定理，培养学生逻辑思维和推理能力；3.演示法：用图表和实例展示垂直关系的概念和运用方法，加深学生对知识点的理解；4.口头解答和板书：通过口头解答来激发学生思考和讨论，同时将关键内容通过板书方式呈现，方便学生复习和记忆。
六、教学过程设计6.1 Step 1 引入通过举例引发学生对垂直关系的思考，比如问“墙面上两个相交的直线之间是否存在垂直关系？”等问题。
空间中的垂直关系
垂线 ，那么这两个平面互相垂直．
用符号语言表示为：a⊥β，a⊂α⇒ 4．两平面垂直的性质 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们
α⊥ β .
交线的直线与另一个平面
垂直
.
用符号语言表示为：α ⊥β ，α∩β＝l，b⊥l，b⊂α， 则
b⊥β
.
1． 若两平行线中的一条垂直于一个平面， 则另一条也 垂直于这个平面． 2． 若一条直线垂直于一个平面， 则它垂直于这个平面 内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4． 一条直线垂直于两个平行平面中的一个， 则这一条 直线也与另一个平面也垂直．
【变式探究】
1．四面体 ABCD 中，AC＝BD，E、F 分别是 AD、BC 2 的中点， 且 EF＝ 2 AC， ∠BDC＝90° ， 求证： BD⊥平面 ACD.
证明：取 CD 的中点 G，连接 EG、FG， 因为 E、F 分别是 AD、BC 的中点， 1 1 所以 EG AC，FG BD. 2 2 1 又 AC＝BD，所以 FG＝ AC， 2 所以在△EFG 中， 1 2 2 2 EG ＋FG ＝ AC ＝EF2， 2 所以 EG⊥FG，所以 BD⊥AC， 又∠BDC＝90° ，即 BD⊥CD， 因为 AC、CD⊂平面 ACD，且 AC∩CD＝C， 所以 BD⊥平面 ACD.
解：由三线平行公理知①正确；由直线与平面垂直的 定义知③正确；由直线与平面垂直的性质定理知④正确．
答案：A
3．下面命题中： ①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个 平面垂直； ②一个平面经过另一个平面的一条垂线 ，则这两个平 面一定垂直； ③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直 ，则这 两个平面垂直． 其中正确命题的个数有( A. 0 个 B. 1 个 ) C. 2 个 D. 3 个
空间几何中的垂直关系
空间几何中的垂直关系垂直关系是空间几何中的重要概念之一，它与直线和平面的相互关系密切相关。
本文将就空间几何中的垂直关系进行详细探讨。
一、垂直关系的定义和性质在空间几何中，我们称两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，当且仅当它们的夹角为90度（或称直角）。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是相对的：两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，可以理解为它们相互垂直的方向互为补角，即互为垂线。
2. 垂直关系具有传递性：如果直线AB垂直于直线BC，那么直线AB也将垂直于直线AC。
这个性质可以通过夹角定义和垂线的性质进行推导。
3. 平面与直线的垂直关系：当一条直线与一个平面垂直时，它与该平面的任意直线均垂直。
这一性质为建立空间几何中的垂直关系提供了便利。
4. 垂直关系与平行关系之间的关系：如果两个平面相互垂直，那么它们的任意一条公共直线与这两个平面都垂直；反之，如果两个平面的任意一条公共直线与这两个平面都垂直，那么这两个平面互相垂直。
二、垂直关系的应用垂直关系在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用场景：1. 建筑学中的垂直关系：在建筑设计与施工中，垂直关系是十分重要的，用来确保建筑结构的稳定和整体美观。
例如，墙面的垂直性要求、柱子与楼梯之间的垂直关系等都是基于几何理论的。
2. 地质学中的垂直关系：地层与地层之间的垂直关系是地质学家研究地壳演化和地层分析的基础。
通过研究地质层的垂直关系，可以推断出地层的变动和地质历史的变迁。
3. 数学建模中的垂直关系：在数学建模中，垂直关系被广泛应用于平面几何、三维几何以及向量分析等学科中。
它在描述和解决实际问题时，起到了重要的作用。
4. 导航和测量中的垂直关系：在导航和测量领域，垂直关系被用于确定方向、角度和高度。
例如，地球上的经线与纬线垂直相交，使得我们可以准确测量位置和方向。
三、总结空间几何中的垂直关系是一种重要的几何概念，它与直线和平面之间的关系密不可分。
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系
在三维空间中，直线和平面之间的垂直关系可以通过以下方式定义:
1. 直线和平面相交，且交线的夹角为 90 度，则直线和平面垂直。
2. 直线和平面相交，且交线是斜线，则直线和平面不垂直。
3. 直线和平面相交，且交线是一条直线，则直线和平面垂直。
对于平面和平面之间的垂直关系，可以使用以下方式定义:
1. 如果两个平面互相垂直，则它们的交线是直线，且这两条直线互相垂直。
2. 如果两个平面互相垂直，则其中一个平面的垂线穿过另一个平面，且这两条垂线互相垂直。
在三维空间中，直线和直线之间的垂直关系可以通过以下方式定义:
1. 如果两条直线互相垂直，则它们的交角为 90 度。
2. 如果两条直线互相平行，则它们不一定垂直，但如果它们在某一点相交，则它们的交线是直线，且这两条直线互相垂直。
垂直关系在三维空间中非常重要，因为它们可以用来定义物体之间的相对位置和方向。
在建筑设计、机械设计、航空航天等领域，垂直关系经常被应用到。
高考理科数学新课标件空间中的垂直关系
除了垂直关系外，空间中还有锐角、钝角等不同类型的角。了解这些角的性质和计算方法对于解决空间几何问题也很 重要。
