高等几何试题及答案

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高等几何试卷及答案

《高等几何》考试试题A 卷(120分钟)一、填空题(2分⨯12=24分)1平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0)3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -24、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x5、方程065222121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-=x x x ,则原点的对应点 -317、求点)0,1,1(-关于二阶曲线054753323121232221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -19、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是底的交点自对应12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的:130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。

解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。

由两线束的方程有:1233,'x xx x λλ==。

将它们代入射影对应式并化简得,2122313320x x x x x x x +-+=此即为所求二阶曲线的方程。

三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。

(10分)证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ''I AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。

高等几何习题参考答案

高等几何综合练习题参考答案一、（1）椭圆；（2）三角形；（3）三角形内切椭圆的中心；（4）两个等面积的平行四边形；（5）三角形的重心；（6）面积比相同但不必相似的三角形；（7）不是三角形的垂心；（8）平行四边形。

二、（2）、（3）、（6）、（9）经中心射影后不变。

三、过点(,,),(0,,)a b c b c -的直线为12300x x x ab c bc =-，即12320,bcx acx abx --= 因为1110,a b c ++=所以0bc ca ab ++=，取点1(,1,1)2--代入直线方程，得0bc ca ab ++=，故此直线必过定点1(,1,1)2--。

四、取XYZ 为坐标三点形：(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),X Y Z 设(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(,,)A B C D P f g h ------，可以求得直线l 的方程为230gx hx -=，类似可以求出,m n 的方程。

五、只有恒等变换的群没有相应的几何学，理由是经过恒等变换图形的任何性质都没有改变，因为位置没有改变，就无法进行比较、推广，对任何图形都要一一研究，这是不可能的。

六、因无三点共线的五个点A,B,C,D,E 构成线束A(C,D,E)与B(C,D,E)的射影对应，由此三对对应直线唯一决定，故其对应线之交点唯一确定，因此唯一确定一条二次曲线。

其对偶命题为：非退化的二级曲线是由无三线共点的五条直线唯一决定。

七、设两个透视三点形111222,A B C A B C 的对应边的交点为L,M,N,非对应边之交点为123456,,,,,P P P P P P ,适当编排这六点的顺序，使这六点为定点的简单六点形之对应边交点为L,M,N ，因为L,M,N 共线，根据帕斯卡定理的逆定理知此六点形为二次曲线之内接六点形。

八、主轴为612110,220x y x y +-=--=。

高等几何练习题(附参考答案)

1.求一个二维射影变换，它使点（1,0,1）,（0,1,1）,（1,1,1）,（0,0,1）分别变为（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（1,1,1）。

2. 求通过点（1,0,1），（0,1,1），（0,-1,0）且以031=-x x ，032=-x x 为切线的二次曲线的方程。

3.已知一个一维射影变换的三对对应点的参数为：0→1/2，2→5/8，1→3/5，求出此射影变换的参数对应方程和自对应点的参数。

4.给定二次曲线C: 02223222121=++-x x x x x ， (1)求点P(1,1)关于二次曲线(C)的极线以及x 轴关于的二次曲线(C)极点。

(2) 判断二阶曲线(C)的类型，并求二阶曲线(C)的过点(1,0,0)的直径及其共轭直径。

5.设四直线4321,,,l l l l 的方程分别为,023,02321321=-+=+-x x x x x x,0721=-x x ,0531=-x x ，求),(4321l l l l 的值。

6. 一个一维射影对应，它使直线l 上的点)1(1P ，)2(2P，)3(3P 顺次对应直线l '上的点)1(1-'P ，)2(2-'P ，)3(3-'P，请写出该一维射影对应的非齐次表达式与齐次表达式。

7.求由两个射影线束031=-x x λ，032='-x x λ，12='+λλ所构成的二次曲线的方程。

8.已知二阶曲线c ：04228233231212221=+-++-x x x x x x x x x ，（1）此二阶曲线什么类型的？其中心是什么？（2）试求此二阶曲线的渐近线。

