第2讲 波函数
量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学
2020/7/31
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
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一维方势阱偶宇称能谱图
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一维方势阱奇宇称能谱图
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具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/22n
1/2 n!
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
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§2.5 一维谐振子
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§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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波函数的统计解释
子弹 水波 光波
｝｛ 双缝衍射
子弹：P=P1+P2 波：I≠I1+I2
电子
电子：
1。与宏观粒子运动不同。 2。电子位置不确定。 3。几率正比于强度，即
(rr , t) 2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对 值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
数学表达： (r,t) | (r,t) |2
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
2.2 测不准原理
一. 宏观粒子运动状态确定，各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动 从根本上讲不具有这种特点。
海森伯 1927年
共轭量
x px
t E
J
二.量子力学中的测量过程
1.海森伯观察实验
2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时 具有确定的值
(r , t)
c(
p,
t
)
p
(r )dpx
dpy
dpz
e
p (r )
1
(2) 2 3
i pr
§2.3 态迭加原理
测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理，反映了微观粒子运动的根 本特性，是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。
经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动 等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加 性其实质是什么呢？
波函数
波函数波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。
一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。
将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率。
波函数ψ因此就称为概率幅。
电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。
由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布，这正是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度(probability density)：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。
据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动。
这虽然只是人们目前对物质波所能做出的一种理解，然而波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度，是构成量子力学理论的最基本的概念。
概率幅满足于迭加原理,即：ψ12=ψ1+ψ2（1.26）相应的概率分布为（1.27）波函数的数学表达[1]量子力学假设一：对于一个微观体系，他的任何一个状态都可以用一个坐标和时间的连续、单值、平方可积的函数Ψ来描述。
Ψ是体系的状态函数，它是所有粒子的坐标函数，也是时间函数。
（Ψ）Ψdτ为时刻t及在体积元dτ内出现的概率。
Ψ是归一化的：∫（Ψ）Ψdτ=1式中是对坐标的全部变化区域积分。
