矩阵初等变换与秩
矩阵求秩方法
矩阵求秩方法
求矩阵的秩是线性代数中常见的问题,以下是关于矩阵求秩的10条方法及其详细描述:
1. 奇异值分解法:通过对矩阵进行奇异值分解,将矩阵变换为一个对角矩阵,其中非零元素的个数即为矩阵的秩。
2. 初等变换法:利用矩阵的初等行(列)变换,将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵,其中非零行的个数即为矩阵的秩。
3. 极大线性无关组法:通过逐步选择矩阵中的列,构建一个极大线性无关组,其中向量的个数即为矩阵的秩。
4. 秩-零空间法:矩阵的秩与其零空间的维数之和为矩阵的列数。
可以通过计算矩阵的零空间 (null space) 的维数来求解矩阵的秩。
5. 行列式法:矩阵的行列式非零的最大子阵的阶数就是矩阵的秩。
6. 直接检验法:将矩阵转换为梯形矩阵或行阶梯矩阵,其中非零行的个数即为矩阵的秩。
7. 特征值法:矩阵的秩等于其特征值不为零的个数。
8. 与单位矩阵求秩法:通过将矩阵与单位矩阵进行连接,得到一个增广矩阵,进而将其化简为行简化阶梯型矩阵,其中非零行的个数即为矩阵的秩。
9. Gauss-Jordan消元法:通过高斯消元法和高斯约当消元法将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵,其中非零行的个数即为矩阵的秩。
10. 极大线性无关组与生成组比较法:利用极大线性无关组与生成组的关系来求解矩阵的秩,其中生成组的个数等于矩阵的秩。
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组问题1:矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系?答:对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价,而等价的矩阵有相同的等价标准型,从而有相同的秩。
换言之,对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质,可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形,阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2: 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系?答:齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解:当n A r =)(时,只有零解;当n A r <)(时,有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况,有解时分有唯一解还是无穷多解:b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下:b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解;b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3:已知A 是n m ⨯矩阵,B 是s n ⨯矩阵,且O AB =,证明:.)()(n B r A r ≤+ 分析:由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系,因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明:将B 按列分块),...,,(21s b b b B =,则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之,B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解,即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示,设r A r =)(,则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21,故)()(A r n B r -≤,从而.)()(n B r A r ≤+问题4:设非齐次线性方程组b Ax =,其中A 是n m ⨯矩阵,则b Ax =有唯一解的充要条件是( )(A) n A r =)~(;(B)n A r =)(;(C)m A r =)~(;(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析:n m ≠,故Crame 法则失效;(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解;若1)(-=n A r ,无解。
矩阵的秩与初等变换
对于 n 阶矩阵 A,当 |A|≠0 时 R(A)=n, |A|=0 时 R(A)<n。
当 R(A)=r时,即 A 中所有的 r+1 阶子式全等于 0,则A中 所有高于 r+1 阶的子式 = ?
这些子式必0 的子式的最高阶数。
在 B 中总能找到与D相对应的 r 阶子式 D1,且有 D1=D 或 D1 = -D 或 D1 = kD,
因此 D1≠0,从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。
由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立,故只需证明 把第二行的某个倍数加到第一行时,秩不减即可。
即经过一系列初等行变换后,有
重复以上的作法。如果原来矩阵 A中第一列的元素全为零, 那么就依次考虑它的第二列元素,等等。
如此作下去直到变成行阶梯形为止。 上边的叙述可按归纳法给予严格的证明。
定理:初等变换不改变矩阵的秩。 证明:先证明若 A 经一次初等行变换变为 B,则 R(A) ≤ R(B); 设 R(A)=r,且 A 的某个 r 阶子式 D≠0。 1) 对交换两行与把某一行乘以非0常数k的初等变换,比如
注意行阶梯形矩阵与上三角矩阵的关系。
二 初等变换与矩阵秩的求法
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(i) 对调两行(对调 i, j 两行,记作
);
(ii) 以数 k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,记作ri×k);
(iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去
(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作
R(A) ≤R(B).
