01优化设计第一章
第1章优化设计
例2 某工厂生产甲乙两种产品。生产每种产品所需 的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提 供的材料、工时和电力见表。试确定两种产品每天 的产量，以使每天可能获得的利润最大。
g4(x1,x2)=x2≥0
五、优化数学模型的建立
设计变量、目标函数、约束条件是优化 设计数学模型的三个要素。
1. 设计变量（优化参数）——表达设计方案的一组基本
参数。 • 相对于设计常量（如材料的机械性能） • 在设计域中变量是否连续：连续变量、离散变量(齿轮
的齿数，客车的载运量)。 • 设计问题的维数：设计变量的个数（n个）。表征了设
g3(x1,x2)=4x1+5x2≤200
g4(x1,x2)=x1≥0
g5(x1,x2)=x2≥0
例3 一种承受纯扭矩的空心传动轴，已知传递的扭 矩为T，试确定此传动轴的内外径，以使其用料最 省。
T
s π (D2 d2)
T
4
扭转强度条件：
τ max
16DT π(D4 d 4 )
τ
扭转刚度条件：
(x1 2)2 x22 Ci
X*=(0.6, 1.35)T优化设计的迭代源自法1、下降迭代算法的基本格式
迭代公式
X k1 X k k S k
基本原理：从某一初始设计开始，沿某个搜索方向 以适当步长得到新的可行的设计，如此反复迭代， 直到满足设计要求，迭代终止。
S(k)——第k步的搜索方向，是一个向量； αk——第k步的步长因子，是一个数，它决定在方向S(k)上 所取的步长大小。
机械优化设计：根据最优化原理和方法，利 用计算机为计算工具，为机械设计问题寻求 最优设计方案的一种现代设计方法。
优化设计的基本概念绪论
电子系统优化案例
结果
芯片面积减小，集成度提高，功耗降低。
案例2
通信系统信号处理优化
目标
提高信号传输质量和效率。
电子系统优化案例
方法
采用信号处理算法和编码技术，优化信号传输和处理过程。
结果
信号传输质量提升，误码率降低。
物流系统优化案例
案例1
1
配送路线优化
2
目标
降低运输成本，提高配送效率。
3
方法
采用路径规划和物流仿真技术，优化配送路线的 选择和车辆调度。
降低桥梁自重，提高承载能力。
桥梁结构设计优化
建筑抗震性能提升，结构更加安 全可靠。
结果
案例2
目标
建筑结构优化案例
方法
采用有限元分析和优化算法，优化桥梁的截面尺寸和材料分布。
结果
桥梁自重减轻，承载能力提升。
电子系统优化案例
案例1
集成电路设计优化
目标
减小芯片面积，提高集成度。
方法
采用电路仿真和布局布线技术，优化芯片的电路和版图设计。
案例2
航空器机翼设计优化
目标
降低机翼阻力，提高飞行效率。
机械设计优化案例
方法
采用计算流体动力学分析，优化机翼形状和结构。
结果
机翼阻力减小，燃油消耗降低。
建筑结构优化案例
案例1
高层建筑抗震设计优化
目标
提高建筑结构的抗震性能。
方法
采用抗震分析和优化算法，优化建筑结构布局和材料分布。
建筑结构优化案例
缺点
结果依赖于启发式规则和经验，可能无法保证全局最优 解。
多目标优化算法
定义
多目标优化算法是用于解决多个目标之间存 在冲突和竞争的优化问题的方法。
第一章 优化设计概述
钢管壁厚T=0.25cm，
钢管材料的弹性模量E=2.1×105Mpa， 材料密度ρ=7.8×103kg/m3，
许用压应力σy= 420MPa。
求在钢管压应力σ不超过许用压应力σy 和失稳临界应力σe的条件下， 人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数，如 有n(n=1，2，…)个设计变量，则称为n维设计问题。
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计空间：由n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计 空间。 一个“设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看 成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点是 设计点。 设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设计 的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。 • 含有2—10个设计变量的为小型设计问题； • 10—50个为中型设计问题； • 50个以上的为大型设计问题。
绪论
二、从传统设计到优化设计：
传统设计：在调查分析的基础上，参考同类产品通过估 算、经验类比或试验等方法来确定初始方案，然后通过计 算各个参数是否能满足设计指标的要求，如果不符合要求 就凭借经验对参数进行修改，反复进行分析计算——性能 检验——参数修改，直到符合设计指标为止。 优化设计：借助计算机技术，应用一些精度较高的力学 的数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并从大 量的可行设计方案中寻找到一种最优的设计方案。
人字架的优化设计问题归纳为 求x=[D h]T 使质量m(x)→min 满足强度约束条件 ( x) y 和稳定约束条件 ( x) e
01机械优化设计第一章(哈工大—孙靖民)
哈尔滨工业大学 孙靖民 主编
2020年8月14日9时12分
课程介绍
计划学时数：26学时 使用教材
孙靖民. 机械优化设计. 北京：机械工业出版社，2003
参考书
[1]方世杰，綦耀光主编. 机械优化设计. 北京：机械工业 出版社，2003
[2] 陈立周，机械优化设计方法，北京：冶金工业出版社， 1997
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2020年8月14日9时12分
优化是万物演化的自然选择和趋势
•（1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是
寻优的过程，最优化可简写为Opt；
•（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值或
极小值的过程。
f
例如, 在右图中，求得一维函
f(x)
数 f(x) 最小值的条件为：若
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2020年8月14日9时12分
优化设计的作用（优点）：
使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优 解成为可能；
使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进 行；
使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能； 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的
质量； 提高生产效率，降低产品开发周期； ……
3、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公 司自主优化后，20年8月14日9时12分
4、美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进 行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用 10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻 自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使 设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多 的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。
第一章 优化设计概述
图1-4 悬臂梁的优化设计
三. 优化设计的数学模型
根据例子中的数学模型： 设： X =[x1,x2 ]T = [d ,l ]T min. f(x)= x12x2 X∈R2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 ≤0 g2(x)= 6.25 - x13 ≤0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 ≤0 g4(x)= 8 - x2 ≤ 0 g5(x)= - x1 ≤0 —— —— —— —— —— —— —— 设计变量 属于2维欧氏空间 目标函数 约束函数（性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（几何约束） 约束函数（几何约束）
按数学表达形式分： 不等式约束函数： gu(x) ≤ 0 等式约束数： hv(x) = 0 u = 1,2,…,m v = 1,2,…, p＜n
问题：是否每个设计约束中都必须包含 n个设计变量？m+p个约束呢？ 不等式约束能否表达成 gu(x)≥ 0 ？ p 为什么必须小于 n ?