（注：（Ψ）指Ψ的共厄复数）[2]量子力学假设二：体系的任何一个可观测力学量A都可与一个线性算符对应，算符按以下规律构成：（1）坐标q和时间t对应的算符为用q和t来相乘。
（2）与q相关联的动量p的算符{p}=-i(h/(2π))(d/dq)(注：d指偏微分，以后不特别说明都指偏微分)（3）对任一力学量先用经典方法写成q,p,t的函数A=A(q,p,t)则对应的算符为：=A(q,-i(h/(2π))(d/dq),t)则：能量算符为：=-h^2/(8π^2m)△+V(其中△为拉普拉斯算符)△=d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2(直角坐标)△=(1/r^2)d(r^2d/dr)/dr+(1/(r^2sinθ))d(sinθd/dθ)/dθ+(1/(r^2sin^2θ))d^2/dφ^2(球坐标)角动量算符：{L[x]}=-i(h/(2π))(yd/dz-zd/dy){L[y]}=-i(h/(2π))(zd/dx-xd/dz){L[z]}=-i(h/(2π))(xd/dy-yd/dx)^2={L[x]}^2+{L[y]}^2+{L[z]}^2[3]量子力学假设三：若某一力学量A的算符作用于某一状态函数ψ后，等于一常数a乘以ψ，即ψ=aψ则称力学量A对ψ描述的状态有确定的数值a。
原子物理学中的波函数：氢原子波函数和角动量
原子物理学中的波函数：氢原子波函数和角动量波函数是原子物理学中重要的概念之一，它用于描述原子或分子系统的量子状态。
在氢原子中，波函数被广泛应用于分析和理解氢原子的性质和行为。
此外，波函数还与角动量密切相关，它提供了有关原子的角动量信息。
在本文中，我们将详细探讨氢原子的波函数以及与之相关的角动量。
1. 波函数简介波函数是量子力学中描述自旋态和位置的函数。
它通常用希腊字母Ψ（Psi）表示，Ψ(r,t)，其中r是位置向量，t是时间。
波函数描述了一个量子系统的全部信息，包括能量、动量、自旋等。
波函数的模的平方，|Ψ(r,t)|²，给出了在给定时刻在某个位置找到该量子系统的概率。
2. 氢原子波函数氢原子是原子物理学中最简单的原子，由一个质子和一个电子组成。
氢原子的波函数可以由薛定谔方程得到，它是描述量子力学体系的基本方程。
氢原子波函数相当复杂，主要由径向部分和角向部分构成。
2.1 径向波函数氢原子的径向波函数，记作R(r)，描述了电子在原子核周围的运动方式。
径向波函数取决于主量子数n、角量子数l和磁量子数m。
主量子数n决定了能级，角量子数l确定了角动量大小，磁量子数m描述了角动量在空间中的方向。
径向波函数展示了电子和原子核之间的相互作用。
2.2 角向波函数氢原子的角向波函数，记作Y(theta, phi)，展示了电子在球坐标系中的分布情况。
角向波函数取决于角量子数l和磁量子数m。
角向波函数是球谐函数的一种特殊形式，它给出了电子在不同方向上的概率分布。
3. 角动量与波函数在原子物理学中，角动量是一个重要的物理量，描述了物体旋转的性质。
角动量分为轨道角动量（L）和自旋角动量（S）两部分。
波函数与角动量之间存在紧密的联系。
3.1 定态波函数与角动量定态波函数是不随时间变化的波函数，描述了量子系统的固有状态。
在氢原子中，定态波函数与角动量之间具有简洁的关系。
根据定态波函数的表达式，能够计算出氢原子的角动量大小和方向。
量子力学中的波函数
量子力学中的波函数量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学理论，波函数是量子力学中的重要概念之一。
本文将介绍波函数的定义、性质以及其在量子力学中的作用。
一、波函数的定义与特性在量子力学中，波函数用于描述和预测微观粒子的行为。
波函数通常用符号Ψ表示，它是时间和空间的函数。
波函数的平方模表示在特定时间和空间点上找到粒子的概率。
波函数具有一些重要的特性。
首先，它必须是归一化的，即积分下的平方模应等于1。
其次，波函数必须是连续且可导的，以便描述粒子的运动。
此外，波函数一般是复数形式，这反映了粒子的量子性质。
二、波函数的演化与叠加原理波函数在时间上可以通过薛定谔方程进行演化。
薛定谔方程描述了波函数随时间的变化规律，它是量子力学的基本方程之一。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在不同时间点的波函数。
波函数还具有叠加原理。
根据叠加原理，当系统处于多个可能状态时，波函数可以表示这些状态的线性组合。
这种叠加使得波函数在物理实验和观测中发挥着重要的作用。
三、波函数的测量与波函数坍缩在量子力学中，测量是一个重要操作。
测量的结果通常是微观粒子的某个物理量，如位置、动量或能量。
根据波函数的性质，测量结果是随机的，但具有一定的概率分布。
当进行测量时，波函数将发生坍缩。
波函数的坍缩意味着粒子的状态从叠加态变为一个确定态。
测量结果对波函数的演化产生了显著影响，从而使得波函数描述的是一个确定的粒子状态。
四、波函数的应用与实验验证波函数在量子力学中有广泛的应用。
它可以用于计算和预测微观粒子在各种物理系统中的性质和行为。
通过波函数，可以推导出粒子的能级结构、波粒二象性以及粒子之间的相互作用等重要概念。
波函数的概念已经通过一系列实验证据得到了充分的验证。