又注意到 B 亦可经由一次初等行变换变为 A,故 R(B) ≤ R(A),
矩阵的初等变换与矩阵的秩
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中,1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A,且 A 0,
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 等价,记作 A B. 等价关系的性质: (1) 反身性 A A;
(2)对称性 若 A B ,则 B A; (3)传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n),位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式,
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
,
则
2 4
3 7
5 ,3 17
-5 1
-2 4
1 3 0 12 0 2 -5 -2 ,2 3 -2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
矩阵的秩及初等变换
1 2
3
4 1 2
( B1 )
2 3 4
3 21 31
3
4
( B2 )
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行(对调 i , j 两行, 记作ri rj); 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj) .
显然,非零行的行数为2,
R A 2.
此方法简单!
四、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题:经过变换矩阵的秩变吗?
定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
证 先证明:若A经一次初等行变换变为B, 则R( A) R( B ).
4 2 B 1 2 9
2 r2 r31 1 1 1 2 1 r3 22 r1 0 B1 0 3 5 1 r4 32 r1 3 0 9 6 3
1 2 4 1 1 2 2 2 1 5 2 3 7 3 9 4
2
变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式, 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.
矩阵求秩的方法
矩阵求秩的方法
求矩阵的秩的几种方法:
1、通过对矩阵做初等变换(包括行变换以及列变换)化简为梯形矩阵求秩。
此类求解一般适用于矩阵阶数不是很大的情况,可以精确确定矩阵的秩,而且求解快速比较容易掌握。
2、通过矩阵的行列式,由于行列式的概念仅仅适用于方阵的概念。
通过行列式是否为0则可以大致判断出矩阵是否是满秩。
3、对矩阵做分块处理,如果矩阵阶数较大时将矩阵分块通过分块矩阵的性质来研究原矩阵的秩也是重要的研究方法。
此类情况一般也是可以确定原矩阵秩的。
4、对矩阵分解,此处区别与上面对矩阵分块。
例如n阶方阵A,R分解(Q为正交阵,R为上三角阵)以及Jordan分解等。
通过对矩阵分解,将矩阵化繁为简来求矩阵的秩也会有应用。
5、对矩阵整体做初等变换(行变换为左乘初等矩阵,列变换为右乘初等矩阵)。
此类情况多在证明秩的不等式过程有应用,技巧很高与前面提到的分块矩阵联系密切。
扩展资料:
矩阵的秩是线性代数中的一个概念。
在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。
通常表示为r(A),rk(A)或rank A。
在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。
类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组问题1:矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系?答:对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价,而等价的矩阵有相同的等价标准型,从而有相同的秩。
换言之,对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质,可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形,阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2: 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系?答:齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解:当n A r =)(时,只有零解;当n A r <)(时,有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况,有解时分有唯一解还是无穷多解:b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下:b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解;b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3:已知A 是n m ⨯矩阵,B 是s n ⨯矩阵,且O AB =,证明:.)()(n B r A r ≤+ 分析:由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系,因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明:将B 按列分块),...,,(21s b b b B =,则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之,B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解,即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示,设r A r =)(,则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21,故)()(A r n B r -≤,从而.)()(n B r A r ≤+问题4:设非齐次线性方程组b Ax =,其中A 是n m ⨯矩阵,则b Ax =有唯一解的充要条件是( )(A) n A r =)~(;(B)n A r =)(;(C)m A r =)~(;(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析:n m ≠,故Crame 法则失效;(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解;若1)(-=n A r ,无解。
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等行(列)变换:(1) 交换第i 行(列)和第j 行(列);(2) 用一个非零常数乘矩阵某一行(列)的每个元素;(3) 把矩阵某一行(列)的元素的k 倍加到另一行(列).对矩阵施行初等变换时,由于矩阵中的元素已经改变,变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等,所以在表达上不能用等号,而要用箭号"→".例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵.3.2 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵.概括起来,初等矩阵有3类,分别是(1)交换第行和第i j 行(交换第列和第i j 列)⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E(2)用常数λ乘第行(i λ乘第i 列)⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E (3)第i 行的k 倍加到第j 行(第j 列的k 倍加到第列) i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然,初等矩阵都可逆,其逆矩阵仍是初等矩阵,且有),(),(1j i E j i E =−;⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ; ))(())((1k ij E k ij E −=−.