第二章波函数和薛定谔方程
第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
第二章波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程本章重点1. 微粒的状态由波函数完全描写（正确理解ψ的意义和性质）.2. 状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用）.3. 几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解）.§2.1波函数的统计解释引入：在经典力学中，用坐标和动量描述质点的运动状态。
在量子力学中，我们也要找到描述微观粒子的量，由于量子力学与经典力学根本不同，在量子力学中，微观粒子既要描述粒子性又要描述其波动性。
那么这一章我们首先来找用什么量来描述微观粒子。
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数ψ的意义和性质的理解 一、状态的描述1. 经典力学中质点的状态由)(,v p r描写 经典力学中用)(,v p r两基本量来描写质点的状态。
〈1〉每个时刻t 该二量都有完全确定的数值，且随t 变化；在任一时刻，我们都能测到质点确定的动量和坐标，并且他们是连续变化的。
〈2〉质点的其它力学量，如L E r V E k，总),(,等全是p r ,的函数—p r,决定体系的一切性质。
〈3〉质点状态的变化（运动）遵从牛顿定律：F dtrd m =22，当F 已知时，如果初始时刻)(,000v p r已知，则积分得：00)(v dt m F t v t+=⎰ ， 00)(p dt F t p t +=⎰ ， 00)()(r dt t v t r t+=⎰,即任何时刻的)(),(t p t r完全确定.〈4〉)(t r描写质点运动的轨道。
2.微粒的状态由波函数),(t rψ来完全描写<1> 微粒除了粒子性，还有波动性，这就决定了它不可能同时具有确定的r 和p,自由粒子由平面单色波描写，（)(Et r p i Ae-⋅=ψ，以后我们会看到）这时p 有确定值，而r完全不确定。
微粒无同时确定的p r,，也就不可能有确定的轨道。
<2> 为了描写粒子的状态，量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数),(t rψ来描写。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
第二章波函数和薛定谔方程
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即
（2）3/ 2
exp[
p•
r]
则 Ψ可按Фp 展开
1
i
(r , t)
c(
p,
t )
p
Байду номын сангаас(r
)dp
(2)3/ 2
c( p, t)exp[ p • r ]dpxdpydpz
展开系数
c( p, t)
p
(r
)(r
,
t
)dr
1
（2）3/ 2
(r , t)exp[
i
p • r ]dxdydz
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
P
P
电子源
O
感
Q光
屏
O Q
（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
2波函数和薛定谔方程
第二章
波函数和薛定谔方程
三、波函数的归一化
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率之和等于1，因而粒子在空间各点 出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而 不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一 个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
(r , t ) 与 C (r , t ) 表示同一个态。
2
概率密度
dW ( x, y, z, t ) 2 ( x, y , z , t ) C ( x, y , z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
2
波函数和薛定谔方程
C ( x, y, z, t ) d 1
归一化
C
1
( x, y, z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
波函数和薛定谔方程
自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，
而必须用较复杂的波来描写。一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的波函数，它 通常是一个复函数。
c1 1 c2 2 cn n
cn n
n
§2.2 态迭加原理
第二章
波函数和薛定谔方程
二、波函数按平面波展开
以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数
p (r , t ) Ae
i ( pr Et )
描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为
波函数为
i (r , t ) A exp ( p r Et )
量子力学2波函数和薛定谔方程
波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双
缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒 子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也 是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再 是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。 在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
也是一个可能的波动过程。
波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 二、量子力学的态迭加原理
如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么它们的线性 迭加： c11 c21（c1 ，c2是复数）也是这个体系 的一个可能状态。
三、电子双缝衍射 P
设 1 表示电子穿过上面窄
缝到达屏的状态，设 2 表 示电子穿过下面窄缝到达
二、波函数的(Born)统计解释
1、几率波
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学
上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波
函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该
点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同 一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
的线性迭加： c11 c22 cn n cn n
第二章 波函数和薛定谔方程
2.波恩（Born）对波函数的统计解释，概率波 2.波恩 Born）对波函数的统计解释， 波恩（ 水波的双狭缝干涉： 水波的双狭缝干涉：
I12 = h1 + h2 = h1 + h2 + (h h + h h )
2 2 2 * 1 2 * 1 2
= I1 + I2 +干涉项
11
子弹点射
•
1 2
ψ ψ
P1
1
2Байду номын сангаас
P
P 2
P= P +P 1 2
12
电子双缝衍射
电子的干涉现象与水波干射完全相似，但与子弹点射 完全不同。与水波干射的含意也有着本质的不同，前 者是强度，后者是接收到的电子多少！
13
电子干涉实验的结论： 电子干涉实验的结论： 大量电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 大量电子在同一个实验中的统计结果， 电子在多次相同实验中的统计结果。 电子在多次相同实验中的统计结果。
8
何为波包？ 何为波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包的频率是 波矢的函数（ ω = ω(k)），我们将频率作泰勒展开
dω 1 d 2ω 2 ω(k) = ω(0) + k+ k +L 2 dk 2! dk dω d 2ω 是波包的群速度； 2 表示 ω(0)是基波，为常数；