例如，双缝干涉实验展示了波粒二象性，电子的波函数在干涉实验中表现出波动性质；扫描隧道显微镜则通过测量隧道电流的方法来验证波函数的坍缩现象。
五、总结波函数是量子力学中的核心概念之一，用于描述微观粒子的行为。
zk14波动第2讲北京交通大学大学物理
#1a1101009c
一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元离开 平衡位置向最大位移处运动的过程中
A. 它的势能转换成动能 B. 它的动能转换成势能 C. 它从相邻的质元获得能量，其能量逐渐增加 D. 它把自己的能量传给相邻的质元，其能量逐渐减小 E. 以上都不对
上次课教学内容
波的能量特点
体积元
W
p
Wk
1A22(V)si2n (tx)
2
u
W k W P 同时达到最大值,又同时达到最小值
W W P W KA 2 2( V )s2 i n (tu x)不守恒! 处于位移最大处质元 w能=0
某时刻媒 质中波形
处于平衡位置质元 w能 最大
媒质中没 有波时
#1a1101008b
2
2
zu— 媒质的“波阻”
讨论：
1. 平面波在传播中振幅不变的物理意义
P1 w1uS 12u2A12S
P2 w2uS 12u2A22S S
S
当介质对波的能量无吸收时
P1 P2 A1 A2
通过相同波线的 两个面积相同的 波面
2.球面简谐波振幅衰减
r2
P1 w1uS1 12u2A12S1 P2 w2uS212u2A22S2
当一平面简谐机械波在弹性媒介中传播时，下述各 结论哪个是正确的
A.媒质质元的振动动能增加时，其弹性势能减小，总 机械能守恒； B.媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化， 但二者的相位不相同； C.媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻 都相同，但两者的数值不相等； D.媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。
第九章 第二讲 波的干涉
(r2 r1 )
当P点的位置满足 (1) 2k π k 0,1,2, 干涉加强 合振幅有最大值 A A1 A2 干涉相长
P
r1
(2) (2k 1) π k 0,1,2, 干涉减弱 S 1 S2 合振幅有最小值 A A1 A2 干涉相消 若又有 A1= A2
第九章 波动 (Wave)
本章主要内容： 1. 平面简谐波的描述，波动方程及能量 §9.1, §9.2, §9.3
2. 波动的特征：衍射/干涉，驻波，多普勒效应.
教学基本要求:
§9.4, §9.5, §9.6 掌握由已
一 掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系. 的能量传播特征及能流、能流密度的概念.
6
§9.5 驻波 ----干涉特例.
一、驻波的形成及特征 两列振幅 A 相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播叠加 而形成的波.
+ 电动音叉
u u
驻波的特征：
各质点振幅不相同，有波节点、波腹点相间排列; (1) 波形不传播， 相邻波节(或波腹)间距 =/2 .
Y
X
节 点 腹 点
2
4
7
驻波的特征：
若A1= A2 ，I1 I 2
I A = A1 + A2 +2A1A2cos I I1 I 2 2 I1I 2 cos
I max 4 I1 I min 0
5
例1 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆 为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 适为波谷. 设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉 的结果. 解:
平面简谐波波函数
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
第2讲 波函数剖析
F
dp
dt
电场强度的物理意义：
F Eq
13
四、一般粒子的波函数及其物理意义（2）
波粒二象性 一切实物粒子都具有波粒二象性！ 如何理解一个实物粒子具有波动性？
历史上对粒子波动性的认识有两种误解： (1)波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构，
即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。 波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动 速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结 构。
(x) 1
(k
)eikx
dk
2
物理意义：波包可以看做各种波长的平面波的叠加。
定义群速 vg ，表示波包中心的移动速度；
vg
即，整个波包的移动速度。
d
vg dk
代入de Broglie关系得到：
k
A exp[ i
(pr
Et)]
即：自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能