初等矩阵与初等变换有着密切的关系:左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换.例如要将矩阵的第1行和第3行交换,则左乘一个初等矩阵A )3,1(E :⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a . 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换.例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E .则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(;B E E AE B =321)(;B A E E EC =123)(;B E E AE D =123)(.例3 设是3阶可逆矩阵,将的第1行和第3行对换后得到的矩阵记作.A AB (1) 证明可逆;B (2) 求. 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ,是否存在可逆矩阵P ,使得B PA =?若存在,求P ;若不存在,说明理由.例5 设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得C ,A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛1000011103.3 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到,则称矩阵和等价.A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系,它具有如下性质:(1) 反身性:任何矩阵和自己等价;(2) 对称性:若矩阵和矩阵等价,则矩阵和A B B矩阵也等价;A (3) 传递性:若矩阵和矩阵等价,矩阵和矩阵C 等价,则矩阵和矩阵C 等价.A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形. 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价.其中r E 是r 阶单位矩阵.这个r 是一个不变量,它就是矩阵的秩.任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21",和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21=⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E . 令P =,Q =11P P P s s "−t Q Q Q "21,于是对任意的矩阵,总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得PAQ =⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E .例6 设阶矩阵与等价,则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时,a B =.(B) 当)0(≠=a a A 时,a B −=. (C) 当0≠A 时,0=B . (D) 当0=A 时,0=B .3.4 矩阵的秩在矩阵中,任取n m ×A k 行k 列,位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式,称为矩阵的一个A k 阶子式.若矩阵中有一个A r 阶子式不为零,而所有1+r 阶子式全为零,则称矩阵的秩为A r .矩阵的秩记作.A )(A r 零矩阵的秩规定为零.显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零;中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零.若n 阶方阵,有A n A r =)(,则称是满秩方阵. A 对于n 阶方阵, A 0)(≠⇔=A n A r .矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩. 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩, 2≥n .例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ,已知3)(=A r , 求.b a , 常用的矩阵的秩的性质: (1);)()(T A r A r =(2))()()(B r A r B A r +≤+;(3)))(),(min()(B r A r AB r ≤,(4))()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛; (5))()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛;(6)若0=AB ,则n B r A r ≤+)()(,其中n 为矩阵的列数.A (7)若可逆,则A )()(B r AB r =(8)若列满秩,则A )()(B r AB r =(9)若行满秩,则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵,满足n E AB A =−22,求=+−)(A BA AB r ?例11 设是矩阵,A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求.)(AB r 例12 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ,是3阶非零B 矩阵,且满足0=AB ,则4)(=t A 时,的秩必为1;B 4)(=t B 时,的秩必为2;B 4)(≠tC 时,的秩必为1;B 4)(≠t D 时,的秩必为2.B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵,且满足n 0=AB , 则A 和的秩B)(A必有一个等于零; )(B都小于n ; )(C一个小于n ,一个等于; n )(D 都等于n .例14 设是矩阵,B 是A n m ×m n ×矩阵,若 m n < 证明:0=AB .例15 设是2阶方阵,已知A 05=A ,证明. 02=A3. 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211, 记的代数余子式为,令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵.因此,若A ()ij a A =,则 ()T ij A A =*.伴随矩阵的基本关系式:E A A A AA ==**. *11A A A =−,或 1*−=A A A . 1*−=n A A .⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ,求的伴随矩阵. A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =? 例18 设是3阶矩阵,A 21=A ,求*12)3(A A −−. 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ,且E XA AXA 311+=−−,求X .。
矩阵的秩和初等变换.
本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换,
并提出求秩的有效方法.
再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解
的充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方程
组的方法.
内容丰富,难度较大.
1矩阵的秩
2矩阵的初等变换
3用初等变换求矩阵的秩
4线性方程组与矩阵的初等变换
一.矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A中任取k行与 k 列(k m, k n) , 位于这些行列交叉处k2 个元素不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式.