9.求一仿射变换，使直线x+2y-1=0上的每一个点都不变，且使点（1,－1）变为点（－1,2）。

1．（15分）解：所求变换式为：3132121111x a x a x a x ++='ρ 3232221212x a x a x a x ++='ρ 3332321313x a x a x a x ++='ρ （3分）将（1,0,1）→（1,0,0）,（0,1,1）→（0,1,0）,（1,1,1）→（0,0,1）,（0,0,1）→（1,1,1）代入上式可解得：1:1:1:1:0:1:1:1:0::::::::333231232221131211----=a a a a a a a a a （6分）∴所求变换式为：321x x x +-='ρ 312x x x +-='ρ 3213x x x x +--='ρ （6分）2.（15分）0222233332233113222221122111=+++++x a x x a x x a x a x x a x a过点（1,0,1） 02331311=++a a a过点（0,1,1） 02332322=++a a a过点（0,-1,0） 022=a （6分）02331311=++a a a ，023323=+a a ，022=a ， ∴02312=+a a ，)(33131311a a a a +-=+ （0,1,1）在曲线上，切线032=-x x ，0)()()(333232232211312=+++++x a a x a a x a a∴01312=+a a ，)(33232322a a a a +-=+∴曲线方程为023323121=+--x x x x x x x 。

高中几何体试题及答案大全

高中几何体试题及答案大全试题一：直线与平面的关系题目：在空间直角坐标系中，直线l过点A(1, 2, 3)且与向量(2, -1, 0)平行。

求证：直线l与平面x - 2y + z = 6平行。

答案：首先，直线l的参数方程可以表示为：\[ x = 1 + 2t, \quad y = 2 - t, \quad z = 3 \]其中\( t \)为参数。

接下来，将直线l的参数方程代入平面方程x - 2y + z = 6，得到：\[ (1 + 2t) - 2(2 - t) + 3 = 6 \]\[ 1 + 2t - 4 + 2t + 3 = 6 \]\[ 4t = 6 \]\[ t = \frac{3}{2} \]由于直线l的参数方程中，参数\( t \)可以取任意实数，而代入平面方程后，\( t \)有唯一解，这表明直线l与平面x - 2y + z = 6平行。

试题二：立体几何体积计算题目：一个正方体的边长为a，求其外接球的体积。

答案：正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长度，即：\[ 2R = a\sqrt{3} \]其中\( R \)为外接球的半径。

由此可得外接球的半径为：\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]球的体积公式为：\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \]代入\( R \)的值，得到正方体外接球的体积为：\[ V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 =\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2} \]试题三：圆锥曲线问题题目：已知椭圆的方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中a > b > 0。

求椭圆的焦点坐标。

答案：椭圆的焦点位于主轴上，根据椭圆的性质，焦点到椭圆中心的距离为c，满足以下关系：\[ c^2 = a^2 - b^2 \]假设焦点位于x轴上，焦点的坐标为\( (c, 0) \)和\( (-c, 0) \)。

《高等几何》习题答案

高几习题集及参考解答第一章仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。

∵T 保留简比不变，即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC 中，β=γ。

设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'，但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'，即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。

高等几何试题及答案

试卷类型： A高等几何使用专业年级考试方式：开卷（）闭卷（ √ ）共 6 页题号一二三四五六合计得分一、填空题（每小题4 分，共 20 分） 1、设 P 1 (1)， 2P (-1)， 3P ( )为共线三点，则 ( 1P 2P 3P ) 。

2、写出德萨格定理的对偶命题：。

3、若共点四直线 a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。

4、平面上 4 个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：。

5、二次曲线的点坐标方程为 4xx x 2 0，则其线坐标方程为是。

二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）1.下列哪个图形是仿射不变图形？ ( )A.圆B.直角三角形C.矩形D.平行四边形2. u 12 2u 1u 2 8u 22表示( ) A.以-1/4 为方向的无穷远点和以 1/2 为方向的无穷远点名姓号学班业专系1 3 2┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 线┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 封┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ 密┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉ ┉B. 以-4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点C. 以4 为方向的无穷远点和以-2 为方向的无穷远点D. 以 1/4 为方向的无穷远点和以-1/2 为方向的无穷远点3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？ ( )A.一次B.两次C.三次D.四次4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有 ( )：A. 三角形的垂心B. 梯形C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆5.二次曲线按射影分类总共可分为( )A.4 类B.5 类C.6 类D.8 类三、判断题（每小题 2 分，共 10 分）1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。