量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数。
11
三、自由粒子的波函数（4）
总结：由于自由粒子的能量和动量为常量，根据de
Broglie关系，其对应物质波的角频率和波矢也为常量，
根据经典波动理论，角频率和波矢为常量的波为平面波，
的频率和波长为： / h 和 h / p
波矢定义为：k 2 / 所以看出自由粒子的频率和
波矢均为常量。
改写de Broglie关系为
h
p
h
e
k
2 , h / 2
10
三、自由粒子的波函数（3）
函数 描和述k都为Ac常os量(k 的 r 波应t) 该或是平 面Ae波xp[，i(k可 r用以t)下]
即：自由粒子的波函数为平面波：
第2章 波函数与薛定谔方程
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
6
子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r
20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12
注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
52平面简谐波讲解
A 2
cos
t
x u
信息学院 物理教研室
例题:某潜水艇的声纳发出的超声波为平面简谐
波，其振幅为 A 1.2103 m，频率 5.0104 Hz ，波
长 2.85102 m，波源振动的初相 0，求:
(1)该超声波的波函数；
t
x
3
4 u
2
Acos
t
x u
y
y
u
O
P x(x)
信息学院 物理教研室
(2):
v
y t
A
sin
t
x u
2
A sint
2
2、负向波的波函数
若波动向x轴负向传播，则:
y
B点比O点早起振 t x
u
所以: yB (t) yO (t t)
O x
则:
y( x、t)
Acos
t
x u
B
x
x轴负向传播的平面简谐波的波动方程
信息学院 物理教研室
x轴正向传播的波动方程
y( x、t)
信息学院 物理教研室
例题:一平面余弦波，波线上各质元振动的振幅
和角频率分别为A和，波沿 x 轴正向传播，波
速为u，设某一瞬时的波形如图，并取图示瞬时
为计时零点。 (1)在O点和P点各有一观察者，试
结构化学《结构化学》第1章 第2讲(12)12 《结构化学》第1章第2讲
5. 由Pauli原理的量子力学描述得到其文字描述 对一个n电子体系，其完全波函数（其中q是广义 坐标，表示x, y, z, ω的组合）为：
ψ ψ(x1, y1, z1,ω1; x2 , y2, z2,ω2;; xn , yn , zn,ωn ) ψ(q1, q2,, qn ) 由于微观粒子具有波性，所以由等同粒子组成的 体系的波函数，对粒子之间具有不可分辨性。 也就是，交换任意两个粒子的坐标，波函数的平 方应该保持不变，即
11
3. 应用实例 原子中的电子可能处在s态，也可能处在p态，将s 态和p态线性组合，所得的杂化态（sp，sp2，sp3等） 也是该电子可能存在的状态。
4. 计算物理量的平均值 设与ψ1，ψ2，•••，ψn对应的本征值分别为a1，a2， •••，an，当体系处于状态ψ并且ψ已归一化时，物理 量A的平均值〈a〉为：
Âψ = aψ 那么对ψ 所描述的微观体系的状态，物理量A有确
定的数值a。 a称为物理量算符Â的本征值；
ψ 称为算符Â的本征态或本征函数；
上式称为算符Â的本征方程。
7
2. 假设III的意义 把量子力学数学表达式的计算值，与实验测量值 沟通起来。
当ψ 是Â的本征态，在这个状态下，实验测定的
数值将与Â的本征值a相对应。 3. 如何得到一个原子在某一状态的能量
15
ψ2 (q1, q2, , qn ) ψ2 (q2, q1, , qn ) 由此可得
将能量算符作用于描述该状态的波函数ψ ，求出
能量算符的本征值， 该本征值应与实验测量的该状态的能量相一致。
8
4. 自轭算符的重要性质之一 自轭算符的本征值一定为实数。
5. 能量算符的本征方程为：
Hˆψ Eψ
平面简谐波
dx
dt k
2 / T 2 / T
p
• 波传播过程中，波的等相位面是以速率
p / T 沿波传播方向推进的。
• 对于平面简谐波，波相速等于波速。
三、平面简谐波的波动方程
以最简形式的正向波为例，波函数为：
y( x, t) Acos( t－kx) Acos[(t x )]
u
2 y x 2
y( x, t) Acos( t kx)
(2) 给定 t = t0 时
y( x, t0 ) Acos( t0－kx)
——表示 t0 时刻的波形
y
u
y1
o
x1
t0时刻的波形曲线
x
二、平面简谐波的物理意义
y( x, t) Acos( t kx)
(3) 在 x 与 t 都变化时
y(x x, t t) Acos[(t t k(x x)]
1 u2
2 y t 2
(对正、负向波均成立)
三、平面简谐波的波动方程
一般平面波均可表示为平面简谐波的线性叠加。
y C1 y1 C2 y2
2y 1 2y x2 u2 t 2
平面波方程
意
对坐标x和时间t 的关系满足平面波方程的任 何物理量，必以平面波的形式沿x轴传播，
义 且传播速度为u.