§1.3 优化设计问题的数学模型
例：有三个不等式约束
g1(x) = - x1 ≤0 g2(x) = - x2 ≤0 g3(x) = x12 + x22 - 1 ≤0
再加一个等式约束 h(x) = x1- x2 = 0
X2 g3 (x) = 0
g1 (x) = 0
D
h(x)=0
X1
0
g2 (x) = 0
§1.3 优化设计问题的数学模型
F B h
2 1 2 2
TDh
y
TDh
E T D
2 2
2
8 B h
2
2
人字架的总质量：
优化设计方法ppt
其他优化方法
粒子群优化算法
粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟 鸟群、鱼群等自然现象的群体行为来寻找最优解。
人工神经网络
人工神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型， 通过训练来逼近某个映射函数或分类器。
03
优化设计的实际应用
建筑设计的优化
总结词
提高功能性、美观性和经济性
优化设计方法ppt
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 优化设计的基本方法 • 优化设计的实际应用 • 优化设计的新发展 • 优化设计的实践技巧
01
引言
什么是优化设计
优化设计是一种通过合理选择和调整设计方案参数，在给定 的一组约束条件下，使设计性能指标达到最优化的方法。
优化设计旨在找到一个或多个最优解，使设计在满足各种约 束条件的同时，最大化或最小化某一特定的设计性能指标。
迭代次数设置
合理设置迭代次数，避免 因迭代次数过多或过少导 致收敛效果不佳。
收敛条件设置
合理设置收敛条件，以便 在满足条件时实现算法收 敛。
初始化参数设置
合理设置初始化参数，避 免算法过早收敛或无法收 敛。
如何避免优化过程中的局部最优解
随机初始化
通过随机初始化参数，避 免算法在初始阶段就陷入 局部最优解。
适应性。
自适应选择
自适应选择是根据问题的特征和 性质，自适应地选择不同的算法 或策略，以获得更好的性能和适 应性。
自适应学习
自适应学习是通过学习历史经验和 数据，自适应地调整算法参数和策 略，以适应不同的情况和问题，提 高算法的效率和精度。
05
优化设计的实践技巧
如何选择合适的优化方法
根据问题特性选择
【优化设计】高中化学第1章第1节元素周期表(第1课时)学案新人教版必修2.doc
元素周期表（第1课时）【学习目标】1.简单了解元素周期表的发展历程。
2.了解元素周期表的编排规则及结构。
3.能描述元素在元素周期表中的位置。
【学习过程】宇宙万物是由什么组成的？古希腊人以为是水、土、火、气四种元素，古代中国则相信金、木、水、火、土五种元素Z说。
到了近代，人们才渐渐明白：元素多种多样，决不止于四五种。
18世纪，科学家己探知的元素有30多种，如金、银、铁、氧、磷、硫等，到19世纪，已发现的元素已达54种。
人们自然会问，没有发现的元素还有多少种？元素之间是孤零零地存在，还是彼此I'可有着某种联系呢？门捷列夫发现元素不是一群乌合之众，而是像一支训练有素的军队，按照严格的命令井然有序地排列着，怎么排列的呢？1869年，俄国化学家门捷列夫把当时已发现的60多种元素按其相对原子质量由大到小依次排列，将化学性质相似的元素放在一个纵行，通过分类归纳，制出第一张元素周期表，开创了化学历史新纪元。
元素周期表包含了丰富的用用信息。
1.元素周期表的编排原则0) 0)（1）按照原子序数递增的顺序从左到右排列；（2）将电子层数相同的元素排成一个横行；（3）把最外层电子数相同的元素（个别除外）按电子层数递增的顺序从上到到下排成列。
【归纳总结】确定原子序数的方法①原子：原子序数=核电荷数=核外电子数；②阴离子：原子序数=核外电子数一所带电荷数；③阳离子：原子序数=核外电子数+所带电荷数。
2.元素周期表的结构(1)周期(每一横行)：周期序数二电子层数①元素周期表中具有相同电子层数的元素，按原子序数递增的顺序排列的一个横行称为一个周期。
②周期表中有7个横行，即有7个周期，从上到下依次为第一周期到第七周期。
除第一周期外，每周期的元素都是从活泼金屈一一碱金屈开始，逐渐过渡到活泼非金属一一卤素，最后以稀有气体结朿。
③周期的分类及各周期元素数目：在第六周期和第七周期中有特殊的錮系和钢系元素，澜系元素包括从57号元素W (La)到71号元素镭(Lu)共十五种元素，舸系元素包括从89号元索刪(Ac)到103号元素^f(Lr)共十五种元素。
【优化设计】高中化学第1章第1节卤族元素(第3课时)学案新人教版必修2.doc
卤族元素【学习目标】1.了解卤族元素在周期表中的位置。
2.了解卤族元素原子的结构特点，了解原子结构与元素性质的关系。
3.了解卤族元素性质的相似性与递变性，并能初步运用原子结构理论解释。
4.认识结构与性质的因果关系，从而认识事物变化过程中量变引起质变的规律性，接受辩证唯物主义观点的教育。
【学习过程】1.原子结构的相似性与递变性：卤族元素原子结构的共同点是最外层电子数都是7,不同点是电子层数不同，其变化规律是随着原子序数增大，电子层数逐渐增多，原子半径逐渐增大。
2.物理性质的相似性与递变性：卤族元素单质都是双原子分子，有颜色，不易溶于水（氛除外），易溶于苯、四氯化碳等有机溶剂（萃取原理）。
随着原子序数的递增，卤索单质的颜色逐渐加深，密度依次增大，熔点、沸点依次升高。
2.（1）相似性:（2）递变性:①卤素单质与儿的反应：一定条件下均可与氢气反应：H2+X2=2IIX。
从F2->I2反应条件由易到难；反应剧烈程度由剧烈变为缓慢；卤化氢的稳定性逐渐减弱。
温馨提示：卤族氢化物均为无色，极易溶于水，有刺激性气味，在空气中冒白雾的气体。
②卤素单质间的置换反应：卤素间可以发生置换反应，较活泼的非金属可以将较不活泼的非金屈从它们的盐溶液中置换出來。
说明卤素单质的氧化性：F2>Cl2>Br2>I 20温馨提示：仏的氧化性最强，能与水发生反应，故不能用F?从溶液中置换出CL、Bm和I?【归纳总结】卤素性质递变规律如下:温馨提示：同主族元素原子从上到下电子层数依次增多，原子半径逐渐增大，原子核对外层电子的吸引能力逐渐减弱，原子的失电子能力逐渐增强，得电子能力逐渐减弱；元素单质的还原性逐渐增强，氧化性逐渐减弱；最高价氧化物对应水化物的碱性增强，酸性增强；气态氢化物的稳定性减弱。
同主族元素，从上到下，金属性越来越强，非金属性越来越弱。
【当堂检测】1.下列关于卤素（用X表示）的叙述屮，正确的是（）A.卤素单质与水反应均可用Xz+HdHXO+HX表示B.HX的热稳定性随卤素核电荷数增加而增强0.卤素单质的颜色从F2-12随相对分子质量增大而加深D.卤素单质越活泼，其熔点和沸点就越高2.下列关于卤族元素的递变规律的说法中不正确的是（）A.氧化性:F2>Cl2>Br2>I2B.稳定性:HF>HCl>HBr>HIC.还原性：F"<cr<Br_<rD.熔沸点:F2>Cl2>Br2>I23.X、Y是元素周期表第VI1A族中的两种元素。
优化设计方法
01
02
03
机械零件优化设计
通过优化机械零件的结构 、形状和材料等参数，提 高其性能、可靠性和寿命 。
工艺流程优化设计
通过对工艺流程的参数进 行优化，提高生产效率、 降低成本、减少能耗和废 品率。
生产线平衡优化
通过对生产线各工位的作 业时间、人力和设备等资 源进行平衡，提高生产效 率和质量。
建筑设计领域
优化设计的流程
问题定义
明确设计目标和约束条件，建立数学模型。
设计变量
确定设计变量，如结构尺寸、材料参数等。
目标函数
根据设计目标，建立目标函数，如最小化重量、最大化 强度等。
约束条件
根据实际需求，设置约束条件，如强度、刚度、稳定性 等。
方案迭代
通过计算机程序实现迭代求解，不断逼近最优解。
结果分析
对设计方案进行分析和评估，得出最优设计方案。
优化设计方法
xx年xx月xx日
目录
• 优化设计方法概述 • 优化设计的理论与方法 • 优化设计在各领域的应用 • 优化设计中的关键问题及解决策略 • 结论与展望
01
优化设计方法概述
定义与意义
定义
优化设计是将产品设计问题转化为数学问 题，通过计算机程序实现迭代求解，不断 逼近最优解的过程。
VS
意义
。
问题2
优化目标的多样性。设计目标可 能包括重量、强度、稳定性、耐 用性、性能等，需要确定主要优 化目标和次要优化目标。
问题3
计算成本的复杂性。优化算法需要 进行大量计算，需要权衡计算成本 和设计成本之间的关系。
优化设计中的解决方案
方法1
采用智能优化算法。如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等，这些算法可以自动寻找 最优解。
高中数学必修一《优化方案》答案解析第一章
1.1集合1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法[小问题·大思维]1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．[例1]下列每组对象能否构成一个集合：(1)某校2013年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)3的近似值的全体．[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案：B[例2] 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，求实数a 的值． [自主解答] 若a ＋2＝1，则a ＝－1，所以A ＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2， 当a ＝0时，A ＝{2,1,3}，满足题意． 当a ＝－2时，A ＝{0,1,1}， 与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1或a ＝－2(均舍去)． 综上可知，a ＝0.例2中1∈A 改为4∈A ，则结果如何？ 解：若a ＋2＝4，则a ＝2. ∴A ＝{4,9,13}满足题意． 若(a ＋1)2＝4，则a ＝1或a ＝－3. 当a ＝1时，A ＝{3,4,7}，满足题意． 当a ＝－3时，A ＝{－1,3,4，}满足题意． 若a 2＋3a ＋3＝4，则a ＝－3±132，代入后都满足题意，故a 的值为a ＝1，a ＝2，或a ＝－3或a ＝－3±132.——————————————————1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合.————————————————————————————————————————2．含有两个实数的集合A 可以表示为{a －3,2a －1}，求实数a 的取值范围． 解：∵A ＝{a －3,2a －1}，∴由集合中元素的互异性可得a －3≠2a －1. ∴a ≠－2.∴a 的取值范围为a ≠－2.