波包的扩散；若 扩散。 由于
r Ψ(r , t) 的变化遵从薛定谔方程。 4） 的变化遵从薛定谔方程。
5
二、波函数的统计解释
r 如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U(r , t) 中，它 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）， ），粒子 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子 的状态就不能用平面波描写， 的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描 一般记为： 写，一般记为：
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
第二章 波函数和薛定谔方程
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
大学物理：量子物理第二章 波函数和薛定谔方程-1
量子力学
粒子状态的 坐标（位置） 基本描述 动量（运动速度） --都是确定量
粒子具有波粒二象性，不可 能同时具有确定的坐标和动 量，坐标和动量都是以一定 的几率出现。用波函数描写 体粒子的量子状态。
其它量
其它物理量如能量等都 所有其它量都是以一定几率
是坐标和动量的函数-- 出现--用波函数描写体粒子
电子在底片上各位置出现的几率不是常数，出现的几率大， 即出现干涉图样中的“亮条纹”；有些地方电子出现的几率 为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实 验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。 玻恩对波函数物理意义的解释：波函数在空间某一点的 强度和在该点找到粒子的几率成正比。
8
E p2 2m
自由粒子波函数：
(x,
t
t)
i
E
( x, t )
E (x,t) i (x,t)
t
x
i
p
2
x 2
p2 2
p2
2 2
x2
2 2
i t 2m x2
3
一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
2
x 2
三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
(
2
x2
2
y 2
都是确定量
的量子状态。
11
例如在量子力学中力学量表示为：
对于一维粒子出现在x坐标的平均值为
x x | (x) |2 dx *(x) x (x)dx
相应的涨落偏差
结论：经典力学能够表示粒子确定的位置和动量，但是量子力
学中的波函数只能给出粒子位置的平均值x 及其偏差(x)2 。 12
第二章状态波函数和薛定谔方程
第二章 状态波函数和薛定谔方程本章引入描述量子体系状态的波函数，给出波函数的几率波解释和态的叠加原理两个量子力学的基本假设，在此基础上建立非相对论量子力学的基本方程——薛定谔(Schr ödinger)方程，并通过几个具体实例介绍定态薛定谔方程的解法。
§2.1 波函数的几率波解释1.波函数由第一章的讨论可知，微观粒子的波粒二象性是对粒子运动的一种统计性的反映。
数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子波）用一个物理量ψ来描述，称为波函数。
它是位置),,(z y x 和时间t 的复值函数，表示为ψ或),,,(t z y x ψ。
微观体系的状态总可以用一个波函数(,)t ψr 来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有性质，且(,t)ψr 和C t ψ(r,)（C 为比例常数）描写同一量子状态。
引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一。
2.波函数的几率波解释在历史上，人们对波函数的解释曾有过不同的看法。
有人认为波是由它所描写的粒子组成的；也有人认为粒子是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包。
除以上两种观点外，还有其它一些不同的看法。
但是，这些看法都与实验事实相矛盾，而被物理学家们普遍接受的解释是玻恩(Born)提出的统计解释，即几率波解释。
为了说明玻恩的解释，我们首先来考察电子的双缝衍射试验。
在电子的双缝衍射实验中，电子枪发射强电子束时，荧光屏上马上显示出明暗相间的双缝衍射条纹，这是电子的波动性的表现。
当电子枪发射弱电子束时，屏上接收的只是一个一个的亮点（电子），这体现了电子的微粒性。
若对弱电子束的衍射作长时间的曝光，则得到的衍射花样与强电子束的衍射花样完全相同。
实验表明，在出现亮条纹的地方，亮点较密集，电子投射的数目较多，即电子投射几率较大；而在比较暗的地方，达到的电子数目较少，即电子投射的几率较小。
电子在衍射实验中所揭示的波动性质，可看成是大量电子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个电子在多次相同实验中显示的统计结果。
第2章 波函数与薛定谔方程
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
6
子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r
20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12
注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
第二章 波函数与薛定谔方程
W
3.5
3
( x, y, z, t ) dxdydz
2
5、状态迭加——干涉项 i1 i 2 一般，为复函数，如1 10e , 2 20e 2 2 c11 c2 2 c1 1 c2 2 c1 1 c2 2
(8)
这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动 的基本规律，是量子力学的基本假设之一。 二、薛定谔方程的讨论 1、要求
⑴、对粒子的所有状态成立，波动方程系数不能含有状 态参量，如 x, p, L ……
(2)、必须满足迭加原理，即方程对于其解而言是线 性的，当1，2各为其解，则 a1 b2也是其解
•
ψ(r, t)
它描写当粒子不受外力F (r , t )作用，因而E , P不变的 自由粒子运动。
Ae
i ( pr Et )
2、一般 F≠0, 在外力场中，势能 , V ( r , t )
波函数
(r , t )满足薛定谔方程和边界条件称为
• 1、经典波表示 y ( x, t ), E (r , t ), P(r , t )
2、定域的几率守恒 薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对 论（低能）情况下，实物粒子（m 0 ）没有产生和湮 湮灭的现象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保 持不变（即粒子数守恒）。 对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改变，即
d 3 (r , t ) d r 0 dt
p2 E 2m
(1)
m 是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系 2 的波的角频率 和波矢 k（ k ），由下式给出
第二章波函数与薛定谔方程