三、平面简谐波的波动方程
u P
x
随堂练习
3、简谐波沿x轴正向传播，频率为=0.5Hz， 波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻的波形如图，求 波函数。
y 0.1
x 0.05
y(x,t) Acos(t kx 0)
欢迎网上答疑
(1) 若某物理量（设为 ）在三维空间中以平面波形式
量子力学讲义 第二章(2)
•
在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后
， 进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的概 率将 怎样随时间变化。
设描写粒子状态的波函数是： (r , t ) 在时刻t 在r点周围单位体积内粒子出现的概率（概 2 率密度）： ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | （1）
将（2）代入 （1）式中：
一、定态薛定谔方程
i [ 2 U r ] 2m t
（2）
2
2
（1）
i (r )
d f (t ) f (t )[ 2 U r ] 2 m dt 上式两边除以 ( r ) f (t )
（3）
2 i df 1 [ 2 U r ] f dt 2m
j k 其中 i x y z
（称为动量算符）
（向量算符）
问：p x
?
p x i
x
利用关系式(8)、(9)来建立在力场 中粒子波函数所满足的微分方程。 设粒子在力场中的势能为 U r ，则：
2、薛定谔方程：
三、薛定谔方程
2 p 两边乘以 p U r （10） E E U r 2m r , t 2m 2 E i t 代入上式得 i 2 U r 将 t 2m p i （11）
定态的特点 1）粒子的概率密度和概率流密度
与时间无关 因为
2 Et ( r , t ) ( r )e
t
i 2
一、定态薛定谔方程
2 (r )
显然， 0
2）能量具有确定的值 3）各力学量的平均值不随时间变化
量子力学第2讲 波函数
讨论对象：电磁场的波幅、波矢、能量等 D
B 0 B E jm t D H j t
k
6
Maxwell 方程组
二、量子力学讨论的对象：波函数（3）
量子力学讨论的对象是什么？
根据de Broglie的 “波粒二象性”假设 ：一切 实物粒子具有波粒二象性，即具有确定动量 p 和 确定能量 ν 和波长 的实物粒子相当于频率为 为 的波。满足de Broglie关系：
1926年，M. Born提出： 波函数 ( x, y, z ) 为刻画 粒子在空间的概率分布的 2 ( x, y, z ) 表征 概率波， 了粒子出现在点 ( x, y, z ) 附近的概率大小的一个量。
M. Born （1882-1970） Nobel Prize in Physics(1954)
量子力学
光电子科学与工程学院 王可嘉
第二讲
波函数及其统计诠释
1
第2讲目录
• • • • • • • 一、简短的回顾 二、量子力学讨论的对象：波函数 三、自由粒子的波函数 四、一般粒子的波函数及其物理意义 五、波函数的统计诠释及其性质 六、动量分布概率 七、再论不确定度关系
2
一、简短的回顾（1）
1、波粒二象性
“波动性” 强调得是波的相干 叠加性，而不是某 种实在物理量的空 间分布做周期性变21 化
四、一般粒子的波函数及其物理意义（11）
22
四、一般粒子的波函数及其物理意义（12）
4、统计诠释：
粒子的波粒二象性可以用波函数来表示：
( x, y, z) ( x, y, z) ei ( x, y, z )
波函数的本质讲解
而在自然界中，波动的形式是非常复杂的，他们有的是不遵循简谐振动的规律的， 但是这种复杂的波可以由几个简单，振幅不同、频率不同的简谐波合成；
同时把在无吸收的均匀介质中，做简谐振动而传播的波叫做平面简谐波，显然平面 简谐波是一种理想化的波，假如在图1所示的原点O处，有一个质点做简谐振动， 其振动规律为y = Acosωt,并且介质是均匀的，无吸收的，
同样，当质点位置x固定不动时，如图3所示，此时的函数表示的就是位于x处的质 点，其平衡位置y与时间t的关系，即单个质点的振动规律，当位置x改变时，质点 的初始相位也会随之改变。
有了波函数以后，当时间t固定时，两个质点间的相位差 φ 2-φ 1 = 2π(x2-x1)/λ， 即Δφ = 2π(Δx/λ)，波形图上任意两点之间的波程差为 x2-x1 = Δx，这就是前面 说的波的传播就是状态，即相位的传播，后一质点永远在重复前一点的状态，同 时波速也成为相速。