[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝5的解集；(2)不等式2x －3>5的解集．[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5}．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1故集合用列举法表示为{(4，－1)}．(2)由2x －3>5可得x >4，所以不等式2x －3>5的解集为{x |x >4，x ∈R }． ——————————————————1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．————————————————————————————————————————3．有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2} ②⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2.③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x ，y |x ＝－1，或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．解析：答案：②⑤已知集合A中含有三个元素，1,0，x，若x3∈A，求实数x的值．[错解]∵x3∈A，故x3＝0或x3＝1或x3＝x，若x3＝0，则x＝0；若x3＝1，则x＝1；若x3＝x，则x＝1或x＝0.综上所述：所求x的值为0或1.[错因]本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x2＝x时漏掉了x＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解]∵x3∈A，∴x3是集合A中的元素．又∵集合A中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x3＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去；②若x3＝1，则x＝1，此时集合A中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；③若x3＝x，则x＝0、x＝－1或x＝1，当x＝0、x＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x＝－1时，此时集合A中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x＝－1.1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. 答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N⑤π∈Q ⑥－3∈Z .正确的个数为________． 解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的． 答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈β. 答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合； (6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (6){1,2}． (7){x |2x －1>5}．一、选择题1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．高中数学的所有难题 C ．美丽的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根解析：选项A ，B ，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A ，B ，C 中的对象都不能组成集合．答案：D2．下列命题不．正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案：D3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案：D 二、填空题5．集合A ＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素． 解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素． 答案：26.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________． 解析：∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，∴a 为(2,5)． 答案：(2,5)7．用描述法表示方程x <－x －3的解集为________． 解析：∵x <－x －3， ∴x <－32.∴解集为{x |x <－32}．答案：{x|x<－3 2}8．{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝________.解析：由(x＋2)2＋|y－3|＝0，又(x＋2)2≥0，|y－3|≥0，所以(x＋2)2＝0，|y－3|＝0，所以x＝－2，y＝3，所以{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝{(－2，3)}．答案：{(－2,3)}三、解答题9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值．(2)若a∈A，试求实数a的值．解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.10．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，所以x＝2，此时集合A＝{2}；当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.2集合间的基本关系[读教材·填要点]1．子集的概念A B(或B A)3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．4．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.[小问题·大思维]1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗？提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.2．任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集∅就没有真子集．3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．[例1]写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．[自主解答]由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．——————————————————1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. ————————————————————————————————————————1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.[例2]下列各式正确的是________．(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}；(4){1}{x|x≤5}；(5){1,3}{3,4}．[自主解答]∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}．∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3}{3,4}．“”是“真包含于”的意思[答案] (1)(2)(4) ——————————————————集合间关系的判定的步骤：首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A B ；,其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B A ；,最后，下结论：若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B ；若A ⊆B ，B A ，则A B ；若AB ，B ⊆A ，则B A ；若上述三种情况都不成立，则AB ，BA .[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确. ————————————————————————————————————————2．集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合M 和N 的关系． 解：M ＝{－3,2}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈N,2∈N .∴M ⊆N . 又0∈N ，但0∉M ，∴M N .[例3] 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．[自主解答] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. ——————————————————(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.————————————————————————————————————————3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值． 解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ； (2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1.∴a 的值为2或－1.高手否走出迷宫！