机械优化设计_第一章绪论及优化设计概述
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第1章优化设计概述
（3）设计约束条件：
（a）体积要求 （b）长度要求
太原工业学院机械工程系
1.2 机械优化设计的设计简例 设计变量：
x1 , x2 , x3
目标函数： min S x1 x2 2( x2 x3 x1 x3 ) 约束条件：
g1 x1 5 g 2 x2 0 g 3 x3 0 h1 x1 x2 x3 100
第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工 程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法， 能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工 程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方 法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新 的途径。
1.2 机械优化设计的设计简例
无盖箱的优化设计
用一块边长为3cm的正方形薄板，在四角各裁去一个大小 相同的方块，做成一个无盖箱子。试确定如何裁剪可以做成的 箱子具有最大的容积。
分析：
（1）目标：裁剪高，箱子具有最大的容积。 （2）设计参数确定：裁剪小正方形的边长x ；
（3）设计约束条件：体积要求
设计目标：
2016/8/20
太原工业学院机械工程系
4. 优化方法
实际问题表达成的函数类型很多：
确定型、不确定型函数； 线形、非线形（二次、高次、超越）函数。
变量类型也很多：
连续、离散、随机变量等等。
产生很多的优化算法：
无约束优化、约束优化： 单目标函数优化、多目标函数优化； 连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。
（d）最小齿数要求
2016/8/20
太原工业学院机械工程系
机械优化设计方法第一章
2、现代设计法 现代设计法是一个科学的、理性的、动态的和计算机化 的过程。 （1）动向预测 （2）信号分析 （3）科学类比 （4）系统分析 （5）逻辑分析 （6）相似分析 （7）模拟分析 （8）优化设计 （9）有限元分析 （10）动态分析 （11）可靠性分析
3 最优化问题
最优化技术是一门较新的学科分支。它是上世纪五十年代初在 电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为一门直到目 前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题是在众多的可行 方案中怎样选择最合理的一种以达到最优目标。
配料
石灰石 谷物 大豆粉
钙
0.380 0.001 0.002
蛋白质
0.00 0.09 0.50
纤维
0.00 0.02 0.08
成本（元/ kg） 0.0164
0.0463
0.1250
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1，x2，x3是生产100kg混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的 量（kg）。
例5 如图所示，有一块边长为6m的正方形铝板，四角 截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子， 问如何截法(x取何值)才能获得最大容积的箱子?
请注意优化设计目标：箱子容积最大。 这个简单的最优化问题可把箱子的容积V表成变量参数 x的函数，V=x(6-2x)2，令其一阶导数为零(即dV/dx=0)，求 得极大点x=1、函数极 大值Vmax=16，从而获 得四角截去边长1m的 正方形使折转的箱子 容积最大(16m3）最优 方案。
圆杆截面图
2L
桁杆示意图
解：桁杆的截面积为 ： S dB 桁杆的总重量为： W 2dB L2 h 2
2 2 p p L h 负载2p在每个杆上的分力为： p 1 cos h
机械优化设计讲义
机械优化设计理论与方法多媒体教学系统主讲：黄文权2005.02.第一章基本概念与理论基础主要内容：1 优化设计的基本思想2 优化设计的应用及发展概况3 优化设计数学模型、基本术语4 优化设计理论的数学基础5 优化设计的求解方法及其收敛判定条件要求：1 掌握优化设计的基本思想、数学模型、基本术语、一般过程、求解方法及收敛判定条件、数学基础2 了解优化设计的应用及发展概况1.1优化设计概述优化设计(Optimal Design)是20世纪60年代发展起来的一门新学科，将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供的一种重要的科学设计方法，是现代设计理论和方法的一个重要领域。
设计原则：参数(过程)最优设计设计手段：计算机及其程序设计方法：最优化数学方法设计内容：物理模型->数学模型->数学模型求解1.1.1机械优化设计基本思想一设计过程图1-1机械产品设计过程二传统设计到优化设计1传统设计方法：参照相同或相似产品进行估算、经验类比或试验分析准则：安全-寿命设计；破损-安全设计过程：主要由人工完成图1-2传统设计计算方法2机械优化设计方法：建立产品优化模型并在约束条件下应用最优化方法求最优解准则：单(多)目标最优化过程：主要由计算机完成图1-3优化设计计算方法三优化设计基本思想根据机械设计的一般理论、方法以及设计规范和行业标准等，把工程设计问题按照具体要求建立一个能体现设计问题的数学模型，然后采用最优化技术与计算机计算技术自动找出它的最优方案，使问题的解决在某种意义上达到无可争议的完善化。
即在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值，解决设计方案参数的最佳选择问题。
四优化设计过程1优化设计过程2优化设计过程应用图1-5优化设计过程应用1.1.2优化设计发展状况一优化设计方法学以数学规划、数值解法为理论基础，计算机技术和计算技术为手段，结合设计方法学，逐步发展成为一门新兴学科。
机械优化设计
第一章 优化设计概述
图 1-6