《无法理解波函数，两大分析方法让你轻 松掌握波函数》
上一章讲了机械振动在弹性介质中的传播，并且知道了这是无数质点参与的一种运 动形式，而当机械波向x轴正方向传播时，想要了解某个质点的运动状态，就需要 知道位置x和时刻t，这就是说某个质点在x处的t时刻时，它与平衡位置之间的距离y 是固定的，所以把函数y(x,t)称为机械波的波动函数，简称为波函数。
该平面简谐波向右传播，现在在P处有一质点，若想知道P点的振动状态，就需要求 出函数y(x,t)的表达式，当波速为u时，原点O的振动形式传播到P点所用的时间就是 t0 = x/u，而现在只知道O点的振动状态，这就是说在同一时刻t，O点的振动状态 还没有传递到P点来，此时P点表示的只是(t-t0)时刻的振动状态。
所以P点的振动状态就表示为y = Acosω(t-x/u),这就是平面简谐波的波动方程；因 为ω = 2π/T = 2πf，u = λ/T，所以波函数又可以写为y = Acos2π(t/T-x/λ)。
判断波函数合理
判断波函数合理1 背景本文将会从两个方面来解释什么是波函数以及如何判断波函数的合理性。
首先，我们将通过引入薛定谔方程来讲解波函数的概念。
接着，我们将讨论如何判断一个波函数是否合理，从而避免出现不符合物理事实的情况。
2 什么是波函数？波函数是量子力学中最核心的概念之一。
它描述了一个量子系统的量子态。
更具体地讲，波函数是一个关于位置和时间的函数，它可以描述在给定位置和时间处发现粒子的概率。
在量子力学中，波函数通常用希腊字母Ψ表示。
在三维情况下，波函数是一个复函数，可以表示为Ψ(x,y,z,t)。
其中，x、y、z代表空间坐标，t代表时间。
波函数的平方值Ψ^2(x,y,z,t)表示在给定的位置和时间内发现粒子的概率，即：Ψ^2(x,y,z,t)dx dy dz其中，dx、dy、dz代表体积元。
3 薛定谔方程与波函数在量子力学中，波函数的演化是由薛定谔方程来描述的。
薛定谔方程是一个偏微分方程，可以表示为：iħ∂Ψ/∂t=HΨ其中，i代表虚数单位，ħ为约化普朗克常量， H为哈密顿量。
通过求解薛定谔方程，可以得到波函数的演化规律。
4 如何判断波函数的合理性波函数的合理性是判断量子力学预测是否与实验结果相符的关键。
如果波函数不合理，就会导致出现一些不符合物理事实的情况。
下面我们将介绍如何判断波函数的合理性。
4.1 波函数的归一化对于任意一个物理系统，其波函数必须满足归一化条件。
波函数归一化的本质是让系统在一定的空间范围内概率为1，即系统被发现的概率必须是100%。
可以表示为：∫|Ψ(x) |^2 dx=1其中，dx代表体积元，|Ψ(x) |^2 表示波函数的平方。
4.2 波函数在空间中的连通性波函数描述了粒子在空间中的行为，因此在空间中必须是连通的。
这表示在空间中的任意两个点之间，都可以通过波函数描述的粒子的运动轨迹相连。
如果波函数在空间中出现了不连通的情况，就说明波函数不合理。
4.3 波函数的实数性在量子力学中，波函数是一个复函数，但是物理量必须是实数。
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Px
入射电子束
照相底版
电子可在缝宽 x 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不 确定量就是缝宽 x ，电子在 x方向的动量不确定量:
x的偏差量x和Px的偏差量px不能同时为零 4
px p sin , 由衍射公式:d sin x sin , h p p , sin / x, 又 p , x x h px p , xp h x x x
元 d 中找到粒子的概率。
25
2
五、波函数的统计诠释及其性质（2）
2、统计诠释下波函数的性质：
（1）归一性：在全空间中找到粒子的概率为1
( x, y , z )
2
d 1
（2）相对概率：对于概率分布，重要的是相对概率分布。
和 C 所描述的相对概率分布是完全相同的。 例：在空间任意两点 r1 和 r2 处， C 描述的相对概率为： 2 2 C (r1 ) (r1 ) C (r2 ) (r2 )
28
六、动量分布概率（ 1 ）
2 2 设 r xi yj zk ，则 ( x, y, z ) (r ) 表示粒子出现 在点 r 附近的概率。 设 p px i p y j pz k ，那么粒子具有动量 p 的概率如 何表示？
2 / 所以看出自由粒子的频率和
h p e k
10
改写de Broglie关系为
h
2 , h / 2
三、自由粒子的波函数（3）
函数描述 A cos(k r t ) 或 A exp[i(k r t )]