已知M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，若N ⊆M ，求实数a 的取值范围． [错解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，(1)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(2)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(3)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．所以，a ＝1.[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N 为∅的情况．[正解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1.1．下列命题中，正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集； ②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集； ④如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B . A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C2．设集合M ＝{x |x >－2}，则下列选项正确的是( ) A ．{0}⊆M B ．{0}∈M C ．∅∈MD ．0⊆M解析：选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误．答案：A3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .答案：B 4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}． ∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅.即x 2－x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，得a ≤14.答案：a ≤145．若{a,0,1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵1b ≠0，∴c ＝0，∴a ＝－1，1b ＝1.∴a ＝－1，b ＝1.答案：－1 1 06．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值． 解：∵B ⊆A ，∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1，当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.一、选择题1．已知集合M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}，则它的真子集的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．15D ．16解析：∵M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}＝{－2，－1,0,1}共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个．答案：C2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意知A *B ＝{1,3}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个． 答案：D3．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合中为集合M 子集的是( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .答案：D4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A 二、填空题5．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析：∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案：3≤a ≤46．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.解析：由题意可知a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以ba ＝－1，则a ＝－1，b ＝1，故b －a＝2.答案：27．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{(0,1)}； ④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②8．已知集合P ＝{1,2}，那么满足Q ⊆P 的集合的个数是________． 解析：∵P ＝{1,2}，Q ⊆P ，∴集合Q 可以是∅或{1}或{2}或{1,2}． 答案：4 三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值．解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.10．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}，若B ⊆A ，求a 的值． 解：法一：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A 得，B ＝∅，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，由于Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，∴B ≠∅，且B 含有两个不同元素．∴B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立， ∴a ＝2. 综上所述：a ＝2.法二：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |(x －a )· (x －a －1)＝0}＝{a ，a ＋1}， ∵a ≠a ＋1，∴当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3. ∴a ＝2.1．1.3 集合的基本运算 第一课时 并集与交集[读教材·填要点]1． 集合的并集与交集的定义2．并集与交集的运算性质1．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B ＝{3}．2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.[例1]已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是() A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}[自主解答]A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}．[答案] C——————————————————解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示. ————————————————————————————————————————1．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图．∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R .[例2] 已知集合A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝{1,3，x }，求满足条件的实数x 的值．[自主解答] ∵A ∪B ＝{1,3，x }，A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}， ∴A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴x 2＝3或x 2＝x .①当x 2＝3时，得x ＝±3.若x ＝3，则A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，符合题意； 若x ＝－3，则A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，符合题意． ②当x 2＝x 时，则x ＝0或x ＝1.若x ＝0，则A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，符合题意； 若x ＝1，则A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不成立，舍去； 综上可知，x ＝±3或x ＝0. ——————————————————(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————2．已知集合A ＝{4,6}，B ＝{2，m }，A ∪B ＝{2,4,6}，则m 的值为________． 解析：∵A ＝{4,6}，B ＝{2，m }， 而A ∪B ＝{2,4,6}， ∴m ＝4或m ＝6. 答案：4或6 高手妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1) 若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值； (2)若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．[巧思] (1)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ；(2)∅A ∩B ⇔A ∩B ≠∅. [妙解] 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19解之得a ＝5. (2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． ∴a ＝－2.1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}解析：因为－2∉M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}．