（）2.两直线能把射影平面分成两个区域。

（）3.当正负号任意选取时，齐次坐标(1,1,1)表示两个相异的点。

高等几何试题及答案

高等几何试题及答案试题一：已知三角形ABC中，AB = AC，D为BC边中点，AD的延长线交BC于点E，且DE = DC。

证明：∠ABC = ∠ACD。

解析：首先，根据已知条件可得到以下几个等式：AB = ACDE = DC我们需要证明∠ABC = ∠ACD。

为了证明这个等式，我们可以利用三角形的相似性。

设∠ABC = α，∠ACD = β。

根据三角形ABC中的角度和为180°，我们可以得到∠BAC = 180°- 2α。

同样地，根据三角形ACD中的角度和为180°，我们可以得到∠CAD = 180° - 2β。

接下来，我们分别观察三角形ABD和三角形ACD。

在三角形ABD中，根据角度和的性质可得∠BAD = 180° - ∠BDA - ∠ABD = 180° - (180° - 2α) - α = α。

同时根据三角形ABD中的角度和为180°，我们可以得到∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = α。

在三角形ACD中，根据角度和的性质可得∠CAD = 180° - ∠CDA - ∠ACD = 180° - (180° - 2β) - β = β。

同时根据三角形ACD中的角度和为180°，我们可以得到∠ACD = 180° - ∠ACD - ∠ACD = β。

由于 DE = DC，根据等腰三角形的性质可知三角形ACD和三角形CDE相似。

因此，我们可以得到以下等式：AC/CD = CD/DEAC/BC = BC/DC将已知条件代入上述等式，得到：AB/BC = BC/DCAB = AC由于 AB = AC，且 BC = BC，根据全等三角形的性质可知三角形ABC和三角形ACD全等。

因此，我们可以得到∠ABC = ∠ACD。

综上所述，已证明∠ABC = ∠ACD。

高等几何测试题及答案

高等几何测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在三维空间中，以下哪个几何体的体积是最小的？A. 正方体B. 球体C. 圆柱体D. 圆锥体答案：D2. 以下哪个定理是关于直线与平面关系的？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 毕达哥拉斯定理D. 欧拉定理答案：B3. 在欧几里得几何中，以下哪个图形是不可测量的？A. 线段B. 角度C. 面积D. 体积答案：B4. 以下哪个几何概念与曲面的曲率有关？A. 向量B. 张量C. 标量D. 矢量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个球体的表面积公式是_______。

答案：4πr²2. 一个圆柱体的体积公式是_______。

答案：πr²h3. 欧拉特征数对于一个球体的值是_______。

答案：24. 一个圆锥体的侧面积公式是_______。

答案：πrl三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在三维空间中，任何两个不同平面的交线都是一条直线。

答案：略2. 解释并证明高斯-博内定理在曲面上的适用性。

答案：略四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算半径为3的球体的体积。

答案：4/3π(3)³ = 36π2. 计算底面半径为4，高为5的圆柱体的表面积。

答案：2π(4)² + 2π(4)(5) = 32π + 40π = 72π结束语：以上为高等几何测试题及答案，希望同学们通过这些题目能够更好地理解和掌握高等几何的基本概念和定理。