1 ( x) 2
(k )e dk
ikx
物理意义：波包可以看做各种波长的平面波的叠加。 vg 定义群速 vg ，表示波包中心的移动速度； 即，整个波包的移动速度。
d vg dk vg vg (k ) 则整个波包在运动过程 若 dvg / dk 0 ，即：
17
中会发生扩散。
24
五、波函数的统计诠释及其性质（1）
1、统计诠释的详细表述：
( x, y, z ) 表示粒子出现在 点 ( x, y, z ) 附近的概率。
( x, y, z ) xyz 表示点 ( x, y, z )
处的体积元 xyz 中找
到粒子的概率。
2 2
( x, y , z ) d 表示在体积微
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五、波函数的统计诠释及其性质（3）
（3）波函数的常数因子不定性：设 C 是一个常数，则： ( x, y, z) 和 C ( x, y, z ) 对粒子在点 ( x, y, z ) 附近出现概
率的描述是相同的。
1 ( x, y, z )等同于 ( x, y, z ) A （4）相位不定性:若 C e i ，则：
二、量子力学讨论的对象：波函数（1）
1、经典物理讨论对象：
牛顿力学：质点（经典粒子）
讨论对象：质点的坐标、动量、能量等
2 d r (t ) dp F (r , t ) m 2 dt dt
v
F mg
6
二、量子力学讨论的对象：波函数（2）
电动力学：电磁场（经典波动）
量子力学
光电子科学与工程学院 王可嘉
第二讲 不确定度关系 波函数及其统计诠释
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第2讲目录
一、不确定度关系（测不准原理） 二、量子力学讨论的对象：波函数 三、自由粒子的波函数 四、一般粒子的波函数及其物理意义 五、波函数的统计诠释及其性质 六、动量分布概率 七、再论不确定度关系
2
一、不确定度关系（1）
代入de Broglie关系得到：
和 k 都为常量的波应该是平面波，可用以下
i k A exp[ p r Et )] 即：自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能
量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数。
11
三、自由粒子的波函数（4）
总结：由于自由粒子的能量和动量为常量，根据de Broglie关系，其对应物质波的角频率和波矢也为常量， 根据经典波动理论，角频率和波矢为常量的波为平面波，
( x, y, z)
2
d A 0
1 ( x, y, z ) d 1 A
2
( x, y, z) 和 e ( x, y, z )
对粒子在点 ( x, y, z ) 附近出现概率的描述是相同的。 这是因为:
2
27
i
( x, y, z ) e ( x, y, z )
在经典力学中，宏观粒子在任何时刻都有完全
确定的位置、动量、能量等。然而，对于微观粒 子，其波动性远远大于宏观粒子，以致于它的某
些成对的物理量（如位置坐标和动量、时间和能
量等）不可能同时具有确定的量值。这就叫不确
定度关系或测不准原理。
下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题
3
一、不确定度关系（2）
P
x
1926年，M. Born提出： 波函数 ( x, y, z ) 为刻画 粒子在空间的概率分布的 2 ( x, y, z ) 表征 概率波， 了粒子出现在点 ( x, y, z ) 附近的概率大小的一个量。
M. Born （1882-1970） Nobel Prize in Physics(1954)
难道电子会随着时间 “变胖”？
18
四、一般粒子的波函数及其物理意义（7）
波包说的错误之处在于：物质波包的观点夸
大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实
际不符。
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四、一般粒子的波函数及其物理意义（8） 2、群体说：认为体现粒子波动性的衍射行为是大
量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。
然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言： 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间