答案：D2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．答案：A3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是() A．k≤3 B．k≥－3C．k>6 D．k≤6解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.答案：D4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C ＝________.解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．答案：{x|x是正方形}5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.一、选择题1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．答案：A2．设集合M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()A．{x|1≤x<2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|2<x≤3} D．{x|2≤x≤3}解析：∵M＝{x|－3<x<2}且N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}．答案：A3．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是() A．t<－3 B．t≤－3C．t>3 D．t≥3解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.答案：A4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则() A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4C．2＜m＜4 D．2＜m≤4解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D 二、填空题5．已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}6．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 解析：用数轴表示集合A 、B 如图所示，由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}， 则m ＝6. 答案：67．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图所示，若A ∪B ＝R ，则a ≤1.答案：a ≤18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________.解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －1 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．第二课时 补集及集合运算综合问题[读教材·填要点]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集． (2)符号表示：通常记作U . 2．补集[小问题·大思维]1．已知集合A 、∁U A (U 为全集)，则A ∩(∁U A )与A ∪(∁U A )各有什么特点？ 提示：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U .2．设U 为全集，则∁U ∅、∁U U 、∁U (∁U A )分别表示什么集合？ 提示：∁U ∅＝U ，∁U U ＝∅. ∁U (∁U A )＝A .3．判断∁U (A ∩B )＝(∁U A )∩∁U B ，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∪(∁U B )是否正确． 提示：不对．结合韦恩图可知∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[例1]设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，求实数m的值．[自主解答]如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.——————————————————(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U. ————————————————————————————————————————1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.[例2]设U＝{x∈N|x<10}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4，5,6,9}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁B)，(∁U A)∪(∁U B)．U[自主解答]∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A∪B＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}．∵∁U A＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,2}，(∁U A)∪(∁U B)＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}．——————————————————1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.————————————————————————————————————————2．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0，或x ≤－1}解析：∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x >－1}． 又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}． 又∵∁U A ＝{x |x ≤0}． ∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝{x |x >0，或x ≤－1}． 答案：D[例3] 设全集U ＝R ，M ＝{x |3a ＜x ＜2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M ∁U P ，求实数a 的取值范围．[自主解答]∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， ∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论． (1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，2a ＋5≤－2， 或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72，或a ≥13.——————————————————1.M ⊆N ，一般分两种情况讨论：①M ＝∅，②M ≠∅.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法.————————————————————————————————————————3．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B )，求a 的取值范围． 解：∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }， (1)由A ⊆B ，结合数轴(如图所示)可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ＜a }，要使A ⊆∁U B ， 须a ＞－2.高手妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[巧思] 先将文字语言转化为集合语言，设U 为全班学生组成的集合，A 、B 分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn 图可直观得出答案．[妙解] 设全集U ＝{全班30名学生}，A ＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn 图如图所示．设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x ，则(15－x )＋x ＋(10－x )＝30－8，解得x ＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案] 121．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：∵∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．答案：B2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁A)∩B＝{－1,2}．U答案：A3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁A)∩(∁U B)＝()UA．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案：B4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或25．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：如图：由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x<2，或x＝5}．