4. 全局最优解和局部最优解 不论是无约束或有约束的优化问题，由于目标函数和约束条件的函数形态不同，极值点分
布可能有多个局部极值点（即局部最优解）。而全局最优解是指这些局部最优解中目标函数值最 好的一个解，往往只有一个。在机械优化设计中，目标函数和约束条件一般都是非线性函数， 寻找全局最优解有很大困难。目前很多优化方法，在理论上可以证明能收敛到局部最优解，仅 对于特殊的数学模型，可以收敛到全局最优解。这并不影响优化设计广泛应用，因为人们用常 规设计方法很难找到一个复杂问题的局部最优解。但是，还是可以通过不同的技巧，找出几个 局部最优解，从中选择目标函数值最好的解。
，相应于摇杆 3 在右极位(杆 1 与杆 2 伸直位置)时，主动杆 1 的初始位置角为 0 ；从动杆的 输 出 角 为 ， 初 始 位 置 角 为 0 。 试 确 定 四 杆 机 构 的 运 动 参 数 ， 使 输 出 角 f (, l1, l2 , l3 , l4 , 0 , 0 ) 的函数关系；当曲柄从 0 位置转到m 0 90 时，最佳再现
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目 标函数，以 F(X)表示。
在优化过程中，通过设计变量的不断向 F(X)值改善的方向自动调整，最后求得 F(X)值最好 或最满意的 X 值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变 量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：
，则称 ，则二维直角
15
第一章 优化设计概述
图 1－4 设计空间 在设计空间中，满足设计要求的一切约束所构成的空间，称为可行域。 在可行域中，任一点都是可行点。当设计变量均为连续变量时，可行点有无穷多个。优化设计 过程就是在可行域中沿着目标函数值不断改善的方向去搜索出最好的解。优化方法的巧妙和威 力就是用有限次搜索找出最好点，这种点称最优点或最优解，用 表示。图 1-5 表示可行域 的几种情况：
机械优化设计讲义第1讲
优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。
例1：一金属板，长为24cm，宽为50cm。要制成如图所示的对称型槽。 求斜边长a和倾角θ为多大时，容积最大。
设计变量：a,θ 目标函数： V (a, ) 1 (24 2a 24 2a
2
2a cos )a sin 50
约束条件：0≤a≤12, 0≤θ≤π
性能约束：针对性能要求而提出的约束。
边界约束：对设计变量的取值范围加以限制的约束。
2.按数学表达式的不同： 不等式约束： g j ( X ) 0
( j 1,2,, m)
等式约束： hk ( X ) 0
(k 1,2, , l )
上例中，约束条件： g1(a)=-a≤0 g2(a)=a-12≤0 g3(θ)= -θ≤0 g4(θ)=θ-π≤0
注意：
X [x1, x2 ,, xn ]T
1.向量中分量的次序是任意的，根据使用的方便任意选取。
2.由n个设计变量为坐标所组成的实空间称做设计空间， 一个“设计”对应设计空间中的一点。
3.设计变量视为连续有界的变量，机械设计中的离散性参数 以后再讨论（如模数） 。
1.2.2 约束条件 约束条件：一个可行设计必须满足的某些设计限制条件。 1.按约束的性质不同：
机
第1章 绪论
械
第2章 优化设计的数学基础
优
第3章 一维搜索方法
化
第4章 无约束优化方法
设
第5章 约束优化方法
计
第6章 多目标及离散变量优化方法
第1章 绪论
1.1 优化设计概述 1.2 优化设计问题的数学模型 1.3 优化设计问题的基本解法及收敛条件
1.1 优化设计概述
优化设计：最优化原理＋计算技术 机械优化设计：是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，
例1：一金属板，长为24cm，宽为50cm。要制成如图所示的对称型槽。 求斜边长a和倾角θ为多大时，容积最大。
设计变量：a,θ 目标函数： V (a, ) 1 (24 2a 24 2a
2
2a cos )a sin 50
约束条件：0≤a≤12, 0≤θ≤π
性能约束：针对性能要求而提出的约束。
边界约束：对设计变量的取值范围加以限制的约束。
2.按数学表达式的不同： 不等式约束： g j ( X ) 0
( j 1,2,, m)
等式约束： hk ( X ) 0
(k 1,2, , l )
上例中，约束条件： g1(a)=-a≤0 g2(a)=a-12≤0 g3(θ)= -θ≤0 g4(θ)=θ-π≤0
注意：
X [x1, x2 ,, xn ]T
1.向量中分量的次序是任意的，根据使用的方便任意选取。
2.由n个设计变量为坐标所组成的实空间称做设计空间， 一个“设计”对应设计空间中的一点。
3.设计变量视为连续有界的变量，机械设计中的离散性参数 以后再讨论（如模数） 。
1.2.2 约束条件 约束条件：一个可行设计必须满足的某些设计限制条件。 1.按约束的性质不同：
机
第1章 绪论
械
第2章 优化设计的数学基础
优
第3章 一维搜索方法
化
第4章 无约束优化方法
设
第5章 约束优化方法
计
第6章 多目标及离散变量优化方法
第1章 绪论
1.1 优化设计概述 1.2 优化设计问题的数学模型 1.3 优化设计问题的基本解法及收敛条件
1.1 优化设计概述
优化设计：最优化原理＋计算技术 机械优化设计：是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，
第1章 机械优化设计的基本问题
(1)点距准则
X ( k ) X ( k 1)
X ( k 1) = X ( k ) + ( k ) S ( k )
2
xi(k ) xi( k 1)
i 1
n
x2
x (0)
(0) x (1) S
(2)函数下降量准则
F ( k ) F ( k 1) F ( k ) F ( k 1) (k ) F
X (1) = X (0) + (0) S ( 0) , F X (1) < F X (0) X (2) = X (1) + (1) S (1) , F X (2) < F X (1) ...... ...... ...... ......