第二章 波函数与薛定谔方程2.1 设22()exp )2(x x A αψ-=，α为常数, 求归一化常数A . 解：由波函数满足的归一化条件()21x dx ψ+∞-∞=⎰有2222222222()exp 12()x x x x dx A dx A e dx A e dx αααψ+∞+∞+∞+∞---∞-∞-∞-∞-====⎰⎰⎰⎰由积分公式2x e dx +∞--∞=⎰有()()222211x x y e dx ed xe dy ααα+∞+∞+∞----∞-∞-∞===⎰⎰⎰即22221x A e dx A α+∞--∞==⎰，归一化常数A =2.2 设粒子波函数为(,,)x y z ψ ，求在(,)x x dx +范围中找到粒子的概率.解：在(,)x x dx +范围内找到粒子的概率为2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰.2.3 设在球坐标系中，粒子波函数表为(,,)r ψθϕ，求：(1)在球壳(,)r r dr +中找到粒子的概率；(2)在(,)θϕ方向的立体角d Ω中找到粒子的概率.解：(1)在球壳(,)r r dr +中找到粒子的概率为()22|(,,)|r d r dr ψθϕΩ⎰； (2)在(,)θϕ方向的立体角d Ω中找到粒子的概率()22|(,,)|r r dr d ψθϕΩ⎰.2.4求平面单色波为00()p i x p x ψ⎛⎫⎪⎝⎭=在动量表象中的形式. 解：由坐标表象与动量表象间傅里叶变换式()()121,t (,)e2ipx p x t dx ϕψπ+∞--∞=⎰得单色平面波动量表象中的形式为()()()()001112122111,t ()e e 222ii p x px px p p x dx e dx ϕψπππ⎛⎫ ⎪⎝⎭+∞+∞---∞-∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==⎰⎰()()001e2i p p xdx p p δπ+∞---∞==-⎰即平面单色波的波函数在动量表象中的表示形式为()()00,p p t p p ϕδ=-.2.5 粒子在0x x =点的量子态为δ函数00()()x x x x ψδ=-，试在动量表象中写出此量子态的形式.解：由坐标表象与动量表象间傅里叶变换式()()121,t (,)e 2i px p x t dx ϕψπ+∞--∞=⎰得δ函数在动量表象中量子态的形式为()()()()00012211211()e e21,t ()2e 2ip i ip x x x x p p x dx x x dx δϕπψππ+∞-----∞+∞∞-===⎰⎰即量子态为δ函数的波函数在动量表象中表示形式为()()00121,t e2i px x p ϕπ-=.2.6 证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证0v ∇⨯=，其中/v j ρ=，ρ为概率密度，j 为概率流密度.证明：概率密度为()()(),,,r t r t r t ρψψ*=概率流密度为()()()()(),,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇根据薛定谔方程式可导出几率守恒方程，并定义几率流密度()()()()()(),,ln ,ln ,2,,2r t r t jv r t r t mi r t r t miψψψψρψψ***⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∇∇==-=∇-∇()()()()()ln ,ln ,l 2,,n 2r t i m r r t r t t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-=∇可见v 正比于一个标量场()(),,r t r t ψψ* 的对数的梯度.梯度场无旋，故v是一个无旋场(0v ∇⨯=).2.7 设粒子在复势场()()()12V r V r iV r =+ 中运动，其中()1V r 和()2V r为实数，证明粒子的概率不守恒，并求出在某一空间体积中粒子概率“丧失”或“增加”的速率.解：根据薛定谔方程及其复数共轭形式()22122i V iV t m ψψψ∂=-∇++∂ (2.7.1)()22122i V iV t mψψψ***∂-=-∇+-∂ (2.7.2)ψ**(2.7.1) -ψ*(2.7.2)得()222222i iV t t m ψψψψψψψψψψ*****⎛⎫ ⎪⎝⎭∂∂+=-∇-∇+∂∂()2222iV mψψψψψψ***=-∇⋅∇-∇+ (2.7.3)即()()222V t mi ψψψψψψψψ****∂+∇⋅∇-∇=∂，可以写为 22j V tρρ∂+∇⋅=∂(2.7.4)其中()()(),,,r t r t r t ρψψ*=，()()()()(),,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇.上式右边不为零，这意味着粒子的几率不守恒.将上式对空间Ω积分，则得3322Sd r jds d rV t ρρΩΩ∂+=∂⎰⎰⎰ 故某一空间体积中粒子概率“丧失”或“增加”的速率为3322S V d r jds d r t ρρΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ .2.8 设()()()1212,0E E r c r c r ψψψ=+ ，问(),0r ψ是否为定态，为什么？求(),r t ψ.解：(1)由于定态是体系能量具有确定值的状态，而题中波函数(),0r ψ处于能量1E 的本征态()1E r ψ与能量2E 的本征态()2E r ψ 的叠加状态，故(),0r ψ 不是定态；(2) t 时刻的波函数为()()()121212,i i E t E t E E r t c r e c r eψψψ--=+.2.9 计算1ikr e ψ=和2ikr e r ψ-=相应的概率流密度，并由所得结果说明这两个波函数描述的是怎样传播的波.解：由微商关系式：x y z e e e x y z∂∂∂∇=++∂∂∂ ，r r r e r ∇==，3211r r e r r r ∇=-=-(1)1ψ的概率流密度为：1ikr e r ψ=，1ikr e rψ-*= ()()()2122211ikr ikrikr ikrik ik ikr r r r e r e r ikr e e ikre r e r r rr r r ikr e e r ψ⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇-∇-∇-∇=∇===∇= 或()111111ikrikrikr ikr ikr ikr ikr ikr r r r ikr e e ike e e e ike r e r e e e rrr r r r r r ψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-∇=∇=∇+∇=∇+-∇=-= ()()()2212211ikrikr ikr ikr ikr i r r i r k k e r e r ikr e e ikre r e r r rr r r ikr e e r ψ-*------⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇+-∇-∇=∇===--∇=+∇ ()()()()()11111,,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇()()22112ikrikrikr ikr r r ikr e ikr e e e e e mi r r r r --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=--112r ikr ikr e mi r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭--=+2rk e mr =即()12,r k j r t e mr=描述的是沿径向向外传播的球面波； (2) 2ψ的概率流密度为：2ikr e r ψ-=，2ikr e rψ*= ()()()2222211ikr ikrikr ikr ikri r kr ikr e r e r ikr e e ikre r e ikr e e r r r rr r r ψ-------⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇+-∇-+∇-∇=∇===-∇= ()()()2222211ikr ikrikr ikrikr ikr r ikr e r e r ikr e e ikre r ik e r r rr r r e r e r ψ*⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇-∇-∇=∇====∇∇- ()()()()()22222,,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇()()22112ikrikr ikr ikrr r ikr e ikr e e e e e mi r r r r --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+-=-- ()33112r ikr ikr e mi r r ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+-=-2rk e mr =-即()22,r k j r t e mr=-描述的是沿径向向内传播的球面波.2.10 粒子在一维势场中运动，若所处的外场均匀但与时间有关，即()(),V x t V t =，试用分离变量法求解一维薛定谔方程.