答案：{x|0≤x<2，或x＝5}6．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N}，若A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求集合A，B.解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．一、选择题1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}．答案：B2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a>2C．a<2 D．a≤2解析：∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2.答案：A4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是()①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，故成立．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.答案：A二、填空题5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，易得A∩(∁N B)＝{1,5,7}．答案：{3,9}{1,5,7}6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x<－m}．又∵(∁U A)∩B＝∅，－m≤－2.∴m≥2.答案：m≥27．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}8．已知全集U(U≠∅)和集合A、B、D，且A＝∁U B，B＝∁U D，则A与D的关系是________．解析：A＝∁U B＝∁U(∁U D)＝D.答案：A＝D三、解答题9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1.2函数及其表示1．2.1函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1]设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答][答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A 、B 是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A 中数x 的任意性，集合B 中数y 的唯一性.————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a >1或a <－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2] 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23. (2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x 1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}．——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分。
第一章优化设计概述
第1篇优化设计
第1章 优化设计概述
第1篇优化设计
第1章 优化设计概述
1.5 优化设计的数值计算方法—迭代法及其收敛性 • 机械优化设计问题虽然多属于约束优化问题，但从求解方法来说，约 束优化方法和无约束优化方法是紧密相联的，无约束优化方法是优化 方法中最基本的方法，是求解约束优化问题方法的基础，另外，在很 多时候可将约束问题转化为无约束问题进行求解。 • 无约束优化问题的求解方法可分为两大类：解析法（间接优化方法） 和数值计算法（直接优化方法）。 1.5 .1 解析法—间接优化方法
• 优化设计中一般取最优值为目标函数的最小值，而最大值问题可以转 化为最小值问题。
第1篇优化设计
第1章 优化设计概述
第1篇优化设计
第1章 优化设计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ述
1.3 约束条件
• 目标函数的计算值取决于设计变量的取值，而在很多实际问题中设计
变量的取值范围是有限制的或必须满足一定的条件。在优化设计中， 对设计变量取值的限制条件，称为约束条件，简称约束。
第1篇优化设计
第1章 优化设计概述
1.4.3 优化问题的几何解释
• 无约束优化问题就是在没有限制的条件下，求目标函数的极小点。在 设计空间内，目标函数是以等值面（线）的形式反映出来的，无约束 优化问题的极小点即为等值面（线）的中心。
• 约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小 点可能在可行域内或在可行域边界上。用图1-5可以说明有约束的二 维优化问题极值点所处置的几种不同情况。
第1篇优化设计
第1章 优化设计概述
1.4 优化设计的数学模型
第1篇优化设计
第1章 优化设计概述
1.4.1 数学模型的标准形式
优化设计第一章
例二 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种包装产品，已知生产单位产品所 需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，该工厂每生产一件包装产品Ⅰ可 获利2元，每生产一件包装产品Ⅱ可获 利3元。问应如何安排计划使该工厂获 利最多？
单位产品消耗
产品 原料
包装产 品 Ⅰ 1 4 0
包装产 品 Ⅱ 2 0 4
计算、绘图、信息管理、预测、评价、动态模拟、 人工智能。
强 调：
在进行包装设计时，应能主动地应用 现代设计方法学。
第一章 优化设计 概 论
本章主要内容:
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节
最优化问题实例
最优化问题的数学形式 最优化问题的几何解释 最优化方法产生的历史背景 什么是最优设计
第六节
第七节
Z =
2X1+3X2
x1、x2≥0
选择一组设计变量x1、x2， 在满足约束条件下， 使利润Z最大。
两杆桁架的最优设计问题
考虑由空心圆杆所构成的对称两杆桁架。
已知： 桁架顶点承受的负载为2P, 支座之间的水平距离为2L， 圆杆的壁厚为B， 杆的比重为ρ，
弹性模量为E，
屈服极限为σ。
问题： 如何选定圆杆的平均直径d和桁架高度h使得桁架 的重量最轻。
2X1+3X2
X1+2x2≤8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1、x2≥0
约束条件： 设计变量取值时的限制条件。
MAX
min A＝2（L+B)(B+H) LBH = V L 、 B、 H > 0
Z =
2X1+3X2
X1+2x2≤8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1、x2≥0
在最优化问题中，变量 x 可以受到限制， 也可以不受限制。 无约束问题：变量 x 不受限制 约束问题： 变量 x 受到限制
优化设计课件(一)
第一章 优化设计概述
本章重点：数学模型、图解法与下降迭代解法 基本要求：理解设计变量与设计空问、约束条件、约束边界与可行域、目标 函数及其等值线等相关概念和它们之间的相互关系;理解下降迭代解法的基本 思想、基本格式与基本问题；掌握简单问题的图解法;能够建立简单的设计问 题的数学模型。 内容提要： 最优化设计就是在满足所有设计要求的前提下，寻求实际问题的一组设计 主参数的值，以使设计问题的某一项或多项技术经济指标达到最大值或最小 值。 数学模型是对实际问题的数学描述，由设计变量、约束条件和目标函数3部 分组成。设计变量是一组待定的未知数，也是实际问题的一组主参数，设计 变量的一组值代表实际问题的一个确定的设计方案。以每一个设计变量为坐 标轴所构成的空间称为设计空间，其中的点称为设计点，一个设计点对应设 计问题的一个设计方案。
二、 优化设计基本术语与数学模型 的建立
• 优化设计方法也是一种规格化的设计方法，它首 先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立 数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序， 然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方 案。 工程设计问题的优化，可以表达为优选一组参数， 使其设计指标达到最佳值，且须满足一系列对参 数选择的限制条件。这样的问题在数学上可以表 述为；在以等式或不等式表示的约束条件下求多 变量函数的极小值或极大值问题，即求
• 最优值的概念是相对的，随着科学技 术的发展以及设计条件的变动，最优 化的标准也将发生变化。也就是说， 优化设计反映了人们对客观世界认识 的深化，它要求人们根据事物的客观 规律，在一定的物质基础和技术条件 下充分发挥人的主观能动性，得出最 优的设计方案。就是所谓的“事易时 移，变法易矣！”
高中数学必修一《优化方案》答案-第一章