x2
(0) X (1) S
T
数学模型的 另一种写法
10 x1 x2 min F X x1 x2 x x 1 2 X x1 x2 D R 2
T
D : g1 X x1 3 0 g2 X x2 0 g3 X 2 x 2 0 g 4 X x3 0 h X x1 x2 x3 5 0 h X x1 x2 x3 5 0
P 2H
2 2 N P L2 + H 2 L + H S S T d T 2 TH d T
x2
g1 ( X ) g2 ( X ) g3 ( X )
* X2
X x1 x2 D R 2 D : g1 ( X ) x1 x2 2 0 g2 ( X ) x12 x2 1 0 g3 ( X ) x1 0 g4 ( X ) x2 0
第一章机械优化设计的基本问题new
的强度也最大。
“优化”
yōuhuà
[optimalize] 采取一定措施使变得优秀
国家知识基础设施
（National Knowledge Infrastructure，CNKI） 的解释
所谓优化, 是指在一定条件下力求获得最优结果的思想与观念。
优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项 新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动探 索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有 工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。
例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级 火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向， 尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。
17
机械优化设计
§1-3 优化设计的数学模型
优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计 内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式 是进行优化设计的基础。
包括3个要素：设计变量、目标函数、约束条件。
1.设计变量
设计变量—在设计中需进行优选的独立的待求参数；
（从互相依赖的参数中把真正独立的参数分解出来,i=i1*i2）
4
机械优化设计
机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结
合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方 案和最佳设计参数。
常规设计流程
优化设计流程
二者有何区别？
5
前者是找到可行解决方案， 后者是找到最好的方案。
机械优化设计方法-
其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化: 在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法:
解析法
数学模型复杂时不便求解
数值法
可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题
图1-11 寻求极值点的搜索过程
A TDh
钢管的临界应力 e
Fe A
2E T 2 D2
8 B2 h2
强度约束条件 x y 可以写成 1 F B2 h2 2 TDh y
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T 2 D2
TDh
,
,...
x1
x2
xn
沿d方向的方向向量
cos1
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
图2-5 梯度方向与等值面的关系
第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数, 则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零, 即
第二章 优化设计的数学基础
机械设计问题一般是非线性规划问题。
实质上是多元非线性函数的极小化问题, 因此, 机械优化设计是建立在多元函数的极值理论 基础上的。
机械优化设计问题分为:
无约束优化 无条件极值问题
约束优化
条件极值问题
第一节 多元函数的方向导数与梯度
一、方向导数
从多元函数的微分学得知，对于一个连续可
f x* 0
满足此条件仅表明该点为驻点, 不能肯定为极值 点, 即使为极值点, 也不能判断为极大点还是极 小点, 还得给出极值点的充分条件
约束优化: 在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法:
解析法
数学模型复杂时不便求解
数值法
可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题
图1-11 寻求极值点的搜索过程
A TDh
钢管的临界应力 e
Fe A
2E T 2 D2
8 B2 h2
强度约束条件 x y 可以写成 1 F B2 h2 2 TDh y
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T 2 D2
TDh
,
,...