下面的定理对此作出肯定回答.
定理 1:初等变换不改变矩阵的
秩
(即若 A B , 则 R( A) R(B) .)
初等变换求矩阵秩的方法:
把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵,
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例2
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413求矩阵 A的秩 .
1 0 0
1 0 0
1 1 0
0 03
B1
可见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
由前例可知,对于一般的矩阵当行数与列数较高 时,按定义求秩是很麻烦的. 对于行阶梯形矩阵, 它的秩就等于非零行的行数。
因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.
可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
但两个等价矩阵的秩是否相等?
定义 3 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
()对调两行(对调 i , j两行记作 ri rj ) ; ( )以数 k o 乘某一行中所有元素(第 i 行乘 k ,记
第六节 利用初等变换求矩阵的秩
2 ~ 0
0
1 1 0
2 1 0
3 1
1 ~ 017
0 0
0 1 0
1
2 1
0
1
1
0
返回
1,
为向量组的一个最大无
2
关组,
且3
1 2
1
2,4
1
2
18
返回
1 0
0 1
1
3 2
0 0
16
9 1
3
9
0 0
0 0
0 0
1 0
1 3
0
1 0 0 0 0
~
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
E3
0
0 0
0 0 0 0 0 此阵叫做A的标准形.
14
返回
(1)若矩阵Amn的秩为r(r>0),则
Amn~ I
Er
0
0 0 mn
I 称为A的标准形,其中Er为r阶单位阵
3 2 5 4 0 1 2 0 0 1 3
0 0 0 0
5 0 0 0
2 0 0 0
3 4 0 0
3 0 0 0
0 7 0 0
0 0 0
4 2 0
3 0 0
0 4 0
5 3 5
A 经有限次行变换 B (行阶梯形)
初等变换求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形
矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩 阵的秩.
(2)若A~B,则R(A)=R(B),从而A与B有相同的
标准形.
a11
(3)设方阵
A
a1n ,若A为可逆阵
an1 ann (即|A|≠0),则R(A)=n,从而A的标准形为n阶
矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂 ppt课件
1
4
1 6
2 2
1 2
4 4
B
3
6 9
7
9
1
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第四节 矩阵的初等变换与矩阵的秩
一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换,称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行; (2)以数k0乘矩阵的某一行; (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。 交换第i行与第j行记为rirj。 例如
用数k乘以第i列记为cik。例如
1 5 1 1 1 2 1 3 3 8 1 1 1 9 3 7
c34
———
1 5 4 1 1 2 4 3 3 8 4 1 1 9 12 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换,称为初等列变换。
(1)交换矩阵的两列;
(2)以数k0乘矩阵的某一列;
② 所有非零行(元素不全为0的行)的首元,它的“列标” 随着“行标”的增大而严格增大。
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
行阶梯形矩阵: 1. 可画出一条阶梯线,线的下
方全为零; 2. 每个台阶只有一行; 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
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备注
• 带有运算符的矩阵运算,用“ = ”.例如:
矩阵加法
+
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
0
2 0
1
1
2
r2 1
0
2 0 1 2
2 0 6
1 0 1
0 2 3
0 2 3
1 r3r2(22)r3 r1r3r1 0
1
0 4
1
1
2
r3(1)
0
0 1
0
0 4
1 0 0
1 2 r3r3(24)r2r1r2r1 0 1 0 .
0 1
0 0 1
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
1.2 阶梯矩形与矩形的秩 定义2
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义1
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下三种变换: (1)对换变换 . 对换矩阵某两行的位置(交换i ,j两行,记作ri rj); (2)倍乘变换 . 用非零常数k与矩阵中某一行中各元素分别相乘(记作kri ri(k 0)); (3)倍加变换 . 将矩阵中某一行中各元素分别乘以某个常数k再加到另一行上(第j行的k 倍加入到第i行上,记作kri rj rj).
0
1 2 3 ,C 2 4 0 2
6
0 0 0 0 0
0 0 2 4 2
0 0 0 1 2
0 0
0
2
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
都不是阶梯矩阵 . 对于非阶梯矩阵来说,都可以通过初等行变换将它们转化为阶梯矩阵 .