错误!1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1）元素与集合的定义:一般地，把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2）集合中元素的性质：①确定性:即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性:即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．（3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的．（4)元素与集合的关系：a是集合A的元素,记作a∈A,a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{｝”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N＊或N＋Z Q R［小问题·大思维］1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能,没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象,所以不能构成集合．2．一个集合能表示成｛s，k,t，k}吗？提示:不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中,只能算作这个集合的一个元素．3．集合｛－5，－8}和｛(－5,－8)｝是同一集合吗?提示：不是同一集合．集合{－5，－8｝中元素有2个,为数．而集合｛(－5,－8）｝中有一个元素为坐标(－5，－8）．集合的基本概念［例1］下列每组对象能否构成一个集合：（1）某校2013年在校的所有高个子同学;（2）不超过20的非负数;（3）帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；（5）错误!的近似值的全体．［自主解答］“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．（2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x〉20或x〈0",两者必居其一,且仅居其一，故“不超过20的非负数"能构成集合；（3）“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6）“错误!的近似值"不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2"是不是它的近似值,所以（5）不能构成集合．——-————--——-——-——-判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．—————-—--————-——-——-—-———---————-------—1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆D．世界上的高楼答案:B集合中元素性质的应用［例2］已知集合A＝{a＋2，（a＋1）2,a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．[自主解答］若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝｛1，0,1｝，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去;若（a＋1）2＝1，则a＝0或a＝－2，当a＝0时，A＝｛2，1，3｝,满足题意．当a＝－2时，A＝｛0，1，1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2（均舍去）．综上可知,a＝0.例2中1∈A改为4∈A，则结果如何？解:若a＋2＝4，则a＝2.∴A＝{4，9,13｝满足题意．若（a＋1）2＝4,则a＝1或a＝－3。
优化设计第01章概述-1
第一节 优化设计问题的示例
第二节 优化设计的数学模型
第三节 优化问题的几何解释和基本解法 第四节 优化问题的分类
第一节 优化设计问题的示例
优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取 工程问题的最优设计方案。 优化设计包括：
（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；
......
设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计
的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈
大、求解亦愈复杂。
小型设计问题：一般含有2 — 10个设计变量；
中型设计问题：10 — 50个设计变量； 大型设计问题：50个以上的设计变量。 目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。
（2）选用适当的一种最优化数值计算方法和计算程序进行 运算求解。
箱盒的优化设计
已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱 盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。
分析： （1）箱盒的表面积的表达式； （2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件： x2 （a）体积要求； （b）长度要求。
h( x ) 0 g ( x) 0
约束条件的分类
根据约束的性质可以把它们区分成： 性能约束 ——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。 例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求； 边界约束 ——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称 作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度 的限定范围就属于边界约束。 显式约束 与 隐式约束 约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明 显的函数关系，有的只能表示成隐式形式 ,如某些复杂结构的性 能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计 算求得。
优化设计方法
粒子群优化算法将问题的每个解看作一个粒子，粒子在解空间中飞行，通过更新粒子的速度和位置来搜索最优 解。每个粒子都会记录自身的历史最优位置和群体的历史最优位置，并以此为依据来更新自己的速度和位置。 该算法具有寻优速度快、全局搜索能力强等优点。
04
多目标优化方法
多目标优化问题的定义与特点
01
案例四：生产工艺流程优化设计
总结词
在生产工艺流程优化设计中，采用模拟仿真、神经网络 等优化算法，可以有效地提高生产效率和质量。
详细描述
在生产工艺流程优化设计中，通常需要考虑生产效率、 产品质量、生产成本等因素。通过采用优化算法，可以 对多个设计方案进行评估和比较，从而找到最优的设计 方案。例如，可以采用模拟仿真算法对多种加工工艺进 行模拟和比较，或者采用神经网络算法对多种控制策略 进行优化调整。
要点二
深入研究复杂系统优 化设计方法，解…
针对现有研究存在的局限性，未来可 以加强复杂系统优化设计方法的深入 研究。通过引入先进的数学理论和分 析方法，可以建立更为精确和有效的 复杂系统优化设计模型，为解决现实 世界中的复杂问题提供支持。
要点三
加强实证研究，验证 优化设计方法的…
为了克服现有研究的不足，未来可以 加强实证研究，通过实际案例的验证 来证明优化设计方法的有效性。这不 仅可以增强人们对优化设计方法的信 任度，还可以为方法的进一步改进和 完善提供实践经验。
遗传算法
受生物进化启发的优化算法，通过 模拟基因选择、交叉、变异等过程 ，寻找到满足优化目标的解。
模拟仿真法
通过建立物理模型或数学模型，模 拟系统的行为和性能，以评估和优 化设计方案。
强化学习算法
通过让算法与环境互动并学习，不 断优化决策策略，达到寻找到最优 解的目的。
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优化是万物演化的自然选择和趋势
•（1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是 寻优的过程，最优化可简写为Opt； •（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值或 极小值的过程。
f
例如, 在右图中，求得一维函 数 f(x) 最小值的条件为：若 ｘ取 x*，则 f(x) 取得最小值 f(x*)。 目的是为了在完成某一任务时 所作的努力最少、付出最小， 而使其收益最大、效果最好。
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机械优化设计的应用概况
在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说， 是在上世纪60年代后期才得到迅速发展的。 机构运动参数的优化设计是机械优化设计发 展较早的领域。国内近年来才开始重视，但发 展迅速，在机构综合、机械的通用零部件的设 计、工艺设计方面都得到应用。 优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主 要有以下几方面：
利用电子计算机主动的 设计产品参数，获得最 优方案——理论设计、 精确计算、优化设计
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优化设计的一般过程
1）建立确切反映问题实质并适合于优化计算的优 化设计数学模型； 2）选择恰当的优化方法，编写计算机语言程序； 3）求得数学模型的最优解。 机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设 计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项 设计指标获得最优值。 工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值” 系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的 最令人满意和最适宜的值。
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传统设计到优化设计
人工试凑和定性分析的比较过 程，被动的重复分析产品的性 能——经验设计、近似计算、 一般的安全寿命可行设计。
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设计问题
数学模型
最优的设 计方案
是
最 优 ？
否
方案分析
优化途径，优选设计参数
设计方案 图2: 优化设计过程框图
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图1-1 人字架的受力
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人字架的优化设计问题归结为：
x D H
T
使结构质量
m x min
但应满足强度约束条件
稳定约束条件
x y
x e
