重庆市五区高2014级学生学业水平调研抽测第二次(word编辑,有答案)

高2014级学生学业水平调研抽测(第二次)
数学（理工农医类）
(数学试题卷（理工农医类）共4页，满分150分，考试时间120分钟)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
目要求的）
1. 已知全集U R =，则正确表示集合{}
26M x x =≤≤和{}
21x
N x =≥的关系的韦恩(Venn)图是
（ ）
2. 某同学高三以来每次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则该同学这几次数学考试成绩的方差为（ ）
A. 276
5 B.276
C.
D. 5
3. 已知命题p ：x R ∃∈，2
340x x -+≤，则下列说法正确的是（ ）
A. p ⌝：x R ∃∈，2
340x x -+>，且p ⌝为真命题 B. p ⌝：x R ∃∈，2
340x x -+>，且p ⌝为假命题 C. p ⌝：x R ∀∈，2340x x -+>，且p ⌝为真命题 D. p ⌝：x R ∀∈，2340x x -+>，且p ⌝为假命题
4. 一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点在同一个球面
上，则该球面的表面积是（ ）
A.4π
B.6π
C.12π
D. 24π 5. 过点(2,3)M -的直线l 与圆C :2
2
240x y x y ++-=相交于A 、B 两点，则AB 取得最小值时l 的方
程为（ ） A.50x y -+= B.10x y +-= C.50x y --=
D.210x y ++=
6. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为63，则判断框中应填入的条件是（ ）
A.4i ≤
B.5i ≤
C.6i ≤
D.7i ≤ 7. 已知α、(0,
)2
π
β∈，满足tan()2tan αβα+=，则tan β的最大值是
U M
N
A U
M
N B U M
N
C U
N
M D
9 1 3 10 0 5 11 1
A.
14
B.
4
C.
2
D.
32
8. 对任意实数a 、b ，函数1
(,)()2
F a b a b a b =
+--，如果函数2()24f x x x =-++，()2g x x =+，则((),())F f x g x 的最大值为（ ） A.1
B.2
C.4
D.5
9. 设F 是双曲线22
221(0x y a a b
-=>，0)b >的右焦点，O 是坐标原点，若双曲线右支上存在一点P ，使
()0OP OF FP +=，且OP PF =，则该双曲线的离心率为（ ）
1
B.
1
2
D.
2
10. 设三位数n 的百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成
一个等腰三角形（含等边），则这样的三位数n 的个数为（ ） A.81 B.165 C.216 D. 225
第Ⅱ卷 (非选择题，共100分)
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11. 复数
121i
i
+-的虚部为________. 12. 已知等差数列{}n a 满足1729a a +=，则{}n a 的前9项和9S =________.
13. 已知集合{}
(,)()M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=，
则称集合M 是“垂直对点集” . 给出下列四个集合： ①1(,)M x y y x ⎧
⎫
==
⎨⎬⎩⎭
；②{}(,)cos 1M x y y x ==+； ③{}
3(,)log M x y y x ==；④{}
(,)21x
M x y y ==-；
其中是“垂直对点集”的序号是________.
考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分 14. 如图，已知圆的两条弦AB 与CD 相交于F ，E 与AB 延长线上一点，且
2DF CF ==，::2:1:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________.
15. 在直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
极坐标方程为cos sin θρθ-=
2
x t
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参
D
A
F
B E
C
数）相交于A 、B 两点，则AB =________.
16. 关于x 的不等式2|2|1log x x a ++-<的解集非空，则实数a 的取值范围是________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分13分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问7分）
设函数2()2ln f x x ax bx =+-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y ++=. （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极大值.
18. （本小题满分13分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问7分）
某高校的自主招生规定，考生须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项相互独立的考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则考试终止，考生被淘汰. 已知考生甲参加A 、B 、C 、D 四项考
试合格的概率均为
23，参加第五项考试合格的概率为12
. （Ⅰ）求考生甲未被淘汰的概率；
（Ⅱ）记考生甲参加考试的项数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
19. （本小题满分13分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问7分）
已知函数2()sin
cos 444
x x x
f x =+. （Ⅰ）若)(x f 的最小正周期和对称轴方程；
（Ⅱ）如果ABC ∆的三内角A 、B 、C 满足2
sin sin sin B A C =，求()f B 的值域.
20. （本小题满分12分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问6分）
如图，三棱锥P ABC -的底面ABC 是边长为4的正三角形，O 为三角形ABC 的中心，平面PBC ⊥
平面ABC
,PB PC ==，D 为AP 上一点，2AD DP =. （Ⅰ）证明：BD AC ⊥；
（Ⅱ）设M 为PC 中点，求二面角M BD O --的正弦值.
21. （本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
如图，1F 、2F
分别是离心率为
2
的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，斜率为k 的直线AB 与椭圆交于不同的A 、B 两点，线段AB 的中垂线与椭圆交于P 、Q 两点，AB 与PQ 的交点为
1(,)2M m ，且1
4
mk =-，点M 在x 轴上的射影将线段12F F 分成长度比为3:1的两段.
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求11F P FQ 的取值范围.
22. （本小题满分12分，（Ⅰ）问4分，（Ⅱ）问8分）
设函数2*()2(1)ln ()k f x x x k N =--∈，()f x '表示()f x 的导函数.
（Ⅰ）当k 为偶数时，正项数列{}n a 满足11a =，2
1()3n n n a f a a +'=-，求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）当k 为奇数时，设1
()2
n b f n n '=
-，设数列{}n b 的前n 项和为n S . ①证明不等式1
1
(1)
n b n b e ++>对一切正整数n 均成立（e 为自然对数的底数）；
②比较20141S -与ln 2014的大小，并说明理由.
A
C。