《高等几何》考试练习题及参考答案

《高等几何》考试练习题及参考答案一、单选题1. 菱形的仿射对应图形是()A 、菱形B 、平行四边形C 、正方形D 、不等边四边形答案：B2. 圆经过中心射影之后的对应图形是()A 、圆B 、椭圆C 、二次曲线D 、二共点直线答案：C3. 射影平面上所有射影变换的集合构成群，称为射影变换群，它是()A 、8维群B 、6维群C 、4维群D 、3维群答案：A4. 正六边形经过中心射影后的对应图形是()A 、正六边形B 、二次曲线C 、二平行直线D 、内接于二次曲线的六边形答案：D5. 在射影平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B6. 欧式平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，它是()A 、3维群B 、4维群C 、6维群D 、8维群答案：A7. 双曲型曲线与无穷远直线的关系是()A 、相交B 、相切C 、相离D 、相割答案：A8. 下面属于欧式几何学的是()A 、梯形B 、离心率C 、重心D 、塞瓦定理和麦尼劳斯定理答案：B9. 直角三角形经过中心射影后的对应图形是()A 、三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、四边形答案：A10. 共点的直线经过中心射影之后的对应图形是()A 、二直线B 、二垂直直线C 、共点的直线D 、二平行直线答案：C11. 在射影平面上二阶曲线可共分为（）类.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：D12. 双曲线有几条主轴？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B13. 已知两点A(2,-1,1),B(3,1,-2),下列哪一个点与它们共线？()A 、(7 ，-1 ，0)B 、（7 ，-1 ，1)C 、（5 ，0 ，2)D 、（0 ，0 ，1）答案：A14. 等腰梯形的仿射对应图形是：()A 、等腰梯形B 、梯形C 、四边形D 、平行四边形答案：B15. 对于非恒等二维射影变换下列说法错误的是()A 、是非奇线性对应B 、保持共线四点的交比不变C 、不变直线不能超过三条D 、不共线的不变点至多有三个答案：C16. 下列哪些图形具有射影性质？()A 、平行直线B 、三点共线C 、两点间的距离D 、两直线的夹角答案：B17. 圆的仿射对应图形是：()A 、梯形B 、四边形C 、椭圆D 、平行四边形答案：C18. 矩形的仿射对应图形是：()A 、四边形B 、平行四边形C 、梯形D 、圆答案：B19. 下列名称或者定理不属于仿射几何学的是A 、三角形的垂心B 、梯形C 、在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D 、椭圆答案：A二、判断题1. 一维基本形间的射影对应不保持对应四元素的交比. ()A 、正确B 、错误答案：错误2. 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形()A 、正确B 、错误答案：错误3. 射影平面的不共点三直线将平面分成四部分.()A 、正确B 、错误答案：正确4. 一个角的内外角平分线调和分离角的两边()A 、正确B 、错误答案：正确5. 共线三点的单比经中心射影后不变. ()A 、正确B 、错误答案：错误6. 二直线所成角度是相似群的不变量.()A 、正确B 、错误答案：正确7. 射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分. ()A 、正确B 、错误答案：错误8. 三点形经中心射影之后还是三点形.()A 、正确B 、错误答案：正确9. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合. ()A 、正确B 、错误答案：正确10. 在仿射变换下，等腰三角形的对应图形是三角形. ()A 、正确B 、错误答案：正确11. 仿射变换的基本不变量是单比. ()A 、正确B 、错误答案：正确12. 抛物线有一对主轴. ()A 、正确B 、错误答案：错误13. 三角形的垂心属于仿射几何学的范畴()A 、正确B 、错误答案：错误14. 在仿射变换下，正方形的对应图形是正方形.()A 、正确B 、错误答案：错误15. 共线点的极线必共点，共点线的极点必共线()A 、正确B 、错误答案：正确16. 椭圆和双曲线的四个焦点中有二实点二虚点.()A 、正确B 、错误答案：正确17. 配极变换是一种非奇线性对应，()A 、正确B 、错误答案：正确18. 两个三角形的面积之比是仿射不变量. ()A 、正确B 、错误19. 德萨格定理属于射影几何学的范畴. ()A 、正确B 、错误答案：正确20. 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数. ()A 、正确B 、错误答案：正确21. 菱形的仿射对应图形是四边形. ()A 、正确B 、错误答案：错误22. 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应. ()A 、正确B 、错误答案：错误23.A 、正确B 、错误答案：正确24. 两个不同的无穷远点所决定的直线上可以含有有穷远点.()A 、正确B 、错误答案：错误三、名词解释1. 图形的仿射性质答案：图形经过任何仿射变换后都不变的性质称为图形的仿射性质.2. 二次曲线的直径答案：无穷远点关于二次曲线的有穷极线称为此二次曲线的直径.3. 二次曲线的中心答案：无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心.4. 配极原则答案：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点.5. 二阶曲线答案：在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线.6. 二次曲线的渐近线答案：二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的渐近线.7. 对偶原则答案：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.8. 完全四点形答案：由四个点（其中无三点共线）以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形.四、问答题1. 下列图形的仿射对应图形是什么？（1）圆；（2）等腰三角形；（3）三角形的内心；（4）两个合同的矩阵；（5）三角形的重心；（6）相似三角形；（7）三角形的垂心；（8）矩形。