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最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O年 代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计 方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著 提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优 化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬 勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领 域中得到应用。 近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、 冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电 力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其 中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰 硕的成果。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素愈多， 问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。
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f(x)
f(x*) 0 x* x
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•（3）优化方法：也称数学规划，是用科学方法和手段进 行决策及确定最优解的数学；
实际问题表达成的函数类型很多： 变量类型也很多：
确定型、不确定型函数； 线形、非线形（二次、高次、超越）函数。
连续、离散、随机变量等等。
优化设计
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课程介绍
孙靖民. 机械优化设计. 北京：机械工业出版社，2003
参考书
[1]方世杰，綦耀光主编. 机械优化设计. 北京：机械工业 出版社，2003 [2] 陈立周，机械优化设计方法，北京：冶金工业出版社， 1997 [3] 刘惟信. 机械最优化设计. 北京：清华大学出版社， 1994
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本课主要内容
优化设计概述 优化设计的数学基础 一维搜索方法 无约束优化方法 约束优化方法
多目标及离散变量优化方法
优化设计实例
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绪
论
一、优化相关概念
二、机械的传统设计到优化设计
三、机械优化设计的发展
四、机械优化设计的应用概况
优化过程就是求解一个付出最小、获得效益最大的方案。
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机械设计方法
传统设计方法 基于手工劳动或简易计算工具。方法低效，一般只能获 得一个可行的设计方案。
传统机械设计理论与方法包括疲劳寿命理论、强度理论、 振动理论„„
常凭经验、试算、校核等方法。 现代优化方法 基于计算机的应用，设计过程包括： ① 从实际问题中抽象出数学模型； ② 选择合适的优化方法求解数学模型。 特点：以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的” 的可行方案中找出“最优的”的设计方案。
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二、强度、稳定条件
钢管所受的压力 失稳的临界力
FL F ( B 2 h ) F1 h h
1 2 2
Fe
2 EI
L
2
2 EA(T 2 D 2 )来自Page 132015年10月12日8时56分
优化设计的作用（优点）：
使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优 解成为可能；
使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进 行；
使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能； 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的 质量；
提高生产效率，降低产品开发周期；
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1、目前优化设计多数还局限在参数最优化这种数值量优 化问题。结构型式的选择还需进一步研究解决； 2、优化设计这门新技术在传统产业中普及率还不高； 3、把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优化设计发 展的趋势之一。
优化设计的思想广泛的应用于工业、农业、商 业和国防等各部门，解决诸如生产规划、经济管理、 能源利用、产品设计、工艺过程设计、控制系统等 方面的最优化问题，它是促进技术进步和国民经济 发展的一种有效方法。
产生很多的优化算法：
无约束优化、约束优化： 单目标函数优化、多目标函数优化； 连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。
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•（4）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件， 应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的 设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出 最优的设计方案。 •（5）机械优化设计：即把机械设计与优化设计理论及方 法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最 优设计方案和最佳设计参数。 获得设计方案的过程是一个决策的过程，也是优化的过程。
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工程案例
1、利用一化工优化系统，对一化工厂进行设计。根据 给定数据，在16小时内，进行16000各可行性设计的 选择，从中选择一成本最低、产量最大的方案，并给 出必须的精确数据。 传统设计：一组工程师，一年时间，仅仅3个方案， 且并非最优。 2、美国BELL飞机公司利用优化方法解决450个设计变 量的大型结构优化问题。一个机翼质量减轻35%。
3、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公 司自主优化后，就多盈利几百万马克。
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4、美国波音飞机公司对大型机翼用 138个设计变量进 行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用 10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻 自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使 设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多 的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。
一、问题
图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力 105 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm, 2F=3× 105 Mpa，材料密度ρ=7.8 × 钢管材料的弹性模量E=2.1 × 103 kg / m3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力 e 的条件下，人字 不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
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第一章 优化设计概述
§1-1 人字架的优化设计 §1-2 优化设计问题的示例 §1-3 优化设计的数学模型 §1-4 优化问题的几何解释和基本解法
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§1-1 人字架的优化设计
机械优化设计问题来源于生产实际。现在举典型实 例来说明优化设计的基本问题。
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第一阶段 人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的直 觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。 第二阶段 数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积分 算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅 速发展。 第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解 决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一 些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程 优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方 法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略 研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。 第四阶段 现代优化方法：如遗传算法、 模拟退火算法、 蚁 群算法、 神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策略的 自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。