解：由一维薛定谔波动方程()()()222,,,2i x t V x t x t t m x ψψ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∂∂=-+∂∂ ， 采用分离变量法求特解，令其特解可表示为()()(),x t x f t ψϕ=，带入一维薛定谔波动方程有()()()()()()()()()()2222i x f t x f t V t x f t t m x ϕϕϕ∂∂=-+∂∂ ()()()()()()()()2222x i f t f t x V t x f t t m xϕϕϕ∂∂=-+∂∂方程两边同时除以()()x f t ϕ可得()()()()()22212f t i x V t f t t m x x ϕϕ∂∂=-+∂∂ ()()()()()22212f t i V t x f t t m x x ϕεϕ∂∂-=-≡∂∂其中ε是既不依赖于t ，也不依赖于x 的常数.(1)此时关于时间部分为：()()()f t i V t f t tε∂-=∂ 方程两边同时对时间t 积分得()()()()()()00000ln tt t t t df i d d V d d i f d V d t f d d ττττετττττε-=⇒-=⎰⎰⎰⎰⎰()()()()00ln ti V d t ti f t V d t f t e ττεττε⎛⎫ ⎪⎝⎭-+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰=-+⇒=⎰(2)关于坐标的部分为：()()()()2222221202d d m x x x m x dx dx εϕεϕϕϕ-=⇒+=此二阶齐次微分方程的解为()x Ae ϕ±=由上述两部分可知()()()()0,t i V d t x t x f t Ae eττεψϕ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+±⎰==其中A 和ε均为常数，分别由归一化条件和初试条件决定.2.11 粒子在无限深方势阱中(0x a <<)中运动，对处于定态()n x ψ的粒子，证明：2ax =，()222226112a x x n π⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-， 0p =，()222n p p mE -=，讨论n →∞的情况，并与经典计算结果比较.解：一维无限深方势阱内(0x a <<)粒子的波函数为()n n x x a πψ⎛⎫⎪⎝⎭=， 能量本征值为22222n n E ma π= .(1) ()()0n n n x n x x x x x dx dx a a ππψψ+∞*-∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰200cos 12sin 1222a a n x a n x x x a dx dx a a ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎰⎰ 0020022cos sin 1111122aaa a n x n x x a a dx dx x a a a n πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=⎰⎰2a=(2)()222202n x a n x x x x dx a a ππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-=-⎰22222002212sin 1cos 222a a a n x a n x x dx x dx a a a a ππ⎛⎫⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭=-=--⎰⎰ 22220000112112cos cos 4a a a a n x a n xx dx x dx dx x dx a a a a a aππ=--+⎰⎰⎰⎰2222222260132412a a a a n n ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--+=-(3)()()()(n n i i n x n x p x x dx dx a a ππψψ+∞*-∞⎛⎫⎛⎫-∇-∇ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰22022sin cos sin aan n x n x n n x i dx i dx a a a a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=-=⎰⎰0022022cos cos 222sin aaaa n x i n x n a a a n n x n i dx i a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-==-=-⎰0=(4)()()222222220sin 2sin an n n x x x a n x p p x x dx dx a a ππψψ+∞*-∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂--∂∂-==⎰⎰2222222230022sin sin sin a an n x n a a a a n x n x dx dx a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--==⎰⎰002222223301221cos sin 222a a a n x a n x x a n a n n a a dx πππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭-==-⎰22222n mE n a π==2.12 考虑质量为m 的粒子被限制在宽度为a 的一维无限深势阱();;0,2,2ax V x a x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩<=∞> 中运动，(1)粒子的能级和相应的波函数；(2)粒子处于基态的动量分布. 解：(1)在阱内体系所满足的定态薛定谔方程是2222d E m dx ψψ=- ，2a x < (2.12.1)在阱外，定态薛定谔方程为()2222V x d E m dx ψψψ+=- ，2a x > (2.12.2) (2.12.2)式中，()x V →∞.根据波函数所满足的连续性和有限性条件，只有当0ψ=时，(2.12.2)式才能成立，所以有0ψ=，2ax >(2.12.3) 该条件为解(2.12.1)式时所需的边界条件.为书写简便，引入记号1222mEα⎛⎫⎪⎝⎭= (2.12.4) 则(2.12.1)式简写为2220d dx αψψ+=，2a x <它的解是sin cos A x B x ψαα=+，ax <(2.12.5) 根据ψ的连续性，由(2.12.3)式20a ψ⎛⎫± ⎪⎝⎭=，代入(2.12.5)，有22sin cos 0aaA B αα+=， 22sin cos 0aaA B αα-+=.由此得到2sin 0aA α=，2cos 0aB α=. (2.12.6)A 和B 不能同时为零，否则ψ到处为零，这在物理上是没有意义的.因此，我们得到两组解：(1) 0A =，2cos 0aα= (2.12.7) (2) 0B =，2sin 0aα= (2.12.8)由此可求得22anαπ=，1,2,3,n = (2.12.9)对于第一组解，n 为奇数；对于第二组解，n 为偶数. 0n =对应于ψ恒为零的解，n 等于负整数时解与n 等于相应正整数时解线性相关（仅差一负号），都不取.由(2.12.4)式和(2.12.9)式，得到体系的能量为22222n n E maπ= ，n 为正整数. (2.12.10) 将(2.12.7)式、(2.12.8)式依次代入(2.12.5)式中，并考虑(2.12.9)及(2.12.3)两式，得到一组解的波函数为sin ,20,2n n aA x n x a a x πψ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为正偶数 (2.12.11)另一组解的波函数为cos ,20,2n n aB x n x a a x πψ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为正奇数 (2.12.12)由归一化条件21dx ψ∞-∞=⎰可得常数A B ==(2)粒子处于基态时1n =，体系的能量为22122E ma π= ，波函数为1x aπψ=，对应于动量空间的波函数为：()()221a a i i px px p x e dx x e dx a πϕψ∞---∞-⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭==⎰22c os 2aipx a ap x e dx a π--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎰ 其中积分项2cosaipx a x edx