大学几何学考试题及答案

大学几何学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在欧几里得几何中，下列哪个命题不是欧几里得的公理之一？A. 直线可以无限延伸B. 任何两个点可以通过一条直线连接C. 所有直角都相等D. 任何一条直线可以绕其上一点旋转360度答案：D2. 如果一个三角形的三个内角之和不是180度，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 非欧几里得三角形答案：D3. 在一个正方形中，对角线的长度与边长的比例是：A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A4. 下列哪个几何形状具有无限多的对称轴？A. 圆形B. 正方形C. 等边三角形D. 长方形答案：A5. 如果一个几何体的顶点数是V，面数是F，边数是E，那么欧拉公式是：A. V + F = EB. V - E + F = 1C. E = V + FD. F = V - E答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 在一个正六边形中，每个内角的度数是______。

答案：120°7. 勾股定理的数学表达式是：在直角三角形中，直角边的平方和等于______。

答案：斜边的平方8. 一个球体的体积公式是V = (4/3)πr³，其中r是球体的______。

答案：半径9. 如果一个几何体的顶点数是8，面数是6，那么根据欧拉公式，它的边数是______。

答案：1210. 在笛卡尔坐标系中，两点之间的距离公式是 d = √[(x₂ -x₁)² + (y₂ - y₁)²]，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是这两点的坐标。

如果这两点的坐标相同，那么它们之间的距离是______。

答案：0三、解答题（共75分）11. （15分）证明：在一个圆中，垂直于弦的直径平分这条弦。

证明：设圆心为O，弦为AB，直径为CD，其中C为AO的中点，D为BO的中点。

我们需要证明AD = BD。

由于C和D分别是AO和BO的中点，根据中点定理，AC = CD = BD。

高等几何试题及答案

高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是欧几里得几何的公理？A. 两点之间线段最短B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 任意两条直线都相交D. 圆的周长与直径的比值是一个常数答案：B2. 球面上的最短路径是：A. 直线B. 曲线C. 大圆D. 任意路径答案：C3. 以下哪个定理是球面几何中的定理？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 球面三角形的内角和大于180度D. 三角形内角和等于180度答案：C4. 以下哪个选项是双曲几何的特征？A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行C. 过直线外一点没有直线与已知直线平行D. 过直线外一点有一条直线与已知直线平行答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得几何中，一个平面上任意两个点确定一条________。

答案：直线2. 球面几何中，球面上的两点之间的最短路径称为________。

答案：大圆3. 在双曲几何中，过直线外一点可以画出________条直线与已知直线平行。

答案：无数4. 根据球面几何的性质，球面上的三角形内角和________180度。

答案：大于三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在球面几何中，任意两个大圆的交点最多有两个。

证明：假设球面上有两个大圆A和B，它们相交于点P和Q。

如果存在第三个交点R，则R必须位于大圆A和B上。

由于大圆A和B是球面上的最短路径，它们在球面上的交点必须是球面上的最短路径的端点，因此R不可能存在。

因此，任意两个大圆的交点最多有两个。

答案：证明完毕。

2. 已知球面上的三角形ABC，其内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°+ε，其中ε为正数。