x1
x2
xn
沿d方向的方向向量
cos1
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
图2-5 梯度方向与等值面的关系
第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数, 则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零, 即
第二章 优化设计的数学基础
机械设计问题一般是非线性规划问题。
实质上是多元非线性函数的极小化问题, 因此, 机械优化设计是建立在多元函数的极值理论 基础上的。
机械优化设计问题分为:
无约束优化 无条件极值问题
约束优化
条件极值问题
第一节 多元函数的方向导数与梯度
一、方向导数
从多元函数的微分学得知，对于一个连续可
f x* 0
满足此条件仅表明该点为驻点, 不能肯定为极值 点, 即使为极值点, 也不能判断为极大点还是极 小点, 还得给出极值点的充分条件
《机械优化设计》第一章 优化设计概述
f ( x) W1 f1 ( x) W2 f2 ( x) ... Wq f q ( x)
Wq：加权因子，是个非负系数。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
求设计变量 x [ x1 x2 xn ]T , xn ) min , l) 使目标函数f ( x) f ( x1 , x2 , 和g j ( x) 0( j 1, 2, , m)
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
FL F ( B 2 h ) 钢管所受的压力F1 h h 2 EI 压杆失稳的临界压力Fe 2 L 其中，I是钢管截面惯性矩 I
1 2 2
θ
θ
L
A 2 (T D 2 ) 4 8 A是钢管截面面积A ( R 2 r 2 ) TD (R4 r 4 ) r和R分别是钢管的内半径和外半径 D=r+R而T=R-r
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数，如 有n(n=1，2，…)个设计变量，则称为n维设计问题。
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计空间：由n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计 空间。 一个“设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看 成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点式 设计点。 设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设计 的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。 • 含有2—10个设计变量的为小型设计问题； • 10—50个为中型设计问题； • 50个以上的为大型设计问题。
机械优化设计方法ppt课件
目标函数的一般表示式为：
f (x) f (x1, x2,...xn )
23
优化设计的目的就是要求所选择的设计变
量使目标函数达到最佳值，即使 f (x) Opt
通常 f (x) min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
24
四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
min f (x) x Rn
s.t. gu (x) 0 u 1, 2,..., m
hv (x) 0 v 1, 2,..., p n
4
图1－3 机械优化设计过程框图
5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计； (2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化设计的应用领域 近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅 速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、 航空和造船等部门得到应用。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
11
图2-2 人字架的受力
12
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
13
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
25
f (x) f (x1, x2,...xn )
23
优化设计的目的就是要求所选择的设计变
量使目标函数达到最佳值，即使 f (x) Opt
通常 f (x) min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x)
24
四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
min f (x) x Rn
s.t. gu (x) 0 u 1, 2,..., m
hv (x) 0 v 1, 2,..., p n
4
图1－3 机械优化设计过程框图
5
优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：
(1)设计的思想是最优设计； (2)设计的方法是优化方法； (3)设计的手段是计算机。
二、机械优化设计的发展概况
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ优化设计的应用领域 近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅 速发展而产生的，它首先在结构设计、化学工程、 航空和造船等部门得到应用。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
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图2-2 人字架的受力
12
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
13
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
25
机械优化设计概述
6
绪论
2 机械的设计方法 1.机械的传统设计方法 --基于手工劳动或简易计算工具。
2.机械的现代优化设计方法 --基于计算机的应用，以人机配合或自动搜索方式进行，能从 “所有的”可行方案中找出“最优的”设计方案。
7
绪论
2 机械的设计方法
传统设计
可行解
优化设计
最优解
从传统设计到优化设计
8
绪论
3EI
64
gX
64Fx32 x1 x3
3E x24 d 4
y0
0
2．自变量取值范围 lmin l lmax, Dmin D Dmax, amin a amax
不用考虑两个边界约束： l lmax, a amax ，因为从优化设计看， 都要求这两个变量往小处变化。
X x1 x2 x3 T l D aT
机床优化设计的目标函数：
f
X
1 4
x1
x3
x22
d
2
22
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例
例1-2 机床主轴的优化设计
约束条件：
1．刚度 gX y y0 0
其中：y Fa2 l a; I D4 d 4
l42 l12 2ri l 4
26
第一章 优化设计概述
23
第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-2 机床主轴的优化设计
因此，问题的数学表达式如下：
min
f
X
1
4
绪论
2 机械的设计方法 1.机械的传统设计方法 --基于手工劳动或简易计算工具。
2.机械的现代优化设计方法 --基于计算机的应用，以人机配合或自动搜索方式进行，能从 “所有的”可行方案中找出“最优的”设计方案。
7
绪论
2 机械的设计方法
传统设计
可行解
优化设计
最优解
从传统设计到优化设计
8
绪论
3EI
64
gX
64Fx32 x1 x3
3E x24 d 4
y0
0
2．自变量取值范围 lmin l lmax, Dmin D Dmax, amin a amax
不用考虑两个边界约束： l lmax, a amax ，因为从优化设计看， 都要求这两个变量往小处变化。
X x1 x2 x3 T l D aT
机床优化设计的目标函数：
f
X
1 4
x1
x3
x22
d
2
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第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例
例1-2 机床主轴的优化设计
约束条件：
1．刚度 gX y y0 0
其中：y Fa2 l a; I D4 d 4
l42 l12 2ri l 4
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第一章 优化设计概述
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第一章 优化设计概述
1.1 最优化问题示例 例1-2 机床主轴的优化设计
因此，问题的数学表达式如下：
min
f
X
1
4
《机械优化设计》绪论、第一章
问题：是否每个设计约束中都必须包含 n个设计变量？m+p个约束呢？ 不等式约束能否表达成 gu(x)≥ 0 ？ p X为什么必须小于 n ?