a π--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰采用两次分部积分求出： 222222cossin sin a i px a a ai ipx px a a x e a a a ix edx x pe dx a a πππππ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎰⎰222sin i ai a p p aipx a i eep a a x e dx a πππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ (I)222222cossincos aipx a a aiipx px a a x e a a a ix edx x pe dx a a πππππ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---⎰⎰2cos aipx a i a p x e dx aππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎰ (II) 结合(I)、(II)两式可得2222222222cos 2cos i a i a p p ai px a a ap a e e a p p a x e dx a πππππ---⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎰即()22cos a i px a ap a p x e dx a ππϕ--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭== . 粒子处于基态的动量分布为()222224cos 221ap ap a p p a a p a πππϕπ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2.14 粒子在如图所示的势阱中运动，设粒子处于第n 个束缚态，相应的能级为n E ，如0n V E ，求粒子在阱外出现的概率.解：00E V <<的情况下粒子处于束缚态：在阱外2ax ≥，定态波动方程为 ()022220V d m E dx ψψ--=令β=考虑到束缚态边界条件（x →∞处，()0x ψ→），方程应取如下形式的解(),2,2xx a Ae x x a Be x ββψ-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥=≤-常数A 与B 由归一化条件确定（由于势场具有对称性A B =）.在阱内2ax ≤，定态波动方程表示为22220d mE dx ψψ+= 令k =波函数偶宇称态的解为()cos x C kx ψ ，奇宇称态的解为()sin x D kx ψ . (a) 偶宇称态，波函数()x ψ及其微商()x ψ'在2ax =处是连续的； 22cos cos 2a a x x a xaC kx C k AeAe ββ==--=⇒=()()222cos sin 2xa a x x aAeC kx akC k Ae βββ-==-''-=⇒=-两式相比可得到能级公式为tan 2ka kβ=. 如0n V E ，k β=→=，()2122n ka π+→ ()2222222222+xa a aa a xB A A Aee e e dx Bedx dx x ββββββββψ∞------∞+===⎰⎰⎰阱外带入关系式2cos 2aa C k Ae β-=得()222cos 2C kax dx ψβ=⎰阱外()222221sin 22cos aa C C a ka kdx C kx dx x ψ-+==⎰⎰阱内由于()2122n ka π+→，所以2cos 02ka →，sin 0ka →，粒子出现在阱外的概率远小于粒子出现在阱内的概率()()2222C a dx dx x x ψψ≈≈⎰⎰全空间阱内粒子出现在阱外的概率为()()220222c cos 2=o 2=s =222C k ka V a E dxC a a dxa x x βββψψ⎰⎰全空间阱外22220222221cos 21tan 112ka k k E k V a k ββ⎝⎭====+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+⎝⎭⎝⎭.2.16 利用厄米多项式的递推关系()()()11220n n n H H nH ξξξξ+--+=，()()12n n H nH ξξ-='，求证()()111()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=+，()()11()n n n d x x x dx ψα-+⎤⎥⎥⎦=， 并由此证明()n x ψ态下0x =，2nE V =，0p =，222n p m E T ==. 证明：(1)谐振子波函数()()22n n x H ξψξ-=，其中xξα=，α=关于Hermite 多项式有递推关系()()()11220n n n H H nH ξξξξ+--+=22ξ-得()()()22222211220n n n H H H ξξξξξξ---+--+=()()()2222221102n n n H H H ξξξξξξα---+--+= (*)()()()1120n n n x x xx αψ+--+=由此即得()()111()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=(2) 由()()2n n x H ξψξ-=，()()()()()()()()222222x x x n n n n d d d dx dx dx d dx x H x e H x e H x αααψααα---⎫⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+⎨⎬⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭= ()()()()()2222212x x n n x e H x e n H x αααααα---⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+⎬⎪⎪⎝⎭⎭(()()()()2222212x x n n x H x n H x ααααα---=-+代入(*)的变形式得()()()222222112n n n H H H ξξξαξξξ---+-=+()(()()()()2222212x x n n n d x dx x H x n H x αααψαα---=-+()()()()22222112122x n n n H H n H x αξξαξξα--+---=-++⎫⎪⎪⎭()()()1112n n n x x x αψ⎫⎪⎪⎭+--=- ()()11n n x x α-+⎤⎥⎥⎦=(3)()()111n n n n nx x dx dx x x ψαψψ+∞+∞**-∞-+-∞⎤⎥⎥⎦==⎰⎰()()11n n n n x x dx dx ψψψψ-++∞+∞**-∞-∞=0=(4)()222222111222n n n n n n V m x m x m x V dx dx dx ωωωψψψψψψ+∞+∞+∞***-∞-∞-∞⎛⎫ ⎪⎝⎭====⎰⎰⎰由(1)得()()111()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=+再乘以x 得()()2111()n n n x x x x ψψψα-+⎤⎥⎥⎦=()()()()2211n n n n x x x x αα-+⎫⎤⎤⎪⎥⎥⎪⎥⎦⎦⎤⎥=⎭⎥⎦()()()()2222112n n n n x x x ψα-+⎤⎥⎦=++ ()()()()()222222112n n n n n n x xdx n dx x x x ψψψψα+∞+∞**-∞-∞-+⎧⎫⎤⎨⎬⎩=⎭=⎥⎦+++⎰⎰()()()()222002112n n n n n n x dx n x dx x dx ψψψψψψα+∞+∞**-++∞∞*--∞-∞⎫⎪=++⎬⎪⎩⎭⎰ ()2212n α=+()()222222212111122221112222n n n n E m x m m V ωωωωα=++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭==(5)()()11n n n n n n n d d i dx dx i i x dx d p d x x xψψψψψα+∞+∞+∞**-∞-∞-+*-∞--⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦===⎰⎰⎰()()11000n n n n i x x dx dx ψψαψψ-++∞+∞**-∞-∞⎫⎪=-=⎬⎪⎭(6)()()22221121222nn n nnd dm dx m dxxpT dxmx dxαψψψ+∞+∞**-∞--∞+⎧⎫⎤⎪⎪⎥⎨⎬⎥⎪⎪⎛⎫--⎪⎝⎭⎦⎩⎭===⎰⎰()()()() 222 2n nn nn n mx x dx dx x x αααψψ+∞+∞*-*-∞∞+-⎧⎫⎧⎫⎤⎤⎪⎪⎪⎪⎥⎥⎨⎬⎨⎬⎥⎥⎪⎪⎪⎪⎫⎪-⎬⎪⎭⎦⎦⎩⎭⎩⎭=()()()()220022214nn n nnndx dxx xnmx dxψψψψαψψ+∞+∞**-∞+-∞-⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎭+∞*-∞+-=-⎰⎰⎰()222111222212144nm nn Enm mωωα⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭+==+=+=2.17 质量为m的粒子处于势阱()220;,1,20;xxxm xVω∞⎧>=≤⎪⎨⎪⎩中，求粒子的可能能量.