求证：三角形ABC的边长之和小于球面上的任意其他三角形的边长之和。

证明：设球面上的任意其他三角形为DEF，其内角分别为α'、β'、γ'。

高等几何习题和答案

Desargues透视定理
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题
习题 1.6.1 设直线 AB与CD交于U, 直线 AC 与 BD 交于V, 直线 UV 分别交AD, BC 于 F, G, 直线 BF交AC于L . 证明: 三直线 LG, CF, AU 共点.
C
A L F V D E G
U
B
证法二设 GL×UA=E, 我们只需证明C, E, F 三点共线. 由三点形GBL与UDA有透视中心 V, 得对应边的交点 C, E, F 三点共线, 即 LG, CF, AU 共点.
证法三解析方法(略).
习题P58-1.6.2 已知射影平面上一条直线p以及不在p上的相异
两点 A,B, 不允许连结AB, 求作直线AB与p的交点C p
A
B
b, c, d为平面内四条直线, 不允许作a, b交点
和 c, d 交点, 求作一条直线 l, 使得l 通过这两个交点. ξ O η γ B C C’ B’ D E Q c
Desargues透视定理
二、应用举例
1、证明共线点与共点线问题
C
A L F V D E G
习题 1.6.1 设直线 AB与CD交于U, 直线 AC 与 BD 交于V, 直线 UV 分别交AD, BC 于 F, G, 直线 BF交AC于L . 证明: 三直线 LG, CF, AU 共点.
U
B
证法一考察三点形LFA与GCU, 因为 LF×GC=B,FA×CU=D, AL×UG=V, 而显然 B,D,V 三点共线, 所以这一对对应三点形满足 Desaugues 透视的定理的逆定理的条件, 其对应顶点的连线 LG, CF, AU必定共点.
A’

最完整高等几何习题解答(最全版)

高等几何习题解答习题一1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。

于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。

解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。

11L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。

22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM通过AB 上一定点S 。

1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程(3,5,1)a =- (0,1,0)b = 1,0)c =-答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=⨯y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=⨯z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=⨯x z 059321=--x x x1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=⨯ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=⨯ξη0321=-+ξξξ),1,4,4(-=⨯ξζ044321=-+ξξξ1.5 如果直线,ξ,η,ζϕ的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x,0321=++x x x 求直线)()(ϕζηξ⨯⨯⨯的方程和坐标。

高等几何试题及答案

高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为Ax+By+C=0，直线m的方程为Dx+Ey+F=0，若l与m平行，则以下哪个条件成立？A. A/D = B/E ≠ C/FB. A/D = B/E = C/FC. A/D = B/E ≠ C/FD. A/D ≠ B/E = C/F答案：A2. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β垂直，则以下哪个条件成立？A. AE + BF + CG = 0B. AE + BF + CG ≠ 0C. AE + BF + CG = D + HD. AE + BF + CG = D - H答案：A3. 已知点P(x1, y1, z1)在平面α：Ax+By+Cz+D=0上，则以下哪个条件成立？A. Ax1+By1+Cz1+D=0B. Ax1+By1+Cz1+D≠0C. Ax1+By1+Cz1+D>0D. Ax1+By1+Cz1+D<0答案：A4. 已知直线l的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、c为直线的方向向量，若直线l与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则以下哪个条件成立？A. Aa+Bb+Cc=0B. Aa+Bb+Cc≠0C. Aa+Bb+Cc=DD. Aa+Bb+Cc=-D答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线m的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若l与m相交，则它们的交点坐标为__________。

答案：（(BF-CE)/(AF-CD), (AG-CF)/(AF-CD), (AE-BF)/(AF-CD)）6. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β相交，则它们的交线方程为__________。

答案：(Ax+By+Cz+D)(EF-GH) - (Ex+Fy+Gz+H)(AF-CD) = 07. 已知点P(x1, y1, z1)到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则d=__________。

高等几何_习题集(含答案)

《高等几何》课程习题集一、计算题11. 设点A （3，1，2），B （3，-1，0）的联线与圆x 2+y 2－5x －7y ＋6=0相交于两点C 和D ，求交点C ，D 及交比（AB ，CD ）。