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义3
矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后变成阶梯型矩阵,其非零行数称为矩阵 A 的
满足以下条件的矩阵称为阶梯矩阵: (1)如果矩阵中某一行中各元素均为零,那么该零行必须在矩阵的最下方; (2)非零行的第一个非零元素的表标随着行标的递增而严格增大 .
矩阵的秩与矩阵的初等变换
(1)Dr中不含第i行; (2)Dr中同时含第i行和第j行; (3)Dr中含第i行但不含第j行;
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
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对 (1),(2) 两种情形,显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3),
Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
m
n
矩阵
A的
k
阶子式共有
Ck m
Ck n
个.
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定义5.2 矩阵 A 中不为零子式的最高阶数称为 矩阵 A 的秩,记作 R( A) 或r( A). 规定:零矩阵的秩等于零,即R(o) 0. 由定义5.2可得下列结论; 1、 R( AT ) R( A).
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
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当A ri rj B或 A ri B时, 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr Dr ,
因此 Dr 0,从而 R(B) r. 当A ri rj B时,分三种情况讨论:
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二、矩阵的初等变换
定义12 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 互换两行(互换i, j 两行,记作ri rj);
2以数 0 乘以某一行
(第 i 行乘 ,记作 ri)
3 把某一行各元素乘 后加到另一行对应
的元素上去(第 j 行乘 加到第 i 行上去, 记作ri rj).
R( A) R(B). 综上,若 A 经初等变换变为 B,则 R( A) R(B).
证毕
矩阵的秩与矩阵的初等变换.
2 1 0 3 1 2
A 3 1 2 1 0
1
4 1 6 3 5 8
2 2 2 6 1 6
解
2 1 0 3 1 2
A 3 1 2 1 0
1
4 1 6 3 5 8
2 2 2 6 1 6
R4 (1)R1 2 1 0 3 1 2
R3 (2) R1
例 已知矩阵
A a1 b1 c1 , B a1 b1 3c1
a2 b2 c2
a2 b2 3c2
C c1 b1 a1 , D a1 2b1 b1 c1
c2 b2 a2
a2 2b2 b2 c2
b2
b1
b3
c2 c1 c3
▌
定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵。
1
1
I
cRi
Ei
(c)
c
1
1
1
1
I
Rj cRi
Eij
(c)
c 1
1
1
I
Ri j Eij
0 1
1 0
1
1
1
0 1
I
Ri j Eij
1
1
1 0
1
1
定理 对m×n矩阵A作一次初等行变换,等同于 在A的左边乘上一个对应的 m 阶初等矩阵;对A作一 次初等列变换,等同于在A的右边乘上一个对应的 n 阶初等矩阵。
R2 (2)R1
0
3
2
2
1 2 0 3
0 3 2 2
4 1 6 2
0 3 2 2
1 1 2 1
R3 (1) R2
R4 (1)R2
0
第1讲-矩阵的秩与初等变换资料讲解
因此 D1≠0,从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。
由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立,故只需证明 把第二行的某个倍数加到第一行时,秩不减即可。
R(AT) = R(BT), 又 R(A)=R(AT), R(B)=R(BT),因此 R(A)=R(B)。
总之,若 A 经过有限次初等变换化为 B,则秩不变,即 R(B) = R(A)。
例:求矩阵 A 的秩: A=
R(A) = 4.