提示：利用谐振子波函数()nxψ的奇偶性()()()1nn nx xψψ-=-.解：线性谐振子对应于本正函数()()221212122!xn nnx e H xnαααπψ-⎛⎫⎪=⎪⎝⎭，α=的本征值为12nE nω⎛⎫=+⎪⎝⎭.题中0x≤区域，粒子的波函数满足()0xϕ=.0x>区域粒子的波函数满足边界条件()00ϕ=，()0ϕ∞=，由波函数的连续性可知()00ϕ=.由谐振子波函数()nxψ的奇偶性条件()()()1nn nx xψψ-=-，我们得知只有当n取奇数时连续性条件才被满足，故此时粒子的可能能量值为()1321222nE n nωω⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,n=.相应的本正函数为()()21n nx xϕ+=.()()()222222121011122n n n A x dx A x dx A x dx ψψϕ+∞+∞+∞++-∞====⎰⎰⎰，故A =.2.18 设()1,r t ψ 和()2,r t ψ 是不含时势场()V r中薛定谔方程的两个解，证明对变量变化的全空间积分312d x ψψ*⎰与时间无关，即3120d d x dtψψ*=⎰. 证明：由题意得()1,r t ψ 和()2,r t ψ分别满足薛定谔波动方程()()()()22111,,,2i r t r t V r r t t m ψψψ∂=-∇+∂ (2.18.1) ()()()()22222,,,2i r t r t V r r t t mψψψ∂=-∇+∂ (2.18.2) ()1,r t ψ*⨯ ()2.18.2 - ()2,r t ψ⨯()2.18.1*()()()()()()()()222122112,,,,,,2i r t r t r t r t r t r t t mψψψψψψ***∂=∇-∇∂()()()()()22112,,,,2r t r t r t r t mψψψψ**=∇⋅∇-∇上式对全空间进行积分()()()()()()()()233122112,,,,,,2i r t r t d x r t r t r t r t d x t mψψψψψψ***∂=∇⋅∇-∇∂⎰⎰ ()()()()()22112,,,,2r t r t r t r t ds m ψψψψ**=∇-∇⋅⎰由于无穷远处波函数为零，积分项()()()()()2112,,,,r t r t r t r t ψψψψ**∇-∇⎰ 为零，即()()()132,0,d d x dtr t r t ψψ*= .。
第二章 波函数和 薛定谔方程2
§2.5 定态薛定谔方程
一、定态薛定谔方程
条件：V（r,t）=Vf(t)，
代入薛定谔方程，得两个方程：
——定态薛定谔方程
Ψ=φ(r)f(t)
特点：
定态薛定谔方程的特解：
1、 波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘； 2、时间部分函数是确定的，为： 3、定态波函数几率密度W与t无关，几率分布不随 时间而变，能量具有确定值, 因此称为定态。 重点：要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。
和 均可以表示为上述两个 函数的叠加。
定理5：对于阶梯性方位势，
有限，则能量本征函数 及其导数 必定是连续的。 定理6：对于一维粒子，设 与 均为方程（1） 的属于同一能量的E的解，则：
定理7：设粒子在规则势场中运动，如存在束缚态， 则必定是不简并的。 束缚态（bound state）指粒子局限在有限空间中。
由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内 出现的几率将怎样随时间变化。所以可以看作对薛定 谔方程的讨论。
设粒子的波函数为：
则t时刻在r点周围单位体积内；粒子出现的几率是：
几率随时间的变化率是：
令:
此方程具有连续性方程 的形式。
等式左边的意义：单位时 间内体积V中几率的增加。 等式右边的意义：从V外部 穿过V的边界面S而流进V内 的几率。
一般 t 时刻,到达空间(x,y,z）处某体积dV内的粒子数：
的物理意义： t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒 子数与总粒子数之比。 t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内 的概率。 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度 。
注意：
物质波的波函数不描述介质中运动 状态（相位）传播的过程。
2、态的迭加原理
第二章 波函数与薛定谔方程
在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是： ω (r,t)=dW(r,t)/dτ =C|Ψ (r,t)|2 在体积V内，t时刻找到粒子的几率为： W(t)=∫VdW =∫Vω (r,t)dτ =C∫V|Ψ (r,t)|2dτ
2. 平方可积
由于粒子存在空间中, 在全空间找到粒子的几率应等于1，所以： ∫∞|Ψ (r,t)|2dτ =1, 无穷大表示对整 3．波函数的归一化条件 个空间积分
• 对于一维薛定谔方程，如果ψ1和ψ2是某个能量特 征值E的两个线性独立解，则 ψ1 ψ2’ - ψ2 ψ1’ =C（常数）
• 对于一维薛定谔方程，与任何一个能量特征值相 应的线性独立解最多有两个，即每个能级最多有 两个简并态。
关于定态薛定谔方程的定理
• 对于一维束缚态，所有能级都是非简并的，波 函数为实函数。 • 对于一维束缚定态，如果V(x)为偶宇称，则每 一个ψE(x)都有明确的宇称性。 例1 粒子的一维自由运动。
1 2 2
) 代入方程可得 u ( 满足的微分方程
u '' 2 u ' ( 1)u 0
u( ) 有限值, (-< <)
可得厄密方程本征值问题的本征值：
n 2n 1
例如
(n 0,1, 2,3, )
u 1, 1, E
2 3 u , 3, E 2
（ ）d 2
2
[ ]d
d dt
（ ）d
i 2
[ ]d
其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形 式相同
d dt
(r , t )d Jd
第二章 波函数
波恩对波函数的统计解释: 波恩对波函数的统计解释 : 波函数在空间中某一点的 强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率 强度 ( 振幅绝对值的平方 ) 和在该点找到粒子的 几率 成正比.波函数又称为几率波 几率波(Probability wave ). 成正比.波函数又称为几率波 . 按照波函数的统计解释,在粒子的衍射实验中, 按照波函数的统计解释,在粒子的衍射实验中, 衍射图样中衍射极大的地方,粒子投入的几率就大 极大的地方 几率就大, 衍射图样中衍射极大的地方,粒子投入的几率就大, 投射的粒子数也多;衍射极小的地方, 投射的粒子数也多;衍射极小的地方,粒子投射的几 率很小或等于零,粒子数很少或没有,相应地, 率很小或等于零,粒子数很少或没有,相应地,波的 强度很小或等于零. 强度很小或等于零. 人们曾经认为波是有它所描写的粒子组成的. 人们曾经认为波是有它所描写的粒子组成的.这 种看法是不正确的. 种看法是不正确的. 光的衍射现象是由波的干涉产生的. 光的衍射现象是由波的干涉产生的. 如果波是有它所描写的粒子组成, 如果波是有它所描写的粒子组成,则粒子流的衍射 现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的 应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的. 现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的.