2. 将一维笛氏坐标与射影坐标的关系：,0(1)x x αβλαδγβγδ+=-≠+以齐次坐标表达。

3. 求射影变换11221231234,63,(1)x x x x x x x x x x ρρρ'=-⎧⎪'=-⎨⎪'=--⎩的二重元素。

4. 试求四直线2x －y+1=0,3x+y －2=0, 7x －y=0,5x －1=0顺这次序的交比。

5. 已知线束中的三直线a ，b ，c 求作直线d 使（ab ，cd ）=－1。

6. （i ）求变换：x'=21x x -，y'=21yx -的二重点。

（ii ）设O 为原点，P 为直线x=1上任一点，m'为直线OP 上一点M 的对应点，求交比（OP ，MM'）；（iii ）从这个交比得出什么结论？解出逆变换式以验证这结论。

7. 设P 1，P 2，P 4三点的坐标为（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P 1P 2, P 3P 4）=2，求点P 3的坐标。

8. 在直线上取笛氏坐标为 2，0，1的三点作为射影坐标系的A 1,A 2, E (i)求此直线上任一点P 的笛氏坐标x 与射影坐标λ的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？9. 直线上顺序四点A 、B 、C 、D 相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。

10. 设点列上以数x 为笛氏坐标的点叫做x ，试求一射影对应，使点列上的三点1,2,3对应于点列上三点0,3,2；11. 从变换式112321233123,,(1)x x x x x x x x x x x x ρρρ'=-++⎧⎪'=-+⎨⎪'=+-⎩求出每一坐标三角形的三边在另一坐标系下的方程 12. 求四点(2，1，－1),(1，－1，1),(1，0，0),(1，5，－5)顺这次序的交比。

高中几何试题及答案

高中几何试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为8，则点P与圆的位置关系是：A. 点P在圆内B. 点P在圆上B. 点P在圆外D. 不能确定2. 三角形ABC中，若∠A=60°，AB=AC=6，求BC的长度：A. 4√3B. 6C. 8D. 103. 已知直线l的斜率为2，且经过点(1,3)，求直线l的方程：A. y = 2x - 1B. y = 2x + 1C. y = -2x + 3D. y = -2x - 14. 一个正方体的体积为27，求其表面积：A. 54B. 27C. 9D. 365. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a=6，b=4，求椭圆的焦点坐标：A. (±2,0)B. (0,±2)C. (±3,0)D. (0,±3)二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知三角形ABC的三边分别为a, b, c，且a² + b² = c²，根据勾股定理，三角形ABC是_________三角形。

7. 已知点A(-3,4)和点B(0,-1)，线段AB的中点坐标为_________。

8. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，圆锥的体积公式为V =1/3πr²h，若r=3，h=4，则圆锥的体积为_________。

9. 已知平面直角坐标系中，点P(x,y)到原点O(0,0)的距离公式为d = √(x² + y²)，若P(3,4)，则d =_________。

10. 已知圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，若圆心在(2,-3)，半径为5，则圆的方程为_________。

三、解答题（共75分）11. 已知圆的方程为(x-3)² + (y+2)² = 25，求圆上任意一点到直线4x - 3y + 6 = 0的距离的最大值和最小值。

大学几何学考试题及答案

大学几何学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是欧几里得几何的公理？A. 两点之间可以画一条直线B. 所有直角都相等C. 两点确定一条直线D. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短答案：C2. 在平面几何中，一个三角形的内角和是多少？A. 180度B. 360度C. 90度D. 270度答案：A3. 以下哪个几何图形是中心对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案：A4. 一个圆的面积公式是？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πrD. A = 4πr²答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个圆的周长公式是______。