四、一般粒子的波函数及其物理意义（3）
1、波包说：
x
x (0, )
波动的强度空间分布只在 有限区域内不为零
波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将 粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的 大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。 15
四、一般粒子的波函数及其物理意义（4 ） 2
21
k
四、一般粒子的波函数及其物理意义（10）
对于de Broglie物质波（波函数 (r , t ) ），绝不能 用经典的概念生搬硬套得来解释。 要想解释de Broglie物质波，我们必须重新认识什么 是“粒子性”和“波动性”！
p k
“粒子性” de Broglie 一个客体，强调得是 物质波 颗粒性或者是原子性，
eikxdk ( x)
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三、自由粒子的波函数（2）
自由粒子：指的是不受外力作用，静止或匀速运 动的质点。因此，其能量 和动量 p 都是常量。
根据de Broglie关系：可得与自由粒子对应的物质波 的频率和波长为： / h 和 h/ p 波矢定义为：k 波矢均为常量。
一、不确定度关系（3）
严格的理论给出的不确定性关系为：
x p x 2 y p y 2 z p z 2
首先由海森堡给出(1927) 海森堡不确定性关系 Heinsenberg (海森堡测不准关系) （1901-1976）
它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动 量。粒子位置的不确定量 x 越小，动量的不确定量 Ρx 就越大，反之亦然。因此在某一时刻微观粒子的位置和动量 不可能同时完全确定。轨道的概念已失去意义，经典力学规 律也不再适用。 ----------微观粒子的“波粒二象性” 的具体体现 5
一维自由粒子的波函数为：
A exp(i(kx t ))
x
| k ( x) |
x
x ：自由粒子尺寸难道无限大？
两种选择： 1、自由粒子波函数是错的？！
2、波包说是错的？！
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四、一般粒子的波函数及其物理意义（5） ( x) 根据Fourier变换 一般粒子的波函数为：
A exp( ikx)
任意函数 f ( x) 均可用 exp( ikx) 展开：
F (k )e dk
ikx
1 F (k ) 2
f ( x)e ikxdx
F ( k )为 f ( x) 的Fourier变换
特别地，若 F (k ) 1 2 ，有
1 f ( x) 2
dp F dt
经典物理：质点动量的物理意义： 电场强度的物理意义：
F Eq
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四、一般粒子的波函数及其物理意义（2）
波粒二象性 一切实物粒子都具有波粒二象性！ 如何理解一个实物粒子具有波动性？
历史上对粒子波动性的认识有两种误解： (1)波包说：认为粒子波就是粒子的某种实际结构， 即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。 波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动 速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结 构。 (2)群体说：认为体现粒子波动性的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。 14
但运动时确切的轨道 必须抛弃。
“波动性”
强调得是波的相干叠 加性，而不是某种实 在物理量的空间分布 做周期性变化
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四、一般粒子的波函数及其物理意义（11）
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四、一般粒子的波函数及其物理意义（12）
4、统计诠释：
粒子的波粒二象性可以用波函数来表示：
( x, y, z) ( x, y, z) ei ( x, y, z )