三 矩阵的标准形 对于m×n 矩阵 A,总可经过初等变换化成如下形式
分两种情形。 (a) A 的 r 阶非零子式 D 不包含 A 的第一行,这时 D 也是 B
的 r 阶非零子式,故 R(B) ≥r; (b) D 包含 A 的第1行,这时把 B 中与 D 对应的 r 阶子式 D1
记作
从而有 R(B) ≥r = R(A)。 以上证明了矩阵A经一次初等行变换化为B后秩不减,即
B 等价,记作
。
定理:任意一个矩阵可经过一系列初等行变换化为与之行等 价的行阶梯形与行最简形矩阵。 证明:由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非0常 数,即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为 行阶梯形即可。
设
对第一列的元素a11, a21,…, as1,只要其中一个不为零,用交换 两行的初等行变换,总能使第一列的第一个元素不为零,然 后从第二行开始,每一行都加上第一行的一个适当的倍数, 于是第一列除去第一个元素外就全是零了。
行阶梯形矩阵特点:若第i行元素全为0,则i+1,…, m行的元 素全为0;否则从左数找到第一个不为0的元素,位于该元 素下及其左下的所有元素全为0。
矩阵的初等变换与秩
11.6矩阵的初等变换与秩11.6.1初等变换与初等矩阵这一节介绍矩阵的初等变换,以及初等变换在化矩阵为标准型和求逆矩阵等方面的应用。
另外我们通过矩阵与行列式的联系,引进矩阵的秩的概念,并讨论矩阵的初等变换求秩法。
定义11.21 对矩阵施以下列三种变换,称为矩阵的初等变换。
(1)互换变换:交换矩阵的两行(列);(2)倍法变换:以一个非零数k 乘矩阵的某一行(列);(3)消法变换:把矩阵的某一行(列)的l 倍加于另一行(列)上。
2.初等变换求逆法定理11.15 n 阶方阵A 为可逆的充分必要条件是它可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
证:必要性。
由定理11.14的推论知,若A 可逆,则存在初等矩阵1P ,2P ,…,s P ;1Q ,2Q ,…,s Q 使得I Q AQ P P t s = 11于是,111111111111--------⋅==Q Q P P Q IQ P P A t s t s由于初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵,故A 可表示为初等矩阵的乘积。
反之,由初等矩阵是可逆矩阵,而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵,可知充分性成立。
下面介绍一种用初等变换求逆矩阵的方法。
如果A 可逆,则其逆矩阵1-A 也可逆,由定理2.5,存在初等矩阵1P ,2P ,…,s P ,使得 I P P P P P P A s s 21211==-两端由乘以A ,得A P P P A A I s 211==-即 ⎩⎨⎧==-I P P P A A P P P I s s 21121 (11.35) 式(11.35)表明,若对A 的行施以若干次初等变换使之化为单位矩阵I ,则对单位矩阵I 的行施以同样的初等变换可使I 化为1-A 。
据此,我们有如下求逆矩阵的方法:作一个n n 2⨯的矩阵()I A ,然后对此矩阵施以行的初等变换,使子阵A 化为I ,则子阵I 就化为1-A 。
例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=303331132A的逆矩阵。
矩阵初等行变换矩阵秩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换:1.互换矩阵两行的位置(对换变换);2.用非0常数遍乘矩阵的某一行(倍乘变换);3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行(倍加变换)上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行(元素不全为0的元素)的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大;2.如果矩阵有0行,0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意:一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如:三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩,记作秩(A)或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以,秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以,()3AT=秩可以证明:对于任意矩阵A ,()()TA A 秩秩=;矩阵的秩是唯一的。
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换:1.互换矩阵两行的位置(对换变换);2.用非0常数遍乘矩阵的某一行(倍乘变换);3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行(倍加变换)上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行(元素不全为0的元素)的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大;2.如果矩阵有0行,0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意:一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如:三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩,记作秩(A)或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以,秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以,()3AT=秩可以证明:对于任意矩阵A ,()()TA A 秩秩=;矩阵的秩是唯一的。
山东大学《线性代数》课件01-5矩阵的初等变换与矩阵的秩
2
3
1 3 0 6
0 0
8 2
2 12 1 4
1 4 1 3 1 4
2 12 0 6 4 4
8
2
0 9 6 6
1 4 4 4 0 0
r( A) 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2.B
1 13
0 1 2
1 1 0
2 05
0 0 0
2 7 0
2 10 3
2 192
1
0 0 0
2 1 7 0
3 1 10 3
4 1 192
1
0
0 0
2 1 0 0
3 1 3 3
4
1
95
1 2 3 4
0 00
1 0 0
1 3 0
1
45
r(B) 4
1 A 4
2 t
2 3
3 12
t为何值时, r( A) 3?