例：有三个不等式约束
g1(x) = - x1 ≤0 g2(x) = - x2 ≤0 g3(x) = x12 + x22 - 1 ≤0
g 1 (x ) = 0
2
g 3 (x ) = 0
机械优化设计
绪
1、 优化 在规定的范围内（或 条件下），寻找给定函 数取得的最大值（或最 小值）的条件。
论
f f(x)
例如, 在右图中，求 得一维函数 f(x) 最小 f(x ) 值的条件为：若ｘ取 x*， 0 则 f(x) 取得最小值 f(x*)。
*
x*
x
绪
论
优化就是为了在完成某一任务时所作的努力最 少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。 2 、 优化设计 优化设计是使某项设计在规定的各种设计限 制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指 标获得最优值。
§1-2
优化设计问题的数学模型
(k),
设计点: X(k)（x1(k), x2
…,x
n
(k)）：
是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。 设计空间 Rn ：以x1, x2 , …,xn 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空间 Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。 例：右图三维空间中 第1设计点：X(1) = [x1(1),x2(1),x3(1)]T 第2设计点：X(2) = [x1(2),x2(2),x3(2)]T 其中：X(2) = X(1) +ΔX(1) 增量：ΔX(1)=[Δx1(1),Δx2(1),Δx3(1)]T 即 x1(2) = x1(1) + Δx1(1) x2(2) = x2(1) + Δx2(1) x3(2) = x3(1) + Δx3(1)
《现代机械优化设计》第1章 概述
5)混合离散规划是二十世纪八十年代提出的,目前仍在发展 过程中.
* 最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的, 较早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用 于机械零部件设计和机械系统的优化设计。
机械优化设计的主要内容
一）优化设计概论 二）一维搜索方法 三）无约束优化方法 四）线性规划方法 五）约束优化方法 六）多目标优化方法 七）机械优化设计实例
x1
3. 步长:
(k)
4. 是否终止迭代。 --后三个问题是每次迭代都要解决的问题，
但中间两个是数学规划法的核心。
3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得到的近似解系列 X (k),k 0,1,2,.....
有极限 lim X (k) X *,这里X *为精确解,则称该迭代算法是 k
“所有的”可行方案中找出“最优的”设 计方案.
二.优化设计方法简介
1)古典方法: 微分法; 变分法. ---仅能解决简单的极值问题
2)现代方法: 数学规划方法 ---可求解包含等式约束和不等式约束 的复杂的优化问题.
有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划 和混合离散规划等。
三.最优化方法的发展概况
---是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。
1）二十世纪三十年代.前苏联 Канторович 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题. 在 第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划 问题的解法；
2）二十世纪五十年代末. H.W.Kuhn & A.W.Tucker提出 非线性规划的基本定理,奠定了非线性规划的理论基础. 其求解方法在六十年代获得飞速发展;
3)二十世纪六十年代.美数学家 R.J.Duffin（卡内基工 学院的达芬教授）提出了几何规划, 可把高度非线性的 问题转化为具有线性约束的问题来求解, 使计算大为简 化; 4)动态规划由 数学家R.Bellman (University of Southern California)创立, 可解与时间有关的最优化问题;
* 最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的, 较早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用 于机械零部件设计和机械系统的优化设计。
机械优化设计的主要内容
一）优化设计概论 二）一维搜索方法 三）无约束优化方法 四）线性规划方法 五）约束优化方法 六）多目标优化方法 七）机械优化设计实例
x1
3. 步长:
(k)
4. 是否终止迭代。 --后三个问题是每次迭代都要解决的问题，
但中间两个是数学规划法的核心。
3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得到的近似解系列 X (k),k 0,1,2,.....
有极限 lim X (k) X *,这里X *为精确解,则称该迭代算法是 k
“所有的”可行方案中找出“最优的”设 计方案.
二.优化设计方法简介
1)古典方法: 微分法; 变分法. ---仅能解决简单的极值问题
2)现代方法: 数学规划方法 ---可求解包含等式约束和不等式约束 的复杂的优化问题.
有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划 和混合离散规划等。
三.最优化方法的发展概况
---是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。
1）二十世纪三十年代.前苏联 Канторович 根据生产组织和计划管理的需要提出线性规划问题. 在 第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划 问题的解法；
2）二十世纪五十年代末. H.W.Kuhn & A.W.Tucker提出 非线性规划的基本定理,奠定了非线性规划的理论基础. 其求解方法在六十年代获得飞速发展;