1 ik r ψ k (r ) = e V
(2.14) )
2.2 Superposition Principle (量子力学中的态叠加原理 量子力学中的态叠加原理) 量子力学中的态叠加原理
一,态叠加原理 经典物理中,声波和光波都遵从叠加原理. 经典物理中,声波和光波都遵从叠加原理.量子力学 中也存在一个类似的原理.称为态叠加原理 态叠加原理, 中也存在一个类似的原理.称为态叠加原理,是量子力学 原理的一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态. 原理的一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态.在 双缝实验中, 表示粒子穿过上缝1到达屏 的状态, 到达屏P的状态 Ψ 双缝实验中, 1 表示粒子穿过上缝 到达屏 的状态, 2 用 Ψ 表示粒子穿过下缝2到达屏 的的状态, 到达屏P的的状态 表示粒子穿过下缝 到达屏 的的状态,用 Ψ 表示粒子穿过两狭缝到达屏P的状态 的状态. 表示粒子穿过两狭缝到达屏 的状态.
量子力学第二章波函数和薛定谔方程 山东大学期末考试知识点复习
量子力学第二章波函数和薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习量子力学第二章波函数和薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习山东大学期末考试知识点述评第二章波函数和薛定谔方程1.微粒运动状态描述（1）波函数波函数ψ(r，t)是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性，实际体系的波函数满足平方可积条件，即（2）波函数的意义波函数的模平方给出t时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率，即概率密度。
因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件非标准化波函数可以通过乘以标准化因子进行标准化。
（3）波函数的性质波函数ψ(r，t)满足叠加原理，如果ψi(r，t)，i=1，2，…为微观粒子的可能状态，则这也是一种可能的状态。
山东大学期末考试知识点复习2.微态演化（1）薛定谔方程状态ψ(r，t)随时间演化满足薛定谔方程在…之间称为哈密顿算符，u(r，t)是势能，若已知初始状态ψ(r，0)，由薛定谔方程可求出任意时刻t的状态ψ(r，t)。
（2）连续性方程由薛定谔方程可以推出连续性方程在…之间称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率，连续性方程是概率守恒定律的定域表现。
(3)定态薛定谔方成若体系的哈密顿不显含时间，即势场u不含t时，薛定谔方程可以分离变量，得到定态波函数解其中e是能量本征值，ψe（R）是相应的本征函数，满足稳态薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习3.一维束缚稳态问题的描述（1）一维束缚定态问题由下面的方程和边界条件组成束缚态能量满足条件e<U（±∞). （2）束缚定态解的性质束缚定态中的能量取值不连续，形成能级，同一能级只对应一个本征函数，无简并现象，第n个能级en，n∈n对应的本征函数ψn(x)有n个内部零点(不包括边界)。
束缚态本征函数ψN（x）可以归一化，且归一化本征函数满足正交归一化本征函数集合具有完备性，任何平方可积函数ψ(x)都可以展开为归一化本征函数的线性组合，即其中膨胀系数为(3)典型实例：一维简谐振子一般的解析势阱在其极小值附近都可以近似为简谐振子势，其标准形式为在上述势场中，粒子作束缚运动，能级为山东大学期末考试知识点复习相应的本征函数为简谐振子的本征函数满足递推关系4.一维散射问题（1）问题描述以能量e>u(±∞)自左边向势场u(x)入射的粒子满足下面的方程和边界条件（2）问题的重要性(3)典型实例：粒子对方势垒的透射山东大学期末考试知识点述评能量为e的粒子入射到一个宽度为a，高度为u0的方形势垒反射系数和透射系数分别为。
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2
∫ψ
2
dτ = A 2 ∫ dτ = ∞ 这样 C 为零，显然没有意义。
∞
例：假如粒子只在一维空间运动，它的状态可以用波函数
⎧0 ⎪ ψ = ⎨ − i Et π h sin x ⎪ Ae a ⎩
( x ≤ 0, x ≥ a ) (0 ≤ x ≤ x )
在 t=0 时函数曲线如图， 来描述， 式中 E 和 a 分别为确定的常数， 而 A 为任意常数，求 ⑴ 归一化波函数； ⑵ 几率函数（几率密度） w ； ⑶ x, x 的值。 解 ⑴ 在一维空间里
ih
r r ∂ ˆ ψ (r ψ (r , t ) = H , t) ∂t
2.3-1 [*]有量子力学第三原理的说法
若含有状态参量,则方程只能被粒子的部 分状态所满足.而不能被各种可能的状态 所满足.
——波函数随时间变化的规律
ˆ ——为哈密顿算符 式中 H
2.3.1 S-eq 的建立 1． 方程是线性的 2． 这个方程的系数不应包含状态参量（如：动量、能量等） 3． ——在量子力学中微观体系的运动状态是用一个波函数描述，所以，反映微观粒子运动规律的波 函数ψ ( r , t ) 应是对时间的一阶微分方程；
2． 三维情况
∫
∞
−∞ ∞
C ( p )e
i
p x h
dp
（2.2-2）
x
∫
−∞
ψ ( x )e
−i
p
dx
1r r i p⋅ x ⎧ r ∞ r 1 C ( p, t )e h dp x dp y dp z ⎪ψ (r , t ) = (2πh ) 3 / 2 ∫−∞ ⎪ ⎨ i r r − p.r ∞ r r 1 ⎪C ( p h = , t ) ψ ( r , t ) e dxdydz ⎪ (2πh ) 3 / 2 ∫−∞ ⎩
（ⅱ）与（ⅴ）比较得
（ⅴ）
ih
∂ψ p ∂t
=−
h2 2 ∇ψp 2μ
体系处于ψ 状态
2
也是微观体系的可能状态。
则它部分地处于ψ 1 ，ψ 2 态中 因为
2 2
ψ
= C1ψ 1 + C 2ψ
2
= (C1ψ 1 + C 2ψ ) (C1ψ 1 + C 2ψ )