3
1
1
9
1 A 0
2 t 8
a1n
ai1
ka j1
ai2 kaj2
ain
kajn
B
a j1
a j2
a jn
am1
am2
amn
由此可以推出:
r( A) r(B) r( A) r(B) r( A) r(B)
例:求矩阵的秩:
2 3 1.A 2 12 1 3
1 3
A 2 12
r1r3
1 2 2 3
1
2
2 3
B 4 3 3 12 0 11 11 0
3 1 1 9 0 7 7 0
1 0
2 1
2 1
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11.6矩阵的初等变换与秩
11.6.2矩阵的秩
1.矩阵的秩的概念
定义11.24 设n m ⨯矩阵()n m aij A ⨯=,从A 中任取k 行k 列)),((n m min k ≤,其交叉处的2k 个元素按原来的相对位置构成的k 阶行列式,称为矩阵A 的一个k 阶子式。
如,选取第k i i i <<< 21行,第k j j j <<< 21列构成的k 阶行列式
k
k k k k k j i j i j i j i j i j i j i j i j i a a a a a a a a a
21222121211
1 (11.36) 就是矩阵A 的一个k 阶子式。
对于一个矩阵A ,当O A =时,它的任何子式都为零;当O A ≠时,它至少有一个元素不为零,即它至少有一个一阶子式不为零。
这时再考察二阶子式,如果A 中有二阶子式不为零,则往下考察三阶子式,依次类推。
最后必达到A 中有r 阶子式不为零,而再没有比r 更高阶的不为零的子式。
这个不为零的子式的最高阶数r ,对任意一个矩阵A 都存在,我们就把这个数r 称为矩阵A 的秩。
定义11.25 设A 为n m ⨯矩阵。
如果A 中不为零的子式的最高阶数为r ,即存在r 阶子式不为零,而任何1+r 阶子式皆为零,则称r 为矩阵A 的秩,记作r A r =)(。
当O A =时,规定0)(=A r 。
很明显,)(A r 不超过的行数及列数,即),()(0n m min A r ≤≤。
当),()(n m min A r =时,A 称为满秩矩阵。
当m A r =)(时,A 称为行满秩矩阵;当n A r =)(时,A 称为列满秩矩阵。
另外,由定义显然有,)()(A r A r '=
例5 求下列矩阵A 的秩
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=1118411125121A
解:由于A 是非零阵,故直接考察二阶子式。
左上角的二阶子式051
221≠-=-,此时其他二阶子式不需要考察,我们再一一考察它的所有三阶子式,即 01341121
21=---,0134112521=--,01114112511=--,011
13112512=---
所有三阶子式皆为零,故2)(=A r 。
由例5我们可以看到,用定义确定一个矩阵的秩,往往计算量较大,尤其是当矩阵的行数、列数很大时,这种方法几乎是不可能实现的。
2.初等变换求秩法
定理11.16 矩阵经初等变换后,其秩不变。
例6 求矩阵A 的秩
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛----=01342131105447424121A 解:对矩阵A 进行(行)初等变换化为阶梯形 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=01342131105447424121A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----→491001311031201024121 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→491004910031201024121⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----→000004910031201024121 因为阶梯形的非零行数为3,所以3)(=A r 。
若进一步初等变换化为标准型,则标准型中1的个数就是原矩阵的秩。
上例继续
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000004910031201024121⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→00000001000001000001
可见 3)(=A r 。
结合定理11.14的推论可知,n 阶矩阵A 可逆的充要条件是A 为满秩矩阵,即n A r =)(。
例7 设A 为n 阶可逆阵,B 为m n ⨯矩阵。
试证)()(B r AB r =。
证:因为A 可逆,故A 可表示成若干初等矩阵的乘积,即存在初等矩阵),,2,1(s i P i =,使得s P P P A 21=。
B P P P
AB s 21=,即AB 是B 经s 次初等变换后得到的,由定理11.16,)()(B r AB r =。
课堂练习: 求下列矩阵的秩:2151130602121476-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦
小结:本次课的重点是矩阵的概念和用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法。