3)二十世纪六十年代.美数学家 R.J.Duffin（卡内基工 学院的达芬教授）提出了几何规划, 可把高度非线性的 问题转化为具有线性约束的问题来求解, 使计算大为简 化; 4)动态规划由 数学家R.Bellman (University of Southern California)创立, 可解与时间有关的最优化问题;
机械优化设计第1章概述-PPT精品文档
50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优 化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界 大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规 划是其主要内容。
最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是 6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的 设计方法。
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第一章 优化设计的基本概念
§1-1 绪论
Evaluation only. §1-2 优化设计问题的示例 eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. §1-3 优化设计的数学模型
第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给 Evaluation only. 解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发 了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任 eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0 的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 直觉的方法得到了更多的应用。
机械优化设计
机械工程系 吴军 2009.8
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机械优化设计教案第一章
❖宽容分层序列法
宽容分层序列法可解决上述分层序列法中出现的问题。 该方法即对各目标函数的最优值放宽要求。即在求后一 个目标函数的最优值时，对其前一个目标函数不再严格 限制在最优解内，而是在前一目标函数最优值附近的某 一范围进行优化，因而避免了计算过程的中断。
23
就目前的研究来看，多目标优化问题较单目 标优化问题，在理论上和计算方法还很不完善， 也不够系统。故本课程仅就单目标优化问题的优 化方法加以介绍。
g2 ( X ) 0
g3 ( X ) x1 0 g4 ( X ) x2 0
g3 ( X ) 0 D
g1 (X ) 0
o
CB
A
x1
可行区域 g4 ( X ) 0 14
目标函数
目标函数或评价函数是优化变量（x1, x2, …, xn） 的数学函数。
如：例1-1中箱盒用量最省; 例1-2中建筑公司如何建造甲乙两种住房可 获得最大利润。
代表着n维优化空间Rn的一个点（即一个 方案）。
优化问题的最优方案或最优解可记作： X* = [ x1*, x2*, …, xn*]T
12
约束条件
即对优化变量的取值加以某些限制的条件。 根据有无பைடு நூலகம்束，优化问题可分为：
➢约束优化问题 ➢无约束优化问题。 约束条件的类型 ➢按约束形式分：
不等式约束 等式约束 ➢按约束函数的形式分： 显函数约束 隐函数约束
主要包括： ➢机械零部件的优化设计； ➢机构优化设计； ➢机构动力学优化设计； ➢工艺装备参数的优化设计等。
8
1.2 优化模型
优化模型的三要素：优化变量（在设计领域 称设计变量）、约束条件、目标函数。
优化变量
指在最优化问题中可进行调整和优选的独立参数。
宽容分层序列法可解决上述分层序列法中出现的问题。 该方法即对各目标函数的最优值放宽要求。即在求后一 个目标函数的最优值时，对其前一个目标函数不再严格 限制在最优解内，而是在前一目标函数最优值附近的某 一范围进行优化，因而避免了计算过程的中断。
23
就目前的研究来看，多目标优化问题较单目 标优化问题，在理论上和计算方法还很不完善， 也不够系统。故本课程仅就单目标优化问题的优 化方法加以介绍。
g2 ( X ) 0
g3 ( X ) x1 0 g4 ( X ) x2 0
g3 ( X ) 0 D
g1 (X ) 0
o
CB
A
x1
可行区域 g4 ( X ) 0 14
目标函数
目标函数或评价函数是优化变量（x1, x2, …, xn） 的数学函数。
如：例1-1中箱盒用量最省; 例1-2中建筑公司如何建造甲乙两种住房可 获得最大利润。
代表着n维优化空间Rn的一个点（即一个 方案）。
优化问题的最优方案或最优解可记作： X* = [ x1*, x2*, …, xn*]T
12
约束条件
即对优化变量的取值加以某些限制的条件。 根据有无பைடு நூலகம்束，优化问题可分为：
➢约束优化问题 ➢无约束优化问题。 约束条件的类型 ➢按约束形式分：
不等式约束 等式约束 ➢按约束函数的形式分： 显函数约束 隐函数约束
主要包括： ➢机械零部件的优化设计； ➢机构优化设计； ➢机构动力学优化设计； ➢工艺装备参数的优化设计等。
8
1.2 优化模型
优化模型的三要素：优化变量（在设计领域 称设计变量）、约束条件、目标函数。
优化变量
指在最优化问题中可进行调整和优选的独立参数。
机械优化设计讲义
机械优化设计讲义学院：专业：姓名：学号：第一讲绪论一、机械优化设计的基本概念1、什么是优化设计在机械产品设计过程中，根据问题的性质和给定的条件，在分析的基础上，综合各方面的要求因素，从全部可行的方案中,寻找出最优方案的方法和过程。
优化设计是利用高等数学中求极（最）值理论，以计算机为计算工具，用数值分析的方法，对机械产品设计问题求出最佳设计参数的工程方法。
“优化设计”对应的是“经验设计”.2、优化设计的过程A、分析设计任务的对象，提出设计思想B、建立优化数学模型,包括选取设计变量,建立目标函数和约束方程C、选择优化方法（自编程序或选择商品程序），上机计算D、对计算结果进行分析F、当结果不甚合理时，修改数学模型，返回B.3、优化设计的局限A、优化设计过程是人和机器合作完成的，“人”在其中起着巨大作用。