空间几何的综合应用
垂直关系是空间几何中的重要内容之一，但它并不是孤立的。在解决空间几何问题时，往往需要综合运 用多种知识点和方法。因此，加强对空间几何其他知识点的学习和掌握也是非常重要的。
垂直线间角度关系探讨
垂直线间角度关系
两条直线垂直的充要条件是它们的斜率之积等于-1，即如果一条直线的斜率为 $m$，则另一条与之垂直的直线的斜率为 $-frac{1}{m}$。
应用举例
在处理解析几何问题时，可以通过判断两条直线的斜率之积是否等于-1来确定 它们是否垂直。
典型例题解析
第一季度
第二季度
利用空间向量的基本定理
通过空间向量的基本定理，将空间中的垂直关系 转化为平面向量中的垂直关系进行证明。
05 高考真题实战演 练与解析
历年高考真题回顾与分类整理
垂直关系的定义与性质
01
回顾历年高考中对于垂直关系的基本定义和性质，如两直线垂
直、平面与直线垂直等。
垂直关系的判定方法
02
总结历年高考中垂直关系的判定方法，如利用斜率、利用向量
05
02
解析
计算向量a和b的点乘，得a·b=1×2+2×(1)+3×2=6≠0，因此向量a和b不垂直。
04
解析
计算向量n和m的点乘，得 n·m=1×2+1×(-1)+1×1=2≠0，因 此直线l与平面α不垂直。
06
解析
分别计算向量a、b和c之间的点乘，得a·b=0 ，a·c=0，b·c=0，因此这三个向量两两垂直 。
90度，则称它们互相垂直。
空间内两直线垂直公式
空间内两直线垂直公式在三维几何中，垂直是两个直线或曲线所形成的角度为90度的关系。
而在二维几何中，垂直是两条直线所形成的角度为90度的关系。
在本文中，我们将讨论在空间内两直线垂直的条件和如何判断两直线是否垂直。
两直线垂直的条件：1.方向垂直：两条直线的方向向量的点积为0。
设直线L1的方向向量为a1，直线L2的方向向量为a2，则方向垂直的条件为a1·a2=0。
点积为0意味着两个向量之间的夹角为90度，即两条直线的方向垂直。
2.两个平面垂直：两条直线分别位于两个平面上，且两个平面垂直。
设平面P1的法线向量为n1，平面P2的法线向量为n2，则两个平面垂直的条件为n1·n2=0。
如果两个平面垂直，那么位于它们上面的直线也垂直。
3.直线与平面垂直：直线L位于平面P上，且直线L与平面P垂直。
设平面P的法线向量为n，直线L的方向向量为a，则直线与平面垂直的条件为n·a=0。
直线与平面垂直的意义是直线在平面上的投影为零。
判断两直线是否垂直的方法：1.方向向量法：判断两条直线的方向向量是否垂直。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们是垂直的。
2.位置向量法：判断一条直线上的一个点到另一条直线的距离是否为零。
设一条直线为L1，另一条直线为L2，直线L2上的一点为P2，直线L1上的一个点为P1、如果P1到P2的距离为零，那么两条直线是垂直的。
3.平面交点法：判断两个平面的交线与一条直线是否垂直。
如果两个平面的交线与一条直线垂直，那么这条直线位于两个平面上。
示例：1.判断直线L1：{(x,y,z)，x-2=0,y+z=0}和直线L2：{(x,y,z)，2x-y+z=1,3x-y-2z=0}是否垂直。
直线L1的方向向量为a1=(1,0,0)，直线L2的方向向量为a2=(2,-1,-2)。
计算a1·a2=1*2+0*(-1)+0*(-2)=2，由于a1·a2不等于零，所以直线L1和直线L2不垂直。
高考数学复习点拨 空间中的垂直关系新知识点细说
空间中的垂直关系新知识点细说本部分知识有两个新知识点，现细说如下：1、 直线与平面垂直（1） 空间中两直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.（2） 直线与平面垂直的定义:一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.这条直线叫做平面的垂线.这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.(3) 如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.符号表示：a l a l ⊥⇒⊂⊥αα,说明：①和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式；②可作为线线垂直的判定定理。
（4）直线和平面垂直的画法画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图，记作α⊥l 。
（5）直线和平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
符号表示：若,,,,,b l a l p b a b a ⊥⊥=⊂⊂ αα则α⊥l 。
注意：定理中的关键词语是“两条相交直线”，应用此定理时，主要是设法在平面内找到两条相交直线。
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
（6）直线和平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行。
（7）两个结论①过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；②过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
（8）拓宽：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。
2．平面与平面垂直（1） 两平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线相互垂直，就称为这两平面互相垂直。
平面α、β互相垂直，记作βα⊥。
（2） 两平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条直线，则这两个平面互相垂直。