答案：C = 2πr2. 如果一个矩形的长是10cm，宽是5cm，那么它的面积是______平方厘米。

答案：503. 在直角坐标系中，点(3,4)关于x轴的对称点的坐标是______。

答案：(3,-4)4. 一个正方体的体积公式是______。

答案：V = a³三、简答题（每题10分，共30分）1. 什么是勾股定理？请给出其公式并解释其意义。

答案：勾股定理是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

公式为a² + b² = c²，其中a和b是直角边，c是斜边。

这个定理说明了在直角三角形中，边长之间的关系。

2. 描述一下什么是相似三角形，并给出相似三角形的性质。

答案：相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边的比例相等的三角形。

相似三角形的性质包括：对应角相等，对应边成比例，以及面积比等于对应边长比的平方。

3. 解释一下什么是圆的切线，并给出切线的性质。

答案：圆的切线是指在圆上某一点处与圆相切的直线。

切线的性质包括：切线与过该点的半径垂直，且在切点处只有一个切线。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个半径为5cm的圆，求其周长和面积。

高等几何试题(1)

《高等几何》试题（１）1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1）的象为原点.(51')2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01')3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01')4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的值.(8')6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21')7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01')8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01')9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01')《高等几何》试题（２）1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51')2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01')4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ，01=x ，且=),(4321l l l l 32-，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01')6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应. (01')7.求两对对应元素,其参数为121→,0→2,所确定对合的参数方程. (01')8.两个重叠一维基本形B A B A λλ'++,成为对合的充要条件是对应点的参数λ与λ'满足以下方程:)0(0)(2≠-=+'++'b ad d b a λλλλ (51')《高等几何》试题（３）1. 求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51')2. 求椭圆的面积.(01')3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01')4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51')5. 已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ，01=x ，且=),(4321l l l l 32-，求2l 的方程.(51') 6. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. (51') 7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (02')[2005—2006第二学期期末考试试题] 《高等几何》试题（A ）一、填空题（每题3分共15分）1、是仿射不变量，是射影不变量2、直线30x y +=上的无穷远点坐标为3、过点（1,i,0）的实直线方程为4、二重元素参数为2与3的对合方程为5、二次曲线22611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程二、判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线（）三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1，2）四、（8分）求证:点 (1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s使,(1,2,3)i i i c ta sb i =+=五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/324x x x +=+证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。

华中师大《高等几何》练习题库及答案

华中师大《高等几何》练习题库及答案《高等几何》练习题库及答案一、填空题1．欧几里得的《几何原本》一书共计卷，其中存有条公理，条公设。

2．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、、、等四个方面组成的。

3．绝对几何学的公理体系就是由四组，，条公理形成的。

4．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x时，其对应的平行角?连续递减。

5．罗氏平面上直线的相互位置有三种可能，即、、。

6．斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是。

7．两个射影点列成透视对应的充要条件是。

8．欧氏平面上添加了后，成为仿射平面。

9．共线4点a,b,c,d，若满足用户，则表示点对a,b与点对c,d能斯脱调和共轭。

10．平面内两点i(1,i,0),j(1,?i,0)称作平面内的。

11．希尔伯特提出几何公理系统的三个基本问题是、、。

12．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x连续递增时，其对应的平行角?。

13．球面三角形的三角和常小于而大于。

球面三角形中两角和减去第三角常小于。

14．射影转换t就是闭集的充要条件就是。

15．射影转换的基本不变量就是。

16．共线4点a,b,c,d，若满足(ab,cd)??1，则称点对a,b与点对c,d互成。

17．平面内两点、称为平面内的圆点。

18．几何学公理法从开始到形成，大体经历了阶段。

19．《几何原本》被认为是用建立的几何学。

20．欧几里得第五公设描述为：21．希尔伯特于1899年刊登了知名的著作《》，这部书被看做就是几何基础研究的经典著作。

22．《几何原本》被指出就是用古典公理法创建的几何学，这本书的作者就是。

23．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理描述为24．罗氏平面上三角形内角和二直角。

25．球面三角形的内角和大于，小于。

26．布里安香定理描述为。

27．欧氏直线上嵌入了后，沦为向量丛直线。

28．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是。

29．通过圆点的任意虚直线称为。

30．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是.131．两共轭虚直线的交点为，两共轭虚点的连线为。

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