* 2 * * * + C1*C 2ψ 1*ψ 2 + C1 C 2 ψ 1ψ 2
= C1ψ 1 + C 2ψ
（2.2-1）
记为：
6
∇ 2ψ p = − −
p2 ψp h2
式中 ∇ 为劈形算符，且 ∇ =
（ⅲ）
动量
∂ r ∂ r ∂ r i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
因为对自由粒子的能量和却是的关系式：
E=
p2 2μ
（ⅳ）
将（ⅲ）式两端除 2 μ ， μ 是粒子的质量 所以
h2 2 − ∇ ψ p = Eψ p 2μ
ψ ( x, y , z , t ) = CΦ ( x , y , z , t )
代入（2.1）中显然成立
dW = C Φ (r, t ) dτ = ψ ( x, y, z , t ) dτ
由（2.2）得几率密度
2
2
（2.5）
w( x, y, z , t ) = ψ ( x, y, z , t )
则（2.3）改为
2
Fig 2.1
2
∞
∫ ψ ( x, t )
a
2
dx = 1
亦
∫
由ψ ( x, t ) 的表达式得
i − Et h
0
−∞
ψ ( x, t ) dx + ∫ ψ ( x, t ) dx + ∫ ψ ( x, t ) dx = 1
2 2 2 0 a
−∞
A
即
2
∫
A
0
(e
sin
π
a
x)(e
i Et h
ห้องสมุดไป่ตู้
sin
∞
∫ψ
2
dτ = A > 0
∞
∫
ψ (r )
A
2
dτ = 1 ，
1 A
称为
归一化因子 2． 波函数的归一化 根据波函数的统计解释，粒子（不产生，不湮灭）在空间各点的几率之总和为一，即（2.2）波函数 应满足的条件
1
C=
1
∞
∫ Φ ( x , y , z , t ) dτ
2
（2.4）
——这称为波函数的归一化条件。 由于波函数乘上一个常数后不改变在空间找到粒子的几率，所以将上式开方后乘 Φ ，并用ψ 表示， 即
（2.2-2） ‘
3． 物理意义 ——任意波函数可以展成平面波的迭加
ψ ( r , t ) − − − − − − − − − − − − − − − − − −− → C ( p, t )
坐标表象下的波函数 动量表象下的波函数
r
r
注：波函数可选定一 特殊的表象来描述
5
§2.3 薛定谔方程（Schrödinger-equation）
式中
付里叶变换 付里叶逆变换
∫
∞
−∞
f ( x)dx 存在， f ( x ) 在 ( −∞,+∞ ) 内分段光滑（即只有第一类间断点）
1/ 2
在上式中取 F (λ ) → ( 2π )
F (λ ) ，则
∞ 1 ⎧ ( ) = f x F (λ )e iλx dλ 1 / 2 ∫− ∞ ⎪ (2π ) ⎪ ⎨ ∞ 1 ⎪ F (λ ) = f ( x)e −iλx dx 1 / 2 ∫− ∞ ⎪ (2π ) ⎩
以上积分用分部法积分
3． 相对几率密度 ——几率的大小只与空间不同位置几率密度的相对大小有关。 波函数的三种等价形式，设
ψ1
r
ψ2
r r
ψe iδ (δ是实常数）
设波函数是 Cψ ( r ) 的情况下，在空间 r1 点与在空间 r2 点的相对几率是
r 2 r 2 cψ (r1 ) ψ (r1 ) r 2 = r 2 cψ (r2 ) ψ (r2 )
π
a
x)dx = 1
A2 ∫ sin
0
A
π
a
xdx = 1
积分后有
A2 ⋅
所以归一化因子
a =1 2
A=
则归一化波函数为
2 a
( x ≤ 0, x ≥ a ) (0 ≤ x ≤ x )
⎧0 ⎪ ψ = ⎨ 2 − i Et π h sin x ⎪ e a ⎩ a
解⑵ 几率函数（几率密度） w ；
⎧0 ⎪ w( x) = ψ ( x, t ) = ⎨ 2 2 π sin x ⎪ a ⎩a
∂ψ p
或
i = − Eψ P ∂t h
记住后面要用。
ih
∂ψ p ∂t
= Eψ P
（ⅱ）
将（ⅰ）的两边对 x 求二次偏导，得到
∂ 2ψ p ∂x 2
=A
rr ∂ 2 Et − p ⋅r e ∂x 2
[
]
or
2
∂ψ p ∂x
∂ 2ψ p ∂x 2
=
i p xψ p h
− ih
∂ψ p ∂x
= p xψ p
dW = C Φ (r, t ) dτ
注：C 是比例常数， Φ 是复函数，且 Φ (r , t ) = Φ (r , t )e
三层含意：
iθ
2
（2.1）
——在某时刻在空间 dτ 范围内发现粒子的几率。且 Φ (r , t ) = Φ * (r , t )Φ (r , t ) ，由（2.1）得
2
w( x, y, z , t ) =
找到几率最大，求解并进行分析，可知 x=2/a 处到粒子的几率最大。 ⑶ x, x 的值。
2
x = ∫ xψ ( x, t ) dx =
2
−∞
∞
π a 2 a x sin 2 xdx = ∫ a 0 a 2
3
x 2 = ∫ x 2 ψ ( x, t ) dx =
2
∞
−∞
2 a 2 a3 a2 2 π x sin x dx = − a ∫0 a 3 2π 2
ψ p = Ae
i ( k ⋅r −ωt )
= Ae
i ( P⋅r − Et ) h
2.0
3． 一般情况下→波函数与哈密顿（Hamilton）量对应
H → ψ (r , t )
是微观粒子波粒二象性的表现。 （2） 波函数统计解释 * 1． 波恩对波函数的统计解释 （量子力学的基本原理之一） ——波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例 （3） 数学描述 1． 位置几率密度
dW 2 = C Φ (r.t ) dτ
2
（2.2）
——在 t 时刻在（x,y,z）点附近找到粒子的几率，叫位置密度。
∞
∫ dW = C ∫ Φ(r, t )
∞
dτ = 1
（2.3）
——在整个空间中粒子出现的几率，这称为波函数的归一化条件。 注： *重要的是相对几率，见曾谨言P27； **波函数的归一化条件相当于波函数的平方可积条件
量子力学基本假定之 一 是微观粒子波粒二象性的表现。
r
r
r
a
λ
=n
n=1,2,3……
Fig 2.1 经典波迭加
2
特点：①波迭加；②线性迭加；③有条件迭加。 （2） 量子力学中的态迭加原理 1． 两个量子态迭加 若 则 若
ψ 1 ，ψ 2 是微观体系的可能状态（以双狭缝为例，教材P14）
ψ = C 1ψ 1 + C 2ψ