B、所谓“最优”是相对的，当设计思想、约束条件,甚C、“最优方案”是否合理、可行，还是要用经验来判断。
二、一个优化设计实例某空心圆柱压杆，压力载荷为P,长度L，截面外径D0,内径D1.变换成中径D和壁厚T；D= （D0+D1）/2T = （D0—D1）/2设材料已经选定，即材料的弹性模量E，许用应力【σ】，密度ρ等已确定。
设计要求：1、强度要求：σ压＝P/（πDT）≤【σ】2、稳定要求：σ压＝P/(πDT) ≤ 欧拉应力3、结构要求： D ≤ K1T ≥ K2K1，K2为定值T ≤ D/2杆的重量：W = πDTLρ整个问题可以归结为：设计一个压杆，在满足上述5个条件的前提下,使W最小.经验设计此问题，人工选取一对D和T，分别代入上述5个条件，都满足时即可。
是否重量最轻,材料最省，不予考虑，也不得而知。
用优化设计的语言表示上述问题：D，T(或者D0、D1）为设计变量，表示成: X ＝(x1, x2）W为目标函数，是设计变量的函数，表示成：W = F(x1, x2) = F（X)5个条件叫做约束方程,或者约束条件。
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机械优化设计 优化设计的作用（优点）： 优化设计的作用（优点）： 使传统机械设计中， 使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优 解成为可能； 解成为可能； 使传统机械设计中， 使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进 行； 使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能； 使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能； 大大提高了产品的设计质量， 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的 质量； 质量； 提高生产效率，降低产品开发周期； 提高生产效率，降低产品开发周期； ……
机械优化设计
目
录
绪论 第一章 优化设计概述 第二章 优化设计数学基础 第三章 一维搜索法 第四章 无约束优化方法 第五章 约束优化方法 第六章 多目标优化方法 第七章 机械优化设计实例
机械优化设计
绪 论
一、优化相关概念 二、机械的传统设计到优化设计 三、机械优化设计的发展 四、机械优化设计的应用概况 五、机械优化设计的作用
确定型、不确定型函数； 确定型、不确定型函数； 线形、非线形（二次、高次、超越）函数。 线形、非线形（二次、高次、超越）函数。
变量类型也很多： 变量类型也很多：
连续、离散、随机变量等等。 连续、离散、随机变量等等。
产生很多的优化算法： 产生很多的优化算法：
无约束优化、约束优化： 无约束优化、约束优化： 单目标函数优化、多目标函数优化； 单目标函数优化、多目标函数优化； 连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。 连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。
机械优化设计
工程案例
1、利用一化工优化系统，对一化工厂进行设计。根据给 、利用一化工优化系统，对一化工厂进行设计。 定数据， 小时内， 各可行性设计的选择， 定数据，在16小时内，进行 小时内 进行16000各可行性设计的选择， 各可行性设计的选择 从中选择一成本最低、产量最大的方案， 从中选择一成本最低、产量最大的方案，并给出必须的 精确数据。 精确数据。 传统设计：一组工程师，一年时间，仅仅3个方案 个方案， 传统设计：一组工程师，一年时间，仅仅 个方案，且 并非最优。 并非最优。 2、美国 飞机公司利用优化方法解决450个设计变量 、美国BELL飞机公司利用优化方法解决 飞机公司利用优化方法解决 个设计变量 的大型结构优化问题。一个机翼质量减轻35%。 的大型结构优化问题。一个机翼质量减轻 。 3、波音公司，在747的机身设计中受到了减轻质量、缩 的机身设计中受到了减轻质量、 、波音公司， 的机身设计中受到了减轻质量 短生产周期、降低成本的效果。 短生产周期、降低成本的效果。 4、武汉钢铁公司从德国引进的 薄板轧机， 、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公司 薄板轧机 自主优化后，就多盈利几百万马克。 自主优化后，就多盈利几百万马克。
f(x*) 0 x* x
机械优化设计
例如，要求设计一个如右 例如， 下图所示的防洪堤坝。 下图所示的防洪堤坝。为 了能防洪水， 了能防洪水，高度必须足 以保证洪峰到来时， 以保证洪峰到来时，洪水 不会漫入堤岸； 不会漫入堤岸；堤坝的强 度足以保证巨浪不会冲垮 堤坝。 堤坝。同时希望得到一个 省时省力省经费的设计方 案。
f
例如, 在右图中， 例如, 在右图中，求得一维函 最小值的条件为： 数 f(x) 最小值的条件为：若 ｘ取 x*，则 f(x) 取得最小值 f(x*)。 。 目的是为了在完成某一任务时 所作的努力最少、付出最小， 所作的努力最少、付出最小， 而使其收益最大、效果最好。 而使其收益最大、效果最好。
是一个决策的过程，也是优化的过程。 获得设计方案的过程是一个决策的过程，也是优化的过程。 优化过程就是求解一个付出最小、获得效益最大的方案。 优化过程就是求解一个付出最小、获得效益最大的方案。
机械优化设计
优化方法
实际问题表达成的函数类型很多： 实际问题表达成的函数类型很多：
机械优化设计
数学模型
设计参数： 设计参数：
x1 , x2 , x3
设计目标： 设计目标： min S = x1 x2 + 2( x2 x3 + x1 x3 ) 约束条件： 约束条件：
机械优化设计 优化设计：优化原理与方法，在科学、 优化设计：优化原理与方法，在科学、工程和社会 的实际问题中的应用，即为优化设计。 的实际问题中的应用，即为优化设计。 机械优化设计： 机械优化设计：即把机械设计与优化设计理论及方 法相结合，借助电子计算机， 法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目 标的最优设计方案和最佳设计参数。 标的最优设计方案和最佳设计参数。
机械优化设计
一、引例
货箱的优化设计
现用薄板制造一体积为100m3，长度不小于 的无上盖的 长度不小于5m的无上盖的 现用薄板制造一体积为 立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 高尺寸。 宽、高尺寸。
分析： 分析：
（1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。 ）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。 （2）设计参数确定：长x1 、宽x2 、高x3； ）设计参数确定： （3）设计约束条件： ）设计约束条件： （a）体积要求 ） （b）长度要求 ）
现代优化方法
基于计算机的应用，设计过程包括： 基于计算机的应用，设计过程包括： 从实际问题中抽象出数学模型； ① 从实际问题中抽象出数学模型； 选择合适的优化方法求解数学模型。 ② 选择合适的优化方法求解数学模型。 特点：以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的” 特点：以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的”的 可行方案中找出“最优的”的设计方案。 可行方案中找出“最优的”的设计方案。
机械优化设计 1、目前优化设计多数还局限在参数最优化这种 、 数值量优化问题。 数值量优化问题。结构型式的选择还需进一步研 究解决； 究解决； 2、优化设计这门新技术在传统产业中普及率还 、 不高； 不高； 3、把优化设计与 、把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优 、 化设计发展的趋势之一。 化设计发展的趋势之一。 优化设计的思想广泛的应用于工业、农业、 优化设计的思想广泛的应用于工业、农业、商 业和国防等各部门，解决诸如生产规划、 业和国防等各部门，解决诸如生产规划、经济管 能源利用、产品设计、工艺过程设计、 理、能源利用、产品设计、工艺过程设计、控制 系统等方面的最优化问题， 系统等方面的最优化问题，它是促进技术进步和 国民经济发展的一种有效方法。 国民经济发展的一种有效方法。
机械优化设计
优化是万物演化的自然选择和趋势
•来源： 优化一语来自英文Optimization ， 其本意是寻优 来源：优化一语来自英文Optimization Optimization， 来源 的过程，最优化可简写为Opt Opt； 的过程，最优化可简写为Opt； •优化过程： 是寻找约束空间下给定函数取极大值或极小 优化过程： 优化过程 值的过程。 值的过程。
机械优化设计
本课程的目的和任务
1、了解和基本掌握机械优化设计的基本知识； 、了解和基本掌握机械优化设计的基本知识； 2、初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本 、 方法解决简单工程实际问题的能力； 方法解决简单工程实际问题的能力；
机械优化设计
第一章 优化设计概述
一、优化设计问题引例 二、优化设计问题的数学模型 三、优化设计问题的基本解法
机械优化设计
机械优化设计的应用概况
在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说， 在机械设计方面的应用较晚，从国际范围来说， 是在上世纪60年代后期才得到迅速发展的。 60年代后期才得到迅速发展的 是在上世纪60年代后期才得到迅速发展的。 机构运动参数的优化设计是机械优化设计发 展较早的领域。国内近年来才开始重视， 展较早的领域。国内近年来才开始重视，但发 展迅速，在机构综合、 展迅速，在机构综合、机械的通用零部件的设 工艺设计方面都得到应用。 计、工艺设计方面都得到应用。 优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主 要有以下几方面： 要有以下几方面：
安徽工程大学 机械与汽车工程学院
机械优化设计
梁利东 时间: 2011年2月
机械优化设计
学习参考书
孙靖民. 机械优化设计. 机械工业出版社(教材 教材) 孙靖民 机械优化设计 机械工业出版社 教材 陈立周. 机械优化设计方法. 陈立周 机械优化设计方法 冶金工业出版社 刘惟信. 机械最优化设计. 刘惟信 机械最优化设计 清华大学出版社 陈秀宁.机械优化设计 杭州 陈秀宁 机械优化设计.杭州：浙江大学出版社 机械优化设计 杭州： 田福祥.机械优化设计理论与应用 冶金工业出版社. 田福祥 机械优化设计理论与应用. 冶金工业出版社 机械优化设计理论与应用 ……
机械优化设计
传统设计到优化设计
人工试凑和定性分析的比较过 程，被动的重复分析产品的性 能——经验设计、近似计算、 经验设计、近似计算、 经验设计 可行设计。 一般的安全寿命可行设计 一般的安全寿命可行设计。
机械优化设计
设计问题 数学模型
最优的设 计方案
是 最 优 ？
否
方案分析
优化途径， 优化途径，优选设计参数
设计方案 图2: 优化设计过程框图
利用电子计算机主动的 设计产品参数， 设计产品参数，获得最 优方案——理论设计、 理论设计、 优方案 理论设计 精确计算、 精确计算、优化设计
机械优化设计 优化设计的一般过程 1）建立确切反映问题实质并适合于优化计算的优 化设计数学模型； 化设计数学模型； 选择恰当的优化方法，编写计算机语言程序； 2）选择恰当的优化方法，编写计算机语言程序； 求得数学模型的最优解。 3）求得数学模型的最优解。 机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设 机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设 计限制条件下，优选设计参数， 计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项 设计指标获得最优值。 设计指标获得最优值。 工程设计上的“最优值”(Optimum)或 最佳值” 工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值” 系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的 最令人满意和最适宜的值。 